RELACIÓN DE EJERCICIOS DE 2ª EVALUACIÓN
TRIGONOMETRÍA
1.- Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Las rectas tangentes comunes forman un ángulo de 30º. Calcula la distancia entre sus centros.
2.- Resuelve: 2cos2xsenx0
3.- Si tang A = 3/4 y cos A< 0. Indica donde está el ángulo A. Calcula sen A , cos A y tang ( - A). (Sin calcular el ángulo).
4.- a) Pasa a radianes los siguientes ángulos: 135º , 60º (De forma exacta).
b) Pasa a grados los siguientes ángulos: 1 radian,
4
radianes.
c) Dibuja la gráfica de la función sen x.
5.- En un determinado momento un avión se encuentra situado con respecto a dos puntos como muestra la figura:
Halla las distancias del avión a los puntos A y B, así como la altura a la que se encuentra en dicho instante.
6.- De un paralelogramo conocemos uno de los lados que mide 25 cm y los ángulos que forma ese lado con las diagonales son 27º y 43º. Calcula los lados del paralelogramo.
7.- Simplifica:
2
cos
)
4
cos(
)
4
cos(
2
8- Resuelve la siguiente ecuación:
cos
x
sen
2
x
senx
0
9.- a) Si tang A = 3/4 y cos A< 0. Indica donde está el ángulo A. Calcula sen A , cos A y tang (- A). (Sin calcular el ángulo).
b) Sabiendo que sen 35º 0,57, calcula sen 935º. c) Sabiendo que tang 10º
0
,
176
, calcula tang(-550º).10.- Dos individuos A y B observan un globo que está situado en el plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son de 46° y 52°, respectivamente. Hallar la altura del globo y su distancia a cada observador.
11.- Se tiene en el suelo una recta AB de 500 m de longitud. Las visuales dirigidas desde A y B al extremo de un asta de una bandera forman con la recta ángulos de 112º y 63º respectivamente. ¿A qué distancia de A se encuentra el extremo del asta?.
12.- Resuelve: sen2x + 2 cos2x = 0
14.- Las diagonales de un paralelogramo miden 6 cm y 14 cm y forman un ángulo de 75º. Halla los lados y los ángulos del paralelogramo.
15.- a) Si sen350´55, calcula sen 935 b) Si tang805´65, calcula tang(-460)
c) Sabiendo que cosx = 0´75 y senx<0, calcula: senx, tangx,cos(
x), sen(
x). ( Sin calcular el ángulo)16.- Resuelve: cos2x3senx2
17- Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el avión a A y a B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal respectivamente. ¿A qué altura está el avión?.
18.- Una estatua de 2´5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un ángulo de 40º. Calcula la altura del pedestal.
19.- Resuelve la ecuación:
2
sen
2x
3
cos
x
3
20.- Los radios de dos circunferencias tangentes exteriores miden 10 y 4 m, respectivamente. Halla el ángulo que forman sus tangentes comunes.
21.- Una rampa de 40 m de longitud y 10º de inclinación conduce al pie de una estatua. Calcula la altura de ésta sabiendo que, en el inicio de la rampa, el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua es de 15º.
22.- De un paralelogramo conocemos uno de los lados que mide 25 cm y los ángulos que forma ese lado con las diagonales son 27º y 43º. Calcula los lados del paralelogramo y sus diagonales.
23.- Indica el valor exacto de las siguientes expresiones relacionando el ángulo con uno del primer cuadrante:
a) sen930º b) cos
225º
c)
6
16
tg
24.- Simplifica:
cos 1 2
1
2
2
tag sen
25.- (1´5 p) Si tg A = 2 y cos A< 0. Indica donde está el ángulo A. Calcula a) sen A y cos A (Sin calcular el ángulo). b) cos2A
c)
2
A
sen
d)
A
sen
2
e)
A
tg
4
26.- Demuestra la siguiente igualdad:
cos
2
2
cos
2
27.- Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo. Mediante dos cables de acero, en dos puntos que distan 60 m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el suelo es de 37º.
Calcula:
a) La medida del otro cable. b) La distancia del globo al suelo.
28.- Sabiendo que
2
3
x
y4
3
x
tg
. Sin determinar el ángulo,a) Calcula sen x y cos x.
b) Calcula
6 4
cos x
y tg x
c) Decide razonadamente en que cuadrante están los ángulos
6
4
y
x
x
.29.- Resuelve la siguiente ecuación: tg xsen2x0
30.- Demuestra la siguiente igualdad: tg x x x sen cos2 1
2
31.- a) Razones de ángulos que suman 360º o que son opuestos.
b) Si tg31º0'6, calcula las razones trigonométricas de los ángulos 31º y 329º.
32.- Prueba las igualdades: a) 1 ; cos
1 2
2
tg
. b)
tg sen
sen
1 ) ( ) (
) cos( ) cos(
.
33.- Calcula la apotema, área y lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 5 cm..
34.- Calcula el área de un triángulo cuyos datos son: a48m; b60m; Cˆ52º26'.
35.- Para localizar una emisora clandestina, dos receptores A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º. ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora?
