Unidad 1: Magnitud Física Magnitudes

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Unidad 1: Magnitud Física

Magnitudes

Las magnitudes son atributos con los que medimos determinadas propiedades físicas, por ejemplo una temperatura, una longitud, una fuerza, la corriente eléctrica, etc. Encontramos dos tipos de magnitudes, las escalares y las vectoriales.

Magnitudes escalares

Las magnitudes escalares tienen únicamente como variable a un número que representa una determinada

cantidad. Por ejemplo la masa de un cuerpo, que se mide en Kilogramos.

Magnitudes vectoriales

En muchos casos las magnitudes escalares no dan información completa sobre una propiedad física. Por ejemplo una fuerza de determinado valor puede estar aplicada sobre un cuerpo en diferentes sentidos y direcciones. Tenemos entonces las magnitudes vectoriales que, como su nombre lo indica, se representan mediante vectores, es decir que además de un módulo (o valor absoluto) tienen una dirección y un sentido.

Ejemplos de magnitudes vectoriales son la velocidad y la fuerza.

Según el modelo físico con el que estemos trabajando utilizamos vectores con diferente número de componentes. Los más comunes son los de una, dos y tres coordenadas que permiten indicar puntos en la recta, en el plano y en el espacio respectivamente.

En el apartado de matemática puedes consultar las operaciones con vectores más utilizadas (suma, resta, producto escalar, producto vectorial, etc).

Unidad de medida

Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Las primeras unidades se conocen como unidades básicas o de base (fundamentales), mientras que las segundas se llaman unidades derivadas. Un conjunto de unidades de medida en el que ninguna magnitud tenga más de una unidad asociada es denominado sistema de unidades.

Todas las unidades denotan cantidades escalares. En el caso de las magnitudes vectoriales, se interpreta que cada uno de los componentes está expresado en la unidad indicada.

Sistemas de Unidades:

 SISTEMA MKS (metro, kilogramo, segundo)

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La unidad de longitud del sistema M.K.S.:

METRO: Es una longitud igual a la del metro patrón que se conserva en la Oficina Internacional de pesas y medidas.

La unidad de masa es el kilogramo:

KILOGRAMO: Es una masa igual a la del kilogramo patrón que se conserva en la Oficina Internacional de pesas y medidas.

Un kilogramo (abreviado Kg.) es aproximadamente igual a la masa de un decímetro cúbico de agua destilada a 4 º C.

La unidad de tiempo de todos los sistemas de unidades es el segundo.

SEGUNDO: Se define como la 86,400 ava. Parte del día solar medio.

Los días tienen diferente duración según las épocas del año y la distancia de la Tierra al Sol. El día solar medio es el promedio de duración de cada no de los días del año.

 SISTEMA C.G.S. (centímetro, gramo, segundo).

El sistema C.G.S. llamado también sistema cegesimal, es usado particularmente en trabajos científicos. Sus unidades son submúltiplos del sistema M.K.S.

La unidad de longitud: Es el CENTÍMETRO, o centésima parte del metro.

La unidad de masa: Es el GRAMO, o milésima parte del kilogramo.

La unidad de tiempo: Es el SEGUNDO.

 Sistema Internacional de Unidades S.I

El Sistema Internacional de Unidades es la forma actual del sistema métrico decimal y establece las unidades que deben ser utilizadas internacionalmente. Fue creado por el Comité Internacional de Pesos y Medidas con sede en Francia. En él se establecen 7 magnitudes fundamentales, con los patrones para medirlas: Longitud, Masa, Tiempo, Intensidad eléctrica, Temperatura, Intensidad luminosa y Cantidad de sustancia

También establece muchas magnitudes derivadas, que no necesitan de un patrón, por estar compuestas de magnitudes fundamentales.

Patrón de medida

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Muchas unidades tienen patrones, pero en el sistema métrico sólo las unidades básicas tienen patrones de medidas.

Los patrones nunca varían su valor. Aunque han ido evolucionando, porque los anteriores establecidos eran variables y, se establecieron otros diferentes considerados invariables.

Ejemplo de un patrón de medida sería: "Patrón del segundo: Es la duración de 9 192 631 770 períodos de radiación correspondiente a la transición entre 2 niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio 133". Como se puede leer en el artículo sobre el segundo.

