Documento soluciones examen UD1, IntGrav, y UD2, IntEM, Fís2ºBD

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OPCIÓN A

1.

a) Indica si son o no correctas las siguientes frases, justificando las respuestas: i) Si dos puntos se encuentran al mismo potencial eléctrico, el campo eléctrico en los puntos del segmento que une dichos puntos es nulo. ii) El trabajo necesario para transportar una carga de un punto a otro que se encuentra a distinto potencial eléctrico, es nulo. (CE 2.3 – 2.4) i) Esa afirmación se puede considerar correcta. El campo eléctrico o vector intensidad de campo electrostático mide la variación del potencial eléctrico, apuntando hacia donde disminuye, y, por tanto, si el potencial no cambia entre dos puntos podemos entender que no habrá o que será nulo el campo en el segmento que une esos puntos.

Matemáticamente E⃗⃗ = −dV

dx i , luego si el potencial no cambia la derivada (en realidad una derivada parcial para un campo

dependiente de más dimensiones espaciales) será cero.

ii) Esa afirmación es falsa. El potencial electrostático representa el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una carga unidad positiva desde un punto hasta el infinito y, en consecuencia, la diferencia de potencial eléctrico nos indica el trabajo que llevan a cabo las fuerzas eléctricas cuando la unidad de carga positiva se desplaza entre dos puntos. Por tanto, si la diferencia de potencial no es nula, dos puntos con diferente potencial, se hará un trabajo (las fuerzas del campo o fuerzas externas) cuando se desplace la unidad de carga positiva o cualquier otra carga entre esos puntos.

Matemáticamente WCAB= −∆EpAB= −Q · ∆VAB, luego si la diferencia de potencial es distinta de cero, ∆VAB≠ 0, el trabajo también será diferente de cero, WCAB≠ 0, no es nulo.

b) En una de las experiencias de Faraday realizadas en el laboratorio nuestro triste y duro profesor utilizó una bobina circular de 6,0 cm de diámetro y 750 espiras, y unos imanes de neodimio que son capaces de producir un campo magnético máximo de 0,40 T perpendicular al plano de las espiras. Cuando alejó el polo norte del imán el campo se redujo a 0,10 T en 0,05 s. Halla el flujo máximo que atraviesa la bobina y la fuerza electromotriz que se inducirá en la misma. Haz un dibujo en el que expliques cómo es el sentido de la corriente inducida. (CE 2.16 – 2.17 – 2.18)

Estrategia de resolución. Obtendremos la fuerza electromotriz inducida a partir de la ley de Lenz-Faraday, εind= −Ndϕmdt , teniendo

en cuenta que disminuye el flujo magnético que atraviesa la bobina al pasar la intensidad del campo magnético desde 0,40 T, valor máximo, hasta el valor de 0,10 T. La aparición de la fuerza electromotriz se debe a que se reducirán las líneas de campo que atraviesan dicha bobina y, por tanto, el flujo magnético, generándose un campo magnético, una fuerza electromotriz y una corriente eléctrica inducida que se opondrá a esa variación, disminución. De este modo la fuerza electromotriz media se podrá calcular a partir de εind = −NΔϕmΔt .

Para ello recordemos la expresión del flujo magnético: ϕm= B⃗⃗ · S⃗ = |B⃗⃗ | · |S⃗ | · cos θ.

Teniendo en cuenta que sólo cambia el campo magnético, que la superficie es un círculo, |S⃗ | = π · R2= π · (D

2)

2

, donde D = 6,0 cm = 0,060 m y que  = 0º (dirección y sentido del campo magnético igual a la dirección y sentido del vector superficie de la bobina, campo magnético perpendicular al plano de las espiras), la variación de flujo será:

Δϕm= Δ|B⃗⃗ | · |S⃗ | = Δ|B⃗⃗ | · π · (

D 2)

2

Mientras que el flujo magnético máximo corresponderá a la situación en la que el campo magnético es máximo, es decir, 0,40 T. Así:

ϕm= B⃗⃗ · S⃗ = |B⃗⃗ | · |S⃗ | · cos θ

ϕm= |B⃗⃗ | · π · (D 2)

2

· cos θ

ϕm= 0,40 T · π · (0,06 m

2 )

2

· cos 0o= 1,1 · 10−3 Wb

De este modo, el flujo magnético máximo es de 𝟏, 𝟏 · 𝟏𝟎−𝟑 𝐖𝐛.

Teniendo en cuenta que Δt = 0,05 s podemos hallar la fuerza electromotriz media:

εinducida= −NΔϕm

Δt = −

N · Δ|B⃗⃗ | · π · (D2)2

Δt = −

750 · (0,10 T − 0,40 T) · π · (0,060 m2 )

2

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Departamento de Física y Química Por tanto, la fuerza electromotriz media inducida en la bobina es de 12,7 V.

El sentido de la corriente inducida se puede determinar desde dos perspectivas:

- la primera a partir del signo positivo de la fuerza electromotriz inducida, que nos indica que la polaridad de la fem y el sentido de la corriente inducida daría lugar a un campo magnético del mismo sentido del vector superficie (y del campo magnético original) que hemos tomado, es decir, como se ve en el dibujo, sentido horario para que produzca un campo magnético del mismo sentido; - la segunda perspectiva de razonamiento se refiere a que el sentido de la corriente debe ser tal que se oponga a la variación del flujo magnético que atraviesa la superficie de la bobina, en este caso se produce una disminución del flujo entrante (reducción de líneas de campo magnético que entran

en el papel) y, por tanto, la corriente inducida será tal que genere un campo magnético cuyo sentido y cuyo flujo sea contrario al que está disminuyendo, es decir, que entre en el papel y según la regla de la mano derecha, de sentido horario, según el dibujo, dedo gordo hacia dentro indicando el sentido del campo magnético y restantes dedos en sentido horario indicando el sentido de la corriente inducida.

