PLAN DE LECTURA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

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PLAN DE LECTURA

MATEMÁTICAS APLICADAS

A LAS CIENCIAS SOCIALES I

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Lectura 1: Un poco de historia del álgebra

Matemáticas árabes en la Edad Media

El periodo de actividad matemática, durante tanto tiempo centrado en Alejandría, se desplaza. Desde el año 641 y durante muchísimos siglos, los matemáticos árabes serían los guardianes de la ciencia del mundo clásico así como innovadores matemáticos por propio derecho.

Por supuesto, la historia del Imperio Islámico comienza con la vida de Mahoma1. Mahoma nace aproximadamente en el año 570 en La Meca y muere en Medina en el año 632. Hijo de una familia de mercaderes, estuvo en contacto con los judíos y cristianos y conoció la Biblia. Le impresionó muchísimo la idea de una vida futura y comenzó a dar forma a una nueva religión, el Islam (sumisión a Dios), cuyos seguidores se llamarían musulmanes (creyentes).

Los pobres y esclavos de la Meca acogieron con esperanza las palabras del profeta, pero los ricos comerciantes temieron por sus negocios, que se desarrollaban en torno a las constantes peregrinaciones. Cuando Mahoma prohibió la adoración de ídolos, los dirigentes de La Meca rechazaron la nueva doctrina. Mahoma tuvo que huir a Medina. Esta huída, la Hégira- ocurrida el 16 de julio del año 622, marca la fecha utilizada por los musulmanes como punto de partida de su calendario. Mahoma se convertiría en jefe político y religioso de la cada vez más numerosa comunidad árabe-musulmana.

Mahoma predicando El Corán en La Meca

A la muerte de Mahoma en el 632, Arabia era ya, en su mayoría, musulmana. Sus sucesores tomaron el título de califa (sucesor del Enviado de Dios) e iniciaron la expansión territorial. Así, a mediados del siglo VII, Irak, Siria, Persia y Egipto habían sido ya conquistadas.

Mientras que se realizaban conquistas y el botín era abundante, los árabes se mantuvieron unidos. Pero interrumpida la conquista, la anarquía se extendió por todo el país. Con la llegado al califato de la familia Omaya, procedente de Siria, resurgió este afán expansivo. Los nuevos califas trasladaron la capital a Damasco, en Siria. Las conquistas Omeyas se dirigieron a tres puntos: por el Oeste, conquistaron el Norte de

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África, la península ibérica y Sicilia; por el Este, consiguieron llegar hasta la India y, por el Norte, se dirigieron hacia Bizancio2, que no pudieron conquistar.

En el 750, una revuelta iniciada en Persia expulsó a los Omeyas del califato. La nueva dinastía de los Abbasidas emprendió la reorganización del territorio y, bajo la influencia persa, el califato Abbasida se transformó en una monarquía oriental. Trasladaron la capital a Bagdad.

Pero el Imperio era demasiado grande para mantenerlo unido. Pronto hubo provincias que se independizaron, como la península ibérica (Al-Andalus) y Fez, aunque mantuvieron con el califato Abbasida la unidad religiosa.

De este modo, en el año 755 el estado islámico se escindió en dos partes, el reino occidental, con capital en Córdoba, y la oriental con capital en Bagdag. Conforme se iba extendiendo geográficamente, los científicos y maestros islámicos asimilaron ávidamente los conocimientos de las numerosas civilizaciones con las que entraron en contacto.

Entre estos conocimientos estaba el de las matemáticas de los hindúes, de las que surgió el sistema numérico “indoarábigo” o decimal. Este sistema era tan superior al de los romanos que ha relegado a este a las esferas de los relojes, fechas de derechos de autos y monumentos. Aunque sólo fuera por este logro, los árabes ya deberían ser recordados por mucho tiempo por haber promulgado este utilísimo sistema numérico, aunque rechazaran los números negativos ya conocidos por los hindúes.

Pero, por supuesto, los árabes hicieron muchas cosas más. A comienzos del siglo IX, comenzaron a traducir a los clásicos griegos y a producir comentarios auxiliares de estas obras.

Del 650 al 750 fue un desierto intelectual. De no ser por el despertar cultural de la civilización árabe durante la segunda mitad del siglo VIII, se habrían perdido gran cantidad de obras y conocimientos de ciencia y matemática. Como se comentó anteriormente, el Imperio Árabe estaba dividido en dos reinos con capitales en Bagdad y Córdoba. Las dos capitales atrajeron a científicos y apoyaron fuertemente su trabajo, si bien Bagdad fue la que realizó una labor más importante.

El centro de la actividad intelectual arábiga era, por tanto, Bagdag, en la actual Irak, donde se erigió “Bait Al-Hikma” o “la Casa de la Sabiduría”, una colmena de actividad científica que contaba entre sus miembros con una gran cantidad de astrónomos, matemáticos y traductores. El centro del mundo matemático- tras haber residido previamente en la Academia de Platón y en la Biblioteca de Alejandría- se había desplazado ahora a Bagdad, donde permanecería por un período muy largo de tiempo.

Los Califas Al-Mansur, Harun Al-Rasid y Al-Mamum convirtieron Bagdad en celtro de la cultura. Durante el reinado de Harun Al-Rasid, se tradujeron parte de la obra de Euclides, aunque fue durante el reinado de Al-Mamum (809-833) cuando se dieron rienda suelta a las traducciones.

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Dice la leyenda que Aristóteles se le apareció al Califa y a consecuencia de ello decidió traducir al árabe todas las obras griegas. Por esto, unas décadas más tarde de la traducción de Euclides, en el 827 se tradujo el clásico libro de Ptolomeo3, Syntaxis matemática, y muchas otras obras de Arquímedes, Aristóteles, Apolonio, Herón, Diofanto y otras obras de origen hindú. A imitación de Euclídes, esta obra de Ptolomeo constaba de 13 libros, entre ellos, varios sobre eclipses, el Sol, los planetas y las estrellas. Tolomeo también explicó con gran detalle su modelo del Sistema Solar, un modelo geocéntrico que satisfaría las necesidades de la ciencia y del ego del hombre durante 1400 años hasta la llegada del pensador polaco Copérnico. Los árabes tenían la obra de Tolomeo en tan alta estima que la llamaron Al magiste – las más grande, en árabe- y por ello lo conocemos hoy con el nombre de Almagesto.

Se discute acerca de las verdaderas contribuciones de los matemáticos árabes. Por una parte, aunque estudiaron las obras de gigantes como Euclides y Arquímedes, nunca duplicaron las glorias de éstos. En ninguna parte de las obras árabes encontramos trabajos del tipo de los saltos cuánticos en el conocimiento matemático como los operados por los maestros griegos. En particular, los árabes, sencillamente, no consideraban la demostración como el núcleo básico de las matemáticas y, en ese sentido, imitaban a las civilizaciones prehelénicas. Debido a que los matemáticos islámicos ponían un énfasis menos en demostrar sus resultados de forma completamente general, no aparece en sus obras ningún gran teorema. Por otra parte, los matemáticos árabes popularizaron un sistema de numeración tremendamente útil y contribuyeron de manera importante a resolver ecuaciones de varios grados: fueron guardianes de los tesoros intelectuales del mundo durante muchos siglos. Sin este gran servicio, gran parte de nuestros conocimientos de la cultura clásica en general, y de las matemáticas clásicas en particular, podrían haberse perdido para siempre.

Finalmente, los árabes cederían su custodia de Euclides y Arquímedes, y sus obras pasarían a Europa de nuevo. Un impulso fundamental en este sentido fue, por supuesto, el conjunto de Cruzadas desde finales del siglo XI hasta mediados del siglo XII, en las que el relativamente atrasado Occidente Cristiano entró en contacto con el relativamente más refinado Este Islámico. Los europeos fracasaron en su intento de arrebatar Tierra Santa del dominio musulmán pero volvieron impresionados del alto nivel de educación que tenían sus enemigos.