36.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen2
tg
; b) 2cos2 xcosx10.37.- Demuestra a)
cos
1
cos
1
2
2
2
2
sen
sen
sen
sen
b)
taga b
a sen b a sen
b a b
a 1
) ( ) (
) cos( ) cos(
GEOMETRÍA
1.- Dadas las rectasr:5x y40 y
t
y
t
m
x
s
4
3
:
determina el valor de m para que a)Sean paralelas.
b) Sean perpendiculares
c) ¿Pueden ser coincidentes para algún valor de m?
2.- ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores forman una base?. Razona la respuesta.
,
2
;
2
,
5
,
5
,
2
2
3
,
6
,
3
;
4
,
2
),
4
,
2
(
v
u
v
u
v
u
3.- Sean los vectores
(
4
,
2
)
(
3
,
6
)
b
y
a
, halla dos vectores v
y
u
tales que uno tenga la mismadirección que
a
, el otro sea perpendicular a a
y la suma de ambos sea igual a b
.4.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razona la respuesta. a) La recta de ecuación y + 1 = 0 es paralela al eje de abscisas.
b) Dos rectas cuyos vectores directores son (2,0) y (0, - 5) forman un ángulo de 270º.
c) La recta de ecuación
1
2
1
x
y
es perpendicular a alguna de estas tres:0
2
:
,
3
2
1
:
,
0
3
2
:
2 31
x
y
r
y
x
r
y
x
r
5.- a) Obtén la ecuación general de la recta r que pasa por P(3, - 2) y es perpendicular a 2x – y + 4 = 0
b) Estudia la posición relativa de la recta r obtenida anteriormente con la recta
6.- Halla la ecuación de la recta que pasa por P(2,- 3) y forma un ángulo de 45 º con la recta r: 0
3 3xy .
7.- Encuentra un punto de la recta x – 2y – 6 = 0 que equidiste de los ejes de coordenadas.
8.- Dados dos puntos A(- 2,- 1) y B(4,0),
a) Determina un punto C tal que
BC
AC
2
. b) Halla la recta r que tiene pendiente 2 y pasa por C. c) Calcula D, punto de corte de r con el eje de ordenadas.d) Demuestra que el área del triángulo ACD es el doble que la del triángulo BCD.
9.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene como extremos los puntos de corte de la recta 3x4y120 con los ejes coordenados.
10.- Siendo
u
(5, -b) yv
(a, 2), halla a y b sabiendo queu
yv
son ortogonales y quev
= 13.11.- Calcula n de modo que la recta 3x + ny – 2 = 0, forme un ángulo de 60º con el eje de abscisas.
12.- De todas las rectas que pasan por A(1,2), halla la pendiente de aquella cuya distancia al origen es 1.
13.- Calcula el área del triángulo de vértices A (-3,2), B (1,3) y C (4,1).
14.- La recta 3x - ny = 7 pasa por el punto A(4,1) y es paralela a la recta mx + 2y – 5 = 0. Calcular m y n.
t y
t x
15.- Calcula la ecuación general de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x + 2y - 8 = 0 y 5x - 7y – 3 = 0 y es perpendicular a 7x - 5y – 66 = 0.
16.- Calcula la ecuación de la recta que pasa por (1,-4) y: a) No es paralela a 2x-3y+1=0.
b) Es paralela al eje de ordenadas.
c) Forma un ángulo de 30 con el eje de abscisas.
17.- Halla las coordenadas de cierto vector
x
sabiendo que forma un ángulo de 60º cona
2
,
4
y que los módulos de ambos son iguales.18.- La recta 2x3y60 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, un segmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB.
19.- a) Escribe la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(2,3) y B(5,6). b) Calcula la distancia entre A y B.
c) Halla la ecuación de una paralela a r, cuya distancia a r sea igual a la distancia entre A y B.
20.- Halla el punto simétrico de P(1,1) respecto a la recta x – 2y – 4 = 0. (Explica los pasos que das).
21.- Halla los valores de k para que las rectas r: kx + (k – 1)y + 4 = 0 y s: 2kx – (2k + 1)y – 3 = 0 a) Sean paralelas.
b) Sean perpendiculares.
22.- Halla el vértice C de un triángulo isósceles, sabiendo que está en la recta x + y + 3 = 0 y que los vértices del lado desigual son A(1, - 3) y B (2,1).
23.- Halla el valor de k para que los vectores
k
a
b
x
e
k
a
b
y
sean perpendiculares,siendo
1
,
3
,
2
,
5
b
a
.24.- Determina las coordenadas de un vector unitario a(x,y) sabiendo que forma un ángulo de 60º con el vector u(2,0).
25.- Sea
2
3
:
y
m
m
x
r
halla m para que:a) Sea paralela a
s
:
x
2
y
3
b) Forme un ángulo de 135º con OX. c) Sea una recta vertical.26.- Un triángulo isósceles tiene por base el segmento AB, siendo A(1, 2) y B(6, 3), y el tercer vértice está sobre la recta y 3x8. Hallar el tercer vértice, la altura del triángulo y el perímetro
27.- La recta 2xy40 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto (0,0). Halla las coordenadas del otro extremo. (Simétrico de (0, 0) respecto a la recta dada).
28.- Calcula la distancia del punto P(2,2) a la recta paralela al eje de abscisas que pasa por el punto Q(3.4). (Comienza calculando la ecuación de la recta)
29.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
r
1 yr
2 y forma un ángulo de 45º con la recta s: x5y60.0
3
:
;
0
9
3
:
21
