DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E

IP

JGENIERL

A

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Coordinación de Ingeniería Electrónica

Reporte Final del Proyecto de Ingeniería Electrónica I1

Sistema de Programas para

Procesamiento Digital de Señales

Alumnos: Chacón Reynoso Victor Manuel

Lazcano

Hernández

Marciano Ernesto

Martinez

Torres

Luis Mpnuel.

AGRADECIMIENTOS

Como una forma de retrrbuír todo el apow. comprenvdn v carrño que he recibido por parte del Sr. Marcrano Lacano .v la Sra. Ernestrna Hernández. mu padres.les dedrco esta obra que ha srdo fruto dc

gran esfierro y que culmrna una travectorra de duro trabqro durante mr estancra cn la Unrversrdad Autónoma Metropolrtana. a fin de obtener el Título de ingenrero en Electronrca

Agradezco ademas a mis hermanos Clemente Ipnacro y Juan Miguel por sus muestras de apqvo 1'

ojalá que les srrva de estímulo para que algún diu tambrén logren alcanzar las meras que se han filado

A mi abuelrto Clemenre v mi tia M a de Jesús que llegaron a ser mu segundos padrer, porque estuvieron pendrenres de mi y apoyaban todas mrs decrsrones

A mi demás.famdra que me alentó srempre a seguir estor:andome

A mrs compañeros v amrgoy aue de una u ofrn forma colahororon conmrp en ! o h < v cada uno

de los provectos, practrcas. tareas. exposrcrones v demás /üDores que realizamos J i o iurgu de ! o rrrmerrec

en la U A M

A mrs padres

Portada

Agradecimientos

Indice

Panorama del Procesanzrenro Drgilal de Señales

Muestre0 y Conversidn Anaioprco a Digital -

Ambiguedad en Señales Digrtaies -

Procesadores Drgrtairs

Convoiución Digrtai

Transitorios en un Srsrenza L I T

Anáiisrs en el Uonmro de la Frecuencia

Serre de E'ourrer Mupnriudr. h a c ,

Respuesra en Frecuencru de Procesadores L17

La Transformada Z

Descripción de SeñuI,~s v Srstenlus medrantc Poi0.c 1' C e r o

Diseño de Filtros Drprrule I\:O Hecursrvos

Diseño de Filtro(. .'\.'o Recursrvos por el ,2lérodo de Transfornmda de Fourrev Desempeño en el Domrnro del Trenyo de un E'ritro drseiiudo por el Método d c

Tranformadu de Fcurrer

Venranas Recranguiur L' T r r a n ~ ~ I ~ ~ r

Venranas Von Hann 1' h'ammrng

Drseño de Filtros usando Venrana.\

Ventana Kaiser

Diseño de Filtros Digitales Recursrvos -

Filtros Derivados a partir de Dlserios Analóglcos

Filtros de Muestre0 en Frecuencia

La Transformada D m r e t a de Fourrer

La Transformada Raprda de Fourrer

Filtrado Digital p or Co nvoi u ch Rupida

Manual de Usuario del Slsrrnm para PDS

1.

Panorama d e l P r o c e s a m i e n t o Digital d e Señales.

Los extraordinarios avances de la mlcroeiectrónica y la computación han tenido u n gran impacto en el procesamiento digital de señales (PDS). Actualmente se utilizan poderosas tecntcas del PDS para analizar y procesar señales y datos en muchas areas de la ingenieria. la medicma. la economía y las ciencias en general.

El PDS tiene que ver con la manipulación numerica de las señales en forma muestreada. utilizando operaciones elementales como la suma. la resta. la multiplicacion y el retardo. Por ejemplo. si necesitamos identificar datos a partir de una señal que contiene ruido que se agregó durante la transmisión. o queremos conocer cuales son las frecuencias que están presentes en determinada señal. mediante el PDS podemos lograr tanto la identificacion de la señal como la depuracion de la informacion.

Denominamos seiial dlscrero en rrempo. a aquélla que solo está definida para u n conJunto de

instantes de tlempo en particular. en la Flgura I . l . se Ilustran dos señales discretas en tlempo. identificamos a x[n] como l a señal drscreta de entrada a u n procesador digital de señales mlentras que y [ n ] representa la señal de salida. Los valores sucesivos de entrada ... ,r[-l], 4 0 1 . .x[ I ] , x[2j .. se pueden ver como muestras igualmente espaciadas de una señal analóglca. y e l espacio de separacion entre cada muestra se conoce como m r e n d o de muesrreo T

Figura 1.1 Señales de entrada y salida de u n procesador digital de señales

En la Figura 1.2. se ilustra u n esquema tiplco de u n sistema de PDS. .4 menudo se dlce que vivimos en un mundo analogtco, y muchas señales pricrlcas inicialmente son de iorma analoglca. algunos ejemplos pueden ser las variaclones de voltaje. temperatura, presion. o lntensldad de luz. Si la señal no es desde su origen de naturaleza electrtca. prtmero tenemos que transformarla mediante un transductor a una señal con una amplitud de voltaje que sea proporclonal a las variaciones que la caractertzan. El transductor provee la señal analóglca de entraaa que requlere el sistema de PDS.

Frecuentemente. la prrmera etapa del slsterna de procesam~ento de señales es u n filtro analógico, diseñado para llmltar el Intervalo de frecuencra de la señal d e entrada antes d e muestrearla (las razones de este hecno SK explicaran mas adeiantc): la slgurenre etapa es la d c

Figura 1.1 Esquema típico de un sistema de procesamlento digital de señales.

Ouizá salte a la mente la siguiente pregunta. i Por qué tomamos la molestia de convertir l a señal a forma digital y después regresaria otra vez a su forma analogica ?. Estas son aiguna> Suenas razones:

-

Señales y datos de diversos tipos se almacenan en forma masiva en computadoras digitales y se transmiten en forma digital de un lugar a otro. Para poder almacenarios, es necesario transformarlos a una fornla digital.

-

El procesamiento digital es estable y bastante confiable. además de que ofrece ciertas posibilidades tecnicas que no están d~sponibles en los metodos analógicos.

- Los avances en materia de circuitos Integrados estan produciendo dispositivos para el PDS mucho mas poderosos y a menor costo.

-

En muchos casos. el PDS se utiliza para procesar mas de una señal en forma s~multánea, esto se logra medranre una tecnica conocida como Muirlplexadopor Divisldn en Tiempo.

Modelado de u n 3 funcion promediadora

Podemos modelar una función de promedlaclón utiilzando u n algoritmo como el que sigue:

k -O

.4 esta forma de expresar una funclon se conoce como ,formula de recurrencla, pues se utiliza una y otra vez para encontrar los valores de y[.] Cada vez que está disponible u n nuevo valor de

x.

estamos en uosibiiidad de encontrar u n nue\o Lalor de 1:. A ista también se le conoce como Ecuacrdrl de Drfi?rencws. En este caso la ecuaclon de diferencias pertenece a las No

Recursivay debido a que cada muestra de salida es calculada unlcamente a partir de sus valores de entrada.

La ecuac~ón define la operac~ón de u n iiiiro d q m i slmple. ei cual produce el promedio de la functon de entrada. Muchas apltcac~ones del i’rocesamler1:o DIgltal de Señales se asocian con el dlseño de filtros dipitales. los cuales pueaen ser adaprados para produclr una amplla variedad d e tunaones. Debemos notar que el aieoritmo promediador arrina menclonado no es del todo eficiente. el cálculo de cada valor de sallda es cas1 el m l s m o que el anterior, excepto solo porque ei

A continuacion se muestra que el siguiente valor promedlo de salida debe ser:

,v[n+!] =,4 { x [ n + l ] - x [ n ] + . ~ [ n - l ]

-

.,. 4 x [ n - ( m - l ) ] }

(1 2 )

Ahora bien. le podemos restar 1 a cada termino entre corchetes esta ecuación. resultando:

~ [ n ] = ~ [ n - 1 1 -.4 {.x[r!] - r [ n - n ; ; ;

(1.3)

Esta ecuación confirma el hecho de que podemos estlmar cada valor de salida mediante la actualización de el valor previo y[n-I]. La ecuacion (1.3) define una version recurswa del filtro que es mucho mas eficiente. requiriendo solo de unas cuantas sumas/restas. Observe que ambas expresiones paray[n] son equivalentes desde el punto de vista del Procesamiento de Señales.

