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Teoría de Galois Parcial de Grupoides

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(1)

TEOR´IA DE GALOIS PARCIAL DE GRUPOIDES

LEIDY CAROLINA PERDOMO HERNANDEZ

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS B ´

ASICAS

PROGRAMA DE MAESTR´IA EN MATEM ´

ATICAS

(2)

TEOR´IA DE GALOIS PARCIAL DE GRUPOIDES

LEIDY CAROLINA PERDOMO HERNANDEZ

096700042016

Trabajo de grado para optar al t´ıtulo de Magister en Matem´aticas

Director

V´ICTOR MAR´IN

Profesor del Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS B ´

ASICAS

PROGRAMA DE MAESTR´IA EN MATEM ´

ATICAS

(3)

u

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FACULTAD DE CIENCIAS

MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS

ACTA DE SUSTENTACIÓN DE TRABAJO DE GRADO

TITULO:

"Teoría de Galois Parcial de Grupoides"

AUTOR: LEIDY CAROLINA PERDOMO HERNÁNDEZ

Código: 096700042016

DIRECTOR: VÍCTOR EDUARDO MARÍN COLORADO

JURADOS: NIDIA YADIRA CAICEDO BRAVO

HECTOR EDONIS PINEDO TAPIA

CALIFICACIÓN

eUc("1

-

v

- O pu

vi -

f

o

2

1‘

APROBADO

REPROBADO

OBSERVACIONES V and

O

I*

; -VOY O

FIRMAS

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s.u•mr.

NbDIA YADIRA CAICEDO BRAVO

Jurado 1

Récéer y) in &do

7

HECTOR EDONIS

PINEDO TAPIA

Jurado 2

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TO ' -='!-- s •

ARIN COLORADO

PABLO EMILIO CALDERÓN SAAVEDRA

Dire or del trabajo

Director del programa

(4)

Agradecimientos

Mis m´as sinceros agradecimientos a:

Dios quien ha hecho que todo sea posible, a mi familia por su cari˜no y apoyo incondicional, especialmente a mis padres Fabio Perdomo y Gloria Hernandez, y a mi esposo Andres Orlando por su gran compromiso y motivaci´on, a mi hija Isabel Sofia, qui´en es y siempre ser´a mi mayor inspiraci´on.

(5)

Contenido

Introducci´on ii

1. Teor´ıa de Galois Parcial de Grupos 1

1.1. Teor´ıa de Galois de anillos conmutativos . . . 1

1.2. Teorema de correspondencia de Galois . . . 8

2. Grupoides y Acciones Parciales 11 2.1. Definici´on de Grupoides . . . 11

2.2. Acci´on Parcial de Grupoides . . . 16

2.3. Acci´on Envolvente o Globalizaci´on . . . 18

2.4. Algunas propiedades de acciones parciales y envolventes . . . 26

2.5. El subanillo de invariantes y la aplicaci´on traza . . . 29

2.6. Teor´ıa de Galois . . . 34

3. Teorema de Correspondencia 41 3.1. Preliminares . . . 41

3.2. Subgrupoide normal y grupoide cociente . . . 43

3.3. Teorema de correspondencia de Galois . . . 50

Conclusiones 63

Bibliograf´ıa 64

(6)

Introducci´

on

Los groupoides fueron introducidos originalmente por H. Brandt en [3]. Un grupoide puede ser considerado, desde el punto de vista categ´orico, como una categor´ıa peque˜na cuyos morfismos son invertibles (v´ease [4]). La noci´on de grupoide ordenado y propiedades aparecen en [14]. Un grupoide ordenado es un grupoide con una relaci´on de orden definida sobre este tal que con dicho orden los elementos satisfacen ciertos axiomas (el orden es compatible con los elementos del grupoide). Acciones parciales de grupoides ordenados sobre conjuntos fue introducido por Gilbert en [11]. All´ı, se define la acci´on de un grupoide ordenado

Gsobre un conjuntoX como un funtor ordenadoG→G(X), dondeG(X) es el grupoide cuyas identidades son las aplicaciones identidad sobre subconjuntos de

X, y sus morfismos son biyecciones entre subconjuntos deX. Adem´as, Gilbert define la globalizaci´on de una acci´on parcial y prueba la existencia de esta.

Si el conjunto X se dota de estructura de anillo, en [1] los autores introducen la noci´on de acci´on parcial de un grupoide ordenado G sobre un anillo R v´ıa premorfismos ordenados. Adem´as, construyen el correspondiente anillo de grupoide skew R ?αGy dan condiciones necesaria y suficientes para que dicho anillo sea asociativo.

En el contexto de grupos, acciones parciales de grupos sobre anillos fue estudiado por primera vez en [7]. Una acci´on parcialαde un grupoGsobre un ´

algebra unitariaS es una colecci´on de idealesSσcon isomorfismosασ:Sσ−1 →

Sσ, donde σ ∈ G, los cuales satisfacen algunas condiciones de compatibilidad con el grupo.

Dokuchaev, Ferrero y Paques en [8] desarrollan una teor´ıa de Galois para extensiones de anillos conmutativosR⊂S, dondeSes unR-m´odulo separable, finitamente generado, proyectivo; y los elementos del grupo de Galois G son

R-automorfismos de S fuertemente distintos. Adem´as, se establece un teorema definici´on de extensi´on de Galois y un teorema que da una correspondencia biun´ıvoca entre los subgrupos deGy lasR-sub´algebras deSque son separables yα-fuertes.

El texto est´a organizado de la siguiente forma: en el cap´ıtulo 1 se presenta en detalle la teor´ıa de Galois sobre anillos conmutativo. All´ı se enuncia el Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Galois de acciones parciales de gru-pos sobre anillos conmutativos. Dicho Teorema establece una correspondencia entre los subgrupos deGy lasR-sub´algebras separables yα-fuertes deA. En el cap´ıtulo 2 se presenta la definici´on de grupoide y se muestra una equivalencia

(7)

iii

(8)
(9)

Cap´ıtulo 1

Teor´ıa de Galois Parcial de

Grupos

A continuaci´on se presentan algunos conceptos y resultados de la teor´ıa de Galois parcial de grupos sobre anillos conmutativos, los cuales ser´an ´utiles para el desarrollo de los cap´ıtulos posteriores. Las demostraciones y otros conceptos relacionados pueden consultarse en [8].

1.1.

Teor´ıa de Galois de anillos conmutativos

En esta secci´on se introduce la noci´on de un subanillo de invariantes conte-nido en el centro del anillo. SeaA un anillo,R es un subanillo del centro deA

yαuna acci´on parcial deGsobre laR-´algebra A.

Primero definamos acci´on parcial.

Definici´on 1.1. Sea G un grupo y Auna ´algebra unitaria sobre un anillo K. Unaacci´on parcialαdeGsobreAes una colecci´on de idealesAσ deA, donde

σ∈G, junto con isomorfismos ασ:Dσ−1 →Dσ tales que∀σ, τ ∈G:

(i) D1G =A y α1G es el automorfismo identidad de A.

(ii) D(στ)−1 ⊇ατ−1(Dτ∩Dσ−1).

(iii) ασ◦ατ(x) =αστ(x),∀x∈α−τ1(Dτ∩Dσ−1).

Se define el anillo torcido de grupos as´ı:

A ?αG:= (

X

σ∈G

xσuσ |xσ ∈Aσ,∀σ∈G )

.

Sobre este conjunto se define la suma usual y el producto dado por

X

σ∈G

xσuσ !

X

τ∈G

yτuτ !

= X

σ,τ∈G

ασ(ασ−1(xσ)yτ)uστ.

(10)

2 CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE GALOIS PARCIAL DE GRUPOS

As´ı, A ?αGobtiene estructura de R-´algebra con elemento identidad 1Au1G =

u1G.

Sobre el conjunto anterior se define la aplicaci´on ϕ : A ?αG → EndR(A) dada por

ϕ X

σ∈G

xσuσ !

(z) =X σ∈G

xσασ(z1σ−1),∀z∈A.

SeaM unA ?αG-m´odulo izquierdo. Se define elR-subm´odulo de invariantes deM bajoGpor

MG={m∈M |(1σuσ)m= 1σm,∀σ∈G}.

Note queM es unA-m´odulo izquierdo v´ıa la aplicaci´onx7−→xu1G deAsobre

A ?αG.

Por ejemplo, la ´algebra A puede ser considerada como un A ?αG-m´odulo izquierdo v´ıa la aplicaci´onϕ, esto es, (xσuσ)z=ϕ(xσuσ)(z) para todo z∈A. Luego, aplicando la definici´on del subm´odulo de invariantes deAbajoGtenemos que:

AG={x∈M |(1σuσ)x= 1σx,∀σ∈G}.

Donde (1σuσ)x= 1σϕ(uσ)(x) = 1σασ(x1σ−1) =ασ(x1σ−1). Luego,

AG={x∈M |ασ(x1σ−1) = 1σx,∀σ∈G}=Aα.

A continuaci´on se presenta el Teorema-Definici´on de extensi´onα-parcial de Galois .

Teorema 1.2. [8, Theorem 4.1] Sea αuna acci´on parcial de un grupo finitoG sobre una R-´algebraA. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) A es una extensi´on de Galoisα-parcial deR.

(ii) A es un R-m´odulo proyectivo finitamente generado y ϕ : A ?α G →

EndR(A)es un isomorfismo deA-m´odulos izquierdos yR-´algebras.

(iii) A es un R-m´odulo proyectivo finitamente generado y para cadaA ?αG

-m´odulo izquierdoM la aplicaci´onµ:A⊗MG→M, dado porµ(x⊗m) =

xm, es un isomorfismo deA-m´odulos izquierdos.

(iv) A es un R-m´odulo proyectivo finitamente generado y la aplicaci´on ψ :

A⊗A → Q

σ∈GAσ, definida por ψ(x⊗y) = (xασ(y1σ−1))σG, es un

isomorfismo deA-m´odulos izquierdos.

Demostraci´on. (i)→(ii) Por hip´otesis, existenxi, yi ∈A, con 1≤i≤n tales que Pn

(11)

1.1. TEOR´IA DE GALOIS DE ANILLOS CONMUTATIVOS 3

es proyectivo: definamos afi∈HomR(A, R) porfi(x) =trA/R(yix), ∀x∈A yi= 1, ..., n. As´ı

n X

i=1

fi(x)xi= n X

i=1

trA/R(yix)xi= n X

i=1

X

σ∈G

ασ(yix1σ−1)xi

=X σ∈G

n X

i=1

xiασ(yi1σ−1)ασ(x1σ−1)

=X σ∈G

δ1A,σασ(x1σ−1) =

X

σ∈G

δ1A,σβσ(x)1A

= 1Aβ1G(x) =x.

Es decir, tenemos que Pn

i=1fi(x)xi =x, ∀x ∈A y por [15, Theorem II.12], tenemos queAes proyectivo. Para ver queAes proyectivo finitamente generado utilizamos [16, Teorema 2.3]. No obstante, para esto debemos demostrar queϕ

es un isomorfismo. Anteriormente se mostr´o queϕes un homomorfismo deR -´

algebras yA-m´odulos izquierdos. Resta probar queϕes sobreyectiva e inyectiva. En primer lugar veamos que ϕes sobreyectiva. En efecto, sea h∈EndR(A) y

w∈A ?αG, dondew=Pσ∈G

Pn

i=1h(xi)ασ(yi1σ−1)uσ. As´ı,

ϕ(w)(x) =ϕ(X

σ∈G n

X

i=1

h(xi)ασ(yi1σ−1)uσ)(x) =

X

σ∈G n

X

i=1

h(xi)ασ(yi1σ−1)ασ(x1σ−1)

=

n

X

i=1

h(xi)(

X

σ∈G

ασ(yix1σ−1)) =

n

X

i=1

h(xi)trA/R(yix)

=

n

X

i=1

h(xitrA/R(yix)) =h( n

X

i=1

xitrA/R(yix)) =h(x).

Ahora veamos que ϕ es inyectiva. Supongamos que v = P

σ∈Gxσuσ ∈

(12)

4 CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE GALOIS PARCIAL DE GRUPOS

que siϕ(v)(xi) = 0, necesariamentev= 0. En efecto,

0 = n X

i=1

ϕ(v)(xi)

=X τ∈G (

n X

i=1

ϕ(v)(xi))ατ(yi1τ−1)uτ

=X τ∈G

n X

i=1

ϕ(X σ∈G

xσuσ)(xi)ατ(yi1τ−1)uτ

=X τ∈G

n X

i=1

(X σ∈G

xσασ(xi1σ−1))ατ(yi1τ−1)uτ

=X τ∈G

n X

i=1

X

σ∈G

xσβσ(xi)1Aβτ(yi)1Auτ

=X τ∈G

n X

i=1

X

σ∈G

xσβσ(xiβσ−1βτ(yi)1A)1Auτ

=X σ∈G

X

τ∈G

xσβσ( n X

i=1

xiβσ−1τ(yi)1A)uτ

=X σ∈G

X

τ∈G

xσβσ( n X

i=1

xiασ−1τ(yi1(σ−1τ)−1))uτ

=X σ∈G

X

τ∈G

xσβσ(δ1A,σ−1τ)uτ.

Note que en la expresi´on anterior si τ 6=σimplica que 1G 6=σ−1τ con lo que

δ1A,σ−1τ = 0 y anular´ıa todos los sumandos. Pero cuando τ =σ tenemos que

uτ=uσ, 1G=σ−1τ y por ende,δ1A,σ−1τ = 1A. Por ello

X

σ∈G X

τ∈G

xσβσ(δ1A,σ−1τ)uτ =

X

σ∈G

xσβσ(1A)uσ

=X σ∈G

xσuσ

=v.

(ii)→(iii) ComoA es un R-m´odulo proyectivo finitamente generado, en-tonces existenxi∈Ayfi∈HomR(A, R), con 1≤i≤l, tales que

x= l X

i=1

fi(x)xi,∀x∈A.

Ahora, definamos la aplicaci´onν :M −→A⊗MGconm7−→ν(m) =Pl i=1xi⊗

(13)

1.1. TEOR´IA DE GALOIS DE ANILLOS CONMUTATIVOS 5

•Veamos queν est´a bien definida.

Como fi ∈ HomR(A, R) ⊆ EndR(A) y ϕ es un isomorfismo, entonces

ϕ−1(fi) = νi ∈ A ?αG. Adem´as, νim ∈ M ya que M es un A ?αG-m´ odu-lo. Por otra parte, notemos que para todom∈M,vim∈MG. En efecto,

ϕ(uσνi)(x)1σ=ασ(ϕ(νi)(x)1σ−1)1σ =ασ(fi(x)1σ−1)1σ =fi(x)1σ

=ϕ(νi)(x)1σ.

Y como ϕ es isomorfismo, tenemos que uσνi = νi. Luego, para todo σ ∈ G, (1σuσ)νim= 1σ(uσνi)m= 1σνim, esto es,νim∈MG. Por tanto,

ν(m) = l X

i=1

xi⊗νim∈A⊗MG.

•La aplicaci´onν es un homomorfismo deA-m´odulos izquierdos.

Anteriormente mencionamos que M es un A-m´odulo, podemos notar que

A⊗MG tambi´en lo es. Luego, seanm, nM yaA, tenemos que

ν(m+n) = l X

i=1

xi⊗νi(m+n) = l X

i=1

xi⊗(νim+νin)

= l X

i=1

xi⊗νim+ l X

i=1

xi⊗νin=ν(m) +ν(n).

ν(am) = l X

i=1

xi⊗νi(am) = l X

i=1

xi⊗aνi(m) =a( l X

i=1

xi⊗νi(m))

=aν(m).

• La aplicaci´onµes un isomorfismo de A-m´odulos izquierdos.

Anteriormente demostramos que ν es un homomorfismo, lo que haremos ahora es verificar que µ◦ν =ν◦µ=id, lo cual ser´a suficiente para verificar queµes un isomorfirmo. Notemos que

ϕ( l X

i=1

xiνi)(x) = l X

i=1

xifi(x) =x=ϕ(u1G)(x), ∀x∈A.

Y como ϕ es un isomorfismo, entonces Pl

i=1xiνi =u1G. Tamb´ıen, para νi =

P

(14)

6 CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE GALOIS PARCIAL DE GRUPOS

{ϕ(νi)(x)}m0={ϕ(

X

σ∈G

xσuσ)(x)}m0={

X

σ∈G

xσασ(x1σ−1)1σ}m0

= X σ∈G

xσασ(x1σ−1)m01σ=ϕ( X

σ∈G

xσ(uσm01σ))(x)

=ϕ(X σ∈G

xσm01σ)(x) = X

σ∈G

xσm01σx

= X σ∈G

xσ(uσm01σ)x= ( X

σ∈G

xσuσ)(xm0) =νi(xm0).

Es decir, fi(x)m0 = {ϕ(νi)(x)}m0 = νi(xm0). Entonces, ∀m ∈ M, x ∈ A y

m0∈MG,

(µ◦ν)(m) =µ(ν(m)) =µ( l X

i=1

xi⊗νim) = l X

i=1

µ(xi⊗νim)

= l X

i=1

xiνim=u1Gm=m.

(ν◦µ)(x⊗m0) =ν(µ(x⊗m0)) =ν(xm0) =

l X

i=1

xi⊗νi(xm0)

= l X

i=1

xi⊗fi(x)m0=

l X

i=1

xifi(x)⊗m0=x⊗m0.

Por lo tanto,µ◦ν =ν◦µ=id.

(iii)→(iv) Definamos el conjunto de todas las funciones de Gen Ade la forma

F={f :G→A|f(σ)∈Aσ,∀σ∈G}.

Ahora, como para todo a ∈ A se tiene que af(σ) ∈ Aσ, podemos notar que

F es un A-m´odulo con af = af(σ),∀σ ∈ G. Tambi´en, si x ∈ Q

σ∈GAσ, es decir, es de la forma x= (xσ1, xσ2, ..., xσn) donde xσi ∈Aσi, con 1 ≤i≤n y

ax= (axσ1, axσ2, ..., axσn), es decir,

Q

σ∈GAσ es unA-m´odulo. Definamos la aplicaci´onγ:F −→Q

σ∈GAσ dada por

γ(f) = (f(σ1), f(σ2), ..., f(σn)) = (f(σ))σ∈G.

• La aplicaci´onγ es un isomorfismo deA-m´odulos izquierdos.

Notemos que γest´a bien definida, adem´as es un isomorfismo deA-m´odulos. En efecto, seanf, g∈ F ya∈A.

γ(f+g) = ((f+g)(σ))σ∈G= (f(σ))σ∈G+ (g(σ))σ∈G=γ(f) +γ(g),

(15)

1.1. TEOR´IA DE GALOIS DE ANILLOS CONMUTATIVOS 7

Seax∈Q

σ∈GAσ yf1(σ1) =xσ1, . . . , fn(σn) =xσn. Ahora, seaf la funci´on

formada por los fi anteriores donde 1 ≤i ≤n, entonces vemos queγ(f) =x, de dondeγ es sobreyectiva. Adem´as,

Ker(γ) ={f ∈ F |γ(f) = (0,0, ...,0)}

={f ∈ F |(f(σ1), f(σ2), ..., f(σn)) = (0,0, ...,0)} ={f ∈ F |f(σ1) = 0, f(σ2) = 0, ..., f(σn) = 0}

={f ∈ F |f(σ) = 0,∀σ∈G}

={0∈ F }.

Es decir,γ es inyectiva y, por tanto,γes un isomorfismo deA-m´odulos izquier-dos.

•La aplicaci´onµes un isomorfismo deA-m´odulos izquierdos. Notemos queF tiene estructura deA ?αG-m´odulo dada por

((xσuσ)f)(τ) =xσασ(f(σ−1τ)1σ−1), ∀f ∈ F,∀σ, τ ∈G.

Luego, por hip´otesis y conM =F (por serF unA ?αG-m´odulo izquierdo) tenemos queµ:A⊗FG→ Fdada porµ(xf) = (xf(σ))

σ∈Ges un isomorfismo deA-m´odulos izquierdos.

Definamos la aplicaci´onθ:A→ FG dada porθ(x) =f

x, dondefx:G→A est´a definida porfx(τ) =ατ(x1τ−1), τ ∈G.

•La aplicaci´onθes un isomorfismo de R-m´odulos izquierdos. Seanx, y∈Ayr∈R, tenemos que

θ(x+y) =fx+y, donde fx+y(τ) =ατ((x+y)1τ−1) =ατ(x1τ−1+y1τ−1)

=ατ(x1τ−1+ατ(y1τ−1)

=fx(τ) +fy(τ). As´ı, θ(x+y) =fx+fy=θ(x) +θ(y).

