OGICA DE LA MIXTECA

(1)

“Excursiones en la Topolog´ıa Algebraica y algunas

aplicaciones”

T E S I S

PARA OBTENER EL T´ITULO DE:

LICENCIADO EN MATEM ´ATICAS APLICADAS

PRESENTA:

ISABEL FRANCO JIM´ENEZ

DIRECTOR DE TESIS:

JOS´E L. CARRASCO PACHECO

(2)

(3)

Agradecimientos

Agradezco a mi asesor de tesis Jos´e Lu´ıs Carrasco Pacheco por su comprensi´on, tiempo, paciencia y apoyo.

A mis sinodales: Adolfo Maceda Méndez, Jesús Fernando Tenorio Arvide y Vulfra-no Tochihuitl BueVulfra-no, por las observaciones que hicieron de este un mejor trabajo y por el tiempo que invirtieron en la revisión de esta tesis.

Gracias a todos los maestros que tuve en el transcurso de la carrera, pues sin ellos esto no hubiera sido posible, en especial a la maestra Norma Edith Alamilla L´opez. Tambi´en le agradezco a mi amiga Erandy por estar conmigo en las buenas y en las malas.

(4)

Dedicatoria

A mis padres, Isabel y Augusto:

Por su infinita paciencia, amor y el apoyo incondicional que me han brindado, principalmente en aquellos momentos tan dif´ıciles de mi vida, los amo.

A mi hijo, Augusto:

(5)

Introducci´

on

En topolog´ıa, determinar si algún espacio topológico se puede deformar mediante una aplicación continua en otro, no es una tarea sencilla, es a partir de este proble-ma que surge lo que en la actualidad conocemos como Topolog´ıa Algebraica. Las teor´ıas de homotop´ıa y homolog´ıa singular de espacios topológicos, son parte de la topolog´ıa algebraica, que entre otras cosas sirven algunas veces para solucionar el problema en cuestión, ya que trasladan un problema topológico a uno algebraico. La metodolog´ıa que siguen estas teor´ıas para determinar si dos espacios topológicos no son homeomorfos es la siguiente: dado un espacio topológicoX se le asigna un grupo π(X), de modo tal, que si Y es otro espacio topológico homeomorfo a X, entoncesπ(Y) es isomorfo aπ(X). Aπse le denomina invariante topológico. Ahora bien, si π(Y) no es isomorfo a π(X), entonces X no puede ser homeomorfo a Y y el problema en este caso está resuelto. De aqu´ı que uno de nuestros objetivos es encontrar estos invariantes topológicos. El primer paso que debemos de seguir para encontrar estos invariantes topológicos es establecer una conexión,π, llamada funtor entre la clase de todos los espacios topológicos y la clase de todos los grupos, de tal forma que si f : X → Y es una función continua de espacios topológicos, entoncesπ(f) :π(X)→π(Y) es un morfismo de grupos.

En la actualidad, la Topolog´ıa Algebraica no sólo sirve para atacar el problema que se planteó anteriormente, sino que se ha convertido en una herramienta poderosa en la matemática, tanto pura como aplicada.

Por ejemplo, en el campo de la matemática aplicada, la teor´ıa de homotop´ıa y de homolog´ıa singular tienen aplicaciones en: f´ısica (vea [3], pág. 19), qu´ımica (vea [5], pág. 2) y robótica (vea [20], pág. 95), por mencionar algunas.

(6)

algunas aplicaciones que del estudio de estas se desprendan.

Es sabido que 1896, Poincaré con el art´ıculo “Analysis Situs”(vea [23], pág. 83) introdujo los grupos de homolog´ıa, además de que ya contaba con conocimientos del grupo fundamental o también conocido como el primer grupo de homotop´ıa. En 1945, Eilenberg y Steenrod desarrollaron un enfoque axiomático de la teor´ıa de homolog´ıa. Un desarrollo paralelo ten´ıa lugar en la teor´ıa de homotop´ıa, y es as´ı como en 1935, Hurewicz define los grupos de homotop´ıa de orden superior, A partir de aqu´ı las propiedades de los grupos de homotop´ıa de orden superior comenzaron a ser investigadas.

En la actualidad, uno de los problemas más importantes y que aún continúa abier-to, es el cálculo de los grupos de homotop´ıa de lan-esfera,Sn_.

El contenido del trabajo es el siguiente. En el Cap´ıtulo 1, se presentan conceptos b´asicos de teor´ıa de categor´ıas y funtores, pues nos ayudan a construir y definir los invariantes topol´ogicos en la teor´ıa de homotop´ıa y homolog´ıa singular. Poste-riormente definimos lo indispensable de grupos libres, productos libres y espacios conectables por trayectorias.

(7)

de aqu´ı que nos vemos en la necesidad de introducir otro invariante topol´ogico, para el cual el grupo asociado no sea tan dif´ıcil calcular.

El contenido del Cap´ıtulo 3 inicia con la definici´on de n-simplejo singular. De ah´ı partimos para definir los grupos abelianos libres generadosSn(X), donde Xes

un espacio topol´ogico yn≥0. Estos grupos son de gran importancia, pues de ellos surge la definici´on de los grupos de homolog´ıa singular,Hn(X) los cuales siempre

son abelianos a diferencia de los de grupos de homotop´ıa. Despu´es de definir los grupos de homolog´ıa singular, demostramos que el funtorHn, que toma un espacio

topológico y le asocia su grupo de homolog´ıa singular es un invariante topológico. En este cap´ıtulo también se define la categor´ıa Comp, donde vamos a ver una definición de homolog´ıa puramente algebraica. El objetivo es desarrollar resulta-dos para Comp que después se trasladan a los grupos de homolog´ıa singular. Continuamos nuestro estudio con las sucesiones exactas, las cuales son de gran utilidad para cálculos de grupos de homolog´ıa singular. Cabe mencionar que la mayor´ıa de los resultados que se enuncian en esta parte, son necesarios para la prueba del teorema de Mayer-Vietoris y las aplicaciones de la homolog´ıa singular. Otros conceptos que también se tratan son el de homolog´ıa reducida y los grupos de homolog´ıa relativa. Por último se introducen los axiomas de escisión y el teo-rema de Mayer-Vietoris, que tiene la misma importancia para homolog´ıa singular, como la tiene el teorema de Seifert-Van Kampen para homotop´ıa, pues establece una relación entre la homolog´ıa singular de un espacio topológico y la homolog´ıa singular de sus subespacios, de tal forma que si la unión abierta de estos subespa-cios es todo el espacio topológico y la intersección es no vac´ıa, entonces es fácil determinar la homolog´ıa de algunos espacios en términos de la homolog´ıa singular de sus subespacios.

