El Dual En Grupos Abelianos Finitos Teorema De Pontryagin

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(1)EL DUAL EN GRUPOS ABELIANOS FINITOS - TEOREMA DE PONTRYAGIN. Erika Johanna Martı́nez Salinas. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ 2015.

(2) EL DUAL EN GRUPOS ABELIANOS FINITOS - TEOREMA DE PONTRYAGIN. Erika Johanna Martı́nez Salinas. Trabajo de Grado Dirigido por: Samuel Barreto Melo. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ 2015.

(3) Dedicado a mi familia..

(4) Agradecimientos La presente monografı́a, es el resultado de mucho esfuerzo y dedicación, este trabajo no hubiese sido posible sin el apoyo incondicional de muchas personas que estuvieron en cada uno de los momentos vividos a lo largo de mi formación académica y personal. Agradezco a toda mi familia; a mi madre Omaira, mi padre Rodrigo, mi hermana Yulieth por estar siempre a mi lado en los buenos y malos momentos. Desde luego, quiero agradecer a todos los profesores, quienes a lo largo de éstos cinco años y medio, aportaron todo su conocimiento para éste gran proyecto de vida, especialmente a mis profesores orientadores: Samuel Barreto Melo por su apoyo incondicional para dirigirme en este trabajo y al profesor Milton Lesmes por su guı́a cuando necesité de ella, esto ha dejado en mi un desarrollo académico y personal muy grande..

(5) Índice general Introducción. III. 1. Preliminares. 1. 1.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2.1. Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2.2. Funcionales Lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 0. 1.3. Espacio Dual X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2. Convolución. 20. 2.1. Producto de dos elementos del Álgebra de Grupo . . . . . . . .. 22. 2.2. Convolución Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 2.3. Álgebra de Grupo L(G). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 3. Dualidad de Grupos abelianos finitos. 33. 3.1. Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.1.1. Operadores de Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.2. Los caracteres en las Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.3. Grupo Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.4. Teorema de Dualidad de Pontryagin para grupos Abelianos finitos 43 3.5. Ejemplos Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Conclusiones. 46 53. i.

(6) Índice de figuras 3.1. Toro de un rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 3.2. Toro continuo de anillos formado a partir de enrollar un rectángulo 50 3.3. Toro finito formado por Z/15Z ≈ Z/3Z ⊕ Z/5Z . . . . . . . . .. 51.

(7) Introducción En la presente monografı́a de grado se hace un primer acercamiento a la teorı́a de la dualidad sobre grupos abelianos finitos, distribuida en 3 capı́tulos: el primero contiene los preliminares sobre el espacio dual desde el punto de vista algebraico es decir en los espacios vectoriales y desde el punto de vista del análisis funcional, en espacios más generales como los espacios normados; se utilizan definiciones, lemas, teoremas, corolarios y una colección amplia de ejemplos para entender el comportamiento del espacio dual y aplicarlo posteriormente sobre grupos. En el segundo capı́tulo se estudia la convolución y se crea el álgebra de grupo de un grupo dado y se hará una descripción detallada de sus elementos, con ejemplos y teoremas que sustentan la teorı́a. En el tercer capı́tulo introducimos el tema de la dualidad de grupos abelianos finitos, dotando al álgebra de grupo vista en el capı́tulo dos, con una estructura de espacio de Hilbert para posteriormente hablar de los caracteres, que serán de gran utilidad en el teorema central, el Teorema de la dualidad para grupos abelianos finitos de Pontryagin al final del último capı́tulo se muestran algunos ejemplos que sustentan la teorı́a estudiada. Los primeros acercamientos a la teorı́a del análisis armónico aparecieron cuando se estudió a fondo la teorı́a de números y la teorı́a de probabilidades a principios del siglo XVIII, quizas antes de que ocurriera la aparición del concepto de grupo. El análisis armónico conmutativo llegó a ser la herramienta más útil para la resolución de problemas de invarianza por traslaciones, luego de la aparición de las series de Fourier y la transformada de Fourier en el siglo XIX. Uno de los principales logros en el estudio de los grupos abelianos es la teorı́a de dualidad de Pontryagin - van Kampen que introduce la estructura de grupo topológico localmente compacto en el grupo formado por los caracteres y perbb de los caracteres de mite un isomorfismo de un grupo abeliano G con el grupo G b su grupo de caracteres G. Este importante resultado ha sido ampliado a varias clases de grupos abelianos y se ha encontrado aplicación en otras áreas de las matemáticas, como la teorı́a de números y el análisis armónico. Su importancia.

(8) INTRODUCCIÓN es la que motiva el presente trabajo.. iv.

(9) Capı́tulo 1 Preliminares En este capı́tulo se introducen conceptos preliminares que nos permiten comprender el concepto de Dual. En el contexto del álgebra lineal todo espacio vectorial V tiene un correspondiente espacio dual V∗ , el cuál consta de todos los funcionales lineales sobre V y que a su vez resulta ser un espacio vectorial, de ahı́ la importancia de la siguiente sección.. 1.1.. Espacios Vectoriales. Los espacios vectoriales juegan un papel muy importante en muchas ramas de las matemáticas y sus aplicaciones; En varios problemas prácticos y teóricos se trabaja con un conjunto V cuyos elementos quizás son vectores, o sucesiones de números, o funciones, dichos elementos se pueden sumar entre ellos o multiplicar por constantes y su resultado seguirá estando en V. La definición involucra un campo K, para nuestro estudio, K será R o C.. Definición 1.1.1. Sea K un campo dado y V un conjunto no vacı́o de vectores dotado de dos operaciones algebraicas, suma y producto por un escalar que asignan a cada par u, v ∈ V una Suma y a cada u ∈ V y α ∈ K un Producto por escalar.. 1.

(10) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 2 Producto por un escalar. Suma. V × V −→ V. K × V −→ V. (u, v) 7−→ u + v,. (α, u) 7−→ αu.. Entonces V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K si se satisfacen los siguientes axiomas. Para la suma en V: a) Clausurativa: Si u, v ∈ V, entonces u + v ∈ V. b) Asociativa: Para todo u, v y w ∈ V, se tiene, (u+v)+w = u+(v+w). c) Conmutativa: Si u, v ∈ V, entonces u + v = v + u. d) Existencia de un elemento neutro: Existe un vector de V, denotado por 0, tal que para todo u ∈ V, se tiene, u + 0 = 0 + u = u. e) Elemento opuesto: Para todo u ∈ V, existe un único vector −u ∈ V tal que, u + (−u) = 0. Para el producto por escalar de K: f ) Clausurativa: Si u ∈ V y α un escalar en K, entonces αu ∈ V. g) Distributiva respecto a la suma de vectores: Si u, v ∈ V y α es un escalar, entonces α(u + v) = αu + αv. h) Distributiva respecto a la suma de escalares: Si u ∈ V y α, β son escalares, entonces (α + β)u = αu + βu. i) Asociativa respecto a la multiplicación de escalares: Si u ∈ V y α, β son escalares, entonces α(βu) = (αβ)u. j) Existencia del elemento unidad: Para cada vector u ∈ V, entonces 1u = u1 = u. Notemos que los primeros cinco axiomas que son los que dotan a V con una estructura aditiva, pueden resumirse diciendo que V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que el vector cero, 0 es único, que el elemento opuesto −u de u es único y se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, w ∈ V. u+w =v+w. implica. u = v..

(11) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 3. Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la acción del cuerpo K sobre V. Ejemplo 1.1.1 (Espacio Rn ). El conjunto de todas las n − tuplas de números reales, escritos como, x = (γ1 , . . . , γn ), y = (η1 , . . . , ηn ), etc. Éste es un espacio vectorial con dos operaciones algebráicas definidas como. Suma x + y = (γ1 + η1 , . . . , γn ηn ) Producto por escalar αx = (αγ1 , . . . , αγn ),. para α ∈ R. Ejemplo 1.1.2 (Espacio Cn ). Este espacio consta de todas la n − tuplas de números complejos x = (γ1 , . . . , γn ), y = (η1 , . . . , ηn ), etc. Éste es un espacio vectorial con las operaciones algebraicas definidas en el ejemplo (1.1.1), pero ahora α ∈ C. Ejemplo 1.1.3. (Espacio C[a, b].) El conjunto C[a, b] = {f : [a, b] → R : f es continua}, es un espacio vectorial sobre R con operaciones algebraicas definidas ası́,. Suma Sean f, g ∈ C[a, b] y t ∈ [a, b], f + g : [a, b] −→ R t 7−→ (f + g)(t) = f (t) + g(t), Producto por un escalar Sean f ∈ C[a, b] y t ∈ [a, b] αf : [a, b] −→ R t 7−→ (αf )(t) Hay infinidad de ejemplos de espacios vectoriales, para nuestro trabajo en particular estamos interesados en ciertos espacios, como es el caso del espacio de sucesiones de Hilbert `2 , el cual se define como ( ) ∞ X `2 = (ξi )/ξi ∈ C, |ξi |2 < ∞. i=1.

(12) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 4. Éste espacio fue introducido y estudiado por D. Hilbert [8, pág 133]en conexión con las ecucaciones integrales, veamos que éste también satisface, Ejemplo 1.1.4 (Espacio `2 ). El espacio `2 es un espacio vectorial con las operaciones algebraicas definidas con sucesiones, esto es, sean x = (ξi ) ∈ `2 y y = (ηi ) ∈ `2 entonces (ξi + ηi ) ∈ `2 , esto se sigue de la desigualdad de Minkowski [5, p. 119], como veremos. |ξi + ηi | ≤ |ξi | + |ηi | |ξi + ηi |p ≤ (|ξi | + |ηi |)p ≤ (2 máx |ξi |, |ηi |)p ≤ (2 máx |ξi |, |ηi |)p + (2 mı́n |ξi |, |ηi |)p ≤ (2|ξi |)p + (2|ηi |)p = 2p (|ξi |p + |ηi |p ). luego,. 0 ≤ |ξi + ηi |p ≤ 2p (|ξi |p + |ηi |p ). Ası́ x, y ∈ `2 entonces x + y ∈ `2 . Y la suma está definida en `2 . El producto por escalar αx ∈ `2 también se tiene para α ∈ C y x = ξi ∈ `2 .. 1.2.. Espacio Dual. Durante el desarrollo de esta sección comprenderemos el concepto del espacio dual algebraico, para ello necesitamos conceptos del álgebra y del análisis funcional, desde el punto de vista de éste último debemos considerar espacios más generales como los espacios métricos o los espacios normados y en ellos ver sus funciones.. 1.2.1.. Operadores Lineales. Para un estudio más profundo de los espacios vectoriales y, en particular, de los espacios normados, debemos conocer sus funciones, en dichos espacios una función es llamada un operador. Definición 1.2.1 (Operador Lineal). Un operador lineal T es un operador tal que, [8, pág 82]..

