EJERCICIOS DE EJEMPLO DEL TEMA 3
1) Demostrar las relaciones 𝑎 = 𝜔2𝑦, y 𝑣2 = 𝜔2(𝐴2− 𝑦2), que ya han aparecido en la
parte teórica.
La ecuación de una onda armónica es
𝑦 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
en su versión seno, de una onda que se desplaza en el sentido positivo del eje x. Si utilizamos cualquier otra versión de la ecuación de una onda, vamos a encontrar el mismo resultado.
La ecuación de la velocidad de cada partícula que constituye la onda (en el caso de una onda mecánica), se determina derivando la anterior.
𝑣 =dy
𝑑𝑡 = 𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
Y la ecuación de la aceleración, la obtenemos derivando la ecuación de la velocidad.
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡 = −𝐴𝜔
2sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
La primera demostración está ya hecha, ya que de la ecuación de la aceleración se ve claramente.
𝑎 = −𝐴𝜔2sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) = −ω2𝑦
Para demostrar la segunda ecuación, partimos de la siguiente entidad.
1 = 𝑠𝑖𝑛2(ωt − kx) + cos2(ωt − kx)
Multiplicamos cada término por 𝐴𝜔2.
𝐴2𝜔2 = 𝐴2𝜔2sin2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) + 𝐴2𝜔2cos2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
Identificando términos, podemos escribir,
𝐴2𝜔2 = 𝜔2𝑦2+ 𝑣2
Y ya podemos rescribirla como
𝑣2 = 𝜔2(𝐴2− 𝑦2)
2) La nota “la” tiene una frecuencia de 440 Hz. Sabiendo que el sonido se desplaza en el aire aproximadamente a 340 m/s. Determina la longitud de onda y su periodo. ¿Y si el sonido entra en el agua salada del mar, cuya velocidad es aproximadamente 1500 m/s?
En el aire se cumple que,
𝑉 = 𝜆
𝑇= 𝜆𝑓 ⟹ 𝜆 = 𝑉 𝑓 =
340
𝑇 =1 𝑓=
1
440= 0.0022 𝑠 = 2.2 𝑚𝑠
Veamos en el agua salada.
Cuando el sonido pasa del aire al agua, la frecuencia del sonido se conserva, y por tanto tendrá también el mismo periodo. Pero puesto que ahora se va a propagar el sonido con mayor velocidad, hace que la longitud de onda sea más grande.
𝜆 =𝑉 𝑓 =
1500
440 = 3.4091 𝑚
3) Una onda tiene por ecuación 𝑦 = 4 cos(0,125𝑡 − 3,142𝑥 + 2), expresado en metros.
Determina:
a) La fase inicial en 𝑥 = 0.
b) La fase inicial en 𝑥 = 0,2 𝑚.
c) La fase en 𝑡 = 8 𝑠 y 𝑥 = 1,2 𝑚.
d) Amplitud.
e) Frecuencia angular o pulsación. f) Frecuencia.
g) Periodo.
h) Número de onda. i) Longitud de onda.
j) Elongación en 𝑡 = 8 𝑠 y 𝑥 = 1,2 𝑚.
k) Ecuación del movimiento armónico simple en 𝑥 = 1 𝑚.
l) Ecuación de la velocidad.
m) Velocidad a la que se propaga la onda. n) Ecuación de la aceleración.
ñ) Diferencia de fase entre los puntos 𝑥1 = 1 𝑚 y 𝑥2 = 2,75 𝑚.
o) Diferencia de fase entre los instantes 𝑡1 = 2 𝑠 y 𝑡2 = 5 𝑠.
a) Para habla de la fase de una onda, que ya dijimos que consiste en especificar si se encuentra en la parte positiva o negativa, y decir si se acerca o aleja al punto de equilibrio. Podemos hacerlo simplemente dando el argumento de la función trigonométrica. Pero debemos dejar claro si vamos a utilizar la función seno o la función coseno, puesto que es distinto, ya que el coseno está adelantado 𝜋/2 𝑟𝑎𝑑 con respecto al
seno.
Si en el enunciado del problema nos dan la ecuación con la función coseno, es lógico que sigamos utilizando la misma función. Así, nuestra ecuación será de la forma,
donde 𝜃(𝑥 , 𝑡) es la fase para cualquier valor de 𝑥 y para cualquier valor de 𝑡.
En nuestro problema,
𝜃(𝑥 , 𝑡) = 0,125𝑡 − 3,142𝑥 + 2
Si nos dicen que determinemos la fase inicial, quiere decir 𝑡 = 0. Además nos dice que 𝑥 = 0. Entonces,
𝜃(0 , 0) = 2 𝑟𝑎𝑑 = 2 𝑟𝑎𝑑 180°
𝜋 rad≈ 114,6°
Que para la función coseno, significa que ese punto está en la parte negativa y alejándose de la posición de equilibrio, es decir, en el segundo cuadrante. Si hubiéramos utilizado la función seno, también nos hubiera salido la misma interpretación de la fase, pero hubiéramos tenido que utilizar la ecuación rescrita así,
𝑦 = 4 cos(0,125𝑡 − 3,142𝑥 + 2) = 4 sin (0,125𝑡 − 3,142𝑥 + 2 +𝜋 2)
El ángulo que da la fase sería distinto, estaría en el tercer cuadrante, pero la interpretación sería la misma.
b) Seguimos trabajando con la función coseno.
Nos piden la fase en el instante inicia, 𝑡 = 0 y en 𝑥 = 2 𝑚. Entonces tenemos que, 𝜃(2 , 0) = −3,142 · 0,2 + 2 = 1,372 𝑟𝑎𝑑 ≈ 78,6°
Luego está en la parte positiva y acercándose a la posición de equilibrio, es decir, en el primer cuadrante.
c) Ahora no es la fase inicial, sino en 𝑡 = 8 𝑠, y en 𝑥 = 1,2 𝑚. Por tanto,
𝜃(8 , 1,2) = 0.125 · 8 − 3,142 · 1,2 + 2 = −0,770 𝑟𝑎𝑑 = −44,1° = 315,9°
Donde el ángulo lo hemos puesto positivo. Significa que está en la parte positiva y alejándose del centro, cuarto cuadrante.
d) La amplitud, que es la elongación máxima es 𝐴 = 4 𝑚.
e) La frecuencia angular, es la parte de la fase que va multiplicando al tiempo,
𝜔 = 0,125𝑟𝑎𝑑 𝑠
f) Utilizamos la frecuencia angular,
𝜔 = 2𝜋𝑓 → 𝑓 = 𝜔 2𝜋=
0,125
2𝜋 = 0,020 𝐻𝑧
g) El periodo es,
𝑇 =1 𝑓=
1
0,020= 50 s
h) El número de onda es el número que multiplica a la 𝑥 en la ecuación, 𝑘 = 3,142 𝑚−1
i) El número de onda cumple,
𝑘 =2𝜋
𝜆 → 𝜆 = 2𝜋
𝑘 = 2𝜋
3,142≈ 2,00 m
j) La fase para este caso, ya la tenemos calculada en el apartado (c),
𝑦 = 4 cos(𝜃(8 , 1,2)) = 4 cos 315,9° ≈ 2,87 m
k) La ecuación del MAS de un punto, se obtiene simplemente sustituyendo el valor de 𝑥
para el punto en cuestión:
𝑦 = 4 cos(0,125𝑡 − 3,142𝑥 + 2) = 4 cos(0,125𝑡 − 1,142)
l) La ecuación de la velocidad, se obtiene derivando la ecuación de onda:
𝑣 =𝑑𝑦
𝑑𝑡 = −4 · 0,125 sin(0,125𝑡 − 3,142𝑥 + 2) = −0,5 sin(0,125𝑡 − 3,142𝑥 + 2) m
s I
Además, estamos viendo que la velocidad máxima es de 0.5 𝑚/𝑠.
m) No confundir esta velocidad, con la velocidad a la que se transmite la onda:
𝑉 = 𝜆 𝑇=
2𝜋 𝑘 1 𝑓
= 2𝜋
𝑘 2𝜋
𝜔 = 𝜔
𝑘 = 0,125
3,142= 0,04 𝑚
𝑠
Puesto que conocemos 𝜆 y 𝑇, podíamos haberla calculado por ahí, pero hemos puesto la
velocidad en función de 𝜔 y 𝑘, que normalmente nos viene dada por la ecuación.
n) La aceleración es la derivada de la velocidad:
𝑎 =𝑑𝑣
ñ) Cuando hablamos de diferencia de fase, que es lo realmente importante (no la fase en sí), es independiente de que se utilice la función seno o coseno.
∆𝜃 = 𝜃(2,75 , 𝑡) − 𝜃(1 , 𝑡) = 0,125𝑡 − 3.142 · 2,75 + 2 − 0,125𝑡 + 3,142 · 1 − 2 =
= −5,499 𝑟𝑎𝑑 = −315°
La situación es la del dibujo. Vemos que la fase del punto en 𝑥 = 1 𝑚 va adelantada 45º
con respecto a la del punto en 𝑥 = 2,75 𝑚.
En realidad este desfase se mantiene constante para cualquier dos puntos que disten entre sí 1,75 𝑚.
o) Para un punto dado, el desfase que tiene entre los instantes 𝑡1 = 2 𝑠 y 𝑡2 = 5 𝑠 es, ∆𝜃 = 𝜃(𝑥 , 5) − 𝜃(𝑥 , 1) = 0,125 · 5 − 3.142𝑥 + 2 − 0,125 · 2 + 3,142𝑥 − 2 =
= 0,375 𝑟𝑎𝑑 = 24,5°
En el instante 5 𝑠, cualquier punto tiene una fase de 24,5° más que en el instante 2 𝑠. En
general, este desfase se mantiene constante pata cualquiera dos instantes que se diferencien en 3 𝑠.
4) Un cuerpo describe un MAS de amplitud 5 cm y frecuencia 2 Hz. En el instante inicial, tiene una elongación de 2 cm y acercándose a la posición de equilibrio. Escribe la ecuación del MAS.
Debemos decidirnos si vamos a utilizar la función seno o la función coseno, la fase inicial habrá que escribirla con un ángulo distinto dependiendo qué función vamos a utilizar. Vamos a utilizar la función seno, entonces, la ecuación es de la forma,
𝑦 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)
Sabemos que 𝐴 = 5 𝑐𝑚, y que 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋2 = 4𝜋 𝑟𝑎𝑑.
Atención, debemos trabajar con los ángulos en radianes. Otra cosa que habrá que tener en cuenta es que el factor 𝜋 es mejor dejarlo indicado en todos los cálculos, y no habrá
que sustituirlo por una aproximación de él hasta que hagamos el cálculo final, si queremos.
Nos queda averiguar la fase inicial 𝜑0. Para ello, nos dicen que en el instante inicial (𝑡 = 0), la elongación vale 𝑦 = 2 𝑐𝑚, y que se está acercando a la posición de equilibrio.
Sustituimos todo en la ecuación, y nos quedará 𝜑0 para despejar:
2 = 5 sin 𝜑0 → sin 𝜑0 =2
5 = 0,4 → 𝜑0 = arcsin 0,4
X=1m
X=2.75m
Si hacemos con la calculadora el arcoseno de 0,4, la calculadora nos da un ángulo cuyo seno es 0,4. Pero debemos ser conscientes de que no es la única solución. Entre 0° y 360° hay dos soluciones. Nosotros necesitamos la solución del segundo cuadrante, para que se cumpla la especificación de que está en la parte positiva y acercándose.
Bien, al hacer el cálculo con la calculadora, nos sale aproximadamente 23,58°. Puesto que es un ángulo del primer cuadrante, buscamos el ángulo del segundo cuadrante con el mismo valor del seno, que es 𝜑0 = 180 − 23,58 = 156,42°. Que deberemos pasarlo a
radianes para introducirlo en la ecuación:
𝜑0 = 156,42° = 156,42°𝜋 𝑟𝑎𝑑
180° ≈ 2,73 rad
Así, la ecuación es,
𝑦 = 5 sin(4𝜋𝑡 + 2,73) cm
Si calculamos la ecuación de la velocidad, se ve que en el instante inicial, la velocidad es negativa, como corresponde al hecho de que el punto está en la posición positiva y acercándose a la posición de equilibrio:
𝑣 =𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 20𝜋 cos(4𝜋𝑡 + 2,73) 𝑐𝑚
𝑠
En el instante inicial, 𝑣 = 20𝜋 cos(2,73) < 0.
5) Dos fuentes vibrantes de igual frecuencia, 𝑓 = 100 𝐻𝑧, están en fase. Se aplican a dos
puntos A y B, de la superficie del agua, separados entre sí 𝑑 = 3 𝑐𝑚, producen vibraciones
de 2 𝑐𝑚 de amplitud que se propagan con una velocidad de 0,6 𝑚/𝑠.
a) Calcula el estado de vibración de un punto P de la superficie del agua que está situado a una distancia 𝑥𝐴 = 3,3 𝑐𝑚 de A, y 𝑥𝐵= 2,4 𝑐𝑚 de B.
b) Calcula la situación de los puntos inmóviles desde A hasta B.
a) En teoría, hemos visto que,
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 − 𝜙)
donde,
𝐴2 = 𝐴
12+ 𝐴22+ 2𝐴1𝐴2cos 𝑘(𝑥1− 𝑥2)
Y si tomamos la fase inicial de cada foco igual a cero:
tan 𝜙 = 𝐴1sin 𝑘𝑥1+ 𝐴2sin 𝑘𝑥2 𝐴1cos 𝑘𝑥1+ 𝐴2cos 𝑘𝑥2
Sabemos que los puntos de la superficie del agua van a estar oscilando con MAS, con la misma frecuencia que las fuentes, y con una amplitud que va a depender de la diferencia de las distancias a las fuentes.
𝑘 =2𝜋 𝜆 =
2𝜋 𝑉𝑇=
2𝜋𝑓
𝑉 =
2𝜋100
60 =
10 3 𝜋 𝑐𝑚
−1
donde hemos puesto la velocidad en cm/s. Trabajamos con amplitudes en centímetros.
𝐴2 = 22+ 22+ 2 · 2 · 2 cos (10
3 𝜋(3,3 − 2,4)) = 4 + 4 + 8 cos3𝜋 = 0
Luego el punto P no se mueve. Es un punto con interferencia destructiva. Como vemos en el cálculo, es importante no operar con el número 𝜋 hasta llegar al final del cálculo,
introduciéndolo completamente en la calculadora. Si lo hubiéramos sustituido en los cálculos intermedios, no hubiera salido la amplitud exactamente cero, sino que aproximadamente, y no estaríamos en la certeza si el punto P se mueve poco o no se mueve nada.
El punto P debe cumplir la condición que hemos estudiado que se cumple cuando la interferencia es destructiva.
𝑥𝐴− 𝑥𝐵 = (2𝑛 + 1)𝜆
2 ∀ 𝑛 ∈ ℤ
Si calculamos la longitud de onda:
𝜆 =2𝜋 𝑘 =
2𝜋 10
3 𝜋
= 0,6 cm
Y la sustituimos en la condición,
3,3 − 2,4 = (2𝑛 + 1)0,6
2 → 2𝑛 + 1 =
2(3,3 − 2,4)
0,6 = 3 → 𝑛 = 1
Vemos que se cumple la condición para 𝑛 = 1.
b) Vamos a calcular las posiciones de los puntos que cumplen la condición, y que están comprendidos en el segmento que une A y B.
Deben cumplir que,
𝑥𝐴− 𝑥𝐵= (2𝑛 + 1)0,3 ∀ 𝑛 ∈ ℤ
Pero además, se cumple que,
𝑥𝐴+ 𝑥𝐵= 𝑑 = 3 𝑐𝑚
Con estas dos ecuaciones podemos despejar por ejemplo 𝑥𝐴 en función de 𝑛, 𝑥𝐴 = (2𝑛 + 1)0,15 + 1,5
Ahora habría que ir dándole valores a 𝑛, y ver si se cumple la condición de que 0 < 𝑥𝐴 < 3. O mejor, podemos introducir en esta inecuación la expresión hallada, y ver
directamente qué valores de 𝑛 cumplen la condición:
0 < (2𝑛 + 1)0,15 + 1,5 < 3 → −5,5 < 𝑛 < 4,5
Luego entre A y B hay diez puntos que no oscilan, que son los que se obtienen para:
𝑛 = −5 → 𝑥𝐴 = 0,15 𝑐𝑚
𝑛 = −3 → 𝑥𝐴 = 0,75 𝑐𝑚
𝑛 = −2 → 𝑥𝐴 = 1,05 𝑐𝑚
𝑛 = −1 → 𝑥𝐴 = 1,35 𝑐𝑚
𝑛 = 0 → 𝑥𝐴 = 1,65 𝑐𝑚
𝑛 = 1 → 𝑥𝐴 = 1,95 𝑐𝑚
𝑛 = 2 → 𝑥𝐴 = 2,25 𝑐𝑚
𝑛 = 3 → 𝑥𝐴 = 2,55 𝑐𝑚
𝑛 = 4 → 𝑥𝐴 = 2,85 𝑐𝑚
Como vemos, desde el primero, que está a 0,15 cm de A, los demás situados a media longitud de onda, es decir cada 0,3 cm.
Se puede demostrar, si calculamos todos los puntos de la superficie del agua que no oscilan, que forman hipérbolas. En este caso hay cinco hipérbolas (con sus diez ramas), cuyo eje de simetría es la recta que une los puntos A y B, y que cortan a dicha recta en los puntos que hemos calculado.
6) Dos ondas transversales que vibran en el mismo plano, se propagan a lo largo de una cuerda en el mismo sentido. La frecuencia de las dos ondas es de 100 Hz, y la longitud de onda de las dos ondas es de 2 m con una amplitud de 2 cm. pero desfasadas en 60º. Calcula:
a) La velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.
b) La amplitud de la onda resultante como la superposición de las dos ondas, y calcula también su ecuación.
c) La velocidad máxima de un punto cualquiera de la cuerda.
a) La velocidad de cualquiera de las dos ondas es:
𝑉 = 𝜆
𝑇= 𝜆𝑓 = 2 · 100 = 200 𝑚
𝑠
b) Imaginemos que los dos focos coinciden en 𝑥 = 0, y que están desfasados 60° = 𝜋 3 rad.
No nos dicen qué onda va adelantada; supongamos 𝜑2 = 𝜑1 +𝜋 3.
Supongamos que la onda primera tiene una fase inicial en el foco. Entonces:
𝜑1 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 ; 𝜑2 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 +𝜋 3
Entonces:
𝐴2 = 𝐴12 + 𝐴22+ 2𝐴1𝐴2cos(𝜑2− 𝜑1) = 𝐴12+ 𝐴22+ 2𝐴1𝐴2cos𝜋 3
Al tener las dos ondas la misma amplitud, 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴′,
𝐴2 = 𝐴′2(1 + 1 + 2 cos𝜋
3) = 0,02
2(2 + 2 cos𝜋
Para terminar de escribir la ecuación, necesitamos determinar la fase, pero esto, claro está dependerá de las suposiciones que nosotros hemos hecho en la fase.
Tenemos de teoría que:
tan 𝜑 = 𝐴′ sin 𝜑1+ 𝐴′ sin 𝜑2 𝐴′ cos 𝜑1+ 𝐴′ cos 𝜑2
donde cada ángulo tiene el sumando 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥, que podemos eliminar, y dejar las fases
iniciales en el foco:
tan 𝜑′ = sin 0 + sin 𝜋/3 cos 0 + cos 𝜋/3=
1 √3→ 𝜑
′ = 𝜋 6 𝑟𝑎𝑑
Por consiguiente:
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴′ cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑′) = 3,46 cos (2𝜋𝑓𝑡 −2𝜋 𝜆 𝑥 + 𝜑
′) →
𝑦(𝑥, 𝑡) = 3,46 cos (200𝜋𝑡 − 𝜋𝑥 +𝜋 6) 𝑐𝑚
c) Ya hemos visto en teoría que la velocidad máxima de un punto cualquiera de una onda es:
𝑣0 = 𝐴𝜔 = 𝐴2𝜋𝑓 = 0,0346 · 2𝜋 · 100 = 21,74𝑚 𝑠
7) La velocidad de propagación de la luz en el agua es 0,75c (siendo c la velocidad de propagación de la luz en el vacío, y que es igual a la velocidad en el aire). Considera un recipiente de agua en el que se coloca en el fondo un espejo. Un rayo de luz penetra en el agua con un ángulo de 30°. Calcula el ángulo con el que saldrá después de reflexionarse en el fondo. ¿Existe alguna inclinación del rayo incidente para la cual el rayo no sale del agua?
Tenemos que estudiar una refracción aire-agua con un ángulo incidente de 30º, después una reflexión en un espejo, y por último una refracción agua-aire.
Veamos con qué ángulo sale el rayo después de la primera etapa:
𝑛(aire) sin 𝑖̂1 = 𝑛(agua) sin 𝑟̂1 →𝑐
𝑐sin 30° = 𝑐
0,75𝑐sin 𝑟̂1 → sin 𝑟̂1 = 0,75 sin 30° = 0,375
Que representa un ángulo de unos 22° con respecto a la normal.
Cuando se refleja el rayo con el espejo, el rayo sale hacia arriba con un ángulo también de 22°.
En la tercera etapa:
𝑛(agua) sin 𝑖̂3 = 𝑛(aire) sin 𝑟̂3→ 𝑐
0,75𝑐0,375 = 𝑐
𝑐sin 𝑟̂3 → sin 𝑟̂3 = 0,375
0,75 = 0,5 → 𝑟̂3 = 30°
Para la segunda parte del ejercicio, hay que tener en cuenta, que en la tercera fase, cuando pasa un rayo de un medio a otro más rápido, como es este caso, puede ocurrir el fenómeno de la reflexión total, y el rayo no salga del agua.
Vamos a calcular el ángulo de reflexión total:
𝑛(agua) sin 𝑖̂ = 𝑛(aire) sin 90° → 𝑐
0,75𝑐sin 𝑖̂ = 𝑐
𝑐 → sin 𝑖̂ = 0,75 → 𝑖̂ = 48,60°
Luego un rayo que lleve un ángulo mayor o igual que 48,60° no sale del agua. Tenemos que ver, con qué ángulo debe entrar el rayo en el agua en la primera fase para tener un ángulo de 48,60° en el agua.
𝑛(aire) sin 𝑖̂ = 𝑛(agua) sin 48,60° →𝑐
𝑐sin 𝑖̂ = 𝑐
0,75𝑐0,75 → 𝑖̂ = 90°
Que es el máximo posible con el que podría entrar el rayo en el agua. Es decir, todos los rayos que entren en el agua (con cualquier ángulo) van a salir del agua con el mismo ángulo.
8) El índice de refracción de un vidrio es de 1,5, y el del aire 1. Determina el ángulo con el que debe incidir un rayo que va desde el vidrio al aire para que se produzca la reflexión total.
Debemos resolver la ecuación de la refracción, poniendo que el ángulo refractado sea de 90°, con ello obtendremos el ángulo límite:
𝑛(vidrio) sin 𝑖̂ = 𝑛(aire) sin 90° → 1,5 sin 𝑖̂ = sin 90° = 1 → sin 𝑖̂ = 1
1,5→ 𝑖̂ = 41,81°
Por tanto, para cualquier ángulo de incidencia mayor o igual que 41,81° el rayo no penetra en el aire.
Se ve el objeto en cualquier posición que nos coloquemos
30º 30º
9) Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 1 m. de longitud, y observamos que la vibración presenta 7 nodos. Si la amplitud máxima es de 1 cm. y la velocidad de propagación de las ondas por la cuerda es de 60 m/s, calcula:
a) La ecuación de la onda estacionaria.
b) La frecuencia fundamental de vibración y la longitud de onda asociada.
a) Hemos visto en teoría, que una onda estacionaria que se produce en una cuerda debido a la onda que va más la onda que viene, puede escribirse de la forma:
𝑦 = 2𝐴′ sin 𝑘𝑥 cos 𝜔𝑡
La amplitud de cada punto de la cuerda, depende de su posición según la ecuación,
𝐴(𝑥) = 2𝐴′sin 𝑘𝑥
cuyo valor máximo es 2𝐴′ que nos dicen que es 1 cm. Por tanto, 𝐴 = 0,5 𝑐𝑚
que es la amplitud de la onda que va, y también la amplitud de la onda que viene.
Si la onda tiene 7 nodos, quiere decir que hay 6 medias longitudes de ondas en la cuerda, y que las 6 medias longitudes de ondas completan la longitud total de la cuerda:
6𝜆
2= 𝐿 → 𝜆 = 𝐿 3 =
1
3 𝑚 → 𝑘 = 2𝜋
𝜆 = 6𝜋 𝑚 −1
Por otro lado,
𝑓 =𝑉 𝜆 =
60 1 3
= 180 𝐻𝑧 → 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 360𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠
Ya podemos escribir la ecuación de la onda estacionaria:
𝑦 = 10−2sin 6𝜋𝑥 cos 360𝜋𝑡 𝑚
b) La frecuencia fundamental, es la frecuencia de la onda más grande que se puede formar en la cuerda, y esto se produce cuando hay 2 nodos, donde hay media longitud de onda:
𝜆
2 = 𝐿 → 𝜆 = 2𝐿 = 2 𝑚
Y para determinar la frecuencia:
𝑓 =𝑉 𝜆 =
60