De todos los patrones del sistema métrico, sólo existe la muestra material de uno, es el kilogramo, conservado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. De ese patrón se han hecho varias copias para varios países. Un ejemplo de patrones de medida son:

Tablas de conversión

Las unidades del SI no han sido adoptadas en el mundo entero. Los países anglosajones utilizan muchas unidades del SI, pero todavía emplean unidades propias de su cultura como el pie, la libra, la milla, etc.

En la navegación todavía se usa la milla y legua náuticas. En las industrias del mundo todavía se utilizan unidades como: PSI, BTU, galones por minuto, granos por galón, barriles de petróleo, etc. Por eso todavía son necesarias las tablas de conversión, que convierten el valor de una unidad al valor de otra unidad de la misma magnitud. Ejemplo: Con una tabla de conversión se convierten 5 p a su valor correspondiente en metros, que sería de 1,524.

Errores de conversión

Al convertir unidades se cometen inexactitudes, porque el valor convertido no equivale exactamente a la unidad original, debido a que el valor del factor de conversión también es inexacto.

Ejemplo: 5 lb son aproximadamente 2,268 kg, porque el factor de conversión indica que 1 lb vale aproximadamente 0,4536 kg.

Pero 5 lb equivalen a 2,26796185 kg porque el factor de conversión indica que 1 lb equivale a 0,45359237 Kilogramos.

Sin embargo, la exactitud al convertir unidades no es usada frecuentemente pues en general basta tener valores aproximados.

1. Segundo (para medir tiempo) 2. Metro (para medir longitud)

3. Amperio (para medir corriente o intensidad de corriente) 4. Mol (para medir cantidad de sustancia)

5. Kilogramo (para medir cantidad de masa) 6. Kelvin (para medir la temperatura)

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Tipos de unidades de medidas

1. Unidades de capacidad 2. Unidades de densidad 3. Unidades de energía 4. Unidades de fuerza 5. Unidades de longitud 6. Unidades de masa

7. Unidades de peso específico 8. Unidades de potencia 9. Unidades de presión 10.Unidades de superficie 11.Unidades de temperatura 12.Unidades de tiempo 13.Unidades de velocidad 14.Unidades de viscosidad 15.Unidades de volumen 16.Unidades eléctricas

Análisis dimensional

El análisis dimensional es una potente herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes.

Dimensión significa la naturaleza física de una cantidad o magnitud.

Si mido una distancia en unidades de metros, pulgadas o codos, se trata de la magnitud distancia y la dimensión es la longitud.

Los símbolos que usaremos para especificar las dimensiones básicas: longitud, masa y tiempo son L, M y T respectivamente.

Comúnmente se usan corchetes [ ] para indicar las dimensiones de una magnitud. Por ejemplo, para la velocidad (v): [v] = L/T ; para el área (A): [A] = L2.

El análisis dimensional aprovecha el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas.

Las cantidades sólo pueden sumarse o restarse si tienen las mismas dimensiones. Los dos miembros de una igualdad (o ecuación) deben tener las mismas dimensiones.

Con el análisis dimensional puedo deducir o verificar una fórmula o expresión, determina las unidades (o dimensiones) de la constante de proporcionalidad, pero no su valor numérico. Por tanto no puedo determinar las constantes adimensionadas.

Ejemplo: Determinar si la expresión 2

2 1

at

x es dimensionalmente correcta.

a) Determino las dimensiones de cada una de las variables: [x] = L, [a] = L/T2=LT-2, [t]2 b) Igualo las dimensiones de cada variable: [x] =[a][t]2

c) Sustituyo las dimensiones de cada variable: L = (LT-2)(T)2.

d) Opero algebraicamente con las dimensiones (agrupo las dimensiones iguales y aplico propiedades de potencias): L = L (T-2).(T)2 = L T (-2+2) = LT0 = L

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EJERCICIOS:

1. Muestre que la expresión es dimensionalmente correcta, donde “v” representa rapidez, “a” aceleración y “t” un instante en el tiempo.

2. Suponga que la aceleración “a” de una partícula que se mueve con rapidez uniforme “v” en un círculo de radio “r” es proporcional a alguna potencia de “r” por decir rn _{y a alguna potencia de “v” por decir v}m

. Determine los valores de “n y m” y escriba la forma más simple de una ecuación para la aceleración. 3. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas?

a. b. ( ) ( )

4. La Ley de Gravitación Universal de Newton se representa por Aquí “F” es la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida por un objeto pequeño sobre otro,” M y m” son las masas de los objetos y “r” es una distancia. La fuerza tiene las unidades en el S.I de Kgm/s2

Página 6 de 32 Fórmulas dimensionales (F.D.) más usadas en el S.I.

