Universidad Central de Venezuela – Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemáticas Aplicadas
Cálculo II – Parcial 2 – 33,33%
16 de febrero de 2017 Semestre 2016 –3
Nombre y Apellido:_____________________________________ C.I:__________________________ Profesor: _____________________________________________ Sección:______________________
1. Dadas las siguientes integrales: a) Calcular
∫
1
∞
dx
(
1
+
x
)
ln
(
1
+
x
)
(2 pts) b) Determinar si converge∫
0 ∞e
−t√
t
dt
(3 pts)2. Sea R la región limitada por
y
=−
√
1
−(
x
+
1
)
2 ;y
=−
x
;y
=(
x
+
2
)
2 . Plantear las integrales que permiten calcular:a) El volumen del sólido generado al rotar R alrededor de la recta
y
=
2
usando:a.1) Método de los discos (arandelas). (2 pts)
a.2) Método de las capas cilíndricas. (2 pts)
b) El volumen de un sólido cuya base es R, sabiendo que las secciones con planos perpendiculares al eje x, son semicírculos con su base en dicha región. (2 pts)
3. Calcular:
a) La longitud de arco de la curva
y
=
x
1/2−
1
3
x
3/2
con
1
≤
x
≤
3
. (2 pts)b) El área de la superficie de revolución que se genