Teoria20del20interes20 20Marco20Fidel20Castillo pdf

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´Indice general

1. Conceptos b´asicos del inter´es 1

1.1. Inter´es . . . 2

1.2. Concepto de acumulaci´on como funci´on . . . 2

1.3. Tasa efectiva de inter´es . . . 3

1.4. Tasa efectiva de descuento . . . 5

1.5. Equivalencia entre tasa efectivas de inter´es y tasa anticipada de inter´es . . . 6

1.6. Plazo comprendido entre fechas y tabla de dias . . . 8

1.7. Diagramas de tiempo y efectivo . . . 10

1.8. Ejercicios . . . 11

2. Inter´es Simple 13 2.1. Inter´es Simple . . . 13

2.2. Inter´es simple con principal constante y tasa nominal variable 17 2.3. Inter´es con principal variable y tasa nominal constante . . . 19

2.4. Inter´es con principal y tasa nominal variables . . . 20

2.5. Acumulado con principal y tasa nominal constante . . . 21

2.6. Ecuaciones de valor . . . 23

3. Inter´es compuesto 27 3.1. Inter´es compuesto . . . 27

3.2. Acumulado con principal y tasa efectiva constante . . . 28

3.3. Acumulado con principal constante y tasa efectiva variable 34 3.4. Acumulado con principal y tasa efectiva variable . . . 36

3.5. Acumulado en funci´on de la tasa nominal . . . 37

3.6. Inter´es compuesto con principal y tasa efectiva constante . . 39

3.7. Inter´es con principal constante y tasa efectiva variable . . . 40

3.8. Ecuaciones de valor . . . 41

(2)

4. Descuento 55

4.1. Descuento . . . 56

4.2. Tipos de descuento . . . 56

4.2.1. Descuento racional . . . 56

4.2.2. Descuento bancario . . . 57

4.2.3. Descuento racional simple . . . 57

4.2.4. Descuento racional compuesto . . . 58

4.2.5. Descuento bancario Simple . . . 60

4.2.6. Valor liquido y valor nominal de un titulo valor con tasa dm nominal constante . . . 61

4.2.7. Descuento bancario compuesto . . . 62

4.2.8. Valor liquido y valor nominal de un titulo valor con tasa defectiva constante . . . 63

4.3. Descuento comercial . . . 65

4.3.1. Descuento comercial unitario . . . 65

4.3.2. Descuento comercial sucesivo . . . 65

5. Tasas de Inter´es 71 5.1. Tasas nominales peri´odicas y efectivas . . . 72

5.2. Equivalencia entre tasas nominales de inter´es y tasa efectiva 73 5.3. Equivalencia entre tasas anticipadas o descuentos . . . 79

5.4. Equivalencia general entre tasas efectivas y nominales de in-ter´es vencidas y anticipadas . . . 81

5.5. Tasas continuas de inter´es y descuento . . . 83

5.6. Valores acumulados y presentes usando tasas continuas de inter´es. . . 86

5.7. La tasa activa y la tasa pasiva . . . 87

6. Inflación y devaluación 95 6.1. Inflación . . . 96

6.2. Calculo de la tasa de inflaci´on . . . 96

6.3. Correcci´on monetaria por inflaci´on . . . 100

6.4. Unidad de Valor Real, UVR . . . 102

6.4.1. Metodolog´ıa . . . 102

6.5. Tasas de inter´es en moneda extranjera . . . 103

(3)

´INDICE GENERAL iii

7. Series uniformes o anualidades 111

7.0.1. Anualidad cierta . . . 112

7.0.2. Anualidades contingentes . . . 112

7.1. Valor acumulado de una anualidad vencida . . . 112

7.2. Valor presente de una anualidad vencida . . . 114

7.3. Renta uniforme vencida en funci´on de S_¬_t . . . 117

7.4. Renta uniforme vencida en funci´on deP_t¬ . . . 117

7.5. Calculo det en una anualidad vencida . . . 118

7.6. El calculo deien una anualidad vencida . . . 121

7.7. Anualidad anticipada . . . 121

7.8. Acumulado de una anualidad simple anticipada . . . 122

7.9. Valor presente de una anualidad simple anticipada . . . 123

7.10. Renta uniforme anticipada en funci´on ¨S_t¬ . . . 124

7.11. Renta uniforme anticipada en funci´on de P¬ t . . . 125

7.12. Calculo det en funci´on de ¨P¬ t o ¨St¬ . . . 126

7.13. Calculo deien una anualidad anticipada . . . 127

7.14. Calculo de arrendamiento (Leasing) . . . 127

7.15. Ejercicios . . . 128

8. Series uniformes: diferidas perpetuas 133 8.1. Series uniformes diferidas . . . 133

8.2. Series uniformes perpetuas . . . 136

8.3. Costo capitalizado . . . 140

9. Series variables 145 9.1. Anualidades b´asicas variables . . . 145

9.1.1. Pagos que var´ıan en progresi´on aritm´etica. . . 145

9.1.2. Pagos que var´ıan en progresi´on geom´etica . . . 149

9.2. Anualidades variables escalonadas . . . 155

9.3. Anualidades variables con tasas de inter´es variable. . . 156

10.Esquemas y fondos de amortizaci´on 163 10.1. Introducci´on . . . 163

10.2. Determinaci´on del capital adeudado . . . 164

10.3. Esquemas de Amortizaci´on . . . 165

10.4. Fondos de Amortizaci´on . . . 175

10.5. Amortizaci´on cr´editos de vivienda UVR . . . 178

(4)

10.6. Sistemas de amortizaci´on . . . 180

10.6.1. Cuota constante en pesos . . . 180

10.6.2. Amortizaci´on constante a capital en pesos . . . 182

10.7. L´ıneas en UVR . . . 184

10.7.1. Cuota constante en UVR (Sistema de amortizaci´on gradual) . . . 184

10.7.2. Abono constante a capital en UVR . . . 185

10.7.3. Cuota decreciente mensualmente en UVR c´ıclica por periodos anuales . . . 187

10.8. Ejercicios . . . 187

11.Bonos y otros t´ıtulos (garant´ıas) 193 11.1. Clasificaci´on de bonos . . . 194

11.2. Primas y descuentos . . . 199

11.3. Ejercicios . . . 201

12.Indicadores VPN y TIR 203 12.1. Introducci´on . . . 203

12.1.1. El valor presente neto . . . 203

12.2. La tasa interna de retorno TIR . . . 207

12.2.1. Establecer un modelo matem´atico general que involu-cre la tasa interna de retorno . . . 208

12.2.2. Tasas de reinversi´on . . . 212

12.3. Amortizaci´on constante a capital en pesos. . . 214

12.4. Sistemas de amortizaci´on . . . 216

12.4.1. Cuota constante en pesos . . . 216

12.4.2. Amortizaci´on constante a capital en pesos . . . 218

12.5. L´ıneas en UVR . . . 219

12.5.1. Cuota constante en UVR (Sistema de amortizaci´on gradual) . . . 219

12.5.2. Abono constante a capital en UVR . . . 221

12.5.3. Cuota decreciente mensualmente en UVR c´ıclica por periodos anuales . . . 223

(5)

Cap´ıtulo 1

Conceptos b´

asicos del inter´

es

En este cap´ıtulo se explican conceptos básicos útiles para la comprensión de los temas de matemática financiera como el de valor del dinero en el tiempo, el interés, el concepto de acumulación o, monto y la forma para calcular el plazo comprendido entre dos fechas denominado el horizonte de tiempo.

Se desarrollara:

? una introducción al valor del tiempo en el tiempo, interés, y tasa de interés

? el concepto de acumulación como una función ? cálculos entre fechas del horizonte tiempo

? tasas efectivas de inter´es, descuento y equivalencias ? los diagramas de tiempo y efectivo

Simbolog´ıa y su significado

T : horizonte de tiempo, plazo de la transacci´on desde su inicio hasta la finalizaci´on.

t: n´umero de periodos en el horizonte de tiempoT St: acumulado o monto al final del periodot

ip: tasa efectiva peri´odica de inter´es

dp: tasa de descuento o inter´es anticipado peri´odica

im: tasa de anual de inter´es nominal

tz: subhorizonte de tiempo: son subdivisiones del horizonte

de tiempo (subperiodos) i: tasa efectiva de inter´es

d: tasa de descuento o tasa anticipada

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1.1. Inter´

es

La idea del interés refiere a la compensación que se debe pagar por el uso del dinero durante un periodo de tiempo. A esta compensación se le llama también el el valor del dinero en el tiempo o simplemente el interés; esta afirmación es cierta, en efecto, puesto que si elige invertir dinero hoy, por ejemplo en un negocio,un banco, en acciones, en una fiduciaria, se espera en un futuro tener mas dinero.

Un t´ıpico ejemplo supone una inversion de $ 100 al principio de un periodo y que genera $ 110 al final del mismo su diferencia entre estos dos valores de $ 10 es el Inter´es,que en forma porcentual es el 10 % sobre la inversion original.

Un estudio consiente y fundamentado de los temas del inter´es ayuda a encontrar alternativas para lograr un uso eficiente del recurso limitado y escaso del dinero. La idea es explorar caminos acordes a las necesidades y encontrar las mejores opciones para el uso del dinero.