Magnitud Derivada F.D. Unidad Tipo

Área o Superficie L2 m2 E

Volumen o Capacidad L3 m3 E

Velocidad lineal LT-1 m/s V

Aceleración lineal LT-2 m/s2 V

Aceleración de la Gravedad LT-2 m/s2 V

Fuerza, Peso, Tensión, Reacción MLT-2 kg . m/s2 = Newton (N) V

Torque o Momento ML2T-2 N . m V

Trabajo, Energía, Calor ML2T-2 N . m = Joule (J) E

Potencia ML2T-3 Joule/s = Watt (W) E

Densidad ML-3 kg/m3 E

Peso específico ML-2T-2 N/m3 E

Impulso, ímpetu, Impulsión MLT-1 N . s V

Cantidad de Movimiento MLT-1 kg . m/s V

Presión ML-1T-2 N/m2 = Pascal (Pa) E

Periodo T S E

Frecuencia Angular T-1 s-1 = Hertz (Hz) E

Velocidad Angular T-1 _{rad/s V}

Aceleración Angular T-2 rad/s2 V

Caudal o Gasto L3T-1 m3/s E

Calor Latente específico L2T-2 cal/g E

Capacidad Calorífica ML2T-2 -1 cal/°K E

Calor Específico L2T-2 -1 cal/g.°K E

Carga Eléctrica IT A . s = Coulomb (C) E

Potencial Eléctrico ML2T-3I-1 J/C = Voltio (V) E

Resistencia Eléctrica ML2T-3I-2 V/A = Ohm (W) E

Intensidad de Campo Eléctrico MLT-3I-1 N/C V

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Unidad 2: Algebra Vectorial

 Vectores y escalares.

En física debemos distinguir entre vectores y escalares.

Un vector es una cantidad orientada, tiene tanto magnitud como dirección.

La velocidad, la fuerza y el desplazamiento son vectores.

El tiempo, la temperatura y la energía son escalares: sólo tienen magnitud, no tienen dirección asociada a ellas.

Los vectores se representan mediante flechas, en que la longitud de la flecha se traza proporcionalmente a la magnitud del vector. Las letras que representan vectores se escriben en negrita.

La definición clásica de vectores define a un vector como aquella cantidad en la que cumple con las siguientes características:

a). Tiene magnitud

b). Dirección. Indicado el ángulo con respecto a un eje (por ejemplo, la horizontal)

c). Sentido. Indicado por la dirección de la flecha.

Notación con vectores

Las siguientes notaciones son las más típicas para representar a los vectores:

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Suma de Vectores. Método Gráfico

Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple. Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo = 36.87º respecto del eje x positivo. Ver figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuación vectorial.

La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente:

 Use una misma escala para las magnitudes.

 Trace uno de los vectores, digamos V1

 Trace el segundo vector, V2, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta.

 La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método se llama suma de vectores de cola a punta.

Notemos que V1 + V2 = V2 + V1, esto es, el orden no es importante.

Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V1, V2, y V3 representados a continuación:

VR = V1 + V2 +V3 es el vector resultante destacado con línea gruesa.

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Resta de Vectores.

Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

La diferencia de dos vectores A y B se define como

A - B = A + (-B)

De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

Multiplicación de un Vector por un Escalar

Se puede multiplicar un vector V por un escalar c. Se define este producto de tal manera que cV tenga la misma dirección que V y tenga la magnitud cV. Si c es positivo, no afecta el sentido. Si c es negativo, el sentido es exactamente opuesto a V.

Suma de Vectores. Método Analítico

Suma de Componentes

La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

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Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial Vx y sobre el eje y la componente vectorial Vy.

Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al método del paralelogramo.

Las magnitudes de Vx y Vy, o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Notar también que Vy = Vsen y Vx = Vcos

Suma de Vectores Unitarios

Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

Ahora V puede escribirse

V = Ax i + Ay j

Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vector B = Bx i + By j escribimos

R = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j Las componentes de R (=A + B) son Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By

Problema Ilustrativo:

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Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

Hacemos un diagrama:

Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando unitarios, tenemos:

R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se denota y cuya dirección puede determinarse calculando el ángulo A = 20 km j, (apunta hacia el Norte).