Quizá mayor importancia tuvieron las conquistas por los cristianos de España y Sicilia. La gran ciudad española de Toledo cayó en manos cristianas el 1085 y Sicilia unos años después. Cuando los europeos conquistaron estos territorios, encontraron los libros y documentos de sus vencidos enemigos. Con un mundo de conocimiento inimaginable a su alcance y la capacidad de estudiarlos con tranquilidad, los europeos comenzaron a descubrir la cultura no sólo de sus enemigos árabes sino también de sus antepasados clásicos.

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El impacto de estos clásicos- las obras de Platón, Aristóteles y Euclides- se sintió fuertemente en las nacientes Universidades de Italia. La primera de ellas se fundó en Bolonia en 1088 y siguieron pronto otras en Nápoles y Milán. A lo largo de los cien o doscientos años siguientes el clima intelectual en Italia se elevó de sus profundidades medievales hasta las alturas de lo que hoy llamamos Renacimiento.

Después de leer y asimilar las obras, los árabes se dedicaron a mejorarlas e intreoducir comentarios en ellas. En este proceso surgen grandes científicos y matemáticos como Abu Ja´far Muhamad ibn Musa Al-Khawarizmi (nacido el 780a.C en Khawarizmi, actual Uzbekistán y fallecido el 850 a.C. en Bagdag, actual Irak). Tomando prestados del Este y del Oeste- esto es, del matemático hindú Brahmagupta (598) y de los griegos- Al-Khawarizmi produjo un tratado de álgebra y aritmética que iba a tener una influencia enorme. En él, presentó la solución no sólo de las ecuaciones lineales, sino también de las cuadráticas. Esto es, para la ecuación de segundo grado

0

2   

c bx

ax , las soluciones vienen dadas por:

a ac b

b x

2 4

2 

  

La presentación de este resultado fue totalmente oral, sin el simbolismo algebraico conciso que utilizamos hoy. Pero si Al-Khawarizmi no dotó al álgebra de sus símbolos, sí le dio su nombre, o al menos, indirectamente. Su principal obra se titulaba Hisab al-jabr w’al muqabalah4 (publicado en el 830). Cuando se tradujo al latín, cuatro siglos después, apareció con el título “Ludus algebrae et almucgrabalaeque )juegos de restauración y simplificación)”, fijándose finalmente el término álgebra.

En el prólogo del libro, Al-Khawarizmi nos indica que el califa Al-Mamum le anima a :

“componer una obra breve sobre el Cálculo por las reglas de la Completación y de Reducción, limitándose a lo que es a la vez más fácil y más útil en la aritmética, y tal como lo que los hombres necesitan constantemente en los casos de herencias, legados, particiones, pleitos, así como en el comercio y en todas sus relaciones unos con otros, o

donde se necesitan mediciones de tierras, excavaciones de canales, cálculos geométricos y otros asuntos de muy diversos tipos.”

El libro se inicia con una introducción sobre la notación posicional para los números y expone, en seis capítulos, la solución de los seis tipos de ecuaciones considerando la presencia de los tipos de cantidades: Tesoro (cuadrados), raíces y números (x2,x,números). Así, se obtienen las siguientes ecuaciones:

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Tesoro igual a raíces ax2 bx

Tesoro igual a números ax2 c

Raíces igual a números bxc

Tesoros y raíces igual a números ax2bxc

Tesoro y números igual a raíces ax2cbx

Tesoro igual a raíces y números ax2 bxc

donde a, b y c son siempre positivos. En su trabajo evita los números negativos en solitario y la sustracción de cantidades mayores que el minuendo. Al-Khawarizmi reconoce que una ecuación cuadrática puede tener dos raíces, pero da solamente las que son reales y positivas, aunque sean irracionales. Las soluciones están formuladas en forma de recetas orientadas a completar los cuadrados y aplicados a ejemplos concretos. De hecho, las fórmulas se justifican mediante construcciones geométricas. Veamos, a continuación, la forma de resolver un tipo de ecuación de segundo grado propuestas por Al-Khwarizmi: x210x 39.

Debes tomar la mitad del número de raíces, esto es, cinco, y multiplicarlo por sí mismo, 25, al que le sumas el número 39, con resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es ocho y le restas la mitad de las raíces y obtienes tres, que es el valor

buscado.

En notación moderna tendríamos:

2 10 39 2 10 2         

x , que se corresponde para una

ecuación, en general, de la forma x2  pxq.5

Al-Khawarizmi aporta, además, una justificación geométrica en la que para resolver esta ecuación identifica 2

x con un cuadrado unido a un rectángulo de altura x y base 10, formando una figura de área total 39.

Continúa con la división del rectángulo en dos partes iguales, de base 5 cada una. Trasladando y girando 90º:

5 La ecuación se transformaría en

4 2 1 4 2 1 4 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 p q p x p q p x p q p px

x       

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Completando ésta con un cuadrado de lado 5, tendríamos una figura en la cual el área total es de 39+25=64 unidades y que también es cuadrado de x+5. Pero como su área es 64 unidades, el lado debe ser ocho y, por tanto, x debe ser tres. En este caso, aunque Al-Khawarizmi es consciente de que la solución -7 también es posible, no la contempla al ser negativa.

Otro ejemplo interesante es la resolución del quinto caso: x22110x .

“Divide 10 en dos partes, multiplícala cada parte por sí misma, sumas y obtendrás 58 dirhams. ”

La solución que expone al problema es el siguiente:

“Llamamos a una de las partes x, la otra 10-x, que multiplicada por sí misma dará x

x 20

100 2 

. Multiplicando x por x tendrás 2.

x Súmalas y obtendrás 1002x2 20x , 58 dirhams. Enriquece los 1002x2 del 20x deficiente que añadirás a los 58, obteniendo 1002x2,20x58. Devuelve esto a un único x2, lo que harás tomando la mitad de todo lo que tienes, obteniendo 50x2,2910x. Haz el equilibrio aquí dentro, es decir, quita de los cincuenta los 29, y se quedará 21x2,10x. Debes tomar la mitad del número de las raíces, en este caso cinco, multiplícalo por sí mismo, obtienes 25 al que debes restar los números, en este caso 21, obteniendo cuatro. Extrae la raíz cuadrada que es dos y lo restas del número de la mitad de las raíces, que era cinco, y obtienes tres que es la solución. Si deseas puedes también sumar ese valor 2 a la mitad de las raíces que es 5 y obtienes 7, que también es solución. Cuando un problema está dado en esta forma, puedes ensayar con la adición. Si no resulta, es indudable que resultará con la sustracción. Este es el único caso en que hay que tomar la mitad de las raíces, y que puede ofrecer solución por adición o sutracción.”

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Si observamos este procedimiento de forma geométrica, vemos que la solución para este problema es el siguiente: Suponemos que 2

x es un cuadrado de lado desconocido x y añadimos un rectángulo de la misma altura y base indeterminada pero con área 21.

Al ser igual que 10x, como la altura de la figura es x, entonces la base debe ser 10, por lo que divide esta base por la mitad y levanta el cuadrado con este lado.

Ahora, resta un cuadrado desde la parte superior del cuadrado de lado 5 y las áreas sombreadas serán iguales.

Por lo tanto, el área sombreada de la siguiente figura también es 21. 21

10x

10x 21 5

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Pero el área del cuadrado grande era 25, por lo que el área del cuadrado más pequeño es 221=4, de donde su lado es 2 y, por tanto, x que es la altura del rectángulo, mide 5-2=3. Utilizando un dibujo parecido, Al-Khawarizmi encuentra la otra solución positiva x=7.

Entre otros libros interesantes de Al-Khawarizmi, caben destacar:

Algoritmi de numero Indorum, del que sólo se conserva una traducción al latín. Habla sobre el funcionamiento del sistema decimal de numeración y del cero que se usaba en la India.

Sindhind zij, sobre astronomía. Basado en los trabajos hindúes sobre astronomía, expone calendarios, cálculos correctos sobre la posición del Sol, la Luna y varios planetas, tablas de senos y tangentes, astronomía esférica, tablas astrológicas, cálculos de eclipses, visibilidad de la Luna…

Aparte, también escribió sobre geografía, dando latitudes y longitudes de 2402 localizaciones en todo el mundo: ciudades, montañas, mares, islas, ríos…

El Renacimiento matemático

Antes de empezar:

 ¿Qué es una ecuación?

 ¿Qué forma tiene una ecuación de segundo grado? ¿Y de tercer grado? ¿Y de cuarto grado?

 ¿Recuerdas cómo se resuelven estas ecuaciones?

Sin duda, las últimas décadas del siglo XV marcan un periodo de efervescencia intelectual en Europa. Claramente, la civilización occidental se había despertado del letargo de la Edad Media. Johannes Gutenberg6 había inventado la imprenta en 1450, de manera que los libros estaban a un alcance como nunca antes se había conocido. Por otro lado, las Universidades de Bolonia, París, Oxford y de otras ciudades se habían convertido en legítimos centros de educación y ciencia superiores. En Italia, Rafael y Miguel Ángel iniciaban sus extraordinarias carreras artísticas mientras que Leonardo da Vinci, se erigiría como el típico hombre representante del Renacimiento.

Johannes Gutenberg

Y no sólo se extendían los horizontes intelectuales. En 1492, Cristóbal Colón, un genovés, había descubierto un nuevo mundo lejos, a la otra orilla del Atlántico. Más

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que otra cosa, este descubrimiento de las Américas fue la demostración de que la civilización de la época podía extender las fronteras del conocimiento más allá incluso del glorioso legado del mundo clásico. Al terminarse el siglo XV, no había duda de que Europa pisaba el umbral de grandes acontecimientos. Y así ocurrió también en matemáticas.

Sin embargo, para las gentes del siglo XV y XVI, las matemáticas clásicas eran una materia fuertemente esotérica, accesible sólo a aquellos que contaban con un alto grado de entrenamiento previo, y por lo tanto la divulgación de los tratados griegos sobre estos temas no fue muy grande. Tan sólo exceptuaba la parte más elemental de los Elementos de Euclides. Por otro lado, los estudios latinos medievales sobre geometría elemental y la teoría de proporciones, así como las contribuciones árabes a la teoría de las operaciones aritméticas y de los métodos algebraicos, no presentaban evidentemente dificultades comparables con las que tenían las obras de Arquímedes o Apolonio. De este modo, las ramas más elementales de las matemáticas fueron el centro de atención general.

Regiomontano y Luca Pacioli

Johann Müller (1436-1476), matemático y astrónomo alemán, también conocido como Regiomontano7, estudió en las universidades de Leizpig (ingresó con 11 años) y Viena, y estuvo en Italia, donde aprendió griego y se familiarizó con las corrientes científicas y filosóficas del momento.

A su regreso a Alemania, instaló una imprenta y un observatorio en Nuremberg, con el objeto de promover el interés por la ciencia y la literatura. Tenía la intención de imprimir traducciones de las obras de Arquímedes, Apolonio, Herón y Ptolomeo, entre otros científicos, aunque su muerte prematura truncara su proyecto. La obra de Regiomontano comienza con la reedición del Almagesto de Ptolomeo, ya que consideraba que necesitaba de una nueva adaptación y limpieza de las aberraciones introducidas por la traducción realizada hasta el momento de las lenguas árabes. Este proyecto dio lugar a varias obras:

Epítome del Almagesto, al que le pone un gran énfasis en la parte matemática de la obra, que era lo que se omitía casi siempre.

De triangulis omnimodis, escrito hacia el año 1464, donde se exponen de manera sistemática los métodos de resolución de triángulos que marcó el verdadero renacimiento de la trigonometría. En él, comienza con una exposición de los conceptos fundamentales sobre magnitudes y razones, inspirado en Euclides, para después exponer más de 50 proposiciones que tratan de la resolución de triángulos basándose en las propiedades de los triángulos rectángulos. Entre las novedades que encontramos en este libro, está el uso de “fórmulas” para el área, aunque escritas con palabras del lenguaje ordinario, aunque desmerece un poco la función tangente.

Tabulae directionum. Las sucesivas revisiones de la obra de Ptolomeo habían puesto de manifiesto la necesidad de nuevas tablas de funciones

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trigonométricas y a calcularlas se dedicaron un cierto número de astrónomos del siglo XV, entre los que se contaba Regiomontano. Para evitar el uso de fracciones se acostumbraba, ya desde la antigüedad, adoptar como radio del círculo básico un valor grande, que recibía el nombre de sinus totus. En una de sus tablas Regiomontano sigue a sus predecesores inmediatos utilizando un radio de 600000 unidades, mientras que para otras adoptó los valores de 10000000 o de 600000000. En estas tablas sí incluiría la función tangente. Como se comentó con anterioridad, la muerte de Regiomontano fue muy prematura. Hay dos hipótesis sobre dicha muerte. Según la primera de ellas, Regiomontanus había anunciado que él mismo publicaría un trabajo que demostraría el poco valor de las opiniones de un colega suyo denominado George de Trebizond en el que demostraría como sus trabajos sobre Ptolomeo no sólo habían sido inútiles sino que, además, estaban llenos de fallos. Este y los rumores circulados a este efecto, fueron considerados tal vez suficiente motivo para el asesinato de Regiomontano por los dos hijos de George Trebizond.

La otra versión es mucho más probable y cuenta que tras el desbordamiento del Tíber en enero de 1476 hubo un brote epidémico que podría haber acabado en una plaga y que tuviera a Regiomontanus como una de sus víctimas.

En 1494, el franciscano italiano Luca Pacioli (1445-1509) publicó un libro titulado “Summa de aritmética, geometria, proportioni et proportionalita”. En él, Pacioli trataba las matemáticas usuales de su tiempo: operaciones con números y aritmética comercial, con numerosos ejemplos, y con un especial énfasis en la resolución de las ecuaciones de primer y segundo grados. Esta obra acabó con los tratados de ábaco de manera definitiva. Su influencia fue tremenda y las razones habría que buscarlas en el hecho de que fue impresa, lo que facilitó su difusión, y que lo fue en lengua vulgar, en italiano y no en latín, facilitando el acceso a lectores que no conocían otra lengua que la propia. Curiosamente, coqueteaba con un álgebra simbólica rudimentaria utilizando co para indicar la incógnita de sus ecuaciones. Era la abreviatura de cosa- esto es, la cosa que había que determinar-. Esto pasaba un siglo o algo más antes de que el álgebra desarrollara su sistema simbólico que conocemos hoy, pero la Summa de Arithmetica había dado un primer paso en esta dirección. Compiló todos los conocimientos del álgebra de los siglos anteriores en una sola obra de carácter enciclopédico y de más de 600 páginas. De hecho, se convirtió en lectura básica para los algebristas del siglo XVI, que apoyadas en ella, pudieron hacer nuevos descubrimientos.

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Cuboctaedro romboidal: primera ilustración del “De Divina Proportione” Leonardo Da Vinci

La opinión de Pacioli sobre la ecuación cúbica- una ecuación de la forma 0

2

3   

d cx bx

ax - era francamente pesimista. No tenía idea de cómo resolver la ecuación cúbica general y expresaba su convencimiento de que era imposible su resolución, en el estado de las matemáticas de entonces, de la misma forma que era imposible la cuadratura del círculo. Esta observación, en realidad un desafío arrojado a la comunidad matemática italiana, sienta las bases del extraordinario relato que rodea a un gran teorema: los algebristas italianos del siglo XVI y su búsqueda de la solución de la ecuación cúbica.

Luca Pacioli demostrando un teorema de Euclides Jacobo de Babari- Museo de Capidomonte, Nápoles-

Las necesidades prácticas y científicas del siglo XVI (descubrimientos geográficos, avances en astronomía y cartografía, avance tecnológico…) impulsan el desarrollo de la aritmética y del álgebra. A partir de 1545, fecha de publicación del Ars Magna de Cardano, se puede considerar que el Álgebra, como teoría de la resolución de ecuaciones algebraicas, es una rama autónoma de las matemáticas. En los 70 años que van de 1480 a 1550 el álgebra se constituye como una nueva rama de las matemáticas que es la primera manifestación de la corriente de ideas que cristalizará en la Revolución Científica. Entre 1580 y 1590 se generaliza y difunde el uso de la coma y cifras decimales, lo que es de especial importancia para la ampliación del concepto de número. El álgebra como complemento de la aritmética comercial. Las características más notables de las matemáticas de la época son: - Los métodos algebraicos se conciben como herramientas para la resolución

general de los problemas. Se traducen los problemas al lenguaje algebraico y se desarrolla el cálculo formal (literal) en detrimento de las justificaciones geométricas.

