FÍSICA 2º DE BACHILLERATO
Exámenes de selectividad ordenados por temas
Juan Ignacio Dáneo
Introducción
1. Deducir la ecuación de dimensiones y las unidades en el SI de las siguientes constantes:
a) Constante de Gravitación Universal G b) Permitividad eléctrica del vacío εo. c) Permeabilidad magnética del vacío µ0. d) Constante de Planck
Fuerzas conservativas. Energía potencial
2. ¿Qué es una fuerza central? ¿Cuándo se dice que un campo de fuerzas es conservativo? Los campos de fuerzas centrales, ¿son conservativos? Razona la respuesta y utiliza ejemplos.
3. a) ¿Qué condición debe cumplir un campo de fuerzas para ser conservativo? b) Ponga un ejemplo de campo de fuerzas conservativo y demuestre que se
cumple la citada condición.
4. Cuando una partícula se mueve en un campo de fuerzas conservativo sometida a la acción de la fuerza del campo, existe una relación entre las energías potencial y cinética. Explica que relación es ésta y efectúa su demostración.
I.
Interacción gravitatoria
Movimiento de los cuerpos celestes
5. a) Enuncie las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
b) Si el radio de la órbita de la Tierra es 1,50x1011 m y el de Urano 2,87x1012 m, calcule el periodo orbital de Urano.(Sol.: 83,7 años)
6. a) ¿Cuál es el periodo de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra en una órbita circular cuyo radio es un cuarto del radio de la órbita lunar?
b) ¿Cuál es la relación entre la velocidad del satélite y la velocidad de Luna en sus respectivas órbitas?
Dato: Periodo de la órbita lunar TL = 27,32 días (Sol.: a) 3´4 días; b) vs/vL = 2)
7. El período de revolución del planeta Júpiter en su órbita alrededor del Sol es aproximadamente 12 veces mayor que el de la Tierra en su correspondiente órbita. Considerando circulares las órbitas de los dos planetas, determine:
a) La razón entre los radios de las respectivas órbitas.
b) La razón entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas órbitas. (Sol.: a) rJ/rT = 5´2; b) aJ/aT = 0´036)
b) Describe algún ejemplo de movimiento en el que se cumpla el teorema de conservación del momento angular.
9. Una partícula de masa m está describiendo una trayectoria circular de radio R con velocidad lineal constante v:
a) ¿Cuál es la expresión de la fuerza que actúa sobre la partícula en este movimiento? ¿Cuál es la expresión del momento angular de la partícula respecto al centro de la trayectoria?
b) ¿Qué consecuencias sacas de aplicar el teorema del momento angular en este movimiento? ¿Por qué?
10. a) Enuncie la primera y la segunda ley de Kepler sobre el movimiento planetario. b) Compruebe que la segunda ley de Kepler es un caso particular del teorema de
conservación del momento angular.
11. Un satélite que gira con la misma velocidad angular que la Tierra
(geoestacionario) de masa m = 5x103 kg, describe una órbita circular de radio r = 3´6x107 m. Determinar:
a) La velocidad areolar del satélite
b) Suponiendo que el satélite describe su órbita en el plano ecuatorial de la Tierra, determine el módulo, la dirección y el sentido del momento angular del satélite respecto de los polos de la Tierra
Dato: Periodo de rotación terrestre = 24 h.
(Sol.: a) 4´7x1010 m2 s-1 ; b) 4´7x1014 kg m2 s-1)
12. Se considera el movimiento elíptico de la Tierra en torno al Sol. Cuando la Tierra está en el afelio (la posición más alejada del Sol) su distancia al Sol es de 1,52.1011 m y su velocidad orbital es de 2,92.104 m/s. Hallar:
a) El momento angular de la Tierra respecto al Sol
b) La velocidad orbital en el perihelio (la posición más cercana al Sol), siendo en este punto su distancia al Sol de 1,47.1011 m.
Datos complementarios: Masa de la Tierra MT = 5,98.10 24
kg
(Sol.: a) 2´7·1040 kg m2/s; b) 3´02·104 m/s)
Gravitación Universal
13. a) Enuncie la 2ª ley de Kepler. Explique en qué posiciones de la órbita elíptica la velocidad del planeta es máxima y dónde es mínima.
b) Enuncie la 3ª ley de Kepler. Deduzca la expresión de la constante de esta ley en el caso de órbitas circulares.
14. a) Enuncie la tercera ley de Kepler y demuéstrela para el caso de órbitas circulares.
b) Aplique dicha ley para calcular la masa del Sol suponiendo que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular con un radio medio de 1,49×108 km.
Dato: Constante de Gravitación Universal G = 6,67 × 10-11 N m2 kg-2
15. Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan posiciones fijas separadas una distancia de 2 m, según indica la figura. Una tercera masa, m´ = 0´2 kg, se suelta desde el reposo en un punto A equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la línea que las une (AB = 1 m). Si no actúan más que las acciones gravitatorias entre estas masas, determine:
a) La fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la masa m´ en la posición A.
b) Las aceleraciones de la masa m´ en las posiciones A y B.
Dato: Constante de Gravitación Universal G = 6´67·10-11 N m2/kg2
(Sol.: a) 1´9x10-10N en dirección línea AB, con sentido hacia B; b) 9´4x10-10 m/s2 y 0, respectivamente)
16. La luz solar tarda 8´31 minutos en llegar a la Tierra y 6´01 minutos en llegar a Venus. Suponiendo que las órbitas descritas por ambos planetas son circulares, determine: a) el periodo orbital de Venus en torno al Sol sabiendo que el de la Tierra es de 365´25 días; b) la velocidad con que se desplaza Venus en su órbita.
Dato: velocidad de la luz en el vacío 3x108 m/s.
(Sol.: a) 224´65 días; b) 3´5·104 m/s)
17. a) ¿Con qué frecuencia angular debe girar un satélite de comunicaciones, situado en una órbita ecuatorial, para que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la Tierra?
b) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se encontrará el satélite citado en el apartado anterior?
Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra = 9,8 m s-2; Radio medio de la Tierra = 6,37 x 106 m
(Sol.: a) 7´3·10-5 rad/s; b) 3´6·107 m)
18. La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1998, describía en torno a la Tierra una órbita circular con una velocidad de 7,62 km s-1.
a) ¿A qué altitud se encontraba?
b) ¿Cuál era su período? ¿Cuántos amaneceres contemplaban cada 24 horas los astronautas que viajaban en el interior de la nave?
Datos: Constante de Gravitación G = 6.67x10-11 N m2 kg -2
Masa de la Tierra MT = 5,98x10
24
kg
Radio medio de la Tierra RT= 6370 km
(Sol.: 499´4 km; b) 1 h 34´4 min, 15 amaneceres)
19. Dos satélites artificiales de la Tierra S1 y S2 describen en un sistema de referencia geocéntrico dos órbitas circulares, contenidas en un mismo plano, de radios r1 =
M
M m´
A
8000 km y r2 = 9034 km respectivamente. En un instante inicial dado, los satélites están alineados con el centro de la Tierra y situados del mismo lado:
a) ¿Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites?
b) ¿Qué relación existe entre los períodos orbitales de los satélites? ¿Qué posición ocupará el satélite S2 cuando el satélite S1 haya completado seis vueltas, desde el instante inicial?(Sol.: a) v1 = 1´06·v2; b) T2 = 1´2·T1)
20. Calcule el módulo del momento angular de un objeto de 1000 kg respecto del centro de la Tierra en los siguientes casos:
a) Se lanza desde el polo norte perpendicularmente a la superficie de la Tierra con una velocidad de 10 km/s.
b) Realiza una órbita circular alrededor de la Tierra en el plano ecuatorial a una distancia de 600 km de su superficie.
Datos: Constante de gravitación G = 6´67 10 –11 N m2 kg –2
Masa de la Tierra MT = 5´98 10
24
kg Radio medio terrestre RT = 6.370 km (Sol.: a) 0; b) 5´3 x1013 kg m2 s-1)
El concepto de campo en la gravitación
21. a) ¿Cómo se define la gravedad en un punto de la superficie terrestre? ¿Dónde será mayor la gravedad, en los Polos o en un punto del Ecuador?
b) ¿Cómo varía la gravedad con la altura? ¿Qué relación existe entre la gravedad a una altura h y la gravedad en la superficie terrestre?
