Algebra de Boole (Automatismos Combinacionales)

Control Industrial

Algebra de Boole

„

Se ha modelado la realidad como 0’s y 1’s

… Muchos componentes utilizados en control son binarios

„ Pulsadores, Interruptores

„ Finales de carrera, Termostatos

„ Bombillas, válvulas, cilindros neumáticos, …

… Hay que asignar a cada estado el valor 0 o 1.

„

La salida es una función de las entradas

„

¿Como se forma la función?

„

¿Como se simplifica?

„

¿Como se implanta?

… Depende de la tecnología elegida

Ejemplos de variables lógicas

„

Interruptor modelado como una variable lógica (a)

… Interruptor cerrado a = 1

… Interruptor abierto a = 0

… a es la variable asociada al interruptor

„

Bombilla modelada como una variable lógica (b)

… Bombilla encendida b = 1

„

Un algebra esta definida por:

… Un conjunto de elementos K

… Un conjunto de operaciones Φ que actúan sobre los miembros de K y que cumplen unas ciertas propiedades

„

El Algebra de Boole se define por:

… Un conjunto B con solo dos elementos {0,1}

… Un conjunto de operaciones (lógicas) {+,·,’} definidas sobre B. Tal que, cualquier relación entre variables lógicas puede

representarse como combinación de estas 3 operaciones:

„ 2 operaciones binarias (f(x,y)):

… (+) función suma, función O, función OR

… (·) función multiplicación, función Y, función AND „ 1 operación monaria (f(x)):

… (‘ ó ¯) función negación, función NO, función NOT

… Tales que para x,y,z ∈ B se cumplen las siguientes propiedades: Postulados de Huntington

„

Conjunto cerrado:

… x·y ∈ B, x+y ∈ B, x’ ∈ B

„

Ley conmutativa:

… x·y=y·x

„

Ley asociativa:

… (x·y)·z=x·(y·z)

„

Ley distributiva:

… x+y·z=(x+y)·(x+z)

„

Identidad:

… x·1=x

Postulados (axiomas) de Huntington

„

Complemento

… x·x’=0

„

En la siguiente

transparencia se definen

las operaciones básicas.

Todas ellas cumplen los

postulados de

Huntington. Puede haber

otra definición que

Propiedades útiles del Algebra de Boole

„

Idempotencia

… a+a=a

… a·a=a

„

Maximalidad del 1

… a+1=1

„

Minimalidad del 0

… a+0=a

„

Involución

… a’’=a

„

Leyes de Morgan

… (a+b)’=a’b’ … (ab)’=a’+b’ … (a+b+c+...)’=a’b’c’... „

Absorción

„

Todas estas propiedades se

comprueban mediante la

aplicación de las propiedades

del Algebra de Boole

(postulados de Hungtinton) o

recurriendo a las tablas de la

verdad (en todos los casos

posibles se cumple la

igualdad).

Variables, expresiones lógicas, tablas de verdad

„ Variable lógica (booleana)

… Variable perteneciente a B

… Por tanto, solo puede tener dos valores: 0 y 1

„ Expresión (función) lógica (booleana)

… Combinación de variables lógicas pertenecientes a B y de operaciones lógicas

… (+ paréntesis):

„ f = xy+xy’z+x’yz (· implícito)

„ Tabla de verdad equivalente a la anterior.

„ Formas estándar de representación:

… Producto de sumas

… Suma de productos

„ Tabla de verdad (con todas las

posibilidades) y expresión lógica son equivalentes entre si.

A una misma tabla de verdad le pueden corresponden

„

Dos expresiones son equivalentes si sus tablas de verdad

son iguales

… f1 = a+bc

… f2 = (a+b)(a+c)

„

O si se puede llegar de la una a la otra (ambas direcciones)

… f2=(a+b)(a+c)=aa+ac+ba+bc=a+ac+ba+bc=a(1+c+b)+bc=a+bc

Convertir tabla de verdad en expresión lógica I

„

Forma canónica minterms:

1. Tómese cada combinación

que de 1 a la salida y fórmese

un producto de variables, de

forma que si una variable vale 0

en aquella fila se coloca su

complemento y si vale 1 se

coloca la variable sin

complementar.