- Algebrización de los problemas de geometría plana. Aplicación sistemática del álgebra a problemas de geometría.

- Utilización del álgebra no para resolver problemas específicos, sino generales. Los métodos generales son en sí mismos objetos de estudio. Este esfuerzo culmina en 1545 con el Ars Magna de Cardano.

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n mx

x3  

Los italianos del Renacimiento decían a propósito de esta ecuación, por razones obvias, que el cubo y la cosa son el mismo número. Aunque sólo había podido resolver esta clase particular de ecuación, el avance algebraico de Del Ferro fue importante, y se hubiera pensado que habría propagado su triunfo a lo ancho y largo de Italia. De hecho, no hizo nada semejante, sino que mantuvo en absoluto secreto su solución de la ecuación.

Para entender este comportamiento, debemos considerar la naturaleza de la Universidad renacentista. En ella, los nombramientos académicos no estaban seguros en absoluto. Además del patronazgo e influencias políticas, la continuidad en el puesto dependía de la capacidad de salir victorioso en los desafíos públicos que podían surgir de cualquier parte en cualquier momento. Los matemáticos como Del Ferro debían estar siempre preparados para librar batallas académicas con sus retadores, y las consecuencias de una humillación pública podían ser desastrosas para una carrera académica.

Así, un nuevo descubrimiento importante podía convertirse en un arma poderosa. Si un oponente aparecía con una lista de problemas a resolver, Del Ferro podía contraatacar con una lista de ecuaciones cúbicas disminuidas. Aunque Del Ferro se viera sorprendido por algunos problemas de su retador, podía confiar en que sus ecuaciones cúbicas, desconcertando a todos menos a él, iban a garantizar la caída de su infortunado adversario.

Escipión aparentemente hizo muy bien en guardar en secreto su solución durante toda su vida y sólo en su lecho de muerte se la confió a su discípulo Antonio de Fior (1506-¿?), el cual lanzó apresuradamente una ofensiva en 1535 retando al conocido científico de Brescia Niccolo Fontana (1499-1557).

Nicola Fontana (Tartaglia)

Una desgraciada calamidad había marcado desde su infancia la vida de Fontana. Durante el ataque de los franceses a su ciudad natal, Brescia en Italia, en 1512, un soldado, espada en mano, había infligido una herida salvaje y cortante en el rostro del joven Niccolo. Según la leyenda, el muchacho sobrevivió sólo porque un perro le lamió el horrible corte. Pero si los efectos medicinales de la saliva canica le salvaron la vida, no pudieron hacer lo mismo con su habla. Tan desfigurado quedó Niccolo Fontana, que ya no pudo hablar con claridad. El Tartaglia- el tartajoso- se convirtió en su cruel apodo, por el que hoy es más conocido.

A pesar de estas deformidades físicas, Tartaglia fue un matemático dotado8. De suyo, presumía de poder resolver ecuaciones cúbicas de la forma x3mx2 n- ecuaciones cúbicas sin el término lineal-, aunque De Fior dudaba de que Tartaglia dispusiera de un método para ello. Cuando le llegó el reto de De Fior, Tartaglia le

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envió una lista de 30 problemas que cubrían varios campos matemáticos. En respuesta, De Fior había suministrado una lista de 30 “ecuaciones cúbicas disminuidas” que debía resolver en cuarenta días y, de esa forma, puso a Tartaglia en un gran aprieto. Claramente, De Fior se lo jugaba todo a una carta; Tartaglia podía ganar o perder po un tanteo de 30 a 0, dependiendo de si encontraba o no la forma de resolverlas.

Por supuesto, Tartaglia inició un ataque angustioso y sin pausa a las ecuaciones cúbicas. Su frustración iba en aumento conforme iba pasando el tiempo y el día final fijado se acercaba inexorablemente. Entonces, la noche del 13 de febrero de 1535, con el tiempo casi agotado, Tartaglia descubrió la solución. Sus intensos esfuerzos habían dado sus frutos. Ahora podía resolver todos los problemas de de Fior con facilidad, mientras que su retador, menos dotado, tuvo una actuación decepcionante. En un gran acto público, Tartaglia venció brillantemente. Su recompensa consistía en 30 opíparos banquetes pagados por el infeliz De Fior, aunque Tartaglia exoneró a su oponente del compromiso. Lo que De Fior se ahorró en dinero debió ser muy poco valor comparado con la desgracia que había sufrido.

Nicolo Fontana o Tartaglia, publica Questi, et inventione diverse, una obra de 9 tomos que toca una gran diversidad de temas y cuyo último tomo dedica a problemas de aritmética, geometría y álgebra, acompañándolo de referencias históricas que han permitido reconstruir el proceso de descubrimiento de las soluciones de las ecuaciones cúbicas.

Dice Tartaglia, en el Questi XIV del libro noveno, que Zuanne de Coi (profesor de Brescia, en Italia) le propuso resolver dos ecuaciones que conducían a ecuaciones cúbicas:

“Encontrar un número el cual multiplicado por su raíz más tres, me resulte 5. Por otra parte, encontradme tres números con la condición de que el segundo sea dos más que el primero, que el tercero sea también dos más que el segundo y que multiplicados el primero por el segundo y este producto por el tercero de 1000”.

El primer problema, en lenguaje actual, si x2 es el número y x su raíz, se escribiría 5

) 3 (

2  

x

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Gerolamo Cardano

Llega el momento de hablar de uno de los personajes más excéntricos de toda la historia de las matemáticas: el milanés Gerolamo Cardano (1501-1576), el cual se había enterado del reto entre Tartaglia y De Fior y quería conocer de las maravillosas técnicas de Tartaglia.

Cardano escribió su propia biografía “De Vita Propia Liber” )El libro de mi vida), en 1575. Este libro está lleno de recuerdos, rutinas y supersticiones de Cardano, sin contar con una rica variedad de anécdotas sumamente peculiares. Más que otras biografías, la de Cardano debe considerarse críticamente aunque nos permite una mirada reveladora acerca de su turbulenta vida.

Cardano empieza con una breve discusión de sus antepasados. Su árbol genealógico incluye al Papa Celestino IV y dice de uno de sus primos lejanos, Angiolo, que a la edad de 80 años:

“engendró hijos- débiles, como correspondía a la senectud de su padre-… El mayor de ellos ha llegado hasta los setenta y me dicen que algunos de sus hijos han sido gigantes. ”

Luego, en un capítulo titulado “Mi nacimiento”, Cardano revela que “aunque ensayaran en vano contra él varias medicinas abortivas- según he oído-“, sobrevivió para ser “literalmente arrancado del vientre de mi madre”. Esta experiencia le dejó casi muerto y fue necesario un baño de vino caliente para devolver a la vida al infante Gerolamo. Parece ser que Cardano fue hijo ilegítimo, lo que explicaría su llegada indeseada y este estigma social jugaría un papel clave en la historia de su vida.

Con este comienzo tan agitado, no es sorprendente que Cardano tuviera toda clase de defectos físicos a lo largo de su vida. En su autobiografía, nunca duda en describir estas aflicciones, con frecuencia con todos los detalles, aunque sean molestos. Habla de fuertes palpitaciones, de fluidos que le salen del estómago y del pecho, de hernias y almorranas, sin que falte una enfermedad caracterizada por “una gran descarga de orina”, unas 100 onzas diarias (unos 4.5 litros). Cuenta su pánico a los lugares altos y a los lugares en los que se han visto perros enloquecidos. Experimentó impotencia sexual durante años, hasta justo antes de casarse (ciertamente un caso de perfectamente sincronización). Para Cardano no era raro pasarse ocho noches seguidas sin dormir. En estas ocasiones poco podía hacer sino “levantarse, dar vueltas alrededor de la cama y contar hasta mil muchas veces”.