Razona la respuesta.
22. La sonda espacial MarsOdissey describe una órbita circular en torno a Marte a una altura sobre su superficie de 400 km. Sabiendo que un satélite de Marte describe órbitas circulares de 9390 km de radio y tarda en cada una de ellas 7´7 h, calcule: a) El tiempo que tardará la sonda espacial en dar una vuelta completa.
b) La masa de Marte y la aceleración de la gravedad en su superficie.
Datos: Constante de la Gravitación Universal: G = 6´67·10-11 Nm2/kg2
Radio de Marte: RM = 3390 km
(Sol.: a) 2 h; b) 6´4·1023 kg, 3´7 m/s2)
23. a) ¿A qué altitud tendrá una persona la mitad del peso que tiene sobre la superficie terrestre? Exprese el resultado en función del radio terrestre.
b) Si la fuerza de la gravedad actúa sobre todos los cuerpos en proporción a sus masas, ¿por qué no cae un cuerpo pesado con mayor aceleración que un cuerpo ligero?
(Sol.: a)
(
2−1)
RT)24. Determina el valor de la gravedad en un punto situado a una altura de 130 km sobre la superficie terrestre.
Datos: Radio medio terrestre RT = 6370 km
Gravedad al nivel del mar g0 = 9´80 m s –2
25. a) Compara las fuerzas de atracción gravitatoria que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo de masa m que se halla situado en la superficie de la Tierra. ¿A qué conclusión llegas?
b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 kp. ¿Cuál sería el peso de ese mismo cuerpo en la superficie de la Luna?
Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna.
La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es de 60 radios terrestres. E1 radio de la Luna es 0,27 veces el radio de la Tierra.
(Sol.: a) FT/FL = 2´9·105; b) 16´9 kp)
26. a) Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico cuyo radio es la mitad del de la Tierra y posee la misma densidad media? b) ¿Cuál sería el periodo de la órbita circular de un satélite situado a una altura de 400 km respecto a la superficie del planeta?
Datos: Radio de la Tierra R = 6371 km
Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra g = 9,8 m/s2
(Sol.: a) 4,9 m/s2; b) 6.049,6 s)
27. Júpiter tiene aproximadamente una masa 320 veces mayor que la de la Tierra y un volumen 1320 veces superior al de la Tierra. Determine:
a) A qué altura h sobre la superficie de Júpiter debería encontrarse un satélite en órbita circular en torno a este planeta para que tuviera un periodo de 9 horas 50 minutos.
b) La velocidad del satélite en dicha órbita.
Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra g = 9,8 m s-2
Radio medio de la Tierra RT = 6370 km
(Sol.: a) 8´9·107 m; b) 2´8·104 m/s)
28. La masa de la Luna es aproximadamente 7,36 1022 kg y su radio 1,74 106 m. Calcular:
a) El valor de la distancia que recorrería una partícula, en un segundo de caída libre hacia la Luna, si se abandona en un punto próximo a su superficie.
b) En la superficie terrestre al colocar un cuerpo en un platillo de una balanza y en el otro pesas por valor de 23,25 g se consigue el equilibrio. ¿Qué pesas tendríamos que utilizar para equilibrar la balanza, con el mismo cuerpo, en la superficie de la Luna?
Dato: Constante de gravitación: G = 6,67 10 –11 N m2 kg –2
(Sol.: a) 0´81 m; b) 23´25 g).
29. La velocidad de un asteroide es de 20 km/s en el perihelio y de 14 km/s en el afelio. Determine en esas posiciones cuál es la relación entre:
a) Las distancias al Sol en torno al cual orbitan. b) Las energías potenciales del asteroide.
(Sol.: a) ra/rp = 1´4; b) Epa /Epp = 0´7)
30. Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 3200 m/s:
Gravedad en la superficie de la Tierra = 9,8 ms-2; Radio medio de la Tierra 6,37 x 106 m
(Sol.: a) –5´7·108 J; b) h = 570 km)
31. Un satélite artificial gira entorno a la Tierra, en una órbita circular, a una altura de 300 km sobre su superficie:
a) ¿Con qué velocidad se desplaza? b) ¿Qué aceleración posee?
c) ¿Qué tiempo tarda en dar una vuelta?
d) Si el satélite tiene una masa de 200 kg. ¿Qué energía potencial posee en la órbita?
Datos: Constante de gravitación G = 6´67 10 –11 N m2 kg –2
Masa de la Tierra MT = 5´98 10
24
kg
Radio medio terrestre RT = 6.370 km
(Sol.: a) 7.733 m/s; b) 9 m/s2; c) 1´5 h; d) –1´2·1010 J)
32. Si se considera que la Tierra tiene forma esférica, con un radio aproximado de 6.400 km, determine:
a) La relación existente entre las intensidades del campo gravitatorio sobre la superficie terrestre y a una altura de 144 km por encima de la misma.
b) La variación de energía cinética de un cuerpo de 100 kg de masa al caer libremente desde la altura de 144 km hasta 72 km por encima de la superficie terrestre.
Datos: Constante de Gravitación G = 6,67x10 –11 Nm2kg –2
Masa de la Tierra MT = 5,98x10
24
kg
(Sol.: a) 0´96; b) 6´8·107 J)
33. Se lanza una nave de masa m = 5 x 103 kg desde la superficie de una planeta de radio R1 = 6x103 km y masa M1 = 4 x 1024 kg, con velocidad inicial vo = 2 x 104 m/s, en dirección hacia otro planeta del mismo radio R2 = R1 y masa M2 = 2 M1, siguiendo la línea recta que une los centros de ambos planetas. Si la distancia entre dichos centros es D = 4´83 x 1010 m, determine:
a) La posición del punto P en el que la fuerza neta sobre la nave es cero.
b) La energía cinética con que llegará la nave a la superficie del segundo planeta.
Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6.67x10-11 N m2 kg -2
(Sol.: a) a 2·1010 m del primer planeta; b) 1´2·1012 J)
34. Sabiendo que el periodo de revolución lunar es 27´32 días y que el radio de la órbita es RL = 3´84x108m, calcule:
a) La constante de gravitación universal, G (obtener su valor a partir de los datos del problema).
b) La fuerza que ejerce la Luna sobre la Tierra y la de la Tierra sobre la Luna. c) El trabajo necesario para llevar un objeto de 5.000 kg desde la Tierra hasta la
Luna. (Despreciar los radios de la Tierra y de la Luna, en comparación con su distancia)
d) Si un satélite se sitúa entre la Tierra y la Luna a una distancia de la Tierra de RL/4, ¿cuál es la relación de fuerzas debidas a la Tierra y a la Luna?
Datos: Masa de la Tierra MT = 5,98×10 24
kg; Radio de la Tierra RT = 6370 km
Masa de la Luna ML = 7,36·10 22
35. Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 se mueve en una órbita circular de radio 1011 m y período de 2 años. El planeta 2 se mueve en una órbita elíptica, siendo su distancia en la posición más próxima a la estrella 1011 m y en la más alejada, 1,8x 1011 m.
a) ¿Cuál es la masa de la estrella?
b) Halle el período de la órbita del planeta 2.
c) Utilizando los principios de conservación del momento angular y de la energía mecánica, hallar la velocidad del planeta 2 cuando se encuentra en la posición más cercana a la estrella.
Datos: Constante de Gravitación Universal G=6,67 x l0-11 Nm2 kg-2
(Sol.: a) 1´5·1029 kg; b) 3´3 años; c) 11.295¨8 m/s)
36. Un satélite de masa m gira alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular a una altura de 2.104 km sobre su superficie.
a) Calcule la velocidad orbital del satélite alrededor de la Tierra.
b) Suponga que la velocidad del satélite se anula repentina e instantáneamente y éste empieza a caer sobre la Tierra. Calcule la velocidad con la que llegaría el satélite a la superficie de la misma. Considere despreciable el rozamiento del aire.
Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67x10-11 N m2 kg-2; Masa de la Tierra, MT = 5,98x1024 kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37x106 m
(Sol.: a) 6.861 m/s; b) 5.576 m/s)
37. Una nave espacial de 3000 kg de masa describe, en ausencia de rozamiento, una órbita circularen torno a la Tierra a una distancia de 2,5×104 km de su superficie. Calcule:
a) El período de revolución de la nave espacial alrededor de la Tierra. b) Las energías cinética y potencial de la nave en dicha órbita.
Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67x10-11 N m2 kg-2; Masa de la Tierra, MT = 5,98x10
24
kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37x106m
(Sol.: a) 15,4h; b) 1,9x1010 J y – 3,8x1010 J)
38. En el movimiento circular de un satélite en torno a la Tierra, determine:
a) La expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la Tierra y del radio de la órbita.
b) La relación que existe entre su energía mecánica y su energía potencial.
39. Determine la relación que existe entre la energía mecánica de un satélite que describe una órbita circular en torno a un planeta y su energía potencial.
40. a) Deduzca la expresión de la energía cinética de un satélite en órbita circular en función del radio de la órbita y de las masas del satélite y del planeta.
41. a) Deduzca la expresión de la energía cinética de un satélite en órbita circular alrededor de un planeta en función del radio de la órbita y de las masas del satélite y del planeta.
b) Demuestre que la energía mecánica del satélite es la mitad de su energía potencial.
42. Considerando que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es una órbita circular, deduzca:
a) La relación entre la energía potencial gravitatoria y la energía cinética de la Luna en su órbita.
b) La relación entre el periodo orbital y el radio de la órbita descrita por la Luna.
43. Un asteroide está situado en una órbita circular alrededor de una estrella y tiene una energía total de -1010 J. Determine:
a) La relación que existe entre las energías potencial y cinética del asteroide. b) Los valores de ambas energías potencial y cinética.
(Sol.: b) – 2x1010 J; 1010 J)
44. Dos satélites de masas mA y mB describen sendas órbitas circulares alrededor de la Tierra, siendo sus radios orbitales rA y rB respectivamente. Conteste
razonadamente a las siguientes preguntas:
a) Si mA = mB y rA>rB, ¿cuál de los dos satélites tiene mayor energía cinética? b) Si los dos satélites estuvieran en la misma órbita (rA = rB) y tuviesen distinta
masa (mA<mB), ¿cuál de los dos tendría mayor energía cinética?
45. Un objeto de 5 kg de masa posee una energía potencial gravitatoria Ep = – 2x108 J cuando se encuentra a cierta distancia de la Tierra.
a) Si el objeto a esa distancia estuviera describiendo una trayectoria circular, ¿cuál sería su velocidad?
b) Si la velocidad del objeto a esa distancia fuese de 9 km/s, ¿Cuál sería su energía mecánica? ¿Podría el objeto estar describiendo una órbita elíptica en este caso?
(Sol.: a) 6.324,6 m/s)
46. Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gravedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar: a) La velocidad del satélite.
b) Su energía mecánica.
Datos: Gravedad en la superficie terrestre g = 9,8 m s -2
Radio medio de la Tierra R = 6,37x 106 m
(Sol.: a) 6.643´9 m/s; b) –4´4·109J)
47. Un satélite de 2.000 kg de masa, describe una órbita ecuatorial alrededor de la Tierra de 8.000 km de radio. Determinar:
a) Su momento angular respecto del centro de la órbita. b) Sus energías cinética, potencial y total.
Datos: Constante de gravitación G = 6,67·10 –11 N m2 kg-2
Masa de la Tierra MT = 5,98·10
24
(Sol.: a) 1´1·1014 kgm2/s; b) 5·1010 J, -1·1011 J y –5·1010 J)
48. Un satélite artificial está situado en una órbita circular en torno a la Tierra a una altura de su superficie de 2500 km. Si el satélite tiene una masa de 1100 kg: a) Calcule la energía cinética del satélite y su energía mecánica total.
b) Calcule el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra.
Datos:Constante de Gravitación G = 6,67×10-11 N m2 kg-2; Radio de la Tierra = 6370 km.; Masa de la Tierra = 5,98×1024 kg.
(Sol.: a) 2´5x1010 J, - 2´5x1010 J; b) 6, 5 x 1013kgm2/s)
49. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. En esta órbita la energía mecánica del satélite es – 4´5x109 J y su velocidad es 7610 m s-1. Calcule:
a) El módulo del momento lineal del satélite y el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra.
b) El periodo de la órbita y la altura a la que se encuentra el satélite.
Datos: Constante de gravitación G = 6´67 10 –11 N m2 kg –2
Masa de la Tierra MT = 5´98 10
24
kg
Radio de la Tierra RT = 6.370 km
(Sol.: a) 1´2x106 kg m s-1, 8´1x1012 kg m2 s-1; b) 1 h 34,8 min, 517,4 km)
50. Un satélite artificial de 100 kg de masa se encuentra girando alrededor de la Tierra en una órbita circular de 7100 km de radio. Determine:
a) El periodo de revolución del satélite.
b) El momento lineal y el momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra.
c) La variación de energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde la superficie de la Tierra hasta esa posición.
d) Las energías cinética y total del satélite.
Datos: Constante de gravitación universal G = 6,67·10-11 N m2kg-2
Radio de la Tierra RT = 6370 km
Masa de la Tierra MT = 5,98·10
24
kg
(Sol.: a) 1 h 39 min 12 s.; b) 7´5·105kgm/s, 5´3·1012 kgm2/s; c) 6´4·108 J; d) 2´8·109 J y - 2´8·109J)
51. Un satélite de 1000 kg de masa describe una órbita circular de 12×103 km de radio alrededor de la Tierra. Calcule:
a) El módulo del momento lineal y el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. ¿Cambian las direcciones de estos vectores al cambiar la posición del satélite en su órbita?
b) El periodo y la energía mecánica del satélite en la órbita.
Datos: Masa de la Tierra MT = 5,98×1024 kg
Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10-11N m2 kg -2
(Sol.: a) 5´8x106 kg m/s, 6´9x1013 kgm2/s; b) 3´6 h, - 1´7x1010 J)
52. Un planeta orbita alrededor de una estrella de masa M. La masa del planeta es m = 1024 kg y su órbita es circular de radio r = 108 km y periodo T = 3 años terrestres. Determine:
b) La energía mecánica del planeta.
c) El módulo del momento angular del planeta respecto al centro de la estrella. d) La velocidad angular de un segundo planeta que describiese una órbita circular
de radio igual a 2 r alrededor de la estrella.
Datos: Constante de Gravitación Universal G= 6,67×10-11 N m2 kg-2 Considere 1 año terrestre = 365 días
(Sol.: a) 6´6x1028 kg; b) – 2´2 x 1031 J; c) 6´6x1038 kgm2s-1; d) 2´3x10-8 rad s-1)
53. Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9380 km de radio, respecto al centro del planeta, con un periodo de revolución de 7,65 horas. Otro satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de 23460 km de radio. Determine: a) La masa de Marte.
b) El periodo de revolución del satélite Deimos. c) La energía mecánica del satélite Deimos.
d) El módulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte
Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6´67x10-11 N m2 kg-2
Masa de Fobos = 1,1x1016 kg Masa de Deimos = 2,4x1015 kg
(Sol.: a) 6´4x1023 kg; b) 30´3 horas; c) – 2´2x1021 J; d) 7´6x1025 kg m/s)
54. Desde un punto de la superficie terrestre se lanza verticalmente hacia arriba un objeto de 100 kg que llega hasta una altura de 300 km. Determine:
a) La velocidad de lanzamiento.
b) La energía potencial del objeto a esa altura.
Si estando situado a la altura de 300 km, queremos convertir el objeto en satélite de forma que se ponga en órbita circular alrededor de la Tierra:
c) ¿Qué energía adicional habrá que comunicarle?
d) ¿Cuál será la velocidad y el periodo del satélite en esa órbita?
