Mecanica Cuantica pdf

(1)

(2)

cuerpo negro

►Ley de Planck

►Efecto fotoeléctrico

►Espectros atómicos

►Átomo de Bohr

►Dualidad onda corpúsculo

►Principio de indeterminación

A finales del siglo XIX, la Física Clásica explicaba

satisfactoriamente la mayoría de los fenómenos

físicos conocidos hasta entonces y se tenía la

sensación de que era capaz de explicar todos los

fenómenos naturales.

y

Mecánica

y

Electrodinámica

y

Termodinámica

Física

Clásica

Tres problemas surgieron a los que no se encontraba explicación

La radiación del

cuerpo negro

El efecto

fotoeléctrico

Los espectros

atómicos

Inducción de corriente

eléctrica entre

superficies metálicas

al iluminarla con

radiación ultravioleta

Espectros

discontinuos de los

átomos

Emisión de energía

por parte de los

cuerpos calientes

La idea de la cuantización de la energía, introducida por Max Planck, pudo

explicar satisfactoriamente estos fenómenos y dio lugar al nacimiento de la

Física Cuántica

Max Planck

Albert Einstein

(3)

yAl encender una hoguera o una chimenea, el carbón mantiene su aspecto y su color durante un tiempo pero al acercar las manos notaríamos ya radiación de calor. Esta radiación invisible que percibimos es radiación infrarroja.

yA medida que la temperatura aumenta, el carbón empieza a ponerse “al rojo”, es decir, ahora, aparte de la radiación infrarroja, se emite radicación en las frecuencias más bajas del espectro visible.

ySi la temperatura sigue aumentando, el color rojo se hará más brillante convirtiéndose paulatinamente en amarillo y casi blanco.

La frecuencia de la radiación que emite un cuerpo caliente aumenta con la

temperatura.

y

Un cuerpo negro es aquel que absorbe todas las radiaciones de

todas las frecuencias que llegan a él.

y

Una buena aproximación sería una caja herméticamente cerrada

con un material absorbente térmico y con un orificio practicado

en ella.

y

La radiación que entrase por el orificio acabaría siendo

absorbida tras numerosas reflexiones en las paredes de la caja.

y

Al absorber la radiación el cuerpo negro se calienta y comienza

a emitir también radiación en todas las frecuencias.

Un cuerpo negro es aquel que absorbe todas las radiaciones y, en consecuencia, al

calentarse se convierte también en un emisor de radiación ideal.

►Radiación del cuerpo negro

(4)

y

A finales del siglo XIX, después de analizar la radiación que emitía el cuerpo negro, se

sabía que esta radiación obedecía a dos leyes obtenidas mediante la experiencia:

Ley de Stefan-Boltzmann

La intensidad de la radiación térmica de un cuerpo

negro es proporcional a la cuarta potencia de su

temperatura absoluta

4

T

I

=

σ

=

cte

.

de

Stefan

=

5 ,

67 ⋅

10

−8

w

/

m

2

K

4

Ley del desplazamiento de Wien

El producto de la longitud de onda

correspondiente al máximo de emisión por la

temperatura absoluta es constante.

K

cm

2897

,

0 T

max

⋅

=

λ

yLa ley de Wien implica que al aumentar la

temperatura, el máximo de la radiación emitida por un cuerpo se produce a frecuencias cada vez mayores (menores longitudes de onda).

cuerpo negro

Radiación del cuerpo

(5)

y

Rayleigh y Jeans

analizaron teóricamente el

problema y, a partir de las consideraciones de la

física clásica, obtuvieron una ley para la intensidad

de la radiación emitida por el cuerpo negro:

¿Qué ley física podría explicar la forma de las

gráficas de emisión del cuerpo negro?

4

T

I

λ

∝

y

Este ley se ajustaba bien para valores altos de longitud de onda, pero conducía a

una conclusión inconsistente: si en la ecuación

λ

se hace cada vez más pequeño, la

intensidad I emitida tiende a valores infinitos, lo cual es físicamente imposible.

La catástrofe ultravioleta

: la intensidad irradiada tendería a infinito para longitudes

de onda muy pequeñas, del orden del ultravioleta

(6)

y

Max Planck encontró una ecuación que si se ajustaba a las gráficas de

emisión de radiación.