1.2. Concepto de acumulaci´

on como funci´

on

Una transación financiera común es la de invertir determinada cantidad de dinero por un tiempo determinado para ganar interés, es decir, para acumular la inversión inicial mas el interés.

La suma de dinero invertida originalmente se llama el valor principal y la cantidad recibida al cabo de uno o varios per´ıodos es elValor Acumulado, o Valor futuro o monto.

La diferencia entre el valor acumulado y el valor principal es elinter´es que se gana durante el per´ıodo de inversi´on.

A continuación se desarrolla el concepto de función de acumulación como base teórica del estudio del interés.

Sup´ongase quetmide el tiempo desde la fecha original de la inversi´on, hasta la fecha final donde se determina el valor acumulado.

Este valor detpuede representar per´ıodos de: d´ıas, meses, semestres, a˜nos y otros, de acuerdo a la forma que se aplique la tasa de inter´es.

Se define ahora la funci´on St como el valor acumulado de una cantidad

monetaria de 1 invertido ahora y durante el tiempo t, y que satisface las siguientes propiedades:

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1.3. TASA EFECTIVA DE INTER ´ES 3

2. St es creciente y continua. Es el principio fundamental de la

acumu-lación, que a medida que aumenta el tiempo el valor acumulado cre-cerá. Es conveniente discutir el hecho de que esta función matemática-mente puede ser decreciente pero esto no es relievante. ¿Existe casos donde no lo sea?. Además si el interés se aplica en cada instante la función es continua, de lo contrario si el interés se aplica por per´ıodos esta función es discreta.

La cantidad de 1 invertida originalmente puede generalizarse mediante la inversión de k unidades monetarias como valor principal, k > 0 y de hecho aparece el concepto general de función de acumulación St,

St=kst (1.1)

El valor de la función general de acumulación depende del valor original k ySt. La condición primaria para St es:

S0 =k s0 =k, sit= 0 (1.2)

como se observa la funci´on general de acumulaci´onSt, cumple las

mis-mas propiedades que la funci´onst.

De esta forma y usando el concepto de función de acumulación, se de-termina la cantidad de interés ganado durante un per´ıodo t de la inversión, este interés se denota por It.

It=St−S(t−1), t≥1 (1.3)

Esta Ecuaci´on (1.3) es la diferencia entre el valor acumuladot, y el valor acumulado en el per´ıodo (t₋1).

Obs´ervese que It involucra el inter´es de un intervalo de tiempo que

normalmente es constante en todos los per´ıodos de tiempo, hasta tanto se estudien las tasas variables de inter´es mas adelante.

1.3. Tasa efectiva de inter´

es

La tasa efectiva de interés es la medida del interés ganado en un per´ıodo y se denota pori, esta se puede interpretar como: la cantidad de dinero que gana una unidad invertida al principio de un per´ıodo y durante este periodo cuando el interés es pagado al final del mismo per´ıodo.

En términos de la función de acumulación la definición dada es equiva-lente a la siguiente ecuación,

(8)

´o, s1 =s0+i= (1 +i). (1.4) Obs´ervese que en la Ec(1.4) el valor de i es la cantidad acumulada al final de per´ıodo, menos la cantidad invertida al principio del per´ıodo 0. Recordar ques0 = 1.

El término efectivo es usado para las tasas de interés que se aplican en un per´ıodo de tiempo, como un mes, un semestre o un año; este concepto contrasta con el de tasa nominal de interés, donde el interés se aplica con más frecuencia que el per´ıodo de tiempo; concepto que se estudiará ade-lante.

La tasa efectiva de interés se puede definir en términos de la función general de acumulación de la siguiente forma:

i= S1−S0 S0

= I1 So

. (1.5)

Esta Ec(1.5) dice que i corresponde a la raz´on entre la cantidad de inter´es ganado durante un per´ıodo y el valor original invertido.

La tasa efectiva de interés ise puede calcular sobre la medida de acu-mulación en cualquier per´ıodo t; si it es la tasa efectiva de interés en el

periodotde la fecha de inversi´on, se tiene:

it=

St−St−1 St−1

= It St−1

(1.6)

La tasait permanece constante en cada per´ıodo.

Ejemplo 1. Dada la funci´on de acumulaci´on:

St= 10 +t, encuentre a) I5 , b) i5.

Solución: Es necesario hallar el valor de la función de acumulación para S5 y S4, asi: S5 = (10 + 5) y S4 = (10 + 4), entonces a)I5=S5−S4 = (10 + 5)−(10 + 4) = $1b)i5 =S5−S4/S4 = ₁₄1 = 0,07

(9)

1.4. TASA EFECTIVA DE DESCUENTO 5

Ejemplo 2. Dada la funci´on de acumulaci´on:

St= 2t2+ 2,encuentre a)I3, b)i3, c)st.

Soluci´on:Se usan las ecuaciones correspondientes para cada caso: a)I3 =S3−S2 = 2(32+ 1)−2(22+ 1) = $10

b) i3 = _SI3₂ = 10₁₀ = 100 %

c) Puesto queSt=kst, cuando t= 0

S0 =k⇒k= 2, por lo tanto; si

St=Kst ⇒st=St/2 = (2t2+ 2)/2 = (t+ 1).

1.4. Tasa efectiva de descuento

Se ha definido la tasa efectiva de interés icomo la cantidad de interés pagado al final de cada per´ıodo; ahora se define la tasa efectiva de descuen-to d, como la medida del interés descontada al principio de cada per´ıodo. Ilustremos las dos casos mediante los respectivos diagramas

0 i= 6 % 1

(a) $ 100

$ 106

0 d= 6 % 1

(b) $ 94

$ 100

Figura 1.1: (a) Diagrama de una inversión a la tasa interés i = 6 %; (b) Diagrama de una inversión a la tasa de descuento d= 6 %

La inversi´on de $100 a la tasa de inter´esi= 6 %, acumula $106 al cabo de un per´ıodo, caso (a).

(10)

1. La tasa de inter´es se paga al final del per´ıodo sobre la cantidad in-vertida al principio del per´ıodo.

2. El descuento es hecho al principio del periodo sobre la cantidad de-seada al final del per´ıodo.

La tasa efectiva de descuentodes la raz´on entre la cantidad de inter´es ganada durante el per´ıodo y la cantidad obtenida o deseada al final del per´ıodo; esta tasa puede calcularse en cualquier per´ıodotsi dtes

la tasa efectiva de descuento del per´ıodo tde la fecha de la inversi´on, por lo tanto:

dt=

St−St−1

St

= It

St

(1.7)

el inter´es It puede llamarse cantidad de descuento o cantidad de

in-ter´es.

Es importante definir y desarrollar el concepto de equivalencia entre tasa efectiva de inter´es y tasa anticipada o de descuento.

1.5. Equivalencia entre tasa efectivas de inter´

es y

tasa anticipada de inter´

es

Las tasas de inter´es y descuento son equivalentes si una cantidad inver-tida durante el mismo tiempo a cada una de las tasas, al final producen el mismo valor acumulado.

La relaci´on b´asica e importante de equivalencia es la siguiente:

Supongamos que una persona desea tener 1 al final de un per´ıodo donde se aplica una tasa anticipada d, por lo tanto al principio solo se deposita (1−d), como se aprecia en la figura 1.2a.

Como se observa en (a) el depósito original es (1₋d) para acumular 1 al final del per´ıodo. Si se utiliza la definición básica de interés Ec(1.5) y se reemplaza según Fig(1.2a) se tiene:

i= s1−s0 s0

= 1−(1−d) 1−d =

d 1−d

o sea que la tasa de inter´es en funci´on de la tasa de descuento esta dada por:

i= d

(11)

1.5. EQUIVALENCIA ENTRE TASA EFECTIVAS DE INTER ´ES Y TASA

ANTICIPADA DE INTER ´ES 7

0 1

d

(a) 1₋d

1

i

(b) 1

(1 +i)

Figura 1.2: Diagramas correspondientes al concepto descuento (a) e inter´es (b).

en forma similar y usando Ec(1.7) y reemplazando en Fig(1.2 b) se tiene:

d= s1−s0 s0

= (1 +i)−1 (1 +i) =

i 1 +i

es decir, que la tasa de descuento en funci´on de la tasa de inter´es esta dada por:

d= i

1 +i. (1.9)

Estas ecuaciones (1.8) y (1.9) son las fórmulas básicas de equivalencia para un per´ıodo entre tasas de interés y descuento.

Ejemplo 3.Hallar la tasa efectiva de descuentod, si la tasa efectiva de inter´esi= 10 % por per´ıodo.

Soluci´onSeg´un Ec(1.9) se tiene: d= i

1 +i = 0,1

1 + 0,1 = 0,0909

La tasa i= 10 % es equivalente a la tasa d = 9,09 %, estas ecuaciones son muy útiles en los procesos de comparar tasas de interés y tasas anticipadas de interés.

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Ejemplo 4. Hallar la tasa efectiva de inter´esi, si la tasa de descuento d= 6 % por per´ıodo.

Soluci´onSeg´un Ec(1.8) se tiene: i= d

1−d= 0,06

1−0,06 = 0,0638 = 6,38 %

Es decir, son equivalentes una tasa de inter´es anticipada d = 6 % con una tasa de inter´es vencidai= 6,38 %.