B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i y j )

B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj

Luego,

R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i. La magnitud se obtiene de

2

= (37.5km)2 + (30.3km)2 = 48.2 km

La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo

En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, tg = 30.3/37.5 = arctg(30.3/37.5) = 38.9º.

La suma de vectores: Sean los vectores

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Multiplicación de Vectores

 Producto Escalar o Producto Punto

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UNIDAD 3

Cinemática de la partícula, movimiento, vector posición y trayectoria.

Un fenómeno que siempre está presente y que observamos a nuestro alrededor es el movimiento. La cinemática es la parte de la Física que describe los posibles movimientos sin preocuparse de las causas que lo producen. No es lícito hablar de movimiento sin establecer previamente ''respecto de que'' se le refiere. Debido a esto, es necesario elegir un sistema de referencia respecto del cual se describe el movimiento. El sistema de referencia puede ser fijo o móvil.

Conceptos Básicos: En esta unidad, se estudiará el movimiento de una partícula, la cual sólo se traslada, para ello daremos algunos conceptos.

Partícula: Es un cuerpo uniforme, que en la realidad no existe y que corresponde a la idealización matemática de un objeto cuyas dimensiones y orientación en el espacio son despreciables para la descripción particular del movimiento.

Sistema de referencia: Es un cuerpo respecto del cual se describe el movimiento de otro u otros cuerpos. Al cuerpo rígido suponemos unida una terna de ejes fundamentales (por ejemplo un sistema de ejes cartesianos).

Posición: Punto del espacio referido a un sistema de referencia.

Vector posición: Vector que une el origen O del sistema de referencia con el punto P del espacio en el cual está la partícula. Para el sistema ortogonal cartesiano x, y, z el vector posición se identifica por el trío ordenado (x,y,z)

Movimiento: Es un concepto relativo pues depende del sistema de referencia. Se puede definir como el cambio de posición de la partícula en el tiempo, respecto de un punto o sistema de referencia considerado fijo.

Trayectoria: Es la curva descrita por la partícula durante su movimiento.

Distancia recorrida: Es la longitud del recorrido seguido por la partícula.

̂

Desplazamiento: Es la diferencia entre dos vectores posición de la partícula. El desplazamiento entre los puntos 1 y 2 es

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y es independiente del origen O y de la trayectoria sólo depende del punto de partida y de llegada.

Rapidez media: Es el cociente entre la distancia recorrida AB y el tiempo t empleado en recorrerla.

Rapidez Instantánea: Es el límite de la rapidez media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Velocidad Media: Es el cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo empleado en desplazarse.

Velocidad Instantánea: Es el límite de la velocidad media cuando el intervalo t tiende a cero.

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Aceleración Instantánea: Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Aceleración Normal y Tangencial: La velocidad y la aceleración pueden expresarse en otro sistema de coordenadas ortogonal, en el que el origen del sistema coincide con la partícula siendo los vectores bases at y an

con at tangente a la trayectoria y en el sentido del movimiento y an normal a at dirigido hacia el centro de la curvatura.

at :es un vector tangente a la curva y corresponde al cambio de la rapidez en el tiempo. an : es un vector normal a la curva y corresponde al cambio de dirección del vector velocidad.

DEFINICIÓN DE MOVIMIENTO.

Un cuerpo se mueve cuando un punto cualquiera de ese cuerpo cambia de lugar. La localización de un cuerpo en el espacio respecto de un sistema de referencia recibe el nombre de posición.

Página 16 de 32 ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO.

En todo movimiento hay que distinguir tres elementos fundamentales: el cuerpo o móvil, el sistema de referencia y la trayectoria.

Un cuerpo cuyas dimensiones son despreciables frente al vector de posición es una partícula.

En Física el sistema que se utiliza el ortogonal tridimensional.

La posición del punto P en cualquier instante vendrá determinada por el vector r que une el punto de referencia con el punto móvil. Este vector recibe el nombre de vector de posición.

Trayectoria es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va tomando la partícula móvil en el espacio.

La cinemática es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento prescindiendo de las causas que lo producen.

MAGNITUDES CINEMATICAS DEL MOVIMIENTO

Las distintas magnitudes que intervienen en su desarrollo, son: el vector de posición, el desplazamiento, el espacio recorrido, la velocidad y la aceleración.

El vector de posición es aquel cuyo origen se halla siempre en el origen de coordenadas y cuyo extremo coincide en cada instante con la posición del punto móvil.

Para hallar la distancia que existe entre la partícula móvil y el sistema de referencia se halla el módulo del vector de posición.

El vector de desplazamiento es el vector que tiene su origen en el punto Po y su extremo en el punto P1.

Todo movimiento se puede considerar como la suma de tres movimientos rectilíneos sobre los tres ejes de coordenadas.

Es importante no confundir el espacio recorrido con el desplazamiento producido. A la variación del vector de posición la hemos llamado desplazamiento.

Se considera velocidad media el desplazamiento que experimenta el móvil en la unidad de tiempo. La velocidad representa la rapidez con que se produce el desplazamiento.

Es el vector que resulta de dividir el desplazamiento producido entre el intervalo de tiempo empleado.

El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento.

La velocidad media puede ser nula en un intervalo de tiempo y no serlo en intervalos más pequeños.

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La velocidad instantánea en un punto P(x, y, z) de la trayectoria es un vector que se obtiene derivando el vector de posición, su dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto y el sentido coincide con el del movimiento. La velocidad se mide en m/s en el S.I. y, en la práctica, en km/h.

La aceleración es la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo. Existirá aceleración siempre que la velocidad varíe en cualquiera de sus elementos: valor numérico o celeridad, dirección y sentido. Físicamente la aceleración media representa lo que varía la velocidad en cada unidad de tiempo.

La aceleración instantánea se define físicamente como la aceleración que tiene una partícula en cualquier instante o la aceleración que tiene en cualquier punto de la trayectoria.

La aceleración instantánea se obtiene derivando respecto al tiempo el vector velocidad o derivando dos veces el vector de posición.

La aceleración instantánea es igual a la suma de dos aceleraciones, una en la dirección de la tangente

(aceleración tangencial) y otra en la dirección de la normal (aceleración normal) en cada punto de la trayectoria. Estas dos aceleraciones reciben el nombre de componentes intrínsecas de la aceleración.

*La aceleración tangencial es un vector cuyo módulo se obtiene derivando el módulo de la velocidad respecto al tiempo, cuya dirección es tangente a la trayectoria en cada punto y su sentido coincide con el sentido del movimiento.

*La aceleración normal es un vector cuyo módulo es igual al cociente entre el cuadrado de la velocidad instantánea y el radio de curvatura, cuya dirección es normal a la trayectoria y sentido hacia el centro de curvatura. Es debida al cambio de dirección y recibe el nombre de aceleración centrípeta.

La aceleración se mide en m/s2 en el S.I.

TIPOS DE MOVIMIENTO.

* Según la trayectoria los movimientos pueden ser:

--Rectilíneos si la trayectoria es una recta.

--Curvilíneos si la trayectoria es una curva: circulares, parabólicos, elípticos, etc.

* Según la aceleración se clasifican en:

Uniformes si no tienen aceleración.

Acelerados si tienen aceleración. Si ésta es constante el movimiento se llama uniformemente acelerado.

CINEMÁTICA DE ALGUNOS MOVIMIENTOS.

Un movimiento es rectilíneo y uniforme cuando su velocidad es constante.

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2.- La velocidad es constante en módulo: recorre espacios iguales en tiempos iguales.

Movimiento rectilíneo y uniforme es aquel que no tiene aceleración.

Se llama movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado a aquel movimiento que no tiene aceleración normal y su aceleración tangencial es constante.

Una partícula tiene movimiento circular uniforme cuando no tiene aceleración tangencial y su aceleración normal es constante.

Movimiento rectilíneo uniforme:

Representa un movimiento de la física, que, en un determinado espacio de tiempo, un cuerpo cualquiera se mueve a velocidad constante. El móvil, a tener velocidad constante, por lo tanto no presenta aceleración, es nula. Es decir, como la velocidad es constante (es siempre la misma), no hay presencia de aceleración, porque esto implicaría un cambio de velocidad.

