UNITÉ 4: FONCTIONS
1.
RÉPERER UN POINT DANS UN PLAN
Dans un plan tout point est repéré par un couple de nombres relatifs appelé ses
coordonnées : la première est l’abscisse et la seconde est l’ordonnée.
Exemple:
Lis les coordonnées du point A et du point B. Place les points C(5 ; -3) et D(-4 ; 0).
A(-4;2) B(0;-3)
REVISION. Représente sur les axes des coordonnées les points suivants: A(1,3), B (-2,-4), C (3, -2), D(-2,1), E(2, -3)
Le point A est formé de deux ____________________, qui sont 1 et 3.
La première coordonnée, autrement dit, le 1, se représente sur l’axe _______, qui est nommé axe de _________________.
La deuxième coordonnée, autrement dit, le 3, se représente sur ________________, qui est nommé ___________________________.
2.
NOTION DE FONCTION
Les fonctions sont très présentes dans la représentation de tous les phénomènes qui
évoluent (température au cours d’une journée...), dans les phénomènes pour lesquels
une variable dépend d’une autre (prix d’un article en fonction de l’offre et de la
demande...) et dans toutes les sciences (sciences naturelles, astronomie, physique,
chimie, médecine...). Elles sont omniprésentes dans les maths au lycée.
Elles permettent de relier deux grandeurs entre elles (population d’animaux en
fonction de la population de leurs prédateurs, distance parcourue par une fusée en
fonction du temps, aire d’un carré en fonction de la longueur de son côté, luminosité d’une étoile en fonction de son âge, etc...)
EXEMPLE: Prix du manège.
À la foire, le prix d’un billet des montagnes russes est de deux euros. Complète le tableau:
Número de billetes 1 2 4 5
Precio (€) 2 4
a) Dessine les données sur l’axe des
coordonnés.
b) Peut-on joindre les points obtenus?
c) Quelles valeurs peut prendre la grandeur nombre de billets?
d) Quel est le rapport entre le prix et le nombre de billets?
Les grandeurs sont ______________________________________________________
Le nombre de billet est représenté sur __________________________________et on dit que la variable est ___________________________
Le prix est représenté sur _______________________________ et on dit que c’est la ______________________________.
Precio
EXERCICE 1: Le prix du tissu
Dans un magasin, 1 mètre de tissu coûte 4 €. Combien coûteront 2, 3 et 6 mètres de tissu?
- Forme le tableau de valeurs avec les grandeurs utilisées.
- Indique la variable indépendante et dépendante
- Représente les valeurs sur un système d’axes et fais le graphique correspondant.
Remarque:
On utilise la notation f : x f(x) qui se lit « f est la fonction qui, à x, associe le
nombre f(x) »
On note aussi y = f(x).
Concept de fonction
Dans l’exercice précédent on observe que le prix du tissu varie selon les mètres achetés.
La valeur de y varie selon la valeur que prend x. Le rapport entre les deux grandeurs peut être représenté avec une expression algébrique, autrement dit, en combinant des lettres, des chiffres et
des signes arithmétiques.
À chaque valeur de la variable indépendante (x) correspond une seule valeur de la variable dépendante (y).
Ainsi, dans l’expression algébrique 3x + 1, en même temps qu’on met des valeurs numériques à la variable x, on obtiendra d’autres valeurs numériques qui sont liées à elles mêmes : on multiplie par
trois et on en ajoute un.
Définitions
Soit f une fonction. Si f(a) = b alors on dit que :
• b est l'image de a par f. L'image d'un nombre est unique.
• a est un antécédent de b par f. Un nombre b peut avoir plusieurs antécédents.
Les procedés permettant d’associer un nombre à un autre nombre peuvent être :
Des formules mathématiques (par exemple : f(x) = 2x +5).
Une courbe (par exemple: la courbe donnant le cours d’une action en Bourse en
fonction du temps).
Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un
EXEMPLE: On a ici l’évolution de la température d’un malade tout au long de la journée:
Quelle est la grandeur de l’axe x?
Quelle est la grandeur de l’axe y?
Quelle est la température du malade à 10 heures du matin? Et à 13 heures?
EXERCICE 2: Indique quels graphiques représentent une fonction et pourquoi:
Une fonction représente deux variables, x et y, y associe à chaque valeur de x une seule valeur de y.
• À x on l’appelle variable ________________________
• À y on l’appelle variable ________________________
3.
TABLEAU
DE
VALEURS
ET
REPRÉSENTATION
GRAPHIQUE D’UNE FONCTION
La représentation graphique d’une fonction est une courbe qui permet de visualiser
comment la fonction agit sur les nombres. Pour la tracer :
1. On dessine un repère orthonormé (deux axes gradués perpendiculaires).
2. On choisi des valeurs de x comme on veut et on calcule les images f(x)
correspondants.