Datos: Constante de Gravitación G = 6,67×10-11 N m2 kg-2
Masa de la Tierra MT = 5,98×10 24 kg; Radio de la Tierra RT = 6370 km (Sol.: a) 2.373´3 m/s; b) -5´98x109 J; c) 2´99x109 J; d) 7.733 m/s, 1 h 30 min 19´5 s)
55. Plutón describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Indique para cada una de las siguientes magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto más alejado del Sol) comparado con el perihelio (punto más próximo al Sol): a) momento angular respecto a la posición del Sol; b) momento lineal; c) energía potencial; d) energía mecánica.
56. Un cometa se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. Explique en qué punto de su órbita, afelio (punto más alejado del Sol) o perihelio (punto más cercano al Sol) tiene mayor valor:
a) La velocidad.
b) La energía mecánica.
57. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio (posición más próxima) el cometa está a 8,75x107 km del Sol y en el afelio (posición más alejada) está a 5,26xl09 km del Sol.
b) ¿En qué punto tiene mayor energía potencial? ¿Y mayor energía mecánica?
58. Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,99x1010 m, y su velocidad orbital es de 3,88x104 m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4,60 x1010 m.
a) Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio.
b) Calcule las energías cinética, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio c) Calcule el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el
perihelio.
d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales en el afelio.
Datos: Masa de Mercurio MM = 3,18x1023 kg
Masa del Sol MS = 1,99x1030 kg
Constante de Gravitación Universal G = 6,67x10-11 N m2 kg-2
(Sol.: a) 5´90·104 m/s; b) 5´52·1032 J, -9¨18·1032 J, - 3´65·1032 J; c) 1´87·1028kgm/s, 8´62·1038 kgm2/s)
59. Desde la superficie terrestre se lanza un satélite de 400 kg de masa hasta situarlo en una órbita circular a una distancia del centro de la Tierra igual a 7/6 partes del radio terrestre. Calcule:
a) La intensidad del campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del satélite.
b) La velocidad y el periodo que tendrá el satélite en la órbita. c) La energía mecánica del satélite en la órbita.
d) La variación de la energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde la superficie de la Tierra hasta situarlo en su órbita.
Datos: Masa de la Tierra MT = 5´98·10
24
kg
Radio de la Tierra RT = 6,37·10
6
m
Constante de Gravitación Universal G = 6´67·10-11 N m2 kg-2
(Sol.: a) 7´2 m/s2; b) 7.326 m/s, 1´77 h; c) – 1´1x1010 J; d) 3´6x109 J)
60. Un satélite artificial de la Tierra de 100 kg de masa describe una órbita circular a una altura de 655 km. Calcule:
a) El periodo de la órbita.
b) La energía mecánica del satélite
c) El módulo del momento angular del satélite respecto del centro de la Tierra. d) El cociente entre los valores de la intensidad de campo gravitatorio terrestre en
el satélite y en la superficie de la Tierra.
Datos: Masa de la Tierra MT = 5´98·10 24
kg Radio de la Tierra RT = 6,37·106 m
Constante de Gravitación Universal G = 6´67·10-11 N m2 kg-2
(Solución: a) 1,6 h; b) -2´8·109 J; c) 5,3·1012 kg m2/s; d) 0´82)
61. Un satélite artificial de la Tierra, de masa 10 Tm, tiene una velocidad de 4,2 km/s en una determinada órbita circular. Hallar:
a) El radio de la órbita
b) El trabajo necesario para colocarlo en la órbita c) Su periodo
d) El trabajo realizado por el peso en una vuelta
Masa de la Tierra MT = 5,98·10 24
kg
Radio medio terrestre RT = 6.370 km
(Sol.: a) 2´3 ·107 m; b) 5´4·1011 J; c) 9´4 h)
62. Un satélite de masa 20 kg se coloca en órbita circular sobre el ecuador terrestre de modo que su radio se ajusta para que dé una vuelta a la Tierra cada 24 horas. Así se consigue que siempre se encuentre sobre el mismo punto respecto a la Tierra (satélite geoestacionario).
a) ¿Cuál debe ser el radio de su órbita?
b) ¿Cuánta energía es necesaria para situarlo en dicha órbita?
Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6.67x10-11 N m2 kg -2
Masa de la Tierra MT = 5,96x1024 kg
Radio de la Tierra RT= 6371 km
(Sol.: a) 4´22x107 m; b) 1´15x109 J)
63. Se coloca un satélite meteorológico de 1000 Kg en órbita circular, a 300 km sobre la superficie terrestre. Determine:
a) La velocidad lineal, la aceleración radial y el periodo en la órbita. b) El trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite.
Datos: Gravedad en la superficie terrestre g = 9,8 m s-2
Radio medio terrestre RT = 6370 km
(Sol.: a) 7.721´3 m/s, 8´9 m/s2 y 1´5 h; b) 3´3·1010 J)
64. Se ha descubierto un planeta esférico de 4100 km de radio y con una aceleración de la gravedad en su superficie de 7,2 m s-2.
a) Calcule la masa del planeta.
b) Calcule la energía mínima necesaria que hay que comunicar a un objeto de 3 kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y situarlo a 1000 km de altura de la superficie, en una órbita circular en torno al mismo.
Dato: Constante de Gravitación G = 6,67×10-11 N m2 kg-2.
(Sol.: a) 1´8x1024 kg; b) 5´3x107 J)
65. Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular de radio 5/2 RT alrededor de la Tierra. Determine:
a) El trabajo que hay que realizar para llevar al satélite desde la órbita circular de radio 5/2 RT a otra órbita circular de radio 5RT y mantenerlo en dicha orbita. b) El periodo de rotación del satélite en la órbita de radio 5RT.
Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67x10-11 N m2 kg-2; Masa de la
Tierra, MT = 5,98x10 24
kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37x10 6
m (Sol.: a) 2´5x109 J; b) 15 h 42´5 min)
66. La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta Venus es ω1= 1,45xl0-4 rad/s y su momento angular respecto al centro de la órbita es L1= 2,2x 1012 kg m2 s-l.
a) Determine el radio r, de la órbita del satélite y su masa.
b) ¿Qué energía sería preciso invertir para cambiar a otra órbita circular con velocidad angular ω2=10-4rad/s?
Datos: Constante de Gravitación Universal G=6,67xl0-11 Nm2kg-2
Masa de Venus: MV = 4,87 x 10
24
(Sol.: a) 2´5·107 m, 24´5 kg; b) 3,5·107 J)
67. Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad de 7´5 km/s. Calcule:
a) El radio de la órbita.
b) La energía potencial del satélite. c) La energía mecánica del satélite.
d) La energía que habría que comunicar al satélite para que describa una órbita circular de radio doble que el de la órbita anterior.
Datos: Radio de la Tierra RT = 6,37·10
6
m
Constante de Gravitación Universal G = 6´67·10-11 N m2 kg-2
Masa de la Tierra mT = 5,98 x 10
24
kg
(Sol.: a) 7,1x106 m; b) -5,6x109 J; c) -2,8x109 J; d) 1,4x109 J)
68. a) ¿Cuál es la velocidad de escape de un objeto situado en la superficie de la Tierra?
b) ¿Cómo influye la dirección con que se lanza un objeto desde la superficie de la Tierra en su velocidad de escape?
69. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) El valor de la velocidad de escape de un objeto lanzado desde la superficie de la Tierra depende del valor de la masa del objeto.
b) En el movimiento elíptico de un planeta en tomo al Sol la velocidad del planeta en el perihelio (más próximo al Sol) es mayor que la velocidad en el afelio (más alejado del Sol).
70. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Un objeto de masa m1 necesita una velocidad de escape de la Tierra el doble que la que necesita otro objeto de masa m2 = m1/2.
b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbita un satélite de masa m1 que otro satélite de masa m2 = m1/2, lanzados desde la superficie de la Tierra.
71. a) Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad v. Si se desprecia el rozamiento, calcule el valor de v necesario para que el objeto alcance una altura igual al radio de la Tierra.
b) Si se lanza el objeto desde la superficie de la Tierra con una velocidad doble a la calculada en el apartado anterior, ¿escaparía o no del campo gravitatorio terrestre?