(8)

(9)

´Indice general

Agradecimientos II

Dedicatoria IV

Introducci´on V

1. Conceptos preliminares 2

1.1. Categor´ıas . . . 2

1.2. Grupos libres . . . 8

1.3. Producto libre de Grupos . . . 10

1.4. Conceptos b´asicos de espacios conectables por trayectorias . . . 13

2. Introducci´on a la homotop´ıa de espacios topol´ogicos 16 2.1. Homotop´ıa . . . 16

2.2. El funtor π0 . . . 24

2.3. El Grupo Fundamental . . . 25

2.3.1. C´alculo deπ1(S1) . . . 40

2.4. Teorema de Seifert y Van Kampen . . . 46

2.5. Homotop´ıa de dimensiones superiores . . . 55

2.5.1. Espacio de lazos . . . 56

2.5.2. H-espacio . . . . 58

(10)

3. Grupos de Homolog´ıa Singular 76

3.1. Complejos singulares y el funtor de homolog´ıa singular . . . 76

3.2. La categor´ıa Comp . . . 97

3.2.1. Homolog´ıa relativa . . . 106

3.2.2. Homolog´ıa Reducida . . . 112

3.3. Escisi´on y el Teorema de Mayer-Vietoris . . . 115

4. Aplicaciones 120 4.1. C´alculo del grupo fundamental de algunos espacios topol´ogicos . . 121

4.2. Aplicaciones del Teorema de Seifert y Van Kampen . . . 122

4.3. Aplicaciones de los grupos de Homotop´ıa de dimensiones superiores 129 4.4. Homolog´ıa de la esfera y algunas aplicaciones . . . 130

4.5. Aplicaciones sobre los espacios Euclideanos . . . 135

Conclusiones 155

(11)

Cap´ıtulo 1

Conceptos preliminares

Los preliminares en esta tesis nos dan una base teórica necesaria, para la herra-mienta poderosa que utilizamos como es la Homotop´ıa y la Homolog´ıa Singular. Sobre categor´ıas y funtores que trataremos aqu´ı, sólo mencionamos los aspectos que surgen de manera natural dentro del desarrollo de la tesis, al cual le damos sustento categórico, y a la inversa, también usamos aspectos categóricos para dar sustento a lo que se desarrolla.

La Homotop´ıa y la Homolog´ıa Singular surgen de caminos distintos: la primera se desarrolla a partir de una estructura algebraica intr´ınseca (grupo) del espacio, la segunda surge de una estructura algebraica que se le dota al espacio como es la de grupo libre para la cual utilizamos algunos resultados de la teor´ıa de grupos libres que se ve en este cap´ıtulo.

Por supuesto tambi´en utilizamos resultados topol´ogicos ya conocidos y que men-cionamos en estos preliminares.

1.1. Categor´ıas

(12)

Definici´on 1.1 Una categor´ıa C consiste de una clase de objetos Obj C, un conjunto de morfismos u homomorfismos Hom(A, B) para cada par A, B∈Obj C y una composici´on◦:Hom(A, B)×Hom(B, C)−→Hom(A, C) tal que(f, g)7−→

g◦f.

Para cada par A, B∈Obj C se satisfacen los siguientes axiomas.

i) La familia deHom(A, B) son disjuntos a pares.

ii) La composici´on es asociativa siempre y cuando se defina.

iii) Para cada objeto A∈Obj C, existe una identidad1A∈Hom(A, A) que

satis-face 1_A◦f = f, para cada f ∈ Hom(B, A) y todo B ∈ Obj C, y adem´as

g◦1A=g, para cada g∈Hom(A, C) y todoC∈ Obj C.

La asociatividad enii), dice que si (f◦g)◦h se define, entonces también se define f ◦(g◦h) y además (f ◦g)◦h = f ◦(g◦h). A los elementos de Hom(A, B) se les llama morfismos de A en B y si f ∈ Hom(A, B) escribimos f : A → B, donde A es el dominio y B el codominio de f. Además la composición f ◦g está definida si y sólo si el codominio def es igual al dominio deg. Decimos queA esisomorfoaB si existenf ∈Hom(A, B) yg∈Hom(B, A) tales quef◦g= 1B

y g◦f = 1A. Si no hay confusión a f ∈Hom(A, B) se le llama función, función

continua, función derivable, función anal´ıtica, morfismo de grupo, morfismo de anillos, etc., dependiendo de la categor´ıa en que se esté trabajando. C consta de Obj C pero no necesariamente es un conjunto, en tal caso decimosclase.

Por otro lado, de la Definición 1.1iii) el conjuntoHom(A, A)6=∅, para todaA∈ C. Las categor´ıas dependen estrictamente de los tres ingredientes, puede ser que sean los mismos objetos pero diferentes morfismos; en tal caso corresponden a categor´ıas distintas o cualquier otra variante de estas componentes deC pueden modificarla para dar otras categor´ıas. Los siguientes ejemplos se mencionan de manera natural y reflejan un sentido más amplio (categórico) de la matemática construida.

Ejemplo 1.1

1. La categor´ıa Sets de los conjuntos donde Obj C consta de la clase de todos los conjuntos,Hom(A, B) ={f :A→B |f es función} y la composición es la composición usual de funciones.

(13)

3. La categor´ıa Top2 _{de los espacios topol´ogicos de parejas con} _Obj _C _consta de la clase de todas la parejas (X, A) donde X es un espacio topol´ogico y

A un subespacio de X, Hom((X, A),(Y, B)) = {f : (X, A) → (Y, B) | f es una función continua de X en Y tal quef(A)⊆B } y la composición es la composición usual de funciones. Si en particularA={∗}, entonces tenemos C=Top∗ (la categor´ıa de los espacios topológicos punteados).

4. La categor´ıaGrup de los grupos dondeObj C consta de la clase de todos los grupos, Hom(A, B) ={f :A→B |f es morfismo de grupos} y la composi-ción es la composicomposi-ción usual. Podemos también definir de manera semejante C=Ab,Ring,Ring₁ yR−Mod,etc., la categor´ıa de los grupos abelianos, de anillos, de anillos con identidad, y de R-módulos, respectivamente, as´ı co-mo otras estructuras algebraicas con sus correspondientes co-morfisco-mos.

Notemos que en 1 y 2 del Ejemplo 1.1 ocurre lo siguiente:

i) Los objetos deTop1 _{son objetos de}_Sets_.

ii) Si Hom(A, B) est´a definido por Sets y Hom(A, B)0 _por _Top1 _{se tiene que}

Hom(A, B)0 _⊆_{Hom(A, B) para todo} _{A, B.}

La observaci´on anterior nos motiva a la siguiente definici´on.

Sean C y A categor´ıas con Obj C ⊂ Obj A. Si A, B ∈ Obj C, denotan los dos conjuntos de homomorfismos Hom por Hom_C(A, B) y Hom_A(A, B) decimos que C es una subcategor´ıa de A si HomC(A, B) ⊂ HomA(A, B), para todo

A, B ∈ Obj C y si la composición en C es la misma composición en A, es de-cir, la función Hom_C(A, B)×Hom_C(B, C) →Hom_C(A, C) es la restricción de la composición correspondiente en A. De la Definición 1.1, podemos construir sub-categor´ıas manteniendo fijoHom(A, B) para cadaA, By tomando una restricción de los objetos en la categor´ıa, o también mantener los objetos de la categor´ıa y que cumplan la condición HomC(A, B) ⊂ HomA(A, B) para todoA, B ∈Obj C.

Ilustramos esto en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.2

1. En la categor´ıa de Top1 _{si restringimos sus objetos a espacios Euclideanos,} espacios Hausdorff, etc. y los morfismos coinciden con los morfismos de

(14)

2. Top∗ _{es una subcategor´ıa de}_Top2_. 3. Abes una subcategor´ıa de Grup. 4. Ring₁ es una subcategor´ıa deRing.

Es importante ver algunos conceptos categóricos que nos permiten dar una visión más amplia sobre conceptos como producto, coproducto o propiedades univer-sales, los cuales son indispensables, en nuestro caso, en la categor´ıa de los espacios topológicos, de pareja o punteados, as´ı como propiedades topológicas que se deri-ven de estos.

Cuando se trata de construir otros espacios topológicos se recurre de manera natu-ral a la construcción del producto y coproducto en la categor´ıa de los espacios topológicos, de pareja o punteados y esta construcción categórica, no sólo es útil en nuestro trabajo, sino en general en toda la matemática.