2.

a) El espectrómetro de Bainbridge es un dispositivo que separa iones que tienen la misma velocidad v⃗ . Los iones que pasan por un selector de velocidades sin desviarse, entran en una región donde un campo magnético B⃗⃗ perpendicular a la velocidad les obliga a describir una trayectoria circular. El radio de la órbita es proporcional a la masa lo que permite medirla. Deduce la expresión del radio de la órbita y compara los radios descritos por un protón y una partícula alfa (mα

= 4·mp y qα = 2·qp). (CE 2.8 – 2.10)

Si una carga Q (q) penetra en un campo magnético uniforme, B⃗⃗ , con una velocidad, v⃗ , perpendicular al campo describirá un movimiento circular uniforme. Esto se debe a que la fuerza magnética, F⃗ = Q v⃗ ∧ B⃗⃗ , es perpendicular en todo momento a v⃗ y se encuentra dirigida hacia un punto, el centro de la circunferencia de radio R que describe la carga. Así, haciendo uso del principio fundamental de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , y del concepto de aceleración normal o centrípeta, |a⃗ n| =

|v⃗⃗ |2

R :

∑ F⃗ = m · a⃗

F

⃗ = Q v⃗ ∧ B⃗⃗ = m · a⃗ n

|Q| |v⃗ | |B⃗⃗ | sen θ = m · an= m ·|v⃗ |

2

R

|Q| · |v⃗ | · |B⃗⃗ | = m ·|v⃗ |2 R

R = m · |v⃗ | |Q| · |B⃗⃗ |

R = m · |v⃗ | |q| · |B⃗⃗ |

Los radios de las trayectorias que seguirán el protón y el electrón en el seno del mismo campo magnético B⃗⃗ serán respectivamente:

Rp=

mp· |v⃗ p|

|qp| · |B⃗⃗ |

Rα=

mα· |v⃗ α| |qα| · |B⃗⃗ |

Para determinar la relación dividiremos ambas expresiones, recordando que mα = 4·mp y qα = 2·qp, y que |v⃗ α| = |v⃗ p|:

Rα=mα· |v⃗ α| |qα| · |B⃗⃗ |

Rp=mp· |v⃗ p| |qp| · |B⃗⃗ |}

⇒Rα Rp

=

mα· |v⃗ α|

|qα| · |B⃗⃗ |

mp· |v⃗ p| |qp| · |B⃗⃗ |

= 4 · mp 2 · |qp|

mp |qp|

= 2

Por tanto, el radio de giro de la partícula alfa resulta ser 2 veces mayor que el radio de giro del protón, Rα = 2·Rp.

b) Un protón que lleva una velocidad de 9,7 · 105 m·s-1 entra en una región del espacio en la que existe un campo

magnético uniforme perpendicular a dicha velocidad. Si el radio de giro descrito por el protón es de 0,05 m, ¿qué valor

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tendrá el módulo del campo magnético? Calcula el periodo del movimiento y haz un dibujo de la situación (velocidad, campo magnético, fuerza y trayectoria del protón). (2.8 – 2.10)

e = 1,6 · 10-19 C; m

p = 1,7·10-27 kg

i) Estrategia de resolución. Para hallar el valor del módulo del campo magnético podemos primero deducir el radio de la trayectoria, sabiendo que describirá un movimiento circular uniforme, a partir del segundo principio de la dinámica aplicado a la fuerza de Lorentz que se ejerce sobre la carga, considerándola como fuerza centrípeta:

∑ F⃗ = m · a⃗

Fm

⃗⃗⃗⃗⃗ = m · a⃗

Q v⃗ ∧ B⃗⃗ = m · a⃗⃗⃗ c

|Q| |v⃗ | |B⃗⃗ | sen θ = m · ac= m ·

|v⃗ |2

R

|Q| · |B⃗⃗ | = m ·|v⃗ | R

R = m · |v⃗ | |Q| · |B⃗⃗ | Ahora podemos hallar el campo magnético:

|B⃗⃗ | =m · |v⃗ | |Q| · R

|B⃗⃗ | =1,7 · 10

−27· 9,4 · 106 m · s−1

1,6 · 10−19· 0,03 m = 3,3 T

Por tanto, el campo magnético en el que se encuentra el protón es de 3,3 T perpendicular a su velocidad.

ii) Estrategia de resolución. El periodo del movimiento se puede hallar a partir del radio de la trayectoria circular y de la velocidad del protón en un movimiento circular uniforme, T =2·π·R

v :

T =2 · π · R

v =

2 · π · 0,03 m

9,4 · 106 m · s−1= 3,2 · 10−7 s

De este modo, el periodo del movimiento circular uniforme que describe el protón en el campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad es de 𝟑, 𝟐 · 𝟏𝟎−𝟕 𝐬.

Un dibujo de la situación (velocidad, campo magnético, fuerza y trayectoria del protón) lo podemos observar a la derecha:

3.

a) Indica cómo es el módulo, la dirección y el sentido del vector inducción magnética generado por un hilo rectilíneo e infinito por el que circula una corriente de intensidad I en un punto situado a una distancia d de dicho hilo. Dibuja las líneas de campo magnético alrededor del hilo. (CE 2.9 – 2.12)

En la figura adjunta a la derecha se representa de distintas formas una corriente rectilínea de intensidad constante, I, y el campo magnético que produce en un punto situado a una distancia R (d) de ella.

Ese vector inducción magnética se puede describir a partir de sus características vectoriales: - El módulo (que se podría obtener a partir de la ley de Ampère) es |B⃗⃗ (P)| = μ·I

2·π·d, donde I es la intensidad de corriente, d es la distancia al

punto y µ es la permeabilidad magnética del medio.

- La dirección es perpendicular a la corriente y a la distancia al punto en el que se determina el campo magnético.

- El sentido viene dado por la regla de Maxwell (sacacorchos) o de la mano derecha con el sentido de la corriente.

Las líneas de campo son circunferencias concéntricas centradas en el conductor y situadas en planos perpendiculares a él, como se puede ver también en el dibujo correspondiente de la izquierda.

b) Considera una carga puntal de 5 · 10-6 C localizada en el vacío en el origen de coordenadas. Determina: i) La fuerza

que ejercerá sobre otra carga de – 2,5 · 10-6 C situada en el punto A(3, 4) m. ii) El trabajo necesario para transportar

F ⃗ m

I

B ⃗⃗

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otra carga puntual de –2 · 10-6 C desde el infinito hasta el punto A, indicando razonadamente el significado del signo

del trabajo obtenido (ten en cuenta que en el apartado ii) ya no está la carga de – 2,5 · 10-6 C). (CE 2.3 – 2.4)

K = 9·109 N m2 C-2

i) Estrategia de resolución. Para determinar la fuerza que la carga puntual ejercerá sobre otra carga de – 2,5 · 10-6 C situada en el punto A(3, 4) m podemos aplicar la ley de

Coulomb, F⃗ = kQ·Q′

r2 u⃗ r, o hallar el campo electrostático que produce la carga de 5 · 10

-6 C en el punto A, E⃗⃗ (A) = kQ1

rOA2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , para después obtener la fuerza solicitada, FrOA ⃗ (A) =

Q′ · E⃗⃗ (A).

Tanto para aplicar la ley de Coulomb como para obtener el vector intensidad de campo electrostático necesitamos determinar el vector de posición que va desde la carga Q = 5 · 10-6 C, origen de coordenadas, hasta la carga Q’ = – 2,5 · 10-6 C, punto A(3, 4) m:

rOA

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OAOA ⃗⃗⃗⃗⃗ = (3,4) − (0,0) = 3 i + 4 j m

rOA= √(3 m)2+ (4 m)2 = 5 m → u rOA

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 5i +

4 5 j

Con la ley de Coulomb, F⃗ = kQ·Q′

r2 u⃗ r:

F

⃗ = 9 · 109 N · m2· C−25 · 10−6 C · −2,5 · 10−6 C

(5 m)2 (

3 5i +

4 5 j )

F

⃗ = −2,7 · 10−3 i − 3,6 · 10−3 j N

A partir del vector intensidad de campo electrostático, E⃗⃗ (A) = k Q1

rOA2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : rOA

E

⃗⃗ (A) = 9 · 109 N · m2· C−25 · 10−6 C

(5 m)2 (

3 5i +

4

5 j ) = 1080 i + 1440 j N · C

−1

Y, por tanto, la fuerza sería:

F

⃗ (A) = Q′· E⃗⃗ (A) = −2,5 · 10−6 C · (1080 i + 1440 j N · C−1) = −2,7 · 10−3 i − 3,6 · 10−3 j N

En consecuencia, la fuerza que nota la carga de −𝟐, 𝟓 · 𝟏𝟎−𝟔 𝐂 situada en A debida a la carga de 𝟓 · 𝟏𝟎−𝟔 𝐂 situada en el

origen de coordenadas es −𝟐, 𝟕 · 𝟏𝟎−𝟑 𝐢 − 𝟑, 𝟔 · 𝟏𝟎−𝟑 𝐣 𝐍.

ii) Estrategia de resolución. Para hallar el trabajo necesario para transportar una carga puntual de – 2 · 10-6 C desde el infinito hasta

el punto A(3, 4) m obtendremos el trabajo realizado por la fuerza conservativa a partir de la variación de la energía potencial y de la diferencia de potencial entre el infinito y el punto en cuestión, WC∞A = −ΔEp∞A = −Q · ∆VA.

Esto quiere decir que debemos hallar el potencial en el punto A, V(A) = k Q

rOA, puesto que el potencial en el infinito es cero.

Así, teniendo en cuenta que rOA= 5 m:

V(A) = k Q rOA

= 9 · 109 N · m2· C−25 · 10−6 C

5 m = 9 · 10

3 V

Por tanto:

WC∞A = −ΔEp∞A = −Q · ∆V∞A

WC∞A = −Q · [V(A) − V(∞)]

WC∞A = −Q · V(A) = −(−2 · 10−6 C) · 9 · 104 V = 0,018 J

En consecuencia el trabajo que se realiza (lo realizan las fuerzas del campo al ser positivo) es de 0,018 J.

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Para deducir la expresión de la fuerza por unidad de longitud que se ejercen mutuamente dos corrientes eléctricas rectilíneas, paralelas e indefinidas o infinitas consideremos dos de esos conductores separados una distancia d, por los

que circulan dos corrientes eléctricas, I1 e I2, del mismo sentido (también se podría hacerlo con el sentido

contrario).

El campo magnético sobre I2, B⃗⃗ 1, debido a I1 es: |B⃗⃗ 1| =

μ I1

2 π d.

Luego sobre un segmento de longitud l del conductor 2 aparece una fuerza magnética, F⃗ 21, tal que F⃗ 21 = I2 l ∧ B⃗⃗ 1 de carácter atractivo.

De la misma forma el conductor 2 produce un campo magnético sobre I1, B⃗⃗ 2, |B⃗⃗ 2| = μ I2

2 π d, de tal modo que

aparece una fuerza sobre un segmento de longitud l del conductor 1 debida al campo magnético producido por el conductor 2, F⃗ 12, tal que

F

12= I1 l ∧ B⃗⃗ 21. De este modo

F

21= −F12⇒ |F21| = |F12| = I2· l · |B⃗⃗ 1| · sen 90o= I 2· l ·

μ I1

2 π d=

μ · I1· I2· l

2 · π · d Y la fuerza atractiva, en este caso, por unidad de longitud que se ejercen mutuamente los dos conductores:

|F⃗ | =|F⃗ 21|

l =

μ · I1· I2

2 · π · d

Teniendo en cuenta esta expresión podemos concluir que la fuerza por unidad de longitud que se ejercen mutuamente los dos conductores depende de la intensidad que circula por ellos, I1 e I2, de la distancia d que los separa y del medio que hay entre ellos

explicitado por la permeabilidad magnética µ.

La unidad de intensidad de corriente eléctrica en el Sistema Internacional, el amperio, es la intensidad de corriente eléctrica que, circulando por dos conductores rectilíneos y paralelos de longitud indefinida y sección despreciable, puestos en el vacío a una distancia de un metro, produce en cada conductor una fuerza de 2 · 10-7 N por cada metro de longitud.

A partir de la expresión |F⃗ | =|F⃗⃗ 21|l =μ·I1·I2

2·π·d y sustituyendo I1 e I2 por un amperio (1 A), la permeabilidad magnética del vacío μ0 =

4π·10-7 N A-2 y la distancia d de un metro (1 m) podemos llegar a que la fuerza por unidad de longitud es de 2 · 10-7 N·m-1:

|F⃗ | =|F⃗ 21|

l =

μ · I1· I2 2 · π · d =

4π · 10−7 N · A−2 · 1 A · 1 A

2 · π · 1 m = 2 · 10−7 N · m−1

b) Dos cargas puntuales q1 = 2 µC y q2 = – 2 µC están situadas en los puntos A (– 3 ,0) m y B (3,0) m respectivamente.

Calcula el potencial electrostático en el punto C(0, 4) m debido a estas dos cargas. ¿Qué fuerza notará una tercera carga de – 5 µC situada en el punto C? (CE 2.1 – 2.2)

ko = 9,0 · 109 N·m2·C-2

Estrategia de resolución. Para determinar el potencial electrostático en el punto C(0, 4) m se tienen que sumar los potenciales producidos por cada carga puntual por separado, Vi(C) = kqi

riC.

Antes de proceder debemos escribir las magnitudes en las unidades adecuadas, en el SI: * Cargas:

- Q1= q1= 2 μC = 2 · 10−6 C;

- Q2= q2= −2 μC = −2 · 10−6 C;

- q = −5 μC = −5 · 10−6 C.

Así debemos hallar primero las distancias de cada una de las cargas al punto C:

r⃗⃗⃗ = r1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = AC1C ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 4)m − (−3, 0)m = 3i + 4j m r1P= √(3 m)2+ (4 m)2= √25 m = 5 m

r2

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = BC2C ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 4)m − (3, 0)m = −3i + 4j m r2P= √(−3 m)2+ (4 m)2= √25 m = 5 m

A continuación hallamos los potenciales debidos a cada carga:

V(C) = ∑ Vi(C) = V1(C) + V2(C) = k

q1 r1C

n

i=1

+ kq2

r2C= 9 · 109 N · m2· C−2·

2 · 10−6 C

5 m + 9 · 109 N · m2· C−2·

−2 · 10−6 C

5 m

V(C) = 3600 V + (−3600 V) = 0 V

Por tanto el potencial electrostático debido a ambas cargas en el punto C(0, 4) m es 0 V.

Para determinar la fuerza que notará una tercera carga puntual – 5 · 10-6 C situada en el punto C(0, 4) m podemos aplicar el principio

de superposición aplicado a la ley de Coulomb, F⃗ = kQ·Qr2′u⃗ r, o hallar el campo electrostático que producen las dos cargas de 2 µC

y – 2 µC situadas en los puntos A (– 3 ,0) m y B (3,0) m respectivamente, E⃗⃗ total(C) = ∑ni=1E⃗⃗⃗ (C)i , para después obtener la fuerza

solicitada, F⃗ (C) = q · E⃗⃗ (C).

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r1

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = AC1C ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 4)m − (−3, 0)m = 3i + 4j m

r1P= √(3 m)2+ (4 m)2= √25 m = 5 m → u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r1P

3 5i +

4 5 j

r2

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = BC2C ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 4)m − (3, 0)m = −3i + 4j m

r2P= √(−3 m)2+ (4 m)2= √25 m = 5 m → u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r2P

3 5i +

4 5 j

Así:

E

⃗⃗ total(C) = ∑ E⃗⃗⃗ (C) =i

n

i=1

E1

⃗⃗⃗⃗ (C) + E⃗⃗⃗⃗ (C) 2

E

⃗⃗ total(C) = ∑ kQi

ri2 u⃗⃗⃗⃗⃗ =ri n

i=1

kQ1

r1C2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + kr1C

Q2

r2C2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ r2C

E1

⃗⃗⃗⃗ (C) = kQ1

r1C2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 9 · 10r1C 9 N · m2· C−2

2 · 10−6 C

(5 m)2 (

3 5i +

4 5 j )

E1

⃗⃗⃗⃗ (C) = 432 i + 576 j N · C−1

E2

⃗⃗⃗⃗ (C) = kQ2

r2C2 u⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 9 · 10r2C

9 N · m2· C−2−2 · 10−6 C

(5 m)2 (−

3 5i +

4 5 j ) E2

⃗⃗⃗⃗ (C) = 432 i − 576 j N · C−1

E

⃗⃗ total(C) = 864 i N · C−1

Y, por tanto, la fuerza sería:

F

⃗ (C) = q · E⃗⃗ (C) = −5 · 10−6 C · 864 i N · C−1= −4,32 · 10−3 i N

En consecuencia, la fuerza que nota la carga de −𝟓 · 𝟏𝟎−𝟔 𝐂 situada en C es de −𝟒, 𝟑𝟐 · 𝟏𝟎−𝟑 𝐢 𝐍.

OPCIÓN B

1.

a) Escribe una expresión de la fuerza que ejerce un campo magnético 𝐵⃗ sobre un conductor rectilíneo de longitud l situado perpendicularmente al vector inducción magnética por el que circula una corriente I. Haz un dibujo de la situación y explica en qué situaciones la fuerza puede anularse. (CE 2.13 – 2.14)

La fuerza que ejerce un campo magnético B⃗⃗ sobre un conductor rectilíneo de longitud l situado perpendicularmente al vector inducción magnética por el que circula una corriente I se obtiene a partir de la expresión F⃗ = I l ∧ B⃗⃗ , que nos indica que esta fuerza tiene:

- Un módulo igual a: F

⃗ = I l ∧ B⃗⃗ ⇒ |F⃗ | = |I l ∧ B⃗⃗ | = I · |l | · |B⃗⃗ | · sen 90o= I · |l | · |B⃗⃗ |

|F⃗ | = I · |l | · |B⃗⃗ |

- Una dirección de la fuerza que es perpendicular tanto al hilo como al campo magnético, es decir, es perpendicular al plano que contiene a ambos vectores. - Un sentido que vendrá dado por la regla de Maxwell, de la mano derecha o del sacacorchos llevando el vector l sobre el vector B⃗⃗ .

Lo podemos ver en el dibujo de la derecha:

A la vista de lo comentado anteriormente y de la expresión de la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un conductor rectilíneo podemos afirmar que se anulará cuando el campo y el hilo conductor se sitúen con direcciones paralelas (el campo y el hilo sea paralelos) puesto que en este caso el seno del ángulo que forman (0º o 180º) será cero.

Evidentemente la fuerza también será nula cuando no exista el campo magnético o no circule corriente eléctrica por el hilo conductor. b) Por el hilo A de la figura circula la corriente IA= 10 A. i) Determina, razonadamente, el valor y sentido de la intensidad

IB, si el campo magnético total es cero en el punto P, situado a 0,25 m a la derecha del hilo A. ii) Calcula la fuerza

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e = 1,6 · 10-19 C; μ

0 = 4π·10-7 T·m A-1

i) Estrategia de resolución. Para determinar, razonadamente, el valor y sentido de la intensidad IB, si el

campo magnético total es cero en el punto P, situado a 0,25 m a la derecha del hilo A, tendremos que aplicar el principio de superposición, B⃗⃗ total(P) = ∑n B⃗⃗⃗ (P) =i

i=1 B⃗⃗⃗⃗ (P) + BA ⃗⃗⃗⃗ (P), igualando el valor a B

cero:

B

⃗⃗ total(P) = B⃗⃗⃗⃗ (P) + BA ⃗⃗⃗⃗ (P) = 0⃗ B

BA

⃗⃗⃗⃗ (P) = −B⃗⃗⃗⃗ (P) B

Este resultado tiene como consecuencia que esos dos vectores deben tener iguales la dirección y el módulo, |B⃗⃗⃗⃗ (P)| = |BA ⃗⃗⃗⃗ (P)|, pero sentidos contrarios. B

Para poder averiguar el sentido y el valor de la intensidad IB deberíamos recordar cómo es el campo magnético debido a un hilo

rectilíneo e infinito.

En la figura adjunta a la derecha se representa de distintas formas una corriente rectilínea de intensidad constante, I, y el campo magnético que produce en un punto situado a una distancia R (d) de ella.

Ese vector inducción magnética se puede describir a partir de sus características vectoriales: - El módulo (que se podría obtener a partir de la ley de Ampère) es |B⃗⃗ (P)| =2·π·dμ·I , donde I es la intensidad de corriente, d es la distancia al punto y µ es la permeabilidad magnética del medio.

- La dirección es perpendicular a la corriente y a la distancia al punto en el que se determina el campo magnético. - El sentido viene dado por la regla de Maxwell (sacacorchos) o de la mano derecha con el sentido de la corriente.

Por tanto, podemos afirmar que el sentido de la corriente en el hilo B debería ser el mismo que de la corriente en el hilo A para poder dar lugar a un vector inducción magnética de sentido contrario en el punto P solicitado.

Para visualizar mejor todo esto se ha realizado un esquema o dibujo de la situación que se verá más abajo (eje X en color rojo, eje Y en color cian y eje Z en color azul).

En cuanto al valor de la intensidad la obtendremos de la igualdad entre los módulos de los dos vectores: |B⃗⃗⃗⃗ (P)| = |BA ⃗⃗⃗⃗ (P)| B

μ IA 2 π rAP=

μ IB 2 π rBP

Hay que tener en cuenta que: - IA = 10 A;

- rAP= 0,25 m;

- rBP= 0,75 m.

IB=

IA· rBP rAP

=10 A · 0,75 m

0,25 m = 30 A

En consecuencia, la intensidad de corriente IB tiene que tener un valor

de 30 A y deberá circular en el mismo sentido que la corriente A.

ii) Estrategia de resolución. Para hallar la fuerza que ejercen los dos hilos conductores sobre un electrón que se moviera en el mismo plano XY, con una velocidad de 5·103 m s-1 verticalmente hacia arriba (5 · 103 j m · s−1

según el sistema de referencia indicado), 0,05 m a la derecha del hilo B debemos aplicar la ley de Lorentz, F⃗⃗⃗⃗⃗ = Q v⃗ ∧ Bm ⃗⃗ , aplicando nuevamente el

principio de superposición para hallar el campo magnético neto en el punto citado, que denominaremos M, B⃗⃗ total(M) = ∑n B⃗⃗⃗ (M) =i

i=1 B⃗⃗⃗⃗ (M) + BA ⃗⃗⃗⃗ (M). B

Todo esto se puede apreciar en el esquema de la derecha:

De este modo, el campo magnético total se calculará teniendo en cuenta que rAM = 1,05 m y rBM = 0,05 m, y que ambos campos estarán dirigidos en el

sentido negativo del eje Z, −k⃗ : - Primer hilo:

B

⃗⃗ A(M) = μ IA

2 π rAM

(−k⃗ ) =4π · 10

−7 T · m · A−1· 10 A

2 π · 1,05 m (−k⃗ )

B

⃗⃗ A(M) = −1,9 · 10−6 k⃗ T

(8)

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Departamento de Física y Química

B

⃗⃗ B(M) = μ IB

2 π rBM

(−k⃗ ) =4π · 10

−7 T · m · A−1· 30 A

2 π · 0,05 m (−k⃗ )

B

⃗⃗ B(M) = −1,2 · 10−4 k⃗ T

Por tanto, el campo neto es:

B

⃗⃗ total(M) = ∑ B⃗⃗⃗ (M) =i

n

i=1

BA

⃗⃗⃗⃗ (M) + B⃗⃗⃗⃗ (M) B

B

⃗⃗ total(M) = −1,9 · 10−6 k⃗ T + (−1,2 · 10−4 k⃗ T) = −1,219 · 10−4 k⃗ T

Y la fuerza;

Fm

⃗⃗⃗⃗⃗ = Q v⃗ ∧ B⃗⃗ = −1,6 · 10−19 C · 5 · 103 j m · s−1∧ −1,219 · 10−4 k⃗ T

Fm

⃗⃗⃗⃗⃗ = 9,75 · 10−20 i N

Así, la fuerza magnética que nota el electrón es 𝐅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟗, 𝟕𝟓 · 𝟏𝟎𝐦 −𝟐𝟎 𝐢 𝐍.

2.

a) Una carga eléctrica puntual con valor Q se encuentra en el vacío. i) Si el potencial disminuye al alejarnos de la carga, indica razonadamente el signo de la misma. ii) Explica qué le sucederá a la energía potencial una carga positiva que se acerca a la carga Q y dibuja cómo será la fuerza que note. (CE 2.3 – 2.4)

Para contestar a las cuestiones que se plantean deberíamos recordar los conceptos y las expresiones del potencial y la energía potencial electrostática debidos a una carga puntual.

i) El potencial electrostático en un punto P es la energía potencial electrostática de la unidad de carga positiva supuesta situada en dicho punto. Matemáticamente se podría obtener a partir de la siguiente expresión V(P) =EP(P)

QP o V(P) = EP(P)

qP .

Para una carga puntual Q en un punto separado una distancia r de ella sería V(P) = kQ

r.

De este modo, si el potencial disminuye cuando nos alejamos de la carga Q solamente puede suponer que dicha carga es positiva para que a medida que la distancia es mayor el valor absoluto de kQ

r sea cada vez menor y con la carga positiva el resultado sea

menor.

ii) La energía potencial electrostática en un punto P es el trabajo que realizan las fuerzas del campo cuando una carga se desplaza desde el punto hasta el infinito, Ep(P) = WCP

. Podemos escribir esta energía en función del potencial: Ep(P) = QP· V(P).

También la podemos escribir en función de los valores de las cargas puntuales y de la distancia que las separa: Ep(P) = kQ·QP

r .

En consecuencia podemos afirmar que la energía potencial de una carga positiva que se acerca a la carga Q (positiva) aumenta. Para explicarlo podemos recordar que la carga positiva es repelida por la otra carga positiva, acercándose de manera forzada, fuerza externa al campo (trabajo de las fuerzas del campo negativo) y aumentando la energía potencial (WCAB= −∆EpAB).

Si nos fijamos en la relación con el potencial también podemos ver que puesto que este aumenta al

acercarnos a la carga Q positiva también lo hace la energía potencial de la caga positiva, Ep(P) = QP· V(P).

Del mismo modo lo podemos ver con la expresión Ep(P) = kQ·QP

r , de modo que al disminuir r la energía potencial aumenta teniendo

en cuenta que es positiva debido a la carga Q.

La fuerza que nota la carga QP es repulsiva y la podemos observar en el esquema de la derecha:

b) El alternador de un automóvil es el elemento de un circuito eléctrico que tiene como misión transformar la energía mecánica en energía eléctrica, proporcionando así un suministro eléctrico durante la marcha del vehículo. Uno de esos alternadores está formado por una bobina de 2000 espiras de sección circular de 12,5 cm de radio, inicialmente contenida en un plano horizontal, que gira con una velocidad angular de 10 π rad·s-1 en torno a uno de sus diámetros en el seno de

un campo magnético uniforme vertical de 0,4 T. Halla el flujo máximo que atraviesa la bobina y deduce y calcula la fuerza electromotriz inducida en la misma. (2.16 – 2.17 – 2.18)

Estrategia de resolución.

Para hallar el flujo máximo que atraviesa la bobina haremos uso de la expresión correspondiente, ϕm= ∫ B⃗⃗ · S⃗ , teniendo en cuenta que la superficie de la bobina se determinará a partir del área de un círculo, A = π · R2, conociendo el radio R = 12,5 cm = 0,125 m,

y que el campo es inicialmente perpendicular al plano de la bobina, θo= 0, girando con una velocidad angular de 10 π rad·s-1.

De este modo:

ϕm= ∫ B⃗⃗ · S⃗ = |B⃗⃗ | · |S⃗ | · cos θ

(9)

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ϕm= |B⃗⃗ | · π · R2· cos ωt

ϕm= 0,40 T · π · (0,125 m)2· cos(10 π · t)

ϕm= 0,40 T · π · (0,125 m)2· cos(10 π · t) = 0,0196 · cos(10 π · t) (SI)

ϕm= 0,0196 · cos(10 π · t) (SI)

Así que el flujo máximo es de 0,0196 Wb.