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“Había elaborado un plan para morderme los labios, retorcer mis dedos o pincharme la piel de los músculos tiernos de mi brazo izquierdo hasta que se me saltaban las lágrimas. ”

Una débil salud física y mental no fue su único problema. Tras conseguir una notas excelentes en la Universidad de Padua en sus estudios de medicina, se le denegó el permiso para ejercer de médico en su ciudad natal de Milán. Este rechazo pudo deberse a su supuesta ilegitimidad o a su irritante personalidad, pero, fuera cual fuera la causa, marcó uno de los momentos más bajos de su vida de altibajos. Rechazado por Milán, Cardano se trasladó a la pequeña ciudad de Sacco, cerca de Padua, donde ejerció de médico rural. Una noche en Sacco soñó con una bella mujer vestida de blanco. Como daba mucha importancia al sentido de los sueños, se vio fuertemente afectado cuando, un tiempo después, encontró a una mujer que encajaba con la descripción de la que había soñado. Se desesperó al no poder cortejarla:

“Si yo, un pobre hombre, me caso con una mujer cuya única dote es una tropa de hermanos y hermanas que dependen de ella, voy aviado. ¡Pero si a duras penas tengo que pagar para vivir! Si intentara raptarla o seducirla, caería toda la justicia sobre mí…”

Sin embargo, su amor hizo imposible que no se produjera el matrimonio. En 1531, se casó con Lucía Bandarini, la mujer de sus sueños.

Tal era su creencia en los sueños y en la videncia (predecía el futuro a partir de las tormentas), que afirmaba tener un espíritu protector o ángel de la guarda con el cual tenida animadas conversaciones:

“Está escrito que espírutus guardianes o servidores han favorecido continuamente a ciertas personas- Sócrates, Plotino, Sinesio, Dión, Flavio Josefo-, entre los cuales me incluyo. Todos ellos con seguridad, vivieron felices, salvo Sócrates y yo…”

Otro de sus intereses a lo largo de su vida fue el juego (afirmaba jugar al ajedrez y a los dados todos los días). Cardano se entregaba regularmente a los juegos de azar, en los que con frecuencia ganaba grandes sumas que complementaban su salario. Afortunadamente Cardano sometió este vicio a examen científico. El libro resultante “Libro sobre los juegos de azar” publicado póstumamente en 1663, fue el primer tratado serio sobre la probabilidad matemática.

Y de esta manera, pronunciando horóscopos, jugando a todas horas y creando una familia, Cardano vivió en Sacco de 1526 a 1532. Pero no disfrutaba de la atmósfera pueblerina, por lo que volvió con su esposa Lucía y su hijo Giambattista a Milán, con la prohibición aún de ejercer la medicina.

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En particular, en 1536 publicó un memorial denunciando las prácticas corruptas e inadecuadas de los médicos italianos. Este trabajo, claro está, fue rechazado por la comunidad médica, pero muy bien acogido por el público, por lo que Cardano no pudo ser mantenido lejos del ejercicio de la medicina por más tiempo. De esta manera, el Colegio Médico de Milán lo aceptó, a regañadientes, en su seno en 1539 y pronto alcanzó la cúspide de su profesión: trató al Papa y viajó a Escocia para cuidar del Arzobispo de St. Andrew.

Sus días de triunfo no iban a durar mucho, pues pronto aparecieron tragedias personales. En 1546 murió su mujer a la edad de 31 años, dejando a Cardano con dos hijos y una hija. De ellos, el hijo mayor, Giambattista, era la alegría y la esperanza de su padre. El muchacho era muy brillante y sacó su carrera de médico en Pavía, y parecía seguir los pasos de la carrera de su padre.

Pero el desastre le golpeó otra vez en forma de “mujer salvaje” )según palabras de Cardano). Relata que la noche del 20 de diciembre de 1557:

“… cuando el sueño estaba a punto de vencerme, me pareció que mi lecho temblaba repentinamente, y con él todo mi dormitorio. ”

A la mañana siguiente, Cardano supo que nadie había sentido ese terremoto nocturno, lo que Cardano tomó como un mal presagio. Tan pronto había llegado a esta conclusión, su criado le trajo la inesperada noticia de que Giambattista se hacía casado con una mujer “sin ninguna dote y sin recomendación”.

La mujer de Giambattista dio a luz a tres hijos, ninguno de los cuales era de su marido. Tamaña infidelidad, abiertamente provocadora, llevó al joven al borde de una crisis nerviosa. En venganza, le preparó un pastel relleno de arsénico, que funcionó demasiado bien, por lo que Giambattista fue detenido por asesinato. Los esfuerzos incansables de Cardano sirvieron de poco y su amado hijo fue declarado culpable y decapitado a primeros de abril de 1560.

Desesperado, perdió sus amigos, su carrera y las ganas de vivir. Además, su otro hijo, Aldo, se convirtió en un delincuente y Cardano, de hecho, “se vio obligado a que lo encarcelaran más de una vez”.

En 1562, Cardano abandonó Milán y aceptó un puesto de profesor de medicina en la Universidad de Bolonia. Con él se llevó a Fazio, hijo de Giambattista, con el que desarrolló una fuerte relación que le dio a Cardano una alegría que sus hijos no fueron capaces de darle.

Pero el joven y la nueva ciudad no dieron la tranquilidad esperada a Cardano. En 1570 fue detenido y encarcelado por hereje. En aquella época, por supuesto, la Iglesia en Italia había optado por una línea dura contra la heterodoxia de la Reforma, y no se sentía a gusto, ciertamente, con el horóscopo de Jesús que pronunciaba Cardano o con el libro de éste, “En alabanza de Nerón”, sobre el odiado emperador romano perseguidor de los cristianos.

(18)

amigos y a la suavidad de la Iglesia, Cardano salió pronto de la cárcel, marchó a Roma y, de alguna manera, consiguió una pensión papal. Así, resucitado y acompañado por su nieto, Cardano pasó sus últimos años, hasta que murió con tranquilidad el 20 de septiembre de 1576.

Cardano fue extraordinariamente prolífico. Sus obras completas reúnen 7000 páginas y abarcan un conjunto impresionante de temas científicos y de otras materias. Sin embargo, aunque uno de sus pies se asienta en un mundo moderno y racional, el otro pisa firmemente en la irracionalidad supersticiosa del medievo. Cardano tuvo un papel destacado en la resolución de la ecuación cúbica. Ya sabemos que en 1535 Tartaglia había derrotado a Antonio de Fior al descubrir la solución de una clase de ecuaciones cúbicas. Cardano estaba muy intrigado, y en repetidas veces escribió a Tartaglia pidiéndole la solución. Tartaglia rechazó compartir la solución en cada carta y prometió escribir un libro sobre el tema cuando considerase oportuno. Inicialmente, Cardano reaccionó airado pero al final consiguió convencer a Tartaglia para que fuera a Milán como su invitado. Allí, el 25 de marzo de 1539, Tartaglia reveló el secreto de la ecuación cúbica disminuida a Cardano quién pronunció el siguiente solemne juramento:

“Juro por los Santos Evangelios y por mi fe de caballero no hacer públicos tus descubrimientos, si me lo cuentas; asimismo prometo y garantizo por mi fe de verdadero cristiano escribirlos en clave de forma que tras mi muerte nadie sea capaz de comprenderlos…”

Aparece, entonces, un nuevo personaje en escena: Ludovico Ferrari (1522-1565), que se presentó a Cardano en busca de trabajo. Cardano había tenido ese mismo día un buen presagio en el incesante graznido de una urraca y, por ello, aceptó gustoso al muchacho como criado. Pronto se vio claro que el joven Ludovico era de una precocidad extraordinaria. Su relación pasó rápidamente de la de un amo/criado a la de un maestro / discípulo y, posteriormente, antes de que Ferrari cumpliera los 20 años, de colega / colega. Cardano compartió el secreto de Tartaglia con su brillante protegido y los dos juntos hicieron sorprendentes progresos. Por ejemplo, Cardano descubrió la solución de la ecuación cúbica general: 3 2  0

d cx bx

x , en la

que los coeficientes b, c o d podían ser o no ceros. Desgraciadamente, el trabajo de Cardano se basaba en reducir la ecuación cúbica general a una forma disminuida y, en consecuencia, quebrantaba la garantía de secreto que le había dado a Tartaglia. Mientras tanto, Ferrari logró encontrar una técnica para resolver la ecuación polinómica de cuarto grado. Este era un gran descubrimiento en álgebra, pero dependía de la reducción de la ecuación de cuarto grado a una ecuación cúbica la cual estaba relacionada al juramento de Cardano. Esto impidió también su publicación.

