Límites y derivadas para representar una función

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(1)

R

esuelve

Página 299

Límites y derivadas para representar una función

Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva, lo más sencilla po-sible, que cumpla las siguientes condiciones:

x8l mí f (x) = – ∞ xl m8í+ f (x) = 2 • l mí

8

x 2– f (x) = – ∞

• l mí

8

x 2+ f (x) = + ∞

• f (0) = 4; f ' (0) = 0

• f (–5) = 0; f (1,75) = 0

• f es derivable en todo

Á

, salvo en x = 2.

1 –5

1 4

Describe, con la menor cantidad de datos y de forma similar al ejercicio anterior, la siguiente fun-ción:

x8l mí f (x) = –1x8l mí+ f (x) = – ∞

8l mí

x –3 f (x) = + ∞

l mí 8

x –3+ f (x) = + ∞

(2)

1

Elementos fundamentales para la construcción de curvas

Página 301

1 Halla el dominio de estas funciones y di dónde son continuas y dónde derivables.

a) y = x 3 – 5x 2 + 7x + 3 b) y =

x23–x5x54 3

+

+ c) y =

sen x1 d) y = xx2 21x 3

+ +

e) y = x2–2x f ) y = ln (x 2 – 1) g) y = ln (x 2 + 1) h) y = xe

x

2 a) Dominio =

Á

y es un polinomio, luego es continua y derivable en todo su dominio.

b) x 2 – 5x + 4 = 0 x = ± ± ± 2

5 25 16 2 5 9

2 5 3

= = x

x

4 1 = = Dominio =

Á

– {1, 4}

y es un cociente de polinomios, que solo daría problemas de continuidad y derivabilidad en x = 4 y

x = 1, luego es continua y derivable en su dominio,

Á

– {1, 4}.

c) Como sen x se anula cuando x = k π con k , la función dada no existe para estos valores de x ya que se produciría una división entre 0. Por tanto, el dominio de definición es

Á

– {k π}.

La función es continua y derivable en todo su dominio. d) x 2 + 1 ≠0 para todo x Dominio =

Á

Se sigue del razonamiento del apartado b) que es continua y derivable en

Á

. e) x 2 – 2x ≥ 0 Dominio = (– ∞, 0] [2, + ∞)

Al ser una función raíz, la derivada no existirá en los puntos en los que se anula, x = 2 y x = –2. Es continua en todo su dominio,

Á

– (0, 2), pero solo es derivable en

Á

– [0, 2].

f ) x 2 – 1 > 0 Dominio = (– ∞, –1) (1, + ∞)

La derivada no existe para x 2 – 1 = 0, pero son puntos fuera del dominio, luego es continua y deri-vable en todo su dominio.

g) x 2 + 1 > 0 para todo x Dominio =

Á

La derivada existe para todo punto x, luego es derivable y continua en

Á

. h) x 2 = 0 x = 0 Dominio =

Á

– {0}

La derivada solo da problemas fuera del dominio, luego es continua y derivable en

Á

– {0}.

2 Di dónde son continuas y dónde son derivables las funciones:

a) y = x2x–1

3

b) y = | x 3 – x |

c) y = arc cos (x – 4) d) y = log (5 – 169 –x2) a) Dominio =

Á

– {–1, 1}

Es continua y derivable en su dominio.

b) La función y = | x 3 – x | es continua en todo su dominio, que es

Á

. Por tener puntos angulosos donde se anula el polinomio x 3 – x, no es derivable en dichos puntos; es decir, en x = 0, x = 1 y

x = –1 no es derivable.

(3)

d) Veamos primero el dominio de definición de la función y = log (5 – 169 –x2).

Para que la función exista, debe ser 5– 169–x2 > 0, es decir, 169 –x2 < 5 y además x debe estar comprendido entre –13 y 13 para que tenga sentido la raíz cuadrada.

Elevando al cuadrado:

169 – x 2 < 25 144 < x 2 12 < x ≤ 13 y –13 ≤ x < –12 Luego el dominio de definición es [–13, –12) ∪ (12, 13].

En su dominio la función es continua. En x = –13 y x = 13 la función tiene puntos de tangente vertical, luego en ellos no es derivable. Por tanto, es derivable en (–13, –12) ∪ (12, 13).

Página 302

3 Halla las simetrías y las periodicidades de las funciones siguientes:

a) y = 3x 4 – 5x 2 – 1 b) y = x2–2x c) y =

x2x–1 3

d) y = x x –1

2 3

e) y = sen x + 1/2 (sen 2x) f ) y = cos x 53 +

a) f (–x) = 3(–x)4 – 5(–x)2 – 1 = 3x 4 – 5x 2 – 1 = f (x) Es una función par: simétrica respecto al eje Y. No es periódica.

b) f (–x) = x2+2x

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. No es periódica.

c) f (–x) =

x–2x–1 3

= –f (x)

Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. No es periódica.

d) f (–x) =

x

x 1

– – 2 3

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. No es periódica.

e) f (–x) = sen x( )– + 12 (sen(–2x))=–sen x– 12 (sen x( ))2 =–f x( )

Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. Es periódica de período 2π. f ) Como cos (–x) = cos x, la función es par.

(4)

Página 303

4 Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: a) y =

(xx2)2x 3

b) y =

x1–4 c) y =

x

43– d) y = log (x 2 – 4)

a) El denominador se anula cuando x = 2 y cuando x = 0.

( ) ·

ílm

xx2 x 8

x 2 2 3

= + ∞, ya que en las cercanías del punto 2 los dos términos de la fracción son

positivos. Por tanto, en x = 2 hay una asíntota vertical.

Por otro lado,

( ) · ( )

l m

xx2 x l m xx2 0

í í

8 8

x 2 x

3

0 2

2

0 = = y en x = 0 no hay una asíntota vertical.

2 4 6

–4

–6 –2

4 8 6

2

–2

Y

X

b) El denominador se anula cuando x = 4 y el dominio de la función es el intervalo (4, + ∞).

ílm

x 41–

8

x 4+ = + ∞ y en x = 4 tenemos una asíntota vertical.

