Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes

(1)

Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales, matrices y

determinantes

Yoel Gutiérrez

UNEXPO - Puerto Ordaz

1. Dadas las matrices

A=

0 B B @

1 2 0 1 3 4 2 0 1 4 1 2

1 C C A y

B=

0

@ 12 20 13 00 4 1 0 3

1 A

:

Efectué las operaciones indicadas en cada caso si es que existen: AT ₃_B, _AB, _BT_A, _A2 _y A+ 2BT_.

2. Dadas las matrices

A= 2 1 3

1 4 2 ; B=

0

@ 31 01 22 2 1 3

1 A :

y C=

0 @ 41 03

2 1

1 A

Efectué la operación indicada en cada caso si es posible: AB, AC, B2_, _BC, _CA, _ABC_, _BCA _y CAB.

3. Si A =

0

@ 12 01 11 3 0 1

1

A y B =

0 @ 21 32

4 4

1 A;

veri…car queA(AB) =A2B

4. Encuentre los productos: AX,AY,A(2x+ 3y)e

2(AX) + 3(AY), donde

A=

0

@ 13 24 01 2 1 3

1 A; X=

0 @ 32

1

1 A e :

Y =

0 @ 02

3

1 A

5. Calcule: A2_,_A3_,_A4 _y_A5_{, donde}

A=

0 B B @

0 1 0 0 0 c 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1 C C A

:

6. Calcule: A2,A3,A4 yA5, donde

A=

0 B B B B @

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 C C C C A

:

7. SiendoA= pq q

2

p2 pq ;calcularA

2_.

8. Dada la matrizA= 1 1

1 0 ;calcularA

2_,_A3_,

A4_{, etc, y vincular los elementos resultantes con} los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,.... donde, a partir del tercero, cada uno es igual a la suma de los dos anteriores.

9. SeaA una matriz cualquiera. ¿Bajo que condi-ciones el productoAAT _{está de…nido?}

10. La siguiente tabla da el costo en bolívares de una lata de vegetales en tres diferentes supermerca-dos,

Arvejas Frijol Maíz

1 33 25 42

2 34 23 40

3 36 28 35

(2)

11. SiA=

0

@ 13 41 25 0 1 1

1 A;

B=

0

@ 03 20 15 7 6 0

1 A y C=

0

@ 03 01 20 0 2 4

1 A;

encuentre una matrizDtal que3C+ 2B+ 8A

4D sea la matriz nula.

12. Una matriz de probabilidades es una matriz cuadrada que tiene dos propiedades: (i) todos sus elementos son no negativos y(ii)la suma de los elementos en cada …la es uno. Las siguientes son matrices de probabilidades:

P=

0

@ 11==34 11==32 11==34 0 0 1

1 A y:

Q=

0

@ 11==53 22==53 2=05 1=4 1=4 1=2

1 A

Demuestre que P Q es una matriz de probabili-dades.

13. Demostrar₀ por inducción completa que

@ 10 11

1 A n

=

0 @ 10 n1

1 A:

14. Demostrar cada una de las siguientes proposi-ciones

(a) La diferencia de toda matriz cuadrada con su transpuesta es antisimétrica.

(b) Pa cualquier matriz A la matriz pro-ducto AAT _{está de…nida y es una matriz}

simétrica.

(c) Si A2 ₌_A _y_A₊_B ₌_{I, entonces}_B2 ₌_B yAB=BA=0.

15. Señale el valor de verdad de cada una de las sigu-ientes a…rmaciones y justi…que.

(a) SiAyB son matrices cuadradas del mismo orden, entonces(AB)T ₌_AT_BT_.

(b) Aes una matriz simétrica y antisimétrica a la vez, si y sólo si, es la matriz nula. (c) SiAyB son matrices cuadradas del mismo

orden, entonces A + BT _{es una matriz}

simétrica.

(d) Si A y B son matrices tales que AB = 0, entoncesA= 0 óB= 0.

(e) AT _{está de…nida sólo si} _A _{es una matriz}

cuadrada.

(f) SiAes una matriz cuadrada la diagonal de AT es la misma que la diagonal deA. (g) Toda matriz diagonal es simétrica.

(h) SiAyBson matrices cuadradas del mismo orden, entonces(A+B)2₌_A2_{+ 2}_AB₊_B2_. 16. Determine el conjunto solución del sistema

x1 + 2x2 x3 + x4 = 0

2x1 x2 + 2x3 x4 = 0 x1 + x2 x3 + x4 = 0

17. Considere el sistema

x1 2x2 + x3 = a

2x1 + x2 + x3 = b

5x2 x3 = c

(a) ¿Qué relación debe existir entrea; bycpara que el sistema sea compatible?