Definici´on 1.2 Sean C una categor´ıa y {A_i |i∈I} una familia de objetos en C.

i) Un producto para la familia {Ai | i ∈ I} es un objeto P en C junto con la

familia de morfismos {π_i : P → A_i | i ∈ I} tal que para un objeto B y una familia de morfismos {ϕi :B → Ai |i ∈I}, existe un ´unico morfismo

ϕ:B →P tal que πi◦ϕ=ϕi.

El dual se define como,

ii) Un coproducto (o suma ) para la familia {Ai | i ∈ I} es un objeto P en

C junto con la familia de morfismos {ιi : Ai → P | i∈ I} tal que para un

objeto B y una familia de morfismos {ϕ_i :A_i →B |i∈I}, existe un ´unico morfismo ϕ:P →B tal queϕ◦ιi =ϕi.

Una observación interesante que podemos hacer notar es que tanto el producto como el coproducto son únicos salvo isomorfismos, de hecho esta observación no es dif´ıcil de comprobar.

Las definiciones anteriores se pueden ilustrar como diagramas, los cuales nos per-miten entender de forma categ´orica estos conceptos como se muestra a continua-ci´on.

(15)

-@ @ @ @ @ @ @_@_R ?

P Ai

B

ϕi

ϕ

πi

πi◦ϕ=ϕi, i∈I

Producto -@ @ @ @ @ @ @ @ I 6

Ai P

B

ϕ ϕi

ιi

ϕ◦ιi =ϕi, i∈I

Coproducto

El producto de la familia {Ai | i ∈ I} se denota por

Y

i∈I

Ai y el coproducto por

a

i∈I

Ai. En particular si|I |= 2, entonces tanto el producto como el coproducto los

denotamos porA1×A2 yA1

`

A2, respectivamente.

Cabe mencionar que en las categor´ıasSets,Grup,Top1 _{entre otras, la Definici´on}

1.2 de producto y coproducto coincide con la definiciones usuales de producto cartesiano y suma directa, respectivamente.

En caso de que la categor´ıa seaTop1 _{la topolog´ıa que corresponde a la definici´on}

de producto es la topolog´ıa producto cartesiano (vea [10], p´ag. 98).

Definici´on 1.3 Si A y C son categor´ıas, un funtor (covariante) T :A → C es una asociaci´on de correspondencia que cumple:

i) Si A∈ Obj A, entoncesT(A)∈Obj C.

ii) Si f : A → A0 es un morfismo en A, entonces T(f) : T(A) → T(A0) es un morfismo enC.

iii) Si f y g son dos morfismos en A para el cual g ◦f est´a definido, entonces

T(g◦f) =T(g)◦T(f).

iv) T(1_A) = 1_T₍_A₎, para todoA∈Obj A.

Definici´on 1.4 Un funtor contravariantecumplei)yiv) de la Definici´on 1.3 y en lugar de ii)y iii) se cumple:

(16)

iii’) Sif, gson morfismos en Apara el cualg◦f est´a definido, entoncesT(g◦f) = T(f)◦T(g).

En nuestro caso estudiamos los funtoresπnyHn, paran≥0. Estos funtores son el

n-´esimo grupo de Homotop´ıa y el n-´esimo grupo de Homolog´ıa (singular), donde π₀ :Top1 _→_Sets_,_π

n:Top∗ →Grup yHn:Top1 →Grup.

El propósito de estudiar estos funtores es que nos permiten resolver problemas topológicos pasándolos a problemas algebraicos; como veremos en los siguientes cap´ıtulos de esta tesis, sobre todo en el de las aplicaciones.

A continuaci´on se muestran ejemplos de funtores covariantes.

Ejemplo 1.3 Consideremos el funtor c.p.t.(−) : Top1 _→ _Sets _{ver Secci´on 1.4} definido por c.p.t.(X) como el conjunto de componentes por trayectorias de X y

c.p.t.(f)(C) = [f(C)], donde[f(C)]es la componente por trayectoria que contiene a f(C) para todo C en c.p.t.(X).

Ejemplo 1.4

Si C es una categor´ıa y X₀ ∈ Obj C, entonces Hom(X₀,−) : C → Sets tal que

X7→Hom(X0, X), es un funtor.

En efecto, veamos que se cumplen las propiedades de funtor.

i) De la definici´on deHom(X0, X), esta propiedad se cumple claramente.

ii) Seaf :X→Y un morfismo enC, yg∈Hom(X₀, X). DefinimosHom(f)(g) = f◦g, el cual claramente es un morfismo en Sets.

iii) Seanf :X→Y y g:Y →Z morfismos enC, yh∈Hom(X₀, X), entonces

Hom(g◦f)(h) = (g◦f)◦h = g◦(f ◦h) = Hom(g)◦(f ◦h)

= Hom(g)◦Hom(f)(h)

iv) Sea 1X : X → X el morfismo identidad en C, y h ∈ Hom(X0, X), entonces

Hom(1X)(h) = 1X ◦h=h= 1Hom(X0,X)(h).

(17)

Definici´on 1.5 Sean C y D dos categor´ıas y F, G : C → D dos funtores. Una

transformaci´on natural t de F a G,t:F →Ges una colecci´on de morfismos

tA:F(A)→ G(A) en D, uno para cada objeto A∈ Obj C tal que para cualquier

morfismo f :A→B enC el siguiente diagrama conmuta, es decir, G(f)◦(tA) =

t_B◦(F(f)). Si esto sucede, decimos quet_A:F(A)→G(A)es natural, en particu-lar si tA :F(A) → G(A) es un isomorfismo para cada A ∈ C, entonces decimos

que tes una equivalencia y,F y G son equivalentes en forma natural.

F(A) tA _/_/

F(f)

²

G(A)

G(f)

²

F(B)

tB

/

/_G(B).

1.2. Grupos libres

En esta secci´on nos ocupamos de ilustrar algunas nociones de la teor´ıa de grupos, como lo son los grupos libres. En particular los grupos abelianos libres, pues en el Cap´ıtulo 3, la homolog´ıa singular se construye asociando a un espacio topol´ogico la estructura de grupo abeliano libre.

Recordemos que un homomorfismo o morfismo de grupos, es una funci´on f :G→H, dondeGyH son grupos, tal quef(ab) =f(a)f(b) para todoa, b∈G. Si f es sobreyectiva, entonces se llama epimorfismo y si f es inyectiva se dice quef es unisomorfismo de grupos. Diremos queGyH son isomorfos si existe un isomorfismo f :G→H y se denota porG∼=H.

Definici´on 1.6 Sean X un conjunto no vac´ıo y F un grupo. Se dice que F es

grupo libre en X cuando existe una función inyectiva i : X → F tal que para toda funciónf :X→G, donde G es un grupo, existe un único morfismo de grupos

g:F →G que hace conmutativo el diagrama siguiente

X i //

fBBBB_Ã_Ã B B B

B F

g

²

G.

Para todo conjunto no vac´ıo X, siempre existe un grupo libre F en X, que es ´

(18)

i:X →F, i0 _:_X _→_F0 _{y morfismos ´}_unicos_ϕ_:_F _→ _F0 _y_ψ _:_F0 _→ _F _{que hacen}

conmutativos los diagramas:

X i //

i0 Ã Ã A A A A A A A A F ϕ ² ² F0

X i //

i0 ! ! B B B B B B B B F ψ ² ²

F0_.

As´ı,i0₌_ϕ_◦_i;_i₌_ψ_◦_i0_{; y entonces}_ψ_◦_ϕ_{hace conmutativo el diagrama}

X i //

iAAAA_Ã_Ã A A A A F ψ◦ϕ ² ² F.