2 4 6 8

–2 4 2

–2

Y

X

c) El denominador se anula cuando x = 4 y el dominio de la función es el intervalo (– ∞, 4).

l m

x

43–

í 8

x 4 = + ∞ y en x = 4 tenemos una asíntota vertical.

2 4 6 8

–2 4 2

–2

Y

X

d) El dominio de definición es (– ∞, –2) ∪ (2, + ∞) ya que x 2 – 4 > 0.

( )

í log

l m x –4

8

x 2 2

= – ∞ y x8l mí 2 log(x –4)

2

+ = – ∞ porque en ambos casos x 2 – 4 → 0+.

Luego tiene dos asíntotas verticales: una en x = –2 y otra en x = 2.

2 4

–4 –2

–2 4 2

–4

Y

(5)

Página 305

5 Halla las ramas en el infinito de las funciones siguientes:

a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y =

x2x–1 4

c) y =

(xx2)2 3

d) y = x2–2x

e) y = ln (x 2 + 1) f ) y = 2x – 1

g) y = x sen x h) y = x – cos x

a) x8l mí+ (3x 5 – 20x 3) = + ∞

l mí 8

x (3x 5 – 20x 3) = – ∞

Tiene sendas ramas parabólicas de crecimiento cada vez más rápido por ser una función polinómica.

b) y =

x2x–1 x 1 x 1–1

4 2

2 = + +

En el infinito, la función dada es equivalente a x 2 + 1, luego tiene dos ramas parabólicas de creci-miento cada vez más rápido y f (x) + ∞ cuando x → ± ∞.

c) y =

(xx2)2 x 4 12(xx––216) 3

2 = + +

La función tiene una asíntota oblicua cuando x ± ∞ y es la recta y = x + 4.

d) En el infinito, la función es equivalente a x2= , luego f (x) | |x + ∞ cuando x → ± ∞.

e) x8l mí+ ln (x 2 + 1) = + ∞

y = ln (x 2 + 1) es equivalente en el infinito a y = ln (x 2) = 2ln | x |.

Luego x8l mí+ (ln x 1x2+ = ) x8l mí+ 2 lnx| |x = 0.

Lo mismo ocurre cuando x → – ∞ y, por tanto, tiene dos ramas parabólicas de crecimiento cada vez más lento cuando x → ± ∞.

f ) Esta función tiene una rama parabólica de crecimiento cada vez más rápido cuando x → + ∞ por ser una función exponencial. Por el mismo motivo, la recta y = 0 es la asíntota horizontal cuando

x → – ∞.

g) x8l mí+ (x sen x) no existe.

Análogamente ocurre cuando x → – ∞ y, por tanto, esta función no tiene ni asíntotas ni ramas pa-rabólicas.

h) x8l mí+ (x – cos x) = + ∞

l mí 8

x + xxcosx = x8l mí+∞ c1 – cosxxm = 1 porque la función cos x está acotada entre –1 y 1.

l mí 8

x + (x – cos x – x) = x8l mí+∞ cos x no existe.

(6)

6 ¿Qué tipo de ramas en el infinito tienen estas funciones?

a) y = x1+1 b) y = x3+x1 c) y = xx+21 d) y = xx+41

e) y = e x

x

2

f ) y = x3 2+ g) 3 y = x + x h) y = tg x a) Tiene una asíntota horizontal cuando x ± ∞. Es la recta y = 0.

b) y = x3+x1 =3– x3+1 tiene una asíntota horizontal cuando x ± ∞. Es la recta y = 3.

c) y = xx+21 =x–1+ x1+1 . Por tanto, la recta y = x – 1 es la asíntota oblicua cuando x → ± ∞.

d) y = xx+41 =x3–x2+x –1+ x1+1 tiene ramas parabólicas de crecimiento cada vez más rápido por ser equivalente en el infinito a una función polinómica.

e) x8l mí+ e x

x 2

= 0. La recta y = 0 es la asíntota horizontal cuando x → + ∞.

l mí 8

xxex 2

= + ∞

l mí 8

xx ex/ x 2

= x8l mí

exx = – ∞. La función tiene una rama parabólica de crecimiento cada vez más rápido cuando x – ∞.

f ) x8l mí+ x3 2+ = + ∞3

l mí 8

x + xx 3 2 3

+ = x8l mí+ x

x 3

3 2

3 + = 0

Se da la misma situación cuando x → – ∞ por ser una función par. Tiene dos ramas parabólicas de crecimiento cada vez más lento.

g) x8l mí+ (x+ x) = + ∞

l mí 8

x + x+x x = x8l mí+∞ e1 1+ xo = 1

l mí 8

x + (x+ x x– ) = x8l mí+∞ x = + ∞

Tiene una rama parabólica de crecimiento cada vez más lento cuando x → + ∞.

Como su dominio de definición es el intervalo [0, + ∞), no podemos estudiarla cuando x → – ∞. h) La función y = tg x es periódica y no acotada. No tiene asíntotas ni ramas parabólicas en el infinito.

Página 306

7 Halla los puntos singulares y los puntos de inflexión de estas funciones: a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5 b) y = ln (x 2 + 1) a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5. Dominio =

Á

f ' (x) = 3x 2 – 12x + 9

f ' (x) = 0 3(x 2 – 4x + 3) = 0

x = ±4 16 122 – = 4±2 4 = 4 2±2 x

x

3 1 = = Signo de f ' (x):

(7)

f '' (x) = 6x – 12

f '' (x) = 0 6x – 12 = 0 x = 2 Signo de f '' (x):

f'' < 0 2 f'' > 0 Hay un punto de inflexión en (2, 7).

b) y = ln (x 2 + 1). Dominio =

Á

f ' (x) = x22x+1

f ' (x) = 0 2x = 0 x = 0 ( )

( )

'' ''

f x x

f x x

0 0

0 0

para para < <

> >

4

Hay un mínimo en (0, 0).

f '' (x) =

( )

( ) ·

( ) ( )

x

x x x

x

x x

xx

1

2 1 2 2

1

2 2 4

1 2 2 – 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + = ++

f '' (x) = 0 –2x 2 + 2 = 0 x 2 = 1 x

x 1 1 – = = Signo de f '' (x)

Hay un punto de inflexión en (–1, ln 2) y otro en (1, ln 2).

