Teoría y ejercicios de Continuidad

(1)

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

s = B + m v r = A + l u

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MaTEX

Continuidad

Fco Javier Gonz´alez Ortiz

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c

2004gonzaleof@unican.es

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s = B + m v r = A + l u

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Tabla de Contenido

1. Continuidad

1.1.¿Qué es una función continua? 1.2.Definición de continuidad

1.3.Algebra de las funciones continuas

2. Discontinuidad

2.1.Discontinuidad Evitable 2.2.Discontinuidad de salto finito 2.3.Discontinuidad de salto infinito

3. Teoremas de Continuidad 3.1.Continuidad en un intervalo 3.2.Teorema de Bolzano

3.3.Teorema de los valores intermedios 3.4.Teorema de los Valores Extremos

4. Ejercicios de repaso

Soluciones a los Ejercicios

(3)

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Secci´on 1: Continuidad 3

1. Continuidad

1.1. ¿Qu´e es una funci´on continua?

Para una primera aproximación gráfica, si piensas en el grafo de una función, decimos que una función es continua cuando podemos recorrer el grafo de la función si tener que realizar ningún salto. Observa las figuras de abajo

2 2

(4)

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1.2. Definici´on de continuidad

Definici´on 1.1 Seaf una funci´on ya∈Dom(f)decimos quef escontinua en x=acuando

lim

x→af(x) =f(a) (1) La continuidad def enx=aimplica que se cumplan las condiciones:

1. La funci´on est´a definida enx=a, es decir existaf(a). 2. Exista el l´ımite de f enx=a.

3. Los dos valores anteriores coincidan.

Ejemplo 1.1.La funci´onf(x) = 3 es continua en todo puntoa∈R

Soluci´on: En efecto, para todo puntoa∈Rvemos que se verifica ladefinici´on, pues

lim

x→af(x) =f(a) = 3

Ejemplo 1.2.La funci´onf(x) =CdondeC es cualquier constante, es con-tinua en todo puntoa∈R

lim

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Establecemos este resultado como

La funci´onf(x) =C es continua en todox∈R

Ejemplo 1.3.La funciónf(x) =x2 es continua en todo puntoa∈R Solución: En efecto, para todo puntoa∈Rvemos que se verifica ladefinición, pues

lim

x→af(x) = limx→ax

2₌_f_{(a) =}_a2

Ejemplo 1.4. La funci´onf(x) =xn con n∈N es continua en todo punto a∈R

lim

x→af(x) = limx→ax

n₌_f_{(a) =}_an

Establecemos este resultado como

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1.3. Algebra de las funciones continuas

Seanf yg funciones continuas en un puntoa∈R. Entonces

Algebra de funciones continuas

Homogeneidad c·f(x) con c∈R es continua ena∈R Suma f(x) +g(x) es continua ena∈R Producto f(x)·g(x) es continua ena∈R Cociente f(x)

g(x) sig(a)6= 0 es continua ena∈R

Ejemplo 1.5.Calcular el valor dekpara que la funci´on sea continua

f(x) =

x+k x6= 1 2 x= 1

Soluci´on: Siendo

f(x) =

x+k x6= 1 2 x= 1 f(1) = 2

lim

x→1x+k= 1 +k

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Ejemplo 1.6.Calcular el valor dekpara que la funci´on sea continua

f(x) =

x+k x6= 1 2−k x= 1

Soluci´on: Siendo

f(x) =

x+k x6= 1 2−k x= 1 f(1) = 2−k

lim

x→1x+k= 1 +k

Para que sea continua, 1 +k= 2−k=⇒ k=1

2 .

Ejercicio 1.Calcular el valor dek para que la funci´on sea continua

f(x) =

( x−1

x2₋₁ x6= 1

k x= 1

Ejercicio 2.Calcular el valor dehpara que exista el l´ımite de la funci´on en x=−3

f(x) =

  

 

2x+h x <−3 x2₋₉

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Secci´on 2: Discontinuidad 8

2. Discontinuidad

Definici´on 2.1 Decimos que una funci´on esdiscontinua en el puntox=a cuando no es continua enx=a.