Como ya hemos deducido en las clases, la fuerza electromotriz inducida en una espira que gira en el seno de un campo magnético uniforme inicialmente perpendicular a la misma es aplicando la ley de Lenz-Faraday, εind= −Ndϕm

dt :

εind= −N

d

dt(|B⃗⃗ | · |S⃗ | · cos ωt)

εind= −N · |B⃗⃗ | · |S⃗ | · (−sen ωt) · ω

εind = N · |B⃗⃗ | · |S⃗ | · ω · sen ωt

Continuamos teniendo en cuenta que la bobina tiene espiras circulares y su superficie es |S⃗ | = π · R2, donde R = 12,5 cm = 0,125

m:

εind= N · |B⃗⃗ | · π · R2· ω · sen ωt

εind= 2000 · 0,40 T · π · (0,125 m)2· 10 π rad s−1sen(10 π · t)

εind= 1,2 · 103sen(10 π · t) (SI)

Es decir, la fuerza electromotriz que se induce en la bobina varía sinusoidalmente con el tiempo, y se puede escribir como

𝛆𝐢𝐧𝐝= 𝟏, 𝟐 · 𝟏𝟎𝟑𝐬𝐞𝐧(𝟏𝟎 𝛑 · 𝐭) (𝐒𝐈).

3.

a) ¿Cómo es la corriente inducida en una espira circular de una de las tres experiencias de Faraday – Henry cuando: (i) un imán se aleja de dicha espira por su polo sur; (ii) se cierra el circuito y se inicia el paso de la corriente que circula por otra espira circular próxima a la primera? (CE 2.16 – 2.17 – 2.18)

(1) Cuando un imán se aleja a una espira circular por su polo sur se produce una reducción de las líneas de campo (flujo) magnético saliente en la espira circular, por tanto, según la ley de Lenz, la fuerza electromotriz y la corriente inducidas se opondrán a dicha disminución, produciendo un campo y flujo magnéticos salientes, es decir, un polo norte (un polo norte que se pondrá al alejamiento atrayendo al polo sur que se distancia). En el dibujo de la derecha se puede observar este efecto.

(2) Cuando se cierra el circuito y se inicia el paso de la corriente que circula por otra espira circular próxima a la primera se produce un aumento del flujo magnético en esta última, induciéndose en ella una

fuerza electromotriz y una intensidad de corriente de sentido contrario a la que se inicia, y que, en consecuencia, se opone a ese aumento, generando un flujo magnético y unas líneas de campo de sentido contrario a las que aparecen. En el dibujo de la izquierda se puede observar este efecto.

Las leyes que explican este fenómeno son la ley de Faraday y la ley de Lenz. La primera dice que la fuerza electromotriz inducida, ε, que da lugar a una corriente inducida en un circuito, es igual a la rapidez con que varía el flujo magnético a través de la superficie que delimita el circuito (variación del flujo magnético respecto al tiempo).

El enunciado de la ley de Lenz dice que el sentido de la corriente eléctrica inducida es tal que se opone siempre a la causa que la ha producido, es decir, a la variación de flujo magnético que la ha originado.

Faraday descubre que en todas las experiencias donde aparecen corrientes eléctricas inducidas tiene lugar una variación del flujo magnético en el tiempo. Es decir, el origen de la fuerza electromotriz inducida en la espira es la variación del flujo magnético que la atraviesa en el tiempo.

b) Una carga q1 = 4 · 10-9 C está fija en el origen de coordenadas, mientras que otra carga, q2 = – 10-9 C, se halla, también

fija, en el punto (3,0) m. Determina: (i) El vector intensidad de campo eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto A (4,0) m; (ii) el trabajo realizado por el campo para desplazar una carga puntual q = – 5 · 10-9 C desde A (4,0) m hasta el

(10)

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Departamento de Física y Química

K = 9 · 109 N m2 C-2

i) Estrategia de resolución. Par hallar el vector intensidad de campo eléctrico debido a ambas cargas en el punto A (4,0) m aplicaremos el principio de superposición, E⃗⃗ total(A) = ∑ni=1E⃗⃗⃗ (A)i , recordando que el vector intensidad de campo electrostático

debido a una carga puntual Q en un punto situado a una distancia r dela carga es E⃗⃗ = kQ

r2 u⃗⃗⃗ . r

De este modo en el punto A(4, 0) m: r1

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗ = 1A1A ⃗⃗⃗⃗⃗ = (4,0)m − (0, 0)m = 4 i m r1A = 4 m → u⃗ r1A = i

r2

⃗⃗⃗ = r⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2A2A ⃗⃗⃗⃗⃗ = (4,0)m − (3, 0)m = i m r2A= 1 m → u⃗ r2A = i

Así:

E

⃗⃗ total(A) = ∑ E⃗⃗⃗ (A) =i

n

i=1

E1

⃗⃗⃗⃗ (A) + E⃗⃗⃗⃗ (A) 2

E

⃗⃗ total(A) = ∑ kQi

ri2 u⃗⃗⃗⃗⃗ =ri

n

i=1

kQ1

r1A2 u⃗ r1A+ k Q2 r2A2 u⃗ r2A

E1

⃗⃗⃗⃗ (A) = kQ1

r1A2 u⃗ r1A = 9 · 109 N · m2· C−2

4 · 10−9 C

(4 m)2 i = 2,25 i N · C−1

E2

⃗⃗⃗⃗ (A) = kQ2

r2A2 u⃗ r2A= 9 · 10

9 N · m2· C−2−10−6 C

(1 m)2 i = −9 i N · C−1

E

⃗⃗ total(A) = −6,75 i N · C−1

Así el vector intensidad de campo electrostático neto en el punto A es 𝐄⃗ 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥(𝐀) = −𝟔, 𝟕𝟓 𝐢 𝐍 · 𝐂−𝟏.

ii) Estrategia de resolución. Para hallar el trabajo necesario para transportar una carga puntual de – 5 · 10-9 C desde A(4, 0) m hasta

el infinito obtendremos el trabajo realizado por la fuerza conservativa a partir de la variación de la energía potencial y de la diferencia de potencial entre el punto en cuestión y el infinito, WCA∞= −ΔEpA∞= −Q · ∆VA∞= Q · V(A).

Esto quiere decir que debemos hallar el potencial en el punto A, V(A) = ∑n Vi(A) = V1(A) + V2(A)

i=1 , puesto que el potencial en el

infinito es cero. Así.

V(A) = ∑ Vi(A) = V1(A) + V2(A) = kq1 r1A n

i=1

+ kq2 r2A

= 9 · 109 N · m2· C−2·4 · 10−9 C

4 m + 9 · 10

9 N · m2· C−2·−1 · 10−9 C

1 m

V(A) = 9 V + (−9) V = 0 V

Por tanto:

WCA∞= Q · V(A) = −5 · 10−9 C · 0 V = 0 J

En consecuencia el trabajo que se realiza cero.

4.

a) Magneto es un personaje ficticio que aparece en las historietas de los X-Men publicadas por Marvel Comics. Es un poderoso mutante con la habilidad de generar y controlar campos magnéticos mentales y ha sido el más eminente enemigo que hayan tenido los X-Men desde su creación. Si este supervillano genera un campo magnético B⃗⃗ perpendicular a las velocidades de un electrón y un protón, deduce el radio de sus trayectorias en el seno del campo magnético y compáralas sabiendo que mp= 2000 me y ve= 100 vp. (CE 2.8 – 2.10)

Si una carga Q (q) penetra en un campo magnético uniforme, B⃗⃗ , con una velocidad, v⃗ , perpendicular al campo describirá un movimiento circular uniforme. Esto se debe a que la fuerza magnética, F⃗ = Q v⃗ ∧ B⃗⃗ , es perpendicular en todo momento a v⃗ y se encuentra dirigida hacia un punto, el centro de la circunferencia de radio R que describe la carga. Así, haciendo uso del principio fundamental de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , y del concepto de aceleración normal o centrípeta, |a⃗ n| =

|v⃗⃗ |2

R :

(11)

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F

⃗ = Q v⃗ ∧ B⃗⃗ = m · a⃗ n

|Q| |v⃗ | |B⃗⃗ | sen θ = m · an= m ·

|v⃗ |2

R

|Q| · |v⃗ | · |B⃗⃗ | = m ·|v⃗ |2 R

R = m · |v⃗ | |Q| · |B⃗⃗ |

R = m · |v⃗ | |q| · |B⃗⃗ |

Los radios de las trayectorias que seguirán el protón y el electrón en el seno del mismo campo magnético B⃗⃗ serán respectivamente:

Rp=mp· |v⃗ p| |qp| · |B⃗⃗ |

Re=me· |v⃗ e| |qe| · |B⃗⃗ |

Para determinar la relación dividiremos ambas expresiones, recordando que mp= 2000 me y ve= 100 vp, y que |qp| = |qe|:

Rp=mp· |v⃗ p| |qp| · |B⃗⃗ |

Re=me· |v⃗ e| |qe| · |B⃗⃗ |}

⇒Rp Re

=

mp· |v⃗ p|

|qp| · |B⃗⃗ | me· |v⃗ e| |qe| · |B⃗⃗ |

=2000 · me· |v⃗ p| me· 100 · |v⃗ p|

= 20

Por tanto, el radio de giro del protón resulta ser 20 veces mayor que el radio de giro del electrón, Rp = 20·Re.

b) Una carga de 2,5 · 10-8 C se encuentra situada en el origen de coordenadas y en una región donde hay un campo

eléctrico de intensidad 5,0 · 104 N C-1, dirigido en el sentido positivo del eje Y. i) Calcula el trabajo que la fuerza eléctrica

efectúa sobre la carga cuando ésta se desplaza al punto P(0, 5) m. ii) Realiza un esquema de la situación y halla la diferencia de potencial entre el origen de coordenadas y el punto P. (CE 2.1 – 2.2)

i) Para calcular el trabajo que la fuerza eléctrica efectúa sobre la carga cuando ésta se desplaza al punto P(0, 5) m aplicaremos la definición de trabajo realizado por una fuerza constante, WcOP = F⃗ E· Δr OP, como se trata de este caso, F⃗ E= q · E⃗⃗ .

Para hallar este trabajo debemos tener claro cómo cada uno de los vectores que intervienen: - E⃗⃗ = 5,0 · 104 j N · C−1;

- Δr OP= 5 j m.

WcOP= F⃗ E· Δr OP

WcOP= q · E⃗⃗ · Δr OP

WcOP= 2,5 · 10−8 C · 5,0 · 104 j N · C−1· 5 j m = 0,00625 J

Así que el trabajo que realiza la fuerza eléctrica entre O y P es 0,00625 J.

ii) Estrategia de resolución. Para hallar la diferencia de potencial entre el origen de coordenadas y el punto P podemos utilizar dos estrategias.

La primera a partir de la relación directa entre el campo y el potencial electrostáticos para un campo uniforme (intensidad igual en todos sus puntos) y unidimensional E⃗⃗ = Eyi :

∆VAB= V(B) − V(A) = −E

y(yB− y𝐴)

De esta manera, teniendo en cuenta que Ey = 5,0 · 104 N·C-1, yA = yO = 0 (origen de coordenadas) y yB = yP = 5 m:

∆VOP= −E

(12)

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Departamento de Física y Química Teniendo en cuenta que la carga positiva se desplaza por acción del campo, hay

que recordar que se moverá hacia los potenciales decrecientes y, por ello, la diferencia de potencial es negativa e igual a −𝟐, 𝟓 · 𝟏𝟎𝟓 𝐕.

La segunda estrategia consistiría en utilizar la relación entre el trabajo que realizan las fuerzas del campo y la diferencia de potencial a través de la energía potencial electrostática, WcOP= −∆EpOP= −q · ΔVOP, recordando que el trabajo de una fuerza constante como la que se aplica en este caso es WcOP= F⃗ E· Δr OP.

Así:

WcOP= −q · ΔVOP

F

E· Δr OP= −q · ΔV

OP

q · E⃗⃗ · Δr OP= −q · ΔV

OP

E

⃗⃗ · Δr OP= −ΔV

OP

ΔVOP= −E⃗⃗ · Δr

Figure

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