MATEMÁTICAS PARA EL A ÁLISIS ECO ÓMICO

(1)

Capítulo VI

OPTIMIZACIÓ DIÁMICA

VI.1 Introducción

El problema fundamental de la economía consiste en la asignación eficiente de recursos escasos entre distintos fines competitivos. La manera más sencilla de resolver este problema es a través de la programción matemática considerando que las variables económicas son invariantes en el horizonte temporal o que nos encontramos en un determinado instante del tiempo. Bajo estas simplificaciones, estaríamos frente a un problema de optimización estática que busca optimizar una función (función objetivo) a través de la elección de ciertas variables (variables de elección o de decisión) que pueden tomar valores dentro de un conjunto de oportunidades (conjunto factible). La solución buscada en tales problemas usualmente consta de una única magnitud óptima para cada variable de elección, lo cuál no exige un programa de acción secuencial óptima.

Cuando permitimos que las variables de elección varíen con el tiempo, sujetas a una determinada dinámica entre un instante inicial y un instante final, nos encontramos frente a un problema de Optimización Dinámica u Optimización Intertemporal. La optimización dinámica estudia la optimización de sistemas dinámicos, esto es, la optimización de sistemas que evolucionan con el tiempo. Dado un sistema que evoluciona en el tiempo, se busca conducir o controlar el sistema de manera óptima a lo largo de un horizonte de tiempo determinado, de acuerdo a un objetivo previamente establecido.

En contraste a los problemas de optimización estática, los problemas de optimización dinámica plantean la interrogante de cuál es la magnitud óptima de una variable de elección en cada periodo del tiempo dentro de un periodo de planificación (caso de tiempo discreto) o en cada instante del tiempo en un intervalo de tiempo dado, digamos

[

t0,t1

]

(caso de tiempo continuo). Es incluso

(2)

Por ejemplo, la economía de un país es un sistema que evoluciona a lo largo del tiempo, por lo que rerpresenta un sistema dinámico. En determinado instante, el

estado de dicha economía es recogido en un cuadro macroeconómico, donde figuran los valores de las siguientes variables (variables de estado1): consumo privado y consumo público, variación de existencias, demanda interna, importaciones y exportaciones, PBI, tasa de inflación, tasa de desempleo, etc. La autoridad económica decide realizar una serie de medidas de política fiscal y de política monetaria (variables de control2), que van a afectar el comportamiento de los agentes económicos y que conducirán a nuevos valores de las variables de estado, cuando éstas sean presentadas en el futuro. Los valores del cuadro macroeconómico al final del año dependerán de los valores del mismo a comienzos de año, de las medidas de política económica adoptadas durante el transcurso del año, y de la respuesta de los agentes económicos a dichas medidas. Las medidas de política económica dependerán de los objetivos que tenga el gobierno en el instante que se adoptan.

Para poder resolver el ejemplo anterior con las técnicas de la optimización dinámica, será necesario que el sistema dinámico en cuestión se pueda expresar matemáticamente a través de un sistema de ecuaciones diferenciales (tiempo continuo) o mediante ecuaciones en diferencias (horizonte temporal discreto), que contengan las variables de estado y las de control. Además, las condiciones iniciales del sistema, las restricciones de las variables, y la funcional3 objetivo del problema tienen que poderse representar matemáticamente.

Existen tres métodos diferentes para resolver problemas de optimización dinámica los cuales son equivalentes en muchos sentidos. El primer método es el del Cálculo de Variaciones (1696) que resuelve el problema con las Ecuaciones de Euler (1744). El segundo método es el del Control Óptimo o Teoría Moderna de Control que resuelve el problema por medio del Principio del Máximo de Pontryagin (1958). El tercer método se denomina Programación Dinámica que se basa en el Principio de Optimalidad de Bellman (1957). Las tres aproximaciones pueden formularse en tiempo discreto o en tiempo continuo. El cálculo de variaciones se ha aplicado fundamentalmente, tras su descubrimiento, en mecánica (campo de la física). El desarrollo sistemático del control óptimo se inició en los EEUU alrededor de 1930 en el campo de las ingenierías mecánica y eléctrica. Durante las décadas del cincuenta y del sesenta del siglo pasado, en el campo de la economía, aparecen algunas aportaciones aisladas sobre el control óptimo. En los años sesenta se utiliza de forma sistemática las técnicas del conrol óptimo en la teoría de crecimiento, y desde entonces se difunden trabajos sobre el tema, los cuales han sido el instrumento básico para describir el comportamiento de individuos y empresas cuando la actividad económica se desarrolla a lo largo del tiempo.

1

Una variable de estado es aquella que define la dinámica de un sistema. Es aquella que describe el estado de un sistema

2

Una variable de control es un instrumento que permite al agente que se enfrenta a un problema de optimización dinámica influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a la elección discrecional del agente planificador, y se caracteriza porque la elección de dicha variable afecta a la variable de estado. Es decir, una variable de control es aquella que puede ser controlada por el planificador u operador del sistema en todo instante del tiempo.

3

(3)

En la actualidad, los métodos de la teoría de control se utilizan en el análisis macroeconómico, tanto bajo la perspectiva de la macroeconomía clásica como de la nueva macroeconomía clásica. El término “Economía Dinámica” frecuentemente puede encontrarse en la literatura económica actual, en la cual la teoría de control juega un papel preponderante.

VI.2 El cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones es una técnica empleada para resolver problemas de optimización dinámica, la cual es predecesora de la teoría del control óptimo. El cálculo de variaciones es la aproximación clásica al problema de la optimización dinámica, data del siglo XVII, y desde entonces este tema se ha constituido como una parte importante de las matemáticas aplicadas. Los primeros en resolver problemas de optimización dinámica utilizando está técnica fueron Isaac Newton (1687) y los hermanos Bernoulli (1696)4.

En la economía, esta técnica se empleó por primera vez a finales de los años veinte y a comienzos de los treintas en los trabajos de Roos5, Evans6, Ramsey7 y Hotelling8. Su finalidad fue resolver problemas relativos a encontrar la trayectoria temporal óptima de una variable, con el propósito de optimizar alguna funcional relacionada con los beneficios o la utilidad.

1. Formulación del problema fundamental del cálculo de

variaciones: punto terminal fijo

En esta sección vamos a formular el problema básico del cálculo de variaciones. Este problema se caracteriza porque la funcional a optimizar (funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, x

( )

t, de una sola variable de control, x'

( )

t, de las condiciones iniciales y finales que están completamente especificadas (condiciones de borde), no hay restricciones (que podrían ser ecuaciones diferenciales o simplemente funciones del tiempo y de las variables de estado), y el horizonte temporal es continuo.

( )

{ }

[ ]

(

( ) ( )

)

( )

   

    

 

   = = =

_∫

Ω ∈

borde de s condicione x

t x

x t x :

a . s

dt t , t x , t x f x J opt I

1 1

0 0

objetivo funcional

t

intermedia función

' x

1

0

4 4 4

4 8

4 4 4

4 7

6

4 4 8 4 4 7 6

4

Para más detalle, ver Kline, M. (1962): “Mathematics: A Cultural Approach”, Mass.: Addison-Wesley.

5

Roos, C. (1925): “A Mathematical Theory of Competition”, American Journal of Mathematics, 46, pp. 163-175.

