Guía de Ejercicios 13 vectores ejercicios resueltos

Facultad de Ciencia

Coordinación: Calculo II para Ingeniería 1° Semestre 2015

Ejercicios Resueltos de Vectores

1. Sean los vectores en IR 3: v  1,3, 2 , u  2,3,4 ,  2, 0,1



a y  1,5,4



b :

a) Determine los vectores: UV y AB

UV

 





v

u

= ( 1+2 , – 3 –3 , 2 + 4 ) = 3,6,6

AB

 





b

a

= ( 1–2 , 5 – 0 , 4 +1 ) = 1, 5,5

b) Determine el vector ST = UVAB

ST = UVAB = 3,6,6 x 1, 5,5 =

5 5 1

6 6 3 

 k j i

= 60,21,9

c) Calcule UV ST AB







(

ST

AB

)

UV

3,6,6





60,21,9  -1,5,5









(

ST

AB

)

UV

3,6,6



5 5 1

9 21 60 

 

k j i

= 3,6,6



150,291,321 = – 630

d) Determine si el vector 

v es una combinación lineal de los vectores u , a , b . Desarrollo:

Sea el vector v  1,3, 2 , y los escalares



,



,







entonces:

2 , 3 , 1 

v =





u







a







b

 2,3,4  2, 0,1  1,5,4

De donde se obtiene el sistema de ecuaciones lineales por igualdad de vectores

2 4 4

3 5 3

1 2

2

   

  

   

  

 

  

, cuyas soluciones son _138 _,

0





y _{ 13}3

Por tanto v  1,3, 2 ₁₃8 2,3,4 0 2, 0,1 ₁₃3 1,5,4 , ello significa que el

vector 

v es una combinación lineal de los vectores 

u

,



a

,

2. En IR3 sean los vectores v 3,4,5 y u 1,2,3 , determinar:

a. vu= 3,4,5  1,2,3 314253381526

b. vu = 3,4,5 x 1,2,3 =

3 2 1

5 4 3

-k j i

= 2,4,2

c. uv = 1,2,3 x 3,4,5 =

5 4 3

-3 2 1

k j i

= 2,4,2

De los resultados anteriores vemos que se cumple vu 



uv



d. (uv)u



(1,2 ,3)(-3,4,-5)



1 ,-2 ,3 = 2, 2,2 x 1,2,3 =

3 2 1

2 2 2

-k j i

2 , 4 , 10 

3. Sean los vectores en IR 3: v  2,1,3 , u  1,0,4 y w  1,1,2 , obtener:

a. UVUW











   

)

u

w

(

)

u

v

(

1,1,-1



0,1,2 = 3

b. _(1,2,-1)

2 1 0

1 1 1

k j i 2 -, 1 -0, 1 -, 1 -1,

UW

   



UV

4. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos:

1. P(3,1,2) y Q(2,7,4). ¿Está el punto A(5,2,1) sobre esta recta?

Determinemos las ecuación de la recta

r

que pasa por los puntos P(3,1,2)

y

)

4 , 7 , 2

( 

Q

Un vector director de

r

es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el

punto Q: PQ =

OQ



OP

=



2

,

7

,



4

–

3

,

1

,



2

= 5

,

6

,



2

. Por lo tanto, la

ecuación de la recta

r

en forma vectorial es:

z

y

x

r



,

,

=

OP

+

PQ

=

3

,

1

,



2

+



 5

,

6

,



2

En forma paramétricas es: r :     

  

 

 

  

2 2

6 1

5 3

z y x

En forma simétrica es: r :

2 2 6

1 5

3 _ 

  

 y z

x

En su forma implícita es: r :   

  

  

0 16 5 2

0 23 5 6

z x

Reemplazando el punto A(5,2,1) sobre la recta en forma paramétricas tenemos:

     

  

 

  



  



 

2 1 2 1 5

8

2 2 1

6 1 2

5 3 5

 

 

 

El punto A(5,2,1) no esta sobre la recta, pues los  obtenidos son distintos.

2. P(1,4,2) y Q(3,3,5) . ¿Está el punto B(13, 1,14) sobre la recta L(P,Q) . Desarrollo:

Determinemos las ecuaciones de la recta

r

que pasa por los puntos

P

(



1

,

4

,

2

)

y )

5 , 3 , 3

( 

Q . Un vector director de

r

es, por ejemplo, el vector que va desde el punto

P hasta el punto Q.