Datos: Constante de gravitación G = 6´67 10 –11 N m2 kg –2
Masa de la Tierra MT = 5´98 1024 kg
Radio de la Tierra RT = 6.370 km
(Sol.: a) 7.913 m s-1; b) si)
72. El vehículo espacial Apolo VIII estuvo en órbita circular alrededor de la Luna, 113 km por encima de su superficie. Calcular:
a) El periodo del movimiento.
b) Las velocidades lineal y angular del vehículo.
Datos: Constante de Gravitación G = 6,67·10 –11 Nm2kg –2
Masa de la Luna ML = 7,36·1022 kg
Radio medio lunar RL = 1740 km
(Sol.: a) 2 h; b) 1.628 m/s, 8´8·10-4 rad/s; c) 2.301´9 m/s)
73. Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg a una altura de 1200 km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcule:
a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite.
b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.
Datos: Constante de Gravitación G = 6,67x l0-11 N m2 kg2
Masa de la Tierra MT = 5,98x 10
24
kg
Radio medio de la Tierra RT = 6,37x 10
6
m
(Sol.: a) 6·109 J; b) 1´6·1010 J)
74. Una sonda espacial de masa m = 1000 kg se encuentra situada en una órbita circular alrededor de la Tierra de radio r = 2,26xRT, siendo RT el radio de la Tierra.
a) Calcule la velocidad de la sonda en esa órbita. - b) ¿Cuánto vale su energía potencial?
c) ¿Cuánto vale su energía mecánica?
d) ¿Qué energía hay que comunicar a la sonda para alejarla desde dicha órbita hasta el infinito?
Datos: Masa de la Tierra MT = 5,98x10 24
kg; Radio de la Tierra RT = 6,37x10 6
m; Constante de Gravitación Universal G = 6,67x10-11 Nm2 kg-2.
(Sol.: a) 5.263´7 m/s; b) -2´8x1010 J; c) – 1´4x10-10 J; d) 1´4x10-10 J)
75. La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie. Determine:
a) La velocidad lineal de la nave y el periodo del movimiento. b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita.
Datos: Constante de Gravitación G = 6,67x10-11 N m2 kg-2
Masa de la Luna ML = 7,36x10
22
kg
Radio medio lunar RL =1740 km
(Sol.: a) 1.633´4 m/s, 1 h 58 min; b) 2.310 m/s)
76. La aceleración de la gravedad en la Luna es 0,166 veces la aceleración de la gravedad en laTierra y el radio de la Luna es 0,273 veces el radio de la Tierra. Despreciando la influencia de la Tierra yutilizando exclusivamente los datos aportados, determine:
a) La velocidad de escape de un cohete que abandona la Luna desde su superficie. b) El radio de la órbita circular que describe un satélite en torno a la Luna si su
velocidad es de 1,5 km s-1.
Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67x10-11 N m2 kg-2 ; Masa de la Tierra, MT = 5,98x10
24
kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37x10 6
m
77. Una sonda espacial se encuentra “estacionada” en una órbita circular terrestre a una altura sobre la superficie terrestre de 2,26 RT, donde RT es el radio de la Tierra.
a) Calcular la velocidad de la sonda en la órbita de estacionamiento.
b) Comprobar que la velocidad que la sonda necesita, a esa altura, para escapar de la atracción de la Tierra es aproximadamente 6,2 km/s.
Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra g = 9,81 m s –2
Radio medio terrestre RT = 6.370 km
(Sol.: a) 4.378,2 m/s)
78. Se pretende colocar un satélite artificial de forma que gire en una órbita circular en el ecuador terrestre y en el sentido de rotación de la Tierra. Si se quiere que el satélite pase periódicamente sobre un punto del ecuador cada dos días, calcule: a) La altura sobre la superficie terrestre a la que hay que colocar el satélite.
b) La relación entre la energía que hay que comunicar al dicho satélite desde el momento de su lanzamiento en la superficie terrestre para colocarlo en esa órbita y la energía mínima de escape.
Datos: Constante de gravitación universal G = 6,67·10-11 N m2kg-2
Radio de la Tierra RT = 6370 km
Masa de la Tierra MT = 5,98·10
24
kg
(Sol.: a) 60.698 km; b) Eorb. = 0´95 Eesc)
79. Una sonda de masa 5000 kg se encuentra en una órbita circular a una altura sobre la superficie terrestre de 1,5RT. Determine: a) el momento angular de la sonda en esa órbita respecto al centro de la Tierra; b) la energía que hay que comunicar a la sonda para que escape del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.
Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6´67·10-11 N m2 kg-2 Masa de la Tierra MT = 5´98·10
24
kg Radio de la Tierra RT = 6,37·10 6
m
(Sol.: a) 4 x1014 kg m2/s; b) 6´3x1010 J)
80. Io, un satélite de Júpiter, tiene una masa de 8,9×1022 kg, un periodo orbital de 1,77 días, y un radio medio orbital de 4,22×108 m. Considerando que la órbita es circular con este radio, determine:
a) La masa de Júpiter.
b) La intensidad de campo gravitatorio, debida a Júpiter, en los puntos de la órbita de Io.
c) La energía cinética de Io en su órbita.
d) El módulo del momento angular de Io respecto al centro de su órbita.
Dato: Constante de Gravitación Universal G= 6,67×10-11 N m2 kg-2
(Sol.: a) 1´9x1027kg; b) 0´71 m/s2; c) 7´7x1026 J; d) 6´5x1035 kg m2/s)
81. Un planeta esférico tiene un radio de 3000 km, y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6 m/s2. a) ¿Cuál es su densidad media? b) ¿Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este planeta?
Dato: Constante de Gravitación Universal G = 6,67x 10-11 N m2 kg-2
82. Suponiendo un planeta esférico que tiene un radio la mitad del radio terrestre e igual densidad que la Tierra, calcule:
a) La aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta
b) La velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta, si la velocidad de escape desde la superficie terrestre es11´2 km/s.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra g = 9´81 m s-2
(Sol.: a) 4´9 m/s2; b) 5´6 km/s)
83. Un planeta esférico tiene una masa igual a 27 veces la masa de la Tierra, y la velocidad de escape para objetos situados cerca de su superficie es tres veces la velocidad de escape terrestre. Determine:
a) La relación entre los radios del planeta y de la Tierra
b) La relación entre las intensidades de la gravedad en puntos de la superficie del planeta y de la Tierra.
(Sol.: a) RP = 3 RT; b) gP = 3 gT)
84. Un planeta esférico tiene 3200 km de radio y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6,2 ms-2. Calcule:
a) La densidad media del planeta y la velocidad de escape de su superficie.
b) La energía que hay que comunicar a un objeto de 50 kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y ponerlo en órbita circular alrededor del mismo, de forma que su periodo sea de 2 horas.
Dato: Constante de la Gravitación Universal G = 6,67x10-11 Nm2kg-2.
(Sol.: a) 6´9·103 kg/m3, 6.300 m/s; b) 6´3·108 J)
85. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,27 RT (siendo RT el radio terrestre), calcule: a) la relación entre las densidades medias ρLuna/ρTierra; b) la relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies (ve)Luna/(ve)Tierra.
(Sol.: a) 0,62; b) 0,21)
86. Un satélite artificial de 200 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape a la atracción terrestre desde esa órbita es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre.
a) Calcule la fuerza de atracción entre la Tierra y el satélite. b) Calcule el potencial gravitatorio en la órbita del satélite. c) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita.
d) ¿Se trata de un satélite geoestacionario? Justifique la respuesta.
Datos: Constante de gravitación universal G = 6,67·10-11 N m2kg-2 Masa de la Tierra MT = 5,98·10
24
kg; Radio de la Tierra RT = 6370 km
(Sol.: a) 122,9 N; b) -1´6x107 J/kg; c) -1´6x109 J; d) no, T = 11,2 horas)
b) ¿Si el potencial de un campo de fuerzas conservativo es constante en una cierta región del espacio, ¿qué se puede afirmar del vector intensidad de campo en ella?
Razona la respuesta
88. Define los conceptos de: intensidad de campo, potencial, línea de fuerza y superficie equipotencial en un campo de fuerzas gravitatorio. ¿Bajo qué ángulo cortan las líneas de fuerza a las superficies equipotenciales? ¿Por qué?
89. Llamando g0 y V0 a la intensidad del campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en la superficie terrestre respectivamente, determine en función del radio de la Tierra:
a) La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad de campo gravitatorio es g0/2.
b) La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V0/2. (Sol.: a) ( 2−1)RT; b) RT)
90. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcule:
a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado del cuadrado.
b) El potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro del cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales.
Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67x10-11 Nm2kg-2
Interacción electromagnética
Campo eléctrico
1. Dos pequeñas esferas, de 5 N de peso cada una, cuelgan de un mismo punto fijo mediante dos hilos idénticos de 10 cm de longitud y de masa despreciable. Si se suministra a cada una de estas esferas una carga eléctrica positiva de igual cuantía se separan de manera que los hilos forman entre sí un ángulo de 60º en la posición de equilibrio. Calcular:
a) El valor de la fuerza electrostática ejercida entre las cargas de las esferas en la posición de equilibrio.
b) El valor de la carga de cada esfera.
Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9·109 N m2C –2
(Sol. a) 2´9 N; b) 1´8µC)
2. Si entre las dos placas de un condensador plano separadas 3 cm entre sí, existe un campo eléctrico uniforme de 7 10 –4 N·C –1:
a) ¿Qué fuerza se ejercerá sobre un electrón situado en su interior? b) ¿Qué aceleración adquiere el electrón?
c) Si el electrón se desplaza, partiendo del reposo, de la placa negativa a la positiva. ¿Qué velocidad y qué energía cinética tiene al llegar a la placa positiva?
Datos: masa del electrón me = 9´1 10
–31
kg Valor absoluto de la carga del electrón e = 1´6 10 –19 C
(Sol.: a) 1´1·10-22 N; b) 1´2·108 m/s2; c) 2.717´5 m/s, 3´36·10-24 J)
3. Tenemos un campo eléctrico uniforme, dirigido verticalmente hacia abajo, cuya intensidad es de 10 –11 N C –1. Se sitúa un electrón a 10 m de altura sobre el suelo, sometido a la acción del campo eléctrico y del campo gravitatorio, a) ¿en qué sentido y con qué aceleración se moverá?; b) ¿qué tiempo tardará en llegar al suelo? ¿O no caerá?
Datos: Masa del electrón me = 9´109·10
–31
kg Valor absoluto de la carga del electrón e = 1´6·10 –19 C
Gravedad terrestre g = 9´8 m s –2
(Sol.: a) hacia abajo a 8 m/s2; b) 1´6 s)
4. Se crea un campo eléctrico uniforme de intensidad 6 x 104 N/C entre dos láminas metálicas planas y paralelas que distan entre sí 2´5 cm. Calcule:
a) La aceleración a la que está sometido un electrón situado en dicho campo. b) Si el electrón parte del reposo de la lámina negativa, ¿con qué velocidad llegará
a la lámina positiva?
Nota: se desprecia la fuerza gravitatoria
Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1´6·10-19 C
Masa del electrón m = 9´1·10-31 kg
(Sol.: a) 1´1·1016 m/s2; b) 2´3·107 m/s)
a) Las componentes cartesianas de la fuerza experimentada por el electrón. b) La expresión de la velocidad del electrón en función del tiempo.
c) La energía cinética del electrón 1 segundo después de penetrar en el campo. d) La variación de la energía potencial experimentada por el electrón al cabo de 1
segundo de entrar en el campo.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6 ·10 –19 C
Masa del electrón me = 9,109·10
–31
kg
(Sol.: a) (0,-9´6·10-25) N; b) (3·105,-1´05·106 t) m/s; c) 5´5·10-19 J; d) –5´1·10-19 J)
6. Un electrón que se mueve con una velocidad v = 2 x106 i ms-1 penetra en una región en la que existe un campo eléctrico uniforme. Debido a la acción del campo, la velocidad del electrón se anula cuando éste ha recorrido 90 cm. Calcule, despreciando los efectos de la fuerza gravitatoria:
a) El módulo, la dirección y el sentido del campo eléctrico existente en dicha región.
b) El trabajo realizado por el campo eléctrico en el proceso de frenado del electrón.
Datos: Masa del electrón, me = 9,11x10-31 kg; carga elemental, e = 1,60×10-19 C (Sol.: a) 12´7 i N/C; - 1,8x10-18 J)
7. Una carga de valor Q ocupa la posición (0,0) del plano XY en el vacío. En un punto A del eje X el potencial es V = - 120 V y el campo eléctrico es E i
r r
80
−
= N/C,
siendo i
r
el vector unitario en el sentido positivo del eje X. Si las coordenadas están en metros, calcule:
a) La posición del punto A y el valor de Q.
b) El trabajo necesario para llevar un electrón desde el punto B(2,2) hasta el punto A.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1´6x10-19 C Constante de la ley de Coulomb en el vacío K = 9x109 N m2 C-2
(Sol.: a) A(1´5,0), - 20 nC; b) 9x10-18 J)
8. A una distancia “r” de una carga puntual “Q”, fija en un punto O, el potencial eléctrico es V = 400 V y la intensidad del campo eléctrico es E = 100 N/C. Si el medio considerado es el vacío, determinar:
a) Los valores de la carga “Q” y de la distancia “r”.
b) El trabajo realizado por la fuerza del campo al desplazarse una carga de 1 µC, desde la posición que dista de O el valor “r” calculado, hasta una posición que diste de O el doble de la distancia anterior.
Datos: Constante de la ley de Coulomb k = 9·109 Nm2C –2.
(Sol.: a) 0´18 µC, 4 m; b) 2·10-4 J)
9. Dos partículas con cargas de + 1 µC y de - 1 µC están situadas en los puntos del plano XY de coordenadas (-1,0) y (1,0) respectivamente. Sabiendo que las coordenadas están expresadas en metros, calcule:
a) El campo eléctrico en el punto (0,3).
b) El potencial eléctrico en los puntos del eje Y. c) El campo eléctrico en el punto (3,0).
Dato: Constante de la ley de Coulomb k = 9x109 N m2 C-2
(Sol.: a) (569´2,0) N/C; b) 0; c) (-1.687´5,0) N/C; d) – 2.250 V)
10. Dos cargas puntuales iguales, de valor 2×10-6 C, están situadas respectivamente en los puntos (0,8) y (6,0). Si las coordenadas están expresadas en metros, determine: a) La intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas (0,0).
b) El trabajo que es necesario realizar, para llevar una carga q = 3×10-6 C desde el punto P (3,4), punto medio del segmento que une ambas cargas, hasta el origen de coordenadas.
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 N m2 C-2
(Sol.: a) E = - 500 i – 281,25 j; b) -5,85x10-3 J)
11. Una carga puntual de 4 µC se encuentra localizada en el origen de coordenadas y otra de – 2 µC en el punto (0,4) m. Suponiendo que se encuentran en el vacío, calcular:
a) La intensidad de campo eléctrico en el punto A (6,0) m b) El potencial eléctrico en el punto A.
c) La diferencia de potencial entre los puntos A(6,0) m y B(8,0) m.
d) El trabajo necesario para llevar una carga de 3 µC desde el punto A al punto B.
Datos: Constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb k = 9 10 9 N m2 C –2
(Sol.: a) (712,192) N/C; b) 3.503´8 V; c) 1.016´3 V; d) –0´003 J)
12. Dos cargas puntuales de + 6 µC y – 6 µC están situadas en el eje X, en dos puntos A y B distantes entre sí 12 cm. Determine:
a) El vector campo eléctrico en el punto P de la línea AB, si AP = 4 cm y PB = 8 cm.
b) El potencial eléctrico en el punto C perteneciente a la mediatriz del segmento AB y distante 8 cm de dicho segmento.
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9x109 Nm2C-2
(Sol.: a) 4´2·107 N/C sobre la línea AP, sentido hacia B; b) 0 V)
13. Dos cargas eléctricas en reposo de valores q1 = 2 µC y q2 = - 2 µC, están situadas en los puntos (0,2) y (0,-2) respectivamente, estando las distancias en metros. Determine:
a) El campo eléctrico creado por esta distribución de cargas en el punto A de coordenadas (3,0).
b) El potencial en el citado punto A y el trabajo necesario para llevar una carga de 3 µC desde dicho punto hasta el origen de coordenadas.
Dato. Constante de la ley de Coulomb K = 9x109 Nm2C-2
(Sol.: a) (0,-1.536) N/C; b) 0 V y 0 J)
14. Dos cargas eléctricas puntuales de valor 2 mC y -2 mC, se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos (0,3) y (0,-3) respectivamente, estando las distancias expresadas en m.
a) ¿Cuáles son los valores de la intensidad de campo en el punto (0,6) y en el punto (4,0)?
b) ¿Cuál es el trabajo realizado por el campo sobre un protón cuando se desplaza desde el punto (0,6) hasta el punto (4,0)?
Permitividad del vacío ε0 = 8,85xl0 -12
N-1m-2C2
(Sol.: a) (0,1´8·106) N/C, (0,-8´6·105) N/C; b) 6´4·10-13 J)
15. Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos (0,5) y (0,-5), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros.
a) ¿En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?
b) ¿Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (l,0) al punto (-1,0)?
16. Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X, q1= - 0,2 µCestá situada a la derecha del origen ydista de él 1 m; q2=+0,4µC está a la izquierda del origen y dista de él 2 m.
a) ¿En qué puntos del ejeX el potencial creado por las cargas es nulo?
b) Si se coloca en el origen una carga q = +0,4 µC determine la fuerza ejercida sobre ella por las cargas q1 yq2
Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacío K= 9x 109 Nm2C-2
17. Se tienen dos cargas eléctricas puntuales de 3 µC cada una, una positiva y la otra negativa, colocadas a una distancia de 20 cm. Calcular la intensidad de campo eléctrico y el potencial eléctrico en los siguientes puntos:
a) En el punto medio del segmento que las une. b) En un punto equidistante 20 cm de ambas cargas.
Datos: medio el vacío Constante de la ley de Coulomb k = 9·109 N m2C-2
(Sol.: a) 5´4·106 N/C hacia la carga negativa, 0 V; b) 6´75·105 N/C en dirección paralela a la línea que une a la carga y con sentido hacia la negativa, 0 V)
18.Dos cargas puntuales q1 = 2 mC y q2 = - 4 mC están colocadas en el plano XY en las posiciones (-1,0) m y (3,0) m, respectivamente:
a) Determine en que punto de la línea que une las cargas el potencial eléctrico es cero.
b) Es nulo el campo eléctrico creado por las cargas en ese punto? Determine su valor si procede.
Dato: Constante de la ley de Coulomb, K = 9x109 N m2 C-2
(Sol.: a) x = 1/3; b) 1´5x107i)
19. Se disponen tres cargas de 10 nC en tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Determine en el centro del cuadrado:
a) El módulo, la dirección y sentido del vector campo eléctrico. b) El potencial eléctrico.
(Sol.: a) 180 N/C hacia el vértice libre; b) 381´8 V)
20. Tres cargas positivas e iguales de valor q = 2 mC cada una se encuentran situadas en tres de los vértices de un cuadrado de lado 10 cm. Determine:
a) El campo eléctrico en el centro del cuadrado, efectuando un esquema gráfico en su explicación.
Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacío K = 9x 109 N m2C-2
(Sol.: a) 3´6·109 N/C en la dirección y sentido del vértice libre; b) 8´8·108 V, 0 J)
21.Se disponen tres cargas eléctricas puntuales en los vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud L como indica la figura (L = 1,2 m,
q1= q2 = 5 nC, q3= −5 nC).
a) Calcule la fuerza total, F, ejercida por las cargas q1 y q2 sobre la carga q3,y dibuje el diagrama de fuerzas de la carga q3.
b) ¿Cuál sería el trabajo necesario para llevar la carga q3 desde su posición actual al punto P de coordenadas x = 1,2 m, y = 1,2 m?
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×10
9
N m2 C-2.
(Sol.: a) 5´5x10-8i – 2´1x10-7j (N); b) 0 J)
22. Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado. Dos cargas iguales positivas de 2 mC están en A y B.
a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto C? b) ¿Cuál es el potencial en el punto C?
c) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5 mC desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas?
d) Responder al apartado anterior c) si la carga situada en B se sustituye por una carga de -2 mC.
Datos: Permitividad del vacío εo = 8,85 x 10 -12
N-1m-2C2
(Sol.: a) 7´8·106 N/C en dirección bisectriz; b) 1´8·107 V; c) 89.918 J; d) 0)
23. Dos cargas fijas Q1 = + 12,5 nC y Q2 = - 2,7 nc se encuentran situadas en los puntos del plano XY de coordenadas (2,0) y (-2,0) respectivamente. Si todas las coordenadas está expresadas en metros, calcule:
a) El potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A(-2,3) b) El campo eléctrico creado por Q1 y Q2 en el punto A.
c) El trabajo necesario para trasladar un ión de carga negativa igual a – 2e del punto A al punto B, siendo B(2,3), indicando si es a favor o en contra del campo.
d) La aceleración que experimenta el ión cuando se encuentra en el punto A.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6x10-19 C Constante de la ley de Coulomb k = 9x109 N m2 C-2
Masa del ión M = 3,15x10-26 kg
(Sol.: a) 14,4 V, b) (-3´6,0) N/C; c) – 5´8x10-18 J; d) (3,7x107,0) m/s2)
24. Una carga positiva de 2 µC se encuentra situada inmóvil en el origen de coordenadas. Un protón moviéndose por el semieje positivo de las X se dirige hacia el origen de coordenadas. Cuando el protón se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de x = 10 m, lleva una velocidad de 1000 m/s. Calcule:
q1 q3
q2 L
a) El campo eléctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en el punto A.
b) El potencial y la energía potencial del protón en el punto A. c) La energía cinética del protón en el punto A.
d) El cambio de momento lineal experimentado por el protón desde que parte de A y por efecto de la repulsión vuelve al mismo punto A.
Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9x109 N m2 C-2 Masa del protón mp = 1,67x10
-27
kg; Carga del protón qp = 1,6x10 -19
C
(Sol.: a) (180,0) N/C; b) 1800V, 2,9x10-16 J; c) 8,4x10-22 J; d) (3,34x10-24,0))
25. Tres partículas cargadas: Q1 = + 2 µC, Q2 = + 2 µC y Q3 de valor desconocido están situadas en el plano XY. Las coordenadas de los puntos donde se encuentran las cargas son Q1: (1,0), Q2: (-1,0) y Q3: (0,2). Si todas las coordenadas están expresadas en metros:
a) ¿Qué valor debe tener la carga Q3 para que una carga situada en el punto (0,1) no experimente ninguna fuerza neta?
b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultante en el punto (0,1) debido a las cargas Q1, Q2 y Q3?
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9·109 N m2 C-2
(Solución: a) 1,4 µC; b) 38.183,8 V)
26. Dos cargas eléctricas positivas e iguales de valor 3x10-6 C están situadas en los puntos A(0,2) y B(0,-2) del plano XY. Otras dos cargas iguales Q están
localizadas en los puntos C(4,2) y D(4,-2). Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es E x i
r r
3
10 4
= N/C, siendo i
r
el vector unitario en el sentido positivo del eje X, y que todas las coordenadas están expresadas en metros, determine:
a) El valor numérico y el signo de las cargas Q.
b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas debido a esta configuración de cargas.
Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9x109 N m2 C-2
(Sol.: a) – 5x10-6 C; b) 7.000 V)
27. Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posición (1,0), y otra de valor Q2 en (-1,0). Sabiendo que todas las distancias están expresadas en metros, determine:
a) Los valores de las dos cargas para que el campo eléctrico en el punto (0,1) sea el vector E = 2·105j N/C, siendo j el vector unitario en sentido positivo del eje Y.
b) La relación entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial eléctrico en el punto (2,0) sea cero.
Datos: Constante de la ley de Coulomb: k = 9·109 Nm2C-2
(Sol.: a) Q1 = Q2 = 3,1x10-5 C; b) Q1 /Q2 = -1/3)
Sabiendo que las cargas situadas en los puntos B y C son idénticas e iguales a 2
µC y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas (centro del triángulo) es nulo, determine:
a) El valor y el signo de la carga situada en el punto A. b) El potencial en el origen de coordenadas.
Constante de la ley de Coulomb K = 9x 109N m2/C2
(Sol.: a) 2 µC; b) 27.000 V)
29. Tres cargas puntuales de valores q1 = +3 nC, q2= -5 nC y q3 = +4 nC están situadas, respectivamente, en los puntos de coordenadas (0,3), (4,3) y (4,0) del plano XY. Si las coordenadas están expresadas en metros, determine:
a) La intensidad de campo eléctrico resultante en el origen de coordenadas. b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas.
c) La fuerza ejercida sobre una carga q = 1 nC que se sitúa en el origen de coordenadas.
d) La energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas q1, q2 y q3.
Dato: Constante de la ley de Coulomb k = 9×109 N m2 C-2
(Sol.: a) (-0´81,-1´9) N/C; b) 9 V; c) (-8´1x10-10, -1´9x10-9) N; d) -7´2x10-8 J)
30. a) Defina las superficies equipotenciales en un campo de fuerzas conservativo. b) ¿Cómo son las superficies equipotenciales del campo eléctrico creado por una
carga puntual?
c) ¿Qué relación existe entre las líneas de fuerza de un campo conservativo y las superficies equipotenciales?
d) Indique un ejemplo de campo de fuerzas no conservativo.
31. ¿Puede existir diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de una región en la cual la intensidad de campo eléctrico es nula? ¿Qué relación general existe entre el vector intensidad de campo eléctrico y el potencial eléctrico?
Razona las respuestas.
32. Si una carga eléctrica negativa se desplaza en un campo eléctrico uniforme a lo largo de una línea de fuerza bajo la acción de la fuerza del campo:
a) ¿Cómo varía la energía potencial de la carga al pasar ésta desde un punto A a un punto B del campo?
b) ¿Dónde será mayor el potencial eléctrico del campo, en A o en B? Razona las respuestas.
33. a) ¿Qué diferencia de potencial debe existir entre dos puntos de un campo eléctrico uniforme para que un electrón que se mueva entre ellos, partiendo del reposo, adquiera una velocidad de 106 m s –1? ¿Cuál será el valor del campo eléctrico si la distancia entre estos dos puntos es 5 cm?
b) ¿Qué energía cinética tiene el electrón después de recorrer 3 cm, desde el reposo?
Datos: Masa del electrón me = 9,11x10
–31
kg Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6x10 –19 C
34. Un electrón es lanzado con una velocidad de 2 x106 m/s paralelamente a las líneas de un campo eléctrico uniforme de 5000 V/m. Determine:
a) La distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a 0,5x106 m/s.
b) La variación de la energía potencial que ha experimentado el electrón en ese recorrido.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e= 1,6xl0-19 C
Masa del electrón m= 9,1 x 10-31 kg,
(Sol.: a) 2´1 mm; b) 1´7·10-18 J)
35. Entre dos placas planas y paralelas separadas 5 cm, se establece una diferencia de potencial de 1.500 V. Un protón se libera de la placa positiva en el mismo instante en que un electrón se libera de la placa negativa. Determinar:
a) ¿A qué distancia de la placa positiva se cruzan?
a) La velocidad y la energía cinética con que llegan cada uno de ellos a la respectiva placa opuesta.
Datos: Carga elemental e = 1,6 ·10 –19 C
Masa del electrón me = 9,109·10
–31
kg
Masa del protón mp = 1,672·10 –27 kg
(Sol.: a) 2´7·10-3 cm; b) 2´3·107 m/s, 5´4·105 m/s, 2´4·10-16 J)
36. a) Enuncie el teorema de Gauss y escriba su expresión matemática.
b) Utilice dicho teorema para deducir la expresión matemática del campo eléctrico en un punto del espacio debido a una carga puntual.
37. a) Enuncie y exprese matemáticamente el teorema de Gauss.
b) Deduzca la expresión del módulo del campo eléctrico creado por una lámina plana, infinita, uniformemente cargada con una densidad superficial de carga σ. 38. Una superficie esférica de radio R tiene una carga eléctrica Q distribuida
uniformemente en ella.
a) Deduzca la expresión del módulo del vector campo eléctrico en un punto situado en el exterior a dicha superficie haciendo uso del teorema de Gauss. b) ¿Cuál es la razón entre los módulos de los vectores campo eléctrico en dos
puntos situados a las distancias del centro de la esfera r1= 2 R Y r2= 3 R? (Sol.: b) E1/E2 = 2´25)
39. Considérese un conductor esférico de radio R = 10 cm, cargado con una carga q = 5 nC.
a) Calcúlese el campo electrostático creado en los puntos situados a una distancia del centro de la esfera de 5 y 15 cm.
b) ¿A qué potencial se encuentran los puntos situados a 10 cm del centro de la esfera?
c) ¿Y los situados a 15 cm del centro de la esfera?
d) ¿Qué trabajo es necesario realizar para traer una carga de 2 nC desde el infinito a una distancia de 10 cm del centro de la esfera?
Datos: Constante de Coulomb K = 1/(4πε0) = 9x109 N m2 C-2).
40. Una carga de + 10 nC se distribuye homogéneamente en la región que delimitan dos esferas concéntricas de radios r1 = 2 cm y r2 = 4 cm. Utilizando el teorema de Gauss, calcule:
a) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 6 cm del centro de las esferas.
b) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 1 cm del centro de las esferas.
Dato: Permitividad eléctrica del vacío ε0 = 8,85 x 10 -12
N-1 m-2 C2
(Sol.: a) 25.000 N/C; 0)
41. En el plano x=0 existe una distribución superficial infinita de carga cuya densidad superficial de carga es σ1 = +10- 6 C/m2.
a) Empleando el teorema de Gauss determine el campo eléctrico generado por esta distribución de carga en los puntos del espacio de coordenadas (1,0,0) y (-1,0,0).
Una segunda distribución superficial infinita de carga de densidad superficial σ2 se sitúa en el plano x = 3.
b) Empleando el teorema de Gauss determine el valor de σ2 para que el campo eléctrico resultante de ambas distribuciones superficiales de carga en el punto (-2,0,0) sea E = +104i N /C
Nota: Todas las coordenadas están expresadas en unidades del SI. Dato: Permitividad eléctrica del vacío ε0 = 8,85×10
-12
C2 N -1 m-2
(Sol.: a) 5´6 x104i y - 5´6 x104i N/C; b) -1´2 x10-6 C/m2)
Campo magnético
42. a) ¿Puede ser cero la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula cargada que se mueve en el seno de un campo magnético?
b) ¿Puede ser cero la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada que se mueve en el seno de un campo eléctrico?
43. Un protón que se mueve con una velocidad vrentra en una región en la que existe un campo magnético B
r
uniforme. Explique cómo es la trayectoria que sigue el protón:
a) Si la velocidad del protón vres paralela a B
r . b) Si la velocidad del protón vres perpendicular a B
r .
44. En el seno de un campo magnético uniforme se sitúan tres partículas cargadas. Una de las partículas está en reposo y las otras dos en movimiento, siendo sus vectores velocidad perpendicular y paralelo respectivamente a la dirección del campo magnético. Explica cuál es la acción del campo sobre cada una de las partículas y cómo será su movimiento en él.
45. Una partícula cargada se mueve en línea recta en una determinada región.
a) Si la carga de la partícula es positiva ¿Puede asegurarse que en esa región el campo magnético es nulo?
