01. Ya que estamos en el Año Internacional de la Cristalografía, vamos a considerar un cristal muy preciado: el diamante.
a) Calcula la velocidad de la luz en el diamante.
b) Si un rayo de luz incide sobre un diamante con un ángulo de 30º respecto a la normal, ¿con qué ángulo se refracta el rayo? ¿Cuál es el ángulo límite para un rayo de luz que saliera del diamante al aire?
c) Nos permitimos el lujo de fabricar una lupa con una lente de diamante. Determina el radio que deben tener las caras de la lente, supuesta delgada y biconvexa, para que la potencia de la lupa sea de 5 dioptrías. ¿Cuáles serían los radios si la lente fuera plano-convexa?
Dato: índice de refracción del diamante 2,4
a) A partir del índice de refracción VACIO VACIO 8 1
D D
D D
v v
n v 1,25·10 ms
v n
b) Aplicando Snell a los dos casos: n seni n senr1 2 1·sen30 2,4·senr r 12,02º
y el ángulo límite 2,4· seni 1·sen90 i 24,62º
c) la distancia focal es f2 0,2m y recordando que
2 1 2
1 (n 1) 1 1
f R R
si la lente es biconvexa y los radios tienen el mismo valor pero signos contrarios:
1
1 1 1
1 1 1 2
(2,4 1) 5 1,4 R 0,56m
0,2 R R R
si la lente es plano-convexa, el primer radio es infinito y el segundo R2:
2
2 2
1 1 1 1,4
(2,4 1) 5 R 0,28m
0,2 R R
02. Uno de los telescopios originales de Galileo consta de dos lentes, Objetivo y Ocular, hechas del mismo vidrio, con las siguientes características:
- Objetivo: plano-convexa, focal imagen de 980 mm y radio de curvatura de 535 mm. - Ocular: bicóncava de 47,5 mm de distancia focal imagen.
a) Calcula la potencia de cada lente.
b) Halla el índice de refracción del vidrio y determina los dos radios de la lente Ocular.
c) El foco objeto del Ocular está justo en el foco imagen del Objetivo. Halla la longitud del telescopio (distancia entre lentes) y explica dónde se forma la imagen de una estrella (en infinito) a través del telescopio.
a) Ocular: OCU 3
2
1 1
P 21,05dp
f 47,5·10
y para el objetivo: OBJ
2
1 1
P 1,02dp
f 0,980
b) para el objetivo: R1 R2 0,535m
2 1 2
1 (n 1) 1 1 1,02 (n 1) 1 1 1,02 (n 1)·1,87 n 1,55
f R R 0,535
como el ocular es del mismo vidrio y R2 R1:
2 1
2 1 2 1
1 1 1 2
(n 1) 21,05 (1,55 1)· R 5,22·10 m
f R R R
03. Entre los instrumentos que acarrea el Curiosity está la cámara Mars Hand Lens para fotografiar en color los minerales del suelo marciano. La lente de la cámara posee una distancia focal de 18,3 mm, y lleva un filtro que sólo deja pasar la luz comprendida en el intervalo 380-680 nm. Calcula:
a) La potencia de la lente.
b) La frecuencia más alta de la luz que puede fotografiarse.
c) La posición de la imagen formada por la lente de un objeto situado a 10 cm.
a) La potencia de la lente es P 1 1 3 54,6 dp
f 18,3·10
b) la frecuencia más alta es la equivalente a la mayor longitud de onda:
8
14 9
3·10
c f f 7,89·10 Hz
380·10
c) con la ecuación de las lentes 2
2 3
2 1 2 2
1 1 1 1 1 1
s 2,24·10 m s s f s 0,10 18,3·10
04. La lente de la cámara de un teléfono móvil es biconvexa de radio 7 mm, y está hecha de un plástico de 1,55 de índice de refracción.
a) Calcula la velocidad de la luz en el interior de la lente. b) Calcula la distancia focal imagen de la lente y su potencia.
c) Extraemos la lente y situamos 4 cm a su izquierda una vela encendida. Indica si la imagen a través de la lente es real o virtual, y determina la posición de dicha imagen.
a) con la definición de índice de refracción: VACIO VACIO 8 1
LENTE LENTE
LENTE LENTE
v v
n v 1,94·10 ms
v n
b) con la fórmula de las lentes 3
2 3
2 1 1
1 1 1 2
(1,55 1) 0,55 f 6,36·10 m
f R R 7·10
y la potencia de la lente es su inversa, P= 157,2 dp
c) 3
2 3
2 1 2 2
1 1 1 1 1 1
s 7,56·10 m s s f s 0,04 6,36·10
La imagen es real. Para una lente convergente, la imagen sólo es virtual si el objeto está entre el foco objeto y la lente.
05. Una de las lentes de las gafas de un miope tiene -4 D de potencia. a) Calcula la distancia focal imagen de la lente.
b) Determina el índice del material que forma la lente sabiendo que la velocidad de la luz en su interior es el 65% de la velocidad en el vacío.
c) Halla la posición de la imagen virtual vista a través de la lente de un objeto situado a 2 m de la lente.
a) la lente es divergente y su distancia focal es f2 1 0,25m P
b) a partir del índice de refracción,
8 VACIO
SITIO 8
SITIO
v 3·10
n 1,54
v 0,65·3·10
06. Un reproductor Blu-ray utiliza luz láser de color azul-violeta cuya longitud de onda es 405 nm. La luz se enfoca sobre el disco mediante una lente convergente de 4 mm de distancia focal que está hecha de un plástico de 1,5 de índice de refracción.
a) Calcula la frecuencia de la luz utilizada.
b) Calcula la velocidad de la luz en el interior de la lente.
c) Extraemos la lente y la utilizamos como lupa. Situamos un piojo a 3 mm de la lente y, posteriormente, a 10 mm. Indica en cuál de los dos casos la imagen del piojo a través de la lupa es virtual, y determina la posición de dicha imagen.
a) la velocidad de la onda es 14
ONDA
v c f f 7,41·10 Hz
b) en el interior de la lente la velocidad es
8
8 1 INT
3·10 c
v 2·10 ms
n 1,5
c) aplicamos la ecuación de las lentes a los dos casos:
2
2 1 2 2
1 1 1 1 1 1
s 0,012m s s f s 0,003 0,004
La imagen es virtual, derecha y mayor. El objeto entre el foco y la lente.
3 2
2 1 2 2
1 1 1 1 1 1
s 6,67·10 m s s f s 0,010 0,004
La imagen es real, menor e invertida. El objeto está a más de dos veces la focal de la lente.
07. El espejo retrovisor exterior que se utiliza en un camión es tal que, para un objeto real situado a 3 m, produce una imagen derecha que es cuatro veces más pequeña.
a) Determina la posición de la imagen, el radio de curvatura del espejo y su distancia focal. El espejo ¿es cóncavo o convexo?
b) Realiza un trazado de rayos donde se señale claramente la posición y el tamaño, tanto del objeto como de la imagen ¿Es la imagen real o virtual?
a) en el espejo retrovisor los coches se ven siempre derechos, independientemente de la distancia, por lo que el espejo es convexo.
Aplicamos las fórmulas de los espejos:
2 1 2 2
2 1
1 2 1 1 y n s s 1
A s 0,25s
y n s s 4
2 1 1 1
1 1 2 1 1 2 1 1 2
R 0,66m s s R 0,25s s R 0,25·( 1) 1 R
y la distancia focal del espejo es la mitad del radio, f=0,33 m b) la imagen es virtual
08. Un rayo de luz pasa de un medio de índice de refracción 2,1 a otro medio de índice de refracción 1,5. a) Si el ángulo de incidencia es de 30º, determine el ángulo de refracción.
b) Calcule el ángulo a partir del cual no se produce refracción.
Aplicando Snell n seni n senr1 2 2,1·sen30 1,5·senr r 44,43º
Y para que no se produzca refracción el ángulo de refracción tiene que ser igual o superior al ángulo límite
2,1·seni 1,5 i 45,58º
09. Determine, basándose en el trazado de rayos, dónde hay que ubicar un objeto con respecto a una lente convergente para que:
a) La imagen formada sea real e invertida. b) La imagen formada sea virtual y derecha.
a) en cualquier punto entre el infinito y el foco de la lente. En el foco no hay imagen b) en cualquier punto entre el foco y la lente, excluyendo el foco.
10. Se quiere obtener una imagen derecha y virtual, de 25 cm de altura, de un objeto de 10 cm de altura que se sitúa a una distancia de 1 m de una lente delgada.
a) Calcule la potencia, en dioptrías, de la lente que habría que usar así como el tipo de lente. b) Realice el diagrama de rayos correspondiente.
a) la lente tiene que ser convergente. Aplicando la ecuación de las lentes:
2 2
2 1
1 1 y s 0,25
A 2,5 s 2,5s
y s 0,10
2 1 2
1 1 1 1 1 1 f 1,67m P 0,6 dp s s f 2,5·( 1) 1 f
El diagrama de rayos es el último caso del problema anterior.
11. Se tiene un prisma rectangular de vidrio de índice de refracción 1,48. Del centro de su cara A se emite un rayo que forma un ángulo a con el eje vertical del prisma. La anchura del prisma es de 20 cm y la altura de 30 cm.
a) Si el medio exterior es aire, ¿cuál es el máximo valor de a para que el rayo no salga por la cara B? Justifique la respuesta.
F 2F
F
2F 2F F
F 2F
a) Aplicamos Snell n seni n senr1 2 1,48·seni 1 i 42,51º a 47,49º
b) Si se trata de agua: n seni n senr1 2 1,48·seni 1,33 i 63,98º a 26,02º
el rayo sale a lo largo del lado B y se refracta en el lado C
1 2
n seni n senr 1,48·sen0 1·senr r0º
El rayo sale por la normal, perpendicular al lado C.
12. A 10 cm de distancia del vértice de un espejo cóncavo de 30 cm de radio se sitúa un objeto de 5 cm. a) Determine la altura y posición de la imagen.
b) Construya la imagen gráficamente indicando su naturaleza Aplicando la ecuación de los espejos,
2
2 1 2
1 1 2 1 1 2
s 0,3m s s R s 0,10 0,30
La imagen se forma a 30 cm del espejo. El tamaño de la imagen
2 2
2 1
1 1
y s 0,30
A 3 y 3·y 15cm
y s 0,10
13. La lente de un proyector tiene una distancia focal de 0,5 cm. Se sitúa a una distancia de 0,51 cm de la lente un objeto de 5 cm de altura. Calcule:
a) La distancia a la que hay que situar la pantalla para observar nítida la imagen del objeto. b) El tamaño mínimo de la pantalla para que se proyecte entera la imagen del objeto. a) Para ver la nítida la imagen hay que colocar la pantalla en el punto en el que se forma.
2
2 1 2 2
1 1 1 1 1 1 s 0,255m
s s f s 0,0051 0,005
b) El tamaño de la imagen es:
2 2
2 1
1 1
y s 0,255
A 50 y 50 y 0,25m
y s 0,0051
y la pantalla deberá medir al menos 25 cm para ver la imagen entera.
14. Una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para obtener una imagen de tamaño doble que el objeto. Determine a qué distancia se encuentra el objeto y su imagen de la lente si:
a) La imagen es derecha. b) La imagen es invertida.
Realice en cada caso el diagrama de rayos.
a) si la imagen es derecha el aumento es 2
2 1
1 s
A 2 s 2·s
s
y con la fórmula de las lentes 1
2 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 s 0,05m
s s f 2s s 0,10
b) si la imagen es invertida el aumento es 2
2 1
1 s
A 2 s 2·s
s
y con la fórmula de las lentes 1
2 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 s 0,15m
s s f 2s s 0,10
15. Calcule el ángulo a partir del cual se produce reflexión total entre un medio material en el que la luz se propaga a una velocidad de 1,5·108 m s-1 y el aire. Tenga en cuenta que la luz en su propagación pasa del medio material al aire.
El índice de refracción del medio es n c 2 v
y para que se produzca reflexión total n seni n senr1 2 2·seni 1 i 30º
16. Los lados de vidrio plano de un acuario lleno de agua tienen un índice de refracción de 1,52. Un haz de luz proveniente de la parte exterior del acuario incide en el vidrio con un ángulo de 43,5º con respecto a la perpendicular. ¿Cuál es el ángulo de este rayo de luz cuando penetra
a) en el vidrio
b) en el agua de índice de refracción 1,33?
c) ¿Cuál sería el ángulo de refracción si el haz de luz hubiera incidido directamente en el agua con el mismo ángulo de incidencia?
a) n seni n senr1 2 sen43,5 1,52·senr r26,93º
b) n seni n senr1 2 1,52·sen26,93 1,33·senr r 31,17º
c) n seni n senr1 2 1·sen43,5 1,33·senr r 31,17º
17. Un rayo de luz azul y un rayo de luz roja inciden sobre la superficie plana de una lámina de vidrio formando ambos el mismo ángulo con la normal. Si el índice de refracción del vidrio es directamente proporcional a la frecuencia de la luz incidente, ¿cuál de los dos rayos tendrá un ángulo de refracción mayor?
La luz azul tiene una longitud de onda de unos 400 nm y la roja de unos 650 nm. La velocidad de una onda
es v f
T
y a mayor longitud menor frecuencia. La luz azul tiene una frecuencia más grande que la
roja y nAZUL>nROJO.
1 AZUL AZUL AZUL AZUL AZUL ROJO
AZUL ROJO 1 ROJO ROJO ROJO ROJO ROJO AZUL
n seni n senr n senr senr n
1 1 r r
n seni n senr n senr senr n
18. Se hace incidir un rayo de luz sobre la cara plana de una sección de lente semicircular hecha de vidrio. El rayo forma un ángulo i con la normal y se refracta dentro de la lente con un ángulo r. El experimento se repite cuatro veces. En la tabla se dan (en grados) los valores de los ángulos i y los ángulos r correspondientes.
a) Explicar cómo puede determinarse el índice de refracción n del vidrio de la lámina. b) Calcúlese el valor de dicho índice y el valor de la velocidad de la luz dentro del vidrio.
Aplicando la ley de Snell con los valores de la tabla 1 2 2
seni n seni n senr n
senr
, los valores de n son:
i (º) 12 28 44 58
r (º) 7,5 17,0 26,5 33,0
Y la velocidad de la luz en ese medio es
8
8 1 VACIO VACIO
LENTE LENTE
v v 3·10
n v 1,88·10 ms
v n 1,595
19. Un objeto O, de 3 cm de altura, está situado a 45 cm del vértice de un espejo esférico cóncavo, de 30 cm de radio de curvatura.
a) Calcule la posición y tamaño de la imagen. Indique si la imagen es real o virtual. b) Compruebe gráficamente los resultados mediante un trazado de rayos.
c) Sustituimos el espejo cóncavo por uno plano. Para la misma posición del objeto, averigüe mediante un trazado de rayos a qué distancia del espejo estará la imagen.
Fórmula de los espejos: 2
2 1 2
1 1 2 1 1 2
s 0,225m s s R s 0,450,30
La imagen es real y su tamaño es 2 2
1 1
y s 0,225
A 0,5
y s 0,45
Si sustituimos por un espejo plano, la ecuación es la misma:
2
2 1 2
1 1 2 1 1 2
s 0,45m s s R s 0,45
20. Un rayo de luz monocromática incide con un ángulo de incidencia de 30º sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas de espesor 5 cm. La velocidad de propagación de la luz dentro de la lámina es v=0,7 c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío. Calcule el índice de refracción de la lámina. Determine el ángulo de refracción del rayo dentro de la lámina y el ángulo de refracción a la salida de la misma. Dibuje la marcha del rayo dentro y fuera de la lámina.
El índice de refracción en ese medio es n c 1,43
0,7·c
En la primera refracción:
1 2
n seni n senr 1·sen30 1,43·senr r20,47º
A la salida los ángulos de incidencia y de refracción se invierten y el rayo sale paralelo al inicial.
21. Explique en qué consisten las principales ametropías (defectos de visión) del ojo humano: miopía, hipermetropía y astigmatismo. Un ojo miope necesita una lente correctora de -2,5 dioptrías de potencia para poder ver nítidamente objetos muy alejados. ¿A qué distancia máxima puede ver nítidamente este ojo sin lente correctora?