Se pueden presentar los siguientes casos cuando una funci´on no es continua:

Tipos de Discontinuidad

Evitable, cuando lim

x→af(x)6=f(a).

En este caso existe el l´ımite pero el valor de la funci´onf(a) es distinto o no esta definido.

Salto finito, cuando lim

x→a−f(x)6= lim_x_→_a+f(x).

En este caso los l´ımites laterales son finitos pero de distinto valor.

Salto infinito, cuando alg´un l´ımite lateral lim

x→a−f(x),_xlim_→_a+f(x) es infinito

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2.1. Discontinuidad Evitable

Decimos que una funci´on en el puntox=apresenta una discontinuidad

evitablecuando existe∃ lim

x→af(x) =L ( finito) , pero no coincide conf(a). Se tiene que los l´ımites laterales

co-inciden lim

x→a−f(x) = lim_x_→_a+f(x) =L pero

f(a)6=L

∃ lim

x→af(x)6=f(a)

f(x)

a f(a)

Ejemplo 2.1.Analizar la continuidad de la funci´onf(x) =x

2₋₁

x−1. Soluci´on: lim

x→1f(x) = 2 pero f(1) no existe, enx= 1 presenta una

discon-tinuidad evitable.

lim

x→1f(x) = xlim→1

x2−1 x−1 =

= lim x→1

(x−1)(x+ 1)

x−1 = limx→1(x+ 1) = 2

(10)

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2.2. Discontinuidad de salto finito

Decimos que una funci´on en el puntox=apresenta una discontinuidad desalto finitocuando existe los l´ımites laterales y son distintos.

lim

x→a−f(x) = l1

lim

x→a+f(x) = l2 )

l16=l2

El salto de la funci´on viene dado por

lim

x→a+f(x)−_xlim_→_a−f(x)

f(x)

a

1

l

2

l

Ejemplo 2.2.Analizar la continuidad def(x) =

x+ 1 x≤0 x2−1 0< x Soluci´on: Enx= 0,f(0) = 1, pero los l´ımites laterales

lim

x→0−f(x) = lim_x_→₀−x+ 1 = 1

lim

x→0+f(x) = lim_x_→₀+x

2₋_{1 =}₋₁ )

=⇒f(0−)6=f(0+)

(11)

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2.3. Discontinuidad de salto infinito

Decimos que una funci´on en el puntox=apresenta una discontinuidad desalto infinito cuando alg´un l´ımite lateral de f(x) enx=aes infinito. En las figuras se muestran dos ejemplos de salto infinito enx=a.

lim

x→a−f(x) = +∞ lim

x→a+f(x) = +∞

a

lim

x→a−f(x) =−∞ lim

x→a+f(x) = +∞

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Ejemplo 2.3.Hallarapara quef(x) sea continua en x= 1.

f(x) =

x3−1 x≤1 a x−2 1< x

Soluci´on:

Para que sea continua enx= 1

f(1−) = 0 =f(1+) =a−2 =⇒ a= 2

Ejemplo 2.4.Dada la funci´on

f(x) =

 



2x+a x≤ −1

−x2+ 2 −1< x≤1 lnx 1< x a) Hallarapara quef(x) sea continua enx=−1 b) ¿Es continua enx= 1?

Soluci´on:

a) Para que sea continua enx=−1

f(−1−) =−2 +a=f(−1+) = 1 =⇒ a= 3

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Ejemplo 2.5.La funci´onf(x) =x

2₋₉

x−3, ¿es continua enx= 3?

Soluci´on: La funci´on presenta en x= 3 una discontinuidad evitable, pues f(3) = 0

0 no esta definido

lim x→3

x2₋₉

x−3 = limx→3

(x−3)(x+ 3)

x−3 = limx→3x+ 3 = 6

Ejercicio 3.Hallarapara quef(x) sea una funci´on continua enx= 0

f(x) =

 



eax

x+ 2 x≤0

x2+ 2ax+a x >0

Ejercicio 4.Dada la funci´onf(x) =x2sen 1

x hallar el valor que debe asig-narse af(0) para que sea continua enR.