–1 1

f'' > 0

f'' < 0 f'' < 0

8 Halla los puntos singulares de: a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y =

x2x–1 2

c) y =

(xx2)2 3

d) y = x2–2x a) y = 3x 5 – 20x 3. Dominio =

Á

f ' (x) = 15x 4 – 60x 2

f ' (x) = 0 15x 2(x 2 – 4) = 0 x

x x 2 2 0 – = = =

Signo de f ' (x):

–2 0

f' < 0

f' > 0 f' < 0 f' > 0

2

Hay un máximo en (–2, 64), un mínimo en (2, – 64), y un punto de inflexión en (0, 0).

b) y =

x2x–1 2

. Dominio =

Á

– {–1, 1}

f ' (x) =

( )

( ) ·

( ) ( )

x

x x x x

x

x x x

x x

1

2 1 2

1

2 2 2

1 2 – – – – – – – – 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 = =

f ' (x) = 0 –2x = 0 x = 0 Signo de f ' (x):

Hay un máximo en (0, 0).

–1 0

f' > 0

f' > 0 f' < 0 f' < 0

(8)

c) y =

(xx2)2 3

. Dominio =

Á

– {2}

f ' (x) =

( )

( ) · ( )

( )

( )

( ) ( )

x

x x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x

2

3 2 2 2

2

3 2 2

2

3 6 2

2 6 –

– – –

– – –

– –

– – 4

2 2 3

3

2 3

3

3 2 3

3

3 2

= = =

f ' (x) = 0 x 2(x – 6) = 0 x

x

0 6 = = Signo de f ' (x):

0 2

f' > 0

f' > 0 f' < 0 f' > 0

6

Hay un punto de inflexión en (0, 0) y un mínimo en ,d6 272 n.

d) y = x2–2x. Dominio = (– ∞, 0] ∪ [2, + ∞) f ' (x) =

x x

x

x x

x

2 2

2 2

2 1 –

– –

2 = 2

(9)

2

El valor absoluto en la representación de funciones

Página 307

1 Representa: a) y =

| |x

x x

1 3 2

+

+ b) y = | x – 5 | x

c) y = x – | x – 3 | + | x + 1 | d) y = |x2–1|

a) El único valor absoluto que interviene es | x |. La abscisa en donde cambia de signo x es 0. Por tanto:

x < 0, | x | = –x y = x2x++31x x ≥ 0, | x | = x y = xx2++13x

1 X

Y

1

x2 + 3x y = ———

–x + 1

1 X

Y

1

x2 + 3x y = ———x + 1

Representamos, pues, esta función:

y =

| |x

x x xx x x

x

x x x

1

3 31 0

1

3 0

– si

si < 2

2

2 +

+ = ++

+ +

*

1 X

Y

1

x2 + 3x y = ———

|x| + 1

b) El único valor absoluto que interviene es | x – 5 |. La abscisa donde cambia de signo x – 5 es 5. Por tanto, analizamos cómo queda la función a la izquierda y a la derecha de 5:

x < 5 | x – 5 | = –x + 5 y = (–x + 5)x = –x 2 + 5x x ≥ 5 | x – 5 | = x – 5 y = (x – 5)x = x 2 – 5x

y = | x – 5 |x =

x x

x x

x x

5 5

5 5 –

– si si

< 2

2 +

*

1 X

Y

1

y = x

2 – 5

x

y = – x2

+ 5

(10)

c) Intervienen dos valores absolutos, | x + 1 | y | x – 3 |, que cambian de signo en las abscisas x = –1 y

x = 3, respectivamente.

Por tanto:

x < –1, | x + 1 | = –x – 1 y | x – 3 | = –x + 3 y = x + x – 3 – x – 1 = x – 4 –1 ≤ x < 3, | x + 1 | = x + 1 y | x – 3 | = –x + 3 y = x + x – 3 + x + 1 = 3x – 2 x ≥ 3, | x + 1 | = x + 1 y | x – 3 | = x – 3 y = x – x + 3 + x + 1 = x + 4 Representamos, pues, esta función:

y = x – | x – 3 | + | x + 1 | = ≤ ≥

x x x

x x x

4 3 2

4

1

1 3

3 –

– sisi – – si

< < +

*

1

y = x – 4 y = x + 4

y = 3 x – 2

X Y

1

d) Las abscisas en donde cambia de signo x 2 – 1 son –1 y 1. Analizamos cómo queda definido el valor absoluto:

x < –1 | x 2 – 1 | = x 2 – 1 y = x21

–1 ≤ x < 1 | x 2 – 1 | = 1 – x 2 y = 1 –x2 x ≥ –1 | x 2 – 1 | = x 2 – 1 y = x21

y = |x |

x x x

x x x

1

1 1

1

1

1 1

1 –

– –

si – si – ≤ si ≥ –

< < 2

2

2

2 =

*

y la gráfica es:

2 4

–4 –2

4

2

Y

(11)

3

Representación de funciones polinómicas

Página 309

1 Representa estas funciones:

a) y = x 4 – 8x 2 + 7 b) y = 3x 4 + 4x 3 – 36x 2 c) y = x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 12x d) y = 3x 4 – 4x 3 – 16 e) y = x 3 – 3x f ) y = (1/4)x 4 – 2x 2 a) y = x 4 – 8x 2 + 7

• Simetrías:

f (–x) = x 4 – 8x 2 + 7 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• Ramas infinitas:

l mí 8

x f (x) = + ∞; x8l mí+∞ f (x) = + ∞

• Puntos singulares:

f ' (x) = 4x 3 – 16x

f ' (x) = 0 4x (x 2 – 4) = 0 x

x x

2 2 0 – = = =

Puntos singulares: (0, 7); (–2, –9); (2, –9)

• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y x = 0 y = 7 → Punto: (0, 7) — Con el eje X y = 0 x 4 – 8x 2 + 7 = 0

x 2 = ± ± ±

2 8 64 28

2 8 36

2 8 6

= = ±

±

8 8

x x

x x

7 7

1 1

2 2

= =

= =

Puntos: (– 7 0, ); ( , ); ( , ) ( , )–1 0 1 0 ; 7 0

• Puntos de inflexión:

f '' (x) = 12x 2 – 16

f '' (x) = 0 12x 2 – 16 = 0 x 2 = 3

4 → x = ± 34 =± 233

Puntos e– 2 33 , –917o y e2 33 , –917o

• Gráfica:

2 7

(12)

b) y = 3x 4 + 4x 3 – 36x 2

• Simetrías:

f (–x) = 3x 4 – 4x 3 – 36x 2. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de coordenadas.