6

Evans, G. (1924): “The Dynamics of Monopoly”, American Mathematical Monthly, febrero, pp. 77-83.

7

Ramsey, F. (1928): “A Mathematical Theory of Savings”, Economic Journal, Oxford: Blackwell Publishers, diciembre, pp. 543-559.

8

(4)

Donde f

(

x

( ) ( )

t,x't,t

)

es una función de clase C2,

( )

, dt

t dx t

x' = y los parámetros

1 0 1 0,t,x yx

t son dados previamente. Siendo Ω el conjunto de todas las funciones “x” con derivadas primeras y segundas continuas en un intervalo cerrado

[ ]

t0,t1 con t0y t1∈ℜ∧ t0< t1, y que viene dado por:

[

]

[

]

{

x: t₀,t₁ ⊂ℜ→ℜ xesC2 en t₀,t₁

}

. =

Ω

Donde el conjunto factible (denominado conjunto de sendas admisibles) viene dado por:

( )

(

)

{

x∈Ω x t_i =x_i i=0,1

}

( )

II =

Ψ

Es decir, la tarea del cálculo de variaciones consiste en encontrar entre todas las trayectorias “x”, mostradas en la figura 1, que parten de x0 en el instante

t0 y llegan a x1 en el instante t1, aquella trayectoria x*, de clase C2 en

[ ]

t0,t1

tal que x*

( )

t_i =x_i

(

i=0,1

)

, que hace máxima (o mínima) la integral J

[ ]

x (funcional).

*

x

0

t t1

( )t0 x0 x =

( )

t1 x1

x =

t

( )t x

Figura 1

Para que el problema (I) se pueda resolver es necesario que la funcional sea integrable, es decir que la integral sea convergente. Además, las funciones que aparecen en dicho problema deberán ser continuas y continuamente diferenciables. Esto es necesario ya que la metodología sobre la cual se basa el cálculo de variaciones es muy semejante a la utilizada en el clásico cálculo diferencial. La diferencia fundamental radica en que en lugar de utilizar la diferencial “dx” que cambia el valor de y=f

( )

x, se empleará la “variación” de una trayectoria (curva) completa “x” que afectará al valor de la funcional

[ ]

x . J

(5)

Sin pérdida de generalidad, inicialmente supondremos que todos los problemas de cálculo de variaciones consisten en maximizar la funcional objetivo J

[ ]

x . Más adelante, cuando se expliquen las condiciones de segundo orden, se distinguirán entre problemas de maximización y de minimización. Por tanto, el problema que resolveremos será:

{ }

[ ]

(

( ) ( )

)

( )

1 1 0 0

t

' x

x t x

x t x : a . s

dt t , t x , t x f x J max

1

0

= = =

_∫

Ω ∈

) III (

2. Optimalidad local: punto terminal fijo

Condición necesaria de primer orden: Ecuación de Euler (1744)

A la condición que permite seleccionar, de un extenso conjunto factible de curvas (sendas o trayectorias) “x”, aquella que maximice o minimice la funcional objetivo J

[ ]

x

(

trayectoria óptima: *

x

)

se le denomina ecuación de Euler. Por tanto, si x*∈C2 resuelve el problema (III), es decir:

[ ]

x f

(

x

( ) ( )

t,x t,t

)

dt J

[ ]

x f x

( )

t,x

( )

t,t dt x

( )

t

( )

IV J

1

0 1

0

t

* ' * *

t

' _ _∀

  

  = ≤

=

_∫

Para cualquier senda admisible x∈C2, dicha función debe satisfacer la siguiente ecuación (Ecuación de Euler):

( ) ( )

(

)

( )

( ) ( )

(

)

( )

t t

[ ]

t ,t

( )

V x

t , t x , t x f

dt d

t x

t , t x , t x f

1 0 '

' '

∈ ∀     

  

∂ ∂ = ∂

∂

Si por simplicidad obviamos los paréntesis en “f”, en “x” y en “x'” tendremos:

( )

_{[ ]}

_{( )}

VI t , t t dt

f d f x f

dt d

x f

1 0 x

x '

' ∈ ∀ =

⇒       ∂

∂ = ∂ ∂

Teniendo en cuenta que:

'

x

f

x

'

x

t

(6)

La diferencial total de '

x

f es:

dt t f dx x f dx x f

df ' ' ' ' x'

' x x

x _∂ ⋅

∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ =

Por tanto:

( )

_{( )}

VII f

x f x f t f

dt dx

x f

dt dx

x f

t f

t x '' x x ' x x x '

' x x

x

' '

+ ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ = δ δ

Reemplazando (VII) en (VI) tenemos:

[ ]

t,t

( )

VIII t

f x f x f

f ₀ ₁

t x '' x x ' x x

x= ' ⋅ + ' '⋅ + ' ∀ ∈

La ecuación (VIII) es una ecuación diferencial de segundo orden. A las soluciones de esta ecuación se les denomina extremales9 y su forma genérica es la siguiente:

(

t,C,C

)

( )

IX x

x= 1 2

Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Para obtener soluciones que

verifiquen la condición necesaria de máximo local del problema (III), hay que resolver la ecuación de Euler (ecuación VIII) e imponer las condiciones inicial y final dadas.

Condición necesaria de segundo orden: condición de

Legendre

Una condición necesaria de segundo orden de optimalidad local es la de

Legendre. Esta condición establece que si en el extremal x*

( )

t de (III) se cumple que:

( )

t :mínimolocalde

( )

III , parat t t . x

0

III de local máximo : t x 0 t , t x , t x

f ₀ ₁

* * *

' * x

x' ' ≤ ≤

⇒ ≥

⇒ ≤    

 

3. Optimalidad global: punto terminal fijo

Condición suficiente de segundo orden:

Sea el problema de cálculo de variaciones (I). Donde f

(

x

( ) ( )

t,x't,t

)

es una función (función intermedia) dos veces diferenciable respecto a “x” y “x'”, entonces se verifica que:

9

(7)

a) Si f es cóncava respecto a “x” y “_x'_{”, entonces la ecuación de Euler es}

una condición suficiente de máximo global.

b) Si f es convexa respecto a “x” y “x'”, entonces la ecuación de Euler es una condición suficiente de mínimo global.

Si f

(

x

( ) ( )

t,x't,t

)

es una función de clase dos y es estrictamente cóncava

(convexa) en “x” y “x'”, entonces la ecuación de Euler es una condición suficiente de máximo (mínimo) global estricto (único).

Ejemplos:

Modelo de competencia dinámica

Un productor en un mercado competitivo desea encontrar el camino óptimo de producción x

( )

t , donde 0≤ t≤T, de manera tal que partiendo de un nivel de producción x0 en t=0, alcance un nivel objetivo xT en el instante T, de

modo que se maximicen los beneficios.