Ver el resumen del tema.
Aplicamos la ecuación de las lentes: 2
2 1 2 2
1 1 1 1 1
P 2,5 s 0,40m
s s f s
22. Mediante una lente convergente de focal imagen 20 cm, se quiere tener una imagen de tamaño triple que el objeto. Calcule la posición donde debe colocarse el objeto si la imagen debe ser:
a) Real e invertida. b) Virtual y derecha.
a) El aumento de la lente es 2
2 1
1 s
A 3 s 3·s
s
y sustituimos en la ecuación de la lente:
1
2 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 s 0,27m
s s f 3s s 0,20
b) El aumento de la lente es 2
2 1
1 s
A 3 s 3·s
s
; 1
2 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 s 0,13m
s s f 3s s 0,20
23. Un haz luminoso de aire = 600 nm de longitud de onda en el aire, pasa de ese medio al diamante (índice de refracción 2,42).
a) Calcule la frecuencia y la longitud de onda de esta radiación monocromática cuando recorre el diamante.
b) ¿De cuál de los dos medios, aire o diamante, debe proceder el rayo para que se produzca reflexión total al pasar al otro? ¿cuál es el valor del ángulo límite?
a) cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro se mantiene la frecuencia pero no la longitud de onda.
En el aire 7 14
VACIO
6·10 m v c ·f f 5·10 Hz
En el diamante
8 1 DIA DIA
DIA DIA DIA DIA 14
DIA
c n·v v 1,24·10 ms
v ·f 248nm
f 5·10 Hz
b) se produce al pasar de mayor a menor índice de refracción, del diamante al aire.
1 2
n seni n senr 2,42·seni 1·sen90 i 24,41º
24. Un rayo de luz incide desde el aire sobre la cara vertical de un bloque de vidrio, de forma cúbica y de índice de refracción n1 = 1,5, con un ángulo de incidencia αi = 30º. Sobre la cara superior de este bloque se coloca una plancha de otro vidrio de diferente índice de refracción.
a) ¿Cuál debe ser el valor máximo del índice de refracción del vidrio de la plancha para que exista reflexión total en la superficie de contacto entre el bloque y la plancha?
b) Si el índice de refracción de dicho vidrio es mayor que el calculado en el apartado anterior, ¿saldrá el rayo por la cara superior? Justifique la respuesta y realice un diagrama ilustrativo de la marcha de rayos.
Comenzamos con la primera refracción:
1 2
n seni n senr 1·sen30 1,5·senr r 19,47º
Este ángulo es complementario del ángulo de incidencia en la segunda refracción. Para que no salga el ángulo límite es:
1 2 2 2
n seni n senr 1,5·sen70,53 n sen90 n 1,41
Si el índice de refracción de la lámina superior es mayor que 1,41 se produce reflexión total.
25. Un haz de luz formado por dos radiaciones monocromáticas, roja y violeta, se propaga en el aire e incide sobre un bloque de cuarzo. Si el cuarzo presenta un índice de refracción para la radiación roja de valor n roja =1,45, y el ángulo refractado para dicha radiación es αroja, r = 26,3º, calcule:
a) aplicamos Snell: n seni1 R n senr2 R 1·seniR 1,45·sen26,3 iR 39,97º
b) para el violeta: n seni1 V n senr2 V 1·sen39,97 1,48·senr V rV 25,72º
luego el ángulo que forman los rayos rojo y azul es la diferencia, 0,58º
26. El depósito de la figura tiene sus paredes de vidrio (n=1,50) y contiene agua (n=1,33). a) ¿Qué ángulo forma el rayo emergente con la cara exterior del depósito
si el ángulo de incidencia sobre el agua es 75º?
b) ¿Cuál debe ser el ángulo mínimo de incidencia para que no se produzca reflexión total? De producirse, ¿en qué superficie lo hará? Razone su respuesta.