(b) Resuelve el sistema para la condición antes determinada.

18. Para cada uno de los sistemas sobre R dados a continuación determine la relación entrea,byc para que el sistema sea compatible

(a)

x + 2y 3z = a

3x y + 2z = b x 5y + 8z = c

(b)

2x 2y + 4z = a

2x + 3y z = b

3x + y + 2z = c

19. Para cada uno de los siguientes sistemas sobreR determine los valores dektales que el sistema se:

(i) incompatible, (ii) compatible determinado,

(iii)compatible indeterminado

(a)

x + y + kz = 1

x + ky + z = 1

kx + y + z = 1

(b)

x + y + kz = 0 3x + 4y + 2z = k

2x + 3y z = 1

(c)

x + 2y + kz = 1

x 3z = 3

2x + ky z = 2

(d)

(3)

20. Determine el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas sobreR

(a)

2x + y + 5z + w = 5

x + y 3z 4w = 1 3x + 6y 2z + w = 8 2x + 2y + 2z w = 2

(b)

2x + 2y + 3z + w = 5 3x y + z + 3w = 1

2x + 3y z 2w = 8 2x + 7y + 3z 2w = 2

21. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones

(a) Cualquier sistema homogéneo es compati-ble.

(b) Cualquier sistema no homogéneo con más ecuaciones que incógnitas es incompatible. (c) Cualquier sistema con más incógnitas que

ecuaciones es compatible indeterminado.

(d) Cualquier sistema homogéneo con más in-cógnitas que ecuaciones admite soluciones distintas de la trivial.

(e) Cualquier sistema compatible con más in-cógnitas que ecuaciones es indeterminado.

22. Demuestre que siS1yS2son soluciones del sis-tema homogéneoAX= 0, entonces

(a) S1+S2 es solución deAX= 0.

(b) cS1es solución deAX= 0para todo escalar c.

23. Sea A una matriz cuadrada de orden n. De-muestre que

(a) SiAes invertible yAB= 0para alguna ma-triz cuadradaBde ordenn, entoncesB= 0. (b) Si A no es invertible, existe una matriz cuadrada B de orden n, tal que B ₆= 0 y AB= 0.

24. Para cada caso, encuentre la matriz elementalE tal queEA=B.

(a) A= 2 3

1 4 ; B=

2 3 3 10 :

(b) A= 2 3

3 4 ; B=

2 3 5 1 :

(c) A=

0 @ 13 24

5 6

1 A; B =

0 @ 10 22

5 6

1 A:

25. Sea A = a b

0 c : Escriba A como un pro-ducto de matrices elementales. ¿Aes invertible?

26. Aplique el método de Gauss para determinar la inversa de cada una de las siguientes matrices. si es que existe.

A=

0

@ 12 23 34 3 4 6

1

A B=

0

@ 12 43 01 6 1 2

1 A

C= 3 5

2 3 D=

3 2 3 2

E=

0 B B @

1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 3 0 0 0 0 4

1 C C A

F =

0 B B B B @

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 1 0 0 4 2 3 1 0 2 1 4 2 1

1 C C C C A

G=

0

@ 10 11 01 1 0 2

1 A :

H =

0 B B @

1 p 0 0 0 1 p 0 0 0 1 p

0 0 0 1

1 C C A

27. Demuestre que la matriz 3 4

2 3 es su

propia inversa.

28. Encuentre la inversa de la matriz A = 4 5

5 6 y úsela para resolver el sistema 4x 5y = 5

5x + 6y = 2 :

29. Encuentre la inversa de la matriz A = 3 7

6 13 y úsela para resolver el sistema 3x 7y = 4

6x + 13y = 1 :

30. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones

(4)

(b) Si A y B son de ordenn e invertibles, en-toncesA 1_B 1 _{es la inversa de}_AB:

(c) Si A= a b

c d yab cd6= 0, entonces Aes invertible.

(d) Toda matriz elemental es invertible.

(e) Si A = a b

c d y ad= bc, entonces A no es invertible.