Debido al carácter dinámico del problema, dichos beneficios dependerán del tiempo, y los consideraremos como la diferencia entre los ingresos y los costos:

(

x,x',t

)

=px−C

(

x,x',t

)

π

El problema al que se enfrenta el productor será el de maximización temporal de beneficios que se reduce al siguiente problema de cálculo de variaciones10:

( )

{ }

[ ]

(

)

[

(

)

]

( )

T

0

T

0

' T

0 ' t

x

x T x

x 0 x : a . s

dt t , x , x C px dt t , x , x x J max

= =

− = π

=

_∫

Siendo

( )

x,x',t =px

( )

t −C

( )

x,x',t =px

( )

t −

[

C₁

( )

x +C₂

( )

x',t

]

. π

Se han considerado dos tipos de costos, por un lado se han incluido los costos de producción:

( )

x ax bx c

(

a,byc 0

)

C₁ = 2+ + >

10

(8)

Por otra parte, se seleccionan otros costos C₂

( )

x',t asociados a los incrementos de la producción x', tales como construcción de capacidad extra en previsión a los crecimientos de la producción, alquiler de mano de obra extra y su formación, reclutamiento de directivos o inflación. Supondremos que el agregado de este tipo de costo se puede representar como:

( ) ( )

x,t Ax Bx Ct

(

A,B yC 0

)

C₂ ' = '2+ '+ >

La función de beneficios será:

( )

x,x',t px

[

ax2 bx c

]

A

( )

x'2 Bx' Ct .   

 ₊ ₊

− + + − = π

Por tanto el problema a resolver será:

( )

{ }

[ ]

(

) ( )

( )

_T0

T

0

' 2 ' 2

t x

x T x

x 0 x : a . s

dt Ct Bx x A c bx ax px x J max

= =

   

 

   



 ₊ ₊

− + + − =

∫

La ecuación de Euler será:

( )

1 x dt

d

x '

    ∂

π ∂ = ∂

π ∂

Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de Euler:

( )

2 b ax 2 p x

− − = ∂

π ∂

( )

3 B Ax 2 x

' ' =− −

∂ π ∂

[

2Ax B

]

2Ax

( )

4 dt

d

x dt

d _' _''

'_= − + =−

    ∂

π ∂

Reemplazando (2) y (4) en (1) se tiene:

(

p b

)

0 ax

2 Ax 2 Ax 2 b ax 2

p− − =− ''⇒ ''− + − =

( )

5 A 2

p b x A

a

x'' _

(9)

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:

( )

       

− = = ⇒ = − =

A a r

A a r 0 A

a r r P

2 1 2

La solución complementaria es:

( )

t Ae A e

( )

6

x_c = ₁ aAt+ ₂ − aAt

Mediante el método de los coeficientes indeterminados podemos verificar

que la solución particular será una constante, digamos:

( )

t k x

( )

t x

( )

t 0,

xp = ⇒ 'p = ''p = por lo que reemplazando estos valores en

(5) tenemos que:

a 2

p b k A 2

p b k A a

0 ⇒ = −

     − = −

Por tanto, la solución particular será:

( )

7

a 2

b p a 4

b p t

x_p = − + − = −

Por tanto, la trayectoria óptima es:

( )

8

a 2

b p e

A e

A t

x* = ₁ aAt+ ₂ − aAt+ −

Donde A1 y A2 se determinan utilizando condiciones de borde, esto es:

( )

₁ ₂ ₀

* _x

a 2

b p A A 0

x = + + − =

( )

9 a 2

b p x A

A₁+ ₂ = ₀− −

( )

1 aAT 2 aAT T

* _x

a 2

b p e

A e

A T

x = + − + − =

( )

10 a 2

b p x e

A e

(10)

Resolviendo (9) y (10) tenemos:       −         − − −         − − = T A a 2 T A a T 0 1 e 1 e a 2 b p x a 2 b p x A       −                 − − −         − − = T A a 2 T A a 0 T T A a 2 e 1 e a 2 b p x a 2 b p x e A

Finalmente, tenemos que:

( )

a 2 b p e e 1 e a 2 b p x a 2 b p x e e e 1 e a 2 b p x a 2 b p x t x t A a T A a 2 T A a 0 T T A a t A a T A a 2 T A a T 0 * − +                     ₋                 − − −         − − + +                     −         − − −         − − = −

Ahora comprobaremos las condiciones de segundo orden deoptimalidad local (Legendre) y de optimalidad global. Para ello vamos a calcular la matriz hessiana de la función intermedia:

( ) ( )

(

) ( )

      ₊ ₊ − + + − = π

≡ x,x,t px ax bx c Ax Bx Ct

t , x , x

f ' ' 2 '2 '

Cuya matriz hessiana evaluada en cualquier

( )

x,x',t es:

      − − =         π π π π = π A 2 0 0 a 2 H ' ' ' ' x x x x xx xx

Esta matriz es definida negativa ya que tiene dos autovalores negativos

(

λ1=−2a yλ2 =−2A

)

. Por tanto, π

( )

x,x',t es estrictamente cóncava (por tanto

(11)

Además, se verifica la condición necesaria de segundo orden de óptimo local dado que:

( )

(

x* t,x'* t,t

)

2A 0 t

[ ]

0,T .

x

x' ' =− < ∀ ∈

π

Por tanto, x*

( )

t es también un óptimo local.

Extracción

óptima

de

recursos

naturales:

versión

simplificada del modelo de Hotelling

Una empresa es propietaria de una cantidad “Q” de un recurso agotable (petróleo, cobre, oro, gas, etc). La función de beneficios de la empresa es logarítmica de manera tal que por extraer “q” unidades del recurso agotable obtiene beneficios:

( )

q =lnq

( )

11 π

El objetivo de la empresa es determinar el patrón de extracción de los recursos de manera que se maximice el valor presente de los beneficios. Se asume que la tasa de descuento11 es constante e igual a “ρ” y que el recurso se agota en su totalidad en el periodo “T”.

Para resolver este problema, primero vamos a definir la variable a optimizar. Para ello debemos distinguir entre variables de stock y variables de flujo. La dotación de recursos “Q” constituye el stock total, y la cantidad “q” extraída del recurso agotable en cada instante constituye un flujo. Una forma simple de relacionar estas variables sería definiendo a las ventas acumuladas del recurso natural como “x”. Las ventas acumuladas “x” constituyen una variable de stock con un valor inicial igual a cero (en el periodo inicial no se ha realizado ninguna venta previamente: x

( )

0 =0) y un valor terminal igual a “Q” (todo el stock del recurso ha sido vendido previamente en el último periodo). Por tanto, podemos relacionar la variable de flujo “q” con la variable de stock “x” integrando la siguiente ecuación, la cual nos dice que la cantidad extraída del recurso “q” en cada instante equivale a la variación en el tiempo de las ventas acumuladas:

( )

q

( )

t

( )

12 dt

t dx t

x' = =

Por lo que, integrando (12) tenemos:

( )

t x

( )

tdt q

( )

tdt

(

0 t T

)

x

t

0 t

0

' ₌ _≤ _≤

=

∫

11

(12)

Donde:

( )

tdt q

( )

tdt 0 x

) 0 ( x

0

0 0

0

' ₌ ₌

=

∫

( )

tdt q

( )

tdt Q x

) T ( x

T

0 T

0

' ₌ ₌

=

∫

De esta forma, reemplazando (11) en (12) obtenemos la función de beneficios de la empresa para cualquier instante del tiempo:

( )

q =lnq=lnx'

( )

13 π

Por tanto, el valor presente de los beneficios vendrá dado por:

( )

(

qt

)

dt e lnx

( )

tdt

( )

14 e

T

0

' t T

0 t

∫

−ρ_π ₌ −ρ

En consecuencia, el problema que debe resolver la empresa será:

( )

{ }

[ ]

( )

T Q x

0 0 x : a . s

dt t x ln e x J max

T

0

' t t

x

= = =

∫

−ρ

( )