(19)

Así, en 1545, aparece la pieza maestra de Cardano, “Ars Magna”. Para él, el álgebra era el “Gran arte”, y el libro representó un avance sobrecogedor respecto a lo que se conocía previamente. Sus 40 capítulos comienzan con temas algebraicos sencillos, pero en el capítulo XI titulado “acerca de la igualdad del cubo y de la primera potencia con el número”, pudo por fin el mundo contemporáneo contemplar la solución de la ecuación cúbica:

“Escipión del Ferro, de Bolonia, hace casi treinta años descubrió esta regla y la transmitió a Antonio María de Fior, de Venecia, cuya disputa pública con Niccolo Tartaglia de Brescia proporcionó a este la oportunidad de descubrirla.

En respuesta de mis requerimientos, Tartaglia me la comunicó, pero omitiendo la demostración. Armado con esta ayuda, busqué su demostración de varias maneras, lo cual me resultó muy difícil.”

Cardano reconocía su deuda a quién debía, lo cual satisfizo a todos menos a Tartaglia. Éste, por el contrario, bramó con furia contra el engaño y la traición de Cardano. A los ojos de Tartaglia, Cardano había violado un sagrado juramento, garantizado por su fe de “verdadero cristiano”. Las acusaciones que manaron de la pluma de Tartaglia no fueron respondidas por Cardano, sino por Ferraro. Este último era famoso por su temperamento apasionado (había perdido unos cuantos dedos de una mano en una pelea), y replicó con vehemencia. Cartas acusadoras e inflamadas volaron entre Brescia y Milán. En 1547, por ejemplo, Ferrari tronaba con una andanada epistolar contra Tartaglia poniéndole:

“… persona que gasta todo su tiempo… en bagatelas. Te prometo que si de mi dependiera el tenerte que recompensar, te cargaría con tantos rábanos y otras raíces9, que no pudieras comer otra cosa en toda tu vida.”

El conflicto acabó en otro debate público, esta vez entre Tartaglia y Ferrari en Milán el 10 de agosto de 1548. Tartaglia, más tarde, insistiría mucho en la ausencia de Cardano, acusándolo de haber tomado la cobarde decisión de “evitar estar presenta en la disputa.” Sin embargo, el debate, en el campo de Ferrari, resultó un fracaso para el visitante. Tartaglia culpó a la tumultuosidad y caserismo de la masa, mientras que naturalmente Ferrari atribuyó el éxito a su superioridad intelectual (realmente fue tal el ambiente, que Tartaglia tuvo suerte de salir con vida del encuentro).

Este gran teorema sobre la resolución de la ecuación cúbica disminuida quedaría como sigue (capítulo XI del Ars Magna):

“Regla para resolver x3 mxn: Elevar al cubo el coeficiente de x dividido por 3; añadir a esta cantidad el cuadrado de la constante de la ecuación dividida por dos; y extraer la raíz cuadrada de esta suma. Duplicar (repetir) esta operación, y a una de las dos añadir la mitad del número que se ha elevado al cuadrado y a la

9

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otra restarle la mitad de la misma cantidad… Luego, sustrayendo la raíz cúbica del primero de la raíz cúbica del segundo, el resto será el valor de x.”

“Quando che´l cubo con le cose appresso// se agguaglía a qualche numero discreto// trovan dui altri differnti in esso. // Da poi terrai questo per consueto // che il lor producto sempre sia eguale // al terzo cubo delle cose neto, // El residuo poi suo generale // delli lor lati cubi ben sotratti // varrá la tua cosa principale.”

Si uno observa la demostración que hace Cardano de este teorema, se sorprende de dos cosas: en primer lugar que no hace una demostración general, sino que lo que hace es resolver la ecuación cúbica disminuida x3 6x20y, en segundo lugar, que su demostración es puramente geométrica (algo lógico si tenemos en cuenta que el simbolismo algebraico era todavía muy primitivo). Es de valorar, por tanto, que enuncie resultados generales aunque se enuncien a partir de la demostración de un caso particular.

Exponemos a continuación la demostración que Cardano hace de este teorema. Imaginó un gran cubo, con longitud AC=t, como se muestra en la figura adjunta. Dividió el lado AC en el punto B obteniendo así dos segmentos: AB=t-u y BC=u. Aquí t y u son variables auxiliares cuyos valores debemos hallar. Como sugiere el diagrama, el gran cubo se puede de esta forma dividir en seis piezas, cuyos volúmenes por separado son:

 Un cubo pequeño en la esquina de la parte frontal de volumen 3

u .

 Un cubo mayor en la esquina superior de la parte de atrás, de volumen (tu)3.

 Dos trozos en la parte frontal y en el lateral derecho de volúmenes tu(t-u).

 Un bloque en la esquina frontal superior derecha, de volumen u2(tu).

 Un bloque aplanado en la esquina inferior izquierda en la parte de atrás, de volumen u(tu)2.

Evidentemente el volumen del cubo grande, t3, coincide con la suma de los volúmenes de los otros seis cubos. Esto es:

2 2

3 3

3

) ( ) ( ) ( 2 )

(t u tu t u u t u u t u

u

(21)

Reordenando algunos términos y sacando factor común a t-u: )] ( 2 )[ ( )

( 3 2

3 3 u t u u tu u t u t u

t        

Es decir, t3u3 (tu)33tu(tu) , que recuerda a la ecuación cúbica disminuidax33tuxt3u3, lo que sugiere que debemos hacer 3tu=m y

n u

t3  3  . De este modo, de poder determinar t y u tendríamos el valor de x=t-u. La Ars Magna no presenta una deducción de estas cantidades. Más bien, Cardano sencillamente suministra la regla específica para resolver “el cubo y la cosa son igual al número” antes citado. Intentar descifrar esta receta puramente verbal no es fácil y ciertamente le hace a uno agradecer la aproximación concisa y directa de la fórmula algebraica moderna.

A partir de la primera igualdad, u=m/(3t) y sustituyendo en la segunda igualdad y reagrupando términos,

0 27

3 3

6  m

nt t

A primera vista, esta ecuación no parece representar ningún tipo de avance, ya que hemos sustituido nuestra ecuación original de tercer grado en x por una ecuación de sexto grado en t. La única ventaja es que esta última expresión se puede considerar una ecuación de segundo grado en la variable t3, por lo que:

3 3 2 3 3 2 27 4 2 2 27 4 m n n m n n

t   

  

Ahora bien, utilizando sólo la raíz cuadrada positiva, tendremos que, al ser :

3 3

n t

u  

3 3 2

27

4

2

m

n

n

u

y, 3 3 2 3 3 2 27 4 2 27 4 2 m n n m n n u t

x        

(22)

Aunque la fórmula de Cardano parecía un triunfo resonante, introdujo un gran misterio. Considérese la ecuación cúbica disminuida: x315x4. Al resolver esta ecuación según el método planteado por Cardano:

3 3

121 2

121

2     

x

Aunque los números negativos resultaban sospechosos en el siglo XVI, sus raíces cuadradas parecían totalmente absurdas, y así era fácil despreciar esta ecuación como irresoluble. Sin embargo, se puede comprobar fácilmente que esta ecuación cúbica tiene tres soluciones diferentes perfectamente reales: 4, -2 3.¿ Qué hizo Cardano en una situación así, el llamado “caso irreducible” de la ecuación cúbica? Hizo unos cuantos intentos sin mucho entusiasmo de investigar lo que ahora llamamos números

“imaginarios” o “complejos”, pero finalmente abandonó del todo la empresa como algo “tan sutil como inútil”. Habrá que esperar hasta 1572 en que Rafael Bombelli )1526-1573) diera un paso adelante.

