Teorema: si f(x) posee dos funciones primitivas llamadas

Resumen pep 1:

Primitiva:

una función F(x) continua en un intervalo [a,b] y derivable en ese intervalo se denomina función primitiva de f(x)

si y solo si cumple con la siguiente propiedad:

𝐹

_{𝑥 = 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ [𝑎 , 𝑏]}

Teorema:

si f(x) posee dos funciones primitivas llamadas

𝐹

𝑥 ; 𝐹

(𝑋)

entonces se cumple lo siguiente:

Esto explica que dos primitivas de una misma función solo pueden diferir en

una constante real k arbitraria

Además si

𝐹 𝑥

es una primitiva de

𝑓(𝑥)

entonces la función

𝐹 𝑥 + 𝑘

es

otra primitiva arbitraria de f(x)

De este modo lo que se obtiene al integrar es una familia de curvas que cumplen la regla de que al ser derivadas se

obtiene la función inicial o integrada.

Se puede ver en el grafico que estas curvas tienen la misma forma pero difieren en el

coeficiente de corte con el eje de las ordenadas, este concepto es fundamental para

diversos problemas que se plantean en otras ciencias como por ejemplo en física

para problemas de valor inicial, tasas de cambio relacionadas, problemas de

crecimiento o decrecimiento bacteriológico, termodinámica etc.

Lo anterior se puede ver en problemas de valor inicial que representan una ecuación

diferencial ordinaria generalmente en variables separables la que se puede formular de la siguiente manera:

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑦 →

𝑑𝑦

𝑔(𝑦)

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐾

Obviamente lo anterior debe ser evaluado según la regla o condición que debe cumplir la función para obtener una

constante real (k) que nos permita solucionar el problema planteado.

𝐺 𝑥

= 𝛼 → 𝐾

La integral funciona como un operador lineal, se puede ocupar entonces las reglas de la suma y la ponderación de estas

sin ningún problema, pero el producto se rige por otras formas que veremos más adelante.

𝐹

𝑋 = 𝑓 𝑥 ; 𝐹

𝑋 = 𝑓(𝑥)

[𝐹

𝑋 − 𝐹

𝑋 ]

_{= 0}

Algunas integrales fundamentales, en su mayoría inmediatas: Propiedades de la integral: “linealidad”

1.

𝑥

𝑑𝑥 =

𝑛 +1

+ 𝑘 ∀ 𝑛 ≠ −1

𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

2.

𝑥

= 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑘

𝛼𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝛼 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∀ 𝛼 𝑐𝑡𝑒 𝑅

3.

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑘

4.

cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑘

5.

𝑒

𝑑𝑥 = 𝑒

+ 𝑘

6.

𝑎

𝑑𝑥 =

ln 𝑎

+ 𝑘

7.

sec 𝑥

𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑘

8.

csc 𝑥

𝑑𝑥 = −𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑘

9.

1−𝑥2

= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑋 + 𝑘

10.

1+ 𝑥2

= arctan 𝑋 + 𝑘

11.

tan 𝑋 𝑑𝑥 = ln 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑘

12.

csc 𝑥 𝑑𝑥 = ln csc 𝑥 − 𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑘

13.

sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑘

14.

𝑠𝑒𝑛𝑕 𝑥 𝑑𝑥 = cosh 𝑥 + 𝑘

15.

cosh 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑕 𝑥 + 𝑘

Métodos de integración principales:

Integración por sustitución

simple

:

sea

𝑢 = 𝑔(𝑥)

entonces se puede aplicar la siguiente composición de funciones para

calcular la integral si una parte de la integral se puede obtener de derivar la sustitución de manera simple

𝑢𝑑𝑢 = 𝑓𝑜𝑔 𝑥 ∗ 𝑔

_{𝑥 𝑑𝑥}

Integración por partes

: útil para integrar productos de funciones y también integrales a las que pareciera que no se les

puede aplicar un método común de integración

Integración por sustituciones trigonométricas

: muy útiles para integrar funciones con radicales que no se pueden

simplificar por los métodos anteriormente vistos

1-

𝑎

_{+ 𝑥}

_{= 𝑎 sec 𝜃 ; 𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 ; 𝑑𝑥 = 𝑎 sec}

_{𝜃 𝑑𝜃}

2-

𝑎

_{− 𝑥}

_{= 𝑎 cos 𝜃 ; 𝑥 = 𝑎 sen 𝜃 ; 𝑑𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑑𝜃}

3-

𝑥

_{− 𝑎}

_{= 𝑎 tan 𝜃 ; 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 ; 𝑑𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 𝑡𝑔 𝜃 𝑑𝜃}

Al hacer la sustitución se debe tener en cuenta que una vez solucionada la integral se debe volver a la variable original (como en toda sustitución), un buen truco para no complicarse es dibujar los triángulos para de esa forma ver con mayor claridad la equivalencia de las variables.

Sustitución especial “tan(x/2)”: útil para encontrar integrales de funciones racionales que contienen términos con funciones trigonométricas

tan 𝑥

2 = 𝑡 ; 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡

1 + 𝑡2 ; 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =

2𝑡

1 + 𝑡2 ; 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =

1 − 𝑡2

1 + 𝑡2

Método de fracciones parciales: se deben aplicar teoremas del algebra para la descomposición, se debe tener cuidado al momento de escribir la ecuación, tomar en cuenta factores irreductibles o factores con exponente mayor a uno

- Irreductibles: AX + B

- Con multiplicidad mayor: iterar fracciones hasta llegar al máximo exponente - Un buen ejercicio es descomponer lo siguiente: _𝑥−1 4𝑥3−3𝑥_{2 𝑥}2₂+𝑥

+1

Relaciones trigonométricas útiles para integrar: Funciones hiperbólicas:

1- 𝑠𝑒𝑛2 _{𝑥 + 𝑐𝑜𝑠}2 _{𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛𝑕 𝑥 =} 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥 2

2- 1 + 𝑐𝑡𝑔2(x) = 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)

3- 𝑡𝑔2 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2_{(𝑥) cosh 𝑥 =} 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 2

4- 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ± 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥±𝑦

2 𝑠𝑒𝑛( 𝑥∓𝑦

2 )

5- 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥+𝑦)

2 tanh 𝑥 =

𝑠𝑒𝑛 𝑕(𝑥) cosh ⁡(𝑥)

6- 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 + cos ⁡(2𝑥)

2

7- 𝑠𝑒𝑛2 _{𝑥 =} 1− 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)

2 𝑐𝑜𝑠𝑕

2 _{𝑥 − senh}2 _{x = 1 ( identidad)}

Primer teorema fundamental del cálculo: sea 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 una función integrable entonces definimos 𝐹: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 tal que cumple:

Entonces si 𝑓(𝑥) es continúa en 𝑥0 E [a, b] entonces 𝐹(𝑥) es derivable en 𝑥0 y se debe cumplir que:

𝐹, 𝑥0 = 𝑓(𝑥0)

Segundo teorema fundamental del cálculo o regla de Barrow: sea 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 una función continúa y 𝐹: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 es una primitiva de 𝑓 entonces se define la suma de Riemann o la integral bajo la curva como la siguiente aplicación:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

𝑏

𝑎

Para tener en cuenta: las áreas sobre intervalos simétricos de funciones pares se pueden obtener integrando sobre la mitad del intervalo y multiplicando por dos, en cambio si la función es impar la integral es nula. Es muy fácil ver esto y de esa manera facilitar el análisis antes de empezar a hacer cualquier calculo.

Áreas entre curvas: si 𝑓 𝑥 ; 𝑔(𝑥) son funciones continúas en un intervalo [a, b] entonces si estas presentan con anterioridad intersecciones que cumplen la condición de encerrar un área en esos límites, la región encerrada por estas viene dada por la siguiente formula:

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥

Observaciones: se deben calcular las intersecciones igualando las curvas si estas se desconocen para eso solo basta igualar f y g además un buen ejercicio es intentar graficar estas porque muchas veces las soluciones no tienen sentido (las curvas jamás se interceptan en los puntos de solución obtenidos), también se debe saber que función es mayor y cual es menor en el intervalo para esto solo basta evaluar en un punto intermedio para saber que función esta por sobre la otra en términos del eje de las ordenadas.

En muchas ocasiones es mas fácil obtener el área encerrada por las curvas en términos de una función inversa, esto es una función dependiente de (y) para esto se procede de la misma manera pero cambian los intervalos, la función mayor será la que este más a la derecha del eje (x):

[𝑓 𝑦 − 𝑔 𝑦 ]𝑑𝑦

𝑑

𝑐

∀ 𝑦 ∈ 𝑐, 𝑑 𝑓 𝑦 ≥ 𝑔 𝑦

Volúmenes de sólidos:

1- Secciones transversales: consiste en ir rebanando la figura mediante integrales, se debe obtener una función que represente una sección transversal de esta

𝒗 = 𝑨 𝒙 𝒅𝒙

𝒃

2- Método de discos: consiste en girar alrededor de un eje una curva, de esta forma el volumen viene dado por la siguiente expresión

3- Método de arandelas: útil para encontrar el volumen encerrado por dos curvas, se deben fijar los radios mayor y menor de la figura para esto basta evaluar un punto intermedio o graficar como se menciono anteriormente en el calculo de áreas entre curvas

𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥

− 𝑔 𝑥

𝑑𝑥

∀ 𝑥 ∈

𝑎, 𝑏 𝑓 𝑥

4- Método de cascarones cilíndricos: es mucho más simple que los métodos anteriormente descrito y permite calcular volúmenes complejos de forma mas fácil, se basa en ir cubriendo mediante capas el total del volumen del cuerpo geométrico en estudio, su formula viene dada por:

V = 2

𝜋

𝑥 𝑓

𝑥

𝑑𝑥

f x

≥

0

∀

x

∈

a, b con a

≥ 0

-

Medida de la circunferencia : 2

𝜋𝑥

-

Altura de la capa: f x

5- Volúmenes en parametricas: si la curva se rige por la ecuación parametrica dada de la forma 𝑋 𝑡 = 𝐹 𝑇 𝑌 𝑇 = 𝐺 𝑇 ∀ 𝑇1≤ 𝑇 ≤ 𝑇2

Entonces el volumen según el eje que se haga rotar se puede formular de la siguiente manera:

𝑉 = 𝜋 𝑦𝑡2 2 _{𝑡 𝑥}, _{𝑡 𝑑𝑡}

𝑡1 para el eje horizontal OX

𝑉 = 𝜋 𝑥𝑡2 2 _{𝑡 𝑦},_{(𝑡)𝑑𝑡}

𝑡1 para el eje vertical OY

Longitud de curva

Cartesiana:

𝑉 = 𝜋 [𝑓 𝑥 ]_𝑎𝑏 2𝑑𝑥 girando alrededor del eje ox

𝑉 = 𝜋 [𝑓 𝑦 ]𝑑 2_𝑑𝑦

𝑐 girando alrededor del eje oy

𝐿 = 1 + [𝑓, _{𝑋 ]}2_𝑑𝑥 𝑏

Polar: Parametrica:

Área de superficie de revolución:

Sea 𝑓 𝑥 una curva del plano (OXY) donde 𝑓 𝑥 es diferenciable en un intervalo [a, b] entonces el manto o superficie del solido de revolución que se genera al rotar la curva entorno al eje OX viene dado por la siguiente expresión:

En caso de rotar entorno al eje OY, si la función inversa g(y) esta limitada por limites en la ordenada por un intervalo [c, d] entonces el área de superficie del solido de revolución viene dado por:

Para tener en cuenta:

- Estudiar los diversos problemas en que el eje de rotación no es específicamente el eje de las abscisas o el eje de las ordenadas lo que comúnmente complica el calculo de de las superficies y volúmenes de cuerpos geométricos debido a la traslación que hay que hacer.

- Siempre trate de hacer un dibujo de las graficas que son analizadas, esto facilita la comprensión del problema. - Antes de empezar a hacer cualquier calculo reflexione sobre el método que va a utilizar y como va a proceder

no utilice formulas de manera instantánea sin antes analizar el problema.

Saludos y éxito en su prueba

𝐿 = [𝑟, _{𝜃 ]}2_{+ [𝑟 𝜃 ]}2 𝛽

𝛼

𝑑𝜃 _{𝐿 = [𝑥}, _{𝑡 ]}2_{+ [𝑦}, _{𝑡 ]}2_𝑑𝑡 𝑡2

𝑡1

𝐴𝑠 𝑥 = 2𝜋 𝑓 𝑥 1 + (𝑓, 𝑥 )2𝑑𝑥 𝑏

𝑎

𝐴𝑠 𝑦 = 2𝜋 𝑔(𝑦) 1 + (𝑔,(𝑦))2𝑑𝑦 𝑑