Ejercicio 5.Sea

f(x) = sen(1 +x) x2₊_ax_{+ 2a}

una funci´on que presenta una discontinuidad evitable en x=−1. Averiguar el valor del par´ametroay lim

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Secci´on 3: Teoremas de Continuidad 14

3. Teoremas de Continuidad

3.1. Continuidad en un intervalo

Definici´on 3.1 Decimos que f escontinua en [a, b] cuando es continua en todo puntox∈(a, b)y adem´as

lim

x→a+f(x) =f(a) _xlim_→_b−f(x) =f(b)

Ejemplo 3.1.La funci´onf(x) no es continua en el intervalo [1,3]

f(x) =

x+ 1 x <3 x2−1 3≤x

Soluci´on: Enx= 3,f(3) = 8, pero el l´ımite lateral lim

x→3−f(x) = lim_x_→₃−x+ 1 = 4

es distinto def(3), luego no es continua en el intervalo [1,3].

Ejemplo 3.2.La funci´onf(x) no es continua en el intervalo [1,3]

f(x) =

x+ 1 x≤3 ln(x−3) 3< x Soluci´on: Enx= 3, los l´ımites laterales son

lim

x→3−x+ 1 = 4 _xlim_→₃+ln(x−3) = +∞

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Secci´on 3: Teoremas de Continuidad 15 Test.Responde a las siguientes preguntas.

1. La funci´onf(x) = 1

x es continua en (0,1)

(a)Si (b)No

2. La funci´onf(x) = 1

x es continua en [0,1)

(a)Si (b)No

3. f(x) = 1

x es continua en todo intervalo que no contenga al 0.

(a)Si (b)No

4. La funci´onf(x) =√xes continua en [0,10]

(a)Si (b)No

5. Sif(x) = 1

x−a es continua en [1,5], si

(a)a6∈[1,5] (b)a∈[1,5]

6. f(x) = 1

x2_{+ 1} es continua en todo intervalo [a, b]

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3.2. Teorema de Bolzano

Teorema 3.1. (Teorema de Bolzano) Sea f(x) una funci´on continua en el intervaloI= [a, b] conf(a) yf(b) de distinto signo. Entonces existec∈(a, b) conf(c) = 0.

f continua en [a, b] f(a)·f(b)<0

=⇒ ∃c∈(a, b) conf(c) = 0 (2)

Recuerda que al número c que verifica f(c) = 0 se le llama cero, ora´ızde la fun-ciónf y gráficamente representan los pun-tos de corte de la función con el ejeOX.

c a

b f(x)

Ejemplo 3.3.Demostrar por Bolzano que la ecuaci´on x3+x2−7x+ 1 = 0 tiene una soluci´on en (0,1).

Soluci´on: Sea

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se tiene quef es continua (por ser polinomio) en [0,1]. Como f(0) = 1 f(1) =−4

la función cambia de signo y existirá al menos un número c ∈ (0,1) con f(c) = 0. es decir la función tiene al menos una ra´ız entre 0 y 1. Ejercicio 6. ¿Por qué no es suficiente en el teorema que la función f sea continua en (a, b)? Razonar la respuesta.

Ejercicio 7.Demostrar que la ecuación x3+x−5 = 0 tiene al menos una soluciónx=ctal que 1< c <2. Ejercicio 8.Para la función

f(x) = 4x2−4x+ 1

utilizando el teorema de Bolzano en [0,1], ¿podemos afirmar que existec ∈

(0,1) verificando que f(c) = 0? Calcular el valor de c ∈ (0,1) que verifica f(c) = 0 y razonar por qu´e esto no contradice el teorema.