• Ramas infinitas:

l mí 8

x f (x) = + ∞; x8l mí+∞ f (x) = + ∞

• Puntos singulares:

f ' (x) = 12x 3 + 12x 2 – 72x

f ' (x) = 0 12x (x 2 + x – 6) = 0 ±

±

x x

0

2 1 1 24

2 1 5

– –

=

= + = x

x

2 3 – = = Puntos: (0, 0); (2, – 64); (–3, –189)

• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y x = 0 y = 0 → Punto: (0, 0) — Con el eje X y = 0 x 2(3x 2 + 4x – 36) = 0

± ±

8

x

x x

6 4 16 432

6 4 448

0 0

– –

2

= + =

= =

≈ , ≈ ,

x x

4 19 2 86 – Puntos: (0, 0); (2,86; 0); (– 4,19; 0)

• Puntos de inflexión:

f '' (x) = 36x 2 + 24x – 72

f '' (x) = 0 12(3x 2 + 2x – 6) = 0

x = –2± 64 72+ = –2±6 76 ≈ , ≈ ,

x x

1 12 1 79 – Puntos: (1,12; –34,82) y (–1,79; –107,22)

• Gráfica:

3 50

–200

c) y = x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 12x

• Simetrías:

f (–x) = x 4 + 4x 3 – 2x 2 – 12x. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de coordenadas.

• Ramas infinitas:

l mí 8

(13)

• Puntos singulares:

f ' (x) = 4x 3 – 12x 2 – 4x + 12

f ' (x) = 0 4(x 3 – 3x 2 – x + 3) = 0 4(x – 1)(x + 1)(x – 3) = 0 x

x x

1 3 1 – = = =

Puntos: (1, 7); (–1, –9); (3, –9)

• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y x = 0 y = 0 → Punto: (0, 0) — Con el eje X y = 0 x (x 3 – 4x 2 – 2x – 6) = 0

( )( )

8

x

x x x x x x

0

4 2 12 0 2 2 12 0

– – – –

3 2 2

=

+ = + = ≈ ,

≈ ,

x x x

3 65 1 65 2

– =

Puntos: (0, 0); (2, 0); (3,65; 0); (–1,65; 0)

• Puntos de inflexión:

f '' (x) = 12x 2 – 24x – 4

f '' (x) = 0 4(3x 2 – 6x – 1) = 0

x = ±6 36 126 + = 6±648 xx≈ ,≈ ,2 150 15

Puntos: (2,15; –1,83) y (–0,15; –1,74)

• Gráfica:

4 7

–9

d) y = 3x 4 – 4x 3 – 16

• Simetrías:

f (–x) = 3x 4 + 4x 3 – 16. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de coordenadas.

• Ramas infninitas:

l mí 8

x f (x) = + ∞; x8l mí+∞ f (x) = + ∞

• Puntos singulares:

f ' (x) = 12x 3 – 12x 2

f ' (x) = 0 12x 2(x – 1) = 0

x x

1 0 = =

(14)

• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y x = 0 y = –16 → Punto: (0, –16)

— Con el eje X y = 0 3x 4 – 4x 3 – 16 = 0

x x x

x

3 2 4 8 0

2

3+ 2+ + = =

3x 3 + 2x 2 + 4x + 8 = 0 tiene una sola raíz, que está entre –2 y –1; pues, si g (x) = 3x 3 + 2x 2 + 4x + 8,

g (–2) = –16 < 0 y g (–1) = 3 > 0.

Puntos: (2, 0) y (k, 0), con k entre –2 y –1.

• Puntos de inflexión:

f '' (x) = 36x 2 – 24x

f '' (x) = 0 12x(3x – 2) = 0 x

x

0

3 2 = =

Puntos: (0, –16) y d32, –27448n

• Gráfica:

2

–20

e) y = x 3 – 3x

• Simetrías:

f (–x) = –x 3 + 3x = – f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.

• Ramas infinitas:

l mí 8

x f (x) = + ∞; x8l mí+∞ f (x) = + ∞

• Puntos singulares:

f ' (x) = 3x 2 – 3

f ' (x) = 0 3(x 2 – 1) = 0

x x

1 1 – = =

Puntos: (–1, 2); (1, –2)

• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y x = 0 y = 0 → Punto: (0, 0)

— Con el eje X y = 0 x 3 – 3x = 0 x (x 2 – 3) = 0 x

x x

3 3 0 – = = =

Puntos: (0, 0); (– 3 0, ); ( , )3 0

• Puntos de inflexión:

f '' (x) = 6x

(15)

• Gráfica:

1

–2

f ) y = 41 x4–2x2

• Simetrías:

f (–x) = 41 x4–2x2 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• Ramas infinitas:

l mí 8

x f (x) = + ∞; x8l mí+∞ f (x) = + ∞

• Puntos singulares:

f ' (x) = x 3 – 4x

f ' (x) = 0 x (x 2 – 4) = 0 x

x x

2 2 0 – = = =

Puntos: (0, 0); (–2, – 4); (2, – 4)

• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y x = 0 y = 0 → Punto: (0, 0)

— Con el eje X y = 0 x2d41 x2–2n=0 xx2==08 x x

2 2 2 2 – = = Puntos: (0, 0); (–2 2 0 2 2 0, ); ( , )

• Puntos de inflexión:

f '' (x) = 3x 2 – 4

f '' (x) = 0 3x 2 – 4 = 0 x

x

3 4

3 4

3 2 3

3 2 3

– –

=

= =

=

Puntos: e– 2 33 ,– 209 o; e2 33 ,– 209 o

• Gráfica:

2

(16)

4

Representación de funciones racionales

Página 311

1 Representa:

a) y = x x 1 – 2

3

b) y = x x 4 9 2 2

c) y = x x2–2x–8

d) y = x x x 1 2 2 3 + +

a) y =

x

x x

x x

1– 2 – 1– 3

2

= + . Dominio =

Á

– {–1, 1}

• Simetrías:

f (–x) =

x x

1 –– 2 3

= –f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.

