Unidad Didáctica 2
1.- Introducción
La Cinemática es la parte de la Física que describe los movimientos de los cuerpos sin abordar
las causas que los producen, las cuales son objeto de otra parte de la Física: la Dinámica.
2.- Caracter relativo del movimiento: sistema de referencia.
• Un cuerpo está en reposo cuando su posición no cambia respecto a un sistema de
referencia elegido como fijo.
• Un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia respecto a un sistema de
referencia elegido como fijo.
Dado que un mismo cuerpo puede estar a la vez en reposo o en movimiento según el sistema de referencia que se considere, se llega a la conclusión de que todo movimiento es relativo.
• Trayectoria: línea imaginaria que describe un cuerpo al moverse respecto a un sistema de
referencia.
3.- Vector de posición.
La posición, rr: es una magnitud vectorial que indica la distancia de un
cuerpo al origen de un sistema de referencia que se toma como fijo. Es decir, es un vector que tiene, como origen, el origen de coordenadas y por extremo, el punto considerado.
Las coordenadas indican la distancia del cuerpo a cada uno de los ejes de coordenadas. y
+ x =
r r r
r
y, en función de los vectores unitarios (ri,rj): rr= xri + yrj
4.- Vector desplazamiento.
Desplazamiento, Δrr, entre dos posiciones, es una magnitud vectorial que indica la distancia en
línea recta entre las posiciones final (rrB) e inicial (rrA) de un cuerpo. Δrr, es el vector que tiene por origen el punto de partida A y por extremo el punto de llegada B y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final:
Δrr = rB
r
- rA
r
5.- Vectores velocidad media y velocidad instantánea.
Un móvil se traslada, siguiendo una trayectoria cualquiera, desde el punto A (punto de partida) al punto B (punto de llegada) y emplea un tiempo en hacerlo.
• rA
r
y rB
r
Velocidad media, vrm, es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido son los del vector desplazamiento y cuyo módulo es el cociente entre el módulo del vector desplazamiento y el tiempo. En el Sistema Internacional, la unidad para la velocidad es el m/s. Esta magnitud nos indica el ritmo de cambio de la posición con el tiempo.
t r = vm
Δ Δr
r
Velocidad instantánea: es la velocidad que lleva un móvil
en un punto o instante determinado. Es un vector cuya dirección es tangente a la trayectoria en el punto considerado, su sentido es el del desplazamiento, y se calcula derivando el vector de posición con respecto al tiempo.
dt r d = v
r r
6.- Vectores aceleración media y aceleración instantánea.
Excepto en el movimiento rectilíneo y uniforme, en todos los demás movimientos se produce un cambio en el vector velocidad: ya sea en el módulo, en la dirección o en el sentido.
Dado un móvil que se desplaza de A a B a lo largo de una trayectoria cualquiera, y = f(x), y emplea un tiempo, Δt, en hacerlo. En el punto A, el móvil lleva una velocidad, vrAy, en el punto B, lleva una velocidad, vB
r
.
Aceleración media, arm, es una magnitud vectorial que nos indica la rapidez con que cambia el
vector velocidad con el tiempo. Tiene la misma dirección y sentido que los del vector Δvr. En el Sistema Internacional, la unidad de aceleración es el m/s².
m ar =
t v Δ Δr
Aceleración instantánea, ar, es la aceleración que lleva un móvil en una posición o instante
dado. Es un vector cuya dirección y sentido coinciden con los del vector dvr y se calcula derivando el vector velocidad instantánea con respecto al tiempo.
a
r
= dt
v dr
6.1.- Componentes intrínsecas del vector aceleración.
La aceleración mide los cambios que se producen en la velocidad de un móvil que pueden ser debidos a cambios en el módulo de la velocidad y/o en su dirección. Por eso, se distiguen dos clases de aceleración: tangencial y normal.
• La aceleración tangencial, : relaciona la variación del módulo del
vector velocidad con el tiempo. Es un vector que tiene dirección tangente a la trayectoria, sentido el mismo que el del vector velocidad y su módulo es:
t ar
• La aceleración normal (o centrípeta), arn: relaciona los cambios de la dirección de la velocidad con el tiempo. Es un vector que tiene dirección perpendicular a la trayectoria y sentido hacia dentro y su módulo es:
an = R vr2
Si τr, es un vector unitario según la dirección tangente, y nr un vector unitario según la dirección de la normal:
a
r =
t
ar + arn = at τr + an nr
Esto supone que cuando un coche toma una curva, aunque su rapidez sea constante, está cambiando su velocidad.
7.- Clasificación de movimientos.
Hay tres posibles criterios para clasificar los movimientos:
1. Tomando como referencia la trayectoria, los movimientos se clasifican en:
• Movimientos rectilíneos o de trayectoria recta.
• Movimientos curvilíneos o de trayectoria curva (circular, elíptica, parabólica, etc.).
2. Tomando como referencia la relación entre el espacio recorrido y el tiempo empleado (módulo de la velocidad) se dividen en:
• Movimientos uniformes (M.U.): el módulo de la velocidad es constante.
• Movimientos variados: el módulo de la velocidad no es constante.
a) Movimientos uniformemente variados (M.U.V.): el módulo de la velocidad cambia de forma directamente proporcional al tiempo: la aceleración es constante.
• M.U.Acelerado: el módulo de la velocidad aumenta con el tiempo. • M.U. Retardado: el módulo de la velocidad disminuye con el tiempo.
b) Movimientos variados no uniformes: el módulo de la velocidad no cambia de forma directamente proporcional al tiempo: la aceleración no es constante.
3. Tomando como referencia las componentes intrínsecas de la aceleración:
Para estudiar los cambios en la dirección de la velocidad utilizamos las componentes intrínsecas de la aceleración.
M.Rectilíneos M. Curvilíneos
Componentes intrínsecas de la
aceleración M.R.U M.R.U.A. M.C. M.C.U.A.
Otros movimientos
curvilíneos
a
t 0 # 0 y cte. 0 # 0 y cte # 08.- El movimiento rectilíneo.
Un movimiento es rectilíneo cuando su trayectoria es una línea recta, es decir, an = 0.
El vector Δrr=rrF-rri tiene dirección constante, pero no tiene por qué ser la misma que las de rrF y rri.
Para mayor sencillez, se suele tomar el origen de coordenadas sobre la trayectoria y, además, se hace que ésta coincida con uno de los ejes cartesianos. De esa forma, si que van a coincidir las direcciones de rrF, rri y rrF-rri y, en consecuencia, también coincidirán las direcciones de los vectores Δrr, vr y ar y se pueden manejar las
correspondientes ecuaciones vectoriales como ecuaciones escalares.
8.1. Ecuaciones.
Tipo de movimiento
Posición Desplazamiento Velocidad Aceleración
Cualquiera rr = x (t)ri +y(t)rj+z(t)kr r rF-ri
r r r=
Δ
dt r d v
r
r = at an
dt v d
a r r
r
r= = +
M.R.U. xF = xi + v Δt
Δx = xF - xi = v Δt cte
t x
v =
Δ Δ
= an = 0, at = 0
a = 0
M.R.U.V. xF = xi + vi Δt +
2 1
aΔt2 Δx = vi Δt+
2 1
aΔt2 vF = vi + a Δt
an = 0,
a = at =
t v Δ Δ
Caída libre yF = yi + vi Δt +
2
1 g Δt2 Δy = vi Δt +
2 1
g Δt2
vF = vi + g Δt g
8.2.- Criterios de signos.
Aunque no hay una dirección proviligiada, por convenio internacional se ha adoptado el siguiente criterio:
• Posición: se considera positiva si se encuentra a la derecha del origen y negativa si se
encuentra a la izquierda. En movimientos verticales, será positiva si se encuentra por encima del origen y negativa cuando está por debajo del origen.
• Desplazamiento: se considera positivo si un móvil se mueve hacia la derecha y negativo si
se mueve hacia la izquierda. En los movimientos verticales consideramos positivo, hacia arriba y negativo, hacia abajo.
• Velocidad: tiene siempre el mismo sentido que el desplazamiento, por tanto, se considera
• Aceleración: depende de dos factores:
de que la velocidad esté aumentando o disminuyendo de que el cuerpo se desplace en sentido + o - .
El convenio que se ha tomado es:
• Si un móvil aumenta su rapidez (acelera), la aceleración (tangencial) tiene el mismo sentido que la velocidad.
• Si un móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces su aceleración (tangencial) va en el sentido contrario a la velocidad.
9.- El movimiento circular.
Movimiento circular es aquel en el que la trayectoria descrita por el punto móvil es una
circunferencia. En este caso se elige como referencia el centro de la circunferencia
Para estudiar estos movimientos se usan dos tipos de magnitudes:
• Lineales: arco descrito, ΔS, velocidad instantánea en cada
punto, aceleración, etc.
• Angulares: ángulo barrido por el radiovector, Δϕ, que
indica la posición del punto en cada instante, velocidad angular, ω, aceleración angular, α, etc.
En el caso de describir el movimiento mediante magnitudes lineales, habría que indicar la velocidad lineal en los distintos puntos de la trayectoria, así como los valores que van tomando el vector aceleración y sus componentes tangencial y normal, o sus componentes cartesianas (si se utilizan ejes de coordenadas cartesianos).
La relación entre el arco descrito y el ángulo: ΔS = Δϕ .
R arco = ángulo . radio Δϕ es una magnitud adimensional y se expresa en radianes.
9.1.- Velocidad angular media e instantánea
Imaginemos un móvil que, en trayectoria circular, describe, en un tiempo t, un arco ΔS comprendido entre la posición A1 y la posición
A2, y supongamos que elegimos como origen de arcos al punto A:
• La velocidad angular media, ωrm, es una magnitud vectorial que
mide la rapidez de variación del ángulo barrido por el radiovector por unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el s-1o
el rad/s. Su módulo:
t = t
-= F I
m Δ
Δ Δ
ϕ ϕ
La velocidad angular media ωrm, es un vector perpendicular al plano que contiene a la trayectoria descrita (vector axial), cuyo sentido viene dado por el sentido de avance de un sacacorchos para diestros, que gire en el sentido en que gire el móvil. La expresión anterior queda:
n t = m
r r
Δ Δϕ ω
(siendo nr un vector unitario perpendicular al plano de la trayectoria).
• La velocidad angular instantánea, ωr, es la velocidad angular que lleva el móvil en un
punto o momento determinado:
n dt d
= r
r ϕ⋅
ω
9.2.- Aceleración angular media e instantánea.
La aceleración angular media, αm, es una magnitud vectorial que mide
la rapidez de variación de la velocidad angular con el tiempo. La unidad en el S.I. es el rad/s2 o bien s-2. Su módulo:
t = I
Δ t
-= F m
Δ Δ
ω ω
ω α
La aceleración angular media es un vector perpendicular al plano de la trayectoria, cuyo sentido es el de Δωr, por tanto:
t = m r
Δ Δ
nr ⋅ ω α
La aceleración angular instantánea, α, es el valor de la aceleración
angular en una posición o instante determinado: n dt d
= r
r ω⋅
α
9.3.- Relación entre las magnitudes lineales y las magnitudes angulares.
La relación entre el angulo barrido por el radiovector y arco recorrido por el extremo de éste: ΔS = Δϕ . R
La relación entre la velocidad angular y la lineal: v = ω . R
Las componentes intrínsecas de la aceleración: Aceleración tangencial: at = α . R
10.- Casos particulares de movimientos circulares.
10.1. Ecuaciones.
Movimiento M.C.U. M.C.U.V. Equivalencias
Ángulo ϕF = ϕI + ω Δt ϕF = ϕI + ωI Δt + 12 α Δt
2
Desplazamiento
angular Δϕ =ϕF - ϕI = ω Δt
Δϕ = ϕF - ϕI = ωI Δt + 1 2
α Δt2 ΔS = Δϕ
. R Velocidad
angular Δt =cte
Δ = ϕ
ω ωF = ωI+ α Δt v = ω . R
Aceleración
angular α = 0 = Δt
Δω α
Componentes intrínsecas
at = 0
an = ω2. R
at = α . R
an = ω2 . R
at = α . R
an = ω2 . R
Periodo: T = 2π
ω
Frecuencia:
f = 1 T =2
ω π
10.2.- El movimiento periódico.
Se dice que el movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, ya que, a intervalos iguales de tiempo, repite los valores del vector de posición, de la velocidad, de la aceleración, etc.).
Periodo, T, es el tiempo empleado por el móvil en describir un giro completo y, por tanto, en
repetir los valores de las magnitudes mencionadas.
T = 2π
ω
2π radianes equivale a dar una vuelta completa, es decir a 360º
Frecuencia, f: es el número de vueltas que el punto móvil da en un segundo. Por consiguiente,
la frecuencia será la inversa del periodo (expresado en segundos).
f = 1 T =2
ω π
Resumen de fórmulas de Cinemática
Tipo de movimiento
Posición Desplazamiento Velocidad Aceleración
Cualquiera rr = x (t)ri +y(t)rj+z(t)kr r rF-ri
r r r= Δ dt r d v r r = n t a a dt v d
a r r
r
r= = +
t ar =
dt v dr
τr
n ar =
R vr2
nr
M.R.U. xF = xi + v Δt
Δx = xF - xi = v Δt cte
t x
v =
Δ Δ
= an = 0, at = 0
a = 0
M.R.U.V. xF = xi + vi Δt +
2 1
aΔt2 Δx = vi Δt+
2 1
aΔt2 vF = vi + a Δt
an = 0,
a = at =
t v Δ Δ
Caída libre yF = yi + vi Δt +
2
1 g Δt2 Δy = vi Δt +
2 1
g Δt2
vF = vi + g Δt g
Movimiento M.C.U. M.C.U.V. Equivalencias
Ángulo ϕF = ϕI + ω Δt ϕF = ϕI + ωI Δt + 12 α Δt
2
Desplazamiento
angular Δϕ =ϕF - ϕI = ω Δt
Δϕ = ϕF - ϕI = ωI Δt + 1 2
α Δt2 ΔS = Δϕ
. R Velocidad
angular Δt =cte
Δ = ϕ
ω ωF = ωI+ α Δt v = ω . R
Aceleración
angular α = 0 = Δt
Δω α
Componentes intrínsecas
at = 0
an = ω2. R
at = α . R
an = ω2 . R
at = α . R
an = ω2 . R
Periodo: T = 2π
ω
Frecuencia:
f = 1 T =2
Problemas de la Unidad 2
1.- Las ecuaciones paramétricas del vector de posición de un móvil son: x = 2t + 5, y = 3t – 2. a) ¿Qué trayectoria describe el punto? b) ¿Cuál será el valor del vector de posición en los instantes t = 2 s y t = 4 s? c) ¿Cuánto valdrá el vector desplazamiento desde el punto A (t = 2 s) hasta el punto B (t = 4 s). d) Halla el módulo del vector desplazamiento.
2.- Para el movimiento de ecuación: rr =3t2ri −(6t2 +3)rj a) ¿Cuál es la trayectoria? b) ¿Qué tipo de movimiento es? c) ¿Cuánto vale el vector de posición a t =0 s y t =2 s? d) ¿Cuánto valdrá el vector desplazamiento desde (t=0 s) hasta t=2 s. e) Halla el módulo del vector desplazamiento.
3.- Dado un movimiento expresado por la ecuación: rr=3t2ri−6trj determina: a) Vector velocidad media en los cuatro primeros segundos. b) Vector velocidad instantánea para t = 5s. c) Módulo de la velocidad para t = 5s.
4.- Dado un movimiento expresado por la ecuación: rr=2tri+2rj determina: a) Vector velocidad media entre t = 2 s y t =4 s. b) Vector velocidad instantánea para t = 3s. c) Módulo de la velocidad para t = 3 s.
5.- Para el movimiento representado por la ecuación: rr =5t3ri +3t2rj
, determina: a) Vector aceleración media en los tres primeros segundos. b) Aceleración instantánea para t = 3s. c) Módulo de la aceleración instantánea para t = 3s.
6.- El vector de posición un móvil queda determinado por las siguientes componentes: x = 4 + 3t, y = t3 +5, z = 2t + 4t2, en las que x, y, z vienen expresadas en m y el tiempo en s. Determinar a) la aceleración media en el primer segundo b) la aceleración instantánea y su módulo en el instante t = 1s.
7.- La ecuación que define la trayectoria de una partícula en un plano, viene dada por , determina: a) expresión del vector velocidad y su módulo, b) el vector aceleración y su módulo, b) módulos de la aceleración tangencial y normal para t = 2s.
j ) 5t -(20t + i 5t =
r r 2 r
r
8.- El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por:
k 1) -(4t + j 5) -(6t + i 2) -(3t =
vr r 2 r r. Calcular: a) Ecuación del vector aceleración y su módulo. b) Módulo de las aceleraciones tangencial y normal para t = 1s.
Problemas de movimientos rectilíneos
9.- Un coche circula a 72 km/h. Frena y para en 5 s. alcula la aceleración y la distancia recorrida.
10.- Un Boeing 727 necesita como mínimo una velocidad de 369 km/h para iniciar el despegue. Si estando parado comienza a rodar, tarda 25 s en despegar. a) Determina la aceleración, supuesta constante, que proporcionan los motores del avión. b) Calcula la longitud mínima que ha de tener la pista de aterrizaje.
12.- Un coche viaja de noche a una velocidad de 72 km/h y, de repente, se encuentra con un camión estacionado a 20 m de distancia. El conductor aplica el freno comunicándole una aceleración de -5m/s2. a) ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse? b) ¿Chocará con el camión parado?
13.- La velocidad de un automóvil pasa de 54 km/h a 72 km/h en 175 m de carretera rectilínea. a) ¿Qué tipo de movimiento lleva? b) ¿Qué tiempo invierte en recorrer esos 175 m? c) Calcula la aceleración.
14.- Se deja caer un objeto desde un edificio de 300 m de altura, calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con que lo hace.
15.- Se lanza, desde el suelo, verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 40 m/s. Calcula: a) la posición y la velocidad al cabo de 2 s. b) la altura máxima que alcanza y el tiempo empleado. c) la velocidad al regresar al punto de lanzamiento y el tiempo total.
16.- Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Calcular: a) Tiempo en llegar a la altura máxima. b) Altura máxima alcanzada. c) Espacio que habrá recorrido en los 3 primeros segundos y velocidad que llevará en ese momento.
17.- Desde un globo que se está elevando con una velocidad constante de 2 m/s, se deja caer un paquete cuando se encuentra a 60 m de altitud. a) ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? b) Con qué velocidad llega? c) ¿Donde se encuentra el globo cuando llega el paquete al suelo?
Problemas de movimiento circular
18.- Un disco de 40 cm de diámetro gira con velocidad angular constante de 200 r.p.m. Determina: a) La velocidad angular en el S.I. b) La velocidad lineal en un punto de la periferia de la rueda. c) Arco descrito por un punto de la periferia de la rueda en 2.10-3 s.
19.- Calcula las velocidades angular y lineal con las que la Luna gira alrededor de la Tierra, sabiendo que nuestro satélite invierte 27 días y 8 horas en una revolución completa alrededor de la Tierra, y que la distancia entre ambos astros es de 384.000 km.
20.- Un disco, con un diámetro de 30 cm, adquiere una velocidad de 33 r.p.m. a los 3 s de empezar a girar. Calcula: a) la aceleración angular de dicho disco, b) la velocidad y aceleración lineales de un punto de su periferia a los 2 s de comenzar el movimiento de giro.
21.- Un punto móvil se ve sometido a un movimiento circular de 6 m de radio girando a la velocidad de 200 vueltas cada minuto. Hallar: a) Periodo y frecuencia. b) Ángulo descrito en 20 s. c) Valor de la aceleración tangencial y normal así como del vector aceleración.