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3.3. Teorema de los valores intermedios

Teorema 3.2.(Teorema de los valores intermedios)

f continua en [a, b] f(a)< k < f(b)

=⇒ ∃c∈(a, b) conf(c) =k (3)

El teorema afirma que si f(x) una funci´on continua en el in-tervalo I = [a, b], siendo k un valor comprendido entref(a) y f(b), entonces existe al menos un valorc ∈(a, b) con f(c) = k.

c

a

b

f(x)

f(a)

f(b)

k

Ejercicio 10. Demostrar que la funci´on f(x) = x2+x−1 toma el valor f(c) = 11 conc∈(0,5).

Ejercicio 11.Demostrar que la funci´onf(x) = 1

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3.4. Teorema de los Valores Extremos

Teorema 3.3.(Teorema de los Valores Extremos)

Sea f(x) una funci´on continua en el intervalo cerrado I= [a, b]. En-tonces

1. Existe un puntoxmin∈I que es un m´ınimo absoluto paraf. 2. Existe un puntoxmax∈I que es un m´aximo absoluto para f.

El teorema asegura que la funci´on alcanza un m´aximoM y un m´ınimom

m≤f(x)≤M x∈[a, b] que son alcanzados por dos puntos

xmin∈[a, b] xmax∈[a, b]

f(xmin) =m f(xmax) =M

xmin xmax

a b

m

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Secci´on 4: Ejercicios de repaso 20

4. Ejercicios de repaso

Ejercicio 12. Calcular el valor de a y b para que la funci´on sea continua para todox

f(x) =

 



x2₋_{a x}₋₆

x−2 x <2 x2+b x≥2

Ejercicio 13.Hallarapara que las funciones sean continuas enx= 1.

a) f(x) =

x+a x≤1

2 1< x b) g(x) =

a2x x≤1 1 1< x

c) h(x) =

a x x≤1

x−a 1< x d) y(x) =

a2x+ 2 x≤1 1 1< x

Ejercicio 14.Dada la funci´on

g(s) =

 



s2−s

s−1 s >1

√

1−s s≤1 ¿es continua ens= 1 ?

Ejercicio 15.Hallar los puntos de discontinuidad de las funciones:

a) f(x) =|x−3| b) f(x) =3x

2₋_x₋₂

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Secci´on 4: Ejercicios de repaso 21

Ejercicio 16.Calcularm yb para que la funci´on sea continua en R

f(x) =

     

    

4 senx x≤ −3π

2 msenx+b −3π

2 < x < 3π

2 4 cosx x≥ 3π

2

Ejercicio 17.Hallar ayb para quef(x) sea una funci´on continua enx= 0 yx=π

f(x) =

   

  

1

ex x≤0

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Soluciones a los Ejercicios 22

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 1.Siendo

f(x) =

( x−1

x2₋₁ x6= 1

k x= 1

f(1) =k

lim x→1

x−1

x2₋₁ = lim_x_→₁

x−1

(x−1)(x+ 1) = limx→1

1

x+ 1 = 1/2

Para que sea continua, k=1

(23)

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Ejercicio 2.Siendo

f(x) =

 



2x+h x <−3 x2₋₉

x3_{+ 2x}2₋_x_{+ 6} x >−3

f(−3−) = lim

x→−3−2x+h=h−6

f(−3+) = lim x→−3+

x2−9

x3_{+ 2x}2₋_x_{+ 6} =_x_→−lim₃+

(x−3)(x+ 3) (x+ 3)(x2₋_x_{+ 2)} =

= lim x→−3+

(x−3) (x2₋_x_{+ 2)} =

−6

14

Para que exista lim

x→−3f(x),h−6 =−

6

14=⇒ h= 78

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Ejercicio 3.Siendo

f(x) =

 



eax

x+ 2 x≤0

x2+ 2ax+a x >0

f(0−) = lim x→0−

eax x+ 2 =

1 2 f(0+) = lim

x→0+x

2_{+ 2ax}₊_a₌_a

Para que sea continua enx= 0,a= 1

(25)

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Ejercicio 4.Siendo

f(x) =x2sen 1 x

f es continua en su dominioDom(f) =R− {0}. El valor que debe asignarse af(0) es el l´ımite.