1 e

1 c

hf

2 )

T

,

f

(

I

₂ _hf_/_kT

3

−

⋅

=

La energía emitida por los cuerpos no puede tener cualquier valor, sino que debe ser

un múltiplo entero de una constante h multiplicada por la frecuencia de la radiación

y

n es un número entero

y

h es la constante de Planck = 6,63 · 10

-34

_{J · s}

y

f es la frecuencia de la radiación emitida

f

h

n

E

=

y

Para encontrar la ecuación tuvo que

adoptar la siguiente hipótesis:

La energía se emitía en forma de múltiplos de “paquetes mínimos de energía” de valor

hf

a los que se les denomina

cuantos de energía

.

Al igual que la materia está cuantizada en forma de átomos, la energía lo está en forma

de cuantos. Del mismo modo que los átomos de distintos elementos tienen distintos

tamaños, los cuantos de distintas frecuencias tienen diferentes tamaños energéticos.

y

El cuanto de luz roja posee menos energía que el cuanto de luz violeta.

y

Cuanto de luz roja

(

λ

=730 nm ) = hf = hc/

λ

=

2,71 · 10

-19

_J

y

Cuanto de luz violeta

(

λ

=410 nm ) = hf = hc/

λ

=

4,84 · 10

-19

_J

cuerpo negro

(7)

yAl estudiar este efecto se observó que obedecía a una serie de fenómenos sorprendentes y que no se

encontraba explicación dentro de la física clásica:

Efecto Fotoeléctrico

: Al iluminar una placa

metálica con radiación ultravioleta se emiten

electrones por parte de la placa metálica.

ySolo se emiten electrones cuando la frecuencia de la luz incidente sobre la placa supera un cierto valor, f₀, llamada

frecuencia umbraly que es característica de cada metal.

yPor debajo de dicha frecuencia umbral no hay emisión de electrones, aunque se aumente la intensidad luminosa.

yPor encima de la frecuencia umbral, un aumento de intensidad luminosa produce un incremento del número de electrones emitidos, pero no de su energía cinética máxima.

yEl número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la radiación luminosa recibida.

y Estas observaciones estaban en contradicción con las leyes clásicas según las cuales el efecto debería

producirse para cualquier frecuencia, siempre que la intensidad luminosa fuese lo suficientemente grande.

yAdemás, la energía cinética de los electrones emitidos debería aumentar con la intensidad, en cambio, solo aumenta con la frecuencia de la luz incidente.

(8)

y Según Einstein, la energía luminosa no se reparte de un modo uniforme sino que estaría formada por una infinidad de “cuantos de luz”, llamados fotones, de

diferentes tamaños energéticos que se propagan a la velocidad de la luz. Vuelve a introducir la naturaleza corpuscular de la luz en su interacción con la materia.

Einstein retoma la idea de los cuantos de energía de Planck y la

extiende a la naturaleza y propagación de la luz.

yUn fotón de luz puede tener la energía suficiente para arrancar un electrón del átomo.

yEl electrón transforma dicha energía en el trabajo necesario que debe efectuar contra la fuerza de atracción electrostática que lo une al núcleo.

yComo los átomos de diferentes metales son distintos, la energía necesaria para arrancarles un electrón también será diferente, lo que explica la variación de la frecuencia umbral con los diferentes metales.

El trabajo de extracción necesario para arrancar un electrón de la superficie de un

metal es igual a W

_ext

= h f

₀

, donde f

₀

es la frecuencia umbral característica del metal.

y

Si la energía del fotón incidente,

h f

, es mayor que el trabajo de extracción, la

energía restante es la energía cinética que adquiere el electrón una vez extraído de la

superficie metálica,

⇒

+

=

_extracción _c

incidente

W

E

h

f

=

h

f

₀

+

E

_c

cuerpo negro

Efecto fotoeléctrico

(9)

y

Un aumento de la intensidad de la luz no afecta a la energía del fotón incidente

(solamente al nº de fotones que inciden) por lo tanto, la energía cinética del electrón

será la misma que para intensidades de luz más pequeñas.

¿Por qué debía tener la luz una frecuencia determinada

(

frecuencia umbral

) para producir el efecto fotoeléctrico?

Con la introducción de los cuantos de luz o fotones,

Einstein fue capaz de explicar todos los fenómenos del

efecto fotoeléctrico que se resistían a la Física Clásica

y

Si la frecuencia del fotón incidente es tal que su energía,

hf, es inferior al trabajo de extracción no podrá arrancar

electrones. De ahí que el fotón incidente deberá, al menos,

tener una frecuencia igual a f

₀

= W

_ext

/h para poder arrancar

electrones.