Esto se podría resumir en que un cuerpo, en MRU, presenta las siguientes características: • Posee posición inicial y final, las cuales obviamente son distintas

• Tiene Velocidad constante, es decir, la misma no varía durante la trayectoria descripta • No hay presencia de aceleración, es nula

Con esto, se puede deducir las siguientes fórmulas para calcular las variables x (posición) y t (tiempo): • x= xo + V.t

• V= Ctte • a= o

(Nota: xo= Posición Inicial) Ejemplo de MRU:

Un móvil se mueve a una velocidad constante de 80 Km/h sobre una autopista, durante un tiempo de 20 segundos.

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La grafica 1 corresponde a la posición. Como se puede ver, esta varía en función del tiempo, tal como se mencionó antes. Se representa mediante una pendiente, dado que la distancia recorrida es inversamente proporcional al tiempo.

La grafica 2 corresponde a la velocidad. Se describe una recta, dado que la velocidad es siempre la misma, y no varía.

La grafica 3 corresponde a la aceleración. Como bien se puede apreciar, hay una recta que es nula siempre para la aceleración, dado que no se presenta en este tipo de movimiento.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Este tipo de movimiento si presenta aceleración constante, por lo que la velocidad esta vez no es constante, sino que varía en función del tiempo.

Las principales características de este movimiento son: • La velocidad varía en función de tiempo

• Presenta aceleración, que es constante • Hay posición inicial y final

Con esto se deduce las siguientes fórmulas para calcular las variables en el MRUV: • x= xo + Vo.t + 1/2.a.t^2

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(Nota: xo= Posición inicial; Vo= Velocidad Inicial)

Al igual que con el MRU, de estas mismas formulas se puede despejar para hallar otras variables.

Ejemplo MRUV

Un móvil acelera a 8 m/s^2 luego de semáforo, durante una distancia de 100 metros.

Aquí se presente la aceleración constante (8 m/s^2), con una Velocidad inicial nula (el móvil parte varado, desde un semáforo que se pone en verde), y si según el sistema de representación elegido, se puede deducir como posición inicial= O, y posición final= 100 metros. Luego, según lo que nos pida el problema, basta con usar las fórmulas para hallar lo solicitado.

Gráficas MRUV

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constantemente en función de tiempo, ya que la velocidad varia, y esto hace que recorra más o menos distancias

en el tiempo.

La grafica 2 corresponde a la velocidad. En esto caso, ahora se describe una pendiente, en la que la velocidad

varía en función del tiempo. La velocidad no es más constante.

La grafica 3 corresponde a la aceleración. Hay aceleración, pero es constante, por ello que se describe una recta.

Caída Libre: Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída libre

Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la misma aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la altitud. Hay también variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección.

Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:

Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+

Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.

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Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:

a ( t ) = - g

v ( t ) = v0 - g

Movimiento Parabólico: Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto que describe un vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g . j , entonces:

Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x , como se muestra en la figura:

Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las componentes iniciales de la velocidad:

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Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si integramos obtenemos el desplazamiento:

eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y , obtenemos la ecuación de la trayectoria :

y = ax2 +bx +c

Movimiento circular uniforme

Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada radial es fija ( r ) y el movimiento queda descrito por una sola variable, el ángulo , que puede ser dependiente del tiempo (t). Supongamos que durante un intervalo de tiempo

dt, el cambio de ángulo es d.

La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por ds = r d. Al dividir entre el intervalo de tiempo

dt, obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento:

de donde d/dt es la rapidez de cambio del ángulo y se define como la velocidad angular, se denota por y sus dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En términos de w, tenemos que:

v = r w

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La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, esto es:

Aceleración centrípeta

Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la aceleración no es cero

Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V , ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la trayectoria descrita durante t es la longitud del arco del punto P1 a P2, que es igual a r. ( donde q esta medida en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma:

r . = V . t

Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se originen en un punto en común:

Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 . Este cambio es: V1 - V2 = V

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Movimiento circular uniformemente acelerado

Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una aceleración angular, y se define como la razón instantánea de cambio de la velocidad angular:

Las unidades de la aceleración angular son radianes por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante, entonces la velocidad angular cambia linealmente con el tiempo; es decir,

Una partícula tiene movimiento circular uniformemente acelerado cuando su aceleración tangencial es constante y su aceleración normal es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Unidad 4: Dinámica de la Partícula

El propósito de la dinámica es predecir el comportamiento futuro de un sistema, en particular de una partícula cuando son conocidas las fuerzas y las restricciones que actúan sobre ella y se conoce el presente. La dinámica estudia de las causas del movimiento de los objetos.