lim

x→0f(x) = xlim→0x 2_sen 1

x

(1)

= 0

(1) se ha obtenido teniendo en cuenta que lim

x→0x

2_{= 0 =}_⇒_x2 _{es infinit´}_esimo

sen1 x

≤1 x6= 0 =⇒ acotada

(26)

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Ejercicio 5.Siendo

f(x) = sen(1 +x) x2₊_ax_{+ 2a}

lim

x→1f(x) = xlim→−1

sen(1 +x) x2₊_ax_{+ 2a} =

0

1 +a =⇒a=−1

= lim x→−1

sen(1 +x)

x2₋_x₋₂ = lim_x_→−₁

(1 +x)

(x+ 1)(x−2) =− 1 3

(27)

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Ejercicio 6.Aunque se cumpla quef(a) y f(b) sean de signo contrario, la continuidad en el intervalo abierto (a, b) no garantiza quef corte al eje OX entreaybpues puede ser discontinua enaob. En el ejemplo gr´afico se tiene que

lim

x→a+f(x) =l6=f(a)

f(x)

a l

b

f(a) f(b)

(28)

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Ejercicio 7.Sea

f(x) =x3+x−5

se tiene quef es continua (por ser polinomio) en [1,2]. Como f(1) =−3 f(2) = 5

la función cambia de signo y existirá al menos un número c ∈ (1,2) con f(c) = 0. es decir la función tiene al menos una ra´ız entre 1 y 2.

(29)

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Ejercicio 8.Sea

f(x) = 4x2−4x+ 1

se tiene quef es continua (por ser polinomio) en [0,1]. Como f(0) = 1 f(1) = 5

la funci´on no cambia de signo no podemos aplicar el teorema en [0,1]. Si resolvemos la ecuaci´on de segundo grado se tiene

4x2−4x+ 1 = 0 =⇒x= 1

2 ∈(0,1)

luego existec∈(0,1) conf(c) = 0. es decir la funci´on tiene una ra´ız entre 0

(30)

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Ejercicio 9.Sea

f(x) =x2−xsenx−cosx

se tiene que f es continua (por ser suma de funciones continuas) en [0, π]. Como

f(0) = (0)2−(0) sen(0)−cos(0) =−1<0 f(π) = (π)2−πsenπ−cosπ=π2+ 1>0

la función cambia de signo y existirá al menos un número c ∈ (0, π) con f(c) = 0, es decir la función tiene al menos una ra´ız entre 0 yπ.

(31)

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Prueba de los Teoremas 31

Prueba del Teorema 3.2.La demostraci´on se obtiene definiendo la funci´on g(x) =f(x)−k

y aplicando el teorema de Bolzano en el intervalo [a, b]. En efecto, la funci´on g(x) es continua por ser diferencia de funciones continuas en [a, b]. Por otra parteg(x) cambia de signo en [a, b]

g(a) =f(a)−k <0 g(b) =f(b)−k >0 luego por Bolzano

∃c∈(a, b) g(c) = 0 =f(c)−k y de aqu´ı

∃c∈(a, b) f(c) =k

(32)

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Ejercicio 10. Sea f(x) = x2+x−1 se tiene que f es continua (por ser polinomio) en [0,5]. Como

f(0) =−1<11< f(5) = 29

existirá al menos un númeroc ∈(0,5) con f(c) = 11. En este caso el valor decse puede hallar, pues la ecuación resulta

x2+x−1 = 11 =⇒x2+x−12 = 0 =⇒x=−4, 3

(33)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Contin

uid

a

d

JJ II

J I

Ejercicio 11.Se tiene que

f(x) = 1 x

es continua en [00001,001], puesDom(f) =R− {0}. Como f(001) = 10<500< f(00001) = 1000

existir´a al menos un n´umeroc∈(00001,001) conf(c) = 500. En este caso el valor deces obviamente