2. Escríbase la función que

resulta de sumar todos los

productos.

f=x’yz’+x’yz+xy’z+xyz’+xyz

Convertir tabla de verdad en expresión lógica II

„

Forma canónica maxterms:

1. Tómese cada combinación

que de 0 a la salida y fórmese

una suma de variables, de

forma que si una variable vale 1

en aquella fila se coloca su

complemento y si vale 0 se

coloca la variable sin

complementar.

2. Escríbase la función que

resulta de multiplicar todas las

sumas.

f=(x+y+z)·(x+y+z’)·(x’+y+z)

Variables y funciones lógicas en el mundo real

Interruptor modelado como

una variable lógica (a)

… Interruptor cerrado -> a = 1

… Interruptor abierto -> a = 0

… a es la variable asociada al interruptor

„

Bombilla modelada como una

variable lógica (b)

… Bombilla encendida -> b = 1

… Bombilla apagada -> b = 0

Función complemento

„

Se puede realizar la función

complemento de forma mecánica:

se dispone de la variable

complementada y sin

complementar mecánicamente

(contacto abierto, contacto

cerrado).

Lógica positiva / Lógica negativa

„ Si una variable lógica esta a 1 significa que la acción o estado asociado a dicha variable se esta cumpliendo. Si es 0 indica que no se cumple.

… 1 significa:

„ tensión positiva ( típico 5V)

„ Interruptor cerrado

… 0 significa

„ tensión cero o tensión negativa

„ Interruptor abierto

„ Lo anterior es una convención, puede ser a la inversa (Lógica negativa).

… 1 significa:

„ tensión cero o tensión negativa

„ Interruptor abierto

… 0 significa

„ tensión positiva ( típico 5V)

„ Interruptor cerrado

Simplificación

„ Problema: Juan quiere instalar 2

interruptores en su habitación (a y b) para encender una bombilla (f) de tal forma que solo se encienda cuando:

… a y b están simultáneamente cerrados.

… a esta cerrado

„ Juan que es un lanzado hace la instalación

„ Juan esta muy contento porque la instalación funciona perfectamente hasta que llega su amigo Antonio y le pregunta:

Simplificando

„

f=x’yz’+x’yz+xy’z+xyz’+xyz

… Asociativa y distributiva: f=x’y(z’+z)+xy’z+xy(z’+z)

… Complemento: f=x’y+xy’z+xy

… Complemento: f=y(x’+x)+xy’z

… f=y+xy’z

„

f=(x’y’z’+x’y’z+xy’z’)’

… Asociativa y distributiva: f=(x’y’(z’+z)+xy’z’)’

… Complemento: f=(x’y’+xy’z’)’

… Leyes de Morgan: f=(x’y’)’(xy’z’)’

… Leyes de Morgan: f=(x+y)(x’+y+z)

… f=xx’+xy+xz+yx’+yy+yz

… f=xz+y+xy+yx’+yz

Simplificación mediante el método de Karnaugh

„

Hay muchos métodos para simplificar (aplicando directamente

los postulados del Algebra)

„

Programas de simplificación automática

„

El método de Karnaugh es un método grafico muy útil para

funciones de 2 a 4 variables lógicas.

… Se basa en buscar términos adyacentes en la tabla de la verdad.

… Los términos adyacentes son aquellos que tienen las mismas variables con el mismo estado de complemento, excepto una.

„ xyz’ y xyz son adyacentes

… Los términos adyacentes se pueden simplificar fácilmente

„ xyz’+xyz = xy(z’+z) = xy

Simplificación por Karnaugh I

„

Se basan en la ley: a·b+a·b’=a

„

Procedimiento:

… Construir el mapa de Karnaugh.

… Colocar los ceros y unos de la tabla de verdad sobre el mapa de Karnaugh.

… Formar grupos (paralelogramos) con las casillas que tienen 1, de tal forma que contengan el maximo numero de

elementos y este sea potencia de 2.

… Casillas de un grupo pueden formar parte de otro.

… Cada grupo representa un producto. Este esta formado por las variables que no

Simplificación por Karnaugh III

„

Don’t care: combinación de

entradas que nunca se dan.

„

Pueden ser utilizadas para

simplificar las funciones lógicas:

se toma su valor como 1 o como

0, en función de lo que más

Funciones lógicas y tiempo

„

Si las entradas de la función lógica varían en el tiempo, la

función lógica también varia.