El ´unico morfismo con tal propiedad es la identidad enF. Esto implica queψ◦ϕ es la identidad en F. De manera similar, ϕ◦ψ es la identidad en F0_{, por lo que}

ϕ:F →F0 _{es un isomorfismo.}

La existencia del grupo libreF enX se puede ver [16], p´ag. 39.

El siguiente teorema caracteriza a los grupos.

Teorema 1.1 Todo grupo es cociente de un grupo libre.

Demostración. Si G es un grupo y A ⊆ G es tal que G = hAi, donde hAi es el grupo generado por A, entonces la inclusión j : A → G se puede extender de manera única a un epimorfismo η:F →GconF grupo libre enA. SiR =ker η, entonces de los teoremas de isomorfismos de grupos (vea [11], pág. 108)F/R∼=G.

¤

Decimos queRes elgrupo de relacionesdeGy queAes unsistema de gene-radores de G, mientras que un conjunto B de generadores de R es un sistema de relacionesde G. La construcci´on anterior deGse llamapresentaci´on deG.

Ejemplo 1.5 El grupo libre con un generador es el grupo aditivoZ.

Si F es un grupo libre en X, entonces consideramos el grupo derivado R =

(19)

f :X → H, dondeH es un grupo abeliano, siempre existe un ´unico morfismo de gruposρ:G→H que hace conmutativo el siguiente diagrama:

X i //

fAAAA_Ã_Ã

A A A A G ρ ² ² H

Esta propiedad la podemos usar para caracterizar al grupo abeliano libre enX o usarla como definici´on.

En todo caso, el grupo abeliano libre en un conjunto X resulta ser isomorfo al producto directo de copias del grupo aditivo Z, requiri´endose tantas copias de Z

como elementos tengaX.

1.3. Producto libre de Grupos

En esta sección se estudia el producto libre de grupos, ya que en la Sección 2.4 se hace referencia a definiciones y propiedades que a continuación presentamos. SeanG1 yG2 grupos. Nos interesa definir un grupoG1∗G2 que cumpla:

a) G₁∗G₂ no abeliano.

b) G1 yG2 contenidos enG1∗G2 como subgrupos.

c) G1∗G2 generado por la uni´on G1∪G2.

d) G1∗G2 no satisface g1·g2=g2·g1 para todog1∈G1 yg2 ∈G2.

El coproducto G₁`G₂ en la categor´ıa Grup, cumple con las condiciones de a)

a d) y no la suma directa G1 ⊕G2 como podr´ıa pensarse, pues no cumple la

propiedad universal del coproducto. En efecto, supongamos quei1 :G1 →G1⊕G2

e i₂ : G₂ → G₁⊕G₂ son las inclusiones, H un grupo cualquiera, f₁ : G₁ → H, f2 : G2 → H morfismos de grupos y f : G1 ⊕G2 → H el ´unico morfismo de

grupos que satisface la propiedad universal del coproducto enGrup, definido por f(g, h) = f1(g)f2(h), para g∈ G1 yh ∈G2, que satisfacen el siguiente diagrama

conmutativo:

G₁Â Ä i1 _/_/

f1 IIII_$_$ I I I I I

I G1⊕G2 oo i2 ? _

f

²

Â

Â G2

(20)

Sean (g, h),(g0_{, h}0₎ _∈ _G

1 ⊕G2, entonces f((g, h)(g0, h0)) = f1(g)f1(g0)f2(h)f2(h0),

es decir, f no puede ser un morfismo de grupos a menos que H sea abeliano contradici´endose la propiedad universal. EntoncesG1

`

G2 6=G1⊕G2.

Definici´on 1.7 Sea {G_i | i ∈ J } una familia de grupos, el producto libre de grupos de la familia{Gi|i∈ J } denotado por ∗Gi, coni∈ J, se define como el

coproducto de {Gi |i∈ J }en la categor´ıa Grup.

En particular para G1 y G2 grupos, el producto libre de G1 y G2 se denota por

G1∗G2.

Teorema 1.2 Si {Gi |i∈ J } es una familia de grupos, entonces existe siempre

su producto libre.

Demostraci´on. Definimos como una palabra en los Gi a una sucesi´on finita

(x1, . . . , xn), donde cada xk pertenece a alguno de los grupos Gi, dos t´erminos

consecutivos en la sucesión pertenecen a distintos grupos, y no hay término (de la sucesión) que sea el neutro de algún Gi. El entero n se llama la longitud de

la palabra. Consideremos tambi´en la palabra vac´ıa, es decir, la ´unica palabra de longitud 0. Designemos porW el conjunto de todas estas palabras.

Para cada ´ındicei, definimos ahora una operaci´on (acci´on de grupos) por la izquier-da del grupo Gi sobre el conjunto W. Sea g ∈ Gi y (x1, . . . , xn) ∈ W, definimos

g(x1, . . . , xn) por

Caso 1 Sixi∈/ Gi, entonces

g(x1, . . . , xn) =

½

(g, x1, . . . , xn) sig6= 1

(x1, . . . , xn) sig= 1.

Definimos la acci´on deg sobre la palabra vac´ıa porg( ) = (g).

Caso 2 Sixi∈Gi, entonces

g(x1, . . . , xn) =

½

(gx1, x2, . . . , xn) sigx1 6= 1

(x2, . . . , xn) sigx1 = 1.

Notemos que si gx1 = 1 yn= 1, entonces g(x1) es la palabra vac´ıa.

Observemos que se cumple

1w = w

(21)

Es decir, la operaci´on por la izquierda del grupoGi sobre W es una acci´on.

Est´a claro que cada uno de los gruposGi act´uan efectivamente sobreW.

Seang, g−1∈Gi yφg, φg−1 :W →W, definido porφ_g(w) =gw,φ_g−1(w) =g−1w,

respectivamente. Comoφ_g−1◦φ_g =φ_g◦φ_g−1 = 1_W, entoncesφ_g es un isomorfismo.

As´ı, cada elemento g de Gi se identifica como una permutaci´on del conjunto W

y Gi se considera como un subgrupo del grupo de todas las permutaciones de

W. Denotamos por G el subgrupo del grupo de todas las permutaciones de W generado por la uni´on de losGiy los elementos deGse expresan como un producto

finito de elementos de losGi, si dos factores consecutivos pertenecen al mismoGi.

Evidentemente pueden ser reemplazados por un s´olo factor. As´ı, todo elemento g 6= 1 de G se expresa como un producto finito de elementos de los Gi en forma

reducida, o sea, que no existen dos factores consecutivos que pertenezcan al mismo grupo, y ning´un factor es el elemento neutro. Adem´as,Gcontiene a cada Gi como

subgrupo, denotamos por

ιi :Gi →G

la correspondiente inclusión. Afirmamos ahora que la expresión de todo elemento g 6= 1 de G en forma reducida es única. En efecto, sean g1g2. . . gm y h1h2. . . hn

dos representaciones reducidas deg6= 1.

Consideremos el efecto de las permutacionesg1g2. . . gmyh1h2. . . hnsobre la

pala-bra vac´ıa; resultan, entonces, las palapala-bras (g1, g2, . . . , gm) y (h1, h2, . . . , hn),

respec-tivamente. Puesto que estas dos palabras deben ser iguales, las dos expresiones anteriores son id´enticas. Por tanto,m=ny gi =hi para 1≤i≤m.

Seag1. . . gn la representaci´on reducida de g 6= 1 enG, entonces la representaci´on

reducida del inverso de ges g−1

n . . . g1−1.

Es f´acil comprobar queGes efectivamente el producto libre de losGirespecto losιi.

