SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

(1)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal con n incógnitas, x1, x2 , ... , xn es toda expresión algebraica de la forma:

donde:

• ai son números reales que llamamos coeficientes

• b es un número real denominado término independiente.

Si b = 0 decimos que la ecuación es homogénea.

Decimos que un conjunto de valores s1, s2, ..., sn es una solución de la ecuación anterior si sustituidos en

las incógnitas x1, x2 , ... , xn, respectivamente hacen que sea cierta la igualdad. Al conjunto formado por

todas las n-uplas que son solución se le denomina conjunto solución de la ecuación.

Una ecuación homogénea admite siempre como solución la n-upla: (0, 0, ..., 0) que se denomina solución trivial.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si admiten el mismo conjunto solución. Si multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo número se obtiene una ecuación equivalente.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse simultáneamente. Si todas ellas son lineales diremos que se trata de un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas lo representamos en general de la forma:

Cuando el número de incógnitas es pequeño se suelen utilizar las letras: x, y, z, t,... Ejemplo:

Si todas las ecuaciones son homogéneas diremos que el sistema es homogéneo.

Una n-upla (s1, s2, ..., sn) es solución del sistema de ecuaciones si verifica todas las m ecuaciones. Por

ejemplo la cuaterna (1, 0, 3, –1) es solución del sistema del ejemplo anterior.

Dos sistemas de ecuaciones diremos que son equivalentes si poseen el mismo conjunto solución.

Transformaciones de equivalencia de sistemas:

• Cambiar de orden las ecuaciones o las incógnitas

• Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero

• Si dos ecuaciones son iguales o proporcionales se puede eliminar una de ellas

• Si una ecuación es combinación lineal de las demás se puede eliminar

• Podemos sustituir una ecuación por una combinación lineal de ella misma con el resto de las ecuaciones.

1 1 2 2 n n

a x

+

a x

+

_K

+

a x

=

b

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n n

m m mn mn m

a x

b

a x

b

a x

b

+

=

ü

ï

+

=

_ï

ý

ï

+

_{= þ}

K

LLL

K

2

3

2

5

3

2

3

6 x y z

t

x

y z t

x

z

t

(2)

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se puede expresar de forma matricial del modo siguiente:

donde:

• A, de dimensión m x n, es la matriz de coeficientes

• X, de dimensión n x 1, es la matriz de incógnitas

• B, de dimensión m x 1, es la matriz de términos independientes.

Si a la matriz de coeficientes le añadimos como columna a la derecha la matriz de términos independientes tendremos lo que denominamos matriz ampliada, M:

Ejemplo:

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS ATENDIENDO AL NÚMERO DE

SOLUCIONES

Resolver un sistema es encontrar el conjunto solución del sistema. Pueden darse dos situaciones:

• El sistema no posee ninguna n-upla que sea solución: decimos que el sistema es

INCOMPATIBLE

• El sistema posee solución. Decimos que el sistema es COMPATIBLE

En este situación se pueden dar a su vez dos casos:

◦ La solución es única: sistema compatibleDETERMINADO

◦ Hay infinitas soluciones: sistema compatibleINDETERMINADO

{ {

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

· ;

·

n n

m m mn n m

X B

A

a

x

b

a

x

b

A X

B

a

x

b

æ

ö æ

ö æ ö

ç

÷ ç

÷ ç ÷

ç

÷ ç

÷ ç ÷

₌

ç

÷ ç

÷ ç ÷

ç

÷ ç

÷ ç ÷

è

ø è

ø è ø

L

L L L L

M

L

144424443

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

Matriz ampliada :

n n

m m mn m

a

b

a

b

M

a

b

æ

ö

ç

÷

ç

÷

=

_ç

_÷

ç

÷

è

ø

L

L L L L L

L

{

3 1 3 4

4 1

El sistema del ejemplo anterior:

2

3

2

1 1 2

3

2

5 Se puede escribir: 1

2

1 1 ·

5

3

2

3

6

3

0

2

3

6 y su matriz ampliada es:

2

1 1 2

3

1 x

x y z

t

y

x

y z t

z

x

z

t

´ ´

´

æ ö

+ - +

= -

ü

æ

-

ö

_{ç ÷}

æ

-

ö

ï

ç

÷

_{ç ÷}

ç

÷

-

+ - =

_ý

_ç

-

_÷

=

_ç

_÷

ç ÷

ï

ç

÷

ç

÷

+

+ =

_þ

_è

_ø

ç ÷

_è

_ø

è ø

-

-14442444

3

2

1

5

3

0

2

3

6 æ

ö

ç

_-

÷

ç

÷

ç

÷

(3)

Los sistemas homogéneos son siempre compatibles porque poseen siempre la solución trivial. Una ecuación del tipo: 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b se dice que es una ecuación degenerada:

Esta ecuación, a su vez, puede ser:

• Trivial: si b = 0. Como se cumple para cualquier colección de números, puede ser eliminada si pertenece a un sistema de ecuaciones.

• Absurda: si b ≠ 0. Como no puede ser satisfecha por ningún conjunto de números reales, si pertenece a un sistema hará que el sistema sea incompatible.

TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS

El teorema de Rouché-Frobenius afirma que es condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas sea compatible, que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.

Supuesto que esta condición se cumple, el sistema es determinado si el rango es igual al número de incógnitas y es indeterminado en caso contrario.

CLASIFICACIÓN y RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones equivalentes al sistema hasta dejarlo escalonado. Podemos trabajar escribiendo las ecuaciones, o lo que es más cómodo aplicar las transformaciones elementales por filas a la matriz ampliada hasta dejarla escalonada. Veamos el proceso con un ejemplo:

Aplicando el método de Gauss se nos pueden presentar tres situaciones que nos permiten clasificar los sistemas según sus soluciones según lo establecido por el Teorema de Rouché-Frobenius.

Recordemos que si operando con filas aparece una fila con todos los elementos nulos, puede eliminarse. Esta situación se correspondería con la ecuación trivial:

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0

que se cumple para cualquier valor que tomen las incógnitas y por lo tanto es irrelevante para la resolución del sistema. En consecuencia puede eliminarse la fila donde ha aparecido y continuar con las transformaciones del método.

Podemos llegar a:

( )

_{( )}

( )

Sistema INCOMPATIBLE:

DETERMINADO

Sistema COMPATIBLE

:

INDETERMINADO

rg A

rg M

rg A

n

rg A

rg M

rg A

n

¹

ì

= Þ

ï

Û

=

_í

< Þ

ïî

2 2 1

3 3

3 3 1

2 3 3

1 2

3 ₄

2

3

9

1

2

3

9

1

2

3

9

2

3 ;

2

1

2

3

0

3

4

15

3

2

1

3

2

1

0

4

8

28

1

2

3

9

1

2

3

9

0

3

4

15

0

1

2

7

0

1

2

7

0

3

4

15

F F F _F _F

F F F

x

y

z

x y

z

M

x

y z

® - _®

® +

«

+

-

= -

ü

æ

-

ö

æ

-

ö

ï

ç

÷

ç

÷

+ -

= -

_ý

=

_ç

-

- ¾¾¾¾®

_÷

_ç

-

_÷

¾¾¾¾

®

ï

ç

÷

ç

÷

- -

+ = -

_þ

_è

-

_ø

_è

-

_ø

-

-æ

ö

æ

ö

ç

÷

ç

÷

®

_ç

-

_÷

¾¾¾®

_ç

-

_÷

ç

_-

÷

ç

_-

÷

è

ø

è

ø

3 3 2

1 2

3

9 0 1

2

7 0 0

2

6 que corresponde al sistema equivalente:

2

3

9

2 7 que en esta forma es fácil hallar sus soluciones:

2

6 3 ;

7 2

1 ;

9 2

3

2

F F

x

y

z

y

z

y

z

x

y

z

® +

-

-æ

ö

ç

÷

¾¾¾¾®

_ç

-

_÷

ç

_-

÷

è

ø

+

-

= - ü

ï

-

_{= - ý}

ï

- = - þ

(4)

•

Sistema incompatible

:

aparece una fila con todos sus elementos nulos excepto el correspondiente al término independiente. Esto se corresponde con una ecuación absurda imposible de ser satisfecha.