• Asíntotas verticales:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞ – ∞ í í 8 8 x x 1 1 – – = + = +

4

Asíntota vertical en x = –1.

( )

( )

l m f x

l m f x

∞ – ∞ í í 8 8 x x 1 1 = + = +

4

Asíntota vertical en x = 1.

• Asíntota oblicua:

x

x x

x x

1– 2 – 1– 3

2

= + → y = –x es asíntota oblicua.

Posición de la curva respecto a la asíntota: f (x) – (–x) > 0 si x → – ∞ (curva por encima) f (x) – (–x) < 0 si x → + ∞ (curva por debajo)

• Puntos singulares:

f ' (x) =

( )

( ) ·( )

( ) ( )

x

x x x x

x

x x x

x

x x

1

3 1 2

1

3 3 2

1 3 – – – – – – – – 2 2

2 2 3

2 2

2 4 4

2 2

4 2

= + = +

f ' (x) = 0 x 2(–x 2 + 3) = 0 x

x x 3 3 0 – = = =

Puntos: (0, 0); e– 3, 3 32 o;e 3,–3 32 o

• Cortes con los ejes:

Corta a los ejes en (0, 0).

• Gráfica:

(17)

b) y =

x x

4 9 – – 2 2

. Dominio =

Á

– {–2, 2}

• Simetrías:

f (–x) =

x x

4 9 – – 2 2

= f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• Asíntotas verticales:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞ –

í

í 8

8

x x

2

2 –

=

= +

+

4

Asíntota vertical en x = –2.

( )

( )

l m f x

l m f x

– ∞

í

í 8

8

x x

2

2

= +

=

+

4

Asíntota vertical en x = 2.

• Asíntota horizontal:

xx 49 1 x 4 5 –

– 2

2

2

= → y = 1 es asíntota horizontal.

Posición de la curva respecto a la asíntota: f (x) – 1 < 0 si x → – ∞ (curva por debajo) f (x) – 1 < 0 si x → + ∞ (curva por debajo)

• Puntos singulares:

f ' (x) =

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

x

x x x x

x

x x x

x x

4

2 4 2 9

4

2 4 9

4 10 –

– – –

– – –

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

= + =

f ' (x) = 0 10x = 0 x = 0 → Punto: ,d0 49n

• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y x = 0 y = 49 → Punto: ,d0 49n

— Con el eje X y = 0 x 2 – 9 = 0 x

x

3 3 – = = Puntos: (–3, 0) y (3, 0)

• Gráfica:

2 1 –2

c) y = x2–2xx–8 =x – –2 8x . Dominio =

Á

– {0}

• Simetrías:

(18)

• Asíntotas verticales:

( )

( )

l m f x

l m f x

– ∞

í

í 8

8

x x

0

0

= +

=

+

4

Asíntota vertical en x = 0.

• Asíntota oblicua:

x

x x x

x

2 8 2 8

– – – –

2

= → y = x – 2 es asíntota oblicua.

Posición de la curva respecto a la asíntota:

f (x) – (x – 2) > 0 si x → – ∞ (curva por encima) f (x) – (x – 2) < 0 si x → + ∞ (curva por debajo)

• Puntos singulares:

f ' (x) =

x

1 8+ 2 > 0 para todo x del dominio.

La función es creciente en todo su dominio. No tiene puntos singulares.

• Cortes con los ejes:

— Con el eje X y = 0 x 2 – 2x – 8 = 0 x

x

2 4 – = = Puntos: (–2, 0) y (4, 0)

— No corta al eje Y, pues no está definida en x = 0.

• Gráfica:

4 –2

d) y =

x

x x

1 2 2 3

+

+ . Dominio =

Á

• Simetrías:

f (–x) =

x

x x

12 – –

2 3

+ = –f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.

• No tiene asíntotas verticales. • Asíntota oblicua:

x

x x x

x x

1 2

1 2

3

2 +

+ = +

+ → y = x es asíntota oblicua. Posición de la curva respecto a la asíntota:

(19)

• Puntos singulares:

f ' (x) =

( )

( )( ) ( )·

( ) ( )

x

x x x x x

x

x x x x x

x

x x

1

3 2 1 2 2

1

3 3 2 2 2 4

1 2

– – –

2 2

2 2 3

2 2

4 2 2 4 2

2 2 4 2 +

+ + + =

+

+ + + =

+ + +

f ' (x) = 0 x 4 + x 2 + 2 = 0 x 2 = ± 2 1 1 8

No tiene solución.

No hay puntos singulares.

• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y x = 0 y = 0 → Punto: (0, 0)

— Con el eje X y = 0 x 3 + 2x = 0 x (x 2 + 2) = 0 x = 0 Punto: (0, 0)

• Puntos de inflexión:

f '' (x) =

( )

( )( ) ( )· ( )·

x

x x x x x x x

1

4 2 1 – 2 2 1 2

2 4

3 2 2 4 2 2

+

+ + + + + =

=

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

x

x x x x x x

xx x x

x x

1

4 2 1 4 2

1

2 6

1

2 3

2 3

3 2 4 2

2 3 3

2 3 2 +

+ + + + =

+ = +

f '' (x) = 0 x

x x

3 3 0 – = = =

Puntos: (0, 0); e– 3,–5 34 o;e 3, 5 34 o

• Gráfica:

(20)

5

Representación de otros tipos de funciones

Página 314

1 Representa:

a) y = x2+2x b) y = x29 c) y = ln (x 2 + 4) d) y = ln (x 2 – 1)

e) y = lnxx f ) y =

x ex

2 g) y =

x e

x

h) y = x 3 e x

i) y = 2

1 cos 2x + cos x j) y =

ln x1 a) y = x2+2x

• Dominio: x 2 + 2x = 0 x (x + 2) = 0 x

x 0 2 – = = Dominio = (– ∞, –2] ∪ [0, + ∞)

• Simetrías:

f (–x) = x2–2x. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas.

• No tiene asíntotas verticales. • Asíntotas oblicuas:

l mí 8

x f (x) = + ∞

l mí 8

x

( )

x f x =

l mí 8

xx x 2x 2+

= x8l mí+ x2x2x =–1

l mí 8

x [ f (x) + x ] = x8l mí–∞ [ x2+2x x+ = ] x8l mí+∞ [ x2–2x x– ] =

= x8l mí+ ( )( )

x x

x x

x

x x x x

2 2 2 – – – – 2 2 2 + + =

l mí 8

x + xx2–2x x2xx

2 2

+ = = x8l mí+

x x

x x

2 2

1 12 22 1 –

– – –

2 + = + = =

y = –x – 1 es asíntota oblicua cuando x → – ∞.

l mí 8

x + f (x) = + ∞

l mí 8

x +

( )

x f x =

l mí 8

x + x x 2x 1 2+

=

l mí 8

x + [ f (x) – x ] = x8l mí+∞ [ x2+2 –x x] = x8l mí+∞ ( x 2xx–2x x)(2x x 2x x)

2 2

+ +

+

+ + =

= x8l mí+

x x

x x x

x 2 2 – 2 2 2 + +

+ = x8l mí+∞ x x x

x

2 2

1 12 22 1 2+ + = + = =

y = x + 1 es asíntota oblicua cuando x → + ∞.

• Puntos singulares:

f ' (x) =

x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2++ = 2++ f ' (x) = 0 x + 1 = 0 x = –1

(21)

• Cortes con los ejes:

— Con el eje X y = 0 x2+2x x 2 + 2x = 0 x

x

0 2 – = = Puntos: (0, 0) y (–2, 0)

— Con el eje Y x = 0 y = 0 → Punto: (0, 0)

• Gráfica:

–2 2

b) y = x2–9

• Dominio: x 2 – 9 = 0

x x

3 3 – = =

Dominio = (– ∞, –3] ∪ [3, + ∞)

• Simetrías:

f (–x) = x2–9. Es par: simétrica respecto al eje Y.

• No tiene asíntotas verticales. • Asíntotas oblicuas:

l mí 8

x f (x) = + ∞

l mí 8

x

( )

x f x =

l mí 8

xxx–9 2

= x8l mí+ x2x–9 =–1

l mí 8

x [ f (x) + x ] = x8l mí–∞ [ x2–9+ = x] x8l mí+∞ [ x2– –9 x] = = x8l mí+ ( )( )

x x

x x x x

9

9 9

– – –

2

2 2

+

+ =

l mí 8

x + xx2– –99 xx

2 2

+ = = x8l mí+

x 9 x 0

9 – – 2 + =

y = –x es asíntota oblicua cuando x → – ∞.

l mí 8

x + f (x) = + ∞

l mí 8

x +

( )

x f x =

l mí 8

x + xx–9 1 2

=

l mí 8

x + [ f (x) – x ] = x8l mí+∞ [ x2–9 –x] = x8l mí+∞ ( x –9x–2x x)(9 x–9 x)

2 2

+

+ =

= x8l mí+

x x

x x

9 9 – – – 2

2 2

+ = x8l mí+∞ x 9 x 0

9 – – 2 + =

(22)

• Puntos singulares:

f ' (x) =

x x

x x

2 9

2

9

– –

2 = 2

f ' (x) = 0 x = 0

Como no pertence al dominio de f (x), no hay puntos singulares.

• Cortes con los ejes:

— Con el eje X y = 0 x2–9 → x 2 – 9 = 0

x x

3 3 – = =

Puntos: (–3, 0) y (3, 0)

— No corta al eje Y, pues no existe f (0).

• Gráfica:

–3 3

2

c) y = ln (x 2 + 4)

• Dominio:

Como x 2 + 4 > 0 para todo x, Dominio =

Á

.

• Simetrías:

f (–x) = ln (x 2 + 4) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• No tiene asíntotas verticales. • Ramas infinitas:

l mí 8

x f (x) = x8l mí+∞ f (x) = + ∞

l mí 8

x +

( )

x f x =

l mí 8

x + (ln xx 4) H 2+

= x8l mí+ x

x

1 4 2

0 2

+ =

Por tanto, no tiene asíntotas de ningún tipo. Tiene ramas parabólicas.

• Puntos singulares:

f ' (x) =

x22+x4

f ' (x) = 0 2x = 0 x = 0 Punto: (0, ln 4)

• Puntos de inflexión:

f '' (x) =

( )

( ) ·

( ) ( )

x

x x x

x

x x

x x

4

2 4 2 2

4

2 8 4

4 8 2

– – –

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 +

+ =

+

+ =

+

f '' (x) = 0 8 – 2x 2 = 0 x

x

(23)

• Gráfica:

1 1

d) y = ln (x 2 – 1)

• Dominio: x 2 – 1 > 0 Dominio = (– ∞, –1) (1, + ∞)

• Simetrías: f (–x) = ln (x 2 – 1) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• Asíntotas verticales:

l m8í

x –1 f (x) = – ∞; l mx8í 1+ f (x) = – ∞ x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales.

x8l mí f (x) = x8l mí+ f (x) = + ∞

l mí 8

x +

( )

x f x =

l mí 8

x + (ln xx–1)

2 H

= x8l mí+ x

x

1 2

0 1 – 2

=

Tiene ramas parabólicas.

• Puntos singulares:

f ' (x) =

x22x–1

f ' (x) = 0 2x = 0 x = 0

No tiene puntos singulares, pues la función no está definida en x = 0.

• Puntos de inflexión:

f '' (x) =

( )

( ) ·

( ) ( )

x

x x x

x

x x

xx

1

2 1 2 2

1

2 2 4

1

2 2

– – –

– – –

– –

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

= =

No tiene puntos de inflexión.

• Puntos de corte con los ejes:

— Con el eje X y = 0 ln (x 2 – 1) = 0 x 2 – 1 = 1

x 2 = 2 x

x

2 2 – =

=

4

Puntos: (– 2 0, ) y ( , )2 0 — No corta al eje Y, pues no existe f (0).

• Gráfica:

(24)

e) y = lnxx

• Dominio: Su dominio de definición es el intervalo (0, + ∞). • Ramas infinitas:

l mí 8

x 0+ lnxx = – ∞ Tiene una asíntota vertical en x = 0.

l mí 8

x + lnxx = 0 La recta y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → + ∞.

• Puntos singulares:

f ' (x) = ·xlnx 1· ln

x x

x x

1

1 –

2 = 2

f ' (x) = 0 1 – ln x = 0 x = e f (e) = 1 . Tiene un punto singular: ,ee d 1e n

• Gráfica:

2 2

f ) y =

x ex

2

• Dominio:

Á

– {0}

• No es simétrica. • Asíntotas verticales:

( )

( )

l m f x

l m f x

í

í 8

8

x x

0

0

=

= + +

+

4

Asíntota vertical en x = 0

x8l mí f (x) = 0. Además, f (x) > 0 para todo x del dominio. y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → – ∞.

l mí 8

x + f (x) = + ∞; x8l mí+∞ ( )

x

f x = + ∞. Rama parabólica.

• Puntos singulares:

f ' (x) = · · · ( ) ( )

x

e x e x

x x e x

x e x

2 2 2

– – –

x x x x

4 2

4 3

= =

f ' (x) = 0 x = 2 Punto , ee2 42o

• Gráfica:

(25)

g) y = exx

• Dominio:

Á

– {0}

• No es simétrica. • Asíntotas verticales:

( )

( )

l m f x

l m f x

∞ –

í

í 8

8

x x

0

0

= +

=

+

4

Asíntota vertical en x = 0

x8l mí f (x) = + ∞

l mí 8

x – ( )

x

f x = – ∞. Rama parabólica.

l mí 8

x + f (x) = 0. f (x) < 0 para todo x positivo. y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → + ∞.

• Puntos singulares:

f ' (x) =

( )

·( ) ·( ) ( )

x

e x e

x

e x

1 1

x – – xx

2 2

– – –

= +

f ' (x) = 0 x = –1 Punto: (–1, –e)

• Gráfica:

1 1

h) y = x 3 e x

• Su dominio de definición es

Á

.

• Ramas infinitas:

l mí 8

x + x 3 · e x = + ∞ ∞

l mí 8

x + x ex· x 3

= x8l mí+x 2 · e x = + ∞

La función tiene una rapa parabólica de crecimiento cada vez más rápido cuando x → + ∞.

l mí 8

xx 3 · e x = 0 → La recta y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → – ∞.

• Puntos singulares:

f ' (x) = (3x 2 + x 3) e x

(26)

f '' (–3) = (–27 + 54 – 18)e –3 = 9e –3 x = –3 es un mínimo relativo. f (–3) = –27e –3 ≈ –1,34

f '' (0) = 0 x = 0 es un punto de inflexión ya que la derivada segunda cambia de signo al pasar por él.

f (0) = 0

Los otros dos puntos de inflexión son: x1 = –3 + 3 y x2 = –3 – 3 . f (x1) = –0,57

f (x2) = –0,93

• Gráfica:

2 2

i) y = cos21 2 +x cosx

• El período de cos x es 2π y el de cos 2x es π. Por tanto, la función es periódica de período 2π. La estudiamos solo en este intervalo.

• Es derivable en todo

Á

(es suma de funciones derivables).

• Puntos singulares:

f ' (x) = –sen 2x – sen x = –2sen x · cos x – sen x = –sen x (2cos x + 1)

f ' (x) = 0 –sen x(2cos x + 1) = 0 cossen xx 0 2 1 – = =

sen x = 0

: , ,

8

π 8 π

x x

2 1

0 0 23

Punto – Punto:

=

= b

b l

l

cos x = – 21

, ,

π 8 π

π 8 π

x

x

3 2

3 3 43

3 2

4 3

4 4

Punto:

Punto: – – =

=

c c

m m

• Puntos de corte con los ejes:

— Con el eje Y x = 0 y = 23 → Punto: ,d0 23n

— Con el eje X y = 0 cos 2x + 2cos x = 0

cos2x sen x– 2 +2cosx=0

cos2x – –(1 cos2x)+2cosx=0 cos2x –1+cos2x+2cosx=0 2cos2x+2cosx–1 0=

cos x= –2±44 8+ coscosxx==0 366,1 366, (no vale)

cos x = 0,366 ,

,

x x

1 2 5 09 =

(27)

• Puntos de inflexión:

f '' (x) = –2cos 2x – cos x

f '' (x) = 0 → –2cos2xcosx=0

–2(cos2x sen x– 2 )–cosx=0 –2cos2x+2sen x2 –cosx=0 –2cos2x+2 1( –cos2x)–cosx=0 –2cos2x+2 2– cos2xcosx=0 –4cos2xcosx+ =2 0

cos x = ±1 1 328+ , , , ,

, , , ,

8 8

cos cos

x x x

x x x

0 843 2 57 3 71 0 593 0 94 5 35

1 2

3 4

= = =

= = =

Puntos: (2,57; –0,63); (3,71; –0,63); (0,94; 0,44); (5,35; 0,45)

• Gráfica:

π 2π

π

2 —32π 1

–1 2

j) y = ln x1

• Su dominio de definición es (0, + ∞) – {1} para que se pueda evaluar el logaritmo y no se produzca

una división entre 0.

• Ramas infinitas:

l mí 8

x + ln x1 = 0 → La recta y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → + ∞. l mí

8

x 0+ ln x1 = 0, ya que ln x – ∞ cuando x → 0+.

l mí 8

x 1 ln x1 = – ∞, l mx8í 1+ ln x1 = + ∞ → La recta x = 1 es una asíntota vertical.

• Puntos singulares:

f ' (x) =

(ln–1x/x)2 =– xln12x → No tiene puntos singulares ya que la derivada no se anula nunca.

La función decrece en los intervalos (0, 1) y (1, + ∞) ya que x · ln 2 x siempre es positivo en ambos. f '' (x) =

· ln

ln

x2 x 2+3x f '' (x) = 0 si ln x + 2 = 0 x = e

–2

La función tiene un punto de inflexión en de–2,–21n.

• Gráfica:

2 2

(28)

E

jercicios y problemas resueltos

Página 315

1. Del estudio a la gráfica (asíntotas horizontales y verticales)

Hazlo tú. Representa y = f (x):

Dom f =

Á

– {–2}; f es derivable en todo su dominio.

l mí

8

x f (x) = 1 + xl m8í+∞ f (x) = –1+ l mx8í–2– f (x) = + l mx8í–2+ f (x) = – f (0) = 0; f (7) = 0 f ' (x) = 0 x = 4; f (4) = 2; f '' (4) < 0

I) Por ser derivable en su dominio, es continua en él y no tiene puntos angulosos.

II) En x = –2 la función tiene una asíntota vertical y las tendencias nos dicen cómo se acerca a ella. La recta y = 1 es la asíntota horizontal cuando x → – ∞ y

se acerca a ella por encima.

Análogamente, la recta y = –1 es la asíntota horizontal cuando x → + ∞ y también se acerca por encima.

III) Corta al eje horizontal en los puntos (0, 0) y (7, 0).

El único extremo relativo está en el punto (4, 2) y, además, es un máximo.

2 4 6 8

–4 –6

–8 –2

4 6

2

–2 –4 –6

Y

X

2. Del estudio a la gráfica (simetrías y asíntotas oblicuas y verticales)

Hazlo tú. Representa y = f (x): Dom f =

Á

– {–2, 2}; función impar.

l mí

8

x + f (x) = – xl m8í+∞ ( ) x

f x = –1 l mí

8

x + [ f (x) – (–1) · x] = –1+ l mí

8

x 2– f (x) = + l mx8í 2+ f (x) = +f (3) = 0; f ' (x) = 0 x = 0; f (0) = 0

I) Por ser derivable en su dominio, es continua en él y no tiene puntos angulosos. II) Por ser impar, es simétrica respecto del origen de coordenadas.

La recta x = 2 es una asíntota vertical y, por simetría, también lo es la recta x = –2. Las tendencias en esta última asíntota se obtienen por simetría de las primeras. Por otra parte, la recta y = –x – 1 es la asíntota oblicua

cuando x → + ∞. De nuevo, por simetría, la recta y = –x + 1

es la asíntota oblicua cuando x → – ∞.

III) Corta al eje horizontal en los puntos (3, 0), (0, 0) y (–3, 0), siendo este último por simetría.

Finalmente, el punto (0, 0) es el único punto de tangente horizontal y, por las características de la curva, es un punto de inflexión.

2 4 6 8

–4 –6

–8 –2

4 6

2

–2 –4 –6

Y

(29)

Página 316

3. Representación de una función racional con asíntotas oblicuas

Hazlo tú. Representa la siguiente función: y =

(x–2) (x2 x–1) 3

• El dominio de definición es

Á

– {1, 2}.

• Ramas infinitas:

l mí 8

x + (x2) (x2 x1) 3

= 1 → La recta y = 1 es una asíntota horizontal cuando x → + ∞. Lo mismo ocurre cuando x → – ∞.

l mí 8

x 1 (x 2) (x2 x1) 3

= – ∞; l mí 8

x 1+ (x2) (x2 x1) 3

= + ∞

l mxí82

(x–2) (x2 x –1) 3

= + ∞ ya que, al estar x – 2 elevado al cuadrado, el signo del cociente no cambia al pasar de un lado al otro de 2 en sus proximidades.

Las rectas x = 1 y x = 2 son asíntotas verticales.

• Puntos singulares:

f ' (x) = '

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ( )( ) ( ) ]

x x x x x

x x x x x x x

2 1 2 1

3 2 1 2 2 1 2

– – – –

– – – – – –

2 3

4 2

2 2 3 2

= +

f p =

=

( ) ( )

( )( ) [ ( ) ( )]

( ) ( )

x x

x x x x x x

x x

x x

2 1

3 2 1 2 1 2

2 1

5 6

– –

– – – – –

– –

3 2

2 3

3 2

3 2

+ = +

f ' (x) = 0 –5x 3 + 6x 2 = 0 x = 0, x = 5 6

0 1 6

5 2

f ' < 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

f (0) = 0

f 56

5

6 2 56 1 5 6

2 27

– 2 –

3

= =

d d

d

d n

n n

n

2 4 6 8 10 12 14 16 18

–4 –6

–8 –2

4 8 10 12 14 16 18

6

2

(30)

4. Representación de una función racional con ramas parabólicas

Hazlo tú. Estudia el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los máximos y los mínimos para representar esta función:

y =

(xx–1)2 3

• El dominio de definición es

Á

– {1}.

• Ramas infinitas:

l mí8

x 1 (xx1)2 3

= + ∞

ya que, al estar x – 1 elevado al cuadrado, el signo del cociente siempre es positivo en las proximidades de 1. Luego, la recta x = 1 es la asíntota vertical de la función:

y =

(x x ) x (x )

x

1 2 1

3 2

– –

– 2

3

2

= + + → La recta y = x + 2 es la asíntota oblicua de la función.

• Puntos singulares:

f ' (x) =

( )

( ) · ( )

( ) ( )

( )

x

x x x x

x

x x x

x

x x

1

3 1 2 1

1

3 1 2

1 3 –

– – –

– – –

– – 4

2 2 3

3

2 3

3

3 2

= =

f ' (x) = 0 x 3 – 3x 2 = 0 x = 0, x = 3

0 1 3

f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

f (0) = 0 f (3) = 274

2 4 6 8

–4 –6

–8 –2

4 8 6

2

–2 –4 –6 –8

Página 317

5. Función con valor absoluto

Hazlo tú. Representa la siguiente función:

y = | x | – |x – 3 | + | x + 1 |

| x | = )– sixx si xx<00

–| x – 3 | = *– – –– –([ (x x3)3)] sisi xx<33 = )xx+33 sisi xx<33

Figure

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