θ(rx) =frx, donde frx(τ) =ατ(rx1τ−1) =rατ(x1τ−1) =rfx(τ). As´ı, θ(rx) =rfx=rθ(x). Ahora,

Ker(θ) ={x∈A|θ(x) = 0}

={x∈A|fx(τ) = 0(τ),∀τ ∈G} ={x∈A|ατ(x1τ−1) = 0,∀τ∈G}

={0∈A}.

Esto es,θ es inyectiva. Por otra parte, sifw∈ FG con ατ(w1τ−1), ∀τ∈G, es

claro queθ(w) =fw, es decir,θes sobreyectiva. Por lo tanto,θes un isomorfismo deR-m´odulos.

(16)

8 CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE GALOIS PARCIAL DE GRUPOS

Recordemos que la composici´on de isomorfismos es un isomorfismo, entonces la siguiente composici´on

A⊗Aid−→⊗θA⊗ FG−→ Fµ −→γ Y σ∈G

Aσ,

induce el isomorfismoψ=γ◦µ◦(id⊗θ).

(iv) → (i) Primero veamos que Aα = R. Es claro que R Aα. Por otra parte, seax∈Aα, tenemos quex1

A= 1A⊗x. En efecto,

ψ(x⊗1A) = (xασ(1A1σ−1))σ∈G= (x1σ)σ∈G.

ψ(1A⊗x) = (1Aασ(x1σ−1))σ∈G= (1Axασ(1σ−1))σ∈G= (x1σ)σ∈G. Como ψ es un isomorfismo, por hip´otesis necesariamente las pre-im´agenes de (x1σ)σ∈G son iguales. Por otra parte, por Lema de Nakayama tenemos que

AnnR(A) = 0. Es decir,Aes un R-m´odulo proyectivo fiel. LuegoA resulta un

R-m´odulo proyectivo finitamente generado y fiel, as´ıtr(A) =R. Es decir, existe

c∈Atal quetr(c) = 1. Entonces,Res un sumando directo deAcomoR-m´ odu-lo. De donde existe un endomorfismo π:A→A, tal que π2 =πyπ(A) =R. As´ı,x∈R y por tantoAα=R.

• Aes una extensi´on de Galoisα-parcial deR.

Tomemos el elemento (1A,0, ...,0)∈Qσ∈GAσdonde la primera componente corresponde a σ = 1G. Como ψ es un isomorfismo, entonces existe un w =

Pn

i=1xi⊗yi ∈A⊗A tal queψ(w) = (1A,0, ...,0). As´ı, podemos notar que en la primera componente Pn

i=1xi1G(yi) =

Pn

i=1xiyi = 1A y que en los dem´as,

Pn

i=1xiασ(yi1σ−1) = 0, esto es, los x1, ..., xn, y1, ..., yn ∈ A son coordenadas parciales de Galois.

Definici´on 1.3. Diremos que dos elementosσyτ deGson fuertemente distin-tos con respecto a la acci´on parcial αdeGsobreA(oα-fuertemente distintos) si para cualquier idempotente edistinto de cero con e∈Aσ∪Aτ, existe x∈A

tal que

ασ(x1σ−1)e=6 ατ(x1τ−1)e.

Teorema 1.4. [8, Theorem 4.2] Seaαuna acci´on parcial de un grupo Gsobre una R-´algebra A. Si A es una extensi´on de Galois α-parcial deR, entoncesA es separable sobre Ry los elementos de G son a paresα-fuertemente distintos. Si adem´as,A es conmutativa yAα=R, se tiene la afirmaci´on rec´ıproca.

1.2.

Teorema de correspondencia de Galois

En esta secci´on se introduce, sin demostraci´on, el Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Galois de acciones parciales de grupos sobre anillos conmutativos. Dicho Teorema establece una correspondencia entre los subgrupos de G y las

(17)

1.2. TEOREMA DE CORRESPONDENCIA DE GALOIS 9

Definici´on 1.5. SeanA,Ry αcomo se definieron anteriormente y seaT una sub´algebra de A. Definimos el conjunto

HT ={σ∈G|ασ(t1σ−1) =t1σ,∀t∈T}.

Observaci´on 1.6. El conjuntoHT no siempre es un subgrupo deG,

posterior-mente se mostrar´a un ejemplo.

Teorema 1.7. [8, Theorem 5.2] Sea A una extensi´on α-parcial de R y H un subgrupo de G. Entonces, αH ={ασ : Aσ−1 −→ Aσ | σ ∈ H} es una acci´on

parcial de H sobre A y Aes una extensi´on αH-parcial de Galois deT =AαH.

Adem´as, T es R-separable, α-fuerte yHT =H.

Lema 1.8. [8, Lemma 5.3] Sea A una extensi´on α-parcial de Galois de R y T una sub´algebra separable y α-fuerte de A. Entonces existen xi, yi ∈ T, 1≤i≤m, tales que

m X

i=i

xiyi= 1A y m X

i=1

xiασ(yi1σ−1) = 0,∀σ∈G−HT

Teorema 1.9. [8, Theorem 5.4] Sea Auna extensi´onα-parcial de Galois deR y F unaR-sub´algebra separable y α-fuerte deA tal que HF es un subgrupo de

G. EntoncesAαH =F paraH =H

F, dondeαH es la acci´on parcial deH sobre

A definida anteriormente.

A continuaci´on presentamos el Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Galois. Teorema 1.10. [8, Theorem 5.1] Sea A una extensi´on parcial de Galois de R con acci´on parcial α de G sobre A. Entonces existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de Gy las sub´algebras separablesT deAlos cu´ales son α-fuertes y tal queHT es un subgrupo deG.

Ejemplo 1.11. [8, Example 6.3] SeaR un anillo conmutativo. SeaA=Re1⊕

Re2⊕Re3, donde{e1, e2, e3} es un conjunto de idempotentes ortogonales

dis-tintos de cero cuya suma es uno y sea G el grupo c´ıclico de orden 4 gene-rado por σ. Definamos la acci´on parcial de G sobre A tomando los ideales

{A1G, Aσ, Aσ2, Aσ3} de A como:

A1G=A, Aσ=Re1⊕Re2, Aσ2 =Re1⊕Re3, Aσ3 =Re2⊕Re3.

Y los isomorfismos como:

α1G =idA,

ασ:Aσ3 −→Aσ porασ(e2) =e1σ(e3) =e2,

ασ2:Aσ2 −→Aσ2 porασ2(e1) =e3 y ασ2(e3) =e1,

ασ3:Aσ−→Aσ3 porασ3(e1) =e2 y ασ3(e2) =e3.

(18)

10 CAP´ITULO 1. TEOR´IA DE GALOIS PARCIAL DE GRUPOS

Tenemos que G={1G, σ, σ2, σ3} de donde los subgrupos de este grupo son 10 ={1G}, H={1G, σ2}y G.

Por el teorema anterior existe una correspondencia entre 10, H y G y las sub´algebras separables T1, T2 y T3 de A respectivamente tales que HT1, HT2 y

HT3 son subgrupos de G.

Por el teorema 1.7 obtenemos las sub´algebras mencionadas.

Para 10,T1=Aα1G =A1G =A

Para G,T3=AαG=Aα=R

ParaH,T2=AαH. Debemos encontrar los elementos deAtales que sean

invariantes bajo los isomorfismosα1G yασ2: Seax=r1e1+r2e2+r3e3∈A

con r1, r2, r3∈R. Six∈AαH entonces

ασ2(x1(σ2)−1) =x1σ2

ασ2((r1e1+r2e2+r3e3)(e1+e3)) = (r1e1+r2e2+r3e3)(e1+e3)

ασ2(r1e1+r3e3) =r1e1+r3e3

r1e3+r3e1=r1e1+r3e3

De donder1=r3. As´ı,

T2={r1e1+r2e2+r1e3/r1, r2∈R}=R(e1+e3)⊕Re2

Seg´un el mismo teorema las sub´algebras Ti, con1 ≤i≤3, sonR-separables y

α-fuertes. Tambi´en, HT1 = 1

0, H

(19)

Cap´ıtulo 2

Grupoides y Acciones

Parciales

En este cap´ıtulo se presenta y estudia la noci´on de una extensi´on parcial de Galois para acciones parciales de grupoides, la cual es una generalizaci´on de las acciones parciales de grupos. En primer lugar se da la definici´on de un grupoide de dos maneras distintas (´algebraica y categ´orica), despu´es se introduce la noci´on de una acci´on parcial de un grupoide sobre un anillo conmutativo y su respectiva globalizaci´on, para finalmente introducir el concepto de extensi´on parcial de Galois para grupoide y presentar un teorema que las caracteriza.

2.1.

Definici´

on de Grupoides

En esta secci´on se presenta la definici´on de grupoide desde dos puntos de vista: la categ´orica y la algebraica. Desde ese punto de vista, categ´orico, un grupoide es una categor´ıa peque˜na, es decir, una categor´ıa donde cada homo-morfismo es invertible.

Definici´on 2.1. Una categor´ıaCconsiste de una clase de objetos denotados por Objc, para cada par(A, B)de objetos deC, asociamos un conjunto de morfismos

deA en B, denotado porHomc(A, B). Adem´as, para cada tripla de objetos de

C existe una operaci´on, denominada composici´on de morfismos.

Homc(B, C)×Homc(A, B)→Homc(A, C) (g, f)→(g◦f). Que satisfacen las siguientes condiciones:

(i) h◦(g◦f) = (h◦g)◦f, para todo f ∈Homc(A, B),g ∈Homc(B, C) y

h∈Homc(A, C).

(20)

12 CAP´ITULO 2. GRUPOIDES Y ACCIONES PARCIALES

(ii) Para cada objeto B de C, existe un morfismo IB :B → B tal que para

cualquier f :A→B, g:B →A;IB◦f =f y g◦IB=g.

(iii) Homc(A, B)∩Homc(A0, B0) =∅siempre que (A, B)6= (A0, B0).

Definici´on 2.2. Un grupoide es una categor´ıa en la cual la clase de los objetos y de los morfismos forman un conjunto y todo morfismo es invertible, es decir, para todof ∈Homc(A, B)existeg∈Homc(B, A)tal que:

iv) f ◦g=IB y g◦f =IA.

Ahora damos la definici´on algebraica de Grupoide.