a) en la refracción aire-agua: n seni n senr1 2 1·sen75 1,33·senr r46,57º
el ángulo de incidencia en la refracción agua-vidrio es 43,43º
1 2
n seni n senr 1,33·sen43,43 1,5·senr r 37,56º
y la última refracción: n seni n senr1 2 1,5·sen37,56 1·senr r 66,12º
b) para que se produzca la reflexión total hay que pasar de un medio a otro con menor índice de refracción. Esto ocurre al pasar del vidrio al aire. Vamos a calcular el ángulo límite:
en la refracción vidrio-aire: n seni n senr1 2 1,5·seni 1·sen90 i 41,81º
en la refracción agua-vidrio: n seni n senr1 2 1,33·seni 1,5·sen41,81 i 48,75º
en la refracción aire-agua: n seni n senr1 2 1·seni 1,33·sen(90 48,75) i 61,27º
27. Explique brevemente el fenómeno de la dispersión de la luz. Un rayo de luz blanca incide sobre un prisma equilátero de vidrio, tal y como indica la figura. Si el índice de refracción para el color violeta es 1,68 y para el rojo es 1,61 ¿qué ángulo formarán los rayos asociados a dichos colores cuando emerjan del prisma?
Para el rayo rojo: n seni n senr1 2 1·sen57 1,61·senr 1 r131,39º
En el triángulo interno 120 r 1 i2 180 i2 28,61º
Y en la segunda refracción: n seni n senr1 2 1,61·sen28,61 senr 2 r250,44º
Para el violeta: n seni n senr1 2 1·sen57 1,68·senr 2 r2 29,95º
En el triángulo interno 120 r 1 i2 180 i230,05º
Y en la segunda refracción: n seni n senr1 2 1,61·sen30,05 senr 2 r253,73º
El ángulo que forman entre sí es la diferencia 3,29º
28. Un foco emite ondas electromagnéticas de frecuencia 1,5 MHz que atraviesan un medio de índice de refracción 1,5. Calcule la longitud de onda de esta radiación cuando se propaga en el aire y cuando lo hace en dicho medio.
En el aire:
8
6 8 1
6 3·10 v
f 1,5·10 Hz v 3·10 ms v ·f 200m
f 1,5·10
En el medio:
8 8
6 8 1
6
3·10 v 2·10
f 1,5·10 Hz v 2·10 ms v ·f 133,3m
1,5 f 1,5·10
29. Un buceador enciende un láser debajo del agua (índice de refracción 1,33), dirigiéndolo hacia arriba formando un ángulo de 60º con la superficie.
a) ¿Con qué ángulo emergerá la luz del agua? ¿Cuál es el ángulo de incidencia a partir del cual no saldrá la luz del agua?
b) Si la profundidad del buceador es de 4 m, ¿cuál es su profundidad aparente para un pájaro alcanzado por el rayo emergente?
a) En la refracción del láser: n seni n senr1 2 1,33·sen30 1·senr r41,68º
Para que no salga el ángulo límite es n seni n senr1 2 1,33·seni 1 i 48,75º
b) En los triángulos de la figura:
A P
A P
A P h
tg 48,32 h h tg 48,32
d d h h 2,59m
tg 48,32 tg60 tg60 h
tg60 d
30. Considere el dispositivo óptico esquematizado en la figura, formado por dos prismas idénticos de índice de refracción 1,65, con bases biseladas a 45º y ligeramente separados. Se hace incidir un rayo láser
perpendicularmente a la cara A del dispositivo. Razone si existirá luz emergente por la cara B, en los siguientes casos:
a) El espacio separador entre los prismas es aire (n = 1). b) El espacio separador entre los prismas es agua (n = 1,33)
Nota: realice en ambos apartados el correspondiente diagrama de la marcha de rayos.
El rayo entra en el prisma sin desviarse y choca con la cara inclinada formando un ángulo de 45º con la
normal. Si la separación es de aire: n seni n senr1 2 1,65·sen45 1·senr senr 1,155 ¡Imposible!
Sale ese valor porque hemos superado el ángulo límite y se ha producido una reflexión.
El ángulo límite es n seni n senr1 2 1,65·seni 1 i 37,3º y el nuestro incide con un ángulo de 45º.
Si es agua: n seni n senr1 2 1,65·sen45 1,33·senr r 61,31º
A B
A B
hAP
h