31. Resuelva la ecuaciónAX =B usando la factor-izaciónLU dada paraA

(a)

A =

0

@ 33 57 12 6 4 0

1 A; B=

0 @ 57

2

1 A

A =

0

@ 11 01 00 2 5 1

1 A

0

@ 30 72 21 0 0 1

1 A

(b)

A =

0

@ 44 35 75 8 6 8

1 A; B=

0 @ 24

6

1 A

A =

0

@ 11 01 00 2 0 1

1 A

0

@ 40 32 25 0 0 2

1 A

(c)

A =

0

@ 26 01 22 8 1 5

1 A; B=

0 @ 10

4

1 A

A =

0

@ 13 01 00 4 1 1

1 A

0

@ 20 13 24 0 0 1

1 A

(d)

A =

0

@ 21 23 41 3 7 5

1 A; B=

0 @ 05

7

1 A

A =

0 @

1 0 0

1

2 1 0

3

2 5 1

1 A

0

@ 20 22 41 0 0 6

1 A

(e)

A =

0 B B @

1 2 4 3 2 7 7 6 1 2 6 4 4 1 9 8

1 C C A;

B =

0 B B @

1 7 0 3

1 C C A

A =

0 B B @

1 0 0 0 2 1 0 0 1 0 1 0 4 3 5 1

1 C C A:

0 B B @

1 2 4 3 0 3 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1

1 C C A

32. Encuentre una factorizaciónLU de cada una de las siguientes matrices

(a) 2 5

3 4

(b) 6 9

4 5

(c)

0

@ 33 12 102 9 5 6

1 A

(d)

0

@ 105 38 49 15 1 2

1 A

(e)

0 B B @

1 3 5 3 1 5 8 4 4 2 5 7

2 4 7 5

1 C C A

(f)

0

@ 26 49 47 23 1 4 8 0

1 A

(g)

0 B B B B @

2 6 6 4 5 7 3 5 1 6 4 8 8 3 9

1 C C C C A

33. Dada la matrizA=

0

@ 12 43 01 6 1 2

1

Acalcular:

(5)

(b) Los valores de tales quedet(A I) = 0:

34. Sea A = 4 4

1 2 . Demostrar que para

todo escalarc,det(cI A) =c2_.

35. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 sobre uelpo R y supóngase que A2 _{= 0}_{. Demostrar} que para todo escalarc,det(cI A) =c2_.

36. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 sobre el cuerpoR. Demostrar quedet(I+A) = 1 +detA si y sólo sia11+a22= 0.

37. SeaA=

0

@ 10 12 32 1 4 1

1 A

(a) Calcule detA usando expansión a lo largo de la tercera columna.

(b) Compruebe el resultado anterior haciendo la expansión a lo largo de la segunda …la.

38. Para cada una de las siguientes matrices,

A =

0

@ cos0 01 sen0

sen 0 cos

1 A;

B =

0

@ 30 24 13 1 2 2

1

A y

C =

0 B B @

1 0 2 3 2 1 4 0 3 2 1 3 0 1 3 2

1 C C A

Determine:

(a) La matriz de los cofactores.

(b) La adjunta.

(c) El determinante.

(d) La matriz inversa, si es que existe.

39. Demuestre mediante un contraejemplo la falsedad de las siguientes proposiciones.

(a) Si A y B son matrices equivalentes, en-toncesdetA=detB.

(b) Si A yB son matrices cuadradas de orden n, entoncesdet(A+B) =detA+detB.

40. Calcule el determinante de las siguientes matri-ces

A =

0 B B @

1 2 1 1 3 0 1 2 1 1 2 1 1 0 3 2

1 C C

A y

B =

0 B B B B @

1 0 0 2 3 0 1 1 2 0 0 2 0 1 2 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0

1 C C C C A

41. Use la regla de Cramer para hallar las soluciones de cada uno de los siguientes sistemas

(a) 5x + 7y = 3

2x + 4y = 1

(b) 5x + y = 6

5x + 2y = 7

(c) 3x 2y = 7

5x + 6y = 5

(d) 5x + 3y = 9

3x y = 5

(e)

2x + y = 7

3x + z = 8

y + 2z = 3

(f)

2x + y + z = 4

x + 2z = 2 3x + y + 3z = 2

42. Use la regla de Cramer para determinar los val-ores del parámetro s para los cuales el sistema tiene una solucón única y describa la solución.

(a) 6sx + 4y = 5

9x + 2sy = 2

(b) 3sx 5y = 3

9x + 5sy = 2

(c) sx 2sy = 1

3x + 6sy = 4

(d) 2sx + y = 1