Filtros Digitales

Como un ejemplo ilustrativo. el programa No.1. muestra el efecto de los filtros simples de aplicacion mas genera!. es decir: el PasaBaJas. el PasaBanda y el PasaAhas.

Los filtros son utiles en muchas aplicaciones del procesamiento de señales entre elias encontramos las comuntcaclones eiectróntcas. Muchos sistemas de comuntcactones como por

ejemplo. radlo. television. o canales de datos. envian informacton de u n lugar a otro dentro de una banda de frecuencias bien definida. Las señales pueden ser separadas de otras en el receptor en base a las diferentes frecuenclas que las componen. Ademas. la interferencta o el ruido que se Introduce durante la transmision a menudo ocupa un amplio tntervalo de frecuenclas. ei cual puede ser reducido con un filtro adecuado. En la figura 1.3. se ilustra la salida de u n filtro digital

pasabanda cuando la entrada es una onda senoidal de frecuencta creciente.

I I

n-r

2.

3luestreo y Conversión Analógico a Digital.

Supongamos que una sefial analógica sera representaaa por u n conjunto de muestras tgualmenre espaciadas. ¿Qué tan a menudo deben ser tomadas las muestras ? Una respuesta intuitiva es que entre mayor sea el numero de muestras que se tengan de la serial. tendremos una melor apromnaclon de elia Pero si muestreamos a una \.elocidad Innecesariamente rápida. c:ltonces :cndremiib t i n numei-9 ~ I I ! grande d e \ d l u r e b r n u c ~ m a u ~ . ~ . q u t ttenen que se: almacenados. procesados o transmitidos. Entonces. ¿,Se pueoe elegir una veiocldad Intermedia de muestreo que sea adecuada. s ~ n ser excesiva?

Asumtmos por el momento. que la señal analógtca representa una señal de voz que proviene de un micrófono. entonces sabemos que contlene frecuencias significativas de entre los 300 Hz 1 los 3.4 kHz. de esta forma. las iiucruaclones m i s rapidas en ia señal corresponden a las trecuencias mas altas. es claro que estas trecuenctas se perderlan si se muestrea a una velocidad menor. Esta deducclon es conilrrnaaa por el Teorema del Afuesrreo. que estabiece lo slgulente

Una serial analrigica que contiene componenres de alguna-frecuencia mririma f I Hz, puede

ser represenrada compleramenre por muestras regularmenre espaciadas. Ji la velocidad de muesfreo es de u1 men0.y 2 1 I muesrras por segundo.

Por lo tanto. para poder muestrear una señal de VOZ. que tlene una. irecuencta maxlma de 3 4 kHz. se deben tomar a1 menos 680b muestras por segundo h o t e que esto corresponde a &S muestra:,

porperiodo de la trecuencla mas aita presente.

Tomemos otro qiemplo. suponga que necesitamos muestrear una señal de television que tiene una frecuencia m a w n a de 5 MHz. El teorema del muestreo nos dlce que esta debe muewearse al menos IO millones de veces por segunao. o equlvarentemente. tomar 10 millones de muestras en un segundo

Por 0 x 3 lacio. S I tenemos u n slstema dieital con un ~ n r e m a l o de muestreo T. la maxima

Muestre0 de Señales Exponenciaies y Senoidales

Las señales exponenclales y senoidales son importantes en muchas ramas de la ineenleria y la ciencia aplicada. En e¡ contexto del Procesamlento D~gital de Señales (PDS). las exponenciales muestreadas son señales fundamentaies. usadas en un poderoso conjunto de ficnrcus en el rhmrnro de la frecuencia. que se utilizan para analizar y procesar señales y diseñar sistemas. Quienes havan trabajado previamente con sus contrapartes anaioglcas Icontlnuas e11 el tlempol notaran muchas similitudes.

Consideremos una funcion de la forma:

(1.3)

donde A 1'

p

son constantes. y e.cp denota la funclon exponenclal

Supongamos que

p

es real. Cuando ,/3 < O. tenemos una e.rponencai decrecrenlc. Cuando

PO.

todos los valores de las muestras son Iguaies. la señal esta formada por u n contunto de muestras de valor constante :l. Si /3 O. tenaremos una exponencrul creclenre. la cual aumenta sin limlte conrorme n se Incrementa. En los tres casos. e i valor de la muestra en !I = O es lguai a l a constante .4

Dichas exponenciales reales. en teoria. se extienden ai infinito en ambas dlrecclones. En i3 práctica. sln embargo. trabajamos con señales que tienen su vaior Inicial en algun Instante de referencia. normalmente en n=O. Una exponencial de este tipo puede escriblrse como

Alternativamente. podemos hacer uso de la función escalón unltario u [ n ] . la cual es cero para n< C . y vale uno para n t O. así:

Esta señal inicia efectlvamenle en n=!:

Otra propledad interesante de ¡as muestras exponenciales reales. es que ins \alore\ muestra

Esto se puede demostrar ai escribir

, ~ í n ~ = . ~ e x p ( ~ ~ 7 i = , ~ í B ” . ~ = e x p ( ~ )

Por lo tanto

(2.61

resultando:

Por lo que. una señai senoidal muestreada puede ser recuperada a partlr de un par de exponenclaies magmarlas

i Cuales son las diferencias entre senos y cosenos muestreados y sus contrapartes anaioplcas ’? Las señales seno y coseno son oscilatorlas yperiddrcus. Con esto queremos decir que. estas se repiten indefinidamente a lo largo del eje del tiempo. Por gemplo. La señal Asen(wt) es una forma de ondz. que se repite cada 2 x ( m segundos. Su vaior pico. o amplitud. es .4: y su frecuencla es (o radianes por segundo. u w 7 x Hz.

Las señales seno v coseno muestreadas. sin embargo. no necesariamen!e son perlodlcas SI bien. sus valores muesrreados slguen a una envolvenre periódica. los valores numericos pueden no formar una secuencia repetltrva. Podemos llustrar esto en la figura 7.1. en la parte ( a ) muestra una senoide discreta en tiempo. en la parte ( b ) una cosenoide. ambas son periodicas. Pero en ¡a pane (ci. aunque las muestras sleuen una envoivente senoldal. no tlenen vaiores numerlcos reDetttl\os De hecho. es dificil precisar a slmpie vlsla S I ¡a serial muesrreaaa es una senolde o n o

Esta últlma ecuación es \alida soio si Nhl es múltloio d e 2:: L n otras palabras. Jebe existir UT.

entero m tai q u e

12.161 De esta forma. x [ n ] sera periódica si CLCrr es u n numero racional ( l a razon entre dos nurneros enteros). De o:ro modo sus valores rnuestreauos no x r e p m i

I!na segunda dlferencla entre senaics seno!da!ei m a l o u I c a \

>

digltaies conclerne n ia pregunta sobre Ins escalas de tlernpo y irecuencla. L uandL) escrlolmos una sedal dlgitai como x(nj =

.dsen(rlRJ. asumlmos que n es una varlable entera aalmenslonai. Por lo tanto la constante 0 debe ser medida en radianes en vez de radlanes por segundo. Estrlcrarnente hablando no es una irecuencla. aunque generalmente la descrlbmos corno ta! S m embargo nuestra formuiaclón para

YIH! nos permrrlci definiria en rugar del numero ue niuc.srru.\ <'TI cuuk crcio, operioiio. d e ¡a senoid. De esta manera un periodo completo corresponde .I

Podemos escribir nuestra señal digital como:

Donde nT representa el [lempo en segundos. w debe ser una frecuencia angular en radianes por segundo. S i j es la correspondlente rrecuencla en Hertz. entonces u = 2 7 f , 5 la ecuaclon

anterlor puede escriblrse como

Podemos generar la serle de muestras .x[.] S I conocernos la frecuencia j de la senoide anal

&+ en cuestión. y la trecuencla de muestre0 .fs

Como se mencionci con anterioridad. las señales seno

>

coseno tienen amplia apllcaclon en la ingenleria. la clencia y el mundo de l a naturaleza: se tienen presentes en l a s tuentes de alimentación. los generadores de señal. oscllaclones en c!rcuIlos elecrronrcos que contlencn capacltancias e Inductanclas. \ rbraclones de dlapasones

>

estructuras mecanlcas.