3. On place dans le repère les points de coordonnées (x ; f(x)).
4. On relie ces points de manière harmonieuse.
3. La fonction m est définie par la formule 2 ) 1 ( 3 )
(x x m
Indiquer par des phrases la suite des opérations à effectuer en partant du nombre x
pour arriver à m(x).
Calculer les images des nombre 5, 3, -1, 2/3. Pouvez-vous retrouver l’antécédent de
75 ?
EXERCICE 3 : Une famille consomme 2 litres de lait par jour. La boîte de 12 litres de lait coûte 10,2€. Dessine le graphique correspondant sur les axes des coordonnées:
Litres de lait 12 2 10 6
Prix (€) 10’2 1’7 8’5 5’1
b) Quelles valeurs peut prendre la grandeur litres de lait?
c) Quel est le rapport entre les litres de lait et le prix en €?
EXERCICE 4 : Robinet ouvert
Un robinet jette 12 litres d’eau en 3 minutes. Selon l’information, complète le tableau et dessine le graphique:
a) Peut-on joindre les points obtenus?
b) Quelles valeurs peut prendre la grandeur temps?
c) Quel est le rapport entre le temps et les litres d’eau?
EXERCICE 5 : Prix de une baguette.
Le prix d’une baguette est de 0.50 euros. Si on fait le tableau de proportionnalité, nous obtenons :
a) Dessine les données sur les axes des coordonnés
Temps (min) 3 1 2 5
Litres d’eau 12
Nombre de baguettes 1 2 4 5
Prix (€) 0.50 1 2 2.5
Precio ()()()
b) Peut-on joindre les points obtenus?
c) Quelles valeurs peut prendre la grandeur nombre de baguettes?
EXERCICE 6 : Achat au marché
Jorge achète 2 kilos de pommes de terre et le total de l’achat est de 1,5 €. Pour savoir ce qu’il paiera la prochaine fois, selon les kilos achetés, remplis le tableau suivant et dessine les données
graphiquement :
Pommes de terre (Kg)
2 3 5
Prix (€) 1’5 2’25 3’75
a) Peut-on joindre les points obtenus?
.
b) Quelles valeurs peut prendre la grandeur prix?
c) 4 kilos de pommes de terre, combien ça coûte?
EXERCICE 7 : Voyage en bateau
Un bateau fait une traversée pendant 8 jours à une vitesse de 20 nœuds. Le tableau montre le temps qu’il mettrait s’il augmente ou diminue la vitesse.
Vitesse 20 16 8 25
Temps (heures) 8 10 20 6’4
13
EXERCICE 8:
a) Représente le tableau de valeurs suivant sur les axes des coordonnées et joins les points obtenus:
X -4 -3 -1 1 3
Y 1 0 2 -1 2
b) À partir du graphique, complète le tableau:
EXERCICE 9: Représente les tableaux de valeurs suivants:
X -3 0 1 2
Y 1 3 0 -2
X -2 -1 1 2 3
Y 1 -1 2 2 2
x -2 0 2
4.
ANALYSE LOCALE ET GLOBALE DE GRAPHIQUES
Pour chaque fonction nous allons définir les concepts suivants :
Domaine : toutes les valeurs de la variable indépendante « x »
Kilomètre parcourus
Fonction Consommation d’essence
Dans ce tableau, le domaine va de 100 à 600, tandis que le parcours va de 8 à 48.
Les fonctions peuvent être continues ou discontinues.
La fonction continue est représentée par une ligne ininterrompue tandis que la ligne
de la fonction discontinue est interrompue.
FONCTION CONTINUE FONCTION DISCONTINUE
Les fonctions peuvent aussi être : croissantes, si la variable dépendante augmente
lorsque la variable indépendante augmente ; décroissantes, si la variable dépendante
décroît (≅diminue) lorsque la variable indépendante augmente.
FONCTIONS CROISSANTES FONCTIONS DECROISSANTES
Il est possible qu’une fonction présente des intervalles croissants et décroissants.
Cette fonction présente des valeurs maximales (lorsque la fonction change de
croissante à décroissante) et des valeurs minimales (lorsque la fonction change de
décroissante à croissante).
