Sobre el Grupo de Galois de los Polinomios de Legendre

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(1)SOBRE EL GRUPO DE GALOIS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE. C RISTIN J ULIETH M ANTA C ARO.. Proyecto Curricular de Matemáticas Facultad de Ciencias y Educación Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá D.C. 2016.

(2) SOBRE EL GRUPO DE GALOIS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE. C RISTIN J ULIETH M ANTA C ARO.. Monografía para optar al título de Matemática. Trabajo dirigido por: Luis Oriol Mora Valbuena Profesor de planta Universidad Distrital. Proyecto Curricular de Matemáticas Facultad de Ciencias y Educación Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá D.C. 2016.

(3) Agradecimientos. Quiero agradecer a mi hermano, por su apoyo recibido en el transcurso de mi carrera; al profesor Luis Oriol Mora por su dedicación, acompañamiento y dirección en el desarrollo de este trabajo; a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por mi formación académica y a cada uno de los profesores que hicieron parte de ella.. I.

(4) Resumen. Abstract. La presente monografía está basada en el artículo On the Galois groups of Legendre polynomials de John Cullinan y Garshid Hajir y pretende estudiar algunas propiedades algebraicas que los autores utilizan para ver cuál es el grupo de Galois de los polinomios de Legendre. Palabras claves: Grupo de Galois, polinomios ortogonales, primos en intervalos, primos en progresiones aritméticas.. This work is based on the article On the Galois groups of Legendre polynomials by John Cullinan and Garshid Hajir and pretends to study some algebraic properties that authors use to see what is the group of Galois of the Legendre polynomials. Keywords: Galois group, orthogonal polynomials, primes in intervals, primes in arithmetic progressions. II.

(5) Índice general Agradecimientos. I. Resumen. II. Índice general. III. Introducción. V. 1. Preliminares 1.1. Divisibilidad, MCD y Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Extensiones campos y Grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 1 4 5. 2. Conceptos Básicos 2.1. Relación entre el grupo de Galois y el discriminante de un polinomio . . 2.1.1. Resultante y Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Grupo de Galois y Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Función Gamma y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Factorial de Pochhhammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Función Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Funcionales de momento y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Ortogonalidad y fórmula fundamental de recurrencia . . . . . . . 2.3.2. Existencia de SPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Funcional positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Ecuación Diferencial de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Polinomios de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Primos de clase de congruencia prescritos en intervalos cortos . . . . . . 2.6.1. Función Λ(n) de Mangoldt y funciones ψ(x) y ϑ(x) de Chebyshev 2.6.2. Postulado de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Primos de clases de congruencias en intervalos . . . . . . . . . . .. III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 7 7 9 11 11 12 13 15 15 18 19 21 22 23 25 26 26 28 28 30 31.

(6) 3. Sobre el grupo de Galois de los polinomios de Legendre 33 3.1. Definición de los polinomios Jn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2. Discriminante de Jn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3. La raíz d i scJn no es racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Conclusiones. 42. Bibiografía. 43. IV.

(7) Introducción. Los polinomios ortogonales desempeñan una función importante en varias áreas de la matemática y los polinomios de Legendre no son la excepción. En 1785 el matemático francés Adrien-Marie Legendre introdujo los polinomios que llevan su nombre, estos han jugado un papel importante en el análisis, la física e incluso la teoría de números; no obstante, las propiedades algebraicas de esta familia de polinomios no son bien conocidas. En 1890 Stieltjes conjeturó que dichos polinomios son irreducibles sobre Q. Asumiendo la conjetura de Stieltjes, la presente monografía tiene como finalidad el estudio parcial de los grupos de Galois de los polinomios de Legendre. Ésta busca exhibir conceptos y propiedades elementales sobre los polinomios ortogonales, junto con las propiedades de familias de polinómios como los polinómios de Legendre y los polinómios de Jacobi; y conceptos que relacionan el grupo de Galois y el discriminante de un polinomio. Además de ello, introduce conceptos de teoría de números analítica, como por ejemplo la función φ(x) de Chebyshev, que interviene para dar información adicional sobre el discriminante de un polinómio. Específicamente, se representa los polinomios de Legendre en términos de otro tipo de polinomios que denotamos por Jn(±1/2,0) (x), y busca demostrar si el grupo de Galois de ellos está contenido en A n , el grupo de todas las permutaciones pares. Dicho estudio está basada en el primer resultado del artículo On the Galois groups of Legendre polynomials de John Cullinan y Garshid Hajir [3], e intenta reconstruir parcialmente dicho artículo. Para ello se deben incluir conceptos previos de tres teorías: los polinomios ortogonales, el grupo de Galois de un polinomio y primos en progresiones aritméticas. En forma detallada, el desarrollo de este trabajo se presenta de la siguiente manera: En el primer capítulo, Preliminares, se encuentran nociones básicas sobre divisibilidad y congruencias; junto con conceptos de extensiones de campos, automorfismos y algunas propiedades del grupo de permutaciones. En el segundo capítulo, Conceptos básicos, se dan las herramientas necesarias para el desarrollo de nuestro objetivo general. Para ello se muestra la relación entre el grupo. V.

(8) de Galois y el discriminante de un polinomio, la definición y algunas propiedades de funciones especiales, necesarias para la definición de polinomios clásicos; se presenta la teoría de funcionales de momento y los correspondientes polinomios ortogonales; y por último se presenta la unión de dos resultados conocidos, el postulado de Bertrand y el teorema de Dirichlet. Y para finalizar, en el tercer capítulo, Sobre el grupo de Galois de los polinomios de Legendre, se muestra el resultado en el que se centra este trabajo, utilizando las herramientas desarrolladas en el segundo capítulo. Se obtiene un teorema principal que proporciona información acerca del grupo de Galois de los polinomios Jn(±1/2,0) (x).. VI.

(9) Capítulo 1 Preliminares El objetivo principal de este trabajo gira entorno a tres ramas de la matemática, como ya se ha mencionado. En este capítulo se exhiben algunos conceptos de teoría de números y álgebra abstracta, como por ejemplo: la definición y propiedades de divisibilidad, congruencias, extensiones de campos, entre otros. Esto con el fin de dar las herramientas necesarias para el buen entendimiento de conceptos que se definirán en los siguientes capítulos y teoremas que relacionan estos conceptos.. 1.1. Divisibilidad, MCD y Congruencias Uno de los resultados que se dan en el tercer capítulo necesita de definiciones y teoremas elementales de teoría de números. La mayor parte de los enunciados de dichos teoremas y definiciones que se dan a lo largo de esta sección se han tomado de [9]. De esta manera, introducimos en primer lugar la definición de divisibilidad. Definición 1.1. Dados a, b ∈ Z, decimos que a divide a b y denotamos a|b si b = ka para algún k ∈ Z. De lo contrario, decimos que a no divide a b y escribimos a 6 |b Teorema 1.1. Supongamos que a, b, c son números enteros. Entonces 1. Si a 6= 0 entonces a|0, a|a, a|(−a). 2. 1|a, (−1)|a. 3. Si a|b entonces a|bc. 4. Si a|b y b|c entonces a|c. 5. Si a|b y a|c entonces para todo x, y ∈ Z, a|(bx + c y). 6. Si a|b y b 6= 0 entonces |a| ≤ |b|. 7. Si a|b y b|a entonces a = b o a = (−b) Una definición sumamente relacionada con la divisibilidad de números enteros, es el máximo común divisor entre dos números enteros. 1.

(10) Definición 1.2. Si d divide a dos enteros a y b, entonces d es llamado común divisor de a y b. El conjunto de todos los divisores d es un conjunto finito de números enteros. Al máximo de este conjunto se le denomina Máximo Común Divisor, y se denota por (a, b). Teorema 1.2. Sean a, b ∈ Z no ambos cero. Entonces d = (a, b) si y solo si d satisface las siguientes propiedades: 1. d > 0 (d es no negativo) 2. d |a y d |b (d es común divisor de a y b) 3. Si f |a y f |b implica f |d (todo común divisor divide a d) Teorema 1.3. (Lema de Euclides). Si a|bc y (a, b) = 1 entonces a|c. Corolario 1.1. Si p es primo y p|ab entonces p|a o p|b Teorema 1.4. (Teorema fundamental de la aritmética) Todo entero n > 1 o es primo, o se puede factorizar como producto de primos. Este producto es único salvo por el orden de los factores. Si tomamos un entero n > 1 se pueden agrupar los primos iguales en su factorización debido al Teorema fundamental de la aritmética (TFA), a esta fórmula se le denomina forma canónica del entero n y está dada por: n=. r Y k=1. a. pk k ,. (1.1). donde a k > 0 y p i 6= p j si i 6= j . Ahora se enuncia la definición de congruencia y sus propiedades junto con algunos teoremas. Definición 1.3. Sean a, b ∈ Z y n ∈ N. Si n|(a − b) decimos que a y b son congruentes módulo n y escribimos a∼ = b (mód n). Teorema 1.5. La congruencia módulo n es una relación de equivalencia sobre Z. Teorema 1.6. Si a ∼ = b (mód n) y c ∼ = d (mód n) entonces 1. Para todo par de enteros r y s, ar + c s ∼ = br + d s (mód n). 2. ac ∼ = bd (mód n). 3. Para todo entero r , a + r ∼ = b + r (mód n) y ar ∼ = br (mód n). A continuación introducimos la función φ de Euler, con el fin de enunciar el teorema de Euler y Fermat que será utilizado más adelante. Definición 1.4. Para cada entero positivo n, definimos φ(n) como el número de enteros positivos menores o iguales que n y primos relativos con n. 2.

(11) De esta manera los primeros valores de φ(n) se pueden ver en la siguiente tabla: n: φ(n):. 1 1. 2 1. 3 2. 4 2. 5 4. 6 2. 7 6. 8 4. 9 6. 10 4. Teorema 1.7. (Teorema de Euler) Si (a, n) = 1 entonces a φ(n) ∼ = 1 (mód n). Corolario 1.2. (Teorema de Fermat) Si p es un número primo y (a, p) = 1 entonces a p−1 ∼ = 1 (mód p). La siguiente proposición es primordial para uno de los resultado de este trabajo y es una importante propiedad de los números primos. Proposición 1.1. La raíz de un número primo p es irracional Demostración: Sea p un primo. Supongamos que la raíz de p es racional, esto es, p. p=. a , b. con (a, b) = 1. Así, elevando al cuadrado p=. a2 . b2. Por lo que b 2 p = a 2 , de esta manera p|a 2 , y así p|a. Luego existe k tal que a = pk, elevando al cuadrado tenemos a 2 = k 2 p 2 , y obtenemos que b 2 = pk 2 , de esta manera p|b 2 , con lo que p|b. Lo cuál es una contradicción. El siguiente teorema se conoce como el Teorema de Dirichlet, es un resultado clásico de la teoría analítica de números. La demostración de dicho teorema es extensa y requiere de resultados complejos que no hacen parte de nuestro estudio. Sin embargo, para el objetivo de nuestro trabajo utilizamos una variación de él, cuya demostración está a nuestro alcance. Teorema 1.8. (Teorema de Dirichlet) Sean h, k > 0 dos enteros tales que (h, k) = 1, entonces existe al menos un número primo de la forma kn + h. Proposición 1.2. Existen infinitos primos de la forma 4k + 3 Demostración: Como 4k +3 = 4(k +1)−1, basta demostrar que existen infinitos primos de la forma 4k − 1. Supongamos que existe un número finito de primos, p 1 , p 2 , . . . , p n , de la forma 4k − 1. Consideremos al entero N = 4p 1 p 2 . . . p n − 1, así N∼ = −1 (mód 4) Como N > p i , para 1 ≤ i ≤ n, y N es de la forma 4k − 1, por el TFA debe ser producto de números primos y debe tener como factor algún primo p i de la forma 4k − 1. Así, p i |N y p i |4p 1 · · · p n , por el item (5) del teorema 1.1, p i |4p 1 · · · p n − N , por lo que p i |1, lo cual es una contradicción. 3.

(12) Proposición 1.3. Existen infinitos primos de la forma 4n + 1 Demostración: Sea N un entero cualquiera tal que N > 1. Ahora, tomemos m = (N !)2 + 1. Nótese que m es impar y m > 1. Sea p el menor factor primo de m. Supongamos que p ≤ N entonces p|(N !)2 y como p|m entonces p|1, lo que es absurdo. Luego necesariamente p > N . También tenemos que (N !)2 ∼ = −1 (mód p), elevando a ambos lados por la potencia (p − 1)/2 encontramos (N !)p−1 ∼ = (−1)(p−1)/2. (mód p).. (1.2). Por el razonamiento anterior p 6 |(N !)2 , por lo que p 6 |N ! y así (N !, p) = 1, luego por el teorema de Fermat (N !)p−1 ∼ (1.3) = 1 (mód p). De (1.2) y (1.3) obtenemos (−1)(p−1)/2 ∼ = 1 (mód p) Ahora la diferencia (−1)(p−1)/2 − 1 es 0 o −2, y como p 6 | − 2 pues p|m y m es impar, entonces (−1)(p−1)/2 = 1, lo que implica que (p −1)/2 es par. Y así p ∼ = 1 (mód 4). Luego existen infinitos primos de la forma 4k + 1.. 1.2. Permutaciones En esta sección se dan algunas nociones de permutaciones y sus propiedades, basadas en [4]. Definición 1.5. Una permutación de un conjunto A es una función de A en A biyectiva. Teorema 1.9. Sea A un conjunto no vacío y sea S A la familia de todas las permutaciones de A. Entonces S A es un grupo bajo la composición. Si A = {1, 2, . . . , n} entonces el grupo de todas las permutaciones de A es el grupo simétrico de n elementos y se denota por S n . Este grupo tiene n! elementos. Definición 1.6. Una permutación σ de un conjunto A es un ciclo de longitud k si existen a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ A tales que σ(a 1 ) = a 2 ,. σ(a 2 ) = a 3 ,. σ(a 1 ) = a 2 ,. ...,. σ(a n−1 ) = a n. y σ(x) = x para toda x ∈ A tal que x 6∈ {a 1 , a 2 , . . . , a n }. Definición 1.7. Un ciclo de longitud 2 es una transposición. 4. σ(a n ) = a 1 ..

(13) Teorema 1.10. Cualquier permutación de un conjunto finito de al menos dos elementos es un producto de transposiciones. Definición 1.8. Una permutación de un conjunto finito es par (resp. impar) si se puede expresar como composición de un número par (resp. impar) de transposiciones. Teorema 1.11. Si n ≥ 2, la colección de todas las permutaciones pares de {1, 2, . . . , n} forma un subgrupo de orden n!/2 del grupo simétrico S n . Definición 1.9. El subgrupo de S n que consta de las permutaciones pares de n elementos es el grupo alternante A n .. 1.3. Extensiones campos y Grupo de Galois Con el fin de definir el grupo de Galois de un polinomio deben presentarse algunas definiciones y propiedades fundamentales del álgebra abstracta, éstas en su mayoría se basan en [4, 5]. Definición 1.10. Sea F un campo. Un campo K se dice una extensión de F si F ≤ K . Es decir, F es un subcampo de K . Definición 1.11. Un elemento α ∈ K es algebraico sobre F si es raíz de algún polinomio no nulo, es decir si f (α) = 0 para algún f (x) ∈ F [x] no nulo. De lo contrario α es trascendente sobre F. Definición 1.12. Sea F un campo. Un polinomio p(x) no constante en F [x] se dice irreducible si no puede expresarse como producto de dos polinomios de grado menor que el de p(x). En otras palabras si p(x) = q(x)s(x) con q(x), s(x) ∈ F [x] entonces q(x) o s(x) es de grado cero, es decir, es una constante. Teorema 1.12. Sea α ∈ K algebraico sobre F con K una extensión de F , entonces existe un polinomio irreducible p(x) ∈ F [x] tal que p(α) = 0. Al polinomio mónico del teorema anterior se le llama polinomio irreducible para α sobre F y se denota por i r r (α, F ). Como este polinomio es irreducible el ideal generado por él , denotado por ⟨i r r (α, F )⟩ es maximal y por tanto F [x]/⟨i r r (α, F )⟩ es un campo, y lo denotamos por F (α). Definición 1.13. Si K es de dimensión finita como espacio vectorial sobre F , entonces se dice que K es un extensión finita sobre F . El grado de K sobre F es la dimensión de K como espacio vectorial sobre F y lo denotamos como [K : F ]. Con la finalidad de encontrar un campo E , extensión finita de F y de grado minimal, en el cual un polinomio p(x) ∈ F [x] de grado n, tenga todas sus raíces en K . Se necesitan las siguientes proposiciones: Proposición 1.4. Si p(x) ∈ F [x] y si K es una extensión de F , entonces para cualquier elemento b ∈ K , p(x) = (x − b)q(x) + p(b), donde q(x) ∈ K [x] y g r (q(x)) = g r (p(x)) − 1, donde g r (q(x)) denota el grado de q(x). 5.

(14) Proposición 1.5. Sea f (x) ∈ F [x] de grado n ≥ 1, Entonces existe una extensión E de F , con [E : F ] ≤ n!, en la que f (x) tiene n raíces. Como resultado de las anteriores proposiciones obtenemos una extensión finita E en la que un polinomio f (x) ∈ F [x], de grado n, tiene todas sus raíces en E , además f (x) se puede descomponer completamente sobre E como producto de factores lineales. Para encontrar la extensión finita de grado minimal se da la siguiente definición: Definición 1.14. Si f (x) ∈ F [x], una extensión finita E de F se dice que es un campo de descomposición de f (x) sobre F si f (x) puede ser descompuesto en un producto de factores lineales sobre E , pero no en ningún subcampo propio de E. Definición 1.15. Sea σ una aplicación de K sobre si mismo, σ : K → K . Dados a, b ∈ K cualesquiera, se dice que σ es un automorfismo del campo K si: 1. σ(a + b) = σ(a) + σ(b) 2. σ(ab) = σ(a)σ(b) Dos automorfismos σ y τ se dice que son distintos si σ(a) 6= τ(a) para al menos un elemento a ∈ K . Definición 1.16. Sea K un campo y sea F un subcampo de K . Entonces el grupo de automorfismos de K relativos a F , que se denota como G(K , F ), es el conjunto de todos los automorfismos de K que dejan fijos todos los elementos de F , esto es, el automorfismo σ de K está en G(K , F ) si y sólo si σ(a) = a para todo a ∈ F . Definición 1.17. Sea f (x) un polinomio en F [x] y sea K un campo de descomposición sobre F . El grupo de Galois de f (x) es el grupo G(K , F ) de todos los automorfismos de K que dejan fijos los elementos de F . El grupo de Galois de f (x) puede considerarse como un grupo de permutaciones de sus raíces, ya que si α es una raíz de f (x) y si σ ∈ G(K , F ) entonces σ(α) es también una raíz de F . Así, dicho grupo puede considerarse un subgrupo de S n , donde S n es el grupo de todas las permutaciones de α1 , . . . , αn .. 6.

(15) Capítulo 2 Conceptos Básicos 2.1. Relación entre el grupo de Galois y el discriminante de un polinomio En esta sección se definen el resultante y discriminante de un polinomio y se dan algunas propiedades de ellos, pues, el discriminante de un polinomio tiene una relación cercana con el grupo de Galois de un polinomio. Así, al finalizar esta sección se muestra la relación entre ellos.. 2.1.1. Resultante y Discriminante Sean f (x) y g (x) dos polinomios en F [x], F un campo, y sea K , el campo de descomposición de f (x) y g (x) sobre F . Definición 2.18. Sea f (x) = a(x − α1 ) · · · (x − αn ) y g (x) = b(x − β1 ) · · · (x − βm ) la descomposición de f y g en K [x]. Entonces el resultante R( f , g ) de f y g está dado por las siguientes fórmulas equivalentes: R( f , g ) = a m g (α1 ) · · · g (αn ) = (−1)nm b n f (β1 ) · · · f (βm ) Y = am bn (αi − β j ). 1≤i ≤n 1≤ j ≤n. P Definición 2.19. Si f (x) ∈ F [x] es un polinomio de grado n tal que f (x) = ni=0 a i x i , se define el discriminante de f (x) , d i sc( f ), por medio de la siguiente expresión: 1. d i sc( f ) = (−1) 2 n(n−1) donde f 0 es la derivada de f .. 7. 1 R( f , f 0 ), an.

(16) Proposición 2.6. Sea f (x) ∈ F [x] un polinomio de grado n, y sean αi las raíces de f (x) en K . Entonces Y 0 (αi − α j )2 . (2.1) d i sc( f ) = (a n )n−1+d eg ( f ) 1≤i < j ≤n 0. donde d eg ( f ) es el grado del polinomio obtenido por la derivada de f (x) P Demostración: Sea f (x) ∈ F [x] tal que f (x) = ni=0 a i x i . Podemos escribir n Y. f (x) = a n. (x − αi ).. i =1. Derivando obtenemos f 0 (x) = a n. n XY. (x − α j ).. i j 6=i. Así f 0 (αi ) = a n. n Y. (αi − α j ).. j 6=i. Entonces nosotros obtenemos que 0. R( f , f 0 ) = (a n )n+d eg ( f ) (−1)n(n−1)/2. Y. (αi − α j )2 ,. i<j. esto prueba la proposición. Por medio de la proposición anterior y directamente de la definición de discriminante se obtiene el siguiente corolario. Corolario 2.3. Sea f (x) ∈ F [x] un polinomio de grado n, y sean αi las raíces de f en K . Entonces n Y 1 d i sc( f ) = (−1) 2 n(n−1) (a n )n−2 f 0 (αi ). (2.2) i =1. Las propiedades del discriminante de un polinomio pueden obtenerse directamente de la definición, y se dan a continuación: Lema 2.1. Sea f (x) ∈ F [x] un polinomio de grado n. Entonces 1. Para todo k = c t e, se tiene que d i sc( f (x + k)) = d i sc( f (x)). 2. d i sc( f (2x)) = 2n(n−1) d i sc( f (x)). Si f (x) ∈ F [x] un polinomio mónico irreducible de grado n, con todas sus raíces α1 , . . . , αn en un campo de descomposición K de f (x) sobre F , y suponiendo que f (x) se factoriza en K [x] por n Y f (x) = (x − αi ), (2.3) i =1. denotamos a la raíz cuadrada del discriminante de f , Y ∆( f ) = (αi − α j ). i<j. 8. p d i sc( f (x)), por: (2.4).

(17) 2.1.2. Grupo de Galois y Discriminante A continuación se darán las proposiciones que relacionan el grupo de Galois de un polinomio y su discriminante. Proposición 2.7. Para cada σ ∈ G(K , F ) < S n , σ es una permutación par si y sólo si σ(∆) = ∆, además σ es impar si y sólo si σ(∆) = −∆ Demostración: Sea σ una tansposición, σ = (αc αd ) con c < d . Hacemos Y ∆( f ) = (αi − α j ) i<j. = (αc − αd ) · ρ 1 · ρ 2 · ρ 3 · ρ 4 · ρ 5 · ρ 6 · ρ 7 , donde ρ1 =. Y. (αi − α j ). con i , j 6= c, d. i<j. ρ2 =. Y. (αi − αc ). i <c. ρ3 =. Y. (αi − αd ). i <c. ρ4 =. Y. (αi − αd ). c<i <d. ρ5 =. Y. (αc − α j ). c< j <d. ρ6 =. (αc − α j ). Y d<j. ρ7 =. (αd − α j ).. Y d<j. De esta manera aplicando σ se tiene σ(∆) = σ(αc − αd )σ(ρ 1 )σ(ρ 2 )σ(ρ 3 )σ(ρ 4 )σ(ρ 5 )σ(ρ 6 )σ(ρ 7 ).. (2.5). Así, σ(αc − αd ) = σ(αc ) − σ(αd ) = αd − αc = −(αc − αd ) Ã ! Y Y Y σ(ρ 1 ) = σ (αi − α j ) = (σ(αi ) − σ(α j )) = (αi − α j ) = ρ 1 , i<j. Ã σ(ρ 2 ) = σ. i<j. ! Y. (αi − αc ) =. i <c. Ã σ(ρ 3 ) = σ. i<j. Y. (σ(αi ) − σ(αc )) =. i <c. Y. (αi − αd ) = ρ 3. i <c. ! Y. i <c. (αi − αd ) =. Y. (σ(αi ) − σ(αd )) =. i <c. Y i <c. 9. (αi − αc ) = ρ 2. i , j 6= c, d.

(18) Ã σ(ρ 4 ) = σ. ! Y. (αi − αd ) =. c<i <d. (αc − α j ) =. c< j <d. (αc − αi ) = (−1)d −c−1 ρ 5. c<i <d. Y. (σ(αc ) − σ(α j )) = (−1)d −c−1. c< j <d. Ã. Y. (α j − αd ) = (−1)d −c−1 ρ 4. c< j <d. ! Y. (αc − α j ) =. d<j. Y. (σ(αc ) − σ(α j )) =. d<j. Ã σ(ρ 7 ) = σ. Y. ! Y. σ(ρ 6 ) = σ. (σ(αi ) − σ(αd )) = (−1)d −c−1. c<i <d. Ã σ(ρ 5 ) = σ. Y. Y. (αd − α j ) = ρ 7. d<j. ! Y. (αd − α j ) =. d<j. Y. (σ(αd ) − σ(α j )) =. d<j. Y. (αc − α j ) = ρ 6 .. d<j. Por lo tanto σ(∆) = (−1)2(d −c−1)+1 (αc − αd ) · ρ 1 · ρ 2 · ρ 3 · ρ 4 · ρ 5 · ρ 6 · ρ 7 = −∆. Se sabe que una permutación es par (respectivamente impar) si es composición de un número par (respectivamente impar) de transposiciones. Por lo que queda probada la proposición. Teorema 2.13. Sean F, f , K y ∆ como se describen anteriormente. (a) f (x) tiene como factor el cuadrado de algún polinomio irreducible en F [x] si y solo si ∆( f ) = 0. (b) (∆( f ))2 ∈ F . (c) ∆( f ) ∈ F si y sólo si G(K , F ) es un subgrupo de A n , el grupo de todas las permutaciones pares. Demostración: (a) Sean α1 , . . . , αn las raices de f (x), si ∆( f ) = 0 se tiene que Y ∆( f ) = (αi − α j ) = 0, i<j. esto es, para algún factor de la productoria αi −α j = 0, con lo que αi = α j para algún i . Como f (x) se factoriza sobre K [x] f (x) =. n Y. (x − αi ). i =1. = (x − α1 ) · · · (x − αi ) · · · (x − α j ) · · · (x − αn ) = (x − α1 ) · · · (x − αi )2 · · · (x − α j −1 )(x − α j +1 ) · · · (x − αn ). Haciendo f (x) = (x − αi )2 g (x), se tiene que f (x) tiene como factor el cuadrado de un polinomio irreducible sobre F [x]. Por otra parte si f (x) = h(x)2 k(x), con h(x) irreducible en F [x], h debe ser mónico de grado m ≤ n. Por otra parte f se factoriza sobre K [x] por (2.3), entonces f (x) = h(x)2 k(x) =. n Y i =1. 10. (x − αi )..

(19) Como K es el campo de descomposición de f sobre F , las raíces β1 , . . . , βm de h(x) están en K y h se puede factorizar en K [x], h(x) = (x − β1 ) · · · (x − βm ). Al igual que las raices γ1 . . . , γs de k(x). Por lo que f (x) = h(x)2 k(x) = [(x − β1 ) · · · (x − βm )]2 [(x − γ1 ) · · · (x − γs )] = (x − β1 ) · · · (x − βm )(x − β1 ) · · · (x − βm )(x − γ1 ) · · · (x − γs ). De esta manera si f (x) se factoriza por (2.3) algún αi = α j , y por tanto ∆( f ) = 0. (b) Sea σ ∈ G(K , F ), así σ(∆2 ) = (σ(∆))2 y por proposición 2.7 σ(∆2 ) = (±∆)2 = ∆2 , así ∆2 ∈ F . (c) Si ∆ ∈ F , para cada σ ∈ G(K , F ), se tiene σ(∆) = ∆, y por la proposición 2.7 el sg n(σ) = 1, siendo sg n la función signo, luego σ ∈ A n . Sea G(K , F ) subgrupo de A n . Sabemos que si σ ∈ G(K , F ) entonces σ(∆) = ±∆. Por otro lado, σ ∈ A n si y solo si sg n(σ) = 1, es decir σ es par, y por proposición 2.7 σ(∆) = ∆, así como ∆ queda fijo por los elementos de G(K , F ), entonces ∆ ∈ F .. 2.2. Funciones Especiales En esta sección se definen algunas funciones especiales: la función Gamma, la función hipergeométrica y el factorial de Pochhammer, la definición y propiedades de estas funciones pueden encontrarse en [6]. Estas funciones nos ayudan a definir un tipo de polinomios ortogonales clásicos, los polinomios de Jacobi. Estos polinomios hacen parte fundamental de este trabajo, pues trabajaremos con sus propiedades, debido a que los polinomios de Legendre pueden expresarse por medio de los polinomios de Jacobi.. 2.2.1. Función Gamma y Propiedades La función gamma fue introducida por primera vez en el año 1729, por el matemático Leonhard Euler; pero en 1811, el matemático Adrien Legendre la mofidicó y la llamó Gamma Γ. Dicha función juega un papel importante en la definición del factorial de Pohlhammer. Así, se puede definir la función gamma por medio de la integral de Euler, además se mostrarán algunas propiedades de dicha función. Definición 2.20. Para x ∈ R la función gamma, Γ : R → R, se define por: Z ∞ Γ(x) = e −t t x−1 d t x > 0. 0. A continuación se puede ver la gráfica de la función Gamma.. 11. (2.6).

(20) Figura 2.1: Función Gamma Proposición 2.8. Para todo x ∈ R tal que x > 0, se tiene que Γ(x + 1) = xΓ(x), además Γ(1) = 1 y si n ∈ Z+ , Γ(n) = (n − 1)!. Demostración: Para x ∈ R con x > 0, por definición de Γ e integrando por partes obtenemos Z ∞ Γ(x + 1) = e −t t x d t 0 Z ∞ ¯∞ = −t x e −t ¯0 + xe −t t x−1 d t 0 Z ∞ −t x−1 =x e t dt. (2.7). 0. = xΓ(x). Ahora evaluando en Γ(x) cuando x = 1, tenemos Z ∞ ¯∞ Γ(1) = e −t d t = −e −t ¯0 = 1.. (2.8). 0. Para finalizar nótese que si n ∈ Z+ la propiedad Γ(n) = (n − 1)! se sigue utilizando las ecuaciones (2.7) y (2.8).. 2.2.2. Factorial de Pochhhammer Definición 2.21. La función (α)n es llamada la función factorial y se define por (α)n =. n Y. (α + k − 1). k=1. = α(α + 1)(α + 2) · · · (α + n − 1),. n ≥ 1, α 6= 0.. (α)0 = 1, 12.

(21) Esta función es una generalización del factorial elemental, pues n! = (1)n . Proposición 2.9. Si α es distinto de cero y no es un entero negativo, entonces (α)n =. Γ(α + n) . Γ(α). (2.9). Demostración: Por la proposición 2.8 y para n ∈ Z+ , tenemos Γ(α + n) = (α + n − 1)Γ(α + n − 1) = (α + n − 1)(α + n − 2)Γ(α + n − 2) = ··· = (α + n − 1)(α + n − 2) · · · αΓ(α). Por lo que se deduce la ecuación (2.9). Proposición 2.10. Si α es distinto de cero y no es un entero negativo, se cumplen las siguientes propiedades: 1. n(α)n = α((α + 1)n − (α)n ). 2. (α)n+1 = (α + n)(α)n = α(α + 1)n . 3.. α−1 α−1 n = − . (α)n (α − 1)n (α)n. 2.2.3. Función Hipergeométrica Definición 2.22. La función hipergeométrica está dada por la serie de potencias F (a, b; c; z) = 1 +. ∞ (a) (b) ∞ (a) (b) X X n n n n n n z = z , n=1 (c)n n! n=0 (c)n n!. (2.10). para c ∈ Z+ y c 6= 0. Donde (x)n es el factorial de Pochhammer. Nótese que si a, b, c son diferentes de cero y no negativos, la serie converge en los z ∈ C, |z| < 1 y diverge para |z| > 1, pues si aplicamos el criterio de D’Alembert, obtenemos ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (a + n)(b + n)z ¯ ¯ (a)n+1 (b)n+1 z n+1 (c)n n! ¯¯ ¯ ¯ ¯ = |z|. lı́m · = lı́m n→∞ ¯ (c)n+1 (n + 1!) (a)n (b)n z n ¯ n→∞ ¯ (c + n)(n + 1) ¯ Proposición 2.11. Para |z| < 1 la función hipergeométrica satisface la ecuación diferencial lineal de segundo orden z(1 − z)w 00 + [c − (a + b + 1)z]w 0 − abw = 0,. (2.11). a esta ecuación diferencial se le denomina ecuación diferencial hipergeométrica. 13.

(22) Demostración: Se define el operador D = z ddz y denotemos por w = F (a, b; c; z) =. ∞ (a) (b) X n n n z . (c) n! n n=0. De esta manera, aplicando D y por la propiedad (3) de la proposición 2.10 se obtiene ∞ n(a) (b) X n n n z n=0 (c)n n! ¶ ∞ µ c −1 X c − 1 (a)n (b)n n = − z (c)n n! n=0 (c − 1)n ∞ (a) (b) ∞ (a) (b) X X n n n n n n = (c − 1) z − (c − 1) z n=0 (c − 1)n n! n=0 (c)n n!. Dw =. = (c − 1)F (a, b; c − 1; z) − (c − 1)w. Por lo que (D + c − 1)w = (c − 1)F (a, b; c − 1; z). Aplicando nuevamente D a la ecuación anterior y junto con la propiedad (2) de la proposición 2.10, se tiene D(D + c − 1)w = (c − 1) =. ∞ (a) (b) X n n nz n (c − 1) n! n n=1. ∞ X. (a)n (b)n zn. n=1 (c)n−1 (n − 1)!. Haciendo un cambio de índice ∞ (a) X n+1 (b)n+1 n+1 z (c)n n! n=0 ∞ a(a + 1) b(b + 1) X n n n z =z (c)n n! n=0. D(D + c − 1)w =. = zabF (a + 1, b + 1; c; z) = z(D + a)(D + b)w. Así [D(D + c − 1) − z(D + a)(D + b)]w = 0. Nótese que D w = zw 0 y D(D − 1)w = z 2 w 00 . Así, por un lado D(D + c − 1)w = D(D − 1) + cD w = z 2 w 00 + c zw 0 , y por otro lado z(D + a)(D + b)w = z(D + a)(D − 1 + (b + 1))w = z(D(D − 1 + (b + 1)) + a(D + b))w = z(z 2 w 00 + (b + 1)zw 0 + azw 0 + abw). 14. (2.12).

(23) Reemplazando en la ecuación (2.12) y factorizando obtenemos z(1 − z)w 00 + [c − (a + b + 1)z]w 0 − abw = 0. Con lo que la función hipergeométrica cumple (2.11).. 2.3. Funcionales de momento y propiedades En esta sección se dan algunas definiciones y propiedades fundamentales sobre un funcional de momentos y los correspondientes polinomios ortogonales, en su mayoría tomadas de [2, 10]. Entre estas se encuentran la ortogonalidad, la fórmula fundamental de recurrencia, la existencia de una sucesión de polinomios ortogonales, funcional positivo, entre otras.. 2.3.1. Ortogonalidad y fórmula fundamental de recurrencia Definición 2.23. Una transformación L : C[x] → C lineal se denomina funcional de momentos, en otras palabras, una transformación C−lineal del espacio de los polinomios con coeficientes complejos en el campo de los números complejos. Definición 2.24. [2, pag.7] Se dice que una sucesión {P n (x)}∞ n=0 de polinomios mónicos es una SPO(sucesión de polinomios ortogonales o un sistema de polinomios ortogonales) con respecto a un funcional de momentos L si para todo entero no negativo n y m, se tiene : (i) P n (x) es de grado n. (ii) L (P n (x)P m (x)) = λn δnm , con λn 6= 0 Donde δnm es el delta de Kronecker. Por simplicidad se denota la sucesión de polinomios {P n (x)}∞ n=0 como {P n (x)}. El siguiente teorema muestra una importante característica de los polinomios ortogonales, muestra que, dado un funcional de momentos y su correspondiente SPO, los polinomios ortogonales pueden escribirse en términos de los polinomios inmediatamente anteriores. Teorema 2.14. Si {P n (x)} es una SPO para L , existen B n ,C n ∈ C, n ≥ 0, con C n 6= 0, n ≥ 1, de tal manera que se satisface la siguiente recurrencia: P n+1 (x) = (x − B n )P n (x) −C n P n−1 (x),. (2.13). donde P −1 (x) = 0 y P 0 (x) = 1., y así la SPO queda determinada de manera única por (2.13).. 15.

(24) Demostración: Por hipótesis {P n (x)} es un SPO, luego P n (x) es de grado n, por lo que {P n (x)} es una base de C[x]. Como xP n (x) es un polinomio de grado n + 1 podemos escribirlo como combinación lineal xP n (x) =. n+1 X. a n,i P i (x). para n ≥ 0,. (2.14). i =0. donde los a n,i ∈ C y a n,n+1 = 1. Para n = 0 y n = 1 la recurrencia (2.13) se tiene, luego supongamos n ≥ 2. Al multiplicar P k (x) con 0 ≤ k ≤ n − 2 a ambos lados de (2.14) se tiene xP n (x)P k (x) =. n+1 X. a ni P i (x)P k (x).. (2.15). i =0. Además xP k (x) lo podemos escribir como combinación lineal, esto es xP k (x). k+1 X. a k j P j (x).. j =0. Aplicando L se tiene L (xP k (x)P n (x)) =. k+1 X. a k j L (P j (x)P n (x)).. j =0. Como k ≤ n − 2 se tiene para j ≤ k + 1 que j ≤ n − 1 < n. Así L (xP k (x)P n (x)) = 0 por definición, y además L (xP k (x)P n (x)) = a kn λk . Como λ : k 6= 0, implica que a kn = 0 para 0 ≤ k ≤ n − 2. Luego reemplazando en (2.14) y haciendo a nn = B n y a n,n−1 = C n se obtiene la relación (2.13). Por otra parte, si n ≥ 1, al multiplicar por P n (x) en (2.13) se obtiene P n2 (x) = (x − B n−1 )P n−1 (x)P n (x) −C n−1 P n−2 (x)P n (x). Aplicando L se tiene que L (P n2 (x)) = L (xP n−1 (x)P n (x)). Por otro lado 2 P n−1 (x)P n+1 (x) = (x − B n )P n−1 (x)P n (x) −C n P n−1 (x).. De igual manera aplicando L 2 (x) L (P n2 (x)) = C n L (P n−1. Como L (P n2 (x)) 6= 0 para n ≥ 1, de esta manera C n 6= 0. Lo que concluye la prueba. El inverso del teorema 1.1, el cual justifica que cualquier sucesión de polinomios satisface la relación de recurrencia (2.13) es un SPO, esta inversa se le atribuye a J. Favard en 1935, y se presenta a continuación: 16.

(25) ∞ Teorema 2.15. (Teorema de Fovard). Sean {B n }∞ n=0 y {C n }n=0 sucesiones arbitrarias de números complejos, con C n 6= 0, y sea {P n (x)} una sucesión de polinomios mónicos definidos por la relación de recurrencia:. xP n (x) = P n+1 (x) + B n P n (x) +C n P n−1 (x). para n ≥ 0,. P −1 (x) = 0, P 0 (x) = 1,. (2.16). existe un único funcional de momentos L tal que L (1) = 1. L (P m P n (x)) = 0. para m 6= n, m, n = 0, 1, . . .. L está bien definido y {P n (x)}∞ n=0 es su correspondiente SPO mónico. Además λn = L (P n2 (x)) = C 1 · · ·C n . Demostración: Definamos el funcional de momentos L con las condiciones L (1) = µ0 = 1,. L (P n (x)) = 0. n ≥ 1.. (2.17). Como {P n (x)} cumple (2.16) podemos extender el funcional de momentos por linealidad a todo C[x]. Esto es, definimos µ1 por la condición L (P 1 (x)) = L ((x − B 0 )P 0 (x) −C 0 P −1 (x)) = L (x) − B 0 L (1) = µ1 − B 0 µ0 = 0, luego definimos µ2 por L (P 2 (x)) = L ((x − B 1 )P 1 (x) −C 1 P 0 ) = L (x 2 ) − (B 0 + B 1 )L (x) + (B 1 B 0 −C 1 )L (1) = µ2 − (B 0 + B 1 )µ1 + (B 0 B 1 −C 1 )µ0 = 0, y así, siguiendo el proceso para obtener µn . De esta manera L será una transformación lineal de C[x] en C. Se prueba por inducción que para m ≥ 0 fijo, L (x m P n (x)) = 0 para todo n > m. Si m = 0 tenemos que L (x m P n (x)) = L (P n (x)) = 0, por (2.17). Supongamos que se cumple para m ≤ k con 0 ≤ k + 1 < n, esto es, L (x k P n (x)) = 0. Como x k+1 P n (x) = xx k P n (x) = x k [P n+1 (x) + B n P n (x) +C n P n−1 (x)]. Aplicando L y por linealidad, se obtiene L (x k+1 P n (x)) = L (x k P n+1 (x)) + B n L (x k P n (x)) +C n L (x k P n−1 (x)). Así, por hipótesis de inducción cuando m = k + 1 L (x k+1 P n (x)) = 0.. 17. (2.18).

(26) Luego si m 6= n, L (P m (x)P n (x)) = 0. Si n = m se tiene que para n ≥ 1 L (x n P n ) = L (x n−1 xP n (x)) = L (x n−1 P n+1 (x)) + B n L (x n−1 P n ) +C n L (x n−1 P n−1 (x)) = C n L (x n−2 xP n−1 (x)) = C n [L (x n−2 P n (x)) + B n−1 L (x n−2 P n−1 (x)) +C n−1 L (x n−2 P n−2 (x))] = C n C n−1 L (x n−2 P n − 2(x)) .. . = C n · · ·C 1 . Por consiguiente L está bien definido y {P n (x)} es el correspondiente SPO si y sólo si C n 6= 0 para n 6= 1. Del anterior teorema también se puede deducir que si R(x) es un polinomio de grado menor que n, entonces L (R(x)P n (x)) = 0.. 2.3.2. Existencia de SPO Definición 2.25. Un funcional de momentos L se dice regular, si admite una SPOM, sucesión de polinomios ortogonales mónicos. Cabe resaltar que no todo funcional de momentos admite una sucesión de polinomios ortogonales. A continuación se verá la condición suficiente y necesaria para que L sea regular. Si L es un funcional de momentos, se denotará como {µn }n=0∞ a la sucesión de momentos , o por simplicidad {µn },donde µn = L f (x n ). Y definamos ¯ ¯ ¯ µ0 µ1 · · · µn ¯¯ ¯ ¯ µ1 µ2 · · · µn+1 ¯¯ ¯ Γn = det(µi + j )ni, j =0 = ¯ . (2.19) .. .. ¯¯ . .. ¯ .. . . . ¯ ¯ ¯ ¯ µ µ ··· µ n. n+1. 2n. Teorema 2.16. Sea L un funcional de momentos y {µn } la correspondiente sucesión de momentos. Una condición necesaria y suficiente para la existencia de una SPO para L es Γn 6= 0,. n = 0, 1, 2, . . .. (2.20). Demostración: Supongamos que L es regular y sea {P n (x)} un SPMO con respecto a L . Si Γn está definida por (2.19). Veamos que Γn 6= 0 para n 6= 0. Para n = 0 se tiene que Γ0 = µ0 = L (x 0 ) = 1. Supongamos que se cumple para m ≤ k, esto es, Γk 6= 0. Sea ¯ ¯ ¯ µ ··· µ µk+1 ¯¯ k ¯ 0 ¯ µ ··· µ µk+2 ¯¯ ¯ 1 k+1 ¯ ¯ 1 ¯ . . .. .. ¯ .. .. P (x) = (2.21) . . ¯ ¯ Γk ¯ ¯ ¯ µk · · · µ2k µ2k+1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ··· xk x k+1 ¯ 18.

(27) definido así, P (x) es mónico de grado k + 1, y así existen a i ∈ C de tal forma que podemos escribir k X P (x) = P k+1 (x) a i P i (x). i =0. Si m < k +1, sabemos que L (P (x)P m (x)) = 0, y además para cada m = 0, 1, . . . , k se tiene que L (P m (x)P (x)) = L (P m (x)P k+1 (x)) +. k X. a i L (P m (x)P i (x)). i =0 2 = a m L (P m (x)) = 0. 2 Como L (P m (x)) 6= 0, entonces a m = 0, para cada m = 0, 1, . . . , k, así P (x) = P k+1 (x). Por otro lado ¯ ¯ ¯ µ0 ¯ µ · · · µ 1 n ¯ ¯ ¯ ¯ . . . .. .. .. .. 1 ¯ ¯ . m (2.22) L (x P n (x)) = ¯ ¯. ¯ Γn−1 ¯ µn−1 µn ··· µ2n−1 ¯¯ ¯ L (x m ) L (x m+1 ) · · · L (x m+n ¯. De esta manera 2 L (P k+1 (x)) = L (x k+1 P k+1 (x)) =. Γk+1 . Γk. (2.23). Así Γk+1 6= 0. Recíprocamente, si Γn 6= 0, veamos que para m 6= n se tiene que L (P m (x)P n (x)) = 0 y además L (P n2 (x)) 6= 0. Si m < n entonces en el determinante de la ecuación (2.22) una de las filas se repite, pues L (x k ) = µk , y por propiedades del determinante obtenemos que L (x m P n (x)) = 0. Por otra parte, de la ecuación (2.23) y como por hipótesis Γn 6= 0, entonces L (P n2 (x)) 6= 0, de esta manera L es regular, lo que concluye la prueba.. 2.3.3. Funcional positivo Definición 2.26. Sea L un funcional regular, se dice que L es un funcional positivo si el correspondiente SPOM está dado por la recurrencia (1.1) y C n > 0 para n ≥ 1. Lema 2.2. Sea π(x) 6= 0 un polinomio con coeficientes reales que no toma valores negativos en el eje real, esto es π(x) ≥ 0 para todo t ∈ R. Si L es positivo, entonces L (π(x)) > 0. Demostración: Si π(x) > 0 para todo t ∈ R entonces existen polinomios reales P (x) y Q(x) tales que π(x) = P 2 (x) + Q 2 (x), luego basta ver que L (P 2 (x)) > 0. Como {P n (x)} el SPO de L es una base para R[x], podemos escribir P (x) =. m X. ai ∈ R. a i P i (x). i =0. 19. (2.24).

(28) donde m ≥ 0 es el grado de P(x) y a m 6= 0. Veamos que Ã P 2 (x) = =. m X. !2 a i P i (x). i =0 m X i =0. a i2 P i2 (x) + 2. X. a i a j P i (x)P j (x).. 0≤i < j ≤m. 2 Aplicando L y como a m > 0 se tiene. L (P 2 (x)) =. m X i =0. a i2 L (P i2 (x)) > 0.. (2.25) (2.26). Lo que concluye la prueba. Teorema 2.17. (Fórmula de cuadratura de Gauss) Sea L un funcional positivo. Existen números A k > 0 con k = 1, . . . , n tales que para todo polinomio Q(x) de grado a lo más 2n − 1, n X L (Q(x)) = A k Q(x k ). (2.27) k=1. Demostración: Sea {P n (x)} el correspondiente SPOM de L . Sea Q(x) un polinomio arbitrario de grado menor que 2n, y construimos la interpolación polinómica de Lagrange, entonces n Q(x i ) Q(x) X + R(x), = 0 P n (x) i =1 P n (x i )(x − x i ) donde x 1 , . . . , x n son las raíces de P n (x) y R(x) es un polinomio de grado menor que n. Si hacemos n X L n (x) = Q(x i )ì (x), i =1. donde ì (x) =. P n (x) , 0 P n (x i )(x − x i ). podemos escribir Q(x) = L n (x) + R(x)P n (x). Aplicando L y como R(x) es de grado menor que n, entonces L (Q(x)) = L (L n (x)) + L (R(x)P n (x)) = L (L n (x)) n X = Q(x i )L (ì (x)). i =0. 20.

(29) Llamemos A i = L (ì (x)). Si elegimos el siguiente polinomio de grado menor que 2n Q(x) = `2m (x) =. µ. P n (x) 0 P n (x m )(x − x m ). ¶2 ,. y aplicando L a dicho polinomio se obtiene L (`2m (x)) = =. n X i =0 n X. `2m (x i )L (ì (x)) `2m (x i )A i. i =0. = A m > 0. Luego los A k son todos positivos, lo que concluye la demostración. Notas. Si L un funcional regular puede representarse de la forma Z ∞ L (P (x)) = P (t )d σ(t ), −∞. donde σ es una medida positiva con soporte en el eje real. Además, dado {P n (x)} es su SPOM, que cumple la relación (2.13) y si el soporte de σ es infinito, entonces L es automáticamente positivo. Además, si P (x) 6= 0 es un polinomio con coeficientes reales, entonces Z ∞ P 2 (t )d σ(t ) > 0. −∞. Por lo que se puede concluir que bajo las anteriores condiciones podemos definir un producto interno en R[x], como Z ∞ ⟨p(x), q(x)⟩ = p(t )q(t )d σ(t ). −∞. 2.4. Los polinomios de Legendre La sucesión {P n (x)}∞ m=0 de polinomios de Legendre es una familia de polinomios ortogonales con respecto al producto interno definido en L 2 [−1, 1], los introdujo por primera vez el matemático francés Adrien-Marie Legendre en 1785.. 21.

(30) 2.4.1. Ecuación Diferencial de Legendre Dichos polinomios son soluciones de la ecuación diferencial de Legendre. Se puede definir para n ∈ N la ecuación · ¸ d 2 dy (1 − x ) + n(n + 1)y = 0. (2.28) dx dx Se puede ver una expresión explícita de los polinomios de Legendre hallando la solución de la ecuación (2.28). Así, asumimos una solución y en series de potencias, esto es: y(x) =. ∞ X. ak x k .. (2.29). k=0. Calculamos la primera y segunda derivada de (2.29) ∞ X. y 0 (x) =. ka k x k−1. y 00 (x) =. k=1. ∞ X. k(k − 1)a k x k−2 .. (2.30). k=2. Nótese que las dos sumatorias en (2.30) pueden iniciar con k = 0 sin afectarse, luego reemplazando (2.29) junto con (2.30) en (2.28) se obtiene (1 − x 2 ). ∞ X. ∞ X. k(k − 1)a k x k−2 − 2x. k=0. ka k x k−1 + n(n + 1). k=0. ∞ X. a k x k = 0.. k=0. Así, expandiendo la ecuación anterior se tiene ∞ X. ∞ X. k(k − 1)a k x k−2 −. k(k − 1)a k x k − 2. Nótese que. ∞ X. k(k − 1)a k x k−2 =. k=0. ka k x k + n(n + 1). k=0. k=0. k=0. ∞ X. ∞ X. ∞ X. a k x k = 0.. (2.31). k=0. (k + 2)(k + 1)a k+2 x k .. (2.32). k=0. Reemplazando en (2.31) ∞ X. (k + 2)(k + 1)a k+2 x k −. k=0. ∞ X. k(k − 1)a k x k − 2. k=0. ∞ X k=0. ka k x k + n(n + 1). ∞ X. a k x k = 0. (2.33). k=0. Con lo que ∞ X. [(k + 2)(k + 1)a k+2 − k(k − 1)a k − 2ka k + n(n + 1)a k ] x k = 0.. (2.34). k=0. Luego (k + 2)(k + 1)a k+2 − [(k(k − 1) + 2k − n(n + 1)]a k = 0.. (2.35). (n − k)(n + k + 1) k(k + 1) − n(n + 1) ak = − ak . (k + 2)(k + 1) (k + 2)(k + 1). (2.36). Así a k+2 =. 22.

(31) Los primeros coeficientes n(n + 1) a0 1·2 2 − n(n + 1) (n + 2)(n − 1) a3 = − a1 = − a1 6 1·2·3 6 − n(n + 1) (n + 3)(n − 2)(n + 1)n a4 = a2 = a0 12 1·2·3·4 12 − n(n + 1) (n + 4)(n − 3)(n + 2)(n − 1) a5 = a3 = a1 20 1·2·3·4·5 a2 = −. Así, probando por inducción se tiene que: si k = 2m a 2m = (−1)m. n · · · (n − 2m + 2)(n + 1) · · · (n + 2m − 1) a0 2m!. (2.37). (n − 1) · · · (n − 2m + 1)(n + 2) · · · (n + 2m) a1 (2m + 1)!. (2.38). si k = 2m + 1 a 2m+1 = (−1)m. Así la solución y de la ecuación (2.28) es y(x) = a 0 y 1 (x) + a 1 y 2 (x). (2.39). donde a 0 y a 1 son constantes arbitrarias y ∞ X. y 1 (x) = 1 +. m=1. y 2 (x) = x +. ∞ X m=1. n · · · (n − 2m + 2)(n + 1) · · · (n + 2m − 1) 2m x 2m!. (2.40). (n − 1) · · · (n − 2m + 1)(n + 2) · · · (n + 2m) 2m+1 x (2m + 1)!. (2.41). (−1)m. (−1)m. 2.4.2. Polinomios de Legendre A partir de las soluciones y 1 (x) y y 2 (x) de la ecuación (2.28) se pueden obtener los polinomios de Legendre. Veamos que para cada n ∈ N se obtiene un polinomio de grado n, en efecto, si en (2.36) se tiene k = n entonces a n+2 =. n(n + 1) − n(n + 1) a n = 0, (n + 2)(n + 1). y así a n+4 = 0, a n+6 = 0, . . .. De esta manera Si n es par entonces y 1 (x) se reduce a un polinomio de grado n y 1 (x) = 1,. n=0 2. y 1 (x) = 1 − 3x , 2. y 1 (x) = 1 − 10x +. n=2 35 4 x , 3. 23. n=4.

(32) Similarmente, si n es impar se tiene la misma afirmación para y 2 (x) y 2 (x) = x,. n=1. y 2 (x) = x −. 5 3 3x ,. n=3. y 2 (x) = x −. 14 3 21 5 x + 5x , 3. n=5. Definición 2.27. Los polinomios de Legendre de grado n, denotados por P n (x), son los polinomios y 1 (x) y y 2 (x) de grado n, multiplicados por una constante y de tal manera que satisfacen la condición P n (1) = 1. Para ver una ecuación explícita de los polinomios de Legendre, tomamos una conveniente elección para el coeficiente a n de la potencia x n como sigue an =. (2n)! . 2n (n!)2. Si se coloca la relación de recurrencia (2.36) en términos de a n , se obtiene ak = −. (k + 2)(k + 1) a k+2 (n − k)(n + k + 1). k ≤ n − 2,. Si tomamos k = n − 2 y reemplazando en la ecuación anterior, junto con el coeficiente a n se obtiene n(n − 1) an 2(2n − 1) n(n − 1) (2n)! =− · 2(2n − 1) 2n (n!)2 n(n − 1)2n(2n − 1)(2n − 2)! =− 2(2n − 1)2n n(n − 1)!n(n − 1)(n − 2)! (2n − 2)! . = n 2 (n − 1)!(n − 2)!. a n−2 = −. Similarmente, si tomamos k = n − 4 (n − 2)(n − 3) a n−2 4(2n − 3) (2n − 4)! = n . 2 2!(n − 2)!(n − 4)!. a n−4 = −. En general, cuando n − 2m ≥ 0 obtenemos a n−2n = (−1)m. (2n − 2m)! 2n m!(n − m)!(n − 2m)!. .. De esta manera los polinomios de Legendre P n (x) de grado n se pueden obtener por P n (x) =. N X m=0. (−1)m. (2n − 2m)! 2n m!(n − m)!(n − 2m)! 24. x n−2m ,. (2.42).

(33) donde N = n/2 si n es par y N = (n − 1)/2 si n es impar. Asi los primeros polinomios de Legendre vienen dados por P 0 (x) = 1 1 P 2 (x) = (3x 2 − 1) 2 1 4 P 4 (x) = (35x − 30x 2 + 3) 8. P 1 (x) = x 1 P 3 (x) = (5x 3 − 3x) 2 1 P 5 (x) = (63x 5 − 70x 3 + 15x) 8. La siguiente gráfica muestra los primeros polinomios de Legendre:. Figura 2.2: Polinomios de Legendre. 2.4.3. Fórmula de Rodrigues Una manera de expresar los polinomios de Legendre de grado n, P n (x), es mediante la fórmula de Rodrigues. Proposición 2.12. Para n ≥ 0 los polinomios de Legendre de grado n, P n (x), están dados por 1 dn P n (x) := n [(x 2 − 1)n ]. (2.43) 2 n! d x n Demostración: Sea φ(x) = (x 2 − 1)n , veamos que φ(k) satisface la ecuación (1 − x 2 )φ(k+2) + 2x(n − k − 1)φ(k+1) + (2n − k)(k + 1)φ(k) = 0.. (2.44). La ecuación (2.44) se probará por inducción. Así, derivando φ se tiene φ0 (x) = 2nx(x 2 − 1)n−1 , y por tanto (1 − x 2 )φ0 + 2nxφ = 0 (2.45). 25.

(34) Al derivar la ecuación anterior se obtiene (1 − x 2 )φ00 + 2(n − 1)xφ0 + 2n y = 0. Así la ecuación (2.44) se cumple para k = 0. Supongamos que se cumple para k −1, esto es (1 − x 2 )φ(k+1) + 2x(n − k)φ(k) + (2n − k + 1)kφ(k−1) = 0. Derivando la ecuación anterior se obtiene (1 − x 2 )φ(k+2) − 2xφ(k + 1) + 2(n − k)φ(k) + 2x(n − k)φ(k + 1) + (2n − k + 1)kφ(k) = 0, la cual es precisamente (2.44). Ahora si tomamos k = n en (2.44) y definimos ϕ(x) = φ(n) (x) vemos que ϕ es un polinomio de grado n que satisface la ecuación de Legendre (2.28), luego por definición 2.27 basta encontrar K de tal forma que P n (x) = K ϕ(x) y P n (1) = 1. Usando la regla de Leibniz, nótemos que ϕ(x) = φ(n) (x) = ((x 2 − 1)n )(n) = ((x + 1)n (x − 1)n )(n) Ã ! n n X = ((x + 1)n )(k) ((x − 1)n )(n−k) k k=0 = (x + 1)n n! + (x − 1)q(x). Así ϕ(1) = 2n n!. Por lo tanto P n (x) =. 1 dn 1 ϕ = [(x 2 − 1)n ]. 2n n! 2n n! d x n. 2.5. Polinomios de Jacobi Los polinomios de Legendre pueden ser representados por medio de los polinomios de Jacobi, a continuación se definirán y se enunciarán sus propiedades. Szegö [10, cap. 4] desarrolla una sección completa para estos polinomios y muestra todas sus propiedades. En esta sección tomaremos algunas de estas propiedades, las utilizadas para el objetivo de nuestro trabajo, especialmente el discriminante de los polinomios de Jacobi. La definición formal de discrimnante se dará en la siguiente sección, con el fin de trabajar sus propiedades.. 2.5.1. Definición y propiedades (α,β). Definición 2.28. Los polinomios de Jacobi de grado n P n (x) se pueden definir vía la función hipergeométrica por µ ¶ 1−x (1 + α)n (α,β) F −n, n + α + β + 1; α + 1; . (2.46) P n (x) = n! 2 26.

(35) Proposición 2.13. Los polinomios de Jacobi pueden expresarse de la siguiente manera Ã ! µ ¶ n n 1 X x −1 k (α,β) , (2.47) P n (x) = (n + α + b + 1)k (α + k + 1) · · · (α + n) n! k=0 k 2 donde (x)k es el factorial de Pochhammer. Demostración: Directamente de la definición (2.28) y de función hipergeométrica se tiene que, ∞ (−n) (n + α + β + 1) µ 1 − x ¶2 (1 + α)n X (α,β) k k P n (x) = n! k=0 (α + 1)k k! 2 # " µ ¶2 ∞ (−n) (n + α + β + 1) µ 1 − x ¶2 n (−n) (n + α + β + 1) X (1 + α)n X k k k k 1−x + = n! (α + 1)k k! 2 (α + 1)k k! 2 k=n+1 k=0 n! Nótese que (−n)k = 0 para k ≥ n + 1, y como n ∈ Z+ , entonces (−n)k = (−1k ) (n−k)! (α,β) P n (x) =. ¶ µ n n! (n + α + β + 1)k 1 − x 2 (1 + α)n X k (−1 ) n! k=0 (n − k)!k! (α + 1)k 2. µ ¶ n 1 X n! 1−x 2 (−1k ) (n + α + β + 1)k (α + k + 1) · · · (α + n) n! k=0 (n − k)!k! 2 Ã ! µ ¶ k n n x −1 1 X (n + α + b + 1)k (α + k + 1) · · · (α + n) = . n! k=0 k 2. =. Al igual que los polinomios de Legendre, se puede expresar los polinomios de Jaco(α,β) bi de grado n, P n (x), por medio de la fórmula de Rodrigues. (α,β). Proposición 2.14. Para n ≥ 0 los polinomios de Jacobi de grado n, P n (x), están dados por µ ¶n h i (−1)n (α,β) −α −β d (1 − x)n+α (1 + x)n+β . (2.48) P n (x) := n (1 − x) (1 + x) 2 n! dx De esta manera, si tomamos α = β = 0 se puede ver fácilmente que los polinomios de Jacobi son exactamente los polinomios de Legendre, esto es, P n (x) = P n(0,0) (x). Proposición 2.15. Las siguientes fórmulas se cumplen (α,α) P 2k (x) = (−1)k. Γ(2k + α + 1)Γ(k + 1) (− 12 ,α) Pk (1 − 2x 2 ), Γ(k + α + 1)Γ(2k + 1). (2.49). (α,α) P 2k+1 (x) = (−1)k. Γ(2k + α + 2)Γ(k + 1) ( 12 ,α) xP k (1 − 2x 2 ). Γ(k + α + 1)Γ(2k + 2). (2.50). (α,β). Teorema 2.18. El discriminante de P n (α,β). Dn. = 2−n(n−1). n Y. está dado por. k k−2n+2 (k + α)k−1 (k + β)k−1 (n + k + α + β)n−k .. k=1. 27.

(36) 2.6. Primos de clase de congruencia prescritos en intervalos cortos En esta sección se enunciará y demostrará el postulado de Bertrand, que asegura la existencia de un primo en un intervalo. Esto con el fin de asociarlo con el teorema de Dirichlet, que indica que existen infinitos primos en una progresión aritmética. Estos dos resultados se desean unir con el fin de encontrar clases de congruencias de primos en un intervalo. Más específicamente, esta sección busca dar las herramientas para demostrar que para x ≥ 9 el intervalo [x, 2x − 5] contiene al menos un primo congruente con 1 módulo 4 y al menos un primo congruente con 3 módulo 4. Las primeras definiciones de esta sección se pueden encontrar en [1].. 2.6.1. Función Λ(n) de Mangoldt y funciones ψ(x) y ϑ(x) de Chebyshev Introducimos la función de Mangoldt Λ, la cuál juega un papel importante en la distribución de primos. Definición 2.29. Para un entero n ≥ 1 definimos ( log p si n = p m para algún p primo y algún m ≥ 1 Λ(n) = 0 en otros casos. (2.51). De esta manera los primeros valores de Λ(n) se pueden ver en la siguiente tabla: n: Λ(n):. 1 0. 2 log 2. 3 log 3. 4 log 2. 5 log 5. 6 0. 7 log 7. 8 log 2. 9 log 3. 10 0. Proposición 2.16. Si n ≥ 1 se tiene que log n =. X. Λ(d ).. (2.52). d |n. Demostración: Si n = 1, la ecuación (2.52) se cumple. Asumamos que n > 1 y utilizando el teorema fundamental de la aritmética, escribimos n=. r Y k=1. a. pk k ,. donde p 1 , . . . , p r son primos distintos y a 1 , . . . , a r > 0. Así, y por propiedades de logaritmos r X log n = a k log p k . k=1. Sabemos que d |n si y sólo si d=. r Y k=1. 28. m. pk k ,.

(37) donde 0 ≤ m i ≤ a i para i = 1, . . . , r . Por la definición de Λ, para cada d , Λ(d ) 6= 0 si d = p im . Así X. Λ(d ) =. ak r X X k=1 m=1. d |n. Λ(p km ) =. ak r X X. log p k =. k=1 m=1. r X. a k log p k = l og n.. k=1. Con lo que se cumple (2.52). La suma parcial de la función de Mangoldt define una nueva función introducida por Chebyshev en 1848. Definición 2.30. Para x > 0 la función ψ de Chebyshev está dada por la fórmula X ψ(x) = Λ(n). (2.53) n≤x. Sabemos que Λ(n) = 0 de no ser que n sea potencia de un primo, por lo cual podemos escribir la función ψ como sigue ψ(x) =. X. Λ(n) =. n≤x. ∞ X X. Λ(p m ) =. m=1 p p m ≤x. ∞ X. X. log p.. m=1 p≤x 1/m. Nótese que suma sobre m es finita, pues si x 1/m < 2 entonces la suma sobre p es vacía. Esto es, si (1/m) log x < log 2, o si m>. log x = log2 x. log 2. De esta manera ψ puede escribirse como X ψ(x) =. X. log p.. m≤log2 x p≤x 1/m. Estas fórmulas pueden ser escritas de una manera ligeramente diferente , haciendo uso de la función ϑ de Chebyshev, es decir, se puede escribir una en términos de la otra. Por lo que a continuación definimos la función ϑ formalmente: Definición 2.31. Si x > 0 la función ϑ de Chebyshev está dada por la ecuación X ϑ(x) = log p,. (2.54). p≤x. donde p recorre todos los primos menores iguales que x. Por lo que las fórmulas de ψ(x) pueden reescribirse como sigue: ψ(x) =. ∞ X. ϑ(x 1/m ). ψ(x) =. m=1. X. ϑ(x 1/m ). (2.55). m≤log2 x. Proposición 2.17. Para x > 1, la siguiente fórmula se cumple: X ³x´ log[x]! = ψ , m m≤x donde [x] es la parte entera de x. La demostración de la proposición anterior se obtiene directamente de la proposición 2.16 y de la definición 2.30. 29.

(38) 2.6.2. Postulado de Bertrand En 1845, el matemático francés Joseph Louis François Bertrand introdujo por primera vez el postulado que lleva su nombre. La primera demostración de este postulado fue dada cinco años más tarde, en 1850, por su colega ruso Pafnuti Lvóvich Chebyshov, quién utilizó métodos no elemntales, y por ello es algunas veces conocido como el teorema de Chebyshev. En 1919, Srinivasa Ramanujan otorgó una demostración más simple basada en la función Gamma [7]. Y en 1932, Paul Erdős dio una prueba aún más simple basada en las propiedades básicas de los coeficientes binomiales. Teorema 2.19. (Postulado de Bertrand) Para todo n ≥ 1, existe un número primo p con n < p ≤ 2n Demostración: De la proposición 2.17 y de la ecuación (2.55) se obtienen las siguientes ecuaciones ψ(x) − 2ψ(x 1/2 ) = ϑ(x) − ϑ(x 1/2 ) + ϑ(x 1/3 ) − ϑ(x 1/4 ) + . . . log[x]! − 2 log[ 12 x]! = ψ(x) − ψ( 12 x) + ψ( 13 x) − ψ( 14 x) + . . . Como la parte derecha de las ecuaciones son series alternadas de las funciones ψ y ϑ de Chebishev, las cuales son crecientes, se obtiene ψ(x) − 2ψ(x 1/2 ) ≤ ϑ(x) ≤ ψ(x);. (2.56). y ψ(x) − ψ( 12 x) ≤ log[x]! − 2 log[ 12 x]! ≤ ψ(x) − ψ( 12 x) + ψ( 31 x). Utilizando la relación de Ramanujan log Γ(x) − 2 log Γ( 12 x + 12 ) ≤ log[x]! − 2 log[ 21 x]! ≤ log Γ(x + 1) − 2 log Γ( 12 x + 12 ). (2.57) p Ahora usando la aproximación de Stirling, x! > 2πx( xe )x , en la ecuación (2.57) se deduce que log[x]! − 2 log[ 12 x]! < 34 x. si x > 0;. log[x]! − 2 log[ 12 x]! > 23 x. si x > 300.. Con lo que ψ(x) − ψ( 12 x) < 34 x. si x > 0;. (2.58). y ψ(x) − ψ( 12 x) + ψ(ψ(x) − ψ( 13 x)) > 32 x Ahora reemplazando x por 12 x, 14 x, 81 x, . . . en (2.58), se obtiene ψ( 12 x) − ψ( 14 x) < 83 x 3 ψ( 14 x) − ψ( 18 x) < 16 x 1 3 ψ( 18 x) − ψ( 16 x) < 32 x .. .. 30. si x > 300.. (2.59).

(39) y sumando los resultados anteriores junto con (2.58), obtenemos ψ(x) < 32 x. si x > 0.. (2.60). Así, de las ecuaciones (2.56) ψ(x) − ψ( 12 x) + ψ( 13 x) ≤ ϑ(x) + 2ψ(x 1/2 ) − ϑ( 12 x) + ψ( 13 x) y de la ecuación (2.60) ϑ(x) + 2ψ(x 1/2 ) − ϑ( 21 x) + ψ( 13 x) < ϑ(x) − ϑ( 12 x) + 12 x + 3x 1/2 .. (2.61). De esta manera de las ecuaciones (2.59) y (2.61) ϑ(x) − ϑ( 12 x) > 16 x − 3x 1/2. si x > 300.. Además 16 x − 3x 1/2 ≥ 0, si x ≥ 324. Así ϑ(2x) − ϑ(x) > 0. si x ≥ 162.. Por lo que existe al menos un primo entre x y 2x si x ≥ 162.. 2.6.3. Primos de clases de congruencias en intervalos Como ya se ha visto, el postulado de Bertrand (Teorema 2.19) asegura la existencia de un número primo en un intervalo de tamaño adecuado, por otra parte el teorema 1.8 de Dirichlet asegura que una progresión aritmética contiene una cantidad infinita de números primos. A continuación se dará una manera de unir estos dos resultados. En primer lugar, definiremos una nueva función θ, la cual, es una variación de la función ϑ de Chebyshev. Definición 2.32. Sean a, k > 0 dos enteros tales que (a, k) = 1, y p un primo, definimos: X θ(x; k, a) = log p. (2.62) p∼ =a(k) p≤x. Esta suma es sobre los primos que no exceden a x en la clase de congruencia de a mód k. Teorema 2.20. Sean x, y ∈ R+ , el intervalo (x, y] contiene un primo en la clase de congruencia de a mód k si y sólo si θ(y; k, a) − θ(x; k, a) > 0. Nótese que θ(y; k, a) − θ(x; k, a) > 0 si y sólo si X log p > 0. p∼ =a(k) x<p≤y. Como la función logaritmo es una función monónota creciente, la serie también lo es. Por lo que existiría al menos un primo p, tal que p ∼ = a (mód k), en el intervalo (x, y]. 31.

(40) En el artículo primes in arithmetic progressions [8], Ramaré y Rumely realizan una estimación explícita en el cual se establecen dos cotas para la función θ(x; k, a) en los rangos x ≥ 1010 y x < 1010 . A continuación se enuncia el teorema que proporciona dichas cotas. Teorema 2.21. [8, p. 398] Dados a, k primos relativos. Para cualquier tripla (k, ε, x 0 ) dada, se tiene que: ¯ ¯ ¯ x y ¯¯ ¯ , x ≥ x0 . (2.63) máx ¯θ(y; k, a) − ≤ε ¯ 1≤y≤x φ(k) φ(k) Los autores proporcionan una estimación para ciertos valores de la tripla (k, ε, x 0 ) (ver [8, Tabla 1]). Por ejemplo, si k = 4 entonces ε = 0,002238 para x 0 = 1010 . Teorema 2.22. [8, p. 398] Para x ≤ 1010 , y (a, k) = 1 se tiene que ¯ ¯ ¯ p y ¯¯ ¯ máx ¯θ(y; k, a) − ≤ 2,072 x. ¯ 1≤y≤x φ(k). 32. (2.64).

(41) Capítulo 3 Sobre el grupo de Galois de los polinomios de Legendre Se sabe que los polinomios de Legendre P n (x) de grado n pueden representarse por la ecuación (2.42) o por la fórmula de rodrigues (2.43). Ahora bien, en 1890 Stieltjes envía una carta a Hermite conjeturando que los polinomios P 2n (x) y P 2n+1 (x) son irreducibles sobre Q. Esto lleva a definir los polinomios L m (x) de grado par, o más específicamente de grado 2bm/2c, como ( P n (x) si n es par. L n (x) = (3.1) P n (x)/x si n es impar. De esta manera los polinomios L n (x) son irreducibles sobre Q para todo n. Se ha verificado algunos casos de la conjetura por muchos autores, pero mostrar estos resultados no son objetivo de este trabajo. Los primeros polinomios irreducibles de Legendre L n (x) se dan acontinuación: L 0 (x) = 1 1 L 2 (x) = (3x 2 − 1) 2 1 L 4 (x) = (35x 4 − 30x 2 + 3) 8. L 1 (x) = 1 1 L 3 (x) = (5x 2 − 3) 2 1 L 5 (x) = (63x 4 − 70x 2 + 15) 8. Figura 3.1: Polinomios L m (x) 33.

(42) 3.1. Definición de los polinomios Jn (x) En la sección 2.4 se definen los polinomios de Jacobi por (2.46) y se dedujeron cier(α,β) tas propiedades. Ahora bien, definimos el polinomio J n (x) a través de un desplazamiento de los polinomios de Jacobi, como sigue: (α,β). Jn. (α,β). (x) := P n. (2x + 1).. (3.2). (α,β). Proposición 3.18. Los polinomios de J n (x) tienen la forma Ã !Ã ! n n +α n +α+β+k X (α,β) J n (x) = xk . k k=0 n − k. (3.3) (α,β). Demostración: Utilizando la fórmula de la proposición 2.13, evaluando P n y por la ecuación 2.9 tenemos que Ã ! n n 1 X (α,β) (n + α + b + 1)k (α + k + 1) · · · (α + n)x k P n (2x + 1) = n! k=0 k. (2x + 1). n 1 X n! (n + α + b + 1)k (α + k + 1) · · · (α + n)x k n! k=0 (n − k)!k! n X Γ(n + α + β + k + 1) = (α + k + 1) · · · (α + n)x k (n − k)!Γ(k + 1)Γ(n + α + β + 1) k=0 Ã ! n n +α+β+k X Γ(n + α + 1) = xk Γ(n − k + 1)Γ(α + k + 1) k k=0 Ã !Ã ! n n +α n +α+β+k X = xk . n − k k k=0. =. (α,β). Por lo que los polinomios J n. (x) están dados por la ecuación (3.3).. En base a los polinomios anteriores se quiere representar los polinomios L m (x) en (α,β) (α,β) términos de los polinomios J n (x). Y para ello definimos los polinomios Jn (x) como sigue: (α,β) (α,β) Jn (x) := 2n n!J n (x). (3.4) El siguiente lema muestra la relación entre los polinomios de Legendre L m (x) y los nuevos polinomios que hemos definido anteriormente. Lema 3.3. Supongamos m = 2n + δ donde n ≥ 0, δ ∈ {0, 1} y ² = 2δ − 1. Entonces (−1)n L m (x) = J n(²/2,0) (−x 2 ),. (−2)n n!L m (x) = Jn(²/2,0) (−x 2 ).. (3.5). Demostración: Sea n ≥ 0 y tomando δ = 0, se tiene que ² = −1 y m = 2n. Ahora, sabe(0,0) mos que para m = 2n, el polinomio L 2n (x) = P 2n (x) = P 2n (x) y por la proposición 2.15 34.

(43) tenemos que Γ(2n + 1)Γ(n + 1) (−1/2,0) P (1 − 2x 2 ) Γ(n + 1)Γ(2n + 1) n = (−1)n P n(−1/2,0) (1 − 2x 2 ). (0,0) P 2n (x) = (−1)n. = (−1)n P n(−1/2,0) (2(−x 2 ) + 1) = (−1)n J n(−1/2,0) (−x 2 ). Por otra parte, y con ayuda de la ecuación anterior obtenemos Jn(−1/2,0) (−x 2 ) = 2n n!J n(−1/2,0) (−x 2 ) = 2n n!(−1)n L 2n (x). Análogamente, si tomamos δ = 1, se tiene que ² = 1 y m = 2n + 1. Ahora, sabemos que (0,0) (x)/x y por la proposición para m = 2n + 1, el polinomio L 2n+1 (x) = P 2n+1 (x)/x = P 2n 2.15 tenemos que Γ(2n + 2)Γ(n + 1) (1/2,0) xP (1 − 2x 2 ) Γ(n + 1)Γ(2n + 2) n = (−1)n xP n(1/2,0) (1 − 2x 2 ). (0,0) (x) = (−1)n P 2n+1. = (−1)n x J n(1/2,0) (−x 2 ). Utilizando la ecuación anterior podemos ver que Jn(1/2,0) (−x 2 ) = 2n n!J n(1/2,0) (−x 2 ) = 2n n!(−1)n L 2n+1 (x). De esta manera se satisface el lema.. 3.2. Discriminante de Jn (x) El objetivo de esta sección es obtener una fórmula explícita para el discriminate de los polinomios Jn(²/2,0) (x), esto nos motiva a desarrollar el siguiente lema. Lema 3.4. Para n > 1 y ² ∈ {±1}, el discriminante de Jn(²/2,0) (x) está dado por la fórmula d i sc(Jn(²/2,0) ) = 2n. 2. −n. n Y. k 2k−1 (2k + ²)k−1 (2k + 2n + ²)n−k .. k=1. Demostración: Por el teorema 2.18 el discriminante de P n(± /2,0) está dado por 1. D n(± /2,0) = 2−n(n−1) 1. =2. n Y. k 2k−2n+1 (k ± 1/2)k−1 (n + k ± 1/2)n−k. k=1 n Y −2n(n−1). k 1−2(n−k) (2k ± 1)k−1 (2n + 2k ± 1)n−k .. k=1. 35. (3.6).