(13) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 5. i) El dominio D(T ) de T es un espacio vectorial y el rango <(T ) se encuentra en un espacio vectorial sobre el mismo campo, ii) Para todo x, y ∈ D(T ) y para un escalar k perteneciente al campo K, se tiene, T (x + y) = T (x) + T (x) T (kx) = kT (x) Observese que T es un homomorfismo de un espacio vectorial en otro espacio vectorial,esto es, T preserva las dos operaciones del espacio vectorial. Ejemplo 1.2.1 (Operador Identidad). El operador identidad IX : X → X está definido por IX (x) = x para todo x ∈ X. Ejemplo 1.2.2 (Operador Cero). El operador cero 0 : X → Y está definido por 0(x) = 0 para todo x ∈ X. Ejemplo 1.2.3 (Operador Derivación). Sea X el espacio vectorial de todos los polinomios sobre [a, b]. Podemos definir un operador lineal T sobre X por T (x(t)) = x0 (t). Para cada x(t) ∈ X, donde x0 (t) es la derivada respecto a t. Ejemplo 1.2.4 (Operador Integración). Un operador lineal, T : C[a, b] → C[a, b], puede estar definido por t. Z T x(t) =. x(τ )dτ. para t ∈ [a, b].. a. Definición 1.2.2 (Operador lineal acotado). Sean X y Y espacios normados y T : D(T ) → Y un operador lineal, donde D(T ) ⊂ X. El operador T se dice acotado si existe un número real c tal que para todo x ∈ D(T ), kT (x)k ≤ c kxk . En 1.2.2, la norma del lado izquiero está actuando sobre Y , y la norma del lado derecho, está sobre X..

(14) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 6. Lema 1.2.1. (Norma). Sea T un operador lineal acotado definido como en la definición 1.2.2. Entonces, a) Una fórmula alternativa para la norma de T es kT k = sup kT xk ,. con kxk = 1.. x∈D(T ). b) La expresión, kT xk , x∈D(T ) kxk. kT k = sup. con x 6= 0,. es una norma. Ejemplo 1.2.5 (Matrices). Una matriz real, A = (aij ) con r filas y n columnas, define un operador T : Rn −→ Rr x 7−→ y = A · x, donde x = (δ1 , . . . , δn ) y y = (ξ1 , . . . , ξr ) son vectores columna con n y r componentes, respectivamente, debido a la convención usual de multiplicación de matrices. T es lineal. Aplicando y = Ax, tenemos      δ1 a11 a12 · · · a1n ξ1      ξ2  a21 a22 · · · a2n   δ2   . . .= . .. . . ..    .  .  . . .   ..  .  . ar1 ar2 · · · arn δn ξr En términos de componentes y = Ax se convierte en ξi =. n X. aik δk. con. i = 1, . . . , r.. k=1. Definida ası́ la multiplicación T es lineal porque la multiplicación de matrices es una operación lineal. T es acotado. Recordemos que la norma sobre Rn está dada por, !1/2 n X 2 kxk = δm , m=1. (1.1).

(15) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 7. similarmente se tiene para y ∈ Rr , [1, pág 59]. Puesto que T x = y = ξi , veamos que es acotado, kT xk =. n X. aik δk. k=1. kT xk. 2. =. n X. 2. aik δk. Aplicando la norma (1.1) para T x,. k=1. =. r X. ". n X. i=1. ≤. r X. . n X.  r X. !1/2 |aik |2. k=1. ". i=1. ≤. aik δk. k=1. i=1. ≤. #2. n X. n X. 2. |aik |. k=1. ! 2. |δk |. !1/2 2 |δk |2. . (∗). k=1. !. k=1. n X. n X. !# 2. |δk |. k=1 r X n X. |aik |2. i=1 k=1. Entonces " kT xk ≤ kxk. r X n X. #1/2 |aik |2. i=1 k=1. kT xk ≤ c kxk . Notemos que (∗) se obtiene gracias a la Desigualdad de Cauchy Schwarz. Ver [8, pág 14].. 1.2.2.. Funcionales Lineales.. En el álgebra elemental, un funcional lineal de las coordenadas xi , o de un vector variable ξ = (x1 , . . . , xn ) del espacio vectorial de dimensión finita V = Vn (F ), es una función polinómica de la forma particular, f (ξ) = f (x1 , . . . , xn ) = c1 x1 + . . . + cn xn = x1 c1 , . . . , xn cn .. (1.2). donde los ci son constantes arbitrarias en el campo K, se puede comprobar sin mucha dificultad que tal función satisface, f (ξ + η) = f (ξ) + f (η),.

(16) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 8. f (αξ) = αf (ξ), para cualesquiera ξ, η ∈ V y para cualquier escalar α ∈ K. Las identidades precedentes no dependen de la elección de la base en V y pueden aplicarse a espacios de dimensión infinita. Por lo tanto definiremos un funcional lineal como sigue, Definición 1.2.3. (Funcional Lineal). Un funcional lineal f es una transformación lineal con dominio en un espacio vectorial V y rango en un campo escalar K de V, es decir, f : V → K si para todo ξ, η ∈ V y para todo α ∈ K, se tiene, i) f (ξ + η) = f (ξ) + f (η), ii) f (αξ) = αf (ξ). Observación 1.2.1. Debemos tener presente dos observaciones importantes, 1. Las dos identidades anteriores implican la identidad combinada f (aξ + bη) = af (ξ) + bf (η), para ξ, η ∈ V y a, b ∈ K. 2. Un funcional f es lineal cuando conserva las combinaciones lineales. Ejemplo 1.2.6. Sea f con dominio el espacio vectorial de las matrices cuadradas n × n y rango el campo K, sea A ∈ Mn×n ,esto es f : Mn×n (K) −→ K A = [aij ] 7−→ f (A) = a11 + . . . + ann ; Veamos que satisface las condiciones de la definición, 1. Sean A, B ∈ Mn×n luego A = [aij ] y B = [bij ] con 1 ≤ i, j ≤ n, entonces f (A + B) = [a11 + . . . + ann + b11 + . . . + bnn ] = [a11 + b11 ] + . . . + [ann + bnn ] = f (A) + f (B).

(17) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 9. 2. Sean A ∈ Mn×n y α ∈ K f (αA) = αa11 + . . . + αann = α(a11 + . . . + ann ) = αf (A). Luego f es un funcional lineal. Definición 1.2.4 (Funcional Lineal Acotado). Un funcional lineal acotado f es un operador lineal acotado, ver 1.2.2, con rango en el campo de escalares del espacio normado X en el cual se encuentra el dominio de f . Ası́ existe un número real c tal que para todo x ∈ D(f ), |f (x)| ≤ c kxk . Además, la norma de f es como se ve en 1.2.1, a) |f (x)| x∈D(f ) kxk. kf k = sup. kf k = sup |f (x)| ,. para x 6= 0,. o,. para kxk = 1.. x∈D(f ). Observación 1.2.2. En virtud de (1.2.1), podemos ver la anterior norma ası́, |f (x)| ≤ kf k kxk Ejemplo 1.2.7 (Producto Punto). El producto punto con un factor fijo define un funcional f : R3 → R, tal que para ξ = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 y a = (αj ) ∈ R3 es fijo, se tiene f (ξ) = ξ · a = ξ1 α1 + ξ2 α2 + ξ3 α3 ; f es lineal y f es acotado, en efecto, |f (ξ)| = |ξ · a| ≤ kξk kak . Ası́ que aplicando la definición 1.2.4,b, se tiene kf k ≤ kak para todo kξk = 1. Por otro lado, si tomamos ξ = a usando (1.2.2) obtenemos que |f (a)| kak kak kak2 kf k ≤ = = = kak . kak kak kak Por lo tanto la norma de f es kf k = kak..

(18) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 10. Teorema 1.2.1. Si β1 , . . . , βn es una base del espacio V sobre K, y si c1 , . . . , cn son escalares de K, existe un funcional lineal f sobre V, y sólo una, tal que f (βi ) = ci , i = 1, . . . , n. Éste funcional f está dado por f (x1 β1 + · · · + xn βn ) = x1 c1 + . . . + xn cn Demostración.Ver [2, pág 215].. . Teorema 1.2.2. Sea L(V, K) la colección de todos los funcionales lineales de V sobre K, con las operaciones de suma y producto por escalar, forman un espacio vectorial sobre K. Demostración. Debemos verificar que los axiomas que caracterizan a un espacio vectorial son válidos, para ello se debe definir una adición entre funcionales lineales y una multiplicación por escalar de elementos del campo K por funcionales lineales. Sean f1 y f2 funcionales lineales definidos de V sobre K, sean x, y ∈ V y para todo α ∈ K, definamos las siguientes operaciones, (f1 ⊕ f2 )(x + y) = (f1 ⊕ f2 )(x) + (f1 ⊕ f2 )(y), (f1 ⊕ f2 )(αx) = α((f1 ⊕ f2 )(x)). Como f1 y f2 son funcionales lineales, ellos satisfacen (f1 ⊕ f2 )(x + y) = f1 (x + y) + f2 (x + y) = f1 (x) + f1 (y) + f2 (x) + f2 (y). Por la linealidad def1 yf2. = f1 (x) + f2 (x) + f1 (y) + f2 (y) = (f1 ⊕ f2 )(x) + (f1 ⊕ f2 )(y). Y también (f1 ⊕ f2 )(αx) = f1 (αx) + f2 (αy) = αf1 (x) + αf2 (αy). Por linealidad def1 yf2 ,. = α(f1 (x) + f2 (y)) = α((f1 ⊕ f2 )(x)). Por la definición def1 ⊕ f2 .. Ası́ que f1 ⊕ f2 es un elemento del espacio. Las demás propiedades se tienen, de ésta forma se define la suma para el espacio vectorial. Ahora definamos el producto por escalar para f1 : V → K y α ∈ K, definamos (α · f1 )(x) = αf1 (x)..

(19) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 11. Se verifica facilmente el producto por escalar y de ésta forma hemos demostrado que el conjunto de los funcionales lineales forma un espacio vectorial. Definición 1.2.5 (Espacio Dual.). sea V, en virtud del teorema anterior, un espacio vectorial sobre el campo K. El conjunto de todos los funcionales lineales V sobre K forman un espacio vectorial con las operaciones definidas y se le denomina Espacio Dual de V, denotado por V∗ , V∗ = HomK (V, K) = {f : V → K/f es un funcional lineal} . Ver [9, pág 126]. Definición 1.2.6 (Base Dual.). Sea V un espacio vectorial tal que Dim V = n, con base ξ = (ei )ni=1 . Asociado con ξ podemos definir una base ξ ∗ = (e∗i )ni=1 para V∗ . Para 1 ≤ i ≤ n definimos e∗i : V∗ → K por,  0, si i 6= j ∗ ei (ej ) = 1, si i = j Además si f ∈ V∗ , f puede escribirse de manera única en la forma f=. n X. f (ej )e∗j .. j=1. Veremos que ξ ∗ es una base para V∗ . Nos referimos a ξ ∗ como la base dual de ξ para V. A continuación se demostrará que f definida en la definición 1.2.6, puede escribirse de manera única. Demostración. Sea Dim n = V con base ξ = (ei )ni=1 . Asociado con ξ se tiene una base ξ ∗ = (e∗i )ni=1 para V∗ , donde se define e∗i : V → K, con 1 ≤ i ≤ n,  0, si i 6= j ∗ ei (ej ) = 1, si i = j. Sea f ∈ V∗ , para n escalares cualquiera a1 , a2 , . . . , an la combinación lineal f = a1 e∗1 + a2 e∗2 + . . . + aj e∗j + . . . + an e∗n.

(20) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 12. es un funcional lineal. Su valor para cualquier vector de la base ξ es, f (e1 ) = a1 e∗1 (e1 ) + a2 e∗2 (e1 ) + . . . + aj e∗j (e1 ) + . . . + an e∗n (e1 ) f (e1 ) = a1 · 1 + a2 · 0 + . . . + aj · 0 + . . . + an · 0 f (e1 ) = a1 Ahora para f (e2 ) = a1 e∗1 (e2 ) + a2 e∗2 (e2 ) + . . . + aj e∗j (e2 ) + . . . + an e∗n (e2 ) f (e2 ) = a1 · 0 + a2 · 1 + . . . + aj · 0 + . . . + an · 0 f (e2 ) = a2 .. . f (en ) = a1 e∗1 (en ) + a2 e∗2 (en ) + . . . + aj e∗j (en ) + . . . + an−1 e∗n−1 (en ) + an e∗n (en ) f (en ) = a1 · 0 + a2 · 0 + . . . + aj · 0 + . . . + an−1 · 0 + an · 1 f (en ) = an . Ası́ reemplazando los valores encontrados en f , se tiene f = f (e1 )e∗1 + f (e2 )e∗2 + . . . + f (ej )e∗j + . . . + f (en )e∗n . Luego f=. n X. f (ej )e∗j .. j=1. De aquı́ se deduce que los funcionales e∗1 , . . . , e∗n son linealmente independientes en V∗ , ya que si f = a1 e∗1 + a2 e∗2 + . . . + aj e∗j + . . . + an e∗n = 0, serı́a f (ej ) = ai = 0, lo que implica que a1 = . . . = an = 0. También se deduce que los e∗1 , . . . , e∗n forman una base para V∗ , puesto que cualquier funcional lineal f está determinado por los valores f (ej ) = ai y por ende f será igual a la combinación f=. n X. f (ej )e∗j. j=1. que los tiene por coeficientes. Ası́ la base ξ ∗ de V es la base dual de la base ξ de V. El resultado precedente nos lleva a concluir lo siguiente..

(21) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 13. Teorema 1.2.3 (Dimensión del espacio dual.). Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n y sea ξ = {e1 , . . . , en } una base para V. Entonces ξ = {e∗1 , . . . , e∗n } dada por 1.2.6, es una base para el espacio dual V∗ de V y Dim V∗ = Dim V = n. Demostración. La demostración es la hecha en la definición anterior (1.2.6). Es importante resaltar que la dimensión de un espacio vectorial juega un papel muy importante en la teorı́a, nótese lo siguiente, Nota 1.2.1. Todo espacio vectorial euclı́deo es isomorfo a su espacio dual. Sea V un espacio vectorial euclı́deo con producto interno notado por (η, ξ) para todo η, ξ ∈ V. Entonces existe un isomorfimo T natural o intrı́nseco, entre V y su dual V∗ definido por: T (η) = fη con fη (ξ) = (ξ, η); fη definido de esta forma es lineal ya que, para todo ξ, ζ ∈ V. fη (ξ + ζ) = (ξ + ζ, η) = (ξ, η) + (ζ, η) = fη (ξ) + fη (ζ). Además T es sobreyectiva porque V y V∗ tienen la misma dimensión y también es inyectiva ya que si fη = fµ entonces (ξ, η) = (ξ, µ) para todo ξ ∈ V y por propiedades del producto interno η = µ. Por lo tanto T es un isomorfismo y V es isomorfo a su espacio dual. Nota 1.2.2. El isomorfismo entre V y su espacio dual no siempre existe cuando V tiene dimensión infinita. Tal es el caso del conjunto V formado por todas las sucesiones ξ = (x1 , . . . , xn , . . .) con xn ∈ K que tiene un número finito de elementos finitos distintos de cero; este conjunto se dota de las operaciones suma y multiplicación término a término. Cualquier funcional lineal sobre V se puede expresar de la siguiente forma X f (ξ) = x i ci , con ci ∈ K, de esta forma se tiene que los elementos de V∗ son las sucesiones (ci ). Por lo tanto si K es un campo numerable entonces V es numerable, pero V∗ no lo es, de esta forma V y V∗ no tienen la misma dimensión y por lo tanto no existe un isomorfismo entre ellos..

(22) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 1.3.. 14 0. Espacio Dual X .. A continuación vamos a definir un espacio dual que también está dotado con los funcionales lineales acotados, pero dichos funcionales no viven en un espacio vectorial, viven en un espacio más general, en un espacio normado, [8, pág 0 58-60]. Es importante tener presente quien es X [8, pág 120]. 0. Definición 1.3.1. (Espacio dual X ). Sea X un espacio normado. Entonces el conjunto de todos los funcionales lineales acotados sobre X constituye un espacio normado con norma definida por |f (x)| = sup |f (x)| x∈X x∈X kxk. kf k = sup. para x 6= 0 y kxk = 1, 0. el cual es llamado el espacio dual de X y es denotado por X [8, pág 120]. Un principio fundamental del análisis funcional es comprender espacios que a menudo de combinan con sus espacios duales, por esta razón, vale la pena considerar los espacios más comunes y averiguar a lo que se parecen sus duales; en este contexto el concepto de isomorfimo será útil y motiva la siguiente definición. Definición 1.3.2. Un isomorfismo de un espacio normado X sobre un espae es un operador lineal biyectivo T : X → X e el cual preserva la cio normado X norma, esto es, para todo x ∈ X, kT xk = kxk .. 1.3.1.. Ejemplos. Ejemplo 1.3.1. El dual de Rn es Rn . Demostración. Sea Rn∗ el conjunto de todos los funcionales lineales definidos en Rn con valores en R. Con esta definición el primer paso es probar que Rn∗ es igual al dual de Rn . En efecto, sea f ∈ Rn∗ , es decir, f es un operador lineal definido en Rn con valores en R, ası́ para x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn se tiene f (x) = (α1 x1 + . . . + αn xn ) con αi ∈ R para i = 1, 2, . . . , n. Ahora sean {e1 , . . . , en } la base canónica de Rn y {f1 , . . . , fn } una base para Rn∗ , por lo tanto x ∈ R y f ∈ Rn∗ se pueden escribir de la siguiente forma x = γ1 e1 + . . . + γn en.

(23) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 15. f = β1 f 1 + . . . + βn f n y f (x) = β1 γ1 + . . . + βn γn . Con esto se procede a probar que f es un funcional lineal acotado. Por la desigualdad de Cauchy − Schwarz se tiene |f (x)| ≤. n X. |βi γi |. i=1. ≤. n X. !1 2 |βi |2. i=1. ≤. n X. !1 2 |γi |2. i=1. !1 n X 2 kxk |β1 |2 i=1. por lo tanto kf k ≤. n X. !1 2 |β1 |2 .. i=1. Por otro lado sean x0 = (β1 , . . . , βn ) y x0 β1 βn x1 = = ,..., kx0 k kx0 k kx0 k luego |f (x1 )| ≤ kf k y β12 βn2 f (x1 ) = + ... + kx0 k kx0 k 2 2 β + . . . + βn = 1 kx0 k kx0 k2 = = kx0 k kx0 k por lo tanto kf k ≥ kx0 k =. n X. !1 2 . |βi |2. i=1. De esta forma kf k = k(β1 , . . . , βn )k, es decir, f es acotado, luego como f ∈ Rn∗ es arbitrario se concluye que Rn∗ es igual al dual de Rn ..

(24) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 16. Por último como kf k = k(β1 , . . . , βn ))k se tiene que la función T con dominio en Rn∗ y valores en Rn tal que T (f ) = (β1 , . . . , βn ) es un isomorfismo, por lo tanto Rn es isomorfo al dual de Rn .. . Ejemplo 1.3.2. El dual de `1 es `∞ . 1 Demostración. Sea (ek ) con ek = (δkj )∞ j=1 ∈ ` una base de Schauder, ver [3, pág 88] para `1 , ası́ para todo x ∈ `1 , x tiene una única representación en f , dada por,. x=. n X. ξi ei. i=1 10. Ası́ para f ∈ ` se tiene que f (x) =. n X. ξi f (ei ) =. i=1. n X. ξi ri. i=1. donde ri = f (ei ), como ri = f (ei ) están determinados únicamente por f , se tiene |ri | = |f (ei )| ≤ kf k kei k = kf k. para todo i ∈ N,. (1.3). Por tanto (ri ) es acotado y ası́ (ri ) ∈ `∞ . 0. 0. Deseamos ver que `∞ y `1 son isomorfos. Definamos T : `1 −→ `∞ tal que para 0 f ∈ `1 , T (f ) = (ri ) donde ri = f (ei ) para todo i ∈ N.. T es inyectiva ya que los (ri ) son determinadas por una única f y es sobre P ya que para b = (bi ) ∈ `∞ , siempre se puede definir un g(x) = ni=1 ξi bi con x = (ξi ) ∈ `1 , g es lineal ya que para x = (ξi ) y y = (ηi ) ∈ `1. n n n n X X X X g(αx+y) = (αξi +ηi )bi = (αξi bi +ηi bi ) = α ξi bi + ηi bi = αg(x)+g(y) i=1. i=1. i=1. y además g es acotado pues para todo x = (ξi ) ∈ `1 ,. i=1.

(25) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. |g(x)| =. n X. ξbi ≤. i=1. n X. 17. |ξbi | ≤. n X. i=1. |ξi | sup |bi | ≤ sup |bi | kxk. (1.4). i=1. Luego T es biyectiva. Ahora veamos que T es lineal. Sea T (f ) = r y T (g) = b con f, g ∈ `1. 0. T (αf + g) = (αri + bi ) = α(ri ) + (bi ) = αr + b = αT (f ) + T (g) 0. Luego T es lineal. Además por (1.3) and (1.4) f ∈ `1 con T (f ) = r y |ri | ≤ kf k. ∀i ∈ N. y|f (x)| ≤ sup |ri | kxk i∈N. Luego sup |ri | ≤ kf k ≤ sup |ri |. Luego kf k = sup |ri | y por la definión de norma en `∞ kf k = krk kT (f )k y ası́ el dual de `1 es `∞ Ejemplo 1.3.3. El dual de `p es `q . Demostración. Sea (ek ) con ek (δkj ) una base de Schauder en `p . Esto es, para todo x ∈ `p x=. ∞ X. ξk ek .. k=1. Sea f ∈ `p∗ , como f es lineal acotado entonces f (x) =. ∞ X k=1. ξk f (ek ) =. ∞ X. ξk γk ,. γk = f (ek ).. k=1 (n). Sea q el conjugado de p, sea xn = (ξk ) con   |γk |p if k ≤ n y γ 6= 0 k (n) γk ξk = 0 if k > n o γk 6= 0.. (1.5).

(26) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 18. Reemplazando en (1.5) f (xn ) =. ∞ X. (n) ξk γk. =. k=1. n X. |γk |q ,. (1.6). k=1. por otro lado, n X. f (xn ) ≤ kf k kxn k = kf k. (n). p. ! p1. ξk. k=1 n X. = kf k. ! p1 (q−1)p. |γk |. k=1 n X. = kf k. ! p1 q. |γk |. .. k=1. Ası́ n X. f (xn ) ≤ kf k. ! p1 |γk |q. .. k=1 1 P Dividiendo por ( nk=1 |γk |q ) p y usando 1 −. n X. !1− p1 |γk |q. 1 p. n X. =. k=1. =. 1 q. ! 1q |γk |q. ≤ kf k. k=1. 1 P haciendo n → ∞ se tiene ( nk=1 |γk |q ) q ≤ kf k y (γk ) ∈ lq . Sea b = (bk ) ∈ lq , sea g un funcional lineal acotado en lp definido como. g(x) =. ∞ X. x = (ξk ) ∈ `p .. ξk bk ,. k=1. g es lineal y acotado ya que |g(x)| ≤. ∞ X. |ξk bk |. k=1. ≤. ∞ X. ! 1q |bk |q. k=1. = |x|. ∞ X k=1. ∞ X. ! p1 |ξk |p. k=1. ! 1q |bk |q. ⇒ g ∈ `p∗.

(27) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 19. Además |f (x)| =. ∞ X. ∞ X. ξk γk ≤. k=1. ! p1 |ξk |p. k=1 ∞ X. = kxk. ∞ X. ! 1q |γk |q. k=1. ! 1q |γk |q. k=1. Ası́ kf k ≤. ∞ X. ! 1q q. |γk |. ,. k=1. además kf k ≥. ∞ X. ! 1q |γk |q. k=1. Luego F :`p∗ → `p f 7→ γk es un isomorfismo y `p∗ ≈ `p .. .

(28) Capı́tulo 2 Convolución En este capı́tulo vamos a introducir el concepto de Convolución por medio de los elementos de un grupo G, se definirá el álgebra de grupo L(G) haciéndo una descripción de sus elementos para nuestro estudio de la dualidad sobre grupos abelianos finitos. Es necesario tener presente algunas definiciones como la de Grupo y Álgebra de grupo, tomadas de [6, pág 18] y [2, pág 396], respectivamente. Definición 2.0.3 (Grupo.). Un Grupo G es un conjunto G distinto de vacı́o, junto con una operación binaria ∗ en G, tal que se satisface lo siguiente, G es cerrado bajo la operación ∗, esto es (a ∗ b) ∈ G para todo a, b ∈ G. La operación ∗ es asociativa. Existe un elemento e ∈ G tal que para todo x que pertenece a G se tiene e ∗ x = x ∗ e = x. Para cada a ∈ G existe un único elemento a0 ∈ G con la propiedad que a0 ∗ a = a ∗ a0 = e. Definición 2.0.4 (Álgebra Lineal). Un Álgebra lineal sobre un campo F es un conjunto = el cual es un espacio vectorial de dimensión finita sobre F que admite una multiplicación asociativa y bilineal,. 20.

(29) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 21. Asociatividad Sean α, β, γ ∈ = se tiene α(βγ) = (αβ)γ Bilinealidad Sean α, β, γ ∈ = y escalares c, d ∈ F , se cumple que α(cβ + dγ) = c(αβ) + d(αγ), (cα + dβ)γ = c(αγ) + d(βγ). El orden de = es su dimensión considerado como un espacio vectorial. Además = tiene un elemento unidad , el cual satisface α = α = α, para todo α en =. Ejemplo 2.0.4. Sea Mn (F ) el conjunto de todas las matrices n × n sobre el campo F , es decı́r Mn (F ) = {An×n = (aij )1≤i,j≤n /(aij ) ∈ F } . Éste conjunto es un álgebra lineal porque Mn (F ) es un espacio vectorial finito sobre F , [2, pág 397], tiene como elementos base las matrices Eij , que tienen un 1 en la posición ij y cero en las demás posiciones y la tabla de multiplicación para estas matrices está dada por; Eij Ejk = Eik Eij Ekl = 0. para. j 6= k,. dicha multiplicación coincide con la multiplicación matricial usual, cumple la asociatividad porque la multiplicación de matrices es asociativa y satisface la bilinealidad también. Ejemplo 2.0.5 (Álgebra de Grupo). Sea G cualquier grupo finito, con elementos α1 , . . . , αn y multiplicación dada por αi αj = αk . Si F es cualquier campo con xi , yi ∈ F , existe un Álgebra lineal = sobre el campo F la cual tiene por base los elementos de G, y en la cuál la multiplicación se determina por bilinealidad de la tabla del grupo G, ası́ (x1 α1 + x2 α2 + . . . + xn αn )(y1 α1 + y2 α2 + . . . + yn αn ) =. n X n X. (xi yi )(αi αj ).. i=1 j=1. Esta álgebra es conocida como el Álgebra de grupo de G sobre F. [2, pág 396]..

(30) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 22. En lo que sigue haremos una construcción del Álgebra de grupo de un grupo finito G, para ello primero se verá con detalle como funciona la multiplicación entre dos elementos del álgebra de grupo tal y como se verá a continuación.. 2.1.. Producto de dos elementos del Álgebra de Grupo. Sea G un grupo finito con G = {α1 , α2 , . . . , αn } dotado con una operación multiplicativa definida como αi αj = αk , para cualesquiera i, j, k. Los elementos del Álgebra de grupo son combinaciones lineales de la forma c1 α1 + c2 α2 + . . . + cn αn donde los cj son números complejos con j = 1, 2, . . . , n. El producto de dos elementos del Álgebra de grupo está definido formalmente por la multiplicación entre ellos, para α1 , α2 , . . . , αn ∈ G y xi yj ∈ C, se tiene n X n X (x1 α1 +x2 α2 +. . .+xn αn )(y1 α1 +y2 α2 +. . .+yn αn ) = (xi yi )(αi αj ). (2.1) i=1 j=1. Veamos que en efecto dicha sumatoria se tiene, definamos p como sigue, p = (x1 α1 + x2 α2 + . . . + xn αn )(y1 α1 + y2 α2 + . . . + yn αn ) p = (x1 α1 )(y1 α1 ) + (x1 α1 )(y2 α2 ) + . . . + (x1 α1 )(yn αn ) + (x2 α2 )(y1 α1 ) + (x2 α2 )(y2 α2 ) + . . . + (x2 α2 )(yn αn ) + . . . + (xn αn )(y1 α1 ) + (xn αn )(y2 α2 ) + . . . + (xn αn )(yn αn ). Agrupando términos tenemos p = (x1 y1 )(α1 α1 ) + (x1 y2 )(α1 α2 ) + . . . + (x1 yn )(α1 αn ) + (x2 y1 )(α2 α1 ) + (x2 y2 )(α2 α2 ) + . . . + (x2 yn )(α2 αn ) + . . . + (xn y1 )(αn α1 ) + (xn y2 )(αn α2 ) + . . . + (xn yn )(αn αn ). Usando la operación asociada al grupo se obtiene (2.1). Utilizando de nuevo la operación asociada al grupo αi αj = αk para cualesquiera i, j y para algún k,los elementos se organizarán como sigue,.

(31) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 23. p = α1 (x1 y1 + . . . + xn y2 ) + . . . + αn (x1 yn + . . . + xn y3 ). Luego p puede escribirse ası́,. (x1 α1 + . . . + xn αn )(y1 α1 + . . . + yn αn ) =. n X. zk αk .. (2.2). k=1. Donde zk es la suma de los productos xi yj para los cuáles αi αj = αk . Ilustraremos dicho resultado por medio del siguiente ejemplo. Ejemplo 2.1.1 (Algebra de grupo Z∗5 sobre C). Sea G = hZ∗5 , ·i con operación multiplicativa definida en la siguiente tabla, · 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0 0. 1 0 1 2 3 4. 2 0 2 4 1 3. 3 0 3 1 4 2. 4 0 4 3 2 1. Cuadro 2.1: Tabla del grupo Z∗5 Para facilitar el trabajo a la hora de agrupar los términos, renombraremos los elementos del grupo G = {0, 1, 2, 3, 4} por G = {α1 , α2 , α3 , α4 , α5 }, ası́ la tabla queda dada por, · α1 α2 α3 α4 α5. α1 α1 α1 α1 α1 α1. α2 α1 α2 α3 α4 α5. α3 α1 α3 α5 α2 α4. α4 α1 α4 α2 α5 α3. α5 α1 α5 α4 α3 α2. Cuadro 2.2: Tabla del grupo Z∗5 Sea F = C con xi , yj ∈ C con i, j = 1, 2, 3, 4, 5.. El producto de dos elementos del Álgebra de grupo se define como sigue y tendremos presente que la operación para un par de elementos αi αj = αk , es la asociada al grupo G, para.