>

dlversos tlpoc

de movimiento ondulatorlo lluchas de estas señales pueden ser almacenadas

>

procesadas en comDuradoras digtales. Mas no todas ias señales tienen la aparlencla de ser periódlcas. o d e forma senoidal. sino que también ha) señales d(terenres. pero que pueden expresarse como la suma a: u n numero de senos y cosenos ae amplitudes y frecuencias apropiadas

Para finalimr. introduclmos la constante

p

para bolver compleja nuestra ecuaclorl original Hemos visto que para \atores r e d e s de /I resultan señales que crecen L ) decrecen exponenclalmente. y para Lalores I ~ U P I ~ ~ U ~ I O S la sena1 resulta ser senoldal. Por Io tanto. para valores compigos se puede esperar que se produzcan señales oscllatorras con amplitudes crecientes

o decrecientes.

Conslderemos la señal.

El termino exp(j.(31) es rnultipiicaao por .de.~p@o !:I. nuekamente tenemos la dificultad de quc e.ypGlb71 ne es una iuncion real de v. debido a esro. necesitamos considerar un par de exponenciales !maemarias las cuales produc-n u n seno o un coseno reales

A s í .

que a menudo se observan en clrcums 1, fiirros. ya sean anaioycos o digitales. como senoidales que slguen una envolvente que decae esuonenclatmente Las oscilaciones que se incrernentan exponenclalmenre tienden a ocurrlr en sIsterr..'l ~7e.sruhic~\. Incluyenao procesadores diytaie::

3.

Ambigüedad en Señales Digitales

Una señal digital x [ n ] generaimente representa alguna funcion analógica fundamental, Sin embargo. si iniciamos con u n conjunto dado de vaiores muestreados. es claro que una gran variedad de señales anaioglcas podrian ser representadas con estos mlsmos vaiores. Consideremos. por ejemplo. la función escalon unltarlo U[.], si blen podernos pensar en esta como las muestras equivalentes de una función escalon analogica. en la figura 3.1 se muestra otra forma de onda eon los mlsmos vaiores de las muestras. Es claro que las señales dlgltales son. en un sentido importante. ambtguas.

Figura 3.1 Una funcion escalón unitario y alguna de las mucnas funclones analogicas que pueden colncidir con ¡os mismos puntos muestreados.

@iza parezca que el ejemplo antenor es aemaslado exagerado. y que una señal rnuestreada deberla tener esenclairnente ia mlsrn3 'torma' d e su contrapane anaióglca. 5 l n embargo. debemos recordar que muchas funciones muestreadas. ~nctuyendo el ruido. s~mplemente no tienen una forma de onda medeterminada. No podemos esperar que ¡os sistemas ?:o computadoras que manlpuian las muestras. necesariamente Interpreten nuestras intenciones er, forma correcra. la dificulrad empeora cuando nos damos cuenta que las ondas senoidaies muestreadas son tambien sensiblemente ambiguas. la figura 3.2 ilustra dos d e las muchas señales senoidales anal6pcas en las cuaies colnciden los mismos vaiores de las muestras.

Figura 3.2 Amblguedad cn señales seno~dales

Aclararemos esta sltuación al conslderar ia señal compieja exponencial.

La cual se puede escr:bir como

Por lo que una exponencial muestreada de irecuencla

R

es idenlicu a aquellas que tienen frecuencia

R

2 lx.

R

x .In. \. así sucesivamente. Este hecho es vilido tanto para exoonenciaies como para senos 1 cosenos. Contorme lncremenramos ia irecuencla de una senoide diemi a partir de cero. su velocidad de oscilaclcin u u m e t m cjna t e z pasando

R

= x comlenza a decrecer nuevamente. L n I? = 2x. la teiocidad dc oscliacion es otra vez cero. \. as1 Indefinidamente Lz

amblgurdad surge porque una señal digital puede representar alguna de un conjunto infinlto de trecuenclas fundamentales. separadas unas de otras por l a ; en la figura 3.3. que corresponde a la salida que presenta e¡ programa 3 0 . 3 con k = X. se Ilustra este importante aspecto. \ a que senera 1 traza una senolde digmi cu!a frecuencia f1 se Incrementa en dlez pasos

cuales

a traves de la pantalla. El usuarlo puede manlpuiar e l parametro

X-

y observar c j m o cambia la r o m a de ia señal.

\ a que e¡ programa traza una señal de l a forma:

donde m es un entero aue \'a de O a Y. y n es el numero total de muestras de la señal ! es Igual 3

320

X t n l

Ti=

'2 025?C![!nC75n 7 ! 2 J ~ ; ! i n ! 7 5 n Lr: 2 2 5 n

4. Pracesadores Digitales

Por procesudur entendemos a cualquier sistema que obtlene en su salida una función de PDS. Puede ser una computadora de propósito general programada para una tarea especifica. un microprocesador con hardware digital especializado o una combinacton de ambos.

Sistemas Lineales e Invariantes en Tiempo (LIT)

Este trabajo se refiere solamente a PDS lineales. El procesamiento no lineal es de gran importancia, pero sus desarrollos teóricos son mucho mas dificiles: ademas de que el procesamiento lineal posee tambien una gama inmensa de aplicaciones posibles.

Un sistema o procesador lineal se puede definir como aquel que obedece al Principio de Superposición. e¡ cuai establece lo slguiente:

Si

una entrada que consiste de la suma de varias señales se aplica a un sistema lineal. entonces la salida es la suma o superposición de ius respuestos que el sistema tiene soore cada señal considerada por separado.

Supongamos que una entrada .q[n] que se apilca a u n procesaaor digital. produce una salida v l [ n ] , y que una entrada x2[n] produce una salida y z [ n ] ; entonces se dice que rl procesador es lineal S I su respuesta a

X,[H!

-

.x2[nj es igual a la suma de ¡as res~uesras indlviduaies ~ ~ l n j

-

y 2 [ n ] : además la lineal~daa lmpiica que ia respuesta a una entrada m [ n j es u t l j t l j . aonde ' , , I " es u n

coeficiente constante o multiplicador (tambiin llamadojocror rfeponderuc~on).

En general. la suma ponderada de las entradas

debe producir l a correspondlente suma ponderada de las salidas

Una propiedad primordial de los ststemas lineaiss que tlene mucho que ver con el PrrnclnltJ de Superposición. se conoce como Preservaclon de la Frecuencia. esto significa que S I apilcamvs

una señal que contenga ciertas wecuenclas. en la entrada ae u n sistema lineal. ia 3ailda solo pued2

contener componentes de las misrnds trecuenclas ~nrroducidas.

:\

sera lrnposlhle Obtcncr aigun. frecuencia distinta.

Esta propiedad se basa en el hecho tie our S I aplicamos ¡as muestras de una senordal 3 cualquier procesador lineal. srempre se produce una r o m a srmiiar en la salloa. exactamente a l a

mlsma frecuencia que I;? señal de entrada. ir apilcamos una señal mas compiqla quc contenra distintas frecuencias. el Princ!plo de Superposrcron nos dice que l a sallda debera ser 12 suma de [ a b salidas debidas a cada trecuencla ae entrada tomadas por seoaraoo: por lo ranto. ¡a S ~ I I U J contenara

solamente aquellas frecuenclas uresentes en la entrada. De est3 torma es muy ficil mostrar cuandc u n slstema no cumple esta propledad. ( y a clue eslsten slsremas como el de le?; cuadritica en los cuaies se pueden generar trecuencias distintas a las lntroducldas ) .

L a propiedad de Invarianza en e l tiempo se refiere a los slstemas que no varían sub propiedades con el tlempo: es decir que el Único efecto de u n desplazamlento en el tlempo en la señal de entrada soiamenre producira u n efecto á e desplazanlento en e l tiempo de l a señal de sahda.

Podemos ilustrar ¡as propiedades antes descrlzs por medio de un ejempio senci!io Consideremos una cala regmradora. áel tipo q u e 5e emplea e n los supermercados para sumar !os precios de los anlculos: podemos pensar en ella como u n Sumador Disital que nene en su entrada el valor de cada artícuio y obtiene en su salida ei valor correspondlente al total.

Por supuesto. l a cala rerlstradora no es sensible

>

r:abaia cn r o m a no recursl\'a ~repltlendo el cálculo completo cada \ e z que se regstra u n nuevo a m c u l o ) . Esta oDeracion tamhien se puede llevar a cabo utilizando el sifurente algoritmo recurslvo.

- Almacenamiento

>

retarda.

- Adiclon y Sustracclon.

>

Aunque no estamos todavía en condiciones de explicar la manera de cómo trabaja este filtro. en la ecuación observamos que solo requlere de los tipos de operacion mostrados: por lo que podemos concluir con toda seguridad que el filtro es u n procesador LIT.

Ahora mostraremos como los slstemas digitales LIT se pueden representar por medio de un diagrama a bloques.

xjn-11 x[n-21 xIn-31 x[n-41

"..

Figura 4.1 Versión recursiva y no recurslva del slstema que representa el funclonamlento de la caJa registradora:

Como puede obsenarse en la parte ( a i de l a figura 4.1. las muestras d c enrrada w n

aimacenadas y retardadas suceslvamenre durante una cantidad de tlempo Igual I n r e r ~ a o clc muestre0 T. Esto nace posible generar los valores x [ n - i ] . x [ n - : j . x[t1-3]. . .. q u e s t r a n posterlormente Introducidos a la unidad sumadora. la cual obtendrá los valores correspondlentes

v[n]. La figura indica que las muestras de entrada estarán igualmente espaciadas en t e m p o . aunque será muy improbable que ocurra esto en el caso de la caja registradora. ya que los nrt~culos no llegarán de manera uniforme. De cualquier forma. la mavoría de los procesadores dleirales utlllzan un intervalo de tiempo regular para recibir !as muestras de entrada.

En l a parte (b) de la mlsma fieura se ilustra la verslon recurslva de l a ecuaclcln dt. 1 3 c a l j

registradora. La salida actual ~ [ n ] es rerroallmentada a través de una unldad de rerrasu T . e n otra\ palabras. la unidad T tendrá siempre dlsponible la salida previa

v[n-/].

a la cual le sera a e r e g d d a 13

entradax[rr] en la unidad sumadora

De la m i m a forma. en la rlrura 4.7 podemos representar mediante u n dlagrama a bloques al f i l m dlgltai KecnazaBanaa utilmao anrerlomenre: notemos que l a sallda.v[n] depende de tres niucstras de entrada. ponderadas y sumadas en ia parte no-recurslva del filtro: y de dos salidas prevlas. conromando ia pane recursiva. Como se dijo antes. i a exlstencia de una parte recursiva slempre estará reiaclonada con una retroalirnenracrón

Cuando una computadora de proposlto fenerai se usa para lmplementar un algoritmo PDS. esta se compona como un conjunto de bioques de construccion dipml (unidades de aimacenamlenro y retardo. multiplicadores y sumadores]; esto se iopra con e1 software. Por otro lado. en los sistemas en los cuales se utiliza hardware de proposito especlal: su arquitectura será mucho mas parecida a u n diaerama de bloques corno los q u e se han expuesto. De cuaiqurer f o m z debemos tener siempre presenre que las muestra5 estaran representadas en t o m a bmaria. y que cada bloque debera procesar códlpos de varios bits

Ya hemos menclonado que los sistemas 1.17 obedecen a l Prlnciplo de Superposition

>

llenen la propiedad de preservaclon en irecuencla. ademas poseen o m s Importantes propiedades. como la asoclalivrdad

>

la conmutarlvldad De una lorma senellla. e l aplicar esras propiedades en el desarroiio d e ecuactones de d1rerencial. i' s i m o l e n m r e aplicar ¡a asoclarlvldad )

conmutarlvldad de ¡a aalclon

>

mulripilcaclon arlTmet:cd,

-

Estabilidad. Un sistema estable es aquel que produce una señal finita o ' I limitada". como respuesta a una entrada también Imitada. esto significa que S I el slstema es alterado de su estado de reposo por medio de una señal que crece sin limlte. entonces la salida divergirá. Como sabemos. una señal digital con característica exponencial crece sln limne: tomando en cuenta esto. podemos decir que un sistema que produce una señal de este tipo como respuesta a una señal limitada (como una funcion impulsiva) debera ser considerado como inestable. En la practlca. la salida de un sistema inestable deberá tarde o temprano dejar de diverglr. debido a algunos "efectos limitantes" (de manera similar a la forma en que se controla el overflow numeric0 en una computadora). Veremos después que la inestabilidad de u n slstema esta estrechamente asociado con la idea de reuoalimentacion.

-

Invertibilidad. Si un prucesador digital con una entrada x [ n ] produce una salida y[n]. entonces su sistema inverso producirá . ~ [ n ] si es ailmentado con .v[n]. L a mayorla de los sistemas practicos son invertibles. aunque podemos encontrar excepciones como en el caso del dispositivo "elevador al cuadrado" que evldentemente no es Invertible.

-

Memoria. Un procesador posee memoria si sus salidas actuales dependen de uno o más valores previos de entrada xin-I]. x[n-2] ....

.

o si se almacenan y urillzan Internamente valores previos de salida v [ n - I ] , ~,[n-2] .... En otras palabras. el sistema debe contener elementos de airnacenamiento y retraso. Invariablemente. los slstemas PDS que son de lnteres son aquellos que poseen memoria.

Podemos concluir señalando que el principal Interés de este proyecto está centraao en el estudlo de aquellos slstemas LIT que sean causales. estables. mvertibles y que posean memorlz

Análisis en el Dominio del Tiempo

A continuación se desarrollan las técnicas básicas para describir las señales

>

procesadores digitales en el dominio del tlempo. la más Importante de ellas es in convoiuc~on. q u e nos p e n t c encontrar la señal de salida J , [ n ] de u n procesador LIT "convoluclonando" la señai dc entrada con una segunda señal llamada respuesrn ~ l l rmpuiso. que es la caracterlstrca del procesador

Conjuntar dichas técnicas es de gran utilidad en el diseño y andlists de diferentes t~pos de procesadores. aunque éstos metodos se enfocan comunmente en el anaiisls. puesro que la ma!orla de las especificaclones de diseño estan dadas en tunclon de la frecuencla.

Descripcion de Señales Digitales hledlante Funciones Impuisr

Una secuencia d e numero5 {-3.4.0.5,6} producidos o Introducidos rxlr L~T. slitenla LIT causal. puede ser descrlta por superposlclon como ~n suma de tunclones Impui5o ponaerauas D e r

Y

de una forma general tenemos que una secuencia de numeros x[k] puede representarse por l a suma de funclones impulso:

Donde k roma valores entre -m y -x: sm embargo S I estamos seguros de que x[n3=0 para

n< O. podemos limitar a k ai intervalo de O a x

Descripción d e Sistemas LIT

Nuestra siguiente tarea es examinar la naturaleza de l a respuesta que tiene un procesador LIT cuando le lntroduclmos una funcion impulso unltario. Teniendo en cuenta la caracterlstlca b;islca de esta tunción: es igual a uno en n=O. y cero en cualquier otra parte. si la aplicáramos a la entrada d e u n procesador digltal. la excltaclon se limitarla por tanto al Instante n=O. Cualquier señal de salida observada después de n=O debera ser entonces caractermca propia del procesador. ya que la señal de entrada ha cesado despues del Instante n=O. por esta razon la respuesta resultante ( l a respuesta impuislva) es comunmente llamada la rcspursla namral del sistema

La respuesta impulslva Juega un papel muy especial en el FDS llneal y usualmente se ldentltlca por el slmbolo h [ n j . Si la entrada a un procesador l m a i es o[n]. la salida sera h [ n ] . ! deuenalendo de su forma es posible conocer iac caracterlsucas dei procesador: sln emoargo. conoclendo l a respuesta en frecuencia de¡ procesador e5 mucho m a s facii conocer su operaclon: de

manera intultlva. es posibie pensar que exlste una estrecha relacion entre la respuesta impulslva de un procesador h [ n ] , y la manera en que responoe a dlterentes frecuencias

S I conocemos la ecuación de dtferenclas de u n procesador. es posible conocer la respuesta a1 impulso Introduciendo un 6 [ ~ ] en lugar de

x ! ~ ] .

un 6[r1-1j en lugar de x[n-r] y h [ n - ~ ] en lugar de v[n-il

As] por ejemplo. si tomamos la ecuacion de diierenclas de un filtro pasabanda:

tendremos.