En efecto, seaHun grupo arbitrario yψi:Gi →H,i∈ J, una colecci´on arbitraria

de morfismos de grupos. Definimos un ´unico morfismo de grupos f :G→H por

f(g) = (ψi1g1)(ψi2g2). . .(ψimgm),

donde g = g1g2. . . gm, gk ∈ Gik, 1 ≤ k ≤ m y g 6= 1 est´a en forma reducida.

Desde luego suponemos f(1) = 1 y hace conmutativos todos los diagramas del

(22)

1.4. Conceptos b´

asicos de espacios conectables por

trayec-torias

En esta secci´on se presentan las propiedades de espacios conectables por trayecto-rias, que se utilizan en el desarrollo de la tesis.

Definición 1.8 SeaX un espacio topológico. Unatrayectoria en Xes una fun-ción continua f :I → X, donde I = [0,1]. Si f(0) =a y f(1) =b decimos que f es una trayectoria de a a b.

Observemos que la trayectoria es la funci´onf y no la imagen,f([0,1]); a la imagen le llamamos curva enX. Notemos que g:I →X definida porg(t) =f(1−t), es una trayectoria deba a.

Definici´on 1.9 Sea X un espacio topol´ogico. Si p ∈ X, entonces ip : I → X

definida por ip(t) = p para todo t∈I se llama trayectoria constante en p. Si

f : I → X es una trayectoria, entonces su trayectoria inversa f−1 : I → X

est´a definida porf−1_{(t) =}_f₍₁₋_t)_{, para cada} _t_∈_I_.

Definici´on 1.10 Un espacio topol´ogico X, es conectable por trayectorias si para cualesquieraa, b∈X existe una trayectoria dea a b.

Ejemplo 1.6 Recordemos que un subespacio topol´ogico X en Rn _{se dice que es}

convexo cuando, para todo par de puntos x, y ∈ X, el segmento de recta que une a x con y denotado por [x, y] = {(1−t)x+ty | 0 ≤ t ≤ 1} est´a contenido en X. De donde, todo subespacio topol´ogico convexo es un espacio conectable por trayectorias.

El siguiente lema es importante ya que a lo largo de la tesis se menciona con regularidad.

Lema 1.1 (Lema del pegado) Supongamos que un espacio topológico X es la unión finita de subespacios cerrados X_i, es decir, X = Sn_i₌₁X_i. Si para algún espacio Y y para cada i = 1, . . . , n existe una función continua fi : Xi → Y tal que

fi|Xi∩Xj=fj |Xi∩Xj i6=j, entonces existe una ´unica funci´on continuaf :X→Y

con f |_X_i=f_i para todo i.

Demostraci´on. Vea [15], p´ag. 15.

Bajo las hip´otesis del Lema 1.1. Si g:X→Y tal queg|Xi=fi, entoncesg=f y

(23)

Teorema 1.3 Sea X un espacio topol´ogico, la relaci´on,∼, enX definida pora∼b

si y s´olo si existe una trayectoria de aa b es una relaci´on de equivalencia.

Demostraci´on. Vea [14], p´ag. 160.

Definición 1.11 Las clases de equivalencia definidas por la relación, ∼ de la hipótesis del Teorema 1.3, se llaman componentes por trayectorias de X.

A las componentes por trayectorias de un espacio topol´ogicoX, las denotamos por c.p.t. X.

Para terminar este cap´ıtulo es necesario establecemos la siguiente notación. De aqu´ı hasta el final de la tesis cuando digamos espacio nos referimos a un espacio topológico. Denotamos al intervalo cerrado [0,1] por I. El producto cartesiano de r copias deI se denota por Ir_{. Si}_X _y_Y _{son espacios topológicos homeomorfos lo}

denotamos porX ≈Y.

El conjuntoSn₌_{_x_∈_Rn+1 _{| k}_x_k_{= 1}_}_{es la}_n_-esfera_y_Dn₌_{_x_∈_Rn _{| k}_x_{k ≤}₁_}

(24)

(25)

Cap´ıtulo 2

Introducci´

on a la homotop´ıa de

espacios topol´

ogicos

2.1. Homotop´ıa

Seanαyβtrayectorias en un espacio topológicoX. Siα,βtardan en ir de su punto inicial a su punto final un segundo,α(2t) yβ(2t−1) son trayectorias que hacen el mismo recorrido queαyβen la mitad de tiempo. Si el punto final deαes el punto inicial deβ, se define una trayectoria nueva que recorre en un segundo los caminos deαyβ, a saberα∗β. Esta es una manera de operar trayectorias y en este cap´ıtulo se busca encontrar las condiciones necesarias y suficientes, que asocie a un espacio topológico un grupo, el grupo fundamental π₁(X), y más general π_n(X), n ≥1. Además se verifica que esta asociación es funtorial. Las condiciones necesarias se obtienen de introducir curvas homotópicas y las condiciones de suficiencia de pedir que las trayectorias estén basadas en un punto, con el mismo punto inicial y final.

Definición 2.1 Si X,Y son espacios y f0,f1 son funciones continuas de X en Y decimos que f0 es homotópica a f1 (f0 ' f1), si existe una función continua

H:X×I →Y tal que H(x,0) =f0(x) y H(x,1) =f1(x) para toda x∈X.

A la funci´onH se le llamahomotop´ıa.

Con H:f0 'f1 indicamos que f0 'f1 con homotop´ıaH. Una interpretaci´on de

(26)

f

0

0 0 b).

f

1

X

a f

a). ´ ´

α

x 0

Deformacion Homotopica de una curva a un punto. Deformacion Homotopica de ff0 a f1.

Figura 2.1: Deformaci´on homot´opica.

conHt(x) =H(x, t) tal que deforma f0 a f1 al tiempo tcomo muestra la Figura

2.1a).

El siguiente ejemplo muestra la deformaci´on homot´opica de una trayectoria a una trayectoria constante.

Ejemplo 2.1 Consideremos un subespacio convexo X en R2, una trayectoria α

de X y un punto x0 ∈X como se muestra en la Figura 2.1b). Sea H :α'x0 la homotop´ıa dada porH(s, t) = (1−t)α(s) +x0t. La familia de curvasHtno tienen

diferencia alguna bajo este concepto de homotop´ıa, como veremos en el Teorema 2.1. N´otese que se puede generalizar la homotop´ıa para cualquier subespacio con-vexo enRn por H(x, t) =x(1−t) +x0tdonde H : 1X 'c

(con c : X → X denotamos la funci´on constante dada por c(x) = x0 para toda

x∈X).

Teorema 2.1 La relaci´on (') de homotop´ıa es una relaci´on de equivalencia sobre el conjunto de todas las funciones continuas= de X a Y.

Demostraci´on.

(27)

ii) Sean f, g ∈ = tal que H : f ' g. Definimos G : X ×I → Y por G(x, t) = H(x,1−t). ClaramenteGes continua, pues la composici´on de funciones con-tinuas es continua. Adem´as G(x,0) =H(x,1) =g(x) yG(x,1) =H(x,0) = f(x). As´ı, G:g'f.

iii) Seanf, g, h∈ = tales queH :f 'gyG:g'h. DefinimosK :X×I →Y por

K(x, t) =

½

H(x,2t) si 0≤t≤ 1₂

G(x,2t−1) si 1₂ ≤t≤1.