15 x

dt d

x '

    ∂

π ∂ = ∂

π ∂

Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de Euler:

( )

16 0 x

= ∂

π ∂

( )

17 x

e

x '

t

'

ρ −

= ∂

π ∂

(13)

cte k x e dt

x e d 0

' t '

t

= = ⇒        

=

ρ − ρ

−

( )

18 e

k 1 x' = −ρt

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden uno con coeficientes constantes. Integrando a ambos lados de la ecuación (18) tenemos:

∫

₌ −ρ ₌ −ρ ₌ −ρ

dt e A dt e k 1 dt e k 1 dt

x' t t ₁ t

Por tanto, la solución general es:

( )

t A e A A A e

( )

19 x 1 −ρt + ₂ = ₂+ ₃ −ρt

ρ − =

Utilizando las condiciones de borde tenemos:

( )

0 A A 0

( )

20 x = 2+ 3=

( )

T A A e Q

( )

21 x = ₂+ ₃ −ρT =

Resolviendo (20) y (21) tenemos:

(

)

(

e 1

)

( )

22

Q A

y 1 e

Q A

T 3 T

2

− = −

− =

ρ − ρ

−

Sustituyendo (22) en (19) obtenemos la senda óptima de las ventas acumuladas:

( )

(

)

(

)

( )

23 e

1 Q e

1 e

Q t

x

T t

T *

ρ − ρ

− ρ

− ₋ + ₋

=

Si derivamos (23) respecto de “t” obtendremos la trayectoria óptima de la extracción del recurso:

( )

(

)

e

( )

24 e

1 Q t

x t

q t

T *

'

* −ρ

ρ −

(14)

Para T≥1 y ρ>0,

(

₁ _e T

)

Q

ρ −

− ρ

tomará un valor positivo (ya que

1 e

0< −ρT < ) y, por tanto, la trayectoria del patrón de extracción de recursos disminuirá exponencialmente a lo largo del tiempo a la tasa “ρ” tal como se aprecia en la figura 2.

t

T

( )

t

q

*

(

t

)

e

1 Q

ρ −

−

ρ

Figura 2

Ahora comprobaremos las condiciones de segundo orden deoptimalidad local (Legendre) y de optimalidad global. Para ello vamos a calcular la matriz Hessiana de la función intermedia:

(

x,x ,t

)

e lnx

( )

t

f ' ≡ −ρt '

Cuya matriz hessiana evaluada en cualquier

(

x

( ) ( )

t,x' t,t

)

es:

( ) ( )

(

)

( )

 

 

  

 

−

= −ρ

2 '

t '

x e 0

0 0 t , t x , t x Hf

Esta matriz es semidefinida negativa ya que todos sus menores principales son menores o iguales a cero:

Tiene dos menores principales de orden uno:

Eliminando la primera fila y la primera columna tenemos:

( )

0 x e

x e

2 '

t

2 '

t

< − = −

ρ − ρ

(15)

Eliminando la segunda fila y la segunda columna tenemos:

0 0=

Tiene un menor principal de orden dos:

( )

x 0 e 0

0 0

2 '

t

= −

ρ −

Por tanto, f

(

x,x',t

)

es cóncava respecto a “x” y “x'”, entonces la ecuación de Euler es una condición necesaria y suficiente de máximo global. Es decir,

*

x maximiza globalmente la funcional objetivo.

Además, se verifica la condición necesaria de segundo orden de óptimo local dado que:

( )

(

)

( )

(

( )

Q

)

0 t

[ ]

0,T . e

1 e

x e t , t x , t x f

2 2 T t

2 '*

t '*

* x

x' ' < ∀ ∈

ρ − − = −

=

ρ − ρ ρ

−

Por tanto, x*

( )

t es también un óptimo local.

4. Condición de transversalidad

Hasta este punto, el problema (III) se ha resuelto utilizando la ecuación de Euler, y las condiciones de borde (condiciones que debían satisfacer las trayectorias admisibles). No obstante, si no se conoce el valor inicial y/o el valor terminal de la trayectoria óptima se perderá una condición de borde. Por tanto, es indispensable contar con una condición adicional denominada

condición de transversalidad para poder resolver dicho problema. En consecuencia, el nuevo problema que tendremos que resolver será:

{ }

[ ]

(

( ) ( )

)

( )

   

   

 

= = =

∫

Ω ∈

libres : x ó t 1 1

dado : x 0 0

t

' x

1 1

0 1

0

x t x

x t x : a . s

dt t , t x , t x f x J max

) X (

(16)

4.1 Condición de transversalidad

La función x*∈C2 resuelve el problema (X) si satisface la ecuación de Euler y la condición de transversalidad:

( ) ( )

(

)

( )

(

( ) ( )

)

( )

(

( ) ( )

)

( )

t t 0

x t , t x , t x f dt

t dx t , t x , t x f t x t

x t , t x , t x f

1 t t '

' '

1 t t '

'

1 1

= ∆ ⋅     

  

∂ ∂ − +

∆ ⋅     

  

∂ ∂

= =

O de forma compacta:

[ ]

f x

( )

t

[

f xf

]

t₁ 0

( )

XI

t t x ' 1

t t x

1 ' 1

' ⋅∆ + − ⋅∆ =

= =

Donde ∆x

( )

t1 y ∆t1 son pequeñas variaciones de la condición final

“x

( )

t1 ” y del instante final “t1”.

4.2 Casos especiales de la condición de transversalidad

La ecuación (XI), a diferencia de la ecuación de Euler, es relevante sólo en el instante final “t1”. Su papel es tomar el lugar de la condición

terminal perdida en el presente problema. Dependiendo de la especificación exacta de la línea o curva terminal, sin embargo, la ecuación general (XI) puede ser escrita en varias formas especializadas. A continuación, se presentan cuatro casos posibles de la condición de transversalidad: línea terminal vertical u horizonte temporal fijo, línea terminal horizontal o valor final fijo, curva terminal, y línea terminal vertical truncada o estado terminal acotado inferiormente.

Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo):

x

(((( )))) ((((

t1 libre

))))

En este caso se cumple que ∆t1=0, por lo que reemplazando en (XI) tenemos:

[ ]

f x

( )

t₁ 0

( )

XII

t t x

1

' ⋅∆ =

=

Pero, dado que ∆x

( )

t1 puede tomar cualquier valor, la única forma de

que (XII) se verifique es que se cumpla la siguiente condición:

[ ]

f 0

( )

XIII 1

'

t t x = =

Este caso se puede apreciar en la figura 3. Como en este caso sólo el horizonte temporal T=

[ ]

t0,t1 se encuentra fijo, mientras que existe un

(17)

( )

t x

t

1

t

( )

t0 x0

x =

0

t

Figura 3

Línea terminal horizontal (valor final fijo):

t1

((((

libre

))))

Cuando el valor final de la trayectoria óptima x

( )

t1 se encuentra fijo,

( )

t 0

x 1 =

∆ por lo que (XI) se reduce a:

[

f xf

]

t₁ 0

(

XIV

)

t

t x '

1

' ⋅∆ =

−

=

Pero, de modo que se verifique (XIV) independientemente del valor que adopte ∆t1 se tiene que satisfacer la siguiente condición:

[

f xf

]

0

( )

XV 1

'

t t x

' ₌

−

=

En la figura 4 se aprecia el problema a resolver. En este caso, debemos determinar la trayectoria temporal óptima y el valor final “t1*” óptimo,

ya que para un valor final x

( )

t1 dado existen varios “t1” factibles. La

condición (XV) permite determinar el “t*1” óptimo.

( )

t x

t

( )

t1 x1

x =

( )

t0 x0

x =

0

t

(18)

Curva terminal:

t₁

((((

libre

))))

En esta situación, supondremos que el instante final “t1” es libre, y que

“t1” y el estado final “x

( )

t1 ” y están ligados mediante una función “φ”

de clase uno, donde:

( )

t

( ) (

t XVI

)

x : t t

para = 1 1 =φ 1

Con una curva cuya ecuación es (XVI), no se puede asignar valores nulos a ∆x

( )

t1 y ∆t1, por lo que no podemos eliminar ningún término de

(XI). No obstante, para un pequeño cambio arbitrario ∆t1, se producirá

un pequeño cambio en la curva terminal igual a:

( )

t

( )

t t

(

XVII

)

x ₁

t t ' 1

1 ∆ φ ≈ ∆

=

Reemplazando (XVII) en (XI) y factorizando ∆t1 se podrá eliminar

( )

t1

x

∆ de (XI), y obtendremos la siguiente ecuación:

(

)

[

f x f

]

t₁ 0

(

XVIII

)

t t x ' '

1

' ⋅∆ =

− φ +

=

Por tanto, para cualquier valor arbitrario de ∆t1 la condición de

transversalidad para este caso será:

(

)

[

f x f

]

0

(

XIX

)

1 '

t t x '

'₋ ₌

φ +

=

En la figura 5 se aprecia el problema que debemos resolver en este caso. Aquí, debemos determinar “x*” y “t*1”. Una vez encontrados

“x*” y “t*₁” podremos determinar el estado final x

( )

t₁*.

( )

t x

t

0

t

φ

( )

t0 x0

x =

(19)

Línea terminal vertical truncada (estado terminal

acotado inferiormente):

((((

x

(((( ))))

t1 ≥≥≥≥xmín

))))

Cuando la línea terminal vertical es truncada, restringida por la condición terminal x

( )

t1 ≥xmín donde xmín es el nivel mínimo

permitido de “x”, la solución óptima puede tener dos posibles tipos de resultado: x*

( )

t1 >xmín o x*

( )

t1 =xmín. Donde x*

( )

t1 es el valor

terminal de una trayectoria admisible x*

( )

t que satisface la ecuación de Euler y la siguiente condición de transversalidad:

( )

(

( )

)

( )

0 f

x t x x t x 0 f

CHC

t t x mín 1 * mín 1 * t

t

x' ₁ ' ₁ =

   ⋅ − ≥

≤

= =

4 4 4 4

4 8

4 4 4 4

4 7

6

( )

XX

Para aplicar (XX), primero suponemos que f 0

1 '

t t

x = = y verificamos si el

valor resultante de x*

( )

t1 satisface la restricción terminal x*

( )

t1 ≥xmín. Si

es así, el problema está resuelto. En caso contrario, se fija x*

( )

t1 =xmín

para satisfacer la condición de holgura complementaria (CHC), y tratamos el problema como si fuera uno con punto final dado

(

t₁,x*( )t₁

)

.

( )

t x

t

1

t

( )

t0 x0

x =

0

t

( )

t1 xmín

x =

Figura 6

5. Condiciones necesarias de optimalidad local para punto

terminal variable

Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo):

x

(((( )))) ((((

t1 libre

))))

( )

t

x* será un máximo local de (X) si se cumplen las siguientes condiciones: 1. La ecuación de Euler, la condición inicial x

( )

t0 =x0 y la condición de

transversalidad

[ ]

f 0. 1 '

t t x = =

2. La condición de Legendre: f x*

( )

t,x'*

( )

t,t 0.

x

x' ' _≤

 

(20)

Línea terminal horizontal (valor final fijo):

t₁

((((

libre

))))

( )

t

x* será un máximo local de (X), con el instante final óptimo dado por t₁*, se cumplen las siguientes condiciones:

1. La ecuación de Euler, la condición inicial x

( )

t0 =x0, la condición final

( )

t1* x1

x = y la condición de transversalidad

[

f xf

]

0.

* 1 '

t t x

' ₌

−

=

( )

t,x'*

( )

t,t 0.

x

x' ' ≤

  

 

Curva terminal:

t1

((((

libre

))))

( )

t

x* será un máximo local de (X), con el instante final óptimo dado por t₁*, se cumplen las siguientes condiciones:

1. La ecuación de Euler, la condición inicial x

( )

( ) ( )

* 1 *

1 t

t

x =φ y la condición de transversalidad

(

)

[

f x f

]

0. * 1 '

t t x '

'₋ ₌

φ +

=

( )

t,x'*

( )

t,t 0.

x

x' ' _≤

 

 

Línea terminal vertical truncada (estado terminal acotado

inferiormente):

((((

x

(((( ))))

t1 ≥≥≥≥xmín

))))

( )

t

x* será un máximo local de (X) si se cumplen las siguientes condiciones: 1. La ecuación de Euler, la condición inicial x

( )

1 mín * _t _x

x ≥ y la condición de transversalidad

( )

(

( )

)

( )

. 0 f

x t x x t x 0 f

CHC

t t x mín 1 * mín 1 * t

t x

1 ' 1

' =

  

 ⋅ − ≥

≤

= =

4 4 4 4

4 8

4 4 4 4

4 7

6

2. La condición de Legendre: f_x'_x' x*

( )

t,x'*

( )

t,t≤0.   

 

6. Condiciones suficientes de optimalidad global de segundo

orden para punto terminal variable

Si f

(

x

( ) ( )

t,x't,t

)

es de clase dos y es cóncava (convexa) en las variables

( )

x,x' para cada t∈

[

t₀,t₁

]

, si x*

( )

t satisface la ecuación de Euler, las condiciones de frontera y (en caso la condición terminal sea x

( )

t1 “libre”o x

( )

t1 ≥xmín)

(21)

Ejemplos:

1.- Una empresa tiene un pedido de “N” unidades que debe surtir en un tiempo por determinar. Si x

( )

t denota el número de unidades producidas en

[ ]

0,t (que puede interpretarse como el inventario acumulado en “t”), el costo en “t” está dado por C

(

x

( ) ( )

t,x' t

)

=2x

( )

t +

[ ]

x'

( )

t 2. Resolver el problema de minimización de costos de la empresa si se sabe que

( )

0 0,

x = x

( )

T =Ny “T” libre. Compruebe si el extremal hallado minimiza

localmente la funcional objetivo. Calcule los costos mínimos totales.

2.- Modelo de Ramsey12 (1928): La cuestión central tratada por Ramsey es la de la asignación intertemporal del recurso: ¿Qué cantidad del producto nacional neto en cualquier instante del tiempo la autoridad planificadora debería destinar al consumo presente para producir utilidad presente, y cuánto debería destinar al ahorro (y a la inversión) para incrementar la producción y el consumo futuros, y por tanto producir utilidad futura?