Resulta obvio que es muy tedioso estlmar estos vaiores a mano o con una calculadora; y precisamente para resolver este problema. el programa No. 4 permite observar la respuesta impulsiva de cualquier sistema que tenga como miximo 20 términos recursivos y 101 términos no recursivos en su ecuación de diferencias.

En la figura 4.3 se muestra la salida del programa ai introducir los valores correspondientes al ejemplo atado anterlormenre. para hacerlo. se Introducen aos coeficientes rrcurslvos de valores 1.5 y -0.85. y sólo un coeficiente no-recursivo: 1 .O.

Figura 4.3 Salida generada por el programa N o . 4 en la que se muestra la respuesta impulslva de u n Sistema LTI.

Así como la función escalón unitario u[n] es la sumo despia-udu de Impulsos unitarlos 6[n]. la respuesta al escalón es la sumu despia-udu de S U S respuestas al impulso. Así. si denotamos la respuesra al escalón como s[n] tendremos:

de la misma forma: h [ n ] = s[tz]

-

s [ n - l ]

Estas relaciones son la base de la propiedad conmutativa de los sistemas LIT la cual nos dice que la cadena de procesamiento:

debe ser equivalente a-

6 [ n ] 3 Sistema LIT => h[n] 3 suma desplazada =r s[n]

Una respuesta al escalón proporciona esencialmente la mlsma información que la funcion impulsiva. pero de una forma un poco diferente. Las sehales escalón son importantes por vanas razones. una de ellas es porque pueden ser generadas en laboratorlo como señales de prueba o en la forma de pulsos rectangulares o secuencias de puisos. que pueden tener aplicaciones en el campo del control autornatico. Otro punto Imponante es que ei Droceso de convoiucion puede ser definido en términos de escalones y respuestas ai escaion. aunque la t o m a mas comun de definirlo es con impulsos y respuestas al impulso.

5. Convolución Digital

Considerese una señal de entrada con solo cuarro muestras arbitrarias distintas de cero. como se muestra en la figura 5.l(a), y un procesador digital con la respuesta al impulso h[n] iiustrada en la parte (b) de la figura. En la parte (c) de la figura, s[n) es descompuesta en L I I ~ serie

de mpuisos valuados desplazados en trempo. C a m uno d e estos genera su propla version de la respuesta lmpuiso de¡ slstema. Podemos obsewar como cada version es escalada por el valor de s[n] correspondtenre y desplazada para iniciar en el instante correcto. La señal de salida y[n] se encumIra por superposicicn de todas las respuestas Individuales. lo cual rnosrramos en la parte baja de ia figura. Es asi como se realiza ¡a convolución.

En la mayoria de los casos practicos hay muchas mas muestras en x[n]. y probablemente también mas en h[n], por io que tendremos que superponer muchas más respuestas inoividuaies para encontrar la señal de salida. En ei caso mas general. pooemos escribir.

*"-;i

La ÚItma ecuacldn es muy Importante, y es conocida como suma de convoluci6n'. Lo que se hace en esta es expresar una sefial de salida y["] como una serle equlvaiente de respuestas al impulso escalada5 y desplazadas en rrempo.

I

I

.-

x t O J d t ~ 1

i

l

.-

=IlMt.l

L Il.1

1

IC1 ~

i

!

1

I

3

1 ..

I

~ I

.-

Figura 5.1 P r o c e d ~ ~ n ~ e n r o grafico de convoiuclon

El siguiente valor de sallda >[31 es encontrado desplazando la respuesta ai trnpuiso invertida completa hacia ia derecna por un mrervalo de muestreo, seguida por ia multiDilcacion cruzaaa y Id suma. Lo que nos da:

El mismo proceso debe repetlrse para cada valor de la señal de salida. Debernos hacer notar que la figura 5.1 es solo una Inwpretaclon grafica de ¡a ecuaclon 5.2 para ei cabo partlcuiar de cuando n = l , esto es.

y [ 11 = .rjk]/z[ 1 - k ]

i

( 5 . 5 )

Figura 5.2 Interpretación grafica de la ecuaclón 5 . 2

Las dos funciones dlscretas de l a figura son. x[k] > h!I-LJ, siendo k u n a varlabie auxiliar que desaparece cuando reahzarnos el producto cruzado \ ia suma. Por supuesto. en este casu solo

necesltarnm considerar vaiores de k entre - I

>

2. debloo a que el producto es cero tuera de esos lirnltes.

6. Transitorios en un sistema LIT.

Como prácticamente no es posible almacenar y procesar señales de duración infimta. las señales con que s e t r a b a y a en P 5 S deberan ser aplicadas en un instante. y apu&u.s m otro instante posterior. Una vez que el slstema esta operando. se procede a introducir una sa'.:. -I esta

acción le llamamos encendido: cuando esta señal es aplicada inicialmente a un procesador oreital que contiene memoria. se genera u n transltorlo al iniclo, y cuando la señal deja de apiiclrse. se produce un transitorio de finalización.

Si se observa la forma de la señal de salida y [ n ] de¡ programa de convolución digital. se observara una pequeña defonnacion al inicia de la señal debida al transitorio d e encendido. la cuál se va haclendo cada vez más pequeña y despues de clerto tiempo desaparece.

Debemos tomar en cuenta estos transltorios por las razones siguientes:

- Una transición de encendido puede ocultar la porción inicial de una señal de salda. impidiéndonos ver la respuesta deseada.

-

Frecuentemente asumlrnos como verdadera la siguiente afirmación: la sefiol d e sufrdu de un procesador es rnicmmenre cero. pero esto sólo sera clerto si no h a y nlnguna transición de "apa_eado" anterlor que pueda venlr prolongindose tlempo atras

Los transitorlos de encendido y apagado en un filtro slmple (pasa-balas) son m u y fáclles de visualizar. sin embargo en o m s cams esro puede ser mu! cornpllcado. En e ¡ programa ho 5 utlllzamos un Filtro Kecnazahanoa para Ilustrar la Convoiuclón Dieltal: en este nrograma volveremos a usar pero con el objero de ilustrar ¡os transItorIos de encendldo

>

apagado que se generan en el Interior del filtro y que se manifiestan en su saiida. Corno sabemos. ¡a operaclon bisica de un filtro rechazabanda es la de rechazar una banda de frecuencias en la vecmdad de u n a frecuencia denominada de m k m o rechuzo. En la figura 6.1 ilustramos el resultado de la opc;ón ejemplo del programa No. 6 . en la cual se introduce una señal x[n]. preclsamente a la frecuencia de máximo rechazo del filtro: idealmente supondriamos que en la salida y[n] no deberla haber señal alguna puesto que la unica señal que Introdu-iimos estaba pstamente en esa frecuencia. sin embargo. en la salida se obsena una señal senoidal atenuada exponenclalmenre lusramente a 1 3 frecuencia de la señal introducida: l a eeneración de esta señal se expilca por la eenerarlon d e transitorios de encendido. es declr que le toma cierto tlernpo al sistema rechazar del todo a I;I senai

de entrada. De la misma forma. en el momento en que hacernos que l a señal de entraua \ C \ a \ a ,I

cero. esperaríamos que en la salida no existiera señal alguna. pero observamos que d r b l c k a I,I transición de apagado se genera numamente la mlsrna señal senoidal atenuada exponenclalmenr;

tina nota importante es que el programa 5 S P 0 6 corre mas rapiao oue el n r o g r n m n I l q f r 8 ; debido a que utiliza para su gecucion. la definmon recurstva de ¡a ecuaclon de dlterencl;:, E$tL en gran escala puede ocasionar dlrerenclas considerablemente pranaes en el tlempo d~ t ' ~ c c u s t ( ~ n c!:

algorltmos de PDS.

En e1 mlsrno programa es poslble v a r m e¡ \ator de la frecuencia introducida para observar l a t o m a de la respuesta. al introducir ei vaior de frecuencia correspondienre se deoers coaslderar en unidades de muestras por segundo

Figura 6.1 Transitorios de encendido

>

apagado de u n filtro RechazaBanda

e

Ecuaclones de Direrenclas

Haclendo la analogla con si procesamlenio anaioeico de señales. en el cual se uuede representar a un sistema medlanre una ecuacm dlterencd. en el procesamiento digital de señaies un sistema puede representarse por una ccuac1on d e diferencias {o formula de recurrencla!. mediante la cual podemos conocer la señal de s a i m . corno respuesta a una "señal de enuada conocida". Sln embargo. en algunas ocasione, necesitaremos Inforrnaclon adicional. es= ~niormacion esta dada por las condiclones auxiilarrs o ~ o n d ~ c ~ o n e s Iniclales. t n temlnos practicos. las condiciones Iniciales nos dan l a posiblidad c ~ e que C I sistema no venga necesarramenre de un estado de reposo.

-irmar termmo a termlno 10s suosecuentes valores a t s a l d a . Esro tiene el efecto de su,prrponer cuawuler translclon resldual con 12 respuesta a la nueva señal de entrada.

Otra alternativa es separar la resnuesta total en dos componentes: la soluclon hornogenea : a sjiuclon panlcular. Ln solution hornoFenea her3 la pane deblda a las condlclones InlcIaIes

distintas de cero y 3 las transtclones czusnaa5 n o r encender

>

apagar una señal de entrada: ademas nene mucho que ver con la reswesra brncuisi\a ur'i s!srerna. L a solucion particular reprebenra la resouesra a e estado esraclonarlo d e e l Llhterna a una sena1 de entrada continua.

( 6 . 3 j

(6.4)

Y a; evaluarla para obtener 10s \aii)rc, it X I ~ I I Danlr ue n=O obtendriarnos una secuencia senoidal con 10s \alores slgulentes

~ [ n ] = : 0 5. I 8. '2 , ) 5 - ' O . - 0 5. O 5 , 1.0. 0.5, -0.5. -1.0.

-!I 5. o : ' I :. " q . - 1 IJ. -5 5. 0.5. i . C )

( 6 . 5 )

!ntroducrendo e s a secuenc13 c? .I ecuaclon de diferenclas

>

asumiendo que las condiciones rniciales y [ - I ] yy[-2j son I g u a l e s a cero. K S declr que el sistema viene de un estado de reposo. podemos obtener l a respuesta total d e ! Fltrema. Si pudlerarnos observar la forma de esta saiida observarlarnos una secuencld U U K !lene i j [orma de una señal senoldal ligeramente dlsrorslonada en el inlclo debido prec~~~arnentr a la trmsIcIon de encendldo.

~ ' [ n ] = { 0.5. 1 5 . I ' 5 . O 5 . I .?-, - 2 12. -0.93. i.12.2.09. -1.02. -2.03.

-1.02. 101.: 82. I O ¡ . - ! O¡. -2.00. -1.00. 1.00 }

( 6 . 6 )

Después de transcurrldo cleno tlernpo se observa que la señal toma la forma de una señal senoidal pura. esta señal sera la resnuesta de estado estacionarlo ya que como sabemos. en un

slsterna lineal S I introduclmos una serial senoidal obtenaremos en la salida la mlsrna señal senoldal alterada solamente en amplitud y en tase. pero con ¡a rnlsrna frecuencia que la serial introducida.

De esta forma podernos asegurar que l a soiuclon particular sera la señal senoidal con los valores slguientes:

cE[n] = { - 1 . l.'. 1, - ; . - 2 . - i . !. 2 , I . - I . - ? . - l . i . 2 . 1 . - l . - ? . - ] . i

;

7 . Anáiisis en el Dominio de l a Frecuencia.

Series Giscretas de Fourlei I'rmsrormaaa Discreta de F o u r w

- Las señales senoldales y exponenciaies ocurren frecuenremenre en el mundo natural. y en

t'i mundo tecnoiogico. Y aun cuando una sena¡ no sea UK este tlpo. puede analmarse en term!nos de comnonentes espectraleb. L a rcsyuesr,l u t a n nrtlcesaaor LIT a caua una de estas componentes

es mu! slrnule pues solo atecra s u arnnlltuo \ tase L.3 respuesta total puede entonces enconirarse por superposlclon

- SI una sella1 se representa nor \;I e\pecIro d s t'recuenclas.

>

u n procesador LIT por su respuesta en rrccuencla. en:onceh e l esnectr;, oe I J serial d e milda se caicuia por muitlpllcaclon directa. Lo cuat cs generaimenre mas ~ K I I dt- realrzar.

>

de vlsuaiizar. que su equlvalente ionvoiuclon en el domlnlo de¡ rlempo

- El dlseno de algorlrmos

>

srstemns 13x3 P D 5 normairnente inlcla con especlficaclones en

e l domlnlo de la trecuenc~a. Por elemp!o. S csoecl1ics a Cue bandas de frecuencia se les \ a a permlrlr pasar y que bandas srran recnarau.l>

Algunas observaclorlei IrnDonantes Lon recpecto a las series de Fourler son:

~ Una sena1 puede ser SiemDre ,!ndllzaoa como. o slntetlzada en. u n conjunto de

-

Si l a señal es una funclon par cont~ene ,olamente cosenos y 51 es una funclon Impar. solo

- Una aproxlmaclon de ¡a sena1 nor un numero ilrnltado de componentes en frecuencla da una mejor aproxlmaclón en sentido dei \arar cuauratico medlo del error.

- Si la señal es estrrctamente perlodlca. sus componentes en trecuencla estan reiaclonados armonlcamente. Su espectro llene un numero a e ilneas especrrales dtscrews. y se denomma espectro de ilnea. el cuai se descrlbe marematicamenre por una serle de Fourler.

- La forma trigonomerrlca de !a serle de Fowler puede expresarse en una forma exponenclal. expresando cada seno y coseno como u n par de exponenciales imaglnarms.

-

Cuando una señal es no-reperlr\\a ~aperlodlca). esta puede espresarse como una suma Infinma linteeral) de senoldales. o esponenc~ales. que no esten armonlcamente relacionadas. El espectro correspondiente es contlnuo

>

se describe rnatematlcamente por la transformada de Fourler.

- .Al aplicar ¡a mnsformada de Fourler a una señal obtenemos su espectro. Un proceso complementarlo que nos permlre resenerar !a sena1 es la Transronnada Inversa de Fourler..

- A s ] como una señal pueue descrlblrse en el dornlnlo dc i2 frecuencla por su espectro. tamblen u n ststerna LIT puede ser descrlro por su remuesta e n frecuencta. Esto nos lndlca de que manera cada componente senoldai ( o exponrnclal I de una señal de entrada se modifica en amplitud ). tase cuando pasa por el sistema. ,Vedtante el producto de la respuesta en frecuencla y el espectro J e la señal de entrada ohtenemos el emectro de la señal de sallda.

componentes senoldales con anipiltud

>

trecucncla apropladas.

contlene senos.

Lna serial perrodisa dligai puede renresentarse Der una serle de Fourler

>

al igual que su Lontrapane ansltmca. nene un espectro de ilnea. Consluerernos una sena1 nerlodica dleital como ¡a mostrada en 83 ricura i . I . Los coeticientes de su espectro d e llne,t niuesmn la presencia de varlas ~ r e c u e n c ~ a s conrenldas en l a señal. Estas pueden encontrarse usando l a ecuacion:

- .

,,=,I

k =O

(7.2)

[en aipunos teyIos e l muitlpilcador ! 1: aparece en h ecuaclon de ~ i n t e s ~ s en lugar d e en la Ccuaclm de snallsis. Sin embarso. esta no es una dlferencld Importante. pues cs solo un ractor de escala.)

Podemos vbsemnr que la ecuacion de sintesis y Is ecuaclon de arialisis tienen una forma

m u r pnrecllia F.:o se dehe n aue e l Drncem d e transtcrmacldn dci dorn:nlo dcl tiempo al de la irecuencla es esencialmente c l mlsrno que el de la transionnaclon Inversa

Por elempio. S I escogemos una señal con 7 muestras por perlodo como i a de l a tigura 7 !.

se t m l r a que:

1 . 1

L I pr~)g1~.i:7a i , " , j;l a p m i i i i ; .i c a i d a los i o e i l c ~ r n r t s u,.. iindosele ius val,~res 0: xin]

como datos. Las partes rea¡ e Irnagnarla de los coeticlenres se calculan por separado y se colocan en arreslos dlierentes AK y A i I .

Para SLI reaimclon se escrlblo la exponencal cornpiep como coq2xknÍ7\ - Jsen(Znkn/?). Si se

elecuta este programa con ¡os daros de eJernpIo anterior. se obtienen los valores mostrados en la tabia 7 I para las diferentes componentes espectraies.

Ahora. SI usamos el programa oara caicuiar coeficientes adiclonaies. fuera del rango o,,-a,.

encontraremos que los coeficientes forman pane de una secuencia periódica y repetlti\.a incluso para valores negatrvos de k . entonces ¡as panes reales de al forman una funclon par de k . y \as Danes Imagmarlas forman una runclon Impar. Esto se debe a que el térmlno exponencia1 de la ecuac~on -.3 es. como ¡a mlsrna xin]. estrlctamente perlodlco. L a s panes reajes e lmaglnarlas de los

uI's para la señal escogida se Ilusrran en la figura 7.2.

Y. Serie de Fourier: hlagnltud y F a s e

Otra forma mu! usuai de presentar I J henc dc Fourler es eipresando caoa componenre de tal forma que nos proporclone ~nrormac~on acerca de la magnitud >' tase d e cada componentc espectral. De esta torma. S I e l coeticlente o, llene una pane real R ( u , } y una In1aglnar;a 1 ! o i ) . t S U

maenltud equlvate a.

E l programa DSPOX realiza < I anáilsls Jc Fourier uara una señal con 64 muestras por penodo. calculando los coeilclenres de i ourler ! representandolos mediante una grafica de mapn~tud ). fase. Consta de 2 panes. una en ¡a q u e se (1hserL.a u n gemplo. otra en ¡a que se perm~le Introducir rnanuairnente la señal a i ~ n a l ~ ~ l ~ r

>

uiilrno una en la que se ohsena e¡ espectro d e una tunclon ~mpulso unitario

En l a tigura 8.1 l a , se muestra una grarlca de l a serial

x[)?!

( e n func~ón del tiempo) Corno podernos notar. rriu~tarla mu> dlt\ctl ail\eITIr cada Lomponente en frecuencla. lo u n m quc

podemos aprec~ar es una señal compleja q u e se replte en periodos de 64 muestras.

Las figuras 8.1 ( b ) > ( c ) muestran el espectro en frecuencla (magnitad

>

fase respectlvamente) de la señal: en la primera es posible advertir las re!aciones de ampllrud entre las diferentes frecuencias I . l . 0.6. 0.5: y en la segunda lar características de fase de cada componente. las que tlenen - x 1 2 corresponden a senos

>

13s que tleneii 0 corresponden a cosenos.

n-

9. Respuesta en Erecuencta d c P r o c e s a d o r a LIT

.",,.O*

-

511.1 dr PROCESAOOR __c sri.1 d.

DIGITAL LIT I d .

Una forma alternativa para encontrar ia respuesta en rrecuencla de un procesador digital es mediante su ecuaclon de dtterenclas. Sabemos que ¡os procesadores LIT estan caracterizados por

\u ecuaclon :ie dlfererlclas en i a forma genera!

(9.5)

e,:e resultado es consecuencia de las propiedades de imealldad

>

desv~acion de fase de la Transformada de Fourier. Ahora bicn. c o m o k ' i R ~ = X ( < ~ ) H I R I . entonces:

Csando la ecuaclón 9.7 obtenemos:

Las funclones de ganancia y fase son:

1

{ ( 1 - 1 . 5 c o s R + O . 8 5 ~ o s 2 R ) ~ + ( l ~ s e n 6 ~ - 0 . 8 ~ s e n 2 R ) ~ ~ ~ ’ ~

1

H(C2)j

= (9.1 O)

Q!!(f2‘1 = arcran( 1.5senQ-0.85sen2Cl

,

I - 1.5cosR+0.85cos2R’

(9.1 I )

Las graficas desplegadas por la computadora se muestran en la figura 9.2, para 320 valores de R Igualmente espaclados en el rango de O a x. (se estan representando funclones continuas por serles de muestras en el dominio de l a frecuencla). L a forma de IH(R)r muestra que este filtro t m e una caracterlstlca de pasa-banda. con su frecuencia de máxlma ganancia aproximadamente en !2=0.2x. Como Q=x corresponde a una senoidal con dos muestras por período: entonces R=0.2;r corresponde a diez muestras por perlodo.

I

n

n- I

FIGURA 9.2

La característica de fase es más dificil de explicar y visualizar. Particularmente debido a que la funcion arco-tangente de la computadora siempre regresa u n valor de angulo entre +-x/2. Así. cuando la fase pasa por i x / 2 hay u n salto repentlno de x (lo que sucede dos veces en la figura). Ignorando este efecto. podemos ver que la desvlacion de fase Impuesta por el filtro cambia más rapldamente donde la ganancla también muestra una variacion raplda. Esto es generalmente clerto para procesadores LIT.

IO. Transíormada Z

Introduccih

L.a transtormada L clirece u n \alloso contunto ae tccnicas para el análisis en frecuencia de <enale\ >' procesadores digitales: larnbien tiene gran utilidad en e l dlseño. L a transiormada Z y la

Iransrormada d c Fourier estan esrrechamente relacionadas

>

deben ser consideradas como ::;mpicmen:arlas una de I:! c v m : C I P rrlharoo. ' 3 tl-rnct xmxd:< 7 t.\ ~:~?r,:-rn:tcnrr 3 :iazon y slslcmas

nuestreados. mlenrras que ¡as tecnicas digitales de Fourier esran desarrolladas a partir de ideas que

' L ' ortemaron en el dominio anaiogico

Podemos mencionar tres razones importantes para cubrir e l tema de transformada Z en un curso lntroductorio de Procesamlento Digital de Señaies:

- t.s uti!izada ampliamente en el d m ñ o de circuitos integrados dedicados. y aparece de manera Ine\ltahie el; la ilteratura de PDS

- Veremos mas adelante como 13 llamada descrlpclcin de ,polos v ceros de un procesador. es

Jd gran akuda en ¡a \lsuailzaclon de $us caracterisI:cas de establltdad respuesta en frecuencia.

L a transtormada 2 de una señal discreta x ( n ] está definida como:

(10.1)

( o m o l a sumatorla está tomada entrc n=O v n = ~ . X(:) no tiene nada que ver con la historia de

xitlj. S ; L I Y O a partir de n=0. se dice que la transiormada es um/uterui, en l a mayoria de los casos

podemos conslderar que una señal inicla en ( o despues de) n=O. que tomamos como nuestro Instante de referencia. Además. l a remuesta impulso h[n] de un procesador causal es cero para n<O. [le cuaiquler forma. para l a descr~pc~on de señales o procesadores LIT (Lineales e Invariantes en Tlempo) con la transformada Z. la version unllaterai es la adecuada.

La verslón alternativa brlalerai de l a transformada. con los limites de la sumatorla n = *a.

solo es necesaria en clertas ocasiones. Su prlnclpal desventaja es que son mas dificiles de encontrar sus condiclones be convergencla. En otras palabras. las condiciones matemáticas para que la rransformada exlsta. v ademas converla son m i s rigurosas. y deben ser consideradas con mayor cuidado. For esta razon. nos concentramos en la transtormada milateral.

L a transformada Z definida por la ecuacion 10.1 es bastante fácil de visualizar. X(z) es esencialmente una serle de pvrencrus en 2-1 , con coeficientes Iguales a los valores sucesivos de la

podemos regenerar l a senai inmediatamente. t s t a qu~zas no sea ia forma mas economlca de desarrollar la transtormads Inversa. pero en prlnclpto slernwe es poslble.

Si sustltulmos eap!,?;l? por z en ¡a ecuaclon 1 O . l . obtenemos:

10.2)

Se observa que salbo por un c a r n ~ l o en el lirnlte Inferlor de la sumatorla. ésta e s ldéntlca a la Traniormada Discreta de Fourler. [le esta manera. es claro que la Transtormada 2 y la

Transtormada Discreta de Fourler estan muy reiaclonadas entre si.

Una alternativa. y probablemente una t o m a mas simule de Densa? en z . es como un operador de despia-amrenro en rlempo Cna muItIDI!cacIon por 2 es eaulvaiente a u n uvance en :lempo por u n Intervalo de muestreo. Una dlvlslon por z es equlvalenre a u n rerardo por la misma cantidad.

Por qempio. un mpuiso unltano en n=O tlene por transtormada Z

I_n lmpuiso unlrarlo retardado Dor r7 mtervalos d e muestreo tlene por transtormada:

Notese como l a transtormada convierte un desplazamlenro en tlempo en una simple manlpulaclon algebralca en el dornmlo de la frecuencla.

La transformada Z nos da todas las ventajas de una aproxmaclón en el dominlo de la frecuencia para señales y análisis de slsrernas. Por io que al PDS concierne. una de las propiedades

mas importantes es la de la convoiucrdn.. la cual establece que una convoluclon en el dominio del tlernpo es equivalente a una multiplicaclon en ei dornlnlo de la frecuencia. Esta propledad e s comun en la Transformada de Fourrer I.' en la Transtornada Z. Podemos demostrarlo por medlo de un e!emplo sencdio. Tomamos una seña¡ x[n] arb~traria. de loneltud finita y la colocamos a l a entrada de un procesador LIT con respuesta lmpuislva h [ n ] . Suponemos que x [ n ] y h [ n ] tlenen los srgulenres vaiores muesrreados:

x [ n ] = I

-

.l 3 - I - 1 O

e

O ..

h [ n ] = 2 1 - I O O O O

o

...

- ) - 6 0 I

o

o

!iasra aqu!. ilernos recuperado una sefial nor medio de la expansión de su transformada como

u n 3 t er : ? d c pr-tencm. Debemos conslaerar mora ¡a cuestton sobre ¡a rranstomaclon Inversa con n:a\or culuado f-ormalmente. 19 rransrormaaa Inversa de una tunclon

,Y(:)

esta definida como:

( 1 0.7)

:lincloncs mas slrnpies las cuales h u ~ . ~ m o s que aparezczn en !a tabla. uiando el meIOd0 algebralco ue expansmn en trocclonrs parc:ule.s

La prlnclpai razon para mcnclonar 1 2 e ~ m s ~ o n cn tracclones parclaies

>

la expanslorl por iivlslbn iarga (para expresar .\i:i corno una serle ue potenctasl es ¡a de mostrar oue e m t e n vanas t o m a s de encontrar una transrormaua L Inters3 Sln emtnrgo. exlste o m . mucno mas convenlente. que propone un metodo el cual es panlcuiarmenre reievanie para nuestra propla aproxlmaclon al

PDS. Podemos derlvar x l n ] a partir a t .iCzl UIIIILando u n algoritmo recursivo.

>

S I c l algoritmo se \ u d v e engorroso o compllcado. podemos echar rnmc del rcczrso de 13 cornpuwdors p.ara que

realice el trabaio por nosotros.

llna buena rorma d: expilcar e l rnerodo e r asumiendo que l a transformada 2 representa a u n

islema ma LIT mas que a una Jenui dlgllal. por lo que denotaremos a esta como f i i z ) . L a correspondiente funclon en tlempo debera Corresponder a ¡a respuesta Irnpuisiva del sistema h[n].

Ahora. en senera¡:

í 10.8)

donde Y ( z )

>

.Y(:) representan l.3, rransromadas Z ile las señales de salida \. entrada respectl\amenre. Esras reiac~ones c n L : ~ ~ , m n ~ : > JC I2 trecuencla son equlvalentes a aquei!as para la

Transtomada de Fourlrr.

resultando:

Recordando que una multipllcaclon por z es equlvaiente a un avance en el tiempo por un Intervalo de muestreo. una mulmilcaclon por z - K S equrvalente a un avance en el tlempo por dos

ILa tcuaclon I 1 0 12) es e l eaulvalrnte en cl dominio d e l tlempo de la función ff(z). Para

snconrrar in tunclon corresnondiente en tiempo de h[nl. st:mlnlstramos u n impulso unltarto 6 [n]

,amo wnal de entrxia.

>

c:\aiuarnos h [ n ] termmo a termino.

LA ecuaclon ( 10 13) dificiimente!usrliica e l uso dr- una computadora. Tomemos entonces una

El programa No.iO estlma \ . [ n j cuando 1.1 entrada es u n rmpuiso unltarlo. cl resultado se nuestra en i;l figm !O I . Podernos o b s e n a r oue es una torma relarnamente rapida ) convenlente de enconrrar la rransIormada Z ~nversa. sln embarco notese que esta resuira en una secuencia

numerlca de valores muesmados mas q u e una eypresion analítica. io cual puede ser o no una desventala dependlendo de la apilcaclon.

I

il-

j

I . 1 ;

Figura 10.1 Transformada

Z

In\ersa e \ a i u a d a por comoutadora. (320 muestras)

Otra caracteristica de la transformada Z Q u e Dueue ser conslderada como una propledad. es el !<oremu del v d o r f i / d . El CUB¡ se establece como sigue.

si

sin] f-f

.Y(

z )

entonces

.Así. S I uín] es la sefial de entraaa para un slstema con funclcin d e transferencla ff(i=), la señal de salida nene por transrormaaa:

Lsando la espresidn ( 10.17). ci vaior final de ~ [ n ] es por lo tamo.

La respuesta de estado estable es encontrada a partlr de M i = ) sirnpiemente t i jando 2 = 1. Tomando c n cuenta que : es equlbaiente a expul,?). esto es lo mlsrno que encontrar la respuesta d e trecuencla cero ( C D i al fijar f 2 = O en una expresiiin de respuesta en Irecuencla.

L-n ejemplo senclilo es e ¡ slstema que se muestra a contlnuaclon L a ecuacion de diferencias

d e un riltro pasa bajas ae prlmer oraen es'

resultando la funclon de transterencu:

(10.19)

El baior tina1 de su respuesta para una funccon escaion como entrada es por tanto:

11. Descnpción de Señales y Sistemas mediante Polos y Ceros.

Plano

Z.

Polos y Ceros

Una transformada Z que se utiliza para describir una señal digital real o un sistema LIT es slempre una tzmcrrjn roclonai de la variable de frecuencia 2 . en otras palabras. esta

slempre se puede escrlbir como la razon enrre p o i ~ n o m ~ o s en I:

(11.1)

Esto se cumple siempre que

X(-)

represente una señal de entrada o salida. o la funclón de transterencla de un procesador. Por otro lado. se puede definir un factor de ganancla R que precede a la functon de transterencta el cual es determlnado completamente por las raices de AY:) y D ( z ) : en general. podernos expresar X(L-) de la forma:

Las constantes

I , .

z 2 , z 3 ... son llamadas los ceros de S(:), porque son los vaiores de L-

para los cuales a\¡:) es cero. De manera slrnllar p , . pz. p; ... son conocldos como los polos de

.Y(:).

yr! que para tales Lalores de z . ,S(:) rlende a Inilnlro. Lie esta torma encontramos que.

siempre que la correspondiente tuncton en tiempo es real. los poios y ceros son reales. y en algunos casos, pares complqo-conJugados.

Una representac~ón m u y t l t i l de una transformada Z se obtiene mediante el trazo de sus polos y ceros en un plano cornpielo. al plano que nos referimos se conoce como ei piano Z, mas adelante veremos que es ficil visualizar el espectro de una señal. o d e la respuesta en frecuencia de un sistema LIT. a panv de un diagrama. adernas de que nos proporciona una buena mdicaclón del grado de estabilidad del sistema. Podemos observar en la figura 1 1 . 1 dos dlagrarnas que corresponden a pares rransfomados especificos.

Por ejemplo. la transformada de una iuncion escalón unitario:

puede caracterizarse nor un cero en el orlgen del plano z. y un polo en el eje real en el punto 1 do). los ceros se caracrertzan dentro de¡ plano z como un pequeño c~rculo. y los polos se mdlcan con una cruz o un astermo ( Figura i l . 1 .(a)), y podemos observar en la figura I 1. I .b.

Firura 11.1 Polo5 ceros en e¡ plano:

Cuanao una transformada I represenm la iunclon de transierencia de un sistema. la p o s l c m dc los polos olrece :nformaclon mu? lrnoortante acerca de la estabilidad del Sstema. Supongamos que se tiene u n procesador s:gital ccin u n polo simple en -T = a . t n t o n c e ,

o

i 3 ecuac~on de diferencias del procesador es:

h

\ u resouesta a l ~ m p u i s o estd dada Dor

( 1 1.3)

( 1 1.41

( 1 1.5)