Una magnitud es cualquier cosa que puede ser medida y medir no es más que comparar una magnitud con otra de la misma especie que se toma como referencia. Las magnitudes se expresan con un número y unas unidades. En algunas ocasiones el número a expresar es muy grande o muy pequeño y por eso necesitamos utilizar múltiplos o submúltiplos de las unidades.
Las magnitudes se clasifican en función de su origen o de su naturaleza.
Múltiplos Submúltiplos 101 deca da
102 hecto h 103 kilo k 106 Mega M 109 Giga G 1012 Tera T 1015 Peta P 1018 Exa E 1021 Zetta Z 1024 Yotta Y
10-1 deci d 10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a 10-21 zepto z 10-24 yocto y
Por su origen pueden ser:
Fundamentales. Un conjunto de siete magnitudes independientes entre sí, elegidas de forma arbitraria, en función de las que se pueden escribir todas las demás. Las magnitudes fundamentales y sus unidades son las de la tabla.
Magnitud Unidad SI Dimensión
Longitud metro (m) L
Masa kilogramo (kg) M
Tiempo segundo (s) T
Temperatura kelvin (K)
Cantidad de materia mol N
Intensidad de corriente amperio (A) I Intensidad luminosa candela (cd)
Derivadas. Se obtienen por combinación de las fundamentales. Cada una tiene una dependencia que se expresa con la ecuación de dimensiones.
Los ángulos son magnitudes complementarias.
Por su naturaleza las magnitudes pueden ser escalares o vectoriales. Las escalares quedan definidas por un número y unas unidades pero las vectoriales necesitan además una dirección y un sentido. Estas últimas se expresan utilizando vectores.
Suma de vectores
Si tienen el mismo punto de aplicación se trazan paralelas a cada vector por el extremo del otro. Si están uno a continuación de otro, se une el origen del primero con el extremo del último.
Si los vectores son paralelos, la suma tiene la misma dirección y sentido, el punto de aplicación está en la recta que une los puntos de aplicación, de forma que al multiplicar el módulo de cada vector por su distancia al punto de aplicación de la suma se obtiene una constante:
1 2
F ·AO F ·BO (fuerza por brazo igual a la otra por el suyo) La resta es un caso particular de la suma: r a b a ( b)
F1 F2
F1+F2 O
A B
a
b
a
b
c S
S
a r
x y
v
vx vy
x
y z
Módulo de un vector. Componentes de un vector
El módulo de un vector es su longitud, se calcula utilizando el teorema de Pitágoras y se representa por v o v . 2 2
x y
v v v v
Las componentes de un vector son sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas. Son vectores, en la dirección de los ejes de coordenadas, que sumados dan el vector:
x y
v v·cos
v v·sen v·cos
Si el vector está en tres dimensiones: 2 2 2
x y z
v v v v v
x
y
x z
y z
v v·cos
v
v v
v v·cos cos ; cos ; cos
v v v
v v·cos
A los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ejes de coordenadas se les llama cosenos directores y su suma es la unidad. Conociendo dos ángulos, el tercero queda determinado.
2 2 2 2
2 2
y x y z
2 2 2 x z
2 2 2 2
v v v v
v v
cos cos cos 1
v v v v
Vectores unitarios
Un vector unitario es un vector de módulo 1. Hay tantos vectores unitarios como direcciones posibles. Los vectores unitarios en la dirección de los ejes de coordenadas se denominan i, j y k. Para obtener el vector unitario en la dirección de un vector se divide el vector entre su módulo:
y
x z
v
x y z
v
v v
v v i v j v k u i j k
v v v
Los cosenos directores son las componentes del vector unitario. Producto de un escalar por un vector
Cuando se multiplica un número n por un vector se obtiene otro vector n veces más grande, en la misma dirección y con el mismo sentido si el signo del escalar es positivo.
Producto escalar
Se define como un número (escalar) que es igual al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman. a·b a · b ·cos
El producto escalar es conmutativo a·b b·a y se anula cuando los vectores son perpendiculares. Si tenemos los vectores en función de sus componentes:
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
x x y y z z
a·b (a i a j a k)·(b i b j b k) a b i·i a b i·j a b i·k a b j·i a b j·j a b j·k a b k·i a b k·j a b k·k
a b a b a b
Los productos de vectores iguales son 1
i·i j·j k·k 1·1·cos0 1
Los de vectores diferentes se anulan porque el ángulo que forman es 90º
i
j k
i
j k
i
j k a
b axb
La aplicación fundamental es el cálculo del ángulo que forman dos vectores:
x x y y z z
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
x x y y z z
a·b a · b ·cos a b a b a b
cos
a a a b b b
a·b a b a b a b
Producto vectorial
Se define como un vector que tiene el mismo punto de aplicación, módulo igual a a b sen, dirección perpendicular al plano de los vectores y sentido el del tornillo al pasar del primero al segundo. El producto vectorial no es conmutativo, a b b a
Si tenemos los vectores en función de sus componentes y multiplicamos:
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
a b (a i a j a k) (b i b j b k) a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j a b j k
a b k i a b k j a b k k
El producto de dos vectores iguales se anula
i i j j k k 1·1·sen0 0
El producto de dos vectores diferentes es un vector unitario dado por la regla del tornillo
i j k j i k
k i j i k j
j k i k j i
Sustituyendo el valor de los productos, tenemos:
y z z y z x x z x y y x
a b (a b a b )i (a b a b )j (a b a b )k
En la práctica se resuelve utilizando un determinante. Un determinante es un conjunto de números distribuidos en filas y columnas que se puede reducir a un número. Los de orden 3 se resuelven con la regla de Sarrus:
Términos positivos: x y z
x y z
i j k
a a a
b b b
Términos negativos: x y z
x y z
i j k
a a a
b b b
x y z y z z x x y z y x z y x y z z y z x x z x y y x
x y z
i j k
a a a a b i a b j a b k a b i a b j a b k (a b a b )i (a b a b )j (a b a b )k
b b b
Una de las aplicaciones que tiene el producto vectorial es el cálculo de áreas definidas por dos vectores:
S b·h b·a·sen a b a
b
a
b c b x c
90
Momento de un vector
Se define el momento de un vector, aplicado en el punto P, con respecto al punto O como el producto vectorial
MOP v
Si tenemos que calcular el momento de varios vectores aplicados en el mismo punto, primero se suman y después se calcula el momento del vector resultante. (Teorema de Varignon)
Producto mixto de tres vectores
Se define como el producto escalar de un vector por el vectorial de los otros dos, a·(b c) .
Su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.
El volumen de la figura es V S·h
El área de la base es el módulo b c y la altura
h a·sen(90 ) a·cos
Si el producto mixto es cero los vectores son coplanarios. El producto mixto también se puede calcular utilizando un determinante:
x y z
x y z
x y z
a a a
a·(b c) b b b
c c c
De cualquier paralelepípedo se pueden sacar seis tetraedros, por lo que el volumen de un tetraedro es la sexta parte del producto mixto. Vamos a ver cómo se pueden sacar seis tetraedros de un paralelepípedo:
Hay que tomar los puntos (vértices) de cuatro en cuatro, dos veces cada uno, sin que estén en el mismo plano.
Derivada de un vector
Si tenemos un vector en el que las componentes dependen de un parámetro t, la derivada es un vector que se obtiene derivando cada una de las componentes:
d a df(t) dg(t) dh(t)
a f(t) i g(t)j h(t)k i j k
dt dt dt dt
P
M v v
r1 r2
v1
v2
vT
vN
v r1
r2 v1
v2 r1
r2
r=r2 -r1
s Cinemática
Parte de la Física que estudia los movimientos sin preocuparse de las causas que los producen. Supongamos un cuerpo que describe la trayectoria que se representa en la figura. En ella definimos:
Vector de posición res el que une el origen de coordenadas con la posición del cuerpo que se mueve en cada instante. La trayectoria descrita por el móvil es la sucesión de los puntos por los que pasa.
Vector desplazamiento r r2r1 es el vector que une la posición inicial
con la final.
Vector velocidad es la variación del vector de posición con respecto al tiempo. La velocidad puede ser:
Velocidad media v r t
Velocidad instantánea t 0
r dr v lim
t dt
A medida que t se hace más pequeño, r r2r1, se parece más
a la trayectoria s, y cuando t 0el vector velocidad es tangente a la trayectoria.
La aceleración se define como la variación de velocidad con respecto al tiempo:
t 0
v dv a lim
t dt
Componentes de la aceleración: Supongamos dos puntos muy próximos, la aceleración podemos expresarla como suma de dos vectores, uno paralelo a la velocidad y otro perpendicular.
T N
T N
t 0 t 0 t 0
v v v
a lim lim lim a a
t t t
aT aceleración tangencial, en la dirección del vector v aN aceleración normal, en la dirección perpendicular a v Vamos a ver cuánto vale cada una de ellas:
Aceleración tangencial:
T
T T T T
t 0 t 0 t 0
v (v v)cos v v dv
a lim lim u lim u u
t t t dt
Aceleración normal:
N
N N N N
t 0 t 0 t 0 t 0
N N
t 0 t 0
(v v)sen v sen v sen v sen
v
a lim lim u lim u lim u
t t t t
v s v s
lim u lim u
r t r t
El término v sen v 0, es el producto de dos infinitésimos. Para ángulos muy pequeños sen y como s r s
r
con lo que el valor de la aceleración normal es: aN v2 uN
r
s r
r
Cualquier trayectoria puede descomponerse en una sucesión de arcos de circunferencia de distintos radios. El radio de curvatura r es el valor de ese radio en un momento determinado.
Los movimientos se pueden clasificar en función de la trayectoria como rectilíneos o curvilíneos y en función de la velocidad como uniformes (si v=cte) o variables.
De cursos anteriores tenemos que recordar que:
F 0
v v a t F 0 t 2
0 0
1 2
e e v t a t 2
0 0
1 2
t t
2 2
F 0
v v 2a e
2F 202
Todas estas expresiones son fáciles de deducir.
La aceleración es: a dv a dt dv dt
Si ahora integramos desde t=0 (v=v0) hasta t (v=v), tenemos
0
t v
0 0
t 0 a dt v dv a·t v v v v a t
Si hacemos lo mismo con la velocidad, v de v dt de dt
Integrando, con el valor de la velocidad,
0 0
t e t e 2
0 0 0
t 0 e t 0 e
1 2
v dt de (v a t)dt de e e v t a t
En el caso del movimiento circular, las ecuaciones son las mismas sin más que cambiar cada letra por su equivalente.
Composición de movimientos:
Si un cuerpo está sometido a dos movimientos simultáneos, la posición, la velocidad y la aceleración son iguales a la suma vectorial de los dos movimientos. Si los movimientos se producen en ejes diferentes se pueden considerar independientes. La única magnitud en común en el tiempo.
El río.
Se trata de una composición de dos movimientos uniformes. En vertical, el tiempo para atravesar el río es
N
N
AB AB v t t
v
En horizontal y en ese tiempo recorre un espacio BCv tR
Para llegar justo al punto B, la velocidad total debe ir en la dirección AB y deberá salir formando un ángulo R
N
v sen
v
Tiro parabólico: lanzamiento de proyectiles
La trayectoria es una parábola. En horizontal el movimiento es uniforme con velocidad constante y en vertical primero es frenado por la gravedad hasta llegar al punto más alto y luego acelerado desde cero.
vN
vR vT
A B
vN
vR vT
A
En el eje horizontal:
x 0x 0 x 0
v ctev v cos xv ·tv cos t (1) En el eje vertical:
2 2
y 0y 0y 0
1 1
2 2
v v g·t yv ·t g·t v sen t g·t (2) Estas son las ecuaciones paramétricas del movimiento. Si despejamos t en (1) y sustituimos en (2), obtenemos la ecuación de la trayectoria (parábola):
2
2 2
0
g·x y x·tg
2 v cos
Si el proyectil se lanza desde una altura h la ecuación de la trayectoria se convierte en:
2
2 2
0
g·x
y x·tg h
2 v cos
En el punto más alto la velocidad en vertical se anula:
2 2 2 2
0 0 0 0
y 0 SUBE SUBE MAX 0 2
v sen v sen 1 v sen v sen
v 0 0 v sen gt t y v sen g
g g 2 g 2g
El tiempo que está el proyectil en el aire es 0 SUBE
2 v sen t 2t
g
Y el espacio recorrido en horizontal es:
2 2
0 0 0
MAX x 0
2 v sen 2 v sen cos v sen2
x v t v cos
g g g
Para que llegue lo más lejos posible con la misma velocidad inicial sen2 1, por lo que el ángulo de lanzamiento debe ser de 45º.
Dinámica
Parte de la física que estudia las causas que producen los movimientos, o sea las fuerzas. Una fuerza es cualquier cosa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo o de deformarlo. La dinámica se basa en las leyes de Newton:
Newton 1: Principio de Inercia
Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o si la suma de las que actúan es cero, el cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme.
Newton 2: Ecuación fundamental de la dinámica
Cuando aplicamos una fuerza sobre un cuerpo, este se mueve con una aceleración que es proporcional a la fuerza aplicada. F m·a
Newton 3: Principio de Acción y Reacción
Si un cuerpo A realiza una fuerza sobre otro B, este realiza otra sobre A igual y de sentido contrario. Las fuerzas de acción y reacción son iguales, van en la misma dirección y en sentidos contrarios, pero no se anulan porque están aplicadas en cuerpos diferentes.
v0
v0x v0y
xMAX
yMAX
El momento lineal o cantidad de movimiento se define como el producto de la masa de un cuerpo por la velocidad que lleva p mv
Principio de conservación del momento lineal:
d p dv d
F m·a m· (m·v)
dt dt dt
Si 0 F
dp
F 0 0 p cte p p
dt
Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, o la resultante es nula, el momento lineal se mantiene constante. Aplicación de la conservación del momento lineal: choques.
Choque inelástico.
Los objetos que colisionan permanecen unidos después del choque. Nadie hace fuerzas sobre el sistema por lo que el momento lineal se mantiene constante.
O F 1 1 2 2 1 2 F
1 1 2 2
F
1 2
p p m v m v (m m ) v
m v m v v
m m
La energía no se conserva, parte de ella se gasta en deformar los cuerpos permanentemente. E0 EF
Cuando el choque se produce en dos dimensiones, el procedimiento es el mismo pero hay que recordar que el momento lineal es un vector y para que dos vectores sean iguales p0 pF, tienen que serlo sus componentes: p0 x pFx y p0y pFy
Una explosión es lo mismo que un choque inelástico, pero al revés, varias partículas que estaban en reposo al principio, se mueven al final en distintas direcciones.
0X FX 1 1 2 2 3 3
0Y FY 1 1 2 2 3 3
p p 0 m v cos m v cos m v cos
p p 0 m v sen m v sen m v sen
Y además m m 1m2m3
Choque elástico.
Los objetos que colisionan lo hacen sin deformaciones permanentes. En este caso se mantiene constante el momento lineal (por ser choque) y la energía (por ser elástico y no tener deformación)
0 F 1 1 2 2 1 1F 2 2F
2 2 2 2
0 F 1 1 2 2 1 1F 1 2F
1 1 1 1
2 2 2 2
p p m v m v m v m v
E E m v m v m v m v
Si las dos partículas que chocan tienen la misma masa, las velocidades se intercambian,v1F v2 y v2F v1
Si una de las masas es mucho más grande que la otra y está en reposo, la masa pequeña rebota m1m , v2 10 v2F v2
El choque real es una situación intermedia entre el elástico y el inelástico. Se define el coeficiente de restitución como:
2F 1F
2 1
v v
k
v v
k=0 Choque inelástico 0<k<1 Choque real k=1 Choque elástico 1
2 3
ANTES DESPUES
m1 m2
v1 v2
m1 m2
v1F v2F
ANTES
DESPUES
v1 v2
vF
m1 m
2
m1+m2
ANTES
T1 T
2
FCF
FCP
Impulso mecánico
La velocidad que adquiere un cuerpo cuando se le aplica una fuerza depende del valor de la fuerza y del tiempo que esté aplicada. Vamos a definir el impulso mecánico el producto de una fuerza por el tiempo que está actuando, o lo que es lo mismo, la variación del momento lineal.
F F
0 0
t v
t v
F 0 F 0
dv d(mv)
F m·a m·
dt dt
F·dt d(mv) I F·dt d(mv)
I F(t t ) mv mv
Fuerzas especiales: Fuerza de rozamiento
La fuerza de rozamiento es una fuerza de contacto. Es una fuerza que se opone al movimiento y se debe a la rugosidad de las superficies.
Hay dos coeficientes, el estático ( )E para comenzar a deslizar y el dinámico ( )D para proseguir con movimiento uniforme una vez que ha empezado a moverse,
E D
. Solo usaremos uno .
En el plano inclinado cuando el cuerpo comienza a deslizar F F R N
En ese momento FMOVTO 0 mg sen mg cos tg y los valores extremos de son 0 e
Tensiones
Son fuerzas que aparecen cuando hay cuerdas y representan lo que hace el resto del problema sobre un cuerpo.
No se tienen en cuenta para calcular la aceleración del sistema. Para calcular su valor se aplica F m·a a cada cuerpo por separado. Si la polea no tiene dimensiones (masa, radio), las tensiones a los dos lados son iguales.
Fuerza centrípeta/centrífuga
Cuando un cuerpo describe una trayectoria curva hay una aceleración normal, dirigida hacia el centro de curvatura; es la aceleración centrípeta y sobre la masa actúa una fuerza dirigida hacia el centro.
2 CP
v
F m
R
Si ponemos el sistema de referencia en el cuerpo que se mueve hay una fuerza que tira del cuerpo hacia el exterior; la fuerza centrífuga.
2 CF
v
F m
R
Las dos fuerzas representan lo mismo. La fuerza centrífuga solo tiene sentido si colocamos el sistema de referencia en el cuerpo que se mueve.
FR
Trabajo
Si al aplicar una fuerza sobre un cuerpo se produce un desplazamiento se realiza un trabajo. Se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento, W F·e F·e·cos
El trabajo es máximo cuando los vectores F y e van en el mismo sentido y se anula cuando F y e son perpendiculares. Se mide en julios (J). Si la fuerza que realiza el trabajo es variable, FIN
INI
W
F·deFuerza conservativa: el trabajo que realiza al desplazar un cuerpo desde el punto A hasta el punto B, no depende del camino recorrido, solo de los puntos inicial y final.
Fuerza no conservativa: el trabajo depende del recorrido, p. ej: la fuerza de rozamiento.
Energía es la capacidad que tiene un cuerpo para producir trabajo. Hay muchos tipos de energía, en esta parte de la física sólo vamos a considerar dos: la energía cinética y la energía potencial.
Energía cinética. Si aplicamos una fuerza sobre un cuerpo, se mueve con aceleración y recorre un espacio
2 0
1 2
e v t a t y como el trabajo es
22 F 0 F 0 2
0 0
2 2 2 2 2
F 0 0 F 0 F 0 F 0
1 1
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
v v v v
W F·e m·a·e m·a v t a t m· v t m· t
t t
mv v mv mv mv mv v mv mv
Al término 1 2
2mv se le llama energía cinética y el trabajo realizado por la fuerza hace variar la energía cinética.
Ahora vamos a elevar un cuerpo de masa m hasta una altura h. La fuerza que tenemos que hacer es igual al peso del cuerpo y el trabajo para elevarlo es W F·d mgh y definimos la energía potencial como la que tiene un cuerpo debido a la posición que ocupa EP mgh
La suma de las dos es la energía mecánica y se mantiene constante (principio de conservación) Potencia
Mide la eficiencia de una máquina y es el trabajo que puede realizar en la unidad de tiempo P W t
Es una magnitud escalar y se mide en watios (W) o en CV (1 CV=735w) F·e
W
P F·v
t t
Centro de masas
Un sistema de puntos puede reducirse a uno en el que se supone concentrada la masa de todos. Si tenemos un conjunto de masas, cada una con su vector de posición, se define el cdm como el punto que tiene el siguiente vector de posición:
1 1 2 2 3 3
CDM
1 2 3
m r m r m r
r
m m m
F
e
m1
m2
m3 r1
r2
r3
Para un sistema discreto de partículas, las coordenadas del centro de masas son:
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
CDM CDM CDM
1 2 3 1 2 3 1 2 3
m x m x m x m y m y m y m z m z m z
x y x
m m m m m m m m m
Si el número de partículas es mayor i i i i i i
CDM CDM CDM
i i i
m x m y m z
x y z
m m m
Si se trata de un sistema continuo, el sumatorio se convierte en integral:
i i i
CDM CDM CDM
x dm y dm z dm
x y z
dm dm dm
Si un cuerpo tiene un elemento de simetría (eje o plano) el cdm está sobre él. Si el cuerpo tiene varios el cdm está en la intersección de ellos.
Análisis dimensional
Las magnitudes derivadas se expresan en función de las fundamentales por medio de la ecuación de dimensiones.
1 2 2 2 2 2 3
e v W
v L T a L T F ma ML T W F e ML T P ML T
t t t
Los ángulos, logaritmos y funciones trigonométricas no tienen dimensiones.
Se utiliza para comprobar si una ecuación es correcta; las ecuaciones tienen que ser dimensionalmente homogéneas. Supongamos que tenemos una duda sobre la fórmula del periodo de un péndulo, sabemos que depende de la longitud y de la aceleración de la gravedad, pero no recordamos el orden.
2
2 2 1
2
L·T
L L g
T 2 T T T 2 T T
g L·T L L
Supongamos ahora que nos dicen que la velocidad de caída de un cuerpo depende de m, g y h:
a b c
v k m g h siendo k una constante. Ahora escribimos las dimensiones de cada magnitud
1 a 2 b c a b 2b c a b c 2b
L T (M) (L T ) (L) M L T L M L T y como las ecuaciones tiene que ser homogéneas
1 1
2 2
a 0 2b 1 b b c 1 c