Ce maximum et ce minimum qui sont les valeurs les plus hautes et les plus basses de
la fonction s’appellent maximum et minimum absolu. Les autres maximums et minimums qui ne présentent pas cette propriété s’appellent maximums et minimums
EXEMPLE: Prix de la tomate
À côté d’un distributeur de tomates il y a un graphique contenant les prix des tomates conformément au passage des heures.
a) Quel est le prix le plus haut des tomates?
b) Et le prix le plus bas?
c) À quelle heure les prix augmentent? Et à quelle heure ils diminuent ?
d) Quel est le moment où le prix ne varie pas?
CROISSANCE ET DÉCROISSANCE
Une fonction est croissante dans un intervalle lorsqu’on augmente x___________________
Exemple:
Une fonction est décroissante dans un intervalle lorsque_____________________________
Si une fonction a la même valeur dans tout l’intervalle, on dit qu’il s’agit de______________
EXERCICE 11: “La société dépendante du pétrole”.
Le graphique suivant montre l’évolution du prix moyen du litre du gasoil en Espagne. Valeur du gasoil (€ /an) Gasoil
a) Quelles variables sont représentées?
b) Dessine un tableau de valeurs selon le graphique:
c) Quel est le prix maximum atteint? En quelle année ?
EXERCICE 12: Voyage à moto
Un motoriste part d’un village et voyage en route, à une vitesse plus ou moins constante, jusqu’au village suivant. Là-bas, il s’arrête pour faire une démarche et après il retourne en utilisant la même route, à la même vitesse constante.
Le voyage est représenté sur ce graphique, qui relie la distance dans chaque moment au point de départ avec le temps pris.
Distance à l’origine (km)
Temps (minutes)
a) Observe le graphique et réponds:
– Quelle a été la durée du voyage d’aller?
– Combien de temps il s’est arrêté ?
– Quelle a été la durée du voyage de retour?
EXERCICE 13: Course
Ce graphique montre le profil d’une course:
Hauteur par rappor au niveau de la mer (m)
Distance (km)
a) Observe le graphique et réponds:
- Combien de kilomètres y a-t-il dans la course?
- À 3 km de distance, quelle est la hauteur maximale atteinte par le coureur?
- Entre les kilomètres 3 et 5, quelle est la hauteur minimale atteinte par le coureur?
- Écris un intervalle où la fonction croit et un autre où la fonction décroit.
- À quelle hauteur est la ligne de départ? Et la ligne d’arrivée?
EXERCICE 14: Prix du poisson
Un kilo de poisson coûte 2€ et sa fonction est définie par l’expression y=2x.
23
b) Représente les valeurs sur un système d’axes et dessine le tableau obtenu:
c) Décris une caractéristique du graphique.
EXERCICE 15: Distance parcourue par un camion
Un camion parcourt une distance de 120km, et si la vitesse augmente, jusqu’à 80 km/h, il mettra moins de temps pour parcourir cette distance.
La fonction qui relie le temps utilisé (y) et la vitesse (x) est définie par l’expression
a) Elabore un tableau de valeurs pour ces vitesses (en km/h): 40, 65, 70 y 80.
b) Représente les valeurs sur un système d’axes et dessine le graphique obtenu.
c) Décris une caractéristique du graphique.
5.
FONCTION LINEAIRE
Exemple :
Représentation graphique
b) Représenter graphiquement la fonction f x x
2 1 ) (
6.
FONCTION AFFINE
Cas particulier
On peut noter que le coefficient directeur indique la pente de la droite :
Détermination d’une fonction affine
Dans une fonction affine f(x)axb ont peut obtenir le nombre a comme
1 2
1
2) ( )
EXERCICES
EXERCICE 17: Aire du rectangle
Un rectangle a une grande longueur de 5 m et une petite longueur x.
a) L’expression de la fonction exprimant l’aire du rectangle est:______________
b) Elabore un tableau de valeurs pour ces petites longueurs (hauteurs) (en m): 2, 3, 4, 5 y 6.
c) Représente les valeurs sur un système d’axes.
d) Décris une caractéristique du graphique.
EXERCICE 18: Refroidissement d’un verre de lait
Le tableau de valeurs suivant montre l’évolution de la température d’un verre de lait conformément au passage du temps.
a) Représente la fonction sur un système d’axes.
b) Cherche sur le graphique la valeur de la température à 9 minutes.
c) Décris une caractéristique de la fonction.
EXERCICE 19: Voici un tableau de valeurs d'une fonction g.
Complète avec « image » ou « antécédent ».
a. 1 est …... de − 2 par g.
b. 2 est …... de 3 par g.
c. − 4 est …... de 1 par g.
d. 2 est …... de − 1 par g.
e. 0 est …... de − 1 par g.
f. Combien d'image(s) a le nombre 1 par g ?…...