1

c = 500 =⇒ c= 0

0₀₀₂

(34)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Contin

uid

a

d

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Ejercicio 12.Siendo

f(x) =

 



x2₋_{a x}₋₆

x−2 x <2 x2+b x≥2

f(2−) = lim x→2−

x2₋_{a x}₋₆

x−2 = limx→2−

−2a−2

0 =⇒ a=−1

= lim x→2−

(x−2)(x+ 3)

x−2 = 5

f(2+) = lim x→2+x

2₊_b_{= 4 +}_b

(35)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Contin

uid

a

d

JJ II

J I

Ejercicio 13.

a) Para quef(x) =

x+a x≤1

2 1< x sea continua enx= 1

f(1−) = 1 +a=f(1+) = 2 =⇒ a= 1

b) Para queg(x) =

a2x x≤1

1 1< x sea continua enx= 1

f(1−) =a2=f(1+) = 1 =⇒ a=±1

c) Para queh(x) =

a x x≤1

x−a 1< x sea continua enx= 1

f(1−) =a=f(1+) = 1−a=⇒ a= 1/2

d) Para quey(x) =

a2x+ 2 x≤1

1 1< x sea continua enx= 1 f(1−) =a2+ 2 =f(1+) = 1 =⇒a2=−1 no existe ning´un valor deaque haga continua la funci´on.

(36)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Contin

uid

a

d

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Ejercicio 14.Siendo

g(s) =

 



s2₋_s

s−1 s >1

√

1−s s≤1

g(1+) = lim s→1+

s2−s

s−1 = lims→1+

s(s−1) s−1 = 1 g(1−) = lim

x→1−

√

1−s= 0

Como lim

x→1−g(s)6= lim_x_→₁+g(s), la funci´on no es continua ens= 1.

(37)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Contin

uid

a

d

JJ II

J I

Ejercicio 15.

a) Si una funci´on f es continua entonces |f| tambi´en es continua. Luego f(x) =|x−3|es continua en todox∈R.

b) Siendo

f(x) = 3x

2₋_x₋₂

x−1

Como Dom(f) =R− {1}, la funci´on es discontinua enx= 1. Como

lim

x→1f(x) = limx→1

3x2−x−2 x−1 = 5 presenta una discontinuidad evitable en x= 1.

(38)

s = B + m v r = A + l u

B d CIENCIAS CIENCIAS

MaTEX

Contin

uid

a

d

JJ II J I

JDoc Doc_I

Ejercicio 16.Siendof(x) =

          

4sen x x≤ −3π

2 m sen x+b −3π

2 < x < 3π

2 4 cosx x≥ 3π

2

f(−3π

2

−

) = lim x→−3π

2

−4 senx= 4

f(−3π

2

+

) = lim x→−3π

2

+msenx+b=m+b         

=⇒m+b= 4

f(3π 2

−

) = lim x→3π 2

−msenx+b=−m+b

f(3π 2

+

) = lim x→3π 2

+4 cosx= 0

        

=⇒ −m+b= 0

m= 2 b= 2

(39)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Contin

uid

a

d

JJ II

J I

Ejercicio 17.Siendof(x) =

   

  

1

ex x≤0

a cos x+b 0< x≤π sen x−ax x > π

f(0−) = lim x→0−

1 ex = 1 f(0+) = lim

x→0+a cos x+b=a+b f(π−) = lim

x→π−acosx+b=−a+b

f(π+) = lim

x→π+senx−ax=−aπ (

a+b= 1

−a+b=−aπ a=−

1

π−2 b= π−1 π−2

(40)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Contin

uid

a

d

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Soluciones a los Tests 40

Soluciones a los Tests

Soluci´on al Test:Como el dominio def(x) = 1

x−a esDom(f) =R− {a}, la funci´on es continua en todo intervalo que no contenga ax=a.

(41)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Contin

uid

a

d

JJ II

J I

´_{Indice alfab´}_etico

continuidad,3

en un intervalo,14

en un punto,4

discontinuidad,8

de salto finito,10

de salto infinito,11

evitable,9

tipos de,8

funciones continuas algebra de,6

teorema

de los valores extremos,19

teoremas,16

de Bolzano,16

de los valores intermedios,18