Dado queK(x,1

2) = H(x,1) =G(x,0) =g(x), entonces por el Lema 1.1 se

tiene queK es una funci´on continua. Adem´as,K(x,0) =H(x,0) =f(x) y

K(x,1) =G(x,1) =h(x). As´ıK:f 'h. ¤

Sea f : X → Y una funci´on continua. Su clase de equivalencia definida por la relaci´on ', [f] = {g :X → Y continua | g ' f} se llama clase de homotop´ıa

y la familia de todas las clases de homotop´ıa se denota por [X, Y]. Ahora, bajo el concepto de homotop´ıa, toda la familia de funciones continuas H_t que deforman una en la otra son parte de la clase de homotop´ıa def.

SeanX yY espacios. Una funciónf :X→Y esnulo homotópicasi existe una función constantec:X→Y,c(x) =y₀, tal quef 'c. As´ı [c] consta de todas las funciones homotópicas que se deforman a una constante. En particular, decimos queX escontra´ıble si 1X es nulo homotópica, por tanto, todo conjunto convexo

es contra´ıble como se muestra en el Ejemplo 2.1.

Debemos observar que si α, β son dos trayectorias homotópicas en un espacio topológico X y sif :X → Y es continua, entonces las trayectorias f ◦α y f ◦β también se deforman una en la otra de manera continua enY; en otras palabras son homotópicas. Equivalentemente,f#: [I, X]→[I, Y] dada por f#[α] = [f◦α]

está bien definida si y sólo si f ◦α 'f ◦β, siempre que α ' β. El Teorema 2.2 que a continuación presentamos generaliza esta observación.

Teorema 2.2 Sean fi :X → Y y gi :Y → Z para i= 0,1 funciones continuas.

Si f₀ 'f₁ y g₀ 'g₁, entonces g₀◦f₀ 'g₁◦f₁, es decir, [g₀◦f₀] = [g₁◦f₁].

Demostraci´on. Supongamos que F : f0 ' f1 y G : g0 ' g1 son homotop´ıas

y consid´erese la funci´on H : X ×I → Z definida por H(x, t) = G(f0(x), t).

(28)

se tiene que para cada x ∈ X, H(x,0) = G(f0(x),0) = g0(f0(x)) = g0◦f0(x) y

H(x,1) =G(f0(x),1) =g1(f0(x)) =g1◦f0(x) de aqu´ı queH:g0◦f0 'g1◦f0. Por

otro lado, seaK:X×I →Zdefinida porK(x, t) =g1◦F(x, t), entoncesK(x,0) =

g1(F(x,0)) = g1(f0(x)) = g1 ◦f0(x) y K(x,1) = g1(F(x,1)) = g1(f1(x)) = g1 ◦

f1(x). Es claro que K es una funci´on continua. As´ı, K : g1 ◦f0 ' g1 ◦f1. Con

esto, dado que la relaci´on 'es transitiva, se tiene queg0◦f0 'g1◦f1. Por tanto

[g0◦f0] = [g1◦f1] ¤

Corolario 2.1 Sea h :Y →Z continua. Entonces h_#: [X, Y]→[X, Z] dada por

h#[f] = [h◦f] est´a bien definida.

Demostraci´on. Del Teorema 2.2, tomando h = g0 = g1 y f = f0, g = f1 se

cumple que si f 'g, entonces h◦f 'h◦g. De donde h#(f) = [h◦f] est´a bien

definida. ¤

El siguiente teorema caracteriza en términos homotópicos las funciones continuas nulo homotópicas de lan−esfera, Sn_{, a un espacio topológico.}

Teorema 2.3 Sean Y espacio topol´ogico yf :Sn→Y una funci´on continua. Las siguientes condiciones son equivalentes:

i) f es nulo homot´opica.

ii) f se puede extender a una funci´on continua g:Dn+1 _→_Y_.

iii) Si x₀ ∈ Sn _y _k _: _Sn _→ _Y _{es la funci´on constante} _f(x

0), entonces existe una homotop´ıa H:f 'k tal queH(x0, t) =f(x0) para toda t∈I.

Demostraci´on.

i→ ii) Supongamos que f es nulo homot´opica, es decir, existe H : f ' k donde k(x) =y0 para todax∈Sn yy0∈Y. Seag:Dn+1→Y definida por

g(x) =

½

y0 si 0≤ kxk ≤ 1₂

H( x

(29)

Si x ∈ Dn+1 _y _k_x_k ₌ 1

2, tenemos que g(x) = y0 y por otro lado g(x) =

H(x

2,1) = k(x2) =y0. Del Lema 1.1 y dado que H es continua tenemos que

g es continua. Por ´ultimo, si x∈Sn, entonces g(x) =H(_kx_x_k,0) = f(_kx_x_k) = f(x), de aqu´ı que g|_Sn =f para toda x∈Sn. Por tanto, g es una extensi´on

de f.

ii→ iii) Supongamos que g : Dn+1 → Y es una extensi´on continua de f. Sea H : Sn _×_I _→ _Y _{dada por} _{H(x, t) =} _g((1₋_t)x₊_tx

0) con x, x0 ∈ Sn.

Claramente H es continua. Más aún, se tiene que H(x,0) =g(x) =f(x) y H(x,1) =g(x0) =f(x0) =k(x). Además, H(x0, t) = g(x0) = f(x0) = k(x)

para todat∈I.

iii→ i) Suponiendo la homotop´ıa H : f ' k, con k(x) = f(x0), f es nulo

ho-mot´opica, se tiene la conclusi´on. ¤

Que dos espacios sean del mismo tipo de homotop´ıa significa que uno de estos

b) a)

Figura 2.2: Espacios con el mismo tipo de homotop´ıa.

(30)

Para describir matemáticamente esta idea verifiquemos i),ii) y iii) de la Defini-ción 1.1 de categor´ıa para htop, la categor´ıa de todos los espacios topológicos homotópicos, dondeObjhtopconsta de la clase de todos los espacios topológicos, Hom(X, Y) = [X, Y] y la composición está definida por [f]•[g] = [g◦f]. Observe-mos que la composición está bien definida por el Teorema 2.2.

Verifiquemos que en efecto htop es una categor´ıa. Si [X, Y]∩[X0, Y0] 6= ∅, en-tonces [f] ∈ [X, Y]∩[X0, Y0] siempre y cuando X = X0 y Y = Y0, y por tanto [X, Y] = [X0, Y0]. En otras palabras [X, Y] y [X0, Y0] son disjuntos a pares. As´ıi)

se sigue. Paraii), observemos que ([f]•[g])•[h] = [(g◦f)]•[h] = [h◦(g◦f)] = [(h◦g)◦f] = [f]•[h◦g] = [f]•([g]•[h]) prueba ii). Finalmente 1X = [idX] es

identidad por la derecha como por la izquierda, entonces se sigue iii) y con todo

htopes una categor´ıa.

Por otro lado, en la categor´ıa Grup, decir que G y G0 _{son equivalentes significa}

G∼=G0_{. En} _Top1_,_X _y_Y _{son equivalentes si} _X _≈_Y_{. En la categor´ıa} _htop_decir

queX yY son equivalentes significa que son del mismo tipo de homotop´ıa (es de-cir, se deformaX en Y de manera homot´opica). Esto es, existe [f]∈Hom(X, Y) y [g]∈Hom(Y, X) tal que [f]•[g] = [idX] y [g]•[f] = [idY], o equivalentemente

la Definici´on 2.2, como veremos m´as adelante.

Cabe mencionar que R2 _y _C _{se pueden ver topol´ogicamente iguales, pero}

alge-braicamente diferentes.

La categor´ıahtop∗ es similar ahtop excepto queObj htop∗ es la clase de todos los espacios topol´ogicos punteados, Hom((X, x0),(Y, y0)) = [(X, x0),(Y, y0)] y la

composición está definida por [f]•[g] := [g◦f], donde ◦ es la composición de espacios punteados. Vea [22], pág. 12.