Ejemplo 5. Un banco otorga un préstamo de $ 10000 para devolverlo dentro de un año bajo la modalidad anticipada, el cual devenga una tasa d=14 %; adicionalmente los gastos bancarios representan el 1 % del valor del préstamo. Calcule la tasa efectiva anual TEA=i

Soluci´on Con los datos d=0.14+0.01=0.15; para calcular i se usa la ecuaci´on 1.8

i= TEA = 0,15

1−0,15 = 0,17647 % = 17,647 %

1.6. Plazo comprendido entre fechas y tabla de

dias

Es útil calcular con seguridad los plazos de un préstamo o una inversión, para esto se sugiere varias alternativas: el método de dias terminales, la tabla de dias generada en este capitulo para que produzca el mismo efectivo, el uso del software de las calculadoras financieras y el excel financiero. Los dias terminales corresponde al plazo entre la fecha inicial y la fecha final, se consideran todos los dias posteriores a la fecha inicial; si nos pro-ponemos hallar el plazo entre el 25 de octubre y el 26 del mismo mes a cualquier hora se consideraun d´ıa, o simplemente 26-25=1, (Ver figura 1.3: tabla de dias). Sugerencias para aplicar este método:

1. Para dep´ositos y retiros efectuados en el mismo mes, restar del d´ıa final el d´ıa inicial. Por ejemplo: apertura 10 de octubre, cancelaci´on 25 de octubre, se obtienen 15 dias (25-10).

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1.6. PLAZO COMPRENDIDO ENTRE FECHAS Y TABLA DE DIAS 9

D´ıa del mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Julio Agosto Septiembre Octubre Diciembre D´ıa del mes

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2

3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6

7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28

29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29

30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30

31 31 90 151 212 243 304 365 31

Figura 1.3: Tabla del número de d´ıas del año 365 para el año bisiesto se agrega un d´ıa a la suma después del 28 de Febrero

Ejemplo 6. ¿Cuantos dias se acumularan entre el 16 de octubre y el 6 de diciembre del mismo a˜no.

Soluci´on:octubre tiene 31 dias, entonces 31₋16 = 15 dias los 31 dias de octubre menos la fecha inicial Noviembre tiene 30 dias Diciembre tiene 31 dias El n´umero de dias en el intervalo de tiempo es la suma de: 15 + 30 + 6 = 51 dias verificar en la tabla de dias y calculadora.

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Periodo Bancario N´umero de dias

A˜no 360

Semestre 180

Cuatrimestre 120

Trimestre 90

Bimestre 60

Mes 30

Quincena 15

D´ıa 1

En cada caso de no existir indicaciones contraria se supone que los periodos anteriormente mencionados son bancarios

1.7. Diagramas de tiempo y efectivo

Para ser consistente con el concepto de interés o del valor del dinero en el tiempo; es necesario suponer que una linea horizontal representa el horizon-te de tiempo (d´ıas, meses, años, otros) y flechas verticales en los diferentes puntos del tiempo, representan los ingresos y egresos para cualquier perio-do y tipo de inversión. Esta l´ınea la llamamos un diagrama de tiempo y efectivo.

La idea es visualizar mediante un diagrama en conjunto la inversi´on y las preguntas del problema; se puede pensar en flechas hacia abajo para los egresos, inversiones, y flechas hacia arriba para los ingresos en general. En cualquier caso en el diagrama se debe visualizar una equivalencia entre los ingresos y egresos.

Una inversi´on en un banco durante un per´ıodo puede verse en el si-guiente diagrama, (Fig. 1.4).

0 1

$ 1000

$ 1100

(15)

1.8. EJERCICIOS 11

ingresos y egresos ocurren al final de cada per´ıodo, es decir estos flujos en conjunto se ubican como uno solo al final del per´ıodo; y en forma similar la convensi´on principio de per´ıodo es donde los ingresos y egresos se suponen que han ocurrido al principio de cada per´ıodo.

Es posible que puedan surgir convenciones diferentes para describir los flujos de efectivo a lo largo de los periodos, para lo cual se recomienda trabajar con cuidado cada diagrama de tiempo y efectivo, para visualizar y operar con exactitud.

Ejemplo 7.Si usted hace cinco depósitos anuales a partir de ahora, acu-mulando una tasa anual del 10 %, ¿Cuánto se acumula en el momento de hacer el último depósito? Construya un diagrama de tiempo y efectivo.

Soluci´on:

0 1 2 3 4

$100 · · · $100 · · ·

S4 =?

Se puede ver el primer dep´osito ahora y el quinto dep´osito en el periodo t= 4.

1.8. Ejercicios

1. En un banco se depositaron $ 120.000 durante un trimestre si la tasa de inter´es durante el periodo de tiempo fue del 6 % ¿Cual fue el inter´es generado al termino del trimestre?

2. En una cuenta se colocó un capital de $10000 y genero un interés de $500 durante un semestre ¿Cual fue la tasa de interés de ese periodo? 3. Calcule la tasa de interés de una cuenta, la cual se abrió con un principal de $1100 y que al momento del cierre registro un monto de $ 1210

4. Cual es el acumulado de una cuenta que se abri´o con un principal de $ 1500 y que devengo hasta hoy una tasa de inter´es del 5 %

(16)

6. Calcule el valor principal con el que se abri´o una cuenta, la que tiene un monto de $ 150000, a una tasa de inter´es del 6 %

7. ¿Cual es el inter´es aplicado a una cuenta abierta con principal de $150000 y cuyo acumulado es de $175000?

8. ¿Cuantos dias se hab´ıan acumulado entre el 25 de octubre y el 20 de febrero del siguiente a˜no?

9. Calcule el n´umero de dias que hay entre la fecha de hoy y el d´ıa de su cumplea˜nos

10. Hallar la tasa efectiva de inter´esi, si la tasa de descuento por periodo es del 10 %

11. Hallar la tasa efectiva de descuentod, si la tasa efectiva de inter´es es i=12 %

12. Determine la tasa de inter´es equivalente a la tasa dada: a) i=?, si d=15 %

b) i=?, si d=33 %

c) d=?, si i=13 % d) d=?, si i=30 %

(17)

Cap´ıtulo 2

Inter´

es Simple

En este cap´ıtulo se estudian los conceptos fundamentales de inter´es simple, usando el principal y tasas de inter´es constante.

En este capitulo se desarrollara ...

? Inter´es con principal y tasa constante ? Acumulado con principal y tasa constante ? Ecuaciones de valor constante

i: tasa de inter´es simple

St: valor acumulado mediante inter´es simple

I: inter´es simple durante un periodo P: principal o capital

t: n´umero de periodos en el horizonte T

im: tasa nominal para inter´es simple, esta tasa es divisible por

el n´umero de periodos

m: n´umero de periodos de la tasa de inter´es

2.1. Inter´

es Simple

El interés simple se obtiene en cada per´ıodo al aplicar a la cantidad principal la tasa de interés correspondiente. Para encontrar la función de acumulación a interés simple se usa el concepto de S1 = 1 +i, este factor es la base para la generalización.

Consideremos la inversión de una unidad monetaria $1, tal que la tasa de interés simple ganada por esta unidad seráiconstante. El valor acumulado al final de cada per´ıodo se expresa de la siguiente forma:

(18)

s1 = (1 + 1.i) al final del primer periodo s2= (1 + 2.i) al final del segundo periodo

.. .

S7= (1 + 7.i) al final del s´eptimo periodo, en general

St= 1 +t.i t≥0. (2.1)

Alternativamente si la inversi´on original esP entonces

St=P(1 + it). (2.2)

Estas ecuaciones representan las funciones de acumulación a interés simple, suponiendo quet es cualquier número de per´ıodos.

t P

St

0

Figura 2.1: Funci´on de acumulac´ıon lineal con inter´es simple Los per´ıodos t son continuos.

La l´ınea recta se interpreta como la forma que se acumula a inter´es simple para cualquier tipo de inversi´on y tiempo t.

Ejemplo 8. Encuentre el valor acumulado de $1.000 invertidos ahora por cinco a˜nos a una tasa de inter´es simple del 10 %.

Soluci´on: Usando la Ec(2.2) se tiene

S5= $1000 (1 + (0,1)(5)) = $1500

El valor acumulado al final de 5 años es $1500 y el interés simple ganado por la inversión de $1000 es de $500.

(19)

2.1. INTER´ES SIMPLE 15

En general el inter´es ganado a una tasa de inter´es simple es:

I =P it. (2.3)

donde:

I : Interés total ganado i: Tasa de interés simple t : Periodos de la inversión.

Usando Ec(2.2) se puede encontrar Ec(2.3) St=P (1 + it) =P +P i t =P +I ⇒I =Pit. En el ejemplo 1

I =P i t = $1000 (0,1)(5) = $500

que es el valor del interés ganado a una tasa de interés simple. Un préstamo se encuentra bajointerés simple cuando:

se produce una única aplicación del interés y se realiza al final del horizonte temporal pactado, no importa que el plazo sea diferente al periodo de in-terés, por ejemplo la tasa puede ser trimestral y el horizonte del préstamo puede ser un año.

Inter´

es con principal y tasa de inter´

es constantes

Se asume que:

1. El principal no cambia hasta finalizar el pr´estamo

2. La tasa de inter´es constante acordada que se aplica sobre el principal no varia

3. Esta tasa es conveniente manejarla nominal, por lo tanto se usar´a im

en adelante, para poderla dividir

4. Si tes el n´umero de periodos de la tasa im constante y por periodo;

por ejemplo si im es trimestral,t es el n´umero de trimestres en que

se divide el horizonte de tiempo, y as´ı sucesivamente.

Es conveniente establecer algunas siglas para las tasas nominales im

(20)

Nota: La tasa nominal de interés corresponde a una tasa periódica multi-plicada por el número de periodos. Por ejemplo 2 % mensual, es equivalente a 2 %×12 =24 % tasa nominal anual.

De la ecuaci´on 2.3, se tiene:

I =P imt⇒P =

I im ⇒

t= P im ⇒

im=

I P t

Ejemplo 9. Un banco presta $10.000 a una tasa im anual del 18 %,

durante un trimestre, que valor tienet

Soluci´onPuesto quetes el n´umero de periodos a que se refiere la tasa imy como el horizonte temporal es 90 dias y el plazo de la tasa nominal

es de 360 dias entonces:

t= 90 360 =

1 4

Usando la tasa nominal dada y el valor det, al calcular el inter´es simple se tiene:

I = 10,000×0,18×1

4 = 450

Ejemplo 10.Si un principal de $10 000 se invierte a una tasa de inter´es de 1.5 % mensual durante un trimestre y si es inter´es simple se tiene:

t= 90 30 = 3, entonces:

I = 10000×0,015×3 = $450

Ejemplo 11. Si un particular otorgó a una empresa un préstamo a $100.000 para ser reintegrado en un año y cobra una TNA=30 %. ¿Cual será el interés simple que pagará la empresa al vencimiento del plazo?

Soluci´on:Puesto quet yim son anuales, al aplicar la f´ormula se tiene:

(21)

2.2. INTER´ES SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA NOMINAL

VARIABLE 17

Ejemplo 12. El 25 de mayo se abrió una cuenta con $100.000 en un banco, y pagaba un TNA=24 %. Se pide el interés simple que generó la cuenta hasta el 24 de junio del mismo año, fecha en que se cerro la operación,

I = $100000_×0,24_× 30

360 = $20,000.

Ejemplo 13. Calcule la TNA que se aplic´o a un principal de $10.000 durante un plazo de 3 meses y produjo un interes simple de $500

Soluci´on:

i1=

500 10000×1

4

= 0,2 = 20 %T N A

2.2. Inter´

es simple con principal constante y tasa

nominal variable

Si la tasa de inter´es acordada esta sujeta a las variaciones del mercado y si el principal es constante qu´e debe hacerse?

Cuando el horizonte de tiempo no cambia y se producen variaciones en la medida de la tasa de inter´es nominal, por ejemplo de TNA a TNS, TNM, TND, entonces la tasa im tiene un comportamiento variable. Al visualizar

el problema en un horizonte de tiempo y tasa de inter´es se tiene: T

im1 im2 . . . imz

t1 t2 . . . tz

0 1 2

Figura 2.2:

observe quez=1,2,3. . ., por lo tanto I es igual

I =P im1t1+P im2t2+. . .+P imztz =P[im1t1+im1t1+. . .+imztz]

(22)

I =P

z

X

k=1

imktk (2.4)

Ejemplo 14.El 15 de julio se abrió una cuenta con principal de $10.000 y bajo supuesto de interés simple. La TNA vigente a la apertura fue del 30 %, la misma bajo al 26 % el 30 de julio y al 22 % el 20 de agosto. Halle el interés al cierre de la cuenta que fue el 13 de octubre del mismo año

Soluci´on: ver el diagrama de tiempo e inter´es 90 dias

t1= 15 t2 = 21 t3 = 54

TNA1= 30 % TNA2= 26 % TNA3= 22 %

P15/7 30/7 20/8 13/10

I = 10,000

·

(0,3)

µ

15 360

¶

+ (0,26)

µ

21 360

¶

+ (0,22)

µ

54 360

¶¸

= $606,67

La tasa de interés nominal variable corresponde a la expresión entre paréntesis y que se genero en el horizonte de la operación.

Ejemplo 15. El 26 de mayo una empresa inició una cuenta con $3000 a un plazo fijo de 90 dias, en una institución financiera que pagaba una tasa de interés nominal variable. Al final del plazo se conoció que las tasas variables fueron las siguientes:

Tasa a partir de TNA: 30 % 26/05 TNT: 6.5 % 30/06 TNM: 2.1 % 31/07 Se requiere calcular el inter´es simple

(23)

2.3. INTER´ES CON PRINCIPAL VARIABLE Y TASA NOMINAL CONSTANTE19

T= 90 dias

t1= 35 t2 = 31 t3= 24

TNA= 30 % TNT= 6,5 % TNM= 2,1 %

26/5 30/6 31/7 24/8

Al aplicar el modelo conocido se tiene: I = 3000

·

(0,3)

µ

35 360

¶

+ (0,065)

µ

31 90

¶

+ (0,021)

µ

24 30

¶¸

= $205,07

2.3. Inter´

es con principal variable y tasa nominal

constante

Es frecuente necesario considerar el caso de calcular el interés simple cuando se efectúan cargos o abonos, sobre el principal y se mantiene con-stante la tasa de interés, como sucede algunas veces en instituciones fi-nancieras no tradicionales. En forma similar a lo expuesto anteriormente se tiene:

I =P0im1t1+P1im2t2+. . .+Pz−1imztz=im[P0t1+P1t2+. . .+Pz−1tz]

Esta ecuaci´on se puede observar de la siguiente forma:

I =im z

X

k=1

Pk−1tk (2.5)

Esta ecuaci´on calcula el inter´es simple cuando el principal es variable y la tasa permanece constante en los respectivos horizonte.

Ejemplo 16.El d´ıa 9 de julio una persona abre una cuenta en un banco con una cantidad de $10.000 y recibe una TNA de 30 %. A partir de esa fecha la cuenta tiene los siguientes movimientos

(24)

Se necesita determinar el inter´es generado en el lapso de cuenta hasta el 7 de septiembre.

Soluci´on: Las variaciones se presentan en la siguiente gr´afica: 60 dias

t1 = 11 dias t2 = 21 dias t3 = 28 dias

360 dias 360 dias 360 dias

9/7 20/7 10/8 07/9

P0=10000 P1=15000 P2=13000

Al aplicar el respectivo modelo se tiene: I = 0,30

·

(10,000)

µ

11 360

¶

+ (15000)

µ

21 360

¶

+ (13000)

µ

28 360

¶¸

= $657,50, este es el valor del inter´es bajo los supuestos establecidos.

2.4. Inter´

es con principal y tasa nominal variables

En las operaciones bancarias donde donde las cuentas var´ıan por cargos y abonos que se realizan en fechas posteriores a su apertura y a su vez la tasa de interés esta sujeta a las variaciones del mercado, el cálculo del in-terés simple debe realizarse por tramos para cumplir el concepto del inin-terés simple y no capitalizar, entonces

I =P0im0t1+P1im1t2+. . .+Pz−1im(z−1)tz

Estos casos son indispensables y se recomienda elaborar modelos en Excel para su soluci´on

Ejemplo 17. Una cuenta de ahorro fue abierta en una institución fi-nanciera el 20 de julio, se cancelo el 30 de noviembre del mismo año. Se presentaron cambios en el principal y las tasas de interés durante este horizonte como se puede ver:

Principal Tasa Nominal

Fecha Operaci´on Cantidad(t) Operaci´on %

20/7 Dep´osito 1000 Tasa inicial TNA=24 %

27/8 Cambio tasa TNA=23 %

30/9 Dep´osito 500 Tasa inicial TNM=1.8 %

31/10 Retiro 300 Cambio tasa TNM=1.7 %

30/11 Cancelaci´on

(25)

2.5. ACUMULADO CON PRINCIPAL Y TASA NOMINAL CONSTANTE 21

Soluci´on:

133 dias

t1 = 38 dias t2 = 34 dias t3 = 31 dias t4= 30 dias

20/7 27/8 30/9 31/10 30/11

TND1=24 % TNA2=23 % TNM3=1.8 % TNM4=1.7 %

P0= 1000 P1= 1500 P2= 1200

a) calculo de I1 con variaci´on en la tasa anual. I1= 1000

·

(0,24)

µ

38 360

¶

+ (0,23)

µ

34 360

¶¸

= $47,06 b) calculo de I2 con tasa mensual,ver dep´osito

I2= 1500×(0,018)(31₃₀) = $27,90

c) Calculo de I3 con tasa mensual, ver retiro

I3 = 1200×(0,017)( 30

30) = $20,40 Inter´es devengado, es la suma de los respectivos valores

I =I1+I2+I3 = 47,06 + 27,90 + 20,40 = 95,36 Este es el valor del inter´es simple

2.5. Acumulado con principal y tasa nominal

cons-tante

Ademas: St=P(1 +Imt)⇒ las equivalencias correspondientes son:

P =St

"

1 1 +im

#

, im = St P −1

t , t=

St P −1

im

(26)

P =St[₁₊1_tim]

St=P(1 +tim)

P P

I

0 t

St

Es la forma como se pueden ver los conceptos del acumulado y valor pre-sente.