¿Qué ocurre con la resolución de las ecuaciones de grado superior? ¿Por ejemplo, las ecuaciones de quinto grado? Este fue un problema que Cardano – Ferrari dejaron sin resolver. Sus esfuerzos sugerían que una solución por radicales era posible e incluso daban una pista de cómo empezar. Esto es, dada la ecuación de quinto grado:

0

2 3 4

5     

f ex dx cx bx ax

Introducir la transformación x=y-b/5a para disminuirla a una ecuación de la forma: 0

2 3

5    

q py ny my y

y a partir de aquí la idea sería utilizar variables auxiliares para reducir esta ecuación a una de cuarto grado que, como se sabe, se puede resolver por radicales.

Por desgracia todos los esfuerzos en esta dirección- y fueron numerosos- resultaron un fracaso. Pasó un siglo, y otro, y sin embargo nadie pudo suministrar una “solución por radicales” para la ecuación de quinto grado. Entonces, en 1824, un joven matemático noruego Niels Abel (1802-1829), conmovió al mundo matemático demostrando que no era posible una solución por radicales para las ecuaciones de quinto grado o superior. La búsqueda, en otras palabras, había estado condenada al fracaso desde el primer

momento. La demostración de Abel, que se puede encontrar en el libro D.E. Smith, Source Book in Mathematics, es muy avanzada y difícil de seguir10.

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Francois Viète

Ya con Cardano se establece un notable cambio entre álgebra lineal literal y álgebra simbólica. Sin embargo, fue Francois Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez posible la expresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Viète estableció en todo momento una fuerte conexión entre los trabajos

trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.

En su obra In artem analyten isagoge (Introducción al arte del análisis), de 1591, Viète expone los principios fundamentales del álgebra, estableciendo unos postulados en los que se han de fundar las transformaciones algebraicas, definiendo los símbolos

operativos y las entidades literales. De esta forma, se puede empezar a proceder a demostraciones formales de las proposiciones algebraicas sin acudir a la geometría; en otras palabras, Viète libera al álgebra de las ataduras de la geometría.

Usa las vocales para representar las incógnitas e indeterminadas y las constantes para representar los números. Distingue por primera vez entre parámetro e incógnita, adopta también los símbolos + y -, pero el resto de su álgebra sigue usando retórica y

abreviaturas. Así, por ejemplo, A3 lo designa por A “cubus”, el producto lo designa por “in” y el igual por “aequalis”11

. Aún así, la notación algebraica de Viète parece muy alejada de la notación moderna y resulta más engorrosa y farragosa de la cuenta para los que están habituados hoy a las matemáticas de hoy en día. Así, por ejemplo, Viète escribía

D in R-D in E aequabitur A quad En lugar de la version moderna DR-DE=A2.

The Wheststone of Witte, Robert Recorde, 1557

11 Aunque ya en 1557 el inglés Robert Recorde (1510-1558) había introducido el signo = en su libro The Wheststone of Witte:

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A finales del siglo XVI, Europa Occidental había recuperado ya la mayor parte de las obras matemáticas más importantes de la antigüedad que se habían conservado. Por otra parte, el álgebra árabe había sido asimilada y superada, introduciendo un cierto simbolismo y la trigonometría se había convertido en una disciplina independiente (de la mano de Regiomontano). La época estaba ya casi madura para llevar a cabo ciertos avances que superaran las contribuciones tanto antiguas como medievales y renacentistas. La transición del Renacimiento al mundo moderno se hizo a través de un número considerable de figuras intermedias: Galileo Galilei, Cavalieri, Neper, Kepler y Viète, del que acabamos de hablar, entre otros.

Karl-Friederich Gauss (1777-1855)

Nació en Gotinga, Alemania, el 30 de abril de 1777. Su madre era una mujer inteligente pero poco instruida, y su padre, Gerhard, fue calificado por Karl como “digno de estima”, aunque también “dominante, rudo y poco refinado”. Su madre había sido sirviente antes de convertirse en la segunda esposa de su padre, que vivía pobremente ejerciendo diversos oficios: jardinero, jornalero, contramaestre para el mantenimiento de las canalizaciones, tesorero de una pequeña caja de seguros… De niño, Karl debía ser respetuoso y obediente con un padre que no veía la utilidad de instruir a su hijo. Por el contrario, su madre esperaba mucho de su hijo Karl, y aunque su matrimonio fue bastante desgraciado, se consagró enteramente a la carrera de su hijo. Gauss testimonió mucho afecto y gratitud durante toda su vida a su madre, que murió a los noventa y siete años, habiendo pasado los últimos veintidós años de su vida en la casa de su hijo. Sin ayuda de ningún tipo, Gauss aprendió a calcular antes que hablar. A los tres años, corrigió un error en la paga de los obreros de su padre, y por sí solo estudió y profundizó la aritmética. A los ocho años mostró su genio precoz con ocasión de un problema propuesto por su profesor de la escuela elemental para ocupar a sus alumnos: encontrar la suma de los cien primeros números naturales. Gauss asombró literalmente al tosco y autoritario profesor revelándole rápidamente la respuesta escrita en su pizarra. Completamente estupefacto ante este rasgo de genio, el profesor tuvo la sabiduría de procurarle libros de aritmética para que el joven Gauss pudiera proseguir su aprendizaje de las matemáticas. A los once años, conoció a Martin Bartels, entonces profesor ayudante de la escuela y más tarde profesor de Lobachevski. Impresionado por su inteligencia, Bartels habló de él al duque Carlos Guillermo, quien le envió a estudiar a sus expensas, primero a un colegio de la ciudad y luego a la universidad de Gotinga en 1795.

Antes de empezar:

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Ya a su entrada en el colegio, Gauss poseía una formación clásica y científica que sobrepasaba en esa época a la de un estudiante de quince años. Además de estar familiarizado con la geometría elemental, el álgebra y el análisis, Gauss había adquirido habilidades excepcionales con respecto a los números, llegando a encontrar relaciones entre los números primos que se desconocían hasta ese momento. Durante su estancia en el colegio, perfeccionó sus conocimientos de aritmética de los números, estudió el Principia de Newton y eso, básicamente, porque las obras clásicas de matemáticas no estaban disponibles. Ello no le impidió formular el método de los mínimos cuadrados y encontrar resultados compatibles con una geometría no euclidea. En 1798, vuelve a Brannschewig para continuar allí sus trabajos en solitario, y al año siguiente obtiene el doctorado por la Universidad de Helmsted en la que demostró que toda ecuación polinómica p(x)=0, posee al menos una raíz, cualquiera que sea la naturaleza real o imaginaria de los coeficientes de la ecuación (teorema fundamental del álgebra).

En 1801, escribe y publica su primer y gran tratado “Disquisitiones aritmeticae”, en el que presenta un resumen de los trabajos aislados de sus predecesores, da soluciones a las cuestiones más difíciles, formula conceptos y cuestiones que indicarán, durante al menos un siglo, las líneas maestras de la investigación en teoría de números. Dicho libro se lo dedica a su mentor el duque Carlos Guillermo y, a pesar de tener un contenido matemático de gran calidad, pasó desapercibido por la complejidad de su notación.

A lo largo de ese mismo año, Giuseppe Piazzi descubre el planeta Ceres. Pocas semanas después, los astrónomos se quedarían estupefactos al ver que este planeta desaparecía del cielo y se preguntaban a dónde podía haber ido. Meses después, y con tan sólo 24 años, fue Gauss quién consiguió localizar este planeta, utilizando una teoría orbital de los planetas fundamentada en la elipse y recurre a los métodos numéricos y a los mínimos cuadrados, para llegar finalmente a la determinación exacta de su trayectoria y advertir a los astrónomos cuándo y hacia dónde debían apuntar sus telescopios si querían ver aparecer de nuevo a este planeta. Fue esta hazaña, la que convertiría a Gauss en toda una celebridad entre los científicos de la época, coincide con el comienzo de sus investigaciones astronómicas, que absorberán una buena parte de sus energías durante casi veinte años.