EXERCICE 20: On considère la fonction f qui a tout nombre associe son carré. Calcule.
a. f(2) = …...
b. f(− 3) = ...
c. f(1,2) = ...
d. f(− 3,6) = ...
e. Donne un antécédent de 4 par f : …...
f. Donne un antécédent de 5 par f : …...
EXERCICE 21: On considère la fonction h définie par: h : x − 2x + 5. a. Complète le tableau.
b. Donne un antécédent de 0 par h : …...
EXERCICE 22: On appelle h la fonction qui à un nombre associe son résultat obtenu avec le programme de calcul suivant.
• Choisis un nombre.
• Ajoute-lui − 5.
a. Complète le tableau de valeurs suivant.
b. Quelle est l'image de 0 par h ? …...
c. Donne un antécédent de 0 par h. …...
EXERCICE 23 : On considère la fonction f définie par :
Pour quelle valeur de x cette fonction n'est-elle pas définie ? Justifie.
EXERCICE 24 : Ce graphique représente une fonction f.
a. Place le point A de la courbe d'abscisse 4.
b. Quelle est l'ordonnée de A ? …...
c. Place le point B de la courbe d'abscisse 7.
d. Quelle est l'ordonnée de B ? …...
f. Quelle est l'abscisse de C ? …...
g. Place le point D de la courbe d'ordonnée 2,5.
h. Quelle est l'abscisse de D ? …...
EXERCICE 25 : On considère la fonction f définie par f(x) = x2
− 2x − 1 pour x
compris entre − 1 et 4.
a. Complète le tableau de valeurs de la fonction f.
b. Donne les coordonnées des six points A, B, C, D, E et F appartenant au graphique
de f d'abscisses respectives − 1, 0, 1, 2, 3 et 4.
...
...
c. Place ces points dans le repère ci-dessous et trace une ébauche de courbe au crayon
EXERCICE 26 : Complète le tableau en indiquant les fonctions linéaires et leur coefficient.
EXERCICE 27 : Durant les soldes, un magasin pratique une remise de 15 % sur tous les articles.
a. Un article coûtait 28 € avant les soldes. Quel est son nouveau prix ?
...
...
b. On appelle f la fonction qui, au prix de départ p, associe le prix soldé. Donne son
expression.
...
...
c. Un article coûtait 45 € avant les soldes. Quel est son prix soldé ?
...
...
d. Un article est soldé à 31,79 €. Quel était son prix avant les soldes ?
...
EXERCICE 28 :Parmi ces fonctions, détermine :
a. celles qui sont affines : ...
b. celles qui sont linéaires : ...
c. celles qui sont constantes : ...
d. celles qui ne sont pas affines : ...
EXERCICE 29 : Une agence de location de voitures propose le tarif suivant : un forfait de 100 € auquel s'ajoute 0,70 € par kilomètre parcouru.
a. Calcule le prix à payer pour 540 km parcourus.
...
...
b. Avec un budget de 275 €, combien de kilomètres peut-on parcourir ?
...
...
c. On considère la fonction f qui, au nombre de kilomètres parcourus d, associe le
prix à payer. Donne une expression de f ainsi que sa nature.
...
a. Indique la (les) fonction(s) qui ont un coefficient négatif.
b. Indique le coefficient de chaque fonction dans ce tableau.
c. Indique l'ordonnée à l'origine de chaque droite dans ce tableau.
d. Déduis-en l'expression de chaque fonction.
...
...
EXERCICE 32 : Soit les fonctions f : x 4x et g : x − 4x. a. Quelle est la nature de leur représentation graphique ? Justifie.
...
...
b. Calcule les coordonnées des points F et G d'abscisse 1 de la courbe de f puis de
celle de g.
c. Trace la courbe de f. d. Trace la courbe de g.
EXERCICE 33 : Soit la fonction g : x 2x − 1.
a. Quelle est la nature de sa représentation graphique ? Justifie.
...
...
b. Complète le tableau suivant.
c. Déduis-en les coordonnées de deux points appartenant à cette représentation
graphique.
d. Trace la représentation graphique de la fonction g dans le repère ci-dessous.
EXERCICE 34 : Soient f et g deux fonctions affines telles que: f(0) = 2 et f(4) = − 18 g(0) = − 1 et g(4) = 13
a. Quelle est l'ordonnée à l'origine bf et bg correspondant à chaque fonction ?
...
b. Détermine les fonctions f et g.
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
EXERCICE 35 : f(x) est une fonction affine de la forme ax + b telle que: f(− 3) = − 10
et f(3) = 2.
On souhaite déterminer l'expression de f, c'est à dire déterminer a et b.
a. Calcule le coefficient de f en utilisant la formule.