„

Al variar la entrada, la salida tardara un cierto tiempo en

cambiar, dependiendo de la tecnología.

„

Retardo de la función lógica: tiempo que media entre el

Relés y contactos

„ Relé: todo dispositivo que utilizando, ya sea un impulso eléctrico que le es enviado a distancia, o la acción de otros fenómenos ajenos (como

presión, temperatura, etc.) actúa de modo automático como interruptor, accionando o desconectando un circuito.

„ De modo manual o automático

retornan su posición inicial, una vez terminada la acción del impulso del accionador; a esta operación se le llama rearme o desbloqueo.

„ Clasificación:

Tipos de relés y estructura

„ Clasificación según tecnología:

… Electromagnéticos

… Neumáticos

… Térmicos

… Electrónicos

„ Clasificación según misión:

… Instantáneos

… Temporizados

„ En automatismos

industriales tienen dos funciones:

… Separación galvánica.

… Elemento de memoria (se

„ Partes de un relé (contactor)

… Contactos principales Cierre o apertura del circuito

principal.

… Contactos auxiliares

Gobierno del contactor y su señalización.

… Circuito electromagnético

… Sistema de soplado

„ Apaga el arco al abrir el

Circuito electromagnético de un relé

„ Puede trabajar en continua o en alterna.

„ Estructura:

… Núcleo

„ Chapa magnética aislada

… Armadura

„ Chapa magnética aislada

… Bobina

„ En alterna se coloca una espira de

sombra para evitar la vibración por los pasos por 0 de la corriente alterna.

… Los contactos pueden estar

Pulsadores, interruptores y contactos

„ Pulsadores

… solo se mantiene la acción mientras se pulsa.

„ Interruptores:

… la acción se mantiene después de conmutar.

„ Contactos:

… mecánicamente acoplado al pulsador/ interruptor se pueden colocar contactos que cambian al cambiar el estado del pulsador/interruptor.

„ Normalmente abierto.

Variables negadas con interruptores

„ Una variable asociada a un interruptor:

… No puede ser 0 y 1 simultáneamente

Funciones lógicas y la practica I

„

Una función lógica de más de 4 variables es común en la

practica

… Ir por la tabla de la verdad y obtener la función lógica es inviable.

„ Imposible de aplicar Karnaugh.

„ Hay programas para simplificar (orientados al diseño digital).

„

Solución practica

… Obtener directamente desde la especificación del problema una función lógica representativa que, por supuesto, no será la

optima

… Refleja directamente el funcionamiento del sistema

„ A veces, aplicando Karnaugh aparecen expresiones que son

Funciones lógicas y la practica II

„

Problema de escribir la función lógica directamente

… Se habrán contemplado todos los casos

„ Ejemplo: Poner en marcha un motor cuando no se debe

… Muy grave si hay un obrero manipulándolo

… Con la tabla no habla problemas porque se contemplaban todos los posibles valores de las entradas

„

Solución:

… Intentar prevenir que la función tome valor 1 en casos indeseados.

… ¿Cómo?

Escribir funciones lógicas de control en la practica

„ Primero: Analizar las condiciones bajo las cuales no debe funcionar el sistema

… Si ninguna de estas condiciones se cumple entonces es posible arrancar el sistema

… Ejemplo:

„ No arrancar el motor si esta activado su relé térmico de temperatura

„ No poner en marcha una bomba si no hay agua en su depósito

„ Segundo: Analizar las condiciones que hacen que el sistema funcione (1 lógico) cuando no hay ninguna condición de parada activa.

… Ejemplo:

„ Interruptor de arranque

„ Pieza en la posición correcta

„ Formato de la función lógica final:

Ejemplo

„ Una cinta trasportadora que se pone en marcha al pulsar el pulsador de arranque o cuando recibe una orden de arranque remota

… PA: Pulsador de arranque

… RA: Señal remota de arranque

… M: Señal arranque motor

„ La cinta no debe funcionar si el motor tiene sobrecalentamiento

… TM: Contacto relé térmico motor. Se abre el contacto cuando hay sobrecalentamiento

… PE: Seta de parada de emergencia (si está pulsada abre el contacto)