¿Por qué por debajo de la frecuencia umbral no se producía el efecto fotoeléctrico

aunque se aumentase la intensidad de la luz incidente?

y

Un aumento de la intensidad de la luz implica que a la superficie del metal llegan una

mayor número de fotones pero, cada fotón individualmente, tiene la misma energía y si

su frecuencia es inferior a la umbral no podrá arrancar electrones.

¿Por qué la energía cinética de los electrones arrancados no aumenta con la

intensidad de la luz?

(10)

ySi se hace pasar la luz blanca por un prisma, al salir del mismo se habrá descompuesto en todas las luces de diferentes frecuencias que la componen obteniéndose su espectro continuo.

Espectro continuo de la luz blanca

y Si embargo, si se realiza la misma experiencia a partir de la luz emitida por gases calienteso sometidos a descarga eléctrica en tubos a baja presión los espectros obtenidos son discontinuos

presentando las siguientes características:

y

Está formado por una serie de líneas de

distintos colores correspondientes a luces de

distintas frecuencias.

y

El espectro es característico de cada

elemento, de modo que no hay dos

elementos que presenten el mismo espectro.

Espectros discontinuos de distintos elementos y

En 1885 Balmerencontró una expresión matemática que se ajustaba al espectro del hidrógeno:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

=

λ

2 2

n

1

2

1 R

1

yλes la longitud de onda correspondiente a cada una de las rayas del

espectro, n es un nº entero mayor que 2 y R es la constante de Rydberg de valor R = 109677,6 cm-1_.

y Rydberg y Ritzobtuvieron una expresión más general que la

de Balmer, donde n1y n2son números enteros

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

λ

2

2 2

1

n

1 n

1 R

1

(11)

y

Conforme los espectroscopios ganaban en poder de resolución iban apareciendo

distintas series espectrales.

y

Algunos espectros eran muy complejos debido a la superposición de distintas series

espectrales.

¿A qué se deben las líneas que aparecen en los espectros?

¿Por qué son discontinuos?

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− =

λ 2

2 2 1 n

1 n

1 R 1

(12)

y

En 1913 el físico danés Niels Bohr propone un nuevo modelo de átomo

basado en los siguientes postulados:

y

Primer postulado

: Existen órbitas, denominadas

estacionarias

, en las

que los electrones giran alrededor del núcleo sin emitir radiación. Estas

órbitas son las únicas permitidas para los electrones.

y

Segundo postulado

: Las órbitas estacionarias son aquellas que cumplen con la

cuantización del momento angular del electrón

que toma los valores:

π

=

2 h

n

r

v

m

_e Donde r es el radio de la órbita estacionaria, h la constante de Planck y n es un

número entero llamado número cuántico principal.

y

Tercer postulado

: El electrón solo puede pasar de unas órbitas estacionarias a otras

absorbiendo (si se desplaza a órbitas superiores) o emitiendo (si se desplaza a órbitas

inferiores) energía en forma de cuantos, es decir,

absorbiendo o emitiendo fotones

. La

energía del fotón absorbido o emitido corresponde a la diferencia de energía de las

órbitas entre las que salta.

hf

E

=

₂

−

₁

=

Δ

E

₂

E

₁

E

₂

E

₂

E

₁

_E

1

cuerpo negro

(13)

y La fuerza de atracción electrostática entre el núcleo y el electrón del átomo de hidrógeno es una fuerza centrípeta, luego:

2 e 2 0 2 e 2 2

0

m

v

e

4

1 r

r

v

m

r

e

4

1 _⋅

πε

=

⇒

=

⋅

πε

y Aplicando la condición de cuantización del momento angular tenemos:

2 e

2 0 2

e

m

e

h

n

r

m

2 nh

v

π

ε

=

⇒

π

=

y Sustituyendo los valores de las constantes que aparecen en la ecuación tendremos que:

2 2 2 0 4 e c

h

n

e

m

8

1 E

ε

⋅

=

yLa energía de un electrón en su orbita será la suma de la energía cinética más la potencial:

r

4 e

v

m

2

1 E

E

0 2 2 e p c Total

_πε

−

+

=

+

=

ySi sustituimos el valor de la velocidad obtenida anteriormente, la energía cinética será::

⇒

π

ε

=

π

⋅

=

₂ e 2 0 2 2 e 2 2 2 2 e c

e

m

h

n

r

como

y

r

m

h

n

8

1 v

m

2

1 E

(14)

¡ Al sustituir los valores que aparecen fuera del paréntesis, se obtiene la constante de Rydberg !