Peso y masa son dos conceptos y magnitudes físicas bien diferenciadas, aunque aún en estos momentos, en el habla cotidiana, el término "peso" se utiliza a menudo erróneamente como sinónimo de masa, la cual es una magnitud escalar.

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El peso de un cuerpo, en cambio, no es una propiedad intrínseca del mismo, ya que depende de la intensidad del campo gravitatorio en el lugar del espacio ocupado por el cuerpo. La distinción científica entre "masa" y "peso" no es importante para muchos efectos prácticos porque la fuerza gravitatoria no experimenta grandes cambios en las proximidades de la superficie terrestre. En un campo gravitatorio constante la fuerza que ejerce la gravedad sobre un cuerpo (su peso), es directamente proporcional a su masa. Pero en realidad el campo gravitatorio terrestre no es constante, puede llegar a variar hasta en un 0,5% entre los distintos lugares de la Tierra, lo que significa que se altera la relación "masa-peso" con la variación de la fuerza de la gravedad.

La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación con las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación.

Para los objetos que se desplazan a velocidades próximas a la velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría de la relatividad de Einstein. Para las partículas atómicas y subatómicas, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría cuántica. Pero para los fenómenos de la vida diaria, las tres leyes del movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular de la dinámica (el estudio de las causas del cambio en el movimiento).

Leyes de Newton

Primera ley o ley de inercia Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él.

Segunda ley o Principio Fundamental de la Dinámica

La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración.

Tercera ley o Principio de acción-reacción

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.

Estas son las tres leyes de Newton y, a continuación, vamos a comentarlas cada una por separado.

PRIMERA LEY O LEY DE INERCIA

La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercia, nos dice que si sobre un cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero).

Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cuál sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.

SEGUNDA LEY O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA

La Primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su movimiento es necesario que exista

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La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

F = m a

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,

1 N = 1 Kg · 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

p

= m ·

v

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el

Sistema Internacional se mide en Kg·m/s.

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:

Fneta = dp/dt

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TERCERA LEY O PRINCIPIO DE ACCION – REACCIÓN

La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba.

Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros.

Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tengan el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre sí, puesto que actúan sobre cuerpos distintos.

FUERZAS EN SISTEMAS DINAMICOS

Las tres leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de los cuerpos a partir de las fuerzas que actúan sobre ellos. Es necesario que conozcamos cuáles son las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. En esta sección vamos a comentar brevemente las principales fuerzas que podemos encontrarnos al estudiar el movimiento de un cuerpo.

Las principales fuerzas que nos vamos a encontrar al estudiar el movimiento de un cuerpo son: el peso, la Normal y la fuerza de rozamiento. Veamos cada una de ellas por separado.

El peso

El peso es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. En la mayoría de los casos se puede suponer que tiene un valor constante e igual al producto de la masa, m, del cuerpo por la aceleración de la gravedad, g, cuyo valor es 10 m/s2 y está dirigida siempre hacia el suelo.

En la figura de la derecha aparecen algunos ejemplos que muestran hacia donde está dirigido el peso en diferentes situaciones: un cuerpo apoyado sobre el suelo y un cuerpo que se mueve por un plano inclinado. El pesosiempre está dirigido hacia el suelo.

La Normal

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En la figura de la izquierda se muestra hacia donde está dirigida la fuerza normal en los dos ejemplos que aparecían en la figura anterior para el peso. Como ya hemos dicho, siempre es perpendicular a la superficie de contacto y está dirigida hacia arriba, es decir, hacia fuera de la superficie de contacto.

Fuerza de rozamiento

La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay dos cuerpos en contacto y es una fuerza muy importante cuando se estudia el movimiento de los cuerpos. Es la causante, por ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento como, por ejemplo, un suelo rugoso).

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con la que empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover, tal como podemos observar en la animación que os mostramos aquí. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática.

La experiencia nos muestra que:

 la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de la superficie de contacto entre los dos cuerpos, pero sí depende de cuál sea la naturaleza de esa superficie de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa.

 la magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la normal entre los dos cuerpos, es decir:

Fr = µ·N

donde µ es lo que conocemos como coeficiente de rozamiento.

Hay dos coeficientes de rozamiento: el estático, µ e, y el cinético, µ c, siendo el primero mayor que el segundo:

µ

> µ

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE DINAMICA

En general, los problemas de Dinámica consisten en determinar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y la aceleración con la que se mueve dicho cuerpo. Para esto hay que hacer uso de la Segunda ley de Newton, que nos relaciona las fuerzas con la aceleración.