Considere una economía que evoluciona a lo largo del tiempo donde

( )

t K

K= denota el stock de capital, C=C

( )

t el consumo e Y=Y

( )

t el producto nacional neto en el instante “t”. Supóngase que:

( )

(

K t

)

F

Y= con

(

( )

)

(

( )

)

0

dK t K F d , 0 dK

t K dF

2 2

≤ >

De manera que el producto nacional neto es una función cóncava estrictamente creciente respecto al stock de capital. Además, supondremos que la producción se divide en consumo e inversión, esto es:

( )

(

)

( ) ( )

( )

dt t dK t C t I t C t K F

Y= = + = +

De donde:

( )

=

(

( )

)

−

( )

Θ dt

t dK t K F t C

Asimismo, permítase a K

( )

0 = K0>0 ser el stock de capital existente en la actualidad, y supóngase que estamos considerando un periodo de planeamiento

[ ]

0,T.

12

(22)

Ahora, para cada elección de la función de inversión

( )

dt

t dK t

I = en

[ ]

0,T,

el capital es completamente determinado por la función

( )

= +

∫

( )

τdτ dt dK K t K

t

0

0 y

( )

Θ a su vez determina C

( )

t. Además, se asume

que la sociedad tiene una función de utilidad “U

( )

C

( )

t ”, donde U

( )

C

( )

t es la utilidad (flujo) que el país disfruta cuando el consumo total es C

( )

t, y permítasenos requerir que:

( )

t 0 dC

t C U d , 0 t dC

t C dU

2 2

< >

De modo que U

( )

C

( )

t es estrictamente creciente y estrictamente cóncava (este supuesto implica que la gente en un determinado nivel de consumo deriva menos incremento en su satisfacción ante un incremento dado en el consumo que el que deriva la gente a un nivel de consumo más bajo).

Finalmente, se asume que la tasa de descuento es “r” y que el criterio de inversión es el siguiente: escoger

( )

dt t dK t

I = para t∈

[ ]

0,T de manera que

la utilidad total descontada para el país en el periodo

[ ]

0,T sea la mayor posible.

Se pide resolver el problema de asignación intertemporal eficiente del recurso teniendo en cuenta que F

(

K

( )

t

)

=bK

( ) (

t b>0

)

,

( )

[ ]

( )

(

0 1

)

, 1

t C t C U

1

< γ < γ − =

γ −

y que la condición terminal es:

a) K

( )

T =KT >0, b) K

( )

T =libre.

3.- Halle la senda, cuyo punto inicial es A=

( )

0,1 y cuyo estado terminal está determinado por φ

( )

t =4−3t, que minimice la distancia entre “A” y x

( )

t. 4.- Un individuo tiene una única fuente de ingresos que son los intereses

obtenidos por sus ahorros S=S

( )

t a una tasa de interés “i”

(

0<i<1

)

. Estos intereses son distribuidos entre consumo C

( )

t y nuevo ahorro

( )

t S

( )

t 0

I '

< >

= (es decir, se permite el desahorro). Inicialmente el individuo

tiene unos ahorros de S0, y elige su tasa de consumo para maximizar su

flujo de utilidad descontada sobre un horizonte finito:

( )

{max} U

[

C

( )

t

]

e dt

rt T

0 t C

−

(23)

La elección de la senda temporal para C

( )

t en la maximización es restringida por la siguiente relación:

( )

t iS

( ) ( )

t Ct C

( )

t iS

( )

t S

( )

t

S' = − ⇒ = − '

Y por las condiciones de borde:

( )

    

   > =

=

libre ) b

0 S ) a T S

S 0 S

T 0

Resuelva el problema si se sabe que:

( )

[

C t

]

e ( )

(

0

)

U

t c

> α α − =

α −

5.- Una empresa ha recibido un pedido de “A” unidades de su producto, que deben entregarse al cabo de un tiempo T, fijado. La empresa quiere saber cuál debe ser la tasa de producción P

( )

t , 0≤t≤Τ, para atender ese pedido en la fecha estipulada, al costo mínimo. Se sabe que el costo unitario de producción es proporcional a la tasa de producción (sea “K1 > 0” la constante de proporcionalidad), y que el costo unitario de mantener el producto en inventario por unidad de tiempo es constante e igual a “K2 >0”. Sea x

( )

t el inventario acumulado en el instante “t” igual a la producción acumulada pasada. Por lo que, bajo el supuesto anterior, se verifica que P

( )

t =x'

( )

t . Entonces, se tiene que x

( )

0 =0, y se debe alcanzar x

( )

T =A. Se pide:

a) Encontrar la tasa de producción y el inventario acumulado óptimos (ignórese la restricción

(

P

( )

t ≥ 0

)

. ¿Qué condición tiene que cumplirse para que la solución óptima cumpla P

( )

t ≥ 0?

b) Suponer ahora que “A” es una constante dada, pero “T” es libre. Encontrar la solución óptima (ignorando la restricción

(

P

( )

t ≥ 0

)

. c) Verifique si se cumple la condición de optimalidad local de Legendre. d) Verifique si la solución es globalmente óptima.

6.- Considere el problema macroeconómico de conducir el estado x

( )

t de la economía sobre el curso del periodo de planificación

[ ]

0,T hacia el nivel deseado xˆ, independiente de “t”, por medio del control u

( )

t , donde

( )

t u

( )

t .

x' = Ya que utilizar el control es costoso, el objetivo es minimizar la

integral

(

x

( )

t xˆ

)

c

[ ]

u

( )

t dt

T

0

2 2

(24)

Es más conveniente definir y

( )

t como la diferencia entre la variable de estado original y el nivel objetivo xˆ, y

( )

t =x

( )

t −xˆ,de manera que el valor objetivo de y

( )

t sea nulo: y

( )

T = x

( )

T −xˆ=0. Entonces

( )

t y

( )

t x

( )

t .

u = ' = ' Esto conduce al siguiente problema de cálculo de variaciones:

( )

{ }

( )

[ ]

( )

T 0 y

y 0 y : a . s

dt t y c t y min

0 T

0

2 ' 2 t

y

= =

  

 ₊

∫

Donde y0 es la desviación inicial del nivel objetivo. Se pide:

a) Encontrar la trayectoria óptima global.

b) Suponiendo ahora que y

( )

T es libre, encuentre la trayectoria global óptima de la variable de estado, y discuta qué le sucede al estado terminal y

( )

T cuando el horizonte T →+∞ y también cuando

.

c→+∞

7.- De un stock de capital igual a K

( )

t en el instante “t” se puede producir un bien a una tasa F

(

K

( )

t

)

. La función de producción “F” se asume que es de clase dos, creciente y cóncava. Esta producción puede consumirse, produciendo inmediata satisfacción, o puede invertirse para aumentar el stock de capital y por tanto la capacidad productiva futura. La producción

( )

(

Kt

)

F es por tanto la suma del consumo C

( )

t y la inversión K'

( )

t (el cambio en el stock de capital).

Es decir:

( )

(

K t

)

C

( )

t K

( )

t C

( )

t F

(

K

( )

t

)

K

( )

t

F = + ' ⇒ = − '

El problema consiste en elegir la parte de la producción a ser invertida en cada instante “t” para maximizar la utilidad derivada del consumo a lo largo del periodo

[ ]

0,T . Es decir:

( )

{ }

[

( )

]

( )

(

( )

)

( )

T 0 K

k 0 K

t C t K F t K : a . s

dt t C U max

0 ' T

0 t C

≥ =

≡ − =

∫

{ ( )}

[

(

( )

)

( )

]

( )

T 0 K

k 0 K : a . s

dt t K t K F U max

0 T

0

' t

K

≥ =

−

∫

Se supone que la función de utilidad es una función de clase dos, estrictamente creciente y estrictamente cóncava.