Definici´on 2.3. Sea G un conjunto no vac´ıo con una operaci´on binaria defi-nida parcialmente, que ser´a denotada por la concatenaci´on. Dados g, g0, h∈G escribimos ∃gh siempre que el producto est´e definido. Un elemento e ∈ G es llamado una identidad si ∃eg implica que eg = g y ∃g0e implica g0e = g0. El conjunto de las identidades deGser´a denotado porG0. El conjuntoGse llama

ungrupoidesi los axiomas usuales de grupo valen cuando estos tengan sentido, es decir:

(a) Para todog, h, l∈G,∃g(hl)si y solo si∃(gh)ly, en este caso son iguales. (b) Para todog, h, l∈G,∃g(hl)si y solo si∃gh y∃hl.

(c) Para cadag∈G, existen ´unicos elementosd(g), r(g)∈G, tales que∃gd(g) y ∃r(g)g ygd(g) =g=r(g)g.

(d) Para cada g ∈ G, existe un elemento g−1 G tal que d(g) = g−1g y

r(g) =gg−1.

Denotaremos por G2 al subconjunto de los pares (g, h) G×G tal que

d(g) =r(h).

Se puede presentar otra definici´on de elemento identidad de la siguiente forma.

Definici´on 2.4. Un elemento e ∈ G es llamado elemento identidad de G, si e=d(g) =r(g−1), para alg´ungG.

En este casoees llamado dominio de identidad deg, y el rango de identidad de g−1. Para cualquier e G

0, tenemos que d(e) = r(e) = e, e−1 = e, y

denotaremos por Ge a todos los elementos g ∈ G tal que d(g) = r(g) = e. ClaramenteGees el grupo estabilizador o principal asociado ae.

Lema 2.5. SeaGun grupoide. Entonces para todog, h∈Gtenemos:

(i) El elemento g−1 es ´unico y (g−1)−1=g.

(21)

2.1. DEFINICI ´ON DE GRUPOIDES 13

Demostraci´on. (i) Seanx, y, z∈Gtales que

r(y) =d(x) =yx=zx=r(z), r(x) =d(y) =xy=xz=d(z).

De donde

y=yd(y) =y(xy) = (yx)y=r(y)y=r(z)y= (zx)y

=z(xy) =zd(y) =zd(z) =z.

A dicho elemento y se nota comox−1 por la unicidad. La igualdad sigue de la

unicidad del inverso.

(ii) Supongamos que∃gh en G. Por (c) de la Definici´on 2.3, tenemos que

∃gd(g),∃r(h)hygd(g) =g y r(h)h=h. Adem´as, por (a) de la Definici´on 2.3 se tiene quegh= (gd(g))(r(h)h) =g(d(g)r(h))h.

Por tanto,∃d(g)r(h) por (a) de la Definici´on 2.3. Y como d(g) y r(h) son identidades, entoncesd(g) =d(g)r(h) =r(h).

Rec´ıprocamente, sid(g) =r(h) entoncesgr(h) =g(hh−1) existen, luego por

(b) de la Definici´on 2.3 se tiene que∃gh.

Ahora veamos que d(gh) = d(h) y r(gh) = r(g). Tomemos g = gd(g) y

r(h)h=hy veamos qued(h) yr(g) satisfacen el axioma (c) de la definici´on 2.3. En efecto, (gh)d(h) =g(hd(h)) =ghlo que implica qued(gh) =d(h). Adem´as,

r(g)(gh) = (r(g)g)h=gh. Esto implica quer(gh) =r(g).

(iii) Por (i) tenemos que∃gh si y solo sid(g) =r(h). Comod(g) =g−1g=

g−1(g−1)−1=r(g−1) y an´alogamenter(h) =d(h−1), entoncesd(h−1) =r(g−1). Es decir,∃h−1g−1. Adem´as,

gh(h−1g−1) =g(hh−1)g−1 =gr(h)g−1 =gd(g)g−1 =gg−1 =r(g) =r(gh) y (h−1g−1)gh=h−1(g−1g)h=h−1d(g)h=h−1r(h)h=h−1h=d(h) =d(gh).

Por tanto, por la unicidad del elemento inverso se tiene que (gh)−1=h−1g−1.

Proposici´on 2.6. La definici´on de elemento identidad dada en la Definici´on 2.3 es equivalente a la dada en la Definici´on 2.4.

Demostraci´on. ←) : Supongamos que e = d(g) es una identidad para alg´un

g ∈ G. Adem´as, supongamos que ∃gd(g) y ∃r(g−1)g−1, por axioma (c) de la

Definici´on 2.3 se tiene quegd(g) =g yr(g−1)g−1=g−1.

→) : Supongamos que∃ex. As´ı, por Lema 2.5 tenemos qued(e) =r(x). De donde,

e=ed(e) =er(x) =e(xx−1) = (ex)x−1=xx−1=r(x) =d(x−1).

Por tanto,ees elemento identidad deG.

(22)

14 CAP´ITULO 2. GRUPOIDES Y ACCIONES PARCIALES

Demostraci´on. Sea G un grupoide seg´un la Definici´on 2.2 y consideremos el conjunto de todos los morfismos de X en Y, esto es, HomG(X, Y). Entonces la composici´on se convierte en una operaci´on definida parcialmente, porquef :

X → Y ∈ HomG(X, Y) y g : U → V ∈ HomG(U, V) entonces f ◦g est´a definida si y solamente siY =U. Los objetos de Gson identificados como las identidades. Naturalmente (i)⇒(a), (ii)⇒(c) y (iv)⇒(d).

Rec´ıprocamente, seaGun grupoide seg´un la Definici´on 2.3. Consideremos los objetos deGdesde el punto de vista categ´orico son precisamente las identidades de G. Dadas dos identidadese, f el conjunto de morfismos dee en f es dado por

HomG(e, f) ={g∈G|r(g) =f ∧d(g) =e}.

Esto es, el conjunto de todos los elementos g ∈ G tales que existe f ge. Entonces, dadoe, f, f0∈G0 definimos:

HomG(e, f)×HomG(f, f0)→HomG(e, f0) (g, h)→hg.

Note que est´a operaci´on est´a bien definida, porqued(h) =f =r(g),d(hg) =

d(g) =eyr(hg) =r(h) =f0. Para cadae∈ObjG tenemos quee∈HomG(e, e) es tal queeg=g=ge, para todog∈HomG(e, e), y as´ıe=Ie. Naturalmente, (a)⇒(i), (c)⇒(ii), (d)→(vi) y las identidades implican (iii). Por tanto, las dos definiciones son equivalentes.

Ejemplo 2.8. G={d(g), r(g), g, g−1}es un grupoide.

Para mostrar queGes un grupoide basta probar las condicionesc) yd) de la Definici´on 2.3. Sea d(g) ∈ G, entonces existen ´unicos elementos d(d(g)) =

d(g) ∈G y r(d(g)) =d(g)∈ G, tales que gd(d(g)) = gd(g) = g y r(d(g))g =

r(r(g))g=r(g)g=g.

Sea r(g) ∈ G, entonces existen ´unicos elementos d(r(g)) = r(g) ∈ G y

r(r(g)) = r(g) ∈ G, tales que gd(r(g)) = gd(d(g)) = gd(g) = g y r(r(g))g =

r(g)g=g.

Sea g ∈ G, entonces existen ´unicos elementos d(g), r(g) que satisfacen la condici´onc).

Sea g−1 ∈ G, entonces existen ´unicos elementos d(g−1) = r(g) ∈ G y

r(g−1) = d(g) ∈ G tales que g−1d(g−1) = g−1r(g) = g−1 y r(g−1)g−1 =

d(g)g−1=g−1

Ahora mostremos queGcumple la propiedadd) de la Definici´on 2.3. Sea d(g) ∈ G, entonces existe un elemento d(g−1) = r(g) G tal que

(23)

2.1. DEFINICI ´ON DE GRUPOIDES 15

Sea r(g) ∈ G, entonces existe un elemento r(g−1) = d(g) G tal que

d(r(g)) =d(d(g)) =d(g) =g−1g yr(r(g)) =r(g) =gg−1.

Para finalizar se ve claramente queg ∈Gsatisface la condici´on. Ahora sea

g−1G, entonces existe un elemento (g−1)−1=gGtal que:

d(g−1) = (g−1)−1g−1 r(g) = gg−1 y r(g−1) = g−1(g−1)−1 d(g) =

g−1g.

As´ı queda demostrado queGes un grupoide.

Proposici´on 2.9. SeanG, G0 dos grupoides. Entonces su producto cartesiano

G=G×G0 es un grupoide.

Demostraci´on. En primer lugar definamos en G la operaci´on binaria parcial-mente definida por concatenaci´on.

∃(g, g0)(h, h0)↔ ∃gh∧ ∃g0h0∧(g, g0)(h, h0) = (gh, g0h0).

este producto existe ya quegh∈Gyg0h0∈G0existen. Ahora vamos a demostrar las cuatro propiedades de la definici´on de grupoide.

(a) Para todo (g, g0),(h, h0),(l, l0)∈G, se tiene que: (g, g0)[(h, h0)(l, l0)] = (g, g0)(hl, h0l0)

= (g(hl), g0(h0l0)) = ((gh)l,(g0h0)l0) = (gh, g0h0)(l, l0) = [(g, g0)(h, h0)](l, l0)

Estos productos existen y adem´as son iguales ya queg(hl)∈Gyg0(h0l0)∈

G0.

(b) Para todo (g, g0),(h, h0),(l, l0)∈G, se tiene que:

(g, g0)[(h, h0)(l, l0)] = (g, g0)(hl, h0l0) = (g(hl), g0(h0l0))

pero comog(hl)∈ G, entonces existen gh yhl, de igual manera existen

g0h0 yh0l0 ya queg0(h0l0)∈G0. Por otro lado

(g, g0)(h, h0) = (gh, hl) y (h, h0)(l, l0) = (hl, h0l0).

As´ı (g, g0)[(h, h0)(l, l0)], si y s´olo si (g, g0)(h, h0) y (h, h0)(l, l0) existen. (c) Para cada (g, g0) ∈ G, existen ´unicos elementos d(g, g0), r(g, g0) ∈ G,

entonces claramented(g, g0) = (d(g), d(g0)) y r(g, g0) = (r(g), r(g0)). As´ı (g, g0)d(g, g0) = (g, g0)(d(g), d(g0))

(24)

16 CAP´ITULO 2. GRUPOIDES Y ACCIONES PARCIALES

r(g, g0)(g, g0) = (r(g), r(g0))(g, g0) = (r(g)g, r(g0)g0) = (g, g0).

(d) Para cada (g, g0)∈ G, existe un ´unico elemento (g, g0)−1 ∈ G, entonces claramente (g, g0)−1= (g−1, g0−1). As´ı

d(g, g0) = (d(g), d(g0)) = (g−1g, g0−1g0) = (g−1, g0−1)(g, g0) = (g, g0)−1(g, g0).

r(g, g0) = (r(g), r(g0)) = (gg−1, g0g0−1) = (g, g0)(g−1, g0−1) = (g, g0)(g, g0)−1.

As´ı queda demostrado queGes un grupoide.

2.2.

Acci´

on Parcial de Grupoides

En esta secci´on se introduce la noci´on de acci´on parcial de un grupoide sobre un anillo conmutativo y una caracterizaci´on para que esta sea global.

Definici´on 2.10. Una acci´on parcialαdel grupoideGen el anilloR es un par

α= ({Dg}g∈G,{αg}g∈G).

Donde para cada g∈G,Dr(g)es un ideal deR y Dg es un ideal deDr(g)y

αg :Dg−1 →Dg es un isomorfismo de anillos, y las siguientes condiciones se

cumplen:

(i) αe es la aplicacion identidadIDe deDe,

(ii) αh−1(Dg−1∩Dh)⊂D(gh)−1,

(iii) αg(αh(x)) =αgh(x), para cadax∈αh−1(Dg−1∩Dh).

Para todo e∈G0 y(g, h)∈G2.

Definici´on 2.11. SeaGun grupoide yAun anillo. Decimos queαes global si αg◦αh=αgh para todo(g, h)∈G2.

Lema 2.12. Sea α= ({Dg}g∈G,{αg}g∈G) una acci´on parcial del grupoide G

(25)

2.2. ACCI ´ON PARCIAL DE GRUPOIDES 17

(i) αes global si y solo siDg=Dr(g), para todo g∈G.

(ii) αg−1=αg−1, para todog∈G.

(iii) αg (Dg−1∩Dh)=Dg∩Dgh, para todo(g, h)∈G2.

Demostraci´on. (i) Supongamos que α es una acci´on global. Entonces αg = (Dg−1∩Dh) = ran(αgαh) =ran(αgh) =Dgh, para todo (g, h)∈ G2. Ahora,

Dr(g)=Dgg−1=αg(Dg−1∩Dg−1) =αg(Dg−1) =Dg, para todog∈G. Rec´ıprocamente, asumamos queDg =Dr(g) para todog∈G. Entonces

dom(αgαh) =αh−1(Dg−1∩Dh) =αh−1(Dd(g)∩Dr(h))

=αh−1(Dr(h)∩Dr(h))

=αh−1(Dr(h))

=αh−1(Dh) =Dh−1

=Dd(h)

=Dd(gh)

=D(gh)−1

=dom(αgh). Para todo (g, h)∈G2. As´ıα

gαh=αgh, y por tantoαes global. (ii) Note queα−1

g :Dg →Dg−1 yαg−1 :Dg→Dg−1, as´ıαg−1 yαg−1 tienen

el mismo dominio y codominio. Adem´as, parax∈α−h1(Dg−1∩Dh)⊆D(gh)−1

se tiene:

de (iii) en la Definici´on 2.10 conhigual ag−1,

αg(αg−1(x)) =αgg−1(x),

αg(αg−1(x)) =αr(g)(x),

αg(αg−1(x))) =x.

Ahora tomandog comog−1, yhcomog,

α−g1(αg(x)) =αg−1g(x),

α−g1(αg(x)) =αd(g)(x),

α−g1(αg(x)) =x.

Como la inversa deαh es ´unica, tenemos queα−h1=αh−1.

(iii) Sea (g, h) ∈ G2. Entonces, d(g) =r(h) y por parte (i) del Lema 2.5

tenemos que d(gh) = d(h) =r(h). Esto quiere decir que (gh, h−1) G2. As´ı,

por la condici´on (iii) de la Definici´on 2.10 tenemos que:

αgh(αh−1(Dh∩Dg−1))⊆αgh(D(gh)−1)

αgαh(αh−1(Dh∩Dg−1))⊆Dgh

(26)

18 CAP´ITULO 2. GRUPOIDES Y ACCIONES PARCIALES

Por otra parte, note que Dg−1 ∩Dh ⊆ Dg−1. De donde, αg(Dg−1 ∩Dh) ⊆

αg(Dg−1) =Dg. As´ı,αg(Dg−1∩Dh)⊆Dg∩Dgh.

Para la inclusi´on opuesta, por (ii),(iii) de la Definici´on 2.10 se tiene que:

αh(D(gh)−1∩Dh−1)⊆D(gr(h))−1∩Dh=D(gd(g))−1∩Dh=Dg−1∩Dh. De donde, aplicandoαh−1 en la inclusi´on anterior, obtenemos por (ii)

D(gh)−1∩Dh−1 ⊆αh−1(Dg−1∩Dh).

Ya que (g, h)∈G2si y solo si (h−1, g−1)G2, es suficiente reemplazargporh−1

yhporg−1en la inclusi´on anterior, obtenemosD

g∩Dgh⊆αg(Dg−1∩Dh).

A continuaci´on se muestran algunos ejemplos de acciones parciales de gru-poides sobre anillos por restricci´on de acciones globales.

Ejemplo 2.13. Sea α una acci´on parcial del grupoide G sobre el anillo R, consideremos una acci´on globalβ = ({Eg}g∈G,{βg}g∈G)de un grupoideGsobre

un anilloT y, para cadae∈G0, seaDeun ideal deEe. Adem´as, definamosDe=

I∩Ee, dondeI es un ideal cualquiera deT. Entonces,Dg=Dr(g)∩βg(Dd(g))

es un ideal de Dr(g), donde Dg es un ideal de Dr(g) y βg(Dd(g)) es un ideal

de T y α = βg|Dg−1 es un isomorfismo de anillos, para todo g ∈ G. Ahora,

tomemos R = Q

e∈G0De y, para cada e ∈G0, sea ιe : De → R la aplicaci´on

denotada porιe(x) = (xι)ι∈G0, con xe=xy xι = 0 para cada ι6=e. Tomemos

ιg=ιr(g)|Dg,D

0

g=ιg(Dg)yα0g=ιgαgι−g−11 :Dg0−1→D0g, es inmediato verificar

queα0({Dg0}g∈G,{αg0}g∈G)es una acci´on parcial de GsobreR, ya queα0e es la

aplicaci´on identidad ID0

e deD

0 e,

(ιeαeι−e1)(ιe(x)) = (ιeαe)(ι−e1◦ιe(x)) = (ιeαe)(x)

=ιe(αe(x)) =ιe(x),

para todo x∈De. As´ı, se satisface la condici´on (i) de la definici´on de acci´on

parcial. Para la condici´on (ii) tenemos quedom(α0gα0h) = (α0h)−1(D0

g−1∩Dh0),

pero dom(α0gα0h)⊆dom(α0gh) =D(gh)−1, luego (α0h)−1(Dg0−1∩D0h)⊆D(gh)−1.

Por ´ultimo, la condici´on (iii)se tiene de inmediato gracias a la condici´on(ii). As´ı, α es una acci´on parcial de G sobre R. Si, en particular, cada De con

e ∈ G0 es de la forma De = I∩Ee para alg´un ideal I de T, entonces α = ({Dg}g∈G,{αg}g∈G)es una acci´on parcial de G sobre I. Diremos que α0 es la

restricci´on deβ aR yαes la restricci´on deβ aI.

2.3.

Acci´

on Envolvente o Globalizaci´

on

(27)

2.3. ACCI ´ON ENVOLVENTE O GLOBALIZACI ´ON 19

Definici´on 2.14. Una acci´on global β = ({Eg}g∈G,{βg}g∈G) de un grupoide

G en el anillo T se dice una acci´on envolvente o globalizaci´on de una acci´on parcialα= ({Dg}g∈G,{αg}g∈G)deGen el anilloRsi, para cadae∈G0, existe

un monomorfismo de anillos ϕe :De →Ee, tal que se cumplen las siguientes

condiciones:

(i) ϕe(De) es un ideal deEe.

(ii) ϕr(g)(Dg) =ϕr(g)(Dr(g))∩βg(ϕd(g)(Dd(g))).

(iii) βg◦ϕd(g)(a) =ϕr(g)◦αg(a), para cadaa∈Dg−1.

(iv) Eg=Pr(h)=r(g)βh(ϕd(h)(Dd(h))).

Definici´on 2.15. Sea β como en la Definici´on 2.14. Decimos que β es ´unica salvo equivalencias si para cualquier acci´on globalβ0 = ({E0

g}g∈G,{βg0}g∈G)de

Gen el anilloT0, que tambi´en es globalizaci´on deα, y para cadae∈G0, existe

un isomorfismo de anillos Ψe :Ee0 →Ee tal que βg◦Ψd(g)(a) = Ψr(g)◦βg0(a),

para cada a∈Ed0(g).

Teorema 2.16. Seaα= ({Dg}g∈G,{αg}g∈G)una acci´on parcial de un grupoide

Gen el anilloRy supongamos queDees un anillo con unidad para cadae∈G0.

Entonces, αadmite una globalizaci´onβ si y solo si cada idealDg cong∈Ges

un anillo con unidad. Adem´as, siβ existe es ´unico salvo equivalencias.

Demostraci´on. →) Supongamos que β = ({Eg}g∈G,{βg}g∈G) es la globaliza-ci´on de la acci´on parcial α = ({Dg}g∈G,{αg}g∈G) de G en el anillo R, y

ϕe : De → Ee los respectivos monomorfismos de anillo para cada e ∈ G0.

Adem´as, supongamos queDe es un anillo con unidad para cada e∈ G0. As´ı,

ϕr(g)(Dr(g)) es un anillo con unidad yβg(ϕd(g)(Dd(g))) tambi´en lo es. De donde

ϕr(g)(Dr(g))∩βg(ϕd(g)(Dd(g))) es un anillo con unidad y por (ii) de la

defini-ci´on anterior, claramente se tiene queϕr(g)(Dg) es un anillo con unidad. Como

ϕr(g):Dr(g)→Er(g) es un monomorfismo anillos, entonces existeϕ−r(1g) tal que

ϕ−r(1g)(ϕr(g)(Dg)) =Dg. As´ı, hemos probado queDges un anillo con unidad para cadag∈G.

←) Por otro lado asumamos que cadaDg, cong∈Ges un anillo con unidad 1g. As´ı 1g es un idempotente central deR yDg=Dr(g)1g=R1g.

