Grado en Ciencias del Mar
Estadística
Convocatoria Ordinaria de Junio, Curso 2011/12
8/6/2012
Entre los años 1999 y 2004 se llevaron a cabo diversas campañas para el estudio del anidamiento y éxito
re-productivo de la tortuga boba (Caretta caretta) en varias playas de la isla de Boavista en el archipiélago de Cabo
Verde.
1. Las hembras de esta especie realizan entre 3 y 5 desoves al año, con probabilidades respectivasp3 = 0,2,
p4 = 0,7 yp5 = 0,1. El número de huevos puestos en cada desove sigue una distribución de Poisson de
media 120 huevos. Asimismo, el peso de cada huevo sigue una distribución normal de media 40.8 gramos y desviación típica 6.2 gramos. El peso de las crías, en el momento del nacimiento, sigue una distribución también normal de media 17 gramos con desviación típica 2.2 gramos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una hembra ponga más de 400 huevos en un año?
Solución:
SeaXi=”Número de huevos puestos en el desove i-ésimo del año”≈P(120).El número total de huevos
puestos en un año será X = Pn
i=1Xi siendo n el número de desoves de ese año. Como la suma
de variables de Poisson es también de Poisson, entonces X ≈ P(120n). LlamandoDal número de
desoves en un año, y teniendo en cuenta que este número está entre 3 y 5, se tiene:
P(X >400) = 5
X
k=3
P(X >400|D=k)pk
SiD= 3entoncesX ≈P(120·3) =P(360)∼=N 360,√360 =N(360,18,97)y por tanto:
P(X >400)∼=P
Z > 400−360 18,97
=P(Z >2,108) = 0,01751
SiD= 4entoncesX ≈P(120·4) =P(480)∼=N 480,√480
=N(480,21,91)y por tanto:
P(X >400)∼=P
Z > 400−480 21,91
=P(Z >−3,651) = 0,9999
SiD= 5entoncesX ≈P(120·5) =P(600)∼=N 600,√600 =N(600,24,49)y por tanto:
P(X >400)∼=P
Z > 400−600 24,49
=P(Z >−8,165) = 1
La probabilidad total de poner más de 400 huevos es entonces:
P(X >400) = 5
X
k=3
b) SiXes el peso total de todos los huevos puestos en un año por una hembra eY es el peso total de todas las crías vivas nacidas de esos huevos, se define la pérdida de biomasa anual del ciclo reproductivo como
X−Y. Si una hembra pone en un año 420 huevos de los que nacen 260 crías vivas, con probabilidad
0.95, ¿cuál es la pérdida de biomasa que cabe esperar que se produzca como mínimo?
Solución:
Dado que el peso de cada huevo sigue una distribución N(40,8,6,2)el peso de 420 huevos seguirá
una N 420·40,8,6,2√420 ≡ N(17136,127,1). Asimismo, el peso de cada cría esN(17,2,2), por
lo que el peso de 260 crías seráN 17·260,2,2√260 ≡N(4420,35,47).La diferencia entre ambas
cantidades seguirá por tanto una distribución también normal:
X−Y ≈N17136−4420,p127,12+ 35,472≡N(12716,131,9)
y para calcular el mínimo con probabilidad 0.95 bastará con hallar el valormtal que:
P(X−Y ≥m) = 0,95
P
Z≥ m−12716 131,9
= 0,95
De la tabla de la distribución N(0,1) se sigue que P(Z ≤1,645) = 0,95, por lo que también
P(Z ≥ −1,645) = 0,95, de donde:
m−12716
131,9 =−1,645⇒m= 12716−1,645·131,9 = 12499 gramos
Por tanto, con probabilidad 0.95 la pérdida mínima de biomasa esperada es 12.5 kilogramos.
c) En los nidos en los que la arena alcanza temperaturas medias diurnas por encima de30oCla proporción
de crías hembras es del 70 %. Por debajo de30oCla proporción de hembras es del 45 %. En una playa
la mitad de los nidos supera los30oC de temperatura media diurna. Si de todas las crías emergidas de
un nido de esa playa se eligen 16 al azar, resultando 9 hembras y 7 machos ¿Qué es más verosímil: que
la temperatura en ese nido haya superado los30oCo que no?
Solución:
Sea H el número de hembras en una muestra de 16 ejemplares yT la temperatura del nido. Si T > 30,
H ≈B(16,0,7)y siT ≤30, H ≈B(16,0,45). Aplicamos el teorema de Bayes para calcular la probabilidad
de que la temperatura haya superado los30oChabiendo encontrado 9 hembras en la muestra:
P(T >30|H= 9 ) = P(H= 9|T >30 )P(T >30)
P(H= 9|T >30 )P(T >30) +P(H = 9|T ≤30 )P(T ≤30) =
= P(H = 8|T >30 )
P(H= 9|T >30 ) +P(H = 9|T ≤30 )
(la última igualdad se deduce de queP(T >30) =P(T ≤30) = 0,5). Tenemos que:
P(H = 9|T >30 ) =
16 9
0,790,37= 0,101
P(H = 9|T ≤30 ) =
16 9
Sustituyendo en la expresión anterior:
P(T >30|H = 9 ) = 0,101
0,101 + 0,1318 = 0,4338
La probabilidad de que la temperatura no haya alcanzado los30oCserá entonces:
P(T ≤30|H = 9 ) = 1−P(T >30|H = 9 ) = 0,5662
Este suceso es más probable que el anterior, por lo que resulta más verosímil, por tanto, que ese nido no haya
alcanzado los30oCde media.
2. El gasto energético de las puestas realizadas durante un ciclo anual se calcula como el cociente entre el peso de todos los huevos depositados por la tortuga ese año y el peso total de la tortuga tras la primera puesta. Se
desea comparar el gasto energético medio de las tortugas de la especieCaretta Carettacon las de la especie
Chelonia Agassizii.Para ello se ha calculado el gasto energético de 42 ejemplares deC. Carettaque anidan
en Cabo Verde, y el de otros 42 ejemplares de Ch. Agassizii que anidan en Ecuador. El gasto energético
medio de las C. Caretta fue de 0.2213 (es decir han empleado, por término medio un 22.13 % de su biomasa
corporal en el desove), con una desviación típica de 0.032; a su vez, en las Ch. Agassizii se observó una
media de 0.2071 con desviación típica 0.031. Se muestra a continuación el resultado de analizar estos datos utilizando R . Se han realizado:
el contraste de normalidad de Shapiro-Wilk,
los contrastes de la t de Student y de la W de Wilcoxon (estos dos últimos contrastes suponiendo las muestras tanto independientes como emparejadas).
Con la información obtenida, ¿se puede asegurar que por término medio el gasto energético de las Caretta
es superior al de lasAgassizii? Justifica tu respuesta explicando qué contrastes has elegido y por qué. Estima
un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia entre el gasto energético medio de una Caretta y una
Agassizii.
Shapiro-Wilk normality test data: C. Caretta
W = 0.9749, p-value = 0.476
Shapiro-Wilk normality test data: Ch. Agasizii
W = 0.9377, p-value = 0.02368 Welch Two Sample t-test
t=2.044, df = 81.96, p-value = 0.02207 alternative hypothesis: true diffe-rence in means is greater than 0 Sample estimates:
mean of x: 0.2213 mean of y: 0.2071
Paired t-test
t=1.47, df = 41, p-value = 0.07457 alternative hypothesis: true diffe-rence in means is greater than 0 Sample estimates:
mean of the differences: 0.01416
Wilcoxon rank sum test W = 1126, p-value = 0.01443 alternative hypothesis: true location shift is greater than 0
Wilcoxon signed rank test (paired data)
V = 571, p-value = 0.06895 alternative hypothesis: true location shift is greater than 0
Solución:
Los tests de Shapiro-Wilk nos indican que si bien el gasto energético de lasCaretta Carettapuede aceptarse
que sigue una distribución normal (p-valor>0.05), no ocurre lo mismo con lasCh. Agassizii (p-valor<0.05). El
separadas por todo un océano y la descripción del proceso de medida no indica de modo alguno que los ejemplares de una especie se hayan emparejado de ninguna manera con los de la otra. Por tanto, el método
adecuado para la resolución del contraste es el test de Wilcoxon para muestras independientes (Wilcoxon
rank sum test). El p-valor de este contraste (0.01443) es inferior al nivel de significación α = 0,05, por lo
que concluimos que existe evidencia suficiente para asegurar que lasCarettarealizan en la puesta un gasto
energético mayor (aunque aparentemente no mucho mayor) que lasAgassizii.
Aunque el gasto energético de lasCh. Agassizii no sigue una distribución normal, el tamaño de las muestras
(n1 = 42 yn2 = 42), permite utilizar el siguiente intervalo de confianza aproximado para la diferencia de
medias:
µ1−µ2 ∈
X¯1−X¯2
±zα/2
s s2 1 n1 + s 2 2 n2
Paraα= 0,05en la tabla de la distribución normal encontramos quezα/2=z0,025= 1,96. Asimismo:
¯
X1−X¯2 = 0,2213−0,2071 = 0,0142
s
s21 n1 + s 2 2 n2 = r
0,0322 42 +
0,0312
42 = 0,006875
Sustituyendo estos valores obtenemos el intervalo:
µ1−µ2∈[0,0007255,0,02767]
Así podemos concluir señalando que estimamos que el gasto energético en la reproducción de las Caretta
supera en un 0.2213-0.2071=0.0142∼= 1,42% al gasto de lasAgassizii, situándose con un 95 % de confianza
esa diferencia como mínimo en un 0.07255% y como máximo en un 2.767%.
3. La figura siguiente muestra el tamaño de la nidada (nHuevos) frente a la longitud curva del caparazón (LCC) de la hembra nidificante para los 1300 anidamientos censados durante las campañas realizadas entre 1999 y 2004 en Boavista:
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70 80 90 100
60 80 100 120 LCC nHue v os
La siguiente tabla muestra un estudio descriptivo de los datos de esta muestra:
Media Desviación típica Correlación Recta de regresión
LCC 82 4.32 0.5 nHuevos=-39.47+1.5LCC
nHuevos 83.7 12.94 ˆσ=11.2
a) ¿Puede asegurarse a un nivel de significación del 5 % que un incremento del tamaño de la hembra (medido en términos de la LCC) se asocia con un incremento del tamaño de la nidada? En tal caso estima un intervalo de confianza al 95 % para el incremento en el tamaño de la nidada que cabe esperar por cada cm. de aumento en la LCC.
Solución:
Para responder a esta pregunta hemos de evaluar si la pendiente de la recta es positiva. Para ello
podemos construir un intervalo de confianza paraβ1. Este intervalo es de la forma:
β1∈
ˆ
β1±tn−2,α/2 ˆ σ √
n−1Sx
Comon= 1300en la tabla de latde Student encontramos, paraα/2 = 0,025, quet1298,0,025= 1,962.
Sustituyendo el resto de los valores resulta:
β1 ∈
1,5±1,96√ 11,2 1299 4,32
= [1,36,1,64]
Como vemos, el intervalo es íntegramente positivo, por lo que podemos afirmar con un 95 % de confianza que, efectivamente, el tamaño de la nidada se incrementa con el tamaño de la hembra, al menos para el rango de valores de LCC observado en estas campañas.
b) ¿Cuál es el tamaño de la nidada que cabe esparar en una hembra nidificante cuya LCC es de 85 cm?
Calcula un intervalo de confianza al 95 % para dicha predicción.
Solución:
Para responder a esta cuestión bastará con sustituir el valorLCC = 85en la ecuación de la recta, por
lo que obtenemos una predicción de:
nHuevos=−39,47 + 1,5·85 = 88,03 huevos
El intervalo de confianza para esta predicción viene dado por:
y(x)∈
"
ˆ
y(x)±tn−2,α/2σˆε
s
1 + 1 n+
(x−x¯)2 (n−1)SX2
#
siendo en este casoy =nHuevos, x=LCC,yˆ(x) = 88,03. Sustituyendo los valores
correspondien-tes, se obtiene que la predicción del tamaño de la nidada de una hembra con 85 cm. de LCC es:
nHuevos(85)∈[66,22,110,21]
c) ¿Es aceptable, con una significación del 5 %, la hipótesis de que una hembra cuya LCC es de 85 cm,
llegue a tener una nidada de más de 115 huevos?
Solución:
d) ¿Puede utilizarse la ecuación de esta recta para predecir el tamaño de nidada de una hembra cuya LCC sea de 120 cm? Razona la respuesta.
Solución:
