Departamento de Sistemas y Computación Semestre
Ingeniería en Tecnologías de la Información y
Unidad 1 : números complejos
Cardenas Osorio Angel Gabriel
María Eugenia Bermúdez Jiménez
Fecha de Entrega:
Instituto Tecnológico de Tijuana Subdirección Académica
Departamento de Sistemas y Computación Semestre Agosto - Diciembre 2013
Ingeniería en Tecnologías de la Información y
Comunicaciones
Algebra lineal
Unidad 1 : números complejos
Osorio Angel Gabriel No. 12211504
María Eugenia Bermúdez Jiménez
Fecha de Entrega: 06/09/2013
Ingeniería en Tecnologías de la Información y
ÍNDICE
1.1 Definición de números complejos……….3
1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos………..4
1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de los números
complejos ………..…6
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo………..7
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un
número complejo ……….9
1.6 Ecuaciones polinómicas………12
1.1
Definición y origen de los números complejos
[1]Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la
definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de
i (de “imaginario”).
Ejemplo de operaciones de números complejos
[2] Aplicaciones
Los números complejos son usados en los moldeamientos matemáticos de procesos físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas.
1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos
[3]
1.- Adicción
Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)
2.- Sustracción
Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo : Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)
3.- Multiplicación
Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)
4.- Potenciación
La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.
5.- Forma Binomica
La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi
Operaciones de números complejos en su forma Binomica: La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si.
+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i
6.- Multiplicación con números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac
7.- División con números complejos
El cociente de números complejos se hace rac
es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.
Ejemplo
(3 + 2i) + 8-7-i) = (3-7) + (2i
= (5 + 3i) + {(-1 + 2i) + (7-5i)}
=(5 + 3i) + {(-1 + 7) + (2i – 5i)}
= (5 + 3i) + (6 – 3i)
= (5 + 6) + (3i – 3i)
= 11
plicación con números complejos
números complejos se realiza aplicando la
del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i
División con números complejos
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.
7) + (2i – i) = -4 + i
5i)}
5i)}
del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que
1.2 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de los números
complejos [4]
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión
Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces | z | = r . Se puede expresar en forma polar como z =r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφes la conocida fórmula de Euler.
Potencias de la Unidad Imaginaria:
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo
Forma Polar
El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores
cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo
[5
El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.
5]
Argumento de un número complejo
El argumento de un número real. Se designa por arg(z).
Forma exponencial
A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonométrica en vez de con la forma binomica: cualquiera su representación prdra experesarse de las
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la
en vez de con la forma binomica: Sea Z un número complejo representación prdra experesarse de las siguientes maneras:
complejo es el ángulo que forma el vector con el eje
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un
número complejo
[6]
En probabilidad el teorema de
la distribución binomial. Se trata de un caso particular del
límite. Establece que la distribución binomial del número de éxitos en independientes de Bernoulli
aproximadamente, una distribución normal de media (cabe aclarar que q = 1-p), si
determinadas condiciones.
De la figura tenemos dada la representación polar de un número complejo
Donde la formula se usa cuando
en este caso
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un
teorema de Moivre-Laplace es una aproximación normal . Se trata de un caso particular del Teorema central del . Establece que la distribución binomial del número de éxitos enn
independientes de Bernoulli con probabilidad de éxitopen cada intento es, aproximadamente, una distribución normal de medianpy desviación típica
p), sines suficientemente grande y se satisfacen
De la figura tenemos dada la representación polar de un número complejo
Donde la formula se usa cuando
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un
normal a Teorema central del
npruebas en cada intento es,
y desviación típica , es suficientemente grande y se satisfacen
En general, para cualquier entero positivo k.
a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos
Raíces de un número complejo
Dado un número complejo que se define tal que podemos pensar en i como la raíz cuadrada de tenemos (-i2)2=i2=-1, así que (
Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la ra cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i2=-1, por lo que entonces:
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posibl la igualdad
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.
Para cada número complejo diferente a cero z existe
tales que w2=Z . Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son: En general, para cualquier entero positivo k.
esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos
Raíces de un número complejo
Dado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también
1, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1.
Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la ra
−x se cumple la siguiente igualdad:
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. 1, por lo que entonces:
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz
Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W . Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:
esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las
1. Utilizando esta notación pero notamos que también −i) es también una raíz cuadrada de −1.
Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario.
e demostrar
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz
La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = reiφ es representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:
Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de
Taylor para sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.
En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:
Donde (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte
1.6 Ecuaciones polinómicas
Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo
Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:
Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por
que no existe en el campo de los reales ya para argumentos negativos.
Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i =
que la ecuación anterior sí
La introducción de los números complejos permite probar el teorema
fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue:
1.6 Ecuaciones polinómicas
[7]
Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo
Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:
Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por
que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos.
Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2=
La introducción de los números complejos permite probar el teorema
del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n exactamente n soluciones complejas.
se define genéricamente un número complejo como un compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria escribiéndose como sigue: z = a + bi.
Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones
Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:
Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta
que la raíz cuadrada no está definida
Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de 1, lo que significaría tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.
del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n
Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc.
Con los números complejos se opera como se operaría ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 =
bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.
La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la
πi, etc.
Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci +
La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:
con productos de sumas 1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci +
Bibliografia
[1] http://definicion.de/numeros-complejos/
http://es.scribd.com/doc/95605994/Algebra-lineal-1-Numeros-Complejos
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4comre10.pdf
[2] http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
[3]http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/12-operaciones-fundamentales-con.html
[4] http://es.scribd.com/doc/70038408/1-3-Potencia-de-i-Modulo-o-Valor-Absoluto-de-Un-Numero-Compuesto
[5] http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/14-forma-polar-y-exponencial-de-un.html
[6] http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_De_Moivre-Laplace