(32) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 24. p = (x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 + x4 α4 + x5 α5 )(y1 α1 + y2 α2 + y3 α3 + y4 α4 + y5 α5 ) p = (x1 α1 )(y1 α1 ) + (x1 α1 )(y2 α2 ) + (x1 α1 )(y3 α3 ) + (x1 α1 )(y4 α4 ) + (x1 α1 )(y5 α5 ) + (x2 α2 )(y1 α1 ) + (x2 α2 )(y2 α2 ) + (x2 α2 )(y3 α3 ) + (x2 α2 )(y4 α4 ) + (x2 α2 )(y5 α5 ) + (x3 α3 )(y1 α1 ) + (x3 α3 )(y2 α2 ) + (x3 α3 )(y3 α3 ) + (x3 α3 )(y4 α4 ) + (x3 α3 )(y5 α5 ) + (x4 α4 )(y1 α1 ) + (x4 α4 )(y2 α2 ) + (x4 α4 )(y3 α3 ) + (x4 α4 )(y4 α4 ) + (x4 α4 )(y5 α5 ) + (x5 α5 )(y1 α1 ) + (x5 α5 )(y2 α2 ) + (x5 α5 )(y3 α3 ) + (x5 α5 )(y4 α4 ) + (x5 α5 )(y5 α5 ). Si agrupamos los términos, tenemos, p = (x1 y1 )(α1 α1 ) + (x1 y2 )(α1 α2 ) + (x1 y3 )(α1 α3 ) + (x1 y4 )(α1 α4 ) + (x1 y5 )(α1 α5 ) + (x2 y1 )(α2 α1 ) + (x2 y2 )(α2 α2 ) + (x2 y3 )(α2 α3 ) + (x2 y4 )(α2 α4 ) + (x2 y5 )(α2 α5 ) + (x3 y1 )(α3 α1 ) + (x3 y2 )(α3 α2 ) + (x3 y3 )(α3 α3 ) + (x3 y4 )(α3 α4 ) + (x3 y5 )(α3 α5 ) + (x4 y1 )(α4 α1 ) + (x4 y2 )(α4 α2 ) + (x4 y3 )(α4 α3 ) + (x4 y4 )(α4 α4 ) + (x4 y5 )(α4 α5 ) + (x5 y1 )(α5 α1 ) + (x5 y2 )(α5 α2 ) + (x5 y3 )(α5 α3 ) + (x5 y4 )(α5 α4 ) + (x5 y5 )(α5 α5 ). Por la operación multiplicativa del grupo definida en la tabla, el resultado anterior puede escribirse de la siguiente manera, p = (x1 y1 )α1 + (x1 y2 )α1 + (x1 y3 )α1 + (x1 y4 )α1 + (x1 y5 )α1 + (x2 y1 )α1 + (x2 y2 )α2 + (x2 y3 )α3 + (x2 y4 )α4 + (x2 y5 )α5 + (x3 y1 )α1 + (x3 y2 )α3 + (x3 y3 )α5 + (x3 y4 )α2 + (x3 y5 )α4 + (x4 y1 )α1 + (x4 y2 )α4 + (x4 y3 )α2 + (x4 y4 )α5 + (x4 y5 )α3 + (x5 y1 )α1 + (x5 y2 )α5 + (x5 y3 )α4 + (x5 y4 )α3 + (x5 y5 )α2 . Luego tenemos, p = α1 (x1 y1 + x1 y2 + x1 y3 + x1 y4 + x1 y5 + x2 y1 + x3 y1 + x4 y1 + x5 y1 ) + α2 (x2 y2 + x3 y4 + x4 y3 + x5 y5 ) + α3 (x2 y3 + x3 y2 + x4 y5 + x5 y4 ) + α4 (x2 y4 + x3 y5 + x4 y2 + x5 y3 ) + α5 (x2 y5 + x3 y3 + x4 y4 + x5 y2 ). Ya que αi αj = αk para 1 ≤ i, j, k ≤ 5, podemos escribir p ası́, (x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 + x4 α4 + x5 α5 )(y1 α1 + y2 α2 + y3 α3 + y4 α4 + y5 α5 ) =. 5 X k=1. Donde zk es la suma de los productos xi yj para los cuáles αi αj = αk .. zk αk ..

(33) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 2.2.. 25. Convolución Producto. Nuestro primer objetivo es probar que cuando se reescriben de forma adecuada los elementos en la expresión (2.2), ese producto es esencialmente la convolución producto de dos funciones. Sea f una función a valor complejo definida sobre G, esto es f : G −→ C αi 7−→ f (αi ) = xi . Similarmente definamos g, g : G −→ C αj 7−→ f (αj ) = yi . Ası́, se pueden escribir los elementos del álgebra de grupo en (2.2) aplicando f (αi ) = xi y g(αj ) = yj como, ! n X (f (α1 )α1 + f (α2 )α2 + . . . + f (αn−1 )αn−1 + f (αn )αn ) = f (αi )αi (g(α1 )α1 + g(α2 )α2 + . . . + g(αn−1 )αn−1 + g(αn )αn ) =. i=1 n X. ! g(αj )αj. ,. j=1. y (2.2) se convierte en, n X i=1. ! f (αi )αi. n X. ! g(αj )αj. =. j=1. n X. ! h(αk )αk. ,. (2.3). j=1. donde h(αk ) =. X. f (αi )g(αj ).. (2.4). Notemos que h(αk ) es la suma de los productos f (αi )g(αj ), tomada bajos los pares i y j para los cuales αi αj = αk . Observación 2.2.1. Para llegar al resultado anterior se hizo el mismo procedimiento utilizado para llegar a la ecuación (2.2). Como αi αj = αk son elementos del grupo G, tomaremos el inverso αj−1 de αj , αi αj = αk αi αj αj−1 = αk αj−1 αi = αk αj−1 ,.

(34) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 26. Luego la expresión (2.4) se transforma en h(αk ) =. n X. f (αk αj−1 )g(αj ).. (2.5). j=1. En efecto, retomemos al ejemplo (2.1.1) y apliquemos (2.4), teniendo en cuenta los valores de f y g ası́ h(α1 ) = f (α1 )g(α1 ) + f (α1 )g(α2 ) + f (α1 )g(α3 )f (α1 )g(α4 ) + f (α1 )g(α5 ) + f (α2 )g(α1 ) + f (α3 )g(α1 ) + f (α4 )g(α1 ) + f (α5 )g(α1 ) h(α2 ) = f (α2 )g(α2 ) + f (α3 )g(α4 ) + f (α4 )g(α3 ) + f (α5 )g(α5 ) h(α3 ) = f (α2 )g(α3 ) + f (α3 )g(α2 ) + f (α4 )g(α5 ) + f (α5 )g(α4 ) h(α4 ) = f (α2 )g(α4 ) + f (α3 )g(α5 ) + f (α4 )g(α2 ) + f (α5 )g(α3 ) h(α5 ) = f (α2 )g(α5 ) + f (α3 )g(α3 ) + f (α4 )g(α4 ) + f (α5 )g(α2 ). Luego si hacemos h(αk ) =. P. f (αi )g(αj ) con αi = αk αj−1 , tenemos. h(α1 ) = f (α1 α1−1 )g(α1 ) + f (α1 α2−1 )g(α2 ) + f (α1 α3−1 )g(α3 ) + f (α1 α4−1 )g(α4 ) + f (α1 α5−1 )g(α5 ) + f (α1 α1−1 )g(α1 ) + f (α1 α1−1 )g(α1 ) + f (α1 α1−1 )g(α1 ) + f (α1 α1−1 )g(α1 ) h(α2 ) = f (α2 α2−1 )g(α2 ) + f (α2 α4−1 )g(α4 ) + f (α2 α3−1 )g(α3 ) + f (α2 α5−1 )g(α5 ) h(α3 ) = f (α3 α3−1 )g(α3 ) + f (α3 α2−1 )g(α2 ) + f (α3 α5−1 )g(α5 ) + f (α3 α4−1 )g(α4 ) h(α4 ) = f (α4 α4−1 )g(α4 ) + f (α4 α5−1 )g(α5 ) + f (α4 α2−1 )g(α2 ) + f (α4 α3−1 )g(α3 ) h(α5 ) = f (α5 α5−1 )g(α5 ) + f (α5 α3−1 )g(α3 ) + f (α5 α4−1 )g(α4 ) + f (α5 α2−1 )g(α2 ). Notemos que los αk son fijos, luego se tiene,. h(αk ) =. 5 X. f (αk αj−1 )g(αj ).. (2.6). j=1. Haciendo un trabajo análogo al anterior con un grupo de n elementos se tiene, h(αk ) =. n X j=1. f (αk αj−1 )g(αj ).. (2.7).

(35) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 27. Esta función h(αk ) es llamada la Convolución Producto de las funciones f y g, que de ahora en adelante vamos a denotar por f ∗ g, [4, pág 348]. Vemos de esta discusión que existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del álgebra de grupo x1 α1 +x2 α2 +. . .+xn αn y las funciones f (αj ) = xj para j = 1, 2, . . . , n, en virtud del teorema (1.2.1) del capı́tulo 1. Por lo tanto el producto de dos elementos corresponde a la convolución producto de las correspondientes funciones. (Esta correspondencia es un isomorfismos lineal). Observación 2.2.2. En adelante vamos a considerar únicamente grupos abelianos, ademas será más conveniente para nuestro propósito utilizar la notación aditiva, puesto que nuestro interés es trabajar con series de Fourier. Observación 2.2.3. Sea G cualquier grupo finito abeliano, con la operación del grupo definida en forma aditiva, ası́ que para x, y ∈ G escribirémos su inverso aditivo −y en lugar de y −1 y x − y en lugar de xy −1 .. 2.3.. Álgebra de Grupo L(G).. Sea G un grupo abeliano finito, con operación escrita en forma aditiva. Llamaremos L(G) a la colección de todas las funciones a valor complejo con dominio en G. La suma usual de dos funciones y el producto usual de una función por un escalar complejo hacen de L(G) un espacio vectorial complejo de dimensión n con n el orden de G. Definamos además en L(G) una multiplicación f ∗ g, ası́ Definición 2.3.1. [4, pág 348] Sean f, g ∈ L(G), es decı́r f : G → C y g : G → C, la siguiente es la operación multiplicación definida en L(G) (f ∗ g)(x) =. X. f (x − y)g(y),. y. para x, y ∈ G. Donde la suma de la definición (2.3.1) es bajo los elementos y mientras que x permanece fijo, tal cual como vimos en el desarrollo de (2.7). Aparece la siguiente proposición tras definir la multiplicación. Proposición 2.3.1. L(G) satisface los propiedades de Álgebra lineal..

(36) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 28. Demostración. 1. Asociatividad Sean f, g, h funciones que pertenecen a L(G), sean x, y, z ∈ G X ((f ∗ g) ∗ h)(x) = (f ∗ g)(y)h(x − y) y. =. " X X y. = =. X. f (z)g(y − z)h(x − y). z. f (z). z. X X. z. y. X. f (z). X. X. =. [g((y + z) − z)h(x − (y + z))] [g(y)h((x − z) − y))]. y. z. X. g(y − z)h(x − y). y. f (z). =. =. f (z)g(y − z) h(x − y). z. XX y. #. f (z)(g ∗ h)(x − z). z. = (f ∗ (g ∗ h))(x). 2. Bilinealidad Sean f, g, h ∈ L(G) y sean c, d escalares en el campo C, luego f ∗ (cg + dh) = f ∗ cg + f ∗ dh = c(f ∗ g) + d(f ∗ h) y también se tiene que (cg + dh) ∗ f = cg ∗ f + dh ∗ f = c(g ∗ f ) + d(h ∗ f ) De esta manera L(G) es el Álgebra de grupo de G.. . Proposición 2.3.2. La Convolución es conmutativa. Demostración. [4, pág 349]. Veámos que se cumple (f ∗ g)(x) = (g ∗ f )(x). Sean f, g ∈ L(G) y x, y ∈ G, X (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y) y. =. X. f (z)g(x − z). z. = (g ∗ f )(x). para. z =x−y.

(37) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 29. Ası́ (f ∗ g)(x) = (g ∗ f )(x), que era lo que se querı́a ver.. . Definición 2.3.2 (Unidad en el álgebra de grupo). [4, pág 349] Sea L(G) el álgegra de grupo de G, L(G) contiene un elemento unidad notado como el cual es una función con dominio en G sobre C ası́, ( 1 si x = 0 (x) = 0 si x 6= 0 Proposición 2.3.3. La identidad de L(G) es luego, ∗ f = f ∗ = f . Demostración. Sea f ∈ L(G) y dada como en la definición (2.3.2) y x, y ∈ G, es la identidad. X (f ∗ )(x) = f (x − y)(y) y. =. X. =. X. f (x − 0)(0). y. f (x)(1). = f (x). Ası́ f ∗ = f . De la misma manera se puede ver que X ( ∗ f )(x) = (x − y)f (y) y. =. X. (z)f (x − z). para. z =x−y. z. =. X. (0)f (x − 0). =. X. (1)f (x). = f (x). Ası́ ∗ f = f ∗ = f, que era lo que se querı́a ver. Ejemplo 2.3.1. Sea G el grupo aditivo Z4 , dotado con la tabla, Supongamos que f y g están definidas como sigue,. .

(38) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN + 0 1 2 3. 30 0 1 2 3 4. 1 2 3 4 1. 2 3 4 1 2. 3 4 1 2 3. Cuadro 2.3: Tabla del grupo Z4 x = 0 1 f (x) = 8 −4 g(x) = 3 7. 2 3 3 2i i −i. Cuadro 2.4: Definición de f y g Se encontrará la convolución para cada uno de los valores de x aplicando la fórmula (2.3.1), por ejemplo. (f ∗ g)(0) = f (0 − 0)g(0) + f (0 − 1)g(1) + f (0 − 2)g(2) + f (0 − 3)g(3) = f (0)g(0) + f (3)g(1) + f (2)g(2) + f (1)g(3) = (8)(3) + (2i)(7) + (3)(i) + (−4)(−i) = 24 + 21i. (f ∗ g)(1) = f (1 − 0)g(0) + f (1 − 1)g(1) + f (1 − 2)g(2) + f (1 − 3)g(3) = f (1)g(0) + f (0)g(1) + f (3)g(2) + f (2)g(3) = 42 − 3i. Haciendo un trabajo análogo al anterior con los demás valores de x y se obtienen los siguientes resultados x = 0 f (x) = 8 g(x) = 3 (f ∗ g)(x) = 24 + 21i. 1 2 3 −4 3 2i 7 i −i 42 − 3i −17 + 8i 21 − 6i. Cuadro 2.5: Convolución f ∗ g Volviendo a la teorı́a general, aparecen las siguientes importantes definiciones. Definición 2.3.3. (Subálgebra). Un subespacio L(G) es llamado una subálgebra si f ∗ g está en el subespacio siempre que f y g estén en el subespacio. [4, pág 350]..

(39) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 31. Estamos principalmente interesados en los subespacios los cuales son Ideales, se presentan en seguida. Definición 2.3.4. Un subespacio de L(G) es un ideal si f ∗ g está en el subespacio siempre que g esté en el subespacio, independientemente de si está o no f en el subespacio. [4, pág 350]. Nota 2.3.1. Ya que esta álgebra tiene una multiplicación conmutativa, no es necesario distinguir entre ideal derecho ni ideal izquierdo. Vamos a proceder a definir un concepto muy importante, el cuál vamos a trabajar en lo que sigue del capı́tulo. Definición 2.3.5. (Traslación Invariante). Un espacio se dice de translación invariante si, para cada a en G, fa está en el subespacio, siempre que f esté en el subespacio, donde fa es la traslación de f definida por fa (x) = f (x − a). Teorema 2.3.4. Un subespacio de L(G) es un ideal si y sólo si éste es de traslación invariante. [4, pág 350]. Demostración. Sea el elemento unidad de L(G), ası́ que ( 1 si x = a a (x) = 0 si x 6= a. Entonces a ∗ g = ga , ya que (a ∗ g) = (g ∗ a ) X = g(x − y)a (y) y. = g(x − a) = ga (x). Luego si un subespacio es un ideal que contiene a g, entonces por definición de ideal, este debe contener a ∗ g = ga para cada a ∈ G, entonces es de traslación invariante..

(40) CAPÍTULO 2. CONVOLUCIÓN. 32. Por otro lado, si el subespacio es de traslación invariante y contiene a g, entonces éste debe contener ga = a ∗ g para cada a ∈ G y por lo tanto si f = c0 0 + c2 2 + . . . + cn n , entonces f ∗ g = (c0 0 + c2 2 + . . . + cn n ) ∗ g = co (0 ∗ g) + c2 (2 ∗ g) + . . . + cn (n ∗ g). Luego n veces a forman una base para L(G), y por lo tanto el subespacio contiene a f ∗ g para cada f en L(G), lo que demuestra que el subespacio es un ideal. .

(41) Capı́tulo 3 Dualidad de Grupos abelianos finitos En este capı́tulo se introducen temas básicos del análisis armónico sobre grupos Abelianos finitos, es una recopilación de los más importantes conceptos, herramientas, ideas y resultados del análisis armónico abstracto en la situación más simple. [12, pág. 3]. Sea G un grupo Abeliano finito escrito aditivamente, con elemento identidad o. Sea |G| el sı́mbolo que denota el orden del grupo G, L(G) es un espacio vectorial con la suma como operación punto a punto y la multiplicación por escalar, además es un espacio con producto interno h, i definido como sigue, Definición 3.0.6 (Producto Interno en L(G)). Sean f, g ∈ L(G) se define de manera usual un producto interno en L(G) ası́ hf, gi =. 1 X f (x)g(x), |G| x. donde la suma es bajo todos los x ∈ G, [12, pág. 3]. Con la definición anterior vemos que L(G) es un espacio complejo de Hilbert y lo notamos por L2 (G), el cual es isomorfo al espacio de Hilbert Cn y el isomorfismo está dado por, f → [f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )] , donde x1 , x2 , . . . , xn son elementos de G. Además una base ortogonal de L2 (G) esta formada por las funciones caracterı́sticas de un solo elemento. La función 33.

(42) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 34. caracterı́stica de un conjunto arbitrario A será denotada por δA , la cual se define por ( 1 si x ∈ A δA (x) = 0 en otro caso, Estamos interesados en el análisis de funciones especiales sobre un grupo G, en el estudio de estas funciones resaltan las dos más importantes, por un lado tenemos las funciones definidas en la demostración del teorema (2.3.4) del capı́tulo anterior que son las mismas definidas anteriormente, las δA (x) y las otras son los caracteres, que son de gran importancia para el estudio de la dualidad sobre un grupo abeliano y las introduciremos a continuación,. 3.1.. Caracteres. En el cálculo elemental se estudian diferentes funciones una de ellas es la exponencial χ(x) = ekx , que cumple, χ(x + y) = ek(x+y) = ekx eky = χ(x)χ(y). y. χ(x) 6= 0.. (3.1). Si k = ip entonces χ(x) = eip entonces |χ(x)| = eip = 1.. (3.2). Toda función continua a valor complejo de una variable real satisface (3.1) y (3.2) esta debe ser de la forma eipx para p, x ∈ R. Definición 3.1.1. (Caracter). Sean x, y elementos de G y sea χ : G → C, χ es un caracter de G si satisface las propiedades (3.1) y (3.2). Observación 3.1.1. Sea hR, +i el grupo de los números reales bajo la adición y sea hT, ·i el grupo multiplicativo de los complejos módulo 1 o Grupo Circular, T = {z ∈ C/ |z| = 1} . Nótese que T = {eipx /x, p ∈ R}. La función χ : R → T definida por χ(x) = eipx es un homomorfismo por (3.1) y (3.2). De manera que los homomorfismos de un grupo G en el grupo multiplicativo T de los números complejos módulo 1 son llamados Caracteres..

(43) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 35. Teorema 3.1.1. Los caracteres de un grupo Abeliano finito G son homomorfismos del grupo hacia el grupo multiplicativo T de las raı́ces n- ésimas de la unidad, donde n es el número de elementos del grupo. Demostración. [12, pág 4]. Para cada x ∈ G se tiene que nx = (x + . . . + x) = 0 {z } | n−veces. (el elemento identidad), por consiguiente, para cada caracter χ se tiene que, [χ(x)]n = χ(x)χ(x) . . . χ(x) = χ(x {z. . . + x})χ(nx) = χ(0) = 1. | +x+ | {z } n−veces. n−veces. √ Es ası́ como χ(x) = n 1 para cada x ∈ G. Por lo tanto, queda demostrado que las imágenes de los caracteres de un grupo abeliano finito G son las raı́ces n-ésimas de la unidad cuando el grupo tiene n elementos. Teorema 3.1.2. Caracteres diferentes de un grupo Abeliano finito G son ortogonales y su norma es 1. Demostración. [12, pág 4]. Inicialmente mostremos que si χ es un caracter del grupo abeliano finito G, entonces la siguiente fórmula es valida, ( X. χ(x) =. x∈G. 0 si χ 6= 1 |G| si χ = 1,. nótese que aquı́ χ = 1 es el caracter que asocia cada elemento del grupo G con el elemento identidad de T, esto es,χ(x) = 1(x) = 1 para cada x ∈ G. Todos los elementos de G son enviados al 1 del grupo multiplicativo a través del caracter trivial χ = 1. Realmente, para cada y ∈ G se cumple, X x∈G. χ(x) =. X. χ(x + y) =. x∈G. X. χ(x)χ(y) = χ(y). x∈G. X. χ(x),. x∈G. Si χ = 1 entonces, X X χ(x) = χ(y) χ(x) = 1 · (1 + 1 + . . . + 1) = n = |G| . | {z } x∈G. x∈G. n−veces. P P Si χ 6= 1 entonces x∈G χ(x) = χ(y) x∈G χ(x), y como χ(y) es una raı́z de P la unidad entonces se tiene que la igualdad es válida solo sı́ x∈G χ(x) = 0. Ası́ que la fórmula es válida..

(44) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 36. Ahora bien, sean χ1 y χ2 caracteres diferentes de G, entonces χ = χ1 χ2 es un caracter diferente de la unidad y por tanto, 1 X 1 X χ1 (x)χ2 (x) = χ(x) = 0. hχ1 , χ2 i = |G| x∈G |G| x∈G Para el caso de la norma basta ver que, 1 X hχ, χi = χ(x)χ(x) |G| x∈G 1 X |χ(x)|2 = |G| x∈G 1 X 1 = 1= (n) = 1, |G| x∈G |G| entonces kxk2 = 1 por tanto kxk = 1.. 3.1.1.. . Operadores de Traslación. Recordemos que en el capı́tulo dos en la definición 2.3.5, se habló de la traslación invariante en L(G), este concepto muy importante aquı́ y vamos a introducirlo como sigue. Se define el operador traslación τy correspondiente al elemento y ∈ G mediante τy f (x) = f (x − y),. para cada f ∈ L(G). para cada. x, y ∈ G.. La función τy f se le denomina el trasladado de f mediante y o de traslación invariante como en la definición (2.3.5). Nótese que, τy : L(G) −→ L(G) f 7−→ τy f, Además la función f ∈ L(G) se llamará normada si f (0) = 1. Obviamente, esto es, en general, diferente del concepto de una función de norma 1 en L2 (G). Teorema 3.1.3. Los operadores de traslación de un grupo abeliano finito G son operadores unitarios conmutativos del espacio de Hilbert L2 (G).. Demostración. [12, pág 5]. Como G es abeliano, τy f (x) = f (x − y) = f (y − x) = τx f (y) ası́ los operadores de traslación conmutan y el inverso de τy es τ−y pues para cada x ∈ G τy (t−y f (x)) = τy f (x − (−y)) = f (x + y − y) = f (x)..

(45) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 37. Además se tiene que para cada y ∈ G y f, g en L(G), 1 X f (x − y)g(x) |G| x∈G 1 X = f (x)g(x + y) |G| x∈G 1 X = f (x)g(x − (−y)) |G| x∈G. hτy f, gi =. = hf, τ−y gi , lo que significa que el adjunto de τy es igual τ−y (su inverso), lo que significa por definición que τy es unitario. Teorema 3.1.4. Las eigenfunciones normadas comunes de todos los operadores de traslación de un grupo abeliano finito son precisamente los caracteres. Demostración. [12, pág 5]. Sea f una eigenfunción normada común a todos los operadores de traslación τy f = λ(y)f τy f (x) = λ(y)f (x) f (x − y) = λ(y)f (x) f (x)f (−y) = λ(y)f (x) f (−y) = λ(y) f (y) = λ(y), el autovalor de f . Ahora bien como f (0) = 1 se tiene n f (0) = f (nx) = f (x {z. . . + x}) = f| (x) + f (x){z+ . . . + f (x)} = [f (x)] = 1, | +x+ n−veces. n−veces. √ ası́ que, f (x) n 1 y por tanto f es un carácter. Inversamente, es claro que todo carácter es una eigenfunción normada de todos los operadores de traslación. De lo anterior, podemos ver que el caracter χ es la eigenfunción del operador de traslación τy perteneciente al eigenvalor χ(y). Teorema 3.1.5. Todos los caracteres de un grupo abeliano finito G forman una base ortonormal del espacio de Hilbert L2 (G)..

(46) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 38. Demostración. [12, pág 5]. Se sabe del álgebra lineal, (ver [11, pág 185,Def 9.22]) que dado un conjunto de operadores unitarios conmutativos en un espacio de Hilbert finito dimensional, entonces existe una base ortonormal que consiste en eigenvectores comunes de estos operadores. En nuestro caso, las eigenfunciones comunes son exactamente los caracteres. Y mediante la ortogonalidad se tiene que todo carácter se produce en esta base. Luego por el teorema precedente, el número de todos los carcteres es igual a la dimensión de L2 (G), esto es |G| = n. Veámos un ejemplo que ilustra los hechos anteriores. Ejemplo 3.1.1. Sea G = hZ4 , +i un grupo abeliano finito de orden N = 4. Hay precisamente cuatro caracteres definidos por el homomorfismo que envı́a cada elemento del grupo a las n-raı́ces complejas de la unidad sobre el cı́rculo i2πmx unitario, éste es, χm : Z4 → T tal que χm (x) = e N donde x ∈ Z4 , con 0 ≤ m ≤ 3 y 0 ≤ x ≤ 3. Tomemos m = 0, entonces, χ0 (0) = e χ0 (1) = e χ0 (2) = e χ0 (3) = e. i2π(0) 4. = e0 = 1. i2π(0) 4. = e0 = 1. i2π(0) 4. = e0 = 1. i2π(0) 4. = e0 = 1,. luego el primer caracter será el siguiente, χ0 = {χ0 (0), χ0 (1), χ0 (2), χ0 (3)} ; Tomemos m = 1, entonces, χ1 (0) = e χ1 (1) = e χ1 (2) = e χ1 (3) = e. i2π(0) 4. = e0 = 1. i2π(1) 4. =e2 =i. i2π(2) 4. = eiπ = −1. i2π(3) 4. =e. iπ. 3iπ 2. = −i.. Ası́ el segundo caracter será, χ1 = {χ1 (0), χ1 (1), χ1 (2), χ1 (3)} . De manera análoga se obtienen los dos caracteres restántes. En la siguiente tabla de caracteres para el grupo Z4 se aprecian los demás:.

(47) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS x χ0 (x) χ1 (x) χ2 (x) χ3 (x). 0 1 1 1 1 i 1 −1 1 −i. 39. 2 3 1 1 −1 −i 1 −1 −1 i. Cuadro 3.1: Tabla de caracteres del grupo Z4 Nótese que χm (n) = e. i2πmx N. =. √ N. ei2πmx =. √ N. 1,. por lo tanto, las imágenes de la función caracter (o caracterı́stica) son las raı́ces n-ésimas de la unidad que quedan representadas en el cı́rculo unitario, cumpliéndose la observación (3.1). Para nuestro caso N = 4 por tanto las imágenes de la función caracter, resultan ser las raı́ces cuartas de la unidad y cuatro caracteres por el teorema (3.1.5). Se verifica que los cuatro caracteres son mutuamente ortogonales, por ejemplo, hχ1 , χ3 i = (1)(1) + (i)(−i) + (−1)(−1) + (−i)(i) = 1−1+1−1 = 0.. 3.2.. Los caracteres en las Series de Fourier. Teorema 3.2.1. Toda función f a valor complejo definida en G puede ser expresada en una “Serie de Fourier”, f (x) = C1 χ1 (x) + C2 χ2 (x) + · · · + Cn χn (x), donde los coeficientes estan dados por. Cj =. 1X f (x)χj (x). n x. Demostración. [4, pág 353]. Por teorema (3.1.5) los caracteres forman una base ortogonal de L(G). .

(48) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 40. Ejemplo 3.2.1. Sea G el grupo aditivo aditivo de los enteros módulo 4, y sea f (0) = 3,. f (1) = i,. f (2) = 1,. f (3) = −i,. g(0) = 1,. g(1) = 2 + i,. g(2) = −1,. g(3) = 2 − i.. y. a) La serie de Fourier para f y g, es decir, escribrirlos como combinación lineal de los caracteres correspondientes a G = Z4 . f (x) = c0 χ0 (x) + c1 χ1 (x) + c2 χ2 (x) + c3 χ3 (x) donde ci =. 1X f (x)χi (x) 4 x. y  χ0     χ 1 Caracteres  χ2    χ3. = = = =. (1, 1, 1, 1) (1, i, −1, −i) (1, −1, 1, −1) (1, −i, −1, i).. Cálculo de los coeficientes: Sabemos que f (x) = (3, i, 1, −i), ası́ aplicando la fórmula 1X f (x)χ0 (x) 4 x i 1h = f (0)χ0 (0) + f (1)χ0 (1) + f (2)χ0 (2) + f (3)χ0 (3) 4 1 1 = [3(1) + i(1) + 1(1) + (−i)(1)] = [4] = 1 4 4. C0 =. 1X f (x)χ1 (x) 4 x i 1h = f (0)χ1 (0) + f (1)χ1 (1) + f (2)χ1 (2) + f (3)χ1 (3) 4 1 1 = [(3)(1) + (i)(−i) + (1)(−1) + (−i)(i)] = [3 + 1 − 1 + 1] = 1 4 4. C1 =.