ySi sustituimos el valor de r en la energía potencial tenemos: 2 2 2 0 e p

h

n

e

m

4

1 E

ε

⋅

−

=

ySi sumamos la energía cinética y la energía potencial tendremos la energía total del electrón en su órbita:

2 2 2 0 4 e Total

h

n

e

m

8

1 E

ε

⋅

−

=

eV

n

6 ,

13 E

2 Total

=

−

La diferencia de energías entre órbitas tiende a disminuir conforme aumenta n

Energía emitida por un electrón al pasar de una

órbita superior a otra inferior

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

ε

=

−

=

Δ

⇒

ε

⋅

−

=

ε

⋅

−

=

₂ 2 2 1 2 2 0 4 e 1 2 2 2 1 2 0 4 e 1 2 2 2 2 0 4 e 2

n

1 n

1 h

8 e

m

E

h

n

e

m

8

1 E

;

h

n

e

m

8

1 E

yComo la energía es emitida o absorbida en forma de cuantos de energía hf tendremos que:

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

ε

=

λ

=

₂ 2 2 1 2 2 0 4 e

n

1 n

1 h

8 e

m

c

h

hf

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

ε

=

λ

2 2 2 1 3 2 0 4 e

n

1 n

1 c

h

8 e

m

1

(15)

y

Al calentar los átomos, la energía

suministrada es utilizada por los electrones

para pasar a niveles superiores de energía.

y

Como en cualquier muestra de un gas hay

muchísimos átomos, el número de saltos

diferentes que realizarán los electrones es

grande.

y

Al enfriarse los electrones volverán a

órbitas inferiores, emitiendo fotones de

energía igual a la diferencia de energía entre

las órbitas.

y

Como las órbitas están cuantizadas, solo se

producirán unos determinados saltos entre órbitas.

y

Cada salto producirá un fotón de una frecuencia

determinada que originará una raya en el espectro.

y

Los espectros serán discretos ya que solo son

posibles unas determinadas transiciones entre

órbitas.

Series espectrales

Espectro del átomo de hidrógeno

(16)

yEn los fenómenos de refracción, difracción, interferencia y polarización la luz muestra una naturaleza ondulatoria.

yEn los fenómenos de emisión del cuerpo negro, efecto fotoeléctrico y formación de espectros, la luz manifiesta una naturaleza corpuscular (fotónica).

Del mismo modo que los fotones se comportan como partículas o como

ondas, también los electrones se comportan como partículas o como

ondas.

Naturaleza dual de la luz

Hipótesis de De Broglie

yEinstein había sugerido que los fotones viajaban a la velocidad de la luz con un momento lineal igual a h / λ. Se basaba en la identidad de las ecuaciones referidas a la energía del fotón, E = h f, y la energía relativista del fotón, E = m c2_.

λ

=

⇒

=

⇒

=

h

c

hf

mc

p

mc

hf

mc

E

;

hf

E

2 2 _fotón

yDe Broglie sugirió que si una onda (como la luz) tenía propiedades corpusculares, un corpúsculo (como el electrón) debía tener propiedades ondulatorias.

Toda partícula material que se mueve con velocidad v tiene una

longitud de onda asociada dada por la expresión:

m

v

h

=

λ

En la Mecánica Clásica no se tienen en cuenta las propiedades ondulatorias de los cuerpos en movimiento ya que, al ser h muy pequeño, para grandes masas λtiende a cero.

cuerpo negro

(17)

yEn experimentos de difracción de electrones, al hacerlos pasar por pequeños orificios o rendijas, se ha observado que:

yUn electrón incide en un punto y lo ennegrece, comportamiento que pone de manifiesto su carácter corpuscular.

yLos puntos ennegrecidos permitidos están determinados por propiedades ondulatorias, ya que hay zonas donde nunca impactan los electrones. Las zonas de incidencia de los electrones forman bandas similares a las de los fenómenos de difracción en las ondas.

No se puede predecir en qué punto impactará un electrón; solo se puede hablar en términos de probabilidad e indicar en qué zonas podrá impactar y en qué zonas no lo hará.

El producto de las indeterminaciones de medida de la posición y del momento lineal de electrón es, como mínimo, igual a la

constante de Planck dividido por 2π.

π

≥

Δ

⋅

Δ

2 h

p

x

m

2 h

v

x

π

≥

Δ

⋅

Δ

En la Mecánica Clásica se pueden determinar x y v con precisión ya que al ser m grande el producto de las indeterminaciones tiende a cero.