Ejemplo 18. Que cantidad acumular´a una persona en una cuenta de ahorros a inter´es simple, si le aplican una TNM=3 % y si su deposito inicial de $5000 se realizo el 4 de octubre y se cancelo el 16 del mismo mes.

Soluci´on: Datos:P = $5000, im =i12= 0,03,t= 12₃₀, entonces: st= 5000[1 + (0,03)(

12

30)] = $5060,00

Ejemplo 19. Hallar la cantidad principal a la cual una tasa de inter´es simple mensual del 3 % y 87 dias produjo un acumulado de $5000:

Soluci´on: Datos:St= 5000, i12= 0,03,t= 12₃₀, entonces

P = 5000

·

1 1 + (0,03)(87₃₀)

¸

= $4599,80

Este valor fue el depositado originalmente para lograr lo propuesto.

Ejemplo 20. Se adquirió una fresadora cuyo precio de contado fue de $60.000 pero se pagó una cuota inicial de $20.000 y el saldo se financió a 45 dias por $41.500. ¿Cual fue la tasa mensual de interés simple aplicada a esta operación?

Soluci´on: Puesto que se pago una cuota inicial de $20.000, y el monto final fue de $41.500 y 45 dias, se tiene que,

i12= 41500 40000−1

45 30

(27)

2.6. ECUACIONES DE VALOR 23

2.6. Ecuaciones de valor

El principio fundamental de la teor´ıa del inter´es consiste en que una cantidad de dinero depositada en cualquier punto del tiempo esequivalente al dinero obtenido en el pasado o en el futuro aplicandole una tasa de inter´es; este es el concepto de valor del dinero en el tiempo.

Unaecuación de valores la igualdad que compara valores diferentes de dinero en fechas diferentes; la información al respecto se visualiza en los diagramas de tiempo y efectivo estudiados anteriormente; estos diagramas facilitan la ubicación de los flujos de efectivo que suceden durante el tiempo y de esta forma plantear con seguridad la ecuación de valor. Todos los va-lores que aparecen en el respectivo diagrama de tiempo deben trasladarse mediante las ecuaciones correspondientes de interés simple o interés com-puesto a un punto común conocido comopunto de referencia o fecha focal y de esta forma establecer las ecuaciones de valor.

Ejemplo 21. Carlos invierte $10.000 a una tasa de interés simple del 3 % durante seis meses. Hallar el valor acumulado al cabo de este tiempo. El problema propuesto de acumulación se plantea como una ecuación de valor con interés simple cuyo punto de referencia se establece en el mes seis,

s6 = 10000(1 + (,03)6) = $11,800. En la figura se muestra el diagrama del problema,

0 1 2 6

st= ?

$10.000

Ejemplo 22. Al comprar su automóvil Usted se compromete a pagar $1’000.000 dentro de un año. Si Usted tiene la posibilidad de invertir en papeles comerciales que rinden el 2 % mensual, ¿Cuánto pagar´ıa hoy por el pagaré, si dispone de la cantidad de $1.000.000 al cabo del año?

(28)

Se establece la ecuaci´on de valor

P = 1,000,000(1 +,02)−12= $788493,17

Es decir que por el documento hoy debe pagar m´aximo $788.493.17 y de esta forma queda saldada la deuda. Observese que el punto de referencia es cero (0).

El siguiente es el diagrama de tiempo y efectivo:

0 1 12

ip = 2 %

$1.000.000

P= ?

Ejemplo 23. Si invierto $200 en dos meses y $500 en ocho meses, a qu´e tasa de inter´es simple se acumulan $1000 en doce meses?

Soluci´on. Diagrama y acumulado con inter´es simple. El punto de refe-rencia puede ser el mes 12.

Puesto que la fecha focal es el mes doce se plantea la siguiente ecuaci´on de valor,

$1000 = $200(1 +i(10)) + 500(1 +i(4))

= 200 + 2000i+ 500 + 2000i= 700 + 4000i

entonces 300 = 4000i =_⇒ i= 7,5 % mensual, la tasa que hace equiva-lente los valores dados es del 7.5 % cada mes. El siguiente es el diagrama correspondiente:

0 1 2 3 8 12

$1.000

(29)

2.7. EJERCICIOS 25

2.7. Ejercicios

1. Halle el valor acumulado de $1000 al final de un a˜no, si se depositan a una tasa de inter´es simple del 4 % cada trimestre

2. ¿A que tasa de inter´es simple anual $500 de ahora acumularan $615 en 2 1/2a˜nos?

3. En cuantos a˜nos $ 5000 depositados ahora acumulan $6300 al 18 % de inter´es simple

4. ¿A que tasa mensual de inter´es simple, una inversion inicial de $ 15000 gana de inter´es $ en cuatro meses?

5. Determine la cantidad de dinero que debe depositarse ahora, para obtener $200 de interés simple después de dos años, si la tasa de interés es del 9 % anual simple

6. Determine la cantidad inicial de dinero que se invertirá ahora, para acumular $150000 al cabo de tres años, si la tasa de interés simple del 5 % trimestral

7. Halle el inter´es simple que genero un principal de $40000, colocado en un banco a una TNA de 36 % durante 6 dias

8. ¿Que inter´es simple gano un principal de $ 10000 en un a˜no, dos meses, y 26 dias, depositado a una TNM de 2 % ?

9. ¿Que interés simple puede disponerse el 16 de mayo, si el 15 de abril del mismo año se invirtió una principal de $ 50000, a una TNA de 24 %?

10. Calcule el interés simple que produjo un principal de $ 200000, colo-cado desde el 12 de mayo al 15 de junio del mismo año. En esta operación se aplico una TNT de 7.5 %

11. ¿Cual fue el valor principal que depositado en un banco durante 7 trimestres a una tasa nominal anual del 26 %, produjo un inter´es simple de $8000?

(30)

13. Una deuda de $100000 contra´ıdo el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio del mismo a˜no y pactada originalmente a una TNA de 24 %, sufre variaciones a partir de las siguientes fechas: d´ıa 12 de junio, 2.5 % mensual; 24 de junio, 9 % trimestral, d´ıa 3 de julio 21 % semestral. ¿Que inter´es simple se pagara al vencimiento?

14. El 2 de octubre se abrió una cuenta de ahorros con $200000 y se efectuaron depósitos de $50000 y $30000, los dias 8 y 16 y un retiro de $20000 el d´ıa 26 de octubre la TNA pactada fue del 28 % que bajo al 26 % a partir del 16 de octubre. ¿Cual fue el interés simple acumulado y cual es el saldo disponible el 1 de noviembre?

15. Si se colocaron en una cuenta de ahorros $30000 a una TNA de 24 %. ¿Cuanto se habrá acumulado de interés simple al cabo de 46 dias? 16. El 23 de mayo se adquirió un paquete accionario en $240000 y se

vendió el 18 de junio del mismo año; en esta fecha se recibió una cantidad de $268000. Calcule la tasa mensual de interés simple de la operación

17. ¿En que tiempo se triplicara un deposito colocado a inter´es simple, a una TNM de 5 %?

18. La suma de un principal y su interés simple, generado por un TNM de 3 %, fue de $40000 en un periodo comprendido entre el 30 de junio y 31 de diciembre del mismo año. Determine el valor principal 19. Una inversión de $80000, colocada durante 5,5 meses a interés simple,

rindió TNM de 3 % durante los primeros cuatro meses, el quinto mes rindió una TNA de 40 % y la ultima quincena rindió una TNT de 12 %. ¿Cual fue el calor acumulado?

20. Calcule el valor presente a inter´es simple de una letra cuyo valor nominal es de $100000 la misma que se vence dentro de 90 dias. Utilice una TNA de 30 %.

(31)

Cap´ıtulo 3

Inter´

es compuesto

En el capitulo se trataran valores acumulados valores presentes con inter´es constante y variable en varias alternativas.

En este capitulo se desarrollara ...

? Acumulado con principal y tasa efectiva constante

? Acumulado con principal constante y tasa efectiva variable ? Acumulado con principal y tasa efectiva variable

? Acumulado en funci´on de la tasa nominal ? Ecuaciones de valor

St: valor acumulado, futuro o monto

i: tasa efectiva de inter´es

ip: tasa efectiva peri´odica o tasa peri´odica

P: valor principal, dep´osito inicial

3.1. Inter´

es compuesto

El concepto de interés compuesto asume que el interés ganado en cada per´ıodo es reinvertido inmediatamente y pasa a formar parte del capital, este proceso se llama capitalización, el interés reinvertido forma capital y también gana interés.

Un trabajo cuidadoso sobre este concepto es muy importante porque un gran n´umero de estudios financieros se basan en el inter´es compuesto.

(32)

También se arguménta que el capital gana interés generado por una tasa de interés efectiva, la que a su vez puede estar en función de una tasa de interés nominal que capitaliza cada cierto periodo de tiempo. El capital final de cada unidad de tiempo crece de manera geométrica, si el principal, la tasa de interés y el plazo permanecen constantes.