Ejemplo:

•

Sistema compatible determinado: se llega a una matriz ampliada escalonada con

igual número de ecuaciones que de incógnitas. Sería el caso del primer ejemplo de esta pregunta, es decir:

( )

2

3

4

2

3

1

2 3 1

4

2

1 2 1

;

1 2 1

2

8

5

1

8

5

8 5 5

1 Calculemos los rangos por determinantes:

2

3

1

2

3 7 0

( ) 2

;

1 2 1

10 24 5 16 15 10 0

1

2

8

5

5 Por tanto

2

3

4

1

2

8

5

1 x

y z

x

y z

A

M

x

y

z

rg A

+

+ = ü

æ

ö

æ

ö

ï

ç

÷

ç

÷

-

+ = -

_ý

Þ

=

_ç

-

_÷

=

_ç

-

_÷

ï

ç

÷

ç

÷

+

_{= þ}

_è

_ø

_è

_ø

= - ¹ Þ

³

-

= - +

+ +

- -

=

-=

-

- = -

(

)

( )

2 1 2

4 48 20 64 3 20 49 0

3 ( )

Sistema incompatible

Apliquemos el método de Gauss para ver cómo hubiera quedado el sistema escalonado:

2 3 1

4

1 2 1

2

1 2 1

2

2 3 1

4

8 5 5

1

8 5 5

1

F F F

rg AM

rg A

rg M

« ®

-

+

- +

=

¹ Þ

=

¹

Þ

-

-æ

ö

æ

ö

ç

_-

_{- ¾¾¾®}

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

è

ø

2 1 3 3 2

3 3 1

2 3

8

1

2

1

2

0

7

1

8 0 21

3 17

1

2

1

2

0

7

1

8 ;

0

0 7 Ecuación absurda

Sist. INCOMPATIBLE

0

7 La matriz escalonada de M tiene rango 3 pues tiene 3 filas l

F F F F F

F F F

x

y

z

- ®

®

--

-æ

ö

ç

÷

¾¾¾¾®

_ç

-

_÷

¾¾¾¾®

ç

_-

÷

è

ø

-

-æ

ö

ç

÷

®

_ç

-

_÷

+

= -

Þ

ç

_-

÷

è

ø

inealmente independientes

La matriz escalonada de A tiene rango 2 ya que tiene 2 filas linealmente independientes

( )

2

3

9

1

2

3

9 1 2

3

9

2

3 ;

2

1

2

3 0 1

2

7

3

2

1

3

2

1

1 0 0

2

6 1 12 12 9 4 4 8 0

3 nº de incógnitas

M tiene 3 filas linealmente independientes

A tiene 3 fil

x

y

z

x y

z

M

x

y z

A

rg A

rg M

+

-

= -

ü

æ

-

ö

æ

-

ö

ï

ç

÷

ç

÷

+ -

= -

_ý

=

_ç

-

- ®

_÷

®

_ç

-

_÷

ï

ç

÷

ç

÷

- -

+ = -

_þ

_è

-

_ø

_è

-

_ø

= +

+

- - - = ¹ Þ

= =

=

L

( )

3 nº de incógnitas

as linealmente independientes

9 2

3

2 Sist. COMPATIBLE DETERMINADO

solución única:

7 2

1

3 rg A

rg M

x

y

z

y

z

ü

Þ

=

= =

Þ

ý

þ

= - -

+

=

ì

ï

Þ

_í

= - +

=

(5)

•

Sistema compatible indeterminado: se llega a una matriz ampliada con más

incógnitas que ecuaciones:

( )

4

8

9

4

1

8

4 1 8 9

4

2

5

6 ;

4 2 5 ;

4 2 5 6

1

0

1

0 1 1 1

Calculemos los rangos por determinantes:

4

1

8

4

2 4 0

2 ; 4

2 5

8 0 32 0 4 20 0

2

0

1

0

1

1 Veamos si M tien

x y

z

x

y

z

A

M

y z

rg A

+ +

= ü

æ

ö

æ

ö

ï

ç

÷

ç

÷

-

+

=

_ý

=

_ç

-

_÷

=

_ç

-

_÷

ï

ç

÷

ç

÷

+ = þ

è

ø

è

ø

-= ¹ Þ

³

-

= - + +

+ - -

= Þ

=

( )

e rango 3 orlando con la columna de términos independientes:

4

1

9

4 2 6

8 0 36 0 4 24 0

2

0

1

1 2 3 nº de incógnitas

Sist. COMPATIBLE INDETERMINADO

Apliquemos el método de Gauss:

4 1 8 9

4 2 5 6

0 1 1 1

rg M

rg A

rg M

-

= - + +

+ - -

= Þ

=

= < =

Þ

æ

ç

-ç

ç

è

2 2 1 suprimimos 2

4

1

8

9 4 1 8 9

0

3

3 0 1 1 1

0

1

1 Tenemos la matriz escalonada de coeficientes y la escalonada de la ampliada con dos filas

linealmente independientes, por tan

F® -F F F

ö

æ

ö

æ

ö

÷

_¾¾¾¾®

ç

_-

_{- ¾¾¾¾¾}

÷

_®ç

÷

ç

÷

_è

_ø

÷

ç

÷

ø

è

ø

( )

to:

2 3 nº de incógnitas

Sist. COMPATIBLE INDETERMINADO

Para expresar el conjunto solución tendremos en cuenta que el sistema equivalente obtenido es:

4

8

9 Podemos elegir tanto la

1 rg A

rg M

x y

z

y z

=

= < =

Þ

+ +

= ü

ý

+ = þ

variable o la variable para que actuen como

un parámetro que puede tomar cualquier valor. Las demás variables se obtienen a partir de él:

4

8

9

4 9 8

4

1 9 8

1

1 y

z

x y

x

y

z

l

+ +

=

ü

+ = -

ü

+ =

-ï

ï

+ =

_ý

Þ

= -

_ý

Þ

ï

=

_þ

=

_þ

7

2

4

1

1 Si la discusión del sistema la hubiéramos hecho hallando los rangos por determinantes

tendríamos que partir del menor de orden 2 no nulo que encontramos:

4

2

0 x

y

z

l

ü

= -

_ï

ü

ï

= -

_ý

Þ

= -

_ý

Î

ï

=

_þ

=

_ï

þ

-¡

(

)

4

2

5

6 que se corresponde con el sistema:

actúa como parámetro:

1

7

2

4

2

5

6

4 2 1

5

6

4 8 7

₄

1

1 x

y

z

y z

x

y

x

y

z

l

-

+

= ü

ý

+ = þ

ü

= -

_ï

-

+

=

ü

-

+

=

ü

= -

ü

ï

+ =

_ý

Þ

= -

_ý

Þ

= -

_ý

Þ

= -

_ý

Î

ï

=

_þ

=

_þ

=

_þ

=

_ï

þ

(6)

En los sistemas compatibles indeterminados tendremos que tomar un número de parámetros igual a la diferencia entre el número de incógnitas y el rango del sistema. En este último ejemplo el número de incógnitas era 3 y el rango del sistema era 2, por eso hemos tomado (3 – 2) parámetros.

Se llama grado de indeterminación de un sistema a la diferencia entre el número de incógnitas y el rango del sistema; indica el número de parámetros necesarios para expresar sus soluciones:

nº de parámetros = nº de incógnitas – rango(A)

Aunque en los tres ejemplos hemos hallado previamente los rangos de las matrices A y M por determinantes, el método de resolución de Gauss nos permite establecer la clasificación del sistema, según el teorema de Rouché-Frobenius, observando el número de filas linealmente independientes tras hallar las matrices escalonadas de A y M.

REGLA DE CRAMER

Decimos que un sistema de n ecuaciones lineales es de Cramer si se cumple:

• El número de ecuaciones no triviales coincide con el número de incógnitas n

• El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: |A| ≠ 0

Un sistema de Cramer es siempre compatible y determinado ya que al ser |A| ≠ 0 entonces:

rg (A) = rg (M) = n = nº de incógnitas

para hallar la solución única que posee, basta resolver la ecuación matricial:

(

)

1 1 1 1

11 21 31 1

12 22 32 2

13 23 33 3

· · ·

·

· Para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

1

·

t

·

· Por lo que el valor de

A X

B

A

A X

A

B

I X

A

B

X

A

B

x

A

b

y

Adj A B

A

b

A

z

A

b

- - -

-=

Þ

=

Þ

=

Þ

=

æ ö

æ

ö æ ö

ç ÷

₌

ç

÷ ç ÷

ç ÷

ç

÷ ç ÷

ç ÷

ç

÷ ç ÷

è ø

è

ø è ø

1 12 13

2 22 23

3 32 33

1 11 2 21 3 31

11 1 13

21 2 23

31 3 33

1 12 2 22 3 32

11 12 1

21 22 2

31 32 3

1 13 2 23 3 33

las incógnitas será:

·

· b

a

b

a

b

a

b A

x

A

a

b

a

b

a

b

a

b A

y

A

a

b

a

b

a

b

b A

z

A

+

=

+

=

+

=

Desarrollo por la 1ªcolumna

Desarrollo por la 2ªcolumna

(7)

Estas expresiones se pueden generalizar y constituyen la llamada Regla de Cramer: cada incógnita x i es

igual al determinante de la matriz A reemplazando la columna i por la matriz columna de términos independientes, dividido por el determinante de A:

Ejemplo:

La regla de Cramer se puede utilizar también para resolver los sistemas compatibles indeterminados. Para ello debemos sustituir tantas incógnitas por parámetros como grado de indeterminación tenga el sistema, es decir, nºparámetros = nº incógnitas – rango(A)

Ejemplo:

11 12 1, 1 1 1, 1 1

21 22 2, 1 2 2, 1 2

1 2 , 1 , 1

i i n

n n n i n n i nn

i

a

b

a

b

a

b

a

x

A

- +

=

L

L L L L L L L L

L

2

3

2 Comprobamos que el sistema es de Cramer:

3

2

1

2

3

2

1 8 1 18 4 6 6

13 0 ; nº de ecuaciones = 3 = nº de incógnitas

1 3

2

1

2

1

3

2 4 1 42 4 14 3

26

2

13

1

7

1

7

1

2

2 x y

z

x

y z

x

y

z

A

x

A

y

- -

=

ü

ï

+

_{+ = ý}

ï

- +

+

_{= þ}

-

-=

= + -

- + - = - ¹

--

-- -- --

+ +

+

-=

=

-

-=

--

-3

1

2 28 1 6 14 6 2

13

1

13

2

1

7

1

3

2 1 3

4 7 9 2 3 42

39

3

13

1

3

7 A

z

A

-

+ - -

+

-=

=

--

+ - - + -

-=

=

-

-=

=

Columna i

2

3

2

3

1

2

3 1 2

4

7

3

0

4

7

3 ;

4

7

3

0

3

2

1

3

2

1

3

2

1

1 x

y z

x

y

z

A

M

x

y z

+

- =

ü

æ

-

ö

æ

-

ö

ï

ç

÷

ç

÷

-

+

=

_ý

=

_ç

-

_÷

=

_ç

-

_÷

ï

ç

÷

ç

÷

(8)

Ejercicio. Resolver el sistema:

( )

2

3 14 12

26 0

4

7

2

3

1

4

7

3 14 27 8 21 12 12 0

3

2

1 Rango de la ampliada:

2

3

2

4 7 0

14 0 16 42 12 0 0

2

3 2 1

rg A

rg M

ü

= - -

= -

¹

_ï

-ïï

_Þ

₌

-

ý

ï

-

= - +

+ -

-

+

_{= ï}

ï

-

_þ

-

= - + -

+

-

+ = Þ

=

-( )

( )

2 3 nº de incógnitas

Sist. compatible INDETERMINADO.

Necesitamos (3 – 2) parámetros

Tomamos las dos ecuaciones asociadas al menor de orden 2 no nulo:

2

3

2 Dejamos z como pa

4

7

3

0 rg A

rg M

x

y z

x

y

z

=

= < =

Þ

+

- = ü

ý

-

+

_{= þ}

(

)( )

(

)

(

)

2

3

2 rámetro: 4

7

3 Aplicamos la regla de Cramer:

2

3

2

7 3· 3

3

7 14 2

7

2

3

26

13

4

7 2 2

6 4 2

4

3 8 10

4 5

2

3

26

13

4

7 x

y

x

y

z

x

y

l

+

= + ü

ï

-

_{+ = - ý}

ï

=

_þ

+

- -

--

-

- +

-=

=

-

-+

-

+

-

- -

+

=

-

-( )

( )

2

1

2

1

2

1

0

1

5

3

5

4

1

5

3

5

4

1

1 Rango de A:

1 2 3 0

2. Orlamos este menor:

2

1

2

1

0 3 10 1 6 0

;

2

1

1 5 1 10 1 10 5 0

1

5

3

1

5

5 Por tanto:

2 x y z t

x y t

M

x

y

z

t

rg A

- - + =

ü

æ

-

ö

ï

ç

÷

+ - =

_ý

=

_ç

-

_÷

ï

ç

÷

+

-

= -

_þ

_è

-

_ø

-= + -= ¹ Þ

³

-

-= -

+ + =

- = - + +

- -

+ =

(9)

DISCUSIÓN DE UN SISTEMA EN FUNCIÓN DE UN PARÁMETRO

La clasificación de un sistema en función de los posibles valores que puede tomar un parámetro suele recibir el nombre de discusión del sistema. Veamos un ejemplo:

Ejercicio: Discutir según los valores de m el siguiente sistema:

( )

Para hallar el rango de M orlamos el menor con la última columna:

1

2

1

1 4 1 20 2 8 5 0

2

1

5

4 2 4 nº de incógnitas

Sist. compatible indeterminado

nº de parámetros = 4 – 2 = 2.

Escribimos

rg M

rg A

rg M

-= - - +

- - - = Þ

=

-=

= < =

Þ

el sistema equivalente asociado al menor de orden 2 no nulo:

2 Para resolverlo utilizamos dos variables como parámetros:

2

1

2

1

2

1

2

1

3

2

1 x y z t

z

x y t

t

x y

x

l

m

l m

m

l m

m

l m

m

- - + =

ü

ì

=

ý

í

+ - =

_þ

_î

=

- = + - ü

ý

+ = +

_þ

+ -

-+

+ - + +

=

-3

1

3

3 1 2

2

1

1 4 2

2 3 2

3

2

1

3

2

1

2 Solución: 1

,

1 ,

,

3

3 y

l

l m

m

l

m

l

m

_{l m}

l

_{l m l m}

_{l m}

+

_{= +}

+

-+

+ - -

+

- -

+

=

= - -

+

-æ

₊

_{- -}

₊

ö

_"

_Î

ç

÷

è

ø

¡

( )

2 2 2

1 1 1 1

1 1 1

1

2 ;

2 1

;

2 1

1 1 1

1 1

1 Rango de A:

1 1

1 2

1 0

2. Orlamos:

2 1

1 1 1

1 2 1

2

1

2

1

3 2 ;

3 2 0

2 1 1

Si

1 y

2

3 x y z

m

mx

y z

m

A

m

M

m

x y mz

m

rg A

m

rg A

+ + = -

ü

æ

ö

æ

-

ö

ï

ç

÷

ç

÷

+

+ =

_ý

=

_ç

_÷

=

_ç

_÷

ï

ç

÷

ç

÷

+ +

_{= þ}

_è

_ø

_è

_ø

= - = - ¹ Þ

³

=

+ + - -

- = -

+

-

+

- = Þ

=

¹

¹ Þ

=

Z ]

( )

nº de incógnitas

Sist. compatible determinado

rg M

(10)

Veamos como haríamos la discusión del sistema por el método de Gauss. Partimos de la matriz ampliada:

( )

Analicemos ahora los casos en que

2:

Si

1 1 1 1

1 1 1 0

1 2 1

;

1 2 1 1 Orlamos el menor de orden 2 no nulo

1 1 1

1 1 1 1

con la 4ªcolumna:

1 1 0

2 1 1

1 1 2 1

1 0

3 2

Sist. incompati

1 1 1

rg A

m

A

M

rg M

rg A

=

æ

ö

æ

ö

ç

÷

ç

÷

=

_ç

_÷

=

_ç

_÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

è

ø

= + - - = - ¹ Þ

= ¹ =

Þ

( )

ble

Si

2 1 1 1

1 1 1 1

2 2 1

;

2 2 1 2 Orlamos el menor de orden 2 no nulo

1 1 2

1 1 2 1

con la 4ªcolumna:

1 1 1

2 1 2

0 2 3 nº de incógnitas

Sist. compatible indeterminado

1 2 1

m

A

M

rg M

rg A

=

æ

ö

æ

ö

ç

÷

ç

÷

=

_ç

_÷

=

_ç

_÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

è

ø

= Þ

=

= < =

Þ

2 2 1

3 3 1

2

1 1 1

1

1 2 1

0 2

1

2 1 1

1

0

1

2

1 1 1 1 0

0 1 0 1 (la última fila representa una ecuación absurda)

0 0 0 1

La matriz escalonada de A tiene 2

F F mF F F F

m

M

m

m m

m

M

® ®

--

-æ

ö

æ

ö

ç

÷

ç

÷

=

_ç

_÷

¾¾¾¾¾

®

_ç

-

_÷

ç

÷

ç

_-

÷

è

ø

è

ø

=

æ

ö

ç

÷

= ç

÷

ç

÷

è

ø

( )

3

Suprimimos

filas linealmente independientes

2 La matriz escalonada de M tiene 3 filas linealmente independientes

3 Sist. incompatible

2 1 1

1

1 1 1

1

1 0 0

1 0

0 0

1 0

0 0

1

0 La

F

rg A

rg M

rg A

rg M

m

M

Þ

=

Þ

=

¹

Þ

=

æ

ö

æ

ö

ç

÷

=

_ç

-

_÷

_¾¾¾¾®ç

_÷

-è

ø

ç

÷

è

ø

( )

matrices escalonadas de A y de M tienen 2 filas linealmente independientes

2 3 nº de incógnitas

Sist. compatible indeterminado

1 y m 2

La matrices escalonadas de A y de M tienen 3 filas

rg A

rg M

m

Þ

=

= < =

Þ

¹

( )

linealmente independientes

3 nº de incógnitas

Sist. compatible determinado

rg A

rg M

Þ

(11)