9 Expresa las siguientes fracciones en forma decimal e indica de qué tipo es dicho cociente. a) 637 b) 9120 c) 630189 d) 6322

Números Reales. 87 ejercicios para practicar con soluciones

1 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 8

5 y 3 4 5 3 2 5 4 1 3 2 2 1

Solución:

Reducimos a común denominador:

120 75 8 5 y 120 160 3 4 120

72 5 3 120 300 2 5 120

30 4 1 120

80 3 2 120

60 2

1_{= = = = = = =}

El orden de las fracciones, cuando todas tienen el mismo denominador, está dado por el orden de los numeradores, ya que si el numerador es menor, la fracción es menor.

Ordenados de menor a mayor: 2 5 3 4 3 2 8 5 5 3 2 1 4

1_{< < < < < <}

2 Realiza las siguientes operaciones:

a) ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ −

4 3 2 1 14

4 2 1 7 2

b) ⎟ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ +

2

4 1 5 3 3 4 5 2

Solución:

a) 11/28 b) 91/80

3 A partir de la unidad fraccionaria 1/3, representa en la recta real: 1/3, 4/3, 6/3, -2/3 Solución:

4

Sustituye las fracciones

250 3 , 32 26 , 50 18 , 20

57 _{por otras equivalentes que tengan por denominador una}

Solución:

0,012 decimal Expresión

1000 12 4 · 250

4 · 3 250

3 d)

0,8125 decimal

Expresión 000

10 8125 5

· 2

5 · 13 2 13 2

13 · 2 32 26 c)

0,36 decimal Expresión

100 36 10 · 2 · 5

2 · 18 10 · 5

18 50 18 b)

2,85 decimal Expresión

100 285 2

5 5 57 2

5 57 20 57 a)

4 4

4 4

5

2 2 2

⇒ =

=

⇒ =

= = =

⇒ =

= =

⇒ =

⋅ ⋅ = ⋅ =

5 Indica si los siguientes números son racionales o irracionales y por qué. a) 7,466446644…..

b) 2,1331333133331… c) 1,4300…

d) 1,41352897…. Solución:

a) Es racional ya que al ser periódico se puede escribir en forma de fracción. b) Es irracional porque no se puede escribir en forma de fracción.

c) Es racional ya que es decimal exacto

d) Es irracional porque no se puede escribir en forma de fracción.

6 Realiza las siguientes operaciones

a) + − − =

8 3 6 2 4 1 2 1

b) ⋅ − + =

5 1 5 2 2 1 4 3

Solución:

a) 1/24 b) 7/40

7 Escribe en forma de fracción las expresiones dadas en cada apartado, simplifícalas y escribe al menos dos fracciones equivalentes de cada una.

a) “Ocho de cada doce”. b) 40%

c) “Seis de cada diez” Solución:

a) ;

3 2 12

8 ₌

equivalentes:

18 12 y 6 4

b)

5 2 100

40 ₌

; equivalentes:

20 8 y 10

4

c)

5 3 10

6 ₌

; equivalentes:

8 Calcula las siguientes operaciones:

( )

(

)

( )

[

]

( )

(

) ( )

[

10 8

]

11 d) 5 5 5 c) 3 2 9 5 60 b) 15 7 5 10 30 a) − − − + − − + − − − − + − − − + − + − Solución:

( )

(

)

(

)

( )

[

]

( )

[

]

( )

(

) ( )

[

10 8

]

11

[

(

10

)

8

]

11

( )

2 13

11 d) 5 5 10 5 5 5 5 5 5 c) 59 1 60 3 2 9 5 60 3 2 9 5 60 b) 33 15 18 15 7 25 15 7 5 20 15 7 5 10 30 a) − = − + − = + − + − = − − − + − = − = − + + = − + − − = − = + + − − = − − + − − − = − − = − + − = − + − − = − + − + −

9 Expresa las siguientes fracciones en forma decimal e indica de qué tipo es dicho cociente. a) 63/7 b) 91/20 c) 630/189 d) 63/22

Solución: mixto Periódico 2,86363... 22 63 d) puro Periódico 3,3333... 189 630 c) exacto Decimal 4,55 20 91 b) Entero 9 7 63 a) = = = =

10 Realiza las siguientes operaciones:

(

)

[

]

( )

(

)

[

]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ − − = = + − − + = + + − ⋅ = − − + − + − 6 : 3 2 7 -d) 1 4 7 -5 -c) 2 : 4 8 4 3 2 b) 5 6 7 1 4 2 3 4 a) 2 2 Solución:

a) 81 b) -10 c) -9 d) -7

11 Sin realizar las siguientes operaciones, indica si su resultado es un numero racional o irracional y por qué. a) 3_{64 +}4₆₄

b) 3_{8 +}3₆₄ c) 4₈₁₊4₁₆ d) 3· π

Solución:

a) Irracional porque procede de la suma de un racional y un irracional b) Racional porque procede de la suma de dos reales

c) Racional porque procede de la suma de dos reales

12 Realiza las siguientes operaciones

a) − + + =

8 3 6 2 2 1 4 1

b) ⋅ − + =

5 1 5 2 2 1 4 3

c) ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ −

2 1 4 1 10

3 5 1 : 5 2

Solución:

a) 11/24 b) 7/40 c) -85/20

13 Calcula la forma fraccionaria o decimal (identificando cada una de sus partes), según corresponda de:

22 63 d) .. 14,371717. b)

160 28 c) 9,2777.. a)

Solución: a)

90 92 927−

Parte entera 9,anteperiodo 2, periodo 7 b)

9900 143 14371−

Parte entera 14, anteperiodo 3, periodo 71 c) 0,175 No es un número periódico

d) 2,863636… Parte entera 2, anteperiodo 8, periodo 36

14 Sin realizar las siguientes operaciones, indica si su resultado es un numero racional o irracional y por qué. a) 0,01100011100001111… + 1,313131…

b) 0,33333…. + 0,333333… c) 3⋅ 9

d) 0,31323132… + 9 Solución:

a) Irracional, porque en la suma hay un irracional.

b) Racional, porque se están sumando dos periódicos que se pueden escribir como fracciones. c) Irracional, porque en el producto hay un irracional.

d) Racional, porque sumamos dos racionales, un periódico y uno entero.

15 Realiza las siguientes operaciones:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛_{− + +} −

−

+ −

+ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− −

1 5 6 2 11 6

5 c)

5 1 3 2 : 2 1 4 3 b)

125 124 25

3 25

Solución: 30 74 30 99 25 10 33 6 5 10 33 6 5 10 10 2 · 6 5 · 11 6 5 1 5 6 2 11 6 5 c) 5 1 5 1 4 3 4 3 5 1 2 · 2 3 · 1 4 3 5 1 3 2 : 2 1 4 3 b) 125 149 125 124 125 25 125 124 5 1 125 124 5 1 125 124 25 3 25 3 5 1 a) = + − = + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− + +} − − = + − = + − = + − = + = + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − = + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− −

16 Calcula las siguientes operaciones:

( )

[

( )

( )

]

(

) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 4 2 6 : 5 4 3 2 c) 3 3 4 : 100 b) 2 : 10 2 3 2 6 : 2 3 a) + − − ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ − − − − + − − + − − ⋅ − Solución:

( )

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

[

]

(

) ( ) ( )

( )

( )

3 4

( ) ( )

5 : 6 2 120:

( )

6 4 20 4 16 2 c) 72 3 75 3 3 25 3 3 4 : 100 b) 25 5 16 5 1 2 : 10 2 3 2 1 2 : 10 2 3 2 6 : 2 3 a) 2 4 4 − = + − = + − = + − − ⋅ ⋅ − ⋅ − = + − = + − ⋅ = + − ⋅ − − = + + + − = = − − + − − + − = − − + − − + − − ⋅ −

17 Clasifica, sin hacer la división, las siguientes fracciones según su expresión decimal:

14 1962 d) 4 13 c) 11 1 b) 30 2 a) Solución:

La fracción irreducible a / b se convierte en un decimal:

Exacto: si los únicos factores primos que tiene el denominador b son 2 ó 5. •

Periódico puro: si el denominador b no tiene entre sus factores ni el 2 ni el 5. •

18 Calcula, pasando a fracción, las siguientes operaciones:

0,777... 0,333...

c)

8... 1,92892892 9...

3,82982982 b)

2,3444... 0,4333...

a)

+

− +

Solución:

1 9 9 9 7 9 3 0,777... 0,333...

c)

999 1899 999

1927 3826 999

1 1928 999

3 3829 8...

1,92892892 9...

3,82982982 b)

9 25 90 250 90

211 39 90

23 234 90

4 43 2,3444... 0,4333...

a)

= = + = +

= − =

− −

− =

−

= = + = − + − = +

19 Realiza las siguientes operaciones

a) − ⋅ + − =

5 3 : 4 1 3 5 3 2 5 4 3 2 : 10

4

b) ⎟⋅ + − =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

5 3 : 4 1 3 5 3 2 5 1 3 2 : 10

4

Solución:

a) 121/60 b) -9/12

20 Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones 180 240 d)

, 75 250 c) , 120 360 b) , 1210

220 a)

Solución:

3 4 180 240 d)

, 3 10 75 250 c) 3, 120 360 b) , 11

2 1210

220

a) = = = =

21 Escribe en forma de fracción los siguientes números reales: a) 1,43000…

b) -9,636363…. c) 1,010010001… d) 9,636363… Solución:

a) 100 143

b)

99 954 99

9

963 −

= + −

c) No se puede porque es irracional d)

99 954 99

22 Calcula, pasando a fracción, las operaciones: a) 0,333... + 0,525252...

b) 5,2333... - 1,3222...

Suma luego, directamente, los números decimales, pásalos a fracciones y comprueba que se obtiene el mismo resultado.

Solución:

90 352 90

39 391 3,91111... 1,3222...

5,2333...

90 352 90

119 471 90

13 132 90

52 523 1,3222... 5,2333...

b)

99 85 . 85858585.. 0,85858585

... 52525252.. 0,52525252

... 33333333.. 0,33333333

99 85 99

52 11 · 3 99 52 9 3 . 0,525252.. 0,333...

a)

= − = =

−

= − = − − − = −

= =

+

= + = + = +

23 Realiza las siguientes operaciones

a) + − − =

8 3 6 2 4 1 2 1

b) ⋅ − ⋅ = 5 1 2 1 4 3 5 2

c) ⎟− =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

4 3 6 2 3 1 : 3 4

Solución:

a) 1/24 b) 1/5 c) 5/4

24 Introduce dentro del radicando el número que multiplica: .

5 3_{3; c)8 11; d)2 7} 4

b) ; 95 3 a) Solución:

. 224 7

2 d) ; 704 11

8 c) ; 192 3

4 b) ; 855 95

3

a) 2_{⋅ =} 3 3_{⋅ =}3 2_{⋅ =} 5 5_{⋅ =}5

25 Simplifica los siguientes radicales: a) 983

b) 3₁₆ c) 373 Solución:

a) 983 ₌9

( )

23 3 ₌929 ₌2

b) 316 ₌324 ₌232 c) 7

( )

7 72 7

1 6 1 3

26 Escribe las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y simplifica cuanto se pueda: a) 5310

b) 7₂14 c) 76 Solución:

a) 3 35 32 9

10

5 10 _{= = =}

b) 2 27 22 4

14

7 14 _{= = =}

c) 7 72 73 343

6

6 _{= = =}

27 Escribe los siguientes número en notación científica e indica su orden de magnitud. a) 100 millones de años.

b) 5 diezmilésimas de gramo. c) 43 micras.

d) Un billón de pesetas. Solución:

a) 100 millones de años = 108 _{años. Orden 8}

b) 5 diezmilésimas de gramo = 5·10-4 _{gramos. Orden -4}

c) 43 micras = 4,3 · 10-5 _{m. Orden -5}

d) Un billón de pesetas = 1012 _{ptas. Orden 12}

28 Saca del radicando la mayor cantidad posiblede factores:

. 800 d) ; 240 c) ; 250 b) ; 405 a) 3 Solución: . 2 20 2 5 2 5 2 800 d) . 30 2 5 3 2 2 5 3 2 240 c) . 10 5 5 2 5 5 2 250 b) . 5 9 5 3 5 3 405 a) 2 2 5 3 3 3 4 3 3 2 4 = ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅ = = = ⋅ =

29 Reduce los siguientes radicales a índice común y ordénalos de menor a mayor: . 8 , 3 c) ; 10 , 12 b) ; 3 , 4

a)3 4 5 3 5

30 Pasa estos números de notación científica a forma ordinaria: a) 2,43 · 104 ₌

b) 6,31 · 10-6₌

c) 63,1 · 10-6₌

d) 3,187 · 109₌

Solución:

a) 2,43 · 104 _{= 24.300}

b) 6,31 · 10-6_{= 0,00000631}

c) 63,1 · 10-6_{= 0,0000631}

d) 3,187 · 109_{= 3.187.000.000}

31 Escribe los siguientes número en notación científica e indica su orden de magnitud. a) 91.700.000.000

b) 6.300.000.000.000 c) 0,00000000134 d) 0,071

Solución:

a) 91.700.000.000= 9,17 · 1010_{. Orden 10}

b) 6.300.000.000.000= 6,3 · 1012_{. Orden 12}

c) 0,00000000134= 1,34 · 10-9_{. Orden -9}

d) 0,071=7,1 · 10-2_{. Orden -2}

32 Expresa como radical:

. 5 d) ; 7 c) ; 3 b) ; 3 a)

5 2 3 1 3

4 2 5 3

1 4 1 4

1 6 5

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

Solución:

. 5 5

d) ; 7 7

7 c) ; 3 3

b) ; 3 3

a) 15 15 2

2 3 10

3 10 6 20 12

12 1 24 5

24 5

= =

= =

=

33 Escribe en forma de exponente fraccionario y simplifica los radicales: a) 12816

Solución:

a) 8 8

( )

2 212 24 16

48 12 16 3 12 16

12 16 _{= = = = =}

b) 3 35 33 27

15

5 15 _{= = =}

c) 4 411 43 64

33

11 33 _{= = =}

34 Expresa como radical:

. 14 3 3 7 4 6 5 1 7 2 4 3 2 7 4 3 2 d) ; 13 c) ; 5 b) ; 10

a) _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Solución: . 2 2 2 d) ; 13 13 13 c) ; 5 5 5 b) ; 10 10 a) 2 1 42 21 10 3 10 3 20 6 14 3 14 3 28 6 8 31 8 31 = = = = = = =

35 Introduce el factor que multiplica dentro de la raíz: .

6 5_{2 ; c)11 10; d)2 3} 3 b) ; 2 7 a) Solución: . 192 3 2 d) ; 1210 10 11 c) ; 486 2 3 b) ; 98 2 7

a) 2_{⋅ =} 5 5_{⋅ =}5 2_{⋅ =} 6 6_{⋅ =} 6

36 Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:

a) (4,5 · 10-7_{) : ( 1,5 · 10}4₎

b) (3,6 · 109_{) : ( 1,2 · 10}-7₎

c) (6,5 · 10-4_{) : ( 1,3 · 10}-6₎

d) (6,0 · 10-4_{) : ( 1,5 · 10}-3₎

Solución:

a) (4,5 · 10-7_{) : ( 1,5 · 10}4_{) = 3 · 10}-11

b) (3,6 · 109_{) : ( 1,2 · 10}-7_{) = 3 · 10}16

c) (6,5 · 10-4_{) : ( 1,3 · 10}-6_{) = 5 · 10}10

d) (6,0 · 10-4_{) : ( 1,5 · 10}-3_{)= 4 · 10}-1 _{= 0.4}

37 Efectúa los siguientes cocientes: . 3 2 7 4 7 3 9 1 5 : 5 b) ; 6 : 6 a) Solución: . 5 5 5 b) ; 6 6 6 a) 21 2 21 14 12 3 2 7 4 63 20 63 27 7 7 3 9

1₋ − _{− −} − ₋

= =

= =

38 Reduce los siguientes radicales a índice común:

. 13 , 7 , 5 b) ; 10 , 2 , 3

Solución:

. 13 13 ; 7 7 ; 5 5 30 ) mcm(2,10,6 b)

. 10 10

; 2 2 ; 3 3 105 ) mcm(5,7,15 a)

30 5 6

30 3 10

30 15

105 7 15

105 15 7

105 21 5

= =

= ⇒ =

= =

= ⇒ =

39 Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:

a) (1,7 · 10-9_{) · ( 2,1 · 10}7₎

b) (6,0 · 10-4_{) : ( 1,5 · 10}-3₎

c) (2,37 · 1012_{) · ( 3,97 · 10}3₎

d) (4,5 · 109_{) : ( 2,5 · 10}-3₎

Solución:

a) (1,7 · 10-9_{) · ( 2,1 · 10}7_{) = 3,57 · 10}-2

b) (6,0 · 10-4_{) : ( 1,5 · 10}-3_{) = 4 · 10}-1

c) (2,37 · 1012_{) · ( 3,97 · 10}3_{) = 9,4 · 10}15

d) (4,5 · 109_{) : ( 2,5 · 10}-3_{) = 1,8 · 10}12

40 Efectúa los siguientes cocientes:

. 27 : 81 d) ; 2 : 64 c) ; 7 : 28 b) ; 3 : 15

a) 3 3 5 5 7 7

Solución:

. 3 d) ; 2 32 c) ; 4 b) ; 5

a) 3 5 ₌ 7

41 Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:

a) (3,72 · 1011_{) · ( 1,43 · 10}-7₎

b) (2,9 · 10-5_{) · ( 3,1 · 10}-3₎

c) (4,1 · 102_{) · 10}3

d) (1,7 · 10-9_{) · ( 2,1 · 10}-7₎

Solución:

a) (3,72 · 1011_{) · ( 1,43 · 10}-7_{) = 5,32 · 10}4

b) (2,9 · 10-5_{) · ( 3,1 · 10}-3_{) = 8,99 · 10}-8

c) (4,1 · 102_{) · 10}3 _{= 4,1 · 10}5

d) (1,7 · 10-9_{) · ( 2,1 · 10}-7_{) = 3,57 · 10}-2

42 Factoriza los radicandos y calcula las raíces siguientes: a) 7₁₂₈

b) 3116

Solución:

a) 128=27 ⇒727 =2 b) 11 113 112 121

6

3 6 _{= = =}

c) 10 105 104 10000

20

5 20 _{= = =}

d) 6561₌38 _⇒838 ₌3

43 Efectúa los siguientes productos:

. 121 11 d) ; 27 3 c) ; 3 81 b) ; 32 4

a)7 _⋅7 5 _⋅5 _⋅ 3 _⋅3

Solución: . 11 1331 d) ; 9 81 c) ; 3 243 b) ; 128

a)7 5 _{= =} 3 ₌

44 Efectúa los siguientes productos:

. 2 2 b) ; 7 7 a) 5 4 7 9 5 4 3 1 ⋅ ⋅ Solución: . 2 2 2 b) ; 7 7 7 a) 35 73 35 28 45 5 4 7 9 15 17 15 12 5 5 4 3 1 = = = = + + + +

45 Saca del radicando la mayor cantidad posible de factores:

. 3 5 2 d) ; 3 2 c) ; 9000 b) ; 3240

a)3 4 6_⋅ 5 3_⋅ 4 _⋅ 2

Solución: . 2 150 2 3 5 2 3 5 2 d) . 12 6 3 2 3 2 3 2 c) . 10 60 5 2 5 3 2 5 3 2 9000 b) . 15 6 5 3 2 3 5 2 3 3240 a) 2 2 4 3 4 4 2

4 6 5

3 2 3

3 3

3 4 3 3 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

46 Expresa como radical:

. 3 5 13 4 6

5 4

7 3_{10 ; b) 7 ; c) 2 ; d) 11} a) Solución: . 11 d) ; 2 2 c) ; 7 b) ; 10

47 a)

7 3

b) 7₅

4

c)

2 3

6 −

Solución: a)

7 7 3 7 7

7

3 ₌

b)

5 5 4 5 5

5

4 7 6

7 6 7

7 6

=

c)

₍

(

₎₍

)

₎

(

) (

6 3 2

)

2 3

2 3 6 2 3 2 3

2 3

6 _{= +}

− + = + −

+

48 Resuelve aplicando la definición de logaritmo: a) 3x 9

1 = b) 2x =16

c) log10110201=x Solución:

a)

2 1 x 2 9 log x 1

3 = ⇒ =

=

b) x=log₂16=4

c) 101x =10201⇒x=2

49 Racionaliza: a)

3₆7

5

b) 5₆7

4

c) 4₅

6

Solución: a)

216 36 5 6 6 36

6 5 6 6

5 6

5 3

3 2 3

3 2 3

2

3 7 = = =

b)

9 6 36

6 4 6 6 6

6 4 6 6

4 6

4 5 3 5 3

5 3 5 2

5 3

5 2

5 7 = = = =

c) 6 6 5 6 5

4 3 4 3

50

Si

(

logc 2logd

)

3 1 3logb loga

2 1

logx= + − + , expresa x en función de a,b,c,d.

Solución:

(

)

3 2 3 3 2

3 3 2

3 2

3

c·d ·b a x c·d

·b a log c·d log ·b a log logc·d 3 1 logb a log

logx= + − = − = ⇒ =

51 Resuelve utilizando la definición de logaritmo: a) log_a4=2

b) log_a243=5

c) log_a1=0

Solución: a) a = 2 b) a = 3

c) a puede ser cualquier número real positivo.

52 Obtén con calculadora el valor de: a) log₂10

b) log₅16

c) log₃0,8

Solución:

a) 3,322

0,301 1 2 log

10 log

= =

b) 1,722

0,699 1,204 5

log 16

log _{= =}

c) 0,203

0,477 0,097 3

log 0,8 log

− = −

=

53 Calcula los siguientes logaritmos: a) log₃9

b) log₂1024

c) log₂1

Solución: a) 2 b) 10 c) 0

54 Calcula: a)

9 1 log3

b) log 8

Solución: a) -2 b) -3 c) 4

55

Si a y b son números enteros, calcula

b 1 log a

log _b

a

1 + .

Solución: -1+ (-1) = -2

56 Sabiendo que log2=0,301, halla: a) log1024

b) log0,25

c)

3₁₆

1 log

Solución:

a) 10log2=10·0,301=3,01

b) 2log2 2·0,301 0,602 4

1

log =− =− =−

c) ·0,301 0,401

3 4 2 log 3

4 _{=− =−}

−

57 Calcula a utilizando la definición de logaritmo: a) log_a256=8

b) log_a0,125 =3

c) log_a0,001=−3

Solución: a) a = 2 b) a =

2 1 c) a = 10

58 Racionaliza: a)

3 2 3 5+

b)

3 7

3 2

+ +

c)

b a

a

Solución:

a)

(

)

3 6 3 3 5 3 3

3 2 3

5+ ₌ +

b)

₍

(

)(

₎₍

)

₎

4

3 3 7 3 6 14 3

7

3 3 7 3 6 14 3

7 3 7

3 7 3

2 ₌ − + −

− − + − = − +

− +

c)

₍

(

₎₍

)

₎

(

)

b a

b a a b a b a

b a a

− − = − +

−

59 Si log2=0,301, halla: a) log20,01

b) log410

Solución:

a) 6,645

0,301 2 2

log 0,01

log ₌ − ₌₋

b) 1,661

2·0,301 1 4

log 10 log

= =

60 Calcula: a) log₄ 2

b)

9 1 log

3 1

c) log₉3

Solución: a)

4 1 b) 2 c)

2 1

61 Calcula a utilizando la definición de logaritmo: a)

2 3 125

log_a =

b) log 42 a

8 =

c) a

16 81 log

3

2 =

Solución: a) a = 25 b) a =

62 Sabiendo que log2=0,301, halla: a) log5

b) _log4_0,08 c) _log3_0,02 Solución:

a) 1 log2 1 0,301 0,699 2

10

log = − = − =

b) 0,274

4 2 3·0,301 2)

2 log (3 4 1 100

8 log 4

1 _{= − =} − _{= −}

c)

(

)

0,566

3 2 0,301 2

2 log 3 1 100

2 log 3 1

− = − =

− =

63 Calcula:

a) log5625−log3243+log4256

b) log31+log264+log39+log749

c) log 0,5

36 1 log 0,2 log 9 1

log₃ − ₅ + ₆ − ₂

Solución: a) 4 - 5 + 4 = 3 b) 0 + 6 + 2 + 2 = 10 c) -2 - (-1) + (-2) - (-1) = -2

64 Racionaliza: a)

x -3

x 3+

b)

x -5

1 x 5+ +

c)

3 2 3+

Solución: a)

x 3

x 9 x -3 x -3

x -3 x

3 2

− − = +

b)

(

)

(

)

x 5

x -5 1 x 5 x

-5 x -5

x -5 1 x 5

− + + = +

+

c)

(

)

3 6 3 3

3 3 2

3 +

Solución:

a) log3+log2=0,778 b) log3+log10=1,477 c) −log3=−0,477

66 Racionaliza: a)

3 1

2 1

− +

b)

7 5

9

+

c)

6 2

6 5

+ +

Solución:

a)

(

₍

)(

₎₍

₎

)

2 6 2 3 1 3

1

6 2 3 1 3 1 3 1

3 1 2

1 + + +

− = −

+ + + = + −

+ +

b)

₍

(

₎₍

)

₎

(

)

(

)

2 7 5 9 7

5 7 5 9 7 5 7 5

7 5

9 −

− = −

− = − +

−

c)

(

₍

)(

₎₍

)

₎

4

6 12 30 10 6

2

6 12 30 10 6

2 6 2

6 2 6

5 − + −

− = −

− + − = − +

− +

67 Representa en la recta real los intervalos:

a) (-∞,-1) b) (-1, +∞) c) [0, +∞) d) (-∞,1] Solución:

68 Halla las aproximaciones por defecto, por exceso y por redondeo del número 3,162277..., cuando se eligen dos o tres cifras decimales.

Solución: . 3,162277..

65 Sabiendo que log2=0,301 y log3=0,477, halla: a) log6

b) log30

c)

3 1 log

3,17 3,16

3 cifras 3,162 3,163 3,162

Aproximación Por defecto Por exceso Por redondeo

Solución:

70 Dado el número 4 523,4852. Escribe:

a) Las aproximaciones a centenas por defecto y por exceso. b)Las aproximaciones a decenas por defecto y por exceso. c) Las aproximaciones a unidades por defecto y por exceso. Solución:

Dado el número 4523,4852:

71 Representa en la recta real los intervalos:

a) (-3,0) b) (-4,-1] c) [0,3) d) [-1,2] Solución:

72 Halla el error absoluto, el error relativo y la cota de error o error máximo que se puede producir cuando se toma para

9 7

el valor de 0,78.

Solución: 0,777... 9

7 ₌

Error absoluto: 0,78 - 0,777... = 0,002222... 0,23%≤

Error relativo: 0,00285714285714...

350 1 900 · 7

2 · 9 9 7 : 900

2 0,777...

0,00222... _{= = = = 0,29%≤}

Cota de error: 0,77 < 0,777...< 0,78 ⇒ 0,78 - 0,77 = 0,01 = 1%. La cota de error es de una centésima o del 1%. Eso quiere decir que el error que se produce es inferior o igual a una centésima.

73 Ordena de forma decreciente los siguientes números: a) 2 3 b) 5 c) 3 2 d) 2 5

69 Indica las sucesivas aproximaciones por exceso y por defecto, hasta la milésima de: 3=1,732058… y π2 = 9.869604…

1,732 1,733 Milésima 9,869 9,870 Milésima

3 Defecto Exceso Error menor que: π2 Defecto Exceso Error menor que:

Aproximación unidades decenas centenas

Por defecto 4523 4523,4 4523,48

Por exceso 4524 4523,5 4523,49

1 2 Unidad 9 10 Unidad

1,7 1,8 Décima 9,8 9,9 Décima

74 Indica las sucesivas aproximaciones por exceso y por defecto, hasta la milésima de: 5=2,236068… y π = 3,1415927…

Solución:

75 _{Escribe las tres primeras aproximaciones por defecto del número 1+ 10 , cuyo error sea menor que una} unidad, una décima y una centésima.

Solución:

. 4,162277.. 10

1+ =

4 : es una aproximación por defecto con un error menor que una unidad. 4,1: es una aproximación por defecto con un error menor que una décima. 4,16: es una aproximación por defecto con un error menor que una centésima.

76 Calcula el área de una circunferencia de radio 2m, dando el resultado por exceso por defecto y por redondeo hasta las diezmilésimas.

Solución:

Se calcula el área de la circunferencia: A = π· r2 _{= 12,566371...}

77 Calcula el valor de la diagonal de un cuadrado, dando el resultado por exceso por defecto y por redondeo hasta las diezmilésimas cuando su lado mide 4m.

Solución: d > c > a > b

2,23 2,24 Centésima 3,14 3,15 Centésima

2,236 2,237 Milésima 3,141 3,142 Milésima

5 Defecto Exceso Error menor que: π Defecto Exceso Error menor que:

2 3 Unidad 3 4

12,566371 Defecto Exceso Redondeo

12 13 13

12,5 12,6 12,6

12,56 12,57 12,57

12,566 12,567 12,566

12,5663 12,5664 12,5664

Unidad

78 Da las aproximaciones por defecto por exceso y por redondeo con 2,3 y 4 cifras decimales de 5=2,236068… y π = 3,1415927…

Solución:

79 Da las aproximaciones por defecto por exceso y por redondeo con 1, 2, 3 y 4 cifras de: 3=1,732058… y _π2 _{= 9.869604…}

Solución:

80 _{Expresa en forma decimal los números} 4_{5 y}5_{6 e indica cuál de los dos esta situado más a la derecha en} la recta real.

Solución:

1,43097 6

y 1,49535

5 5

4 _{= = por tanto se sitúa más a la derecha el mayor que es} 4₅

_.

81 Calcula los redondeos de π con las cifras mínimas para que el error sea menor que una décima, una centésima, una milésima, una diezmilésima y una cienmilésima.

Solución:

Aplicando el teorema de Pitágoras: h= 2c2; h= 32=5,656854...

5

5 Defecto Exceso Redondeo π Defecto Exceso Redondeo

2 3 2 3 4 3

2,2 2,3 2,3 3,1 3,2 3,1

2,23 2,24 2,24 3,14 3,15 3,14

2,236 2,237 2,236 3,141 3,142 3,142

6 6

5,6 5,7 5,6

3 Defecto Exceso Redondeo π2 Defecto Exceso Redondeo

1 2 2 9 10 10

1,7 1,8 1,7 9,8 9,9 9,9

1,73 1,74 1,73 9,86 9,87 9,87

1,732 1,733 1,732 9,869 9,870 9,870

5,65 5,66 5,66

5,656 5,657 5,657

5,6568 5,6569 5,6569

82 Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos:

2 x 1 -d) 3 x 0 c) -1 x 4 -b) 0 x 3

a) < < < ≤ ≤ < ≤ ≤

Solución: a) Abierto (-3,0)

b) Abierto por la izquierda (-4,-1] c) Abierto por la derecha [0,3) d) Cerrado [-1,2]

83 _{Expresa 13 , con 0, 1, 2, 3 y 4 cifras decimales:}

a)Por defecto. ¿Qué error máximo se comete en cada término? b) Por exceso. ¿Qué error máximo se comete en cada término? Solución:

... 3,60555127 13 =

a) Los términos y el error máximo que se comete al elegir cada término por defecto, se indican en la siguiente tabla:

b) Los términos y el error máximo que se comete al elegir cada término por exceso, se indican en la siguiente tabla:

84 Escribe y dibuja los siguientes intervalos:

1 x d) x 0 c) x 1 -b) 1 x

a) <− < ≤ ≤

Solución:

a)

(

−∞,−1

)

b)

(

−1,+∞

)

c)

[

0,+∞

)

d)

(

−∞,1

]

85 Escribe los siguientes números en forma decimal y con las mínimas cifras para que el error sea menor que una milésima.

a) 15

1

b) 12 c) 3 7 Solución:

π = 3,14159265...

3,1: es el redondeo con error menor que una décima. 3,14: es el redondeo con error menor que una centésima. 3,141: es el redondeo con error menor que una milésima. 3,1416: es el redondeo con error menor que una diezmilésima. 3,14159: es el redondeo con error menor que una cienmilésima.

Error unidad décima centésima milésima diezmilésima

Términos 3 3,6 3,60 3,605 3,6055

Error unidad décima centésima milésima diezmilésima

86 Coloca de izquierda a derecha (según estarían colocados en la recta real) los siguientes números:

(

2 1

)

3 d)2 3 b)

1 3 2 c) 1 3 2 a)

+

+ +

Solución:

Los valores correspondientes a cada número son: a) 4,4641

b) 5,1961 c) 4 d) 3,4641

Su orden en la recta real será: d → c → a → b

87 Dado el número 8,06225..., completa la siguiente tabla:

Solución:

Número: 8,06225... Solución:

a) =0,066 →

15 1

con error menor que una milésima b) 12 =3,464→ con error menor que una milésima c) =2,333 →

3

7 _{con error menor que una milésima}

2 cifras 8,07

3 cifras 8,062

4 cifras 8,0623 0,0001

5 cifras 8,06225

Aproximación Por defecto Por exceso

Aproximación Por defecto Por exceso Error menor que

1 cifra 8,0 8,1 0,1

2 cifras 8,06 8,07 0,01

3 cifras 8,062 8,063 0,001

4 cifras 8,0622 8,0623 0,0001

5 cifras 8,06225 8,06226 0,00001

Error menor que