3.2. Acumulado con principal y tasa efectiva

cons-tante

Se supone que durante el horizonte de tiempo el principal permanece constante durante el plazo, la tasa de interésitambién permanece constante y tantoicomo thacen referencia a un periodo de la misma duración:

Ejemplo 24.Acumulación con intrerés compuesto. Se depositan ahora $1000 en un banco, quien reconoce una tasa de interés del 5 % cada trimestre. Halle la cantidad acumulada al cabo de un año y bosqueje un diagrama de tiempo y efectivo.

Soluci´on: El siguiente es el diagrama de tiempo y efectivo:

0 1 2 3 4

$1050 $1102,50 $1157,62 $1215,50

i=5 % $1000

trimestres

Se observa que la cantidad acumulada en cada per´ıodo y se obtiene de la siguiente forma:

s1 = $1000 + 1000(,05) = $1050,00 s2 = 1050 + 1050(,05) = $1102,50 s3 = 1102,50 + 1102,50(,05) = $1157,50 s4 = 1157,62 + 1157,62(,05) = $1215,50

(33)

3.2. ACUMULADO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE 29

En generalmediante un proceso similar se obtiene una f´ormula paraSt

con inversión inicial de 1, durante t per´ıodos y tasa de interési. Obsérvese primero el diagrama de tiempo y efectivo para este caso.

0 1 2 3 t₋1 t

s1 s2 s3 st−1 st=?

i $1

per´ıodos

Deducci´on de la formula delacumulado general. Teniendo en cuenta los anteriores comentarios el procedimiento para el caso general es similar al del ejemplo anterior; donde St se obtiene de la siguiente forma:

S1 = 1 + 1i = = (1 +i)

S2 = (1 +i) + (1 +i)i = (1 +i)(1 +i) = (1 +i)2 S3 = (1 +i)2+ (1 +i)2i = (1 +i)2(1 +i) =(1 +i)3

..

. ... ... ...

St = = = (1 +i)t

La expresi´on

St= (1 +i)t (3.1)

es la fórmula central de acumulación a la tasa de interés i y durante t per´ıodos. La expresión (1+i)se llama el factor de acumulación.

También se tiene una expresión general si la inversión incial es P, as´ı:

St=P(1 +i)t (3.2)

Como se puede observar la Ec(3.2) nos servirá como fundamento en el estudio de la teor´ıa del interés y sus múltiples aplicaciones.

Ejemplo 25.Resuelva el ejemplo anterior utilizando la Ec.(3.2).

Soluci´onPuesto que la inversi´on inicial es de $1000 se usa Ec.(3.2) as´ı: S4 = $1000(1 + 0,05)4 = $1215,50

(34)

Dado que la tasa de inter´es compuesta o efectiva puede referirse a dife-rentes plazos, es consistente trabajar las siguientes siglas:

Tasa efectiva Anual ≡ TEA Tasa efectiva semestral _≡ TES Tasa efectiva cuatrimestral _≡ TEC Tasa efectiva trimestral ≡ TET Tasa efectiva bimestral _≡ TEB Tasa efectiva mensual _≡ TEM Tasa efectiva diaria ≡ TED

En el capitulo de tasas de interés se modelaran éstas siglas para poder establecer equivalencias con algún nivel de seguridad.

Es conveniente ver mediante una gráfica el comportamiento de la fun-ción de acumulafun-ciónatcon interés compuesto

•

0 t

P St

Figura 3.1: Muestra el comportamiento exponencial de la función de acu-mulación con interés compuesto

Se puede decir lo siguiente:

P =St(1 +i)−t i= (St_P)

1

t −1 t= ln(

St P) ln(1+t) St=P(1 +i)t

Estas ecuaciones corresponden a despejes algebraicos ´utiles al proceso de aprendizaje y a la cual se agrega el:

Valor presente

(35)

ahora es necesario determinar la cantidad de dinero que una persona debe depositar ahora, al principio del per´ıodo, para lograr acumular al final del per´ıodo $1. El factor usado para obtener la mencionada cantidad es el in-verso del factor de acumulaci´on, que se llamar´a factor de descuento, es decir

(1 +i)−1 = 1

1 +i (3.3)

Mediante este factor se descuenta per´ıodo a per´ıodo de una cantidad final deseada para obtener un valor inicial; que se llama el valor presenteP.

En un diagrama de tiempo y efectivo se observa el proceso de descuento para determinar el valor presente y se obtiene la f´ormula correspondiente.

1 2 3 t₋1 t

1

0

i P

Figura 3.2: Diagrama de tiempo y efectivo mediante el cual se visualiza el proceso de descuento para hallar del valor presente.

Como se observa a partir del tiempo t se inicia el descuento y per´ıodo a per´ıodo se encuentra el valor buscado, que se llama valor presente y se representa por P.

En resumen las ecuaciones correspondientes son:

Pt=

1

1+it, si la tasa de inter´es es simple (3.4)

Pt= (1+i)−t=vt, si la tasa de inter´es es compuesta (3.5)

Ayuda:Usemosv = (1 +i)−1

(36)

Ejemplo 26.Encuentre la cantidad de dinero que debe invertirse ahora a una tasa i= 20 % anual para acumular $1000 al final del cuarto año; suponga a)tasa de interés simple, b)tasa de interés compuesto.

Soluciónse aplican las ecuaciones de valor presente para interés simple e interés compuesto.

a)P = 1000 1 + (0,2)4 =

1000

1,8 = $555,55. Este es el valor presente si la tasa de inter´es es simple.

b)P = 1000(1 + (0,2))−4 = $482,25 Este es el valor presente si la tasa de inter´es es compuesta.

Se puede ver de otra forma:

Pt=St(1 +i)−t

St=P(1 +i)t

P P

I

0 t

S(t)

Esta figura coresponde a la relaci´on de equivalencia entre el acumulado final o valor futuro Sty el valor presente (Pt) a una tasa efectiva i.

Ejemplo 27.Determinar el valor acumulado de una inversi´on inicial de $1000, colocado en un banco durante 6 meses a una TEA=18 %

Soluci´on:Con los datos P=1000;i=18 % yt= ₁₂6 se determinaSt

usan-do la ecuaci´on correspondiente:

St= 1000(1 + 0,18)

6

12 = $1086,27

Ejemplo 28.Hallar el acumulado de una inversi´on de $50.000, colocado en un banco durante 25 dias a una TET del 4 %.

Soluci´on: Si P = 50000, ip = 0,04 y t= 25₉₀, se calcula St mediante la

ecuaci´on correspondiente:

St= 50000(1 + 0,04)

25

(37)

Ejemplo 29.Calcule el acumulado de un capital inicial de $5000 colo-cado en un banco durante 45 idas a una TEM del 2 %

Solución: Con la información P = $5000, i = 0,02, t = 45₃₀, se calcula St según la formula.

St= 5000(1 + 0,02)

45

30 = $5150,75

Ejemplo 30.¿Que cantidad de dinero deber´a pagarse por un sobregiro bancario de $100000, activo del 9 al 15 de enero del mismo a˜no, si el banco cobra una TEM del 2.3 %?

Soluci´on: Si P = 100000, i = 0,023 y t = ₃₀6 se determina St con la

formula correspondiente:

St= 100000(1 + 0,023)

6

30 = $100455,83

Ejemplo 31.Encuentre el valor presente en la fecha 30 de abril, de un bono cuyo valor nominales de $100000, que genera TEA de 15 % y se debe redimir el 30 de diciembre del mismo a˜no.

Soluci´on:Con los datosSt= 100000, i= 0,15 y t= 244₃₆₀ al aplicar la

formula correspondiente se tiene:

P = 100000(1 + 0,15)−244360 = $90962,07

Ejemplo 32.A que tasa efectiva mensual un capital de $100000 se acu-mula en $105.192.40, si se deposit´o en un banco desde el 16 de octubre y hasta el 15 de diciembre

Soluci´on: Con los datos St = 105192,40; P = 100000 y t = 60₃₀; se

calcula la TEM, usando la formula correspondiente:

i=

·

105192,40 100000

¸₆₀1_/₃₀

−1 = 0,0256 = 2,56 % =T EM

Ejemplo 33. ¿ En cuanto tiempo un capital de $100000 se habr´a du-plicado (se convierte en $200.000) si el valor se coloco al 15 % TEA.

Soluci´on:P = 100,000, St= 200000, T EA= 15 %

t= ln( 200000 100000)

ln(1,15) = 4,96 a˜nos

(38)

3.3. Acumulado con principal constante y tasa

efectiva variable

En este caso el principal permanece constante pero las tasas periódicas var´ıan en los plazos estipulados por ejemplo la TEA=10 % cambia a una TEA=8 %, o también se puede producir una variación de la tasa de interés cuando el horizonte de tiempo se expresan en diferentes unidades de tiempo. Siiz la tasa de interés aplicable en elz-ésimo subperiodo ytz el número

de periodos de la tasa en el z-´esimo subperiodo entonces:

St=P

·

(1 +i1)t1(1 +i2)t2(1 +i3)t3. . .(1 +iz)tz

¸

(3.6)

La expresi´on en el par´entesis es el producto de factores del tipo (1+ik)tk,

dondektoma valores enteros en el intervalo [1, z] y puede representarse por

St=P

" _z Y

k=1

(1 +ik)tk

#

(3.7)

Esta valor de St es el producto de todas las posibles variaciones tanto

de la tasa como de los subperiodos.