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DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL)

En este apartado vamos a ver el Diagrama de cuerpo libre, que puede ser muy útil en la resolución de problemas de Dinámica, sobre todo en el caso de que haya más de un cuerpo.

A la hora de resolver un problema de Dinámica, lo primero que hemos de hacer es ver cuáles son las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos que aparezcan en el problema. Una vez hecho esto, representar el Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que haya no es más que representar para cada cuerpo por separado las fuerzas que actúan sobre él. Veamos un ejemplo de cómo hacer esto.

Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por dos cuerpos A y B apoyados sobre el suelo. Supongamos que sobre A ejercemos una fuerza F tal como aparece en el dibujo. Suponiendo que no existe rozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.

En primer lugar, tal como hemos dicho antes, hay que ver cuáles son las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas serán:

 Los pesos de cada uno de los cuerpos, cuyo valor es el producto de la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad y que están dirigidos hacia abajo,

 Las normales sobre cada uno de los cuerpos que están dirigidas hacia arriba,

 Sobre el cuerpo B la fuerza que A realice sobre él, FAB y sobre el cuerpo A, debido a la Tercera ley de Newton, la fuerza que B realizará sobre A como reacción, FBA. Los sentidos de estas fuerzas son los que se muestran en el dibujo y

 Sobre el cuerpo A, la fuerza F que le estamos aplicando nosotros.

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MOVIMIENTO CON ROZAMIENTO

En este apartado vamos a ver un ejemplo de movimiento en el que vamos a tener en cuenta la fuerza de rozamiento. La única diferencia con el ejemplo anterior es que ahora tenemos que considerar una fuerza más e incluirla cuando escribamos la Segunda ley de Newton.

Vamos a considerar un cuerpo de masa m que está sobre un plano inclinado tal como se muestra en el dibujo. Supondremos que existe rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado y vamos a tratar de calcular la aceleración con laque se mueve el cuerpo. Sobre el cuerpo no aplicamos ninguna fuerza por lo que, en principio, el cuerpo caerá hacia abajo por el plano inclinado.

Lo primero que tenemos que hacer es dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y que son:

 Fuerza peso, dirigida hacia el suelo, tal

como se muestra en la figura. La fuerza peso siempre está dirigida hacia el suelo.

 Fuerza Normal, en dirección perpendicular al plano inclinado, que es la superficie de apoyo del cuerpo, tal como se puede ver en el dibujo.

 Fuerza de rozamiento, paralela al plano inclinado (la superficie de contacto) y dirigida hacia arriba del plano ya que estamos suponiendo que el cuerpo se mueve hacia abajo.

Una vez que tenemos todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, el siguiente paso consiste en dibujar el Diagrama de cuerpo libre, aunque en este caso, al haber sólo un cuerpo, podemos usar como diagrama el dibujo anterior en el que hemos dibujado todas las fuerzas.

Pasamos ahora a elegir el sistema de referencia. Para facilitar el cálculo conviene elegir unos ejes de coordenadas de manera que uno de ellos tenga la dirección del

movimiento. En este caso vamos a tomar el eje x paralelo al plano inclinado y el eje y

perpendicular al plano inclinado tal como se muestra en el dibujo. Como sentido

positivo del eje x tomaremos el sentido hacia abajo del plano inclinado (normalmente se toma el sentido del movimiento del cuerpo) y para el eje y hacia arriba de la superficie

del plano inclinado.

Una vez elegido los ejes de coordenadas que vamos a

utilizar, vamos a escribir la Segunda ley de Newton para cada uno de los ejes. En este caso, tal como podemos ver en los dibujos, la fuerza peso tiene componentes, tanto en el eje x como en el eje y. En el dibujo vemos como determinar las componentes del peso. El ángulo que forma el peso con el eje y es el ángulo del plano inclinado. De esta manera, la componente y del peso se obtiene multiplicando el módulo del vector por el coseno del ángulo y la componente x se obtiene multiplicando por el seno del ángulo.

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Dibujar las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos.

Representar el Diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo que aparezca en el problema (si hay más de uno).

Elegir los ejes de coordenadas para el cálculo, procurando que uno de los ejes tenga la dirección del movimiento.

Elegir un criterio de signos.