Publicaría después en 1809, su Theoria metas corporam coelestiam in sectionibas conicis solem ambientinm, en el que Gauss presenta de manera sistemática y formal su método de cálculo orbital, en el que utiliza el método de mínimos cuadrados. Se daría cuenta que ante todo un conjunto de mediciones del cual no podía garantizar

su precisión, las medidas siempre deberían estar

situadas alrededor del verdadero

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Esta idea permitiría a Gauss realizar estas predicciones que tanto sorprenderían a los miembros de la comunidad científica. También desarrollaría la idea de correlación entre datos, algo nos permite estudiar hoy día, por ejemplo, si tiene alguna relación la estatura de un individuo con el diámetro de su cabeza.

El periodo de 1801 a 1809 marca una etapa decisiva en la vida de Gauss, ya que en el plano profesional, es la época en la que se opera la transición del matemático al astrónomo y al físico. Gauss buscaba un puesto con seguridad, y la astronomía parecía entonces una alternativa atrayente frente a hacerse profesor de matemáticas para confinarse a enseñar a estudiantes más o menos motivados. Gracias a mejoras económicas sucesivas, otorgadas por el duque de Brunswick, a los veintiocho años Gauss se encuentra en condiciones de contraer matrimonio con Johanne Ostof, el 9 de octubre de 1805. De su unión nacen Joseph y Minna, y durante cuatro años Johanne hace que la atmósfera familiar sea alegre y atrayente. Pero en 1807, una primera desgracia se abate sobre Gauss al enterarse de que su amigo y protector, el duque Fernando, ha muerto a la cabeza de los ejércitos prusianos contra Napoleón. Ya Gauss veía en Napoleón la personificación de los peligros de la revolución y, a raíz de este trágico accidente, sus opiniones políticas y nacionalistas evolucionan de tal manera que se convierte en un fiel nacionalista y realista. En 1809 nace un tercer hijo, de nombre Louis, muriendo Johanne a consecuencia del parto, muriendo poco después el propio bebé. Estos dos acontecimientos desgraciados, sucedidos en este corto periodo de tiempo, sumieron a Gauss en una soledad tal que no fue capaz ya nunca de superarla completamente.

El 4 de agosto de 1810, se casa por segunda vez con la amiga íntima de su primera esposa, Minna Waldeck, y de este matrimonio nacen dos niños y una niña. Se dice que Gauss dominaba a sus dos hijas y discutía con sus hijos menores quienes, por otra parte, emigraron a los Estados Unidos. Sólo después de la muerte de su segunda esposa, en 1831, mejoró bastante el clima familiar, gracias sobre todo a su hija Thérese, la más pequeña de la familia, que se convirtió en la acompañante íntima de su padre durante sus veinticuatro últimos años.

(27)

tenía poco que ganar queriendo comunicarse e intercambiando información con los demás. Por ello, prefirió aislarse casi completamente del campo de las influencias de la actividad matemática de la época. Sin embargo, encontró más fácil y más útil comunicarse con los experimentadores y los técnicos y, en particular, colaboró estrechamente con Weber en sus experiencias sobre el magnetismo durante cerca de ocho años. Gauss fue un hombre frío y poco comunicativo, con la ambición de conseguir éxito personal y gran renombre. Detestaba todo lo que tenía que ver con ceremonias y formalidades, desaprobaba las controversias y durante toda su vida hizo alarde de un conservadurismo y un nacionalismo respetuoso. Fuera de la ciencia, sus gustos e intereses fueron poco desarrollados. Educado pobremente, buscó durante mucho tiempo una seguridad financiera creciente y, habiéndola obtenido, rehusó sin embargo el vivir más cómodamente.

Uno de los primeros y principales resultados de Gauss fue el teorema fundamental del álgebra. La primer demostración satisfactoria del teorema la realizó Girard en 1629, y aparece en la tesis doctoral de Gauss titulada “Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integra unius variebilis in factores reales primi vel secandi gradas resolví posse” )nueva demostración del teorema de que toda función algebraica racional de una variable puede ser descompuesta en producto de factores reales de primer o de segundo grado). En las primeras secciones hace un análisis crítico de las demostraciones de la existencia de una raíz de una ecuación del tipo:

0

2

1    

  

d lx c bx ax

xm m m

A continuación, demuestra que si a+bi es la raíz compleja de una ecuación del tipo X(x+yi)=f(x+yi)+ig(x+yi)=0, entonces el punto (a,b) debe ser el punto de corte de las curvas f=0 y g=0. Posteriormente, en una segunda demostración en 1816, Gauss abandonará las consideraciones geométricas anteriores y presentará una demostración enteramente algebraica.

La principal obra de Gauss es, sin duda, “Disquisitiones arithmetica”, publicada en julio de 1801 siendo una obra de juventud pero con un gran acabado y muy perfecto, hasta el punto que llegaría ser obra inspiradora de todos los teóricos posteriores de la teoría de números. En este tratado, sistematizó las aportaciones del siglo precedente en un cuerpo de doctrina independiente y determinó las líneas maestras de los desarrollos en este tema hasta la época moderna. En este libro, normaliza la notación, presenta la teoría de congruencias, introduce la teoría de formas como la idea dominante del análisis diofántico. Precedido de una dedicatoria al príncipe Carlos Guillermo Fernando, duque de Brunswick, el tratado comprende un prefacio seguido de siete secciones:

1. Números congruentes12 en general. 2. Congruencias de primer grado. 3. Residuos de potencia.

12

(28)

4. Congruencias de segundo grado.

5. Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado.

6. Diversas aplicaciones de las nociones estudiadas anteriormente. 7. Ecuaciones que definen las secciones de un círculo.

Mientras que en la primera sección sienta las definiciones y los primeros resultados sobre congruencia, en la sección II demuestra el teorema de descomposición única de un número compuesto en factores primos y un corto estudio sobre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

En esta obra presenta, además dos de las cuatro demostraciones que da del Teorema Fundamental del Álgebra, por el llamado “theorema aureum” o joya de la aritmética. El interés de Gauss por la geometría se manifestó en numerosos trabajos geométricos surgidos principalmente de sus preocupaciones por diversos problemas teóricos planteados por la astronomía, la geodesia y la cartografía. Consciente de la necesidad de una concepción más amplia de la geometría, fue inducido a interesarse por diversos problemas de naturaleza geométrica: ciclotomía, pentágonos esféricos, rotación de una recta que pasa por el origen en tres dimensiones, formas cuadráticas, curvatura de superficies y geometría no euclidiana. En su memoria de 1827, Gauss trata también del problema de determinar las geodésicas sobre las superficies (las líneas rectas sobre las superficies son lo que se conocen como geodésicas). .

Durante los primeros años en Gotinga, Gauss madura su concepción de la geometría no euclídea, que se remontaba a su adolescencia en 1792, en el que ya concebía como posible una geometría sin el postulado de las paralelas de Euclides. Convencido de la ineficacia de las tentativas anteriores para demostrar el postulado de las paralelas, Gauss, a pesar de su profundo conservadurismo y su miedo al ridículo, acepta cada vez más la idea de que se debe salir de los senderos e intentar más bien elaborar una nueva geometría. A partir de 1813, desarrolla esta nueva geometría, llamada antieuclídea, geometría astral y, por fin, geometría no euclídea. De 1813 a 1831, elabora su geometría y encuentra numerosos resultados nuevos, pero no se decide a publicarlos antes de su muerte. Sin embargo, en 1831 escribe un ensayo sobre las lineas paralelas y, en una carta dirigida a Shumacher, puede leerse lo que sigue:

“Después de haber meditado durante casi cuarenta años sin escribir nada… me he tomado la molestia al menos de poner por escrito algunas de mis ideas, con el fin de que no desaparezcan conmigo.”

Entre otras aportaciones de Gauss, está la propia aceptación de los números complejos. Las ideas de Gauss sobre las cantidades imaginarias se remontan a mucho antes porque, ya en 1799, en su disertación inaugural presupone una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano cartesiano y los números complejos. Pero sus ideas se hacen más explícitas algunos años después, pues puede leerse en una carta dirigida a Bessel en 1811:

(29)

indefinido en el que todo punto, determinado por su abscisa y su ordenada, representa por así decirlo la cantidad a+bi.”

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