(25)

( )

α − =

⋅ α − ct

e t c

U para α>0

Donde el coeficiente de aversión absoluta al riesgo es:

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

( ) ( ) =α α

− − = −

= β

⋅ α −

t C

e e

t C ' U

t C ' ' U t C

Además asuma que la producción es:

( )

(

Kt

)

bK

( )

t

F = para b>0

Solución:

1.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:

( )

{ }

( )

[ ]

( )

( ) ( )

(

)

( )

{ }

( )

[ ]

( )

( ) ( )

(

)

( )

T N yT:libre x

0 0 x : a . s

dt t x t x 2 max dt t x t x 2 min

T

0

t x , t x C

2 ' t

x T

0

t x , t x C

2 ' t

x

' '

= =

  

₋ ₋

=   

 ₊

∫

−

4 4

4 8

4 4

4 7

6 4

4

4 8

4 4

4 7

6

La ecuación de Euler es:

( )

_{( )}

25 x

C dt

d x

C

' _

   

∂ − ∂ = ∂

− ∂

[ ]

2x 2x x 1

( )

26 dt

d

2= − ' =− ''⇒ ''=

−

Integrando dos veces (26) se obtiene:

( )

At B

( )

27 2

t t x

2

+ + =

La condición de transversalidad es:

( )

_{( )}

28 0 x

C x C

T t '

' ₌

   

 

∂ − ∂ − −

=

( )

−

[ ]

( )

−

( )

(

−

( )

)

=−

( )

+

[ ]

( )

= ⇒

−2xT x' T 2 x'T 2x' T 2xT x'T 2 0

( )

(26)

Por las condiciones iniciales tenemos que:

( )

At

( )

30

2 t t x 0 B B 0 A 2 0 0 x

2 2

+ = ⇒ = ⇒ + + =

Derivando (30) respecto del tiempo tenemos:

( )

t t A

( )

31

x' = +

Evaluando (30) y (31) en “T” tenemos:

( )

AT

( )

32 2

T T x

2

+ =

( )

T T A

( )

33

x' = +

Reemplazando (32) y (33) en (29) tenemos:

(

)

AT T 2AT A T 2AT A 0

2 T 2 A

T 2 2 2

2

2 _⇒ ₊ ₊ ₌ ₊ _⇒ ₌

    

  

+ =

+

Reemplazando “A” en (30):

( )

t t 2

( )

34

x* = 2

Por las condiciones finales:

( )

N T 2N

( )

35

2 T T

x *

2

= ⇒ = =

Dado que: C

(

x*

( ) ( )

t,x'*t

)

2 0,

x

x' ' =− <

− en consecuencia, por la condición

de Legendre, x*

( )

t maximiza localmente a

[

C

(

x

( ) ( )

t,xt

)

]

dt

T

0

'

∫

− y minimiza

localmente a

[

C

(

x

( ) ( )

t,xt

)

]

dt.

T

0 '

∫

N 2 T*=

0 t

( )

t x

( )

t t 2

x* = 2 N

(27)

Derivando (34):

( )

t t

( )

36 x'* =

Reemplazando (34) y (36) en C

(

x

( ) ( )

t,x't

)

obtenemos el valor máximo de la funcional objetivo:

( )

(

)

( )

32

N 2 0 2 2 2 '*

* ₂_N

3 2 dt t 2 t 2 t 2 t x , t x

C _+ ⇒ =

      =

_∫

2.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:

( )

{ }

[

( )

]

( )

(

( )

)

( )

₀

' T 0 rt t C k 0 K t C t K F t K : a . s dt e t C U max = ≡ − =

∫

− ( ) { }

[

(

( )

)

( )

]

( )

0

rt T 0 ' t K k 0 K : a . s dt e t K t K F U max = − −

∫

( ) ( )

(

)

[

( )

]

( )

( ) ( ) ( )

(

0 1

) ( )

37 ; e 1 t K t bK e t C U t , t K , t K f rt t C U 1 t C ' rt

' _<_γ_<

γ −           − = = − γ − − 4 4 4 3 4 4 4 2 1 4 4 8 4 4 7 6

Las derivadas parciales de “f” de primer y segundo orden son:

(

bK K

)

e

( )

38 b e bU f rt U ' rt ' K ' − γ − − ₌ ₋ = 4 4 8 4 4 7 6 }

( )

39 e

K bK e

U

f ' rt

F rt ' K' − γ − −         − − = − = }

(

)

( )

_{( )}

40 e K bK b e U b f

f '' rt ' 1 rt

F K K KK ' ' ' − + γ − − ₌ _γ ₋ − = =

(

)

( )

41 e K bK b e U b

f_KK = 2 '' −rt =− 2γ − ' −γ+1 −rt

(

)

( )

(28)

( )

44 f

f

t K K = ' Reemplazando (38) y (43) tenemos:

(

rU U C

)

e C

(

r b

)

U U

( )

* e

bU' −rt = ' − '' ' −rt ⇒ ' = − ' ''

Teniendo en cuenta que el coeficiente de aversión relativa al riesgo de

Arrow-Pratt es

( )

(

( )

)

( )

(

Ct

)

U t C U t C t

' '' r

⋅ − =

β , tenemos:

( )

(

)

( )

t

( )

** r t K F

t C

r b ' '

β   

 

  

 

−

=

48

47 6

Dado que se ha asumido que U''

(

C

( )

t

)

<0 y U'

(

C

( )

t

)

>0, entonces

( )

t 0.

r >

β Por lo que que:

( )

t 0 F

(

K

( )

t

)

r C

t

C' _'

> ⇔

>

Por tanto, el consumo crece si y sólo si la productividad marginal del capital “F'

(

K

( )

t

)

” excede a la tasa de descuento intertemporal “r”. Por otro lado, si F'

(

K

( )

t

)

< r, existe tanta impaciencia a consumir que el consumo empieza alto, y luego decrece en el tiempo.

Reescribiendo (**) tenemos:

( )

t

( )

t F

(

K

( )

t

) (

***

)

C

t C r

b ' TRC

r

' 64748

4 4 8 4 4 7 6

= β +

La ecuación (***) se puede interpretar como una condición de equilibrio intertemporal, en la que la tasa de retorno del consumo “TRC” debe ser igual en todo instante a la tasa de retorno del ahorro (la productividad marginal del capital o tasa de retorno real del capital).

Reemplazando U' de (38), U'' de (42), y C' de (43), en (*) tenemos:

(

)

(

)

(

)

( )

(

) (

)

₍

_'

₎

1 1

' ' ''

' _r _b b r _bK _K

K bK

K bK K

bK −

+ γ −

γ −

− γ

− = − −

− − =

(29)

( )

45 0 K K K 0 K r b b K b r b

K'' ' _ = ⇒ '' −θ '+δ =

      γ − +         + γ − − δ θ₄₈₄ ₆₄₇₄₈

4 47 6

El polinomio característico es:

( )

0 b y b r .