Definición 2.2 Sean X y Y espacios topológicos. Una función continuaf :X →

Y es una equivalencia homot´opica si existe g : Y → X continua, tal que

g◦f 'idX yf◦g'idY. Los espaciosXyY son delmismo tipo de homotop´ıa

si existe una equivalencia homot´opicaf :X→Y.

Durante toda la tesis denotamos a la funci´on identidad de un conjuntoX, por 1X.

(31)

Teorema 2.4 Un espacio X tiene el mismo tipo de homotop´ıa de un punto si y s´olo si X es contra´ıble.

Demostraci´on. Supongamos queXes del mismo tipo de homotop´ıa de Y ={a}. Entonces existen funciones continuas f :X → {a} y g:{a} →X cong(a) = x0,

tales queH:g◦f '1_X yG:f◦g'1_Y. M´as a´un,g◦f(x) =g(f(x)) =g(a) =x0,

dondex0 ∈X. De aqu´ı que H:x0'1X. Por lo tanto, X es contra´ıble.

Supongamos ahora queX es contra´ıble, es decir, existeH : 1_X 'x₀ con x₀ ∈X. Definimos f : X → {x0} como la funci´on constante en x0 y g : {x0} → X por

g(x0) = x0. N´otese que f◦g = 1{x0} y que, por hip´otesis, g◦f =x0 '1X. De

aqu´ı queX yx₀ tienen el mismo tipo de homotop´ıa. ¤

Teorema 2.5 Sean X yY espacios topol´ogicos. Si Y es contra´ıble, entonces cua-lesquiera dos funciones continuas deX enY son homot´opicas.

Demostraci´on.Dado queY es contra´ıble, entonces existeH:Y×I →Y continua tal queH : 1Y 'y0, para y0 ∈Y. Definimos f :X→ Y por f(x) =y0 para toda

x∈X. Seag:X→Y una funci´on continua arbitraria. Consideremos la siguiente funci´on G:X×I →Y dada por G(x, t) =H(g(x), t). As´ı pues,

G(x,0) =H(g(x),0) =g(x) y G(x,1) =H(g(x),1) =y₀

de aqu´ı que G:g'y0. As´ıf 'g. Por la transitividad de la relaci´on'se sigue el

resultado. ¤

El Ejemplo 2.1 es muy importante para intuir conceptos que se puedan extender. Observemos que el subespacio {x0} ⊆ X es del mismo tipo de homotop´ıa de X.

Luego nos cuestionamos ¿cuáles son las condiciones suficientes para que un subes-pacioAsea del mismo tipo de homotop´ıa del espacio totalX? es decir, ¿cuándo se deforma homotópicamente el espacioX al subespacio A? como vamos a ver en el Ejemplo 2.2 el plano complejo menos el origen (o cualquier otro punto) se puede deformar a S1_{. Con el Teorema 2.6 que anunciamos más adelante, contestamos a}

las interrogantes anteriores.

Definici´on 2.3 SeanA un subespacio deX ei:A ,→X la inclusi´on. EntoncesA

es unretracto de deformaci´on de Xsi existe una funci´on continua r:X →A

(32)

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111

C−{0} _S1

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111

Figura 2.3: Retracto de deformaci´on.

Ejemplo 2.2 S1 _{es un retracto de deformaci´on de} _C_{− {}₀_}.

En efecto, sea r :C− {0} → S1 _{dada por}_{r(z) =} z

kzk, para cada z ∈C− {0}. Se

tiene quer◦i(z) =r(z) = _kz_z_k =z= 1_S1(z).Entonces r◦i= 1_S1.

Por otro lado, seaH :C− {0} ×I →C− {0}definida porH(z, t) = (1−t)z+t_kz_z_k. Notemos que

H(z,0) =z= 1_C_−{0}(z) y H(z,1) = z

kzk =i◦r(z).

Entonces H : i◦r ' 1_C_−{0}, de aqu´ı que S1 _{es un retracto de deformaci´on de}

C− {0}. Vea la Figura 2.3.

Teorema 2.6 Si A es un retracto de deformaci´on de X, entonces A yX son del mismo tipo de homotop´ıa.

Demostración. Dado queAes un retracto de deformación de X, entonces existe una función continua r : X → A tal que r ◦i = 1A e i◦r ' 1X, donde i es la

inclusi´on deAen X. Notemos quer◦i= 1_A implicar◦i'1_A pues basta definir H :r◦i'1A como H(x, t) =r◦i(x), de aqu´ı queA y X son del mismo tipo de

(33)

2.2. El funtor

π

0

En la introducción de este cap´ıtulo se mencionan los invariantes π_n para n≥ 1. En esta sección, se define de manera natural el primer invariante topológico π0,

que asocia a un espacio un conjunto. Cabe mencionar que este conjunto no es un grupo, como ocurre paran≥1. Tambi´en es importante saber que el invariante π₀ cuenta los “pedazos” ajenos en que se descompone el espacio.

SeaHom(F r(I),−) :htop→ Sets el funtor definido por:

Hom(F r(I), X) = [F r(I), X] ={[σ]|σ :F r(I)→X continua}, donde [σ] es la cla-se de homotop´ıa deσ, como en el Ejemplo 1.4 donde el espacio fijo es la frontera, F r(I) del intervalo I = [0,1].

Nótese que existe una biyección entre [F r(I), X] y las c.p.t. X que es dada por ϕX[σ] = [σ(0)]. Esta relación, en efecto, es una función. Supongaδ∈[σ], entonces

existe una homotop´ıa H : δ ' σ. Defina α(t) = H(0, t) y β(t) = H(1, t). Luego [σ(0)] = [δ(0)] = [σ(1)] = [δ(1)] son la misma c.p.t. Por tanto, la funci´on est´a bien definida. Ahora; si [x0] es una c.p.t. y σ : I → X es una trayectoria tal que

σ(0) =x0 tomando la restricci´onσ|F r(I), tenemos queϕX([σ|F r(I)]) = [σ(0)]. Por

tanto, ϕX es sobre. Adem´as, si [δ(0)] = [σ(0)], entonces existen trayectorias δ yσ

en X tal queδ(0) =σ(0). TomandoH:δ|_{F r}₍_I₎'σ|_{F r}₍_I₎, definida por

H(s, t) =

½

δ((1−2t)s) si (s, t)∈F r(I)×[0,1/2] σ((2t−1)s) si (s, t)∈F r(I)×[1/2,1].

Obtenemos [δ|_{F r}₍_I₎] = [σ|_{F r}₍_I₎]. As´ı,ϕX es inyectiva.

M´as a´un, ϕ:Hom(F r(I), )→c.p.t.(−) definida por la familia de funciones ϕX

es una transformaci´on natural, pues ϕ_X es biyectiva para cada X y el siguiente diagrama conmuta, en donde el morfismof :X→Y enhtopinduce la correspon-dientef#:

Hom(F r(I), X)ϕX //

f]

²

c.p.t(X)

f ]

²

Hom(F r(I), Y)ϕY //c.t.p(Y).

Por otro lado, nos interesa c´omo se parte X, as´ı definimos π₀ por π₀(X) = ϕX(Hom(F r(I), X)) =c.p.t.(X).

(34)

π0(X) →π0(Y) como la funci´on que toma una componente por trayectoriasC de

X y la manda a la componente por trayectoria deY que contiene a f(C).

Teorema 2.7 π0 :Top1→Setses un funtor. M´as a´un, si X y Y son espacios y

f, g:X→Y son funciones continuas con f 'g, entonces π0(f) =π0(g).