(49) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 41. 1X f (x)χ2 (x) 4 x i 1h = f (0)χ2 (0) + f (1)χ2 (1) + f (2)χ2 (2) + f (3)χ2 (3) 4 1 1 [(3)(1) + (i)(−1) + (1)(1) + (−i)(−1)] = [3 − i + 1 + i] = 1 = 4 4. C2 =. 1X f (x)χ3 (x) 4 x i 1h f (0)χ3 (0) + f (1)χ3 (1) + f (2)χ3 (2) + f (3)χ3 (3) = 4 1 1 = [(3)(1) + (i)(i) + (1)(−1) + (−i)(−i)] = [3 − 1 − 1 − 1] = 0. 4 4. C3 =. Ası́ f (x) = (3, i, 1, −i) = 1χ0 + 1χ1 + 1χ2 + 0χ3. (Suma finita de Fourier). = 1(1, 1, 1, 1) + 1(1, i, −1, −i) + 1(1, −1, 1, −1) + 0(1, −i, −1, i) = (1 + 1 + 1, 1 + i − 1, 1 − 1 + 1, 1 − i − 1) = (3, i, 1, −i) = f (x). La comprobración nos indica que los coeficientes son correctos y éstos multiplicados por los caracteres generan o reconstruyen a f mediante una ”Serie o Suma Finita de Fourier”, donde f esta definida sobre el grupo G = Z4 . Esto es, f : Z4 −→ C 0 7−→ 3 1 7−→ i 2 7−→ 1 3 7−→ −i. Una notación para f es considerada como la secuencia f = (3, i, 1, −i). Con el desarrollo de la teorı́a precedente se da inicio a los siguientes hechos,. 3.3.. Grupo Dual. Sea G definido en el ejemplo (3.1.1). Ya que G tiene cuatro elementos, tiene cuatro caracteres como se observa en la tabla. Si se lee la tabla de forma vertical, es decı́r por columnas y no por filas, podemos considerar los elementos x en G.

(50) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 42. como funciones de caracteres χm , ası́ se ve fácilmente que ellos son ortogonales entre si. Luego pensar en una “ortogonalidad al revés” tiene sentido si en χm (x) tomamos x como fijo y cada χm va variando, ası́ que obtenemos para cada x fijo una función a valor complejo con dominio en el conjunto de caracteres. Ası́ encontramos un interesante hecho: existe una completa dualidad entre el grupo G y el conjunto de caracteres de G. Definición 3.3.1 (Grupo Dual). Sea G un grupo abeliano, el conjunto de todos los caracteres de G forma un grupo abeliano respecto al producto, dicho grupo b es llamado el Grupo Dual de G, denotado por G. b además de los axiomas que cumple por Observación 3.3.1. El grupo dual G ser grupo, satisface que, b 1. El orden de G es igual al orden de G. 2. Los caracteres del grupo dual pueden ser identificados con el grupo original G. En otras palabras, para un caracter fijo χm y variable x, χm (x) representa un caracter de G , pero para un x fijo y un χm variable, se b obtiene un caracter del grupo dual G. b la inversa del caracter χm es χm , el inverso conjugado de χj . 3. En G Teorema 3.3.1. El dual de un grupo cı́clico finito es isomorfo al mismo grupo. b ≈ G. Esto es G Demostración. [12, pág 6]. Sea x el generador del grupo cı́clico de orden n, y sea χ un caracter arbitrario. Entonces se tiene que χ(kx) = [χ(x)]k = αk para k = 1, 2, 3, . . . , n, donde α es un número complejo módulo 1, por otra parte, como αn = [χ(x)]n = χ(nx) = χ(0) = 1, se tiene que α es una raı́z n-ésima de la unidad. Claramente, la función b −→ T G χ 7−→ α, es un isomorfismo del grupo dual hacia el grupo multiplicativo de las raı́ces n-ésimas de la unidad. Por otro lado, el grupo cı́clico G de orden n es también isomorfo al grupo multiplicativo de las n-ésimas raı́ces de la unidad. Ası́ que b ≈ G. G .

(51) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 43. Aunque todo grupo abeliano cı́clico finito es isomorfo a su dual, es claro de la demostración anterior que el isomorfismo esta lejos de ser un isomorfismo “natural”. Ya que este no refleja nada acerca de la relación entre el grupo y su dual. Esto es solo una consecuencia trivial del simple hecho que cualquier dos grupos cı́clicos del mismo orden son isomorfos. [10, pág 95]. bb El dual de un grupo Abeliano finito G tiene también su dual: G, el segundo dual bb de G. Existe una forma natural de establecer una función de G hacia G: para bb b cada x ∈ G sea Φx el caracter de G (esto es, Φx ∈ G) definido ası́ Φx (χ) = χ(x) b para cada χ ∈ G. La función x → Φx es llamado el homomorfimos canónico de G hacia su segundo dual. El más importante resultado en la teorı́a de dualidad de grupos abelianos finitos es lo siguiente.. 3.4.. Teorema de Dualidad de Pontryagin para grupos Abelianos finitos. Lev Semiónovich Pontriygin fue uno de los más grandes matemáticos del siglo XX, hizo múltiples aportes a la teorı́a de la dualidad para la homologı́a, sentó las bases para la teorı́a abstracta de la transformada de Fourier, que ahora se llama la dualidad de Pontryagin enunciada en el siguiente teorema, Teorema 3.4.1. Todo grupo abeliano finito es isomorfo a su segundo dual, vı́a bb el homomorfismo canónico. Esto es G ≈ G. Demostración. [12, pág 7]. Obviamente, el homomorfismo canónico es realmente un homomorfismo. Para probar la inyectividad consideremos la siguiente tabla de caracteres   x1 x2 ··· xn ← elementos de G    χ1 (x1 ) χ1 (x2 ) · · · χ1 (xn ) ← primer caracter     χ2 (x1 ) χ2 (x2 ) · · · χ2 (xn ) ← segundo caracter   .. .. ..  ..  .. .  .  . . . χn (x1 ) χn (x2 ) · · · χn (xn ) ← n-ésimo caracter Donde los χ1 , χ2 , . . . χn son todos los diferentes caracteres de G. Supongamos que todos los caracteres toman valor 1 para algún elemento xn 6= 0.

(52) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 44. (elemento distinto de la identidad del grupo), entonces las columnas de la matrı́z correspondientes a xn y a 0 son idénticas, luego la matrı́z es singular, contradiciendo la independencia lineal de los caracteres, la cual es una consecuencia inmediata de su ortogonalidad. De lo anterior, se tiene entonces que si tomamos un xn ∈ G fijo y permitimos que χj varı́e, obtenemos para cada xn fijo, una función a valor compleja cuyo dominio es el conjunto de caracteres. Nótese que en el caso x1 = 0 fijo, se obtiene: .    χ1 (0) 1      χ2 (0)  1  .  = .  .  .  .  . χn (0) 1. b el caracter identidad en G,. ası́ que,. b −→ T Φx : G χ 7−→ Φx (χ) = χ(x), se interpreta como b −→ T Φ0 : G χ 7−→ Φ0 (χ) = χ(0), y el homomorfismo canónico b −→ T Φx : G 0 7−→ Φ0 , se tiene. De aquı́ se sigue que el kernel del homomorfismo canónico es el conjunto cuyo único elemento es la identidad, {0 → Φ0 }, por corolario en [7, p. 65] que establece que T es 1 − 1 si y sólo sı́ ker(T ) = {0}, podemos concluir que el homomorfismo canónico es Inyectivo. La sobreyectividad es una consecuencia directa de las cardinalidades iguales de c c Ası́, hemos probado que el homomorfismo canónico los dos grupos, |G| = |G|. es 1 − 1 y sobre, lo que significa que cada elemento x del grupo se identifica con bb bb un carácter Φx de G. En sı́mbolos, sı́ G es un grupo Abeliano finito, G ≈ G a través de un homomorfismo canónico. La siguiente notación es pertinente. .

(53) CAPÍTULO 3. DUALIDAD DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS. 45. Nota 3.4.1. Sea G = {x1 , x2 , . . . , xn } = {0, 1, . . . , n − 1} ya que hemos elegido x1 = 0 como elemento unidad identidad.        χ1 (0) χ1 (1) χ1 (n − 1)              χ2 (0)   χ2 (1)   χ2 (n − 1)  bb      . G = {Φ0 , Φ2 , . . . , Φn−1 } =  ..  ..  ,  ..  , . . . ,    . . .             χ (0)  χ (1) χ (n − 1) n n n b Cada elelemto del grupo esta fijo para cada caracter de G. b = {χ1 , χ2 , . . . , χn } G = {(χ1 (0), . . . , χ1 (n − 1)), (χ2 (0), . . . , χ2 (n − 1)), . . . , (χn (0), . . . , χn (n − 1))} = {(χ1 (0), . . . , χ1 (n − 1)), (χ2 (0), . . . , χ2 (n − 1)), . . . , (χn (0), . . . , χn (n − 1))} Cada elemento del grupo es variable para cada caracter de G. La propiedad de G, tal que para cada elemento diferente de la identidad existe un caracter, cuyo valor en este elemento es distinto del caracter 1 es expresado diciendo que el grupo tiene suficientes caracteres. Claramente, esta propiedad puede ser formulada en el sentido que para cualquier dos elementos diferentes del grupo existe un carácter, el cual toma valores distintos en los dos elementos. En otras palabras, si 0 6= 1 existe un carácter digamos por ejemplo χ2 en el que χ2 (0) 6= χ2 (1). Analicemos el caso para 0 y 1 fijos:     χ1 (0) χ1 (1)      χ2 (0)   χ2 (1)   . , .   .   .   .   .  χn (0). χn (1). Podemos decir brevemente que los caracteres separan los elementos del grupo, o que los caracteres forma una familia que separan los puntos del grupo. El argumento de arriba muestra que esta propiedad es necesaria y suficiente para que el homomorfismo canónico sea inyectivo. b el Nota 3.4.2. [4, pág 356]. Sea L(G) el álgebra de grupo de G y sea L(G) b L(G) b es el álgebra espacio lineal complejo n-dimensional de funciones sobre G, b mediante la multiplicación usual de funciones (no la convolude grupo de G, b dicho isomorfismo es llamado ción como en L(G)). L(G) es isomorfo a L(G), la Transformada de Fourier, dicho isomorfismo asocia a cada f ∈ L(G) una.