PQ

=

OQ



OP

=



3

,

3

,



5

– 1

,

4

,

2

=



2

,



1

,



7

. Por lo

tanto, la ecuación de la recta

r

en forma vectorial es:

z

y

x

r



,

,

=

OP

+



PQ

= 1

,

4

,

2

+ 



2

,



1

,



7

En forma paramétricas la ecuación de la recta es

    

 

 

  

 



7 -2

4

2 -1

z y x r

En forma continua es: r :

7 2 1

4 2

1

   

  

 y z

x

En forma implícita es

  

  

   

0 11 2 7

0 9 2

z x

y x r

Reemplazando el punto B(13,1,14) sobre la recta en forma paramétricas tenemos:

     

  



  



   

 



7 12

7 2 14

3

4 1

7

2 1 13

 

 

 

El punto B(13,1,14) no está sobre la recta, ya que los



son todos diferentes entre si.

5. Encuentre una ecuación del plano que pasa por los siguientes tríos de puntos de IR 3: a. P(1,3,2), Q(2,3,4), y R(2,0,1).

Desarrollo:

Determinemos los vectores

PQ

= -3,6,-6 y PR  1,3,3 , y calculemos PQPR.

PR

PQ = -3,6,-6 x 1,3,3 _{ }

3 3 1

6 6 3

-k j i

5 1 -, 15 ,

0 =



n, este es un vector

normal al plano. Por consiguiente, de acuerdo a la formula punto-normal, se tiene:

a( x – x0) + b ( y – y0) + c ( z – z0) = 0, de donde 0( x – 1) + 15 ( y + 3) –15 ( z – 2) = 0

b.

P

(

2

,



3

,

4

)

,

Q

(

5

,



2

,

4

)

, y R(2,7,4) . Desarrollo:

En este caso

PQ

 3,1,0 , PR  -4,10,-8

PR

PQ = 3,1,0  -4,10,-8 _{ }

8 10 4

-0 1 3

k j i

34 , 24 , 8

- =



n

, es un vector normal al

plano. Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal, se tiene:

– 8 ( x – 5 ) + 24 ( y + 2 ) + 34 ( z – 4) = 0

es decir – 8x + 24 y + 34 z – 48 = 0, es la ecuación general del plano; considerando que Q es el punto en el plano.

c. P(1,3,7), Q(2,3,5), y R(2,0,5). Desarrollo:

Nuevamente calculamos los vectores

PQ

 3,-6,12 y PR  -1,-3, 2 , por tanto:

PR

PQ



= 3,-6,12 x -1,-3, 2 _{ }

2 3 1

12 6 3

k j i

15 -, 18 -,

24 =



n

, es el vector

normal al plano). Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal, se tiene:

24 ( x +2 ) – 18 ( y – 0 ) – 15 ( z +5 ) = 0

es decir 24x18y15z27 , es la ecuación general del plano; considerando que R es el punto en el plano.

6. Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto

P

(

5

,



2

,

4

)

y que es paralelo al plano

dado por la ecuación

3

x



y



6

z



8



0

. Solución:

Como los dos planos son paralelos, tienen las mismas normales. La normal al plano dado es

6 -, 1 , 3 

n . Luego la ecuación pedida se obtiene de 3 ( x – 5 ) + 1 ( y + 2 ) – 6 ( z – 4 ) = 0, por tanto 3xy6z11 es la ecuación del plano desconocido.

7. Encuentre la distancia del punto P(2,3,4) al plano dado por la ecuación 4x3y2z24 . Dibuje el punto y el plano dado.

Solución:

Aplicamos la formula de distancia de un punto a un plano, dada por:

d =

2 2 2

0 0 0

c b a

d z c y b x a

 

  

= 0,186

29 29 29 1

2 3 4

24 -4 2 3 3 2 4

2 2

2_{ }   

    

8. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto

P

(

3

,

1

,

2

)

y que es paralela a la recta

cuyo vector director es v 2i7j4k. Solución:

Se tiene 

v

= ( a , b , c ) = ( – 2 , 7 , 4 ). Luego aplicando la forma simétrica se obtiene la ecuación

de la recta pedida:

4 2 -7

1 2

3 y z

x _  _

9. Sean los vectores en IR 3 v (2,3,5) , u (1, 0,3) y w (0,4, 1) . ¿Es el vector A(4,15,2) una combinación lineal de los vectores u , v , w ? Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos V, U y W.

Solución:

a) Por determinar si los vectores dados son combinación lineal del vector A. 

  

    

v  u  w A

  (2,3,5)(-1,0,3)(0,-4,1)(4,-15,2)

Desarrollando el sistema de ecuaciones lineales asociado, se tiene:   1; -2; 3

Por tanto los vectores dados son combinación lineal del vector 

A.

b) Determinación de la ecuación del plano que contiene a los puntos asociados a los vectores dados.

Calculamos los vectores

UV

 3,-3,2 y VW  1,-4, -2 , determinamos UVVW.

VW

UV = 3,-3,2 x 1,-4, -2 _{ }

2 4 1

2 3 3

k j i

9

-,

8

-,

14

. Luego la ecuación

del plano será 14( x-0)-8(y4)-9(z-1)0 . Por tanto la ecuación del plano pedida es 14x8y-9z23 .

10. Sean los vectores en IR 3: v  2,3,5 y w  3,1,2 . ¿Es el vector u  4,15,2 coplanar a los vectores V y W? Si no los es calcule el volumen del paralelepípedo.

Solución:

Tres vectores son coplanares si el triple producto es nulo, es decir (v  w ) 0   

u .

Entonces   

  

) w v (

u _

2 1 3

3 3 1

5 3 2

89



0, por lo tanto los vectores no son coplanares.

El volumen de un paralelepípedo está expresado por (v w)

  

   u

V , por tanto el volumen

del paralelepípedo corresponde a V 89 89 .

11. Encuentre una ecuación del plano  que contiene a los puntos de IR 3: P(2,4,5) , Q(0,1,6) y

) 4 , 3 , 2 (

R ; hállese un vector normal a dicho plano y el área determinada por los tres puntos. Solución:

a. PQPR= -2,3,1  0, 7,-1

1 7 0

1 3 2

k j i

  -10,-2,-14 =



n

, vector normal al plano. Por

consiguiente, aplicando la formula punto-normal: 10( x-0)-2(y1)-14(z-6)0, se tiene que 5xy7z41 , es la ecuación general del plano; considerando que Q es el punto en el plano.

b. El área determinada por los tres puntos la obtenemos por la fórmula:

66 , 8 300 14

2 10

2 2

1 2 2 2 2 1 2

1 2

1

_PQ

_QR

 

_n

       





 A

12. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P(1,1,5) y Q(7,0,5). ¿Está el punto )

1 , 2 , 5 (  

A sobre la recta? ¿Y el punto B(13,1,5) ? Solución:

a. Sabemos que el vector

PQ

 6, 1 ,0 es paralelo a la recta, por tanto el vector de

dirección es n  6,1,0 , luego la ecuación vectorial de la recta es:

r

=

OP

+ tv

z

y

x

r



,

,

= 1,1,5 + t 6,1,0 = 16t,1t, 5

Por tanto las ecuaciones paramétricas de la recta son     

   

 

5 1

6 1

z t y

t x

b. ¿Está el punto A(5,2,1) sobre la recta?

Sustituyendo se tiene que     

 

   

  

   

 

ión contradicc

t t

t t

5 1

1 1

2

1 6

1 5

Por tanto el punto A no pertenece a la recta determinada.

¿Está el punto B(13,1,5) ?     



  

  

  



5 5

0 1

1

2 6

1 13

t t

t t

Como se obtienen distintos valores del parámetro t, se puede afirmar que B no esta en la recta.

13. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P(3,1,2) y Q(2,7,4) . Solución:

Determinemos la ecuación de la recta r que pasa por los puntos dados, calculando un vector director de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q.

PQ =

OQ



OP

=

2

,

-

7

,

4

– 

3

,

1

,



2

= 5

,



8

,

6

Por lo tanto, la ecuación de la recta r en forma continua es r:

6 2 8

1 5

3 _ 

  

 y z

x

considerando el punto P, o

6 4 8

7 5

2

:  

  

 y z

x