Sea F = F(G, R) el anillo de todas las aplicaciones de G en R. Para ca-da g ∈ G, sean Xg = {h ∈ G | r(h) = r(g)} y Fg = {f ∈ F | f(h) = 0,para todoh /∈Xg}. En primer lugar probemos que Fg es un ideal F. En efecto, sean f, g ∈ Fg y t ∈ F, entonces (f −g)(h) = f(h)−g(h) = 0 y (tf)(h) = t(h)f(h) = t(h)0 = 0 = 0t(h) = f(h)t(h) = (f t)(h). Luego,

f −g, tf ∈ Fg. Adem´as, Fg = Fr(g) ya que Xg = Xr(g). A partir de ahora

denotaremos af(h)∈R porf|h, para todof ∈ F yh∈G.

Parag∈Gyf ∈Fg−1 seaβg:Fg−1 →Fg la aplicaci´on definida por:

βg(f)|h=  

(28)

20 CAP´ITULO 2. GRUPOIDES Y ACCIONES PARCIALES

Note que sih∈Xg, entoncesr(h) =r(g) =d(g−1), y por parte (i) del Lema 2.5 se tiene que el productog−1hexiste y adem´asr(g−1h) =r(g−1). Por tanto,

βg est´a bien definida. Adem´as,βg es un homomorfismo de anillos ya que:

βg(f+f0)|h= (f+f0)(g−1h),

βg(f+f0)|h=f(g−1h) +f0(g−1h),

βg(f+f0)|h=βg(f)|h+βg(f0)|h. Y para el producto se tiene:

βg(f f0)|h= (f f0)(g−1h),

βg(f f0)|h=f(g−1h)f0(g−1h),

βg(f f0)|h=βg(f)|hβg(f0)|h. Adem´as, parag∈G, f∈Fg−1 yh∈Xg−1, se tiene

β−g1◦βg(f)|h=βg(f)|gh=f(g−1(gh)) =f((g−1g)h) =f(d(g)h) =f(r(h)h) =f(h).

Ahora para todof ∈Fg yh∈Xg, se tiene

βg◦βg−1(f)|hg−1(f)|g−1h=f((g−1)−1(g−1h))

=f(g(g−1h) =f((gg−1)h) =f(r(g)h) =f(r(h)h) =f(h).

As´ı,βg es un isomorfismo de anillos.

Note queβe=IFe, para todoe∈G0y se tiene queβgh(f)|l=f((gh)

−1l) =

f((h−1g−1)l) = f(h−1(g−1l)) = βh(f)|g−1l = βg ◦ βh(f)|l, para todo f ∈

Fh−1, l ∈ Xg y (g, h) ∈ G2. De aqu´ı, β = ({Fg}g∈G,{βg}g∈G) es una acci´on global deGsobreF.

Ahora, para cada e∈G0, se defineϕe:De→Fedada por

ϕe(a)|h=  

αh−1(a1h), sir(h) =e

0, sir(h)6=e,

para todo a∈De y h∈ G. De donde ϕe(a)|e=αe(a1e) =αe(a) =a. As´ı,

ϕees un monomorfismo de anillos, para todoe∈G0.

Sea Eg el subanillo de Fg generado por Sr(h)=r(g)βh(ϕd(h)(Dd(h))), para

todo g ∈ G. Note que ϕd(g)(Dd(g)) ⊆ Ed(g). Sea T = Qe∈G0Ee y, para

ca-da e ∈ G0, sea ιe : Ee → T una aplicaci´on inyectiva que est´a dada por

ιe(x) = (xl)l∈G0, con xe = x y xl = 0 para todo l 6= e. Por conveniencia

de notaci´on, identificaremos Ee con le(Eg) y ϕe con le◦ϕe, as´ı como tambi´en denotaremos por el mismoβg, el isomorfismo de anillos dado por la composici´on

lr(g)◦βg|Eg−1 ◦l

−1

(29)

2.3. ACCI ´ON ENVOLVENTE O GLOBALIZACI ´ON 21

β = ({Eg}g∈G,{βg}g∈G) es una acci´on global deGsobreT. Ahora resta mostrar que β es una globalizaci´on de α. Comencemos revisando la propiedad (iii) de la definici´on de globalizaci´on, esto es

βg◦ϕd(g)(a) =ϕr(g)◦αg(a), para cada a∈Dg−1.

Consideremosg∈G, a∈Dg−1 yh∈G. Entonces existen dos posibilidades:

Caso 1. Si r(h) = r(g), ϕr(g)(α(a))|h =ϕr(h)(α(a))|h = αh−1(αg(a)1h) y

βg(ϕd(g)(a))|h = ϕd(g)(a)|g−1h = α−g−11h(a1g−1h) = αh−1g(a1g−1h). Sin

embar-go por (iii) del Lema 2.12 tenemos, αh−1g(a1g−1h) ∈αh−1g(Dg−1 ∩Dg−1h)⊂

D(gg−1h)−1 = Dh−1gg−1 = Dh−1r(g) = Dh−1r(h) = Dh−1d(h−1) = Dh−1. As´ı

αh−1g(a1g−1h)∈αh−1g(Dg−1∩Dg−1h)⊂Dh−1yαh−1g(1g−11g−1h) = 1h−11h−1g. Ya que a1g−11g−1h∈Dg−1∩Dg−1h, de esto resulta que

βg(ϕd(g)(a))|h=αh−1g(a1g−1h) =αh−1g(a1g−1h)1h−1

=αh−1g(a1g−1h)1h−11h−1gh−1g(a1g−1hh−1g(1g−11g−1h)

=αh−1g(a1g−1h1g−1) =αh−1(αg(a1g−1h1g−1))

=αh−1(αg(a1g−1)αg(1g−11g−1h)) =αh−1(αg(a1h) =ϕr(g)(αg(a))|h.

Caso 2. Si r(h) 6= r(g). En este caso tenemos que ϕr(g)(αg(a))|h = 0 =

βg(ϕd(g)(a))|h. El siguiente paso es mostrar que la siguiente igualdad se tiene

ϕr(g)(Dg) =ϕr(g)(Dr(g))∩βg(ϕd(g)(Dd(g))).

Dados g ∈ G y c ∈ ϕr(g)(Dr(g))∩βg(ϕd(g)(Dd(g))), entonces existe un a ∈

Dr(g) y b ∈ Dd(g) tal que c = ϕr(g)(a) = βg(ϕd(g)(b)). As´ı, se tiene que a =

a1r(g) = αr(g)(a1r(g)) = αr(g)−1(a1r(g)) = ϕr(g)(a)|r(g) = βg(ϕd(g)(b))|r(g) =

ϕd(g)(b)|g−1r(g)d(g)(b)|g−1d(g−1)d(g)(b)|g−1 =αg(b1g−1) ∈Dg, y por lo tanto c=ϕr(g)∈ϕr(g)(Dg). Ahora demostremos la otra inclusi´on, sic∈ϕr(g)

entonces c = ϕr(g)(a), para alg´un a ∈ Dg. Tomando b = αg−1(a) ∈ Dg−1,

tenemos βg(ϕd(g)(b)) = ϕr(g)(αg(b)) = ϕr(g)(a). Entonces c ∈ ϕr(g)(Dr(g))∩

βg(ϕd(g)(Dr(g−1))) =ϕr(g)(Dr(g))∩βg(ϕd(g)(Dd(g))).

Por lo tanto se cumplen las condiciones (ii) y (iii) de la definici´on de glo-balizaci´on. Resta probar que ϕe(De) es un ideal deEe para todoe∈G0. Para

probar esto es suficiente verificar queϕe(b)βh(ϕd(h)(a)) yβh(ϕd(h)(a))ϕe(b) son elementos de ϕe(De), para todo h∈ Xe, a∈ Dd(h) y b ∈ De. Dadol ∈ G, se tienen dos posibilidades a considerar. En primer lugar,r(l) =r(h) =e. Ya que

αh(a1h−1)b∈De, obtenemos

(30)

22 CAP´ITULO 2. GRUPOIDES Y ACCIONES PARCIALES

Ahora, sib(αh(a1h−1)), obtenemos

ϕe(b)βh(ϕd(h)(a))|l= (ϕe(b)|l)(ϕd(h)(a)|h−1l) =αl−1(b1l)α(h−1l)−1(a1h−1l))

=αl−1(b1l)αl−1h(a1h−1l) =αl−1(b1l)αl−1αh(a1h−1l)

=αl−1(b1lh(a1h−1))) =ϕe((b)(αh(a1h−1)))|l.

En segundo lugar,r(l)6=r(h) =ey entonces

βh(ϕd(h)(a))ϕe(b)|l= 0 =ϕe(αh(a1h−1)b)|l.

Luego, βh(ϕd(h)(a))ϕe(b) = ϕe(αh(a1h−1)b) ∈ ϕe(De) y ϕe(b)βhd(h)(a)) =

ϕe((b)αh(a1h−1))∈ϕe(De). As´ı, queda demostrada la propiedad (i) de la

defi-nici´on de globalizaci´on.

Para finalizar la prueba se requiere mostrar la unicidad (salvo equivalencias) de la globalizaci´onβ deα. Note queEg=Pr(h)=r(g)βh(ϕd(h)(Dd(h))), para

ca-dag∈G. Esta es una consecuencia inmediata del hecho que cadaϕd(h)(Dd(h))

es un ideal deEd(h). Con esto queda probada la condici´on (iv) de la definici´on

de globalizaci´on. En concluci´onβ es una globalizaci´on deα.

Ahora, supongamos que β0 = ({Eg0}g∈G,{β0g}g∈G) es una acci´on global de

G sobre un anillo T0 y tambi´en una globalizaci´on de α. Entonces, para cada

e∈ G0, existe un monomorfismo de anillos ϕ0e :De →Ee0 el cual satisface las condiciones (i)−(iv) de la definici´on de globalizaci´on.

Para cada e∈G0, consideremos la aplicaci´onηe:Ee0 →Eedada por X

l≤i≤n

β0hi(ϕ

0

d(hi)(ai))7→

X

l≤i≤n

βhi(ϕd(hi)(ai)),

con hi∈Xe yai ∈Dd(hi), para todol ≤i≤n. Primero que todo vamos a

mostrar queηeest´a bien definida. Supongamos queP

l≤i≤nβ 0 hi(ϕ

0

d(hi)(ai)) = 0. Para todol∈Xe, cond(l) =e,

y r ∈ Dd(l), luego tenemos que Pl≤i≤nβ 0 hi(ϕ

0

d(hi)(ai))β

0 l(ϕ

0

d(l)(r)) = 0.

Apli-cando βl0−1 tenemos que

P

l≤i≤nβl0−1hi(ϕ0d(hi)(ai))ϕ

0

d(l)(r) = 0. Ahora, note

que ϕ0d(h

i)(Dd(hi)) es un ideal de E

0

d(hi) y como d(l

−1h

i) = d(hi) se tiene que ϕ0d(h

i)(Dd(hi)) =ϕ

0

d(l−1hi)(Dd(l−1hi)). Adem´as, der(l−1hi) =r(l−1) y que

E0

h−i1l=E 0

r(h−i1l)=E

0

r(h−i1)=E

0

d(hi)se tiene que

βl0−1h

i(E

0

d(hi)) =β

0 l−1h

i(E

0 d(l−1h

i)) =β

0 l−1h

i(E

0

r(hil−1)) =β

0 l−1h

i(E

0 h−i1l) =El0−1h

i =E

0 r(l−1h

i) =E

0 r(l−1).

As´ı,βl0−1hi(ϕ0d(l−1hi)(Dd(l−1hi))) es un ideal de Er0(l−1).

Note queβl0−1h

i(ϕ

0

d(hi)(ai))ϕ

0

d(l)(r) es un elemento del ideal

βl0−1hi(ϕ0d(l−1hi)(Dl−1h

i))∩ϕ

0

(31)

2.3. ACCI ´ON ENVOLVENTE O GLOBALIZACI ´ON 23

Ahora, usando la condici´on (ii) de la definici´on de globalizaci´on se tiene que

βl0−1hi(ϕ0d(l−1hi)(Dd(hi)))∩ϕ

0

d(l)(Dd(l)) =

l0−1h

i(ϕ

0 d(l−1h

i)(Dd(l−1hi)))∩ϕ

0

d(h−i1l)(Dd(h−1

i l))

l0−1hi(ϕ0d(l−1hi)(Dd(l−1hi)))∩ϕ0r(l−1hi)(Dr(l−1hi))

=ϕ0r(l−1h

i)(Dl−1hi)

=ϕ0r(l−1hi)(Dr(l−1h

i)1l−1hi)

=ϕ0d(l)(Dd(l)1l−1hi)

=ϕ0d(l)(Dd(l))ϕ0d(l)(1l−1hi).

As´ı, el elemento identidad de este ideal esϕ0d(l)(1l−1hi). Por lo tanto, usando la

condici´on (iii) de la definici´on de globalizaci´on tenemos

β0l−1h

i(ϕ

0

d(hi)(ai))ϕ

0

d(l)(r) =β

0 l−1h

i(ϕ

0

d(hi)(ai))ϕ

0

d(l)(1l−1hi)ϕ0d(l)(r)

l0−1h

i(ϕ

0

d(hi)(ai))ϕ

0

d(l)(αl−1h

i(1h−i1l))ϕ 0 d(l)(r)

l0−1hi(ϕ0d(hi)(ai))ϕ0r(l−1hi)(αl−1hi(1h−1

i l))ϕ

0 d(l)(r)

l0−1hi(ϕ0d(hi)(ai))β

0

l−1hi(ϕ0d(l−1hi)(1h−1

i l

))ϕ0d(l)(r) =βl0−1h

i(ϕ

0

d(hi)(ai))β

0 l−1h

i(ϕ

0

d(hi)(1h−i1l))ϕ

0 d(l)(r)

l0−1hid0(hi)(ai1h−1

i l

))ϕ0d(l)(r) =ϕ0r(l−1hi)(αl−1hi(ai1h−1l))ϕ

0 d(l)(r)

=ϕ0d(l)(αl−1h

i(ai1h−1l)r).

De manera similar se prueba que

βl−1h

i(ϕd(hi)(ai))ϕd(l)(r) =ϕd(l)(αl−1hi(ai1h−1l)r).

Luego,

0 = X l≤i≤n

β0l−1hi(ϕd0(hi)(ai))ϕ

0

d(l)(r) =

X

l≤i≤n

ϕ0d(l)(αl−1h

i(ai1h−1l)r).

Ahora, como ϕ0d(l)(P

l≤i≤n(αl−1h

i(ai1h−1l)r) = 0 y ϕ

0

d(l) es un monomorfismo

de anillos, resulta queP

l≤i≤nαl−1hi(ai1h−1l)r= 0. Por lo tanto,

0 = X l≤i≤n

ϕd(l)(αl−1h

i(ai1h−i1l)r) = X

l≤i≤n

βl−1h

i(ϕd(hi)(ai))ϕd(l)(r).

Aplicandoβl, se tiene X

l≤i≤n

(32)

24 CAP´ITULO 2. GRUPOIDES Y ACCIONES PARCIALES

De aqu´ı, el elementoP

l≤i≤nβhi(ϕd(hi)(ai)) anula el elementoβl(ϕd(l)(Dd(l))),

para todo l ∈ G con r(l) = e. En particular, P

l≤i≤nβhi(ϕd(hi)(ai)) anula el

idealP

l≤i≤nβhi(ϕd(hi)(Dd(hi))) de Eg, el cual tiene unidad por [Lemma 4.4.,

8]. Entonces,

X

l≤i≤n

βhi(ϕd(hi)(ai)) = 0,

y as´ı ηe es un homomorfismo de anillos bien definido. Realmente ηe es un isomorfismo de anillos cuya inversa est´a dada por P

l≤i≤nβhi(ϕd(hi)(ai)) →

P l≤i≤nβ

0 hi(ϕ

0

d(hi)(ai)), con r(hi) =eyai∈Dd(hi), para todo 1≤i≤n.

Finalmente, para cada u = β0

h(ϕ0d(h)(a)), con r(h) = r(d(g)) = d(g), y

a∈Dd(h) se tiene que:

ηr(g)◦βg0(u) =ηr(g)◦βg0(βh0(ϕ0d(h)(a)))

=ηr(g)◦βgh0 (ϕ 0 d(h)(a))

=ηr(g)(β0gh(ϕ 0

d(h)(a)))

=βgh(ϕd(h)(a)),

βg◦ηd(g)(u) =βg◦ηd(g)(βh0(ϕ0d(h)(a)))

=βg◦ηr(h)(βh0(ϕ 0

d(h)(a)))

=βg◦βh(ϕd(h)(a))

=βgh(ϕd(h)(a)).

As´ı, se completa la demostraci´on.

Ejemplo 2.17. Sea G={d(g), r(g), g, g−1} un grupoide y R=Ke

1⊕Ke2⊕

Ke3, donde K es un anillo con unidad y ei, e2, e3 son pares ortogonales de

idempotentes centrales con suma 1R. Tomemos Dd(g) = Ke1⊕Ke2, Dr(g) =

Dg = Ke3, Dg−1 = Ke1, αd(g) = IDd(g), αr(g) = IDr(g), αg(ae1) = ae3,

αg−1(ae3) = ae1 y note que α = ({Dg}g∈G,{αg}g∈G) es una acci´on parcial

de G en R. Ya que αd(g) = IDd(g), αr(g) = IDr(g) se cumple inmediatemente

la condici´on (i) de la definici´on de acci´on parcial, para la condici´on (ii), con h=g−1se tieneα−1

g−1(Dg−1∩Dg−1) =α−1

g−1(Dg−1) =α−1

g−1(Ke1) =αg−−11(ae1) =

ae3 ⊂Ke3 =Dr(g) =D−r(1g) =D(gg−1)−1 y por ´ultimo para la condici´on(iii)

se tiene αg(αg−1(ae3)) =αg(ae1) =ae3 y αgg−1(ae3) =αr(g)(ae3) =ae3. As´ı

αes una acci´on parcial.

Recordemos que en la demostraci´on del teorema anterior definimos Xg =

{h∈ G| r(h) =r(g)} y Fg ={f ∈ F | f(h) = 0,∀h /∈ Xg}, para el caso del

ejemplo tenemosXg={r(g), g},Xg−1 ={d(g), g−1} y Fg−1'R×R v´ıa

Ψ :Fg−1 →R×R

(33)

2.3. ACCI ´ON ENVOLVENTE O GLOBALIZACI ´ON 25

Note que Ψ est´a bien definida, pu´es f : G→ R lo est´a. Adem´as, Ψ es sobre-yectiva. De hecho, sea (r, r0)∈R×R. Recordemos qued(g)y g−1 son ´unicos,

entonces

f : G→R f : G→R d(g)7→r g−17→r0.

As´ı, existen (d(g), g−1) tal que Ψ(f)(g) = (f(d(g)), f(g−1)) = (r, r0). Ahora, veamos queΨes inyectiva. En efecto, supongamos queΨ(f)(g) = Ψ(f0)(g), en-tonces(f(d(g)), f(g−1)) = (f0(d(g)), f0(g−1)). As´ı,f(d(g)) =f0(d(g)),f(g−1) =

f0(g−1), para todog∈G. Es decir,f =f0.

De manera similar se tiene, Fg'R×Rv´ıaf 7→(f(r(g)), f(g)). Adem´as, para

todo e∈G0

De→ Fe →R×R

a7→ϕe(a)|h7→(a, ϕe(a)|h).

Restringiendo,

De→ϕe(De)→De×ϕe(De).

Ahora, b1g=b, para todo b∈Dr(g) ya que Dg es un ideal de Dr(g), para todo

g∈G. As´ı,

βg−1(b, αg−1(b1g)) = (αg−1(b1g), b)∈ {(a, αg(a1g−1))|a∈Dd(g)}.

Adem´as, Ed(g)=Eg−1 =ϕd(g)(Dd(g))'Dd(g). En efecto, para todoa∈Dd(g)

αd(g)(a) =αd(g)(a1d(g)) =ϕd(g)(a)|d(g).

Por otro lado, comoβg(ϕd(g)(Dd(g)))es un ideal deϕr(g)(Dr(g))y este ´ultimo es

un ideal deR×R, entonces(e3, e1)∈R×R. De donde,βg(ϕd(g)(Dd(g)))(e3, e1)∈

βg(ϕd(g)(Dd(g)))⊆ϕr(g)(Dr(g)). As´ı, βg(ϕd(g)(Dd(g)))(e3, e1)⊆ϕr(g)(Dr(g)).

Ahora, note que ϕr(g)(Dr(g))∩βg(ϕd(g)(Dd(s)))(1R−e3,1R−e1) = {0}. En

efecto, si z ∈ ϕr(g)(Dr(g))∩βg(ϕd(g)(Dd(s)))(1R−e3,1R−e1), entonces z =

ϕr(g)(x);x∈Dr(g) y z=βg(ϕd(g)(y))(1R−e3,1R−e1);y∈Dd(g). As´ı,

ϕr(g)(x) =βg(ϕd(g)(y))(1R−e3,1R−e1). (2.1)

Como x ∈ Dr(g) y y ∈ Dd(g), entonces x = k0e3 y y = k1e1+k2e2. Ahora,

ϕr(g)(k0e3) = αg−1(k0e31g) = k0e1 y βg(ϕd(g)(k1e1+k2e2)) = βg(αg(k1e1+

k2e2)1g−1) = βg(k1e1+k2e2) = k2ee+k1e3. Por lo tanto βg(ϕd(g)(y))(1R−

e3,1R−e1) = (k2e2, k2e2−k1e3), de donde por(1,1)se tiene que(k0e3, k0e1) =

(k2e2, k2e2−k1e3) si y solo sik0=k2= 0y k1= 0. Adem´as, z=k0e1= 0.

Ahora, b ∈ Dr(g) si y s´olo si b = k0e3, y αg−1(b1g) = αg−1(k0e3) = k0e1.

En conclusi´on (b, αg−1(b1g)) = (k0e3, k0e1) y, (k0ee, k0e1)(k2e2, k2e2+ke3) =

(k0k

2e3e2, k0k2e1e2+k0ke1e3) = (0,0). Entonces,(k0e3, k0e1)y(k2e2, k2e2+ke3)

(34)

26 CAP´ITULO 2. GRUPOIDES Y ACCIONES PARCIALES

e2e3+e23) = (e2, e2+e3). As´ı, (e2, e2+e3) es idempotente. Este idempotente

est´a representado pore4. Entonces,

Er(g)=Eg

=ϕr(g)(Dr(g))⊕βg(ϕd(g)(Dd(g)))(1R−e3,1R−e1)

=Dr(g)⊕Ke4.

Por lo tanto, la globalizaci´on de α es la acci´on β = ({Eg}g∈G,{βg}g∈G)de G

sobre T =R⊕Ke4 =Ke1⊕Ke2⊕Ke3⊕Ke4, donde e1, e2, e3, e4 son pares

ortogonales idempotentes centrales con suma 1T,βd(g)=IEd(g), βr(g)=IEr(g),

βg(ae1+be2) =ae3+be4 y βg−1(ae3+be4) =ae1+be2, para todo a, b∈K.

2.4.

Algunas propiedades de acciones parciales

y envolventes

En esta secci´on presentamos algunas propiedades hereditarias de las acciones

α-parciales.

Proposici´on 2.18. SeanRandR0 anillos;G, G0 grupoides y las acciones par-cialesα= ({Dg}g∈G,{αg}g∈G)yα0= ({D0g}g∈G,{α0g0}g0G)deGsobreRyG0

sobre R0 respectivamente. Sean(T, β)y (T0, β0) acciones envolventes de(R, α) y (R0, α0)respectivamente. Entonces,

(i) α⊗α0 = ({Dg⊗Dg00},{αg⊗α0g0 : Dg−1 ⊗D0g0−1 →Dg⊗Dg00 |(g, g0) ∈

G×G0})

es una acci´on parcial de G×G0 sobre R⊗R0 (⊗=⊗R).

(ii) α⊕α0 = ({Dg⊕Dg00},{αg⊕αg00 :Dg−1⊕Dg00−1 →Dg⊕D0g0 |(g, g0)∈G})

es una acci´on parcial de G×G0 sobre R⊕R0.

(iii) (T⊗T0, β⊗β0)es acci´on envolvente de(R⊗R0, α⊗α0). (iv) (T⊕T0, β⊕β0)es acci´on envolvente de(R⊕R0, α⊕α0).

Demostraci´on. (i) Vamos a probar queα⊗α0 es una acci´on parcial deG×G0

sobreR⊗R0. En efecto, para todoe∈G0, e0 ∈G00; (g, h)∈G2 y (g0, h0)∈G02

se tiene:

(a) Note queαe⊗α0e0 :De⊗De00 →De⊗D0e0para todo (e, e0)∈G0×G00es la

aplicaci´on identidad 1De⊗1De00 deDe⊗D

0 e0.

(b)

αh−1⊗α0h0−1(Dg−1⊗Dg00−1∩Dh⊗D0h0) =

=αh−1(Dg−1∩Dh)⊗α0h0−1(Dg00−1∩D0h0)

(35)

2.4. ALGUNAS PROPIEDADES DE ACCIONES PARCIALES Y ENVOLVENTES27

(c) Para todox⊗x0∈αh−1⊗α0h0−1(Dg−1⊗Dg00−1∩Dh⊗D0h0) se tiene que

αg⊗α0g0((αh⊗α0h0)(x⊗x0)) =αg⊗α0g0(αh(x)⊗α0h0(x0))

=αg(αh(x))⊗α0g0(α0h0(x0))

=αgh(x)⊗αg00h0(x0).

As´ıα⊗α0 es una acci´on parcial deG×G0 sobreR⊗R0

(ii) Vamos a probar queα⊕α0 es una acci´on parcial deG×G0 sobreR⊕R0. En efecto, para todoe∈G0, e0 ∈G00y (g, h)∈G2, (g0, h0)∈G02 se tiene:

(a) αe⊕α0e:De⊕De0 →De⊕D0epara todo (e, e0)∈G0×G00es la aplicaci´on

identidad 1De⊕1D0e deDe⊕D

0 e.

(b)

αh−1⊕α0h0−1(Dg−1⊕D0g0−1∩Dh⊕Dh00) =

=αh−1(Dg−1∩Dh)⊕α0h0−1(D0g0−1∩D0h0)

⊆D(gh)−1⊕D(0g0h0)−1.

(c) Para todo (x, x0)∈αh−1⊕α0h0−1(Dg−1⊕Dg00−1∩Dh⊕D0h0) se tiene que

αg⊕α0g0((αh⊕α0h0)(x⊕x0)) =αg⊕α0g0(αh(x)⊕α0h0(x0))

=αg(αh(x))⊕α0g0(α0h0(x0))

=αgh(x)⊕αg00h0(x0).

As´ıα⊕α0 es una acci´on parcial deG×G0 sobreR⊕R0.

Para probar (iii) y (iv) tenemos por hip´otesis que existen monomorfismos de anillosϕe:De→Eeyϕ0e0 :D0e0 →Ee00 para todoe∈G0, e0∈G00que satisface

las siguientes condiciones:

(a) ϕe(De) es un ideal deEeyϕ0e0(D0e0) es un ideal deEe00

(b) ϕr(g)(Dg) =ϕr(g)(Dr(g))∩βg(ϕd(g)(Dd(g))) yϕ0r(h0)(D0h0) =ϕ0r(h0)(Dr0(h0))∩

β0

h0(ϕ0d(h0)(D0d(h0))),

(c) ϕr(g)◦αg(a) = βg◦ϕd(g)(a) para cada a ∈ Dg−1 y ϕ0r(h0)◦α0h0(a0) =

βh00◦ϕ0d(h0)(a0) para cadaa0∈D0g0−1,

(36)

28 CAP´ITULO 2. GRUPOIDES Y ACCIONES PARCIALES

Entonces,

Para (iii),

ϕe⊗ϕ0e0 :De⊗D0e0 →Ee⊗Ee00,

con (e, e0) ∈ G0×G00 es un monomorfismo de anillos tal que satisface las

si-guientes condiciones:

1. ϕe⊗ϕ0e0(De⊗De00) es ideal deEe⊗Ee00, para cada (e, e0)∈G0×G00.

2. Tomando aM =ϕr(g)⊗ϕ0r(g0)(Dg⊗D0g0) para todo (g, g0)∈G×G0,

M =ϕr(g)(Dg)⊗ϕ

0

r(g)(D

0

g0)

= (ϕr(g)(Dr(g))∩βg(ϕd(g)(Dd(g))))⊗(ϕ

0

r(g0)(D0r(g0))∩βg00(ϕ0d(g0)(D0d(g0))))

= [ϕr(g)(Dg)⊗ϕ0r(g0)(Dg00)]∩[βg(ϕd(g)(Dd(g)))⊗β

0

g0(ϕ0d(g0)(D0d(g0)))]

= [ϕr(g)⊗ϕ

0

r(g0)(Dr(g)⊗Dr0(g0))]∩[βg⊗β0g0(ϕd(g)⊗ϕ0d(g0)(Dd(g)⊗Dd0(g0)))].

3. Para todo (g, g0)∈G×G0, x⊗y∈Dg−1⊗Dg00 −1,

[(ϕr(g)⊗ϕ

0

r(g0))◦(αg⊗α

0

g0)](x⊗y) = [(ϕr(g)◦αg)⊗(ϕ

0

r(g0)◦α0g0)](x⊗y)

= [(βg◦ϕd(g))⊗(β

0

g0◦ϕ0d(g0))](x⊗y)

= [(βg⊗β

0

g0)◦(ϕd(g)⊗ϕ

0

d(g0))](x⊗y).

4. Para todo (g, h)∈G2 y (g0, h0)G02 se tiene,

Eg⊗Eg00= (

X

r(h)=r(g)

βh(ϕd(h)(Dd(h))))⊗(

X

r(h0)=r(g0)

βh00(ϕ0d(h0)(Dd0(h0))))

= X

r(h)=r(g)

r(h0)=r(g0)

βh(ϕd(h)(Dd(h)))⊗βh00(ϕ0d(h0)(Dd0(h0)))

= X

r(h)=r(g)

r(h0)=r(g0)

βh⊗β0h0(ϕd(h)⊗ϕ0d(h0)(Dd(h)⊗D0d(h0))).

Por tanto, (T ⊗T0, β⊗β0) es una acci´on envolvente de (R⊗R0, α⊗α0). Para (iv) notemos que

ϕe⊕ϕ0e:De⊕D0e→Ee⊕Ee00,

cone∈G0, e0 ∈G00es un monomorfismo de anillos que satisfacen las siguientes

condiciones:

1. ϕe⊕ϕ0e0(De⊕De00) es un ideal deEe⊕Ee00 para cada (e, e0)∈G0×G00.

2. Tomando a N=ϕr(g)⊕ϕ0r(g0)(Dg⊕D0g0) y para todo (g, g0)∈G×G0, se

tiene

N=ϕr(g)⊕ϕ

0

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