P 2 ₁ ₂

λ − = λ = λ ⇒ = δ + θλ − λ = λ

La solución es:

( )

t A e A e

( )

46

K t r b 2 bt 1 *         γ − + =

Por tanto, la inversión óptima será:

( )

A be A b r e

( )

47

dt t dK t I t r b 2 bt 1 * *         γ −         γ − + = =

El producto nacional neto óptimo será:

( )

t bK

( )

t A be A be

( )

48 Y t r b 2 bt 1 * *         γ − + = =

El consumo óptimo será:

( )

t Y

( )

t I

( )

t A b b r e

( )

49 C t r b 2 * * *         γ −                 γ − − = − =

Considerando la condición inicial se tiene que:

( )

0 A A k

( )

50

K* = ₁+ ₂ = ₀

a) Para la condicón final K

( )

T =K_T >0, tenemos:

( )

T A e A e K

( )

51

K _T T r b 2 bT 1 * ₌ ₊  ₌        γ −

De (50) y (51) se obtiene que:

(30)

Reemplazando “A1” y “A2” en (46), (47), (48) y (49) tenemos:

( )

e

( )

52

e e e K K e e e K e K t K t r b bT T r b bT 0 T bt bT T r b T T r b 0 *         γ −         γ −         γ −         γ − − − + − − =

( )

b r e

( )

53

e e e K K be e e K e K t I t r b bT T r b bT 0 T bt bT T r b T T r b 0 *         γ −         γ −         γ −         γ −         γ − − − + − − =

( )

be

( )

54

e e e K K be e e K e K t Y t r b bT T r b bT 0 T bt bT T r b T T r b 0 *         γ −         γ −         γ −         γ − − − + − − =

( )

b b r e

( )

55

e e e K K t C t r b bT T r b bT 0 T *         γ −         γ − __              γ − − − − =

Ahora constataremos que la senda del stock de capital maximiza globalmente la funcional objetivo.

La matriz hessiana de la función intermedia “f” en cualquier t∈

[ ]

0,T es:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) [ ]         − −           − γ − = − + γ −       1 b b b e t K t bK t , t ' K , t K Hf 2 rt t C U 1 t C ' '' 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 48 47 6

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

56 1 b b b e t K t bK t , t ' K , t K Hf 2 rt 1 t C '         − −           − γ = − + γ −     

 64748

Dado que por condición del problema se debe verificar que:

( ) [ ]

( )

( ) ( ) [ ]

( )

( ) ( ) 0 t K t bK 0 t K t bK 1 t C ' 0 t C U t C ' 0 t C

U' '' <

          − γ − ∧ >           − + γ − ⇒ < γ − ⇒ > 48 47 6 48 47 6

Ambas condiciones se verificarán si y sólo si:

( )

t bK

( )

t K

( )

t 0 t

[ ]

0,T

( )

57

(31)

Al ser C

( )

t >0⇒

( ) ( )

_

  

 

t , t ' K , t K

Hf será semidefinido negativo ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a −

(

1+b2

)

. Por tanto, “F” es cóncava. En consecuencia, (52) maximiza globalmente la funcional objetivo. Por ende, las trayectorias (53), (54) y (55) también serán óptimas.

b) Para la condición final K

( )

T =libre:

Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar la siguiente condición de transversalidad:

( )

58 0 f

T t K'* =

=

( )

[

bK T K T

]

e C

( )

T e 0

( )

59

f * '* rT * rT

T t

K'* =− − =− =

− γ − −

γ − =

Pero para:

( )

(

)

[

( )

]

(

0 1

)

1 t C t C U

1

< γ < γ − =

γ −

Tenemos que:

( )

(

)

( )

C

( )

t 0 C

( )

t 0 1

t dC

t C dU

> ⇔ > =

γ

( )

(

)

( )

_t

[

_C

( )

_t

]

( ) 0 C

( )

t 0 dC

t C U d

1 2

2

> ⇔ < γ − =

+ γ

Por tanto, para que se verifiquen las hipótesis:

( )

(

)

( )

t 0 dC

t C dU

>

(

( )

)

( )

t 0 dC

t C U d

2 2

<

Se deberá verificar que:

( )

t 0 t

[ ]

0,T

C > ∀ ∈

Por tanto:

( )

T 0 C* >

Lo cual implica que:

( )

T e 0

( )

60 C

f * rT

T t

K'* =− −γ − <

=

(32)

3.- Se consideran todas las curvas x

( )

t de clase C2 que parten de A=

( )

0,1, que por tanto satisfacen la condición inicial, y que llegan a la recta

( )

t =4−3t,

φ por lo que cumplen la condición final x

( )

t1 =φ

( )

t1 =4−3t1, tal como se aprecia en la figura 8. A cada una de dichas funciones se les asigna como valor objetivo, la longitud total del arco de la curva x

( )

t , que parte de A=

( )

0,1 y llega a la recta φ

( )

t =4−3t.

Ahora vamos a deducir una expresión que nos permita calcular la longitud de arco de una curva x

( )

t que parta de A=

( )

0,1 y llegue a la recta φ

( )

t =4−3t. Para ello nos vamos a apoyar en el hecho que para dos puntos muy próximos de una curva, la longitud de arco entre dichos puntos se puede expresar, gracias al teorema de Pitágoras, de la siguiente forma (ver la porción de la curva x

( )

t encerrada en un círculo en la figura 8):

( ) ( ) ( )

( )

dt dt

dx 1 dL dt dt dx 1 dL dx dt dL

2 2 2

2 2

2 _⇒ ₌ ₊

    

  

+ = ⇒ + =

( )

x dt

( )

61 1

dt dt dx 1

dL '2

2

+ =         + =

dL dt

dx

( )

t x

t

( )

0,1 A=

( )

t x*

( )

t =4−3t φ

Figura 8

Por tanto, la longitud total del arco de la curva x

( )

t, que parte de

( )

0,1

(33)

[ ]

x 1

( )

x dt

( )

62 L 1 t 0 2 '

∫

+ =

En consecuencia, el problema a resolver consiste en determinar una trayectoria que posea la longitud total de arco mínima, pero sujeta a la condición terminal x

( )

t1 =4−3t1, esto es:

( )

{ }

[ ]

( )

1 1

t 0 2 ' t x t 3 4 t x 1 0 x : a . s dt x 1 x L min 1 − = ≡ = + =

∫

( ) { }

{

[ ]

}

( )

1 1

t 0 t x F 2 ' t x t 3 4 t x 1 0 x : a . s dt x 1 x L max 1 ' − = = + − = −

∫

4 48 4 47 6

La ecuación de Euler es:

( )

[

]

( )

[

]

( )

         ∂ ∂ = ∂ ∂ t x t x F dt d t x t x F ' ' '

Sustituyendo las derivadas correspondientes tenemos:

( )

1 A B A x A x 1 x x 1 x dt d 0 2 2 ' 2 ' ' F 2 ' ' ' x = − = ⇒ = + − ⇒           + − = 4 4 8 4 4 7 6

Integrando _x'_tenemos:

( )

t Bt C,

(

0 t t

)

( )

63

x = + ≤ ≤ 1

Por la condición inicial tenemos:

( )

0 C 1 x

( )

t Bt 1

( )

64

x = = ⇒ = +

( )

t B

( )

65 x' =

Por la condición final tenemos:

( )

66

3 B 3 t t 3 4 1 Bt t

x ₁ ₁ ₁ *₁

+ = ⇒ − = + =

La condición de transversalidad es:

(

)

[

F x F

]

0