Demostraci´on. El Ejemplo 1.3 sustenta que π0 es un funtor. Sean F : f ' g,

y x ∈ [x] = X_λ, donde X_λ es alguna c.p.t. de X. Sea h(t) = F(x₀, t) para cada t∈I. Es claro que h:I →Y es una trayectoria en Y. M´as a´un,h(0) =F(x,0) = f(x) y h(1) =F(x,1) =g(x), de aqu´ı quef(x)∼g(x). As´ı,

π₀(f)([x]) = [f(x)] = [g(x)] =π₀(g)([x]).

Por tanto π0(f) =π0(g). ¤

Corolario 2.2 SeanXyY espacios. SiXyY tienen el mismo tipo de homotop´ıa, entonces tienen el mismo n´umero de componentes por trayectorias.

Demostraci´on. Dado que X y Y tienen el mismo tipo de homotop´ıa, entonces existen funciones continuasf :X→Y,g:Y →Xtales quef◦g'1_Y yg◦f '1_X. Observemos, de las propiedades de funtor deπ0 que

(π0(f)◦π0(g))(Y) = π0(f◦g)(Y) =π0(1Y) = 1π0(Y) y,

(π0(g)◦π0(f))(X) = π0(g◦f)(X) =π0(1X) = 1π0(X).

Luego, existe una biyecci´on entre π0(X) y π0(Y). Por lo tanto, tienen el mismo

n´umero de componentes por trayectorias. ¤

2.3. El Grupo Fundamental

En esta secci´on introducimos el invariante topol´ogico π1, el cual asigna a cada

(35)

f∗g:I →X por

(f ∗g)(t) =

½

f(2t) si 0≤t≤ 1₂

g(2t−1) si 1

2 ≤t≤1.

Por el Lema 1.1 tenemos quef∗ges continua, puesf∗g(1₂) =f(1) =g(0). Luego, f ∗g es una trayectoria en X. Si X es contra´ıble, entonces todas las funciones continuas deIenXson homotópicas. Entonces, existe sólo una clase de homotop´ıa (la clase de la función constante). As´ı, el grupo asociado es el grupo trivial el cual proporciona muy poca información, entonces se modifica la definición de homotop´ıa de la siguiente manera.

Definici´on 2.5 Sean X un espacio, A⊂X y f₀, f₁ :X→Y funciones continuas con f0|A=f1|A. Se escribe

f0 'f1 rel A,

si existe una homotop´ıaF :f0'f1tal queF(a, t) =f0(a) =f1(a)para todoa∈A y todo t ∈ I. A esta homotop´ıa se le llama homotop´ıa relativa, o abreviando decimos homotop´ıa rel A.

La expresi´on F(a, t) =f₀(a) = f₁(a) para toda a∈ A y toda t∈ I, se sustituye porF(A, t) =f0(A) =f1(A).

Notemos que la homotop´ıa usual puede verse como una homotop´ıa rel∅. De mane-ra, similar que en el caso de la homotop´ıa se tiene, paraA⊂X, que la homotop´ıa rel A es una relación de equivalencia sobre el conjunto de funciones continuas de X en Y. La demostración de este hecho es análoga a la del Teorema 2.1, vea [2], pág. 380.

Definici´on 2.6 Sea Fr(I)={0,1} la frontera de I enR. La clase de equivalencia de una trayectoriaf :I →X rel Fr(I) es llamada la clase de trayectoria de f

y se denota por[f].

Teorema 2.8 Sean f0, f1, g0, g1 :I →X trayectorias en un espacioX con

f0 'f1 relF r(I) y g0'g1 rel F r(I).

(36)

Demostraci´on. Supongamos que F : f0 ' f1 rel F r(I) y que G : g0 ' g1 rel

F r(I). Definimos K :I×I →X de la siguiente manera:

K(s, t) =

½

F(2s, t) 0≤s≤ 1₂

G(2s−1, t) 1

2 ≤s≤1, para cadat∈I.

Observe que, como

K(1 2, t) =

½

F(1, t) =f0(1) =f1(1)

G(0, t) =g₀(0) =g₁(0)

yf1(1) =g1(0), entonces por el Lema 1.1K es continua. M´as a´un,

K(s,0) =

½

F(2s,0) =f0(2s) 0≤s≤ 1₂

G(2s−1,0) =g0(2s−1) 1₂ ≤s≤1

lo que indica queK(s,0) =f₀∗g₀. An´alogamenteK(s,1) =f₁∗g₁. Resta verificar que K(a, t) = f0 ∗g0(a) = f1 ∗g1(a), para todo a ∈ F r(I) y t ∈ I. Para esto

observemos que

K(0, t) = F(0, t) =f₀(0) =f₀∗g₀(0) =f₁(0) =f₁∗g₁(0) y, K(1, t) = G(1, t) =g0(1) =f0∗g0(1) =g1(1) =f1∗g1(1).

Por tanto K:f₀∗g₀'f₁∗g₁ relF r(I). ¤

Definici´on 2.7 Sea X un espacio, si f : I → X es una trayectoria de x0 a x1, llamamos ax0 origen de f y lo denotamos porx0=α(f), y ax1 elfinal de f y lo denotamos por x1 =ω(f). Una trayectoria f es cerradaen x0 siα(f) =ω(f). A una trayectoria cerrada f en x0 tambi´en la conocemos como lazo basado en

x₀.

Observemos que si f ' g rel F r(I), entonces α(f) = α(g) y ω(f) = ω(g). As´ı, podemos hablar del inicio y final de una clase de trayectoria [f] y lo denotamos porα[f] yω[f], respectivamente.

(37)

i) Cada clase de trayectoria de[f] tiene un origen α[f] =p y un final ω[f] =q, con p, q∈X. Adem´as,

[i_p][f] = [f] = [f][i_q].

ii) La asociatividad se cumple siempre y cuando sea posible.

iii) Si p=α[f]y q =ω[f], entonces

[f][f−1_{] = [i}

p] y[f−1][f] = [iq]. Demostraci´on.

i) Sean p, q ∈ X. S´olo mostramos que ip ∗f ' f rel F r(I). (La otra parte es

similar.) Nuestro objetivo es encontrar una funci´on continua H :I ×I →X, tal queH :i_p∗f 'f rel F r(I).

( ,0)

p

1 2 __

(0,1)

(0,0)

(1,0)

t

(1, )

t

f

s

i

_f

Figura 2.4:

Observemos en la Figura 2.4, la ecuaci´on de la recta que une los puntos (0,1) y (1₂,0) es 2s= 1−t. Por otro lado, seat fijo, definimos la ecuaci´on de la recta que une los puntos (1−t

2 ,0) y (1,1), con pendientem= 1+2t porθt(s) = 1+2t(s−1)+1 = s−(1−t)/2

(38)

DefinimosH :I×I →X como

H(s, t) =

½

p si 2s≤1−t f(θt(s)) si 2s≥1−t;

Notemos queH coincide conip en la parte no sombreada de la Figura 2.4 y conf

la parte sombreada de la Figura 2.4. Adem´as, sis= 1−t

2 , el valor que toma H es

p, por el Lema 1.1H es continua.

Tenemos H(s,0) = p=ip para 0 ≤s≤ 1₂ y H(s,0) =f(2s−1) para 1₂ ≤ s≤1

lo que indica que H(s,0) = (i_p ∗f)(s) y H(s,1) = f(s) para 0 ≤ s ≤ 1. M´as a´un, H(0, t) = p = ip∗f(0) = f(0) y H(1, t) = q = ip∗f(1) = f(1). Por tanto