Ejemplo 34.Encuentre la cantidad acumulada de $100 al final de 15 años, si la tasa efectiva de interés es del 18 % para los primeros cinco años, el 15 % para los siguientes cinco años y el 12 % para los últimos cinco años.

Solución:Se usa Ec(3.7) para hallar el respectivo acumulado, y se debe tener en cuenta que la variación de la tasa de interés es cada cinco años.

S15= 100(1,18)5(1,15)5(1,12)5 = $810,94

(39)

3.3. ACUMULADO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA

VARIABLE 35

Ejemplo 35. Encuentre el valor acumulado cuyo principal de $50000 fue colocado a un plazo fijo en un banco del 25 de octubre al 30 de diciembre del mismo a˜no, con una TEA del 12 %. En ese plazo la TEA que originalmente era de 12 % bajo al 10 % el 15 de noviembre y al 8 % el 10 % de diciembre.

Soluci´on:Visualizar el ejemplo mediante el diagrama de tiempo y efec-tivo:

66 dias

t1= 21 t2= 25 t3= 20

TEA1= 12 % TEA2= 10 % TEA3= 8 %

5000025/10 15/11 10/12 30/12

Se aplica la ecuaci´on del valor acumulado y se tiene: St= 50000[(1 + 0,012)

21

360(1 + 0,10) 25

360(1 + 0,08) 20

360] = $50882,97

La formula anterior que calcula el valor futuro en el escenario com-puesto, se utiliza para hallar el valor presente correspondiente:

P =S

" _z Y

k=1

(1 +ik)−tk

#

(3.8)

Ejemplo 36.Encuentre el valor del depósito que se hace ahora, para lograr tener $1000 dentro de un año, si para los primeros seis meses la tasa de interés es el 3 % mensual y para los siguientes seis meses el 2 % mensual.

Soluci´on:Usar Ec(3.8)

P12= 1000(1 +,03)−6(1 +,02)−6 = $743,66

(40)

Ejemplo 37. Determine el valor de apertura de uan cuenta el 20 de mayo, si se desea acumular al 30 de diciembre del mismo a˜no una can-tidad de $200000, dado que la TEA de 8 % en la apertura se incremen-tar´a al 10 % el 30 de julio.

Soluci´on: Diagrama de tiempo y efectivo

224 dias

t1= 71 t2= 153 200000

TEA1= 8 % TEA2= 10 %

P=?

20/05 30/07 30/12

P = 200000

·

(1 + 0,08)−36071 (1 + 0,1)− 153 360

#

= $189167,40

3.4. Acumulado con principal y tasa efectiva

varia-ble

En este caso la cuenta se modifica por dep´ositos y retiros, a los que se les aplica tasas variables, esto implica el manejo adecuado de los periodos donde ocurren los cambios.

Ejemplo 38. El 20 de enero se inicio una cuenta bancaria con $10000 a una TEA del 10 % y a partir de esa fecha se efectuan los siguientes cambios:

Fecha Operaci´on

20/02 Retiro $5000

15/03 Cambio tasa 12 % 30/05 Cancelaci´on

Se requiere calcular el valor acumulado en el momento de la cancelaci´on.

Soluci´on: En el diagrama de tiempo y efectivo se pueden ver los movimientos:

130 dias

t1= 31 t2= 23 t3= 76 St=?

10000

20/1 i= 10 % 20/2 15/3 i= 12 % 30/5

(41)

3.5. ACUMULADO EN FUNCI ´ON DE LA TASA NOMINAL 37

S1 = 10000(1 + 0,1)

31

360 −5000 =5082,41

S2 = 5081,41(1 + 0,1)

23

360 =5113,45

S3 = 5113,45(1 + 0,12)

76

360 =$5237,27

Como se puede ver el valor acumulado a la cancelaci´on es $5237.27

3.5. Acumulado en funci´

on de la tasa nominal

Cuando el inter´es compuesto se genera por una tasa nominal im

ca-pitalizable m veces (m es el n´umero de periodos que se capitaliza la tasa nominal en su plazo correspondiente), y la raz´on es:

m= Plazo de la tasa nominal Plazo del periodo capitalizable

Es necesario proporcionar la tasa nominal para expresarla en el plazo del periodo capitalizable y de esta forma convertirla en una tasa efectiva ip

a la que es aplicable los desarrollos matem´aticos anteriores. Este comentario puede representarse as´ı:

ip =

im

m

La formula convierte una tasa nominal capitalizablemveces a una tasa efectiva del periodo capitalizable.

Si se hace el respectivo reemplazo se tiene en la ecuaci´on del valor acumulado

St=P

µ

1 +im m

¶t

, t≡periodos capitalizables

Usando las matemáticas básicas se obtiene de esta ecuación valores como P, im, t as´ı:

P =S

µ

1 +im m

¶−t

, im=m

·µ

S P

¶1_t

−1

¸

, t= ln(

S P)

ln(1 + im_m)

(42)

Ejemplo 39. Determine el acumulado de una inversi´on de 5000 du-rante seis meses y que se coloc´o a una TNM del 2 % capitalizable cada quincena.

Soluci´on: SiP = 5000, im= 0,02, m= 30₁₅, T = 180, t1= 15, t= 180

15o 12 quincenas y mediante la f´ormula se tiene: S = 5000

µ

1 +0,02 2

¶180₁₅

= $5634,12

Ejemplo 40.Encuentre el valor acumulado compuesto en una trimestre por una inversi´on $10000, aplicada a una tasa TNA del 18 % con capi-talizaci´on bimestral.

Soluci´on: Los datos P = $10000, im = 0,18, T = 90, m = 360₆₀ =

6, t= 90₆₀ y usando la f´ormula se tiene:

St= 10000

µ

1 +0,18 6

¶90₆₀

= $10453,36

Ejemplo 41.Determine el capital que se necesita ahora para lograr un acumulado de $20000 en un plazo de 45 dias, si este dinero invertido devenga una TNA=15 % capitalizable mensualmente.

Soluci´on:Datos:S = 20000, im= 15 %, m= 360₃₀ = 12, T = 45, t= 45₃₀

y usando las f´ormulas se tiene:

P = 20000

µ

1 +0,15 12

¶−45₃₀

= $19630,78

Ejemplo 42.Una inversi´on de $20000 se acumulo en $21244.16, en un plazo de 90 dias. Se necesita conocer la TNA capitalizable mensualmente que se aplico a la operaci´on?

Soluci´on:Datos: St = 2124,16, m = 12, P = 20000, t = 90₃₀ = 3 y

usando las f´ormulas se tiene:

im = 12

·µ

21224,16 20000

¶₉₀1_/₃₀

−1

¸

(43)

3.6. INTER´ES COMPUESTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE39

Ejemplo 43. Un sobregiro en un banco de $25000 que le aplica una TNA de 18 % capitalizable mensualmente, se cancelo con una cantidad de $25299.55. Durante cuantos dias estuvo sobregirada la cuenta?

Soluci´on:Datos: S = 25299,55, i12 = 0,18, m= 360₃₀ = 12, P = 25000 y usando las f´ormulas se tiene:

t 30 =

ln(25299₂₅₀₀₀,55)

ln(1 + 0₁₂,18) = 0,8⇒t= 24 dias.

3.6. Inter´

es compuesto con principal y tasa

efec-tiva constante

El inter´es obtenido por un capital que genero una tasa efectiva y que fue invertido en el pasado, es la diferencia entre el valor acumulado de la inversi´on y el capital inicial as´ı:

I =St−P; puesto que St=P(1 +i)t; entonces,

I =P[(1 +i)t₋1] (3.9)

De esta ecuaci´on se obtienen los correspondientes valores deP, i,yten caso de ser necesaria su utilizaci´on.

En el proceso de conocimiento entre interés simple y compuesto y bajo los modelos trabajados de interés simple I = P imt que es una función

lineal.

Interés compuesto I = P[(1 +i)t−1], es una función exponencial, al simular una hoja de cálculo; puede estudiarse lo que pasar´ıa si se coloca un capital:

1. a interés simple a una tasa nominal periódica TN 2. a interés compuesto a una tasa efectiva periódica TE

Ver figura EXCEL donde capital original es 100 y TN=TE

∗ Cuando t= 1, el inter´es simple y compuesto coinciden

∗ Cuando t <1, el inter´es simple supera al inter´es compuesto

(44)

Ejemplo 44.Un banco otorga un préstamo a una empresa por $100000 con vencimiento un año. Si la TEA es 30 %, ¿que interés compuesto pagará la empresa al banco al final del año?

Soluci´on: Datos: P = 100000, i= 0,30, t= 1 y usando la f´ormula se tiene:

I = 100000[(1 + 0,30)1₋1] = $30000,00

Ejemplo 45.In inversionista deposita $100000 en una instituci´on fi-nanciera y le aplican TEM de 2.5 %, ¿que inter´es compuesto ganara en tres meses?

Soluci´on:Datos:P = 100000, i= 0,025, t= 3 y usando la f´ormula se tiene:

I = 100000[(1 + 0,025)3−1] = $7689,06

Ejemplo 46.¿Que interés compuesto se acumulará en 180 dias por un depósito de $5000 y que se la aplica una TEA de 30 %.

Soluci´on: Datos: P = 5000, i= 0,30, t= 180₃₆₀ y usando la f´ormula se tiene:

I = 5000[(1 + 0,30)180360 −1] = $700,88

3.7. Inter´

es con principal constante y tasa efectiva

variable

Siiz es la tasa de inter´es vigente durante el z-´esimo subperiodo y tz el

n´umero de periodos de la tasa iz en elz-´esimo subperiodo, entonces:

I =P

·

(1 +i1)t1(1 +i2)t2. . .(1 +iz)tz −1

¸

La expresi´on (1 +i1)t1(1 +i2)t2. . .(1 +iz)tz es el producto de los factores

del tipo (1 +iz)tz como se mostr´o anteriormente

I =P

" _z Y

k=1

(1 +ik)tk−1

(45)

Ejemplo 47. ¿Que interés compuesto generó un capital de $50000, el que se coloco el 5 de abril a TEA de 12 % y que varió a 10 % el 31 de mayo y la operación se cerró el 16 de junio?

Soluci´on:Datos: P = 50000; i1 = 0,12; i2 = 0,10 t1 = ₃₆₀56, t2 = ₃₆₀16 y usando la f´ormula se tiene. en diagrama de tiempo y efectivo:

TEA=12 % TEA=10 %

t1= 56 dias t2= 16 dias

05/4 31/5 16/6

I = 50000[(1 + 0,12)36056 (1 + 0,10) 16

360 −1] = $1105,29

3.8. Ecuaciones de valor

Cuando el horizonte de tiempo de la operación se producen conjun-tamente variaciones en la tasa de interés y en el principal, el cálculo del interés compuesto puede efectuarse por tramos se acuerdo a las respectivas operaciones

El principio fundamental de la teor´ıa del inter´es consiste en que una cantidad de dinero depositada en cualquier punto del tiempo esequivalente al dinero obtenido en el pasado o en el futuro aplicandole una tasa de inter´es; este es el concepto de valor del dinero en el tiempo.

Unaecuación de valores la igualdad que compara valores diferentes de dinero en fechas diferentes; la información al respecto se visualiza en los diagramas de tiempo y efectivo estudiados anteriormente; estos diagramas facilitan la ubicación de los flujos de efectivo que suceden durante el tiempo y de esta forma plantear con seguridad la ecuación de valor. Todos los val-ores que aparecen en el respectivo diagrama de tiempo deben trasladarse mediante las ecuaciones correspondientes de interés simple o interés com-puesto a un punto común conocido comopunto de referencia o fecha focal y de esta forma establecer las ecuaciones de valor.

(46)

Ejemplo 48. Al comprar su automóvil Usted se compromete a pagar $1’000.000 dentro de un año. Si Usted tiene la posibilidad de invertir en papeles comerciales que rinden el 2 % mensual compuesto, ¿Cuánto pagar´ıa hoy por el pagaré, si dispone de la cantidad de $1’000.000 al cabo del año?

Soluci´on: Con un diagrama de tiempo y efectivo.

0 1 12

i= 2 %

$1’000.000

P= ?

Se establece la ecuaci´on de valor:

P = 1000000(1 + 0,02)−12= $788493,17 valor a pagar hoy.

Ejemplo 49. Si invierto $200 en dos meses y $500 en ocho meses, a qu´e tasa de inter´es simple se acumulan $1000 en doce meses?

Soluci´on. Diagrama y acumulado con inter´es simple. El punto de refe-rencia puede ser el mes 12.

0 1 2 3 8 12

$1.000

200 500

$1,000 = $200(1 +i(10)) + 500(1 +i(4))

= 200 + 2000i+ 500 + 2000i= 700 + 4000i

(47)

Ejemplo 50.Una entidad financiera ofrece $6000 al cabo de cinco años a una persona que invierte hoy $1000, $1500 en dos años y una cantidad X en cuatro años. HallarX, sii= 5 %

Solución.Se establece el punto de referencia en años. Ahora se establece la ecuación de valor ent= 5, coni= 0,05

6000 = 1000(1 +i)5+ 1500(1 +i)3+x(1 +i) =⇒

6000₋1000(1,05)5₋1,500(1,05)3 =x(1,05) =_⇒ x = 6000−1000(1,05)

5₋_1500(1,05)3

1,05 = $2845,03

Alternativamente se puede establecer como punto de referencia el punto 0, entonces

1000 + 1,500(1 +i)−2+x(1 +i)−4 =6000(1 +i)−5

X= 6000v

5₋_1,500v2₋₁₀₀₀

v5 =

6000(,9523)5−1500(,9523)2−1000 (,9523)4

=$2845.03

El siguiente es el diagrama para hallarx:

0 2 3 4 5

6.000

1.000 1500 x

Ejemplo 51.El señor Eduardo Laverde solicito un préstamo de $100000 quien pagara una TEM de 3 %, para cancelarlo en 180 dias, si el señor Laverde amortiza anticipadamente al vencimiento $20000 el d´ıa 35 y $10000 el d´ıa 98; ¿cuanto deberá pagar el d´ıa 180 para saldar la deuda?

(48)

0 35 98 180 10000

20000 10000

145 dias

82 dias

180 dias

Existen varias ecuaciones para solucionar el mismo problema con fecha focal al final del horizonte de tiempo en el d´ıa 180 una ecuaci´on es: x = 100000(1+0,03)18030−20000(1+0,03)14030−10000(1+0,03)8230 = $85492,21

Si se toma como punto referencial el punto cero del horizonte de tiempo, la ecuaci´on de equivalencia es:

100000 =20000(1 + 0,03)−3530 + 10000(1 + 0,03)−9830

+x(1 + 0,03)−18030

entonces,

100000 = 19322,05 + 9079,57 +x(1,141) Por lo tantox=$85492.21

Ejemplo 52.Mostrar si los aportes de $537.17 y $566.85 hechos al final de los meses 4 y 7 respectivamente son equivalente en el presente, use TEA de 24 %

Soluci´on: El diagrama de tiempo-efectivo muestra

0 1 2 3 4 5 6 7

P

S1= 537,17 S2= 566,86

P = 537,17(1 + 0,024)−120360 = 500 P = 566,85(1 + 0,024)−36021 = 500

Como se puede ver estos valores so iguales y se han obtenido de descontar a la TEA de 24 % los correspondientesS1 yS2 desde el mes que se hizo el respectivo aporte.

(49)

Soluci´on:diagrama de tiempo-efectivo

0 30 90 180 dias

P

200000 100000 i= 0,035

x = 200000(1 + 0,035)5+ 100000(1 + 0,035)3= $348409,05

Ejemplo 54.Determine el valor de cada cuota creciente por pagar por un pr´estamo bancario de $100000 amortizable en 4 cuotas trimestrales vencidas, las cuales se incrementan el 5 % cada trimestre con relaci´on a la cuota anterior al TET de 7 %

Soluci´on:diagrama de tiempo-efectivo

0 1 2 3 4 trimestre

100000 i= 0,07

x x(10,5) x(10,5)2 _x₍₁₀_,₅₎3

100000= ₁_,x₀₇+x₍₁(1_,₀₇₎,05)2 +

x(1,05)2

(1,07)3 + x(1,05)3

(1,07)4

100000= (3,6348)x x= $27511.79

Este tipo de problema se resuelve mas adelante en el escenario de los gradientes geom´etricos.

Interpolaci´

on lineal

La interpolaci´on lineal consiste en que dados dos puntos de una li-nea se puede hallar un valor intermedio usando una funci´on de tipo lili-neal suponiendo que los tres puntos estan sobre la misma linea recta.

De esta forma para una función lineal y = f(x), si se conocen en sus gráfica los puntos p1(x1, y1) yp2(x2, y2) y se quiere determinar algún valor de un punto intermedio p(x, y) donde x1 < x < x2 entonces se tiene la siguiente gráfica,

Observando la gr´afica dey =f(x), se establecen las pendientes corres-pondiente de la siguiente manera,

m(p1∧p2) =

y2−y1 x2−x1

(50)

•

0 x

Y

p1(x1, y1)

p(x, y)

p3(x2, y2)

y=f(x)

Figura 3.3: Funci´on lineal para determinar puntos de interpolaci´on

puesto que son dos pendientes sobre la misma linea recta entonces: y₋y1

x₋x1

= y2−y1 x2−x1

(3.10)

x=x1+

·

x2−x1 y2−y1

¸

(y−y1) (3.11)

Tambi´en de la Ec(3.10) se puede despejar y y se tiene una ecuaci´on alternativa.

Al aplicar lo anterior al estudio del interés se tiene que los x son des-conocidos y pueden seri ot, es decir tasas de interés desconocidos o tiem-pos desconocidos. Los valores dey son los diferentes factores que también pueden ser desconocidos.

Tasas de inter´

es desconocidas

Las tasas de inter´es desconocidas, proceso que es muy importante para determinar la rentabilidad de las inversiones.

Se discuten los siguientes m´etodos para hallar las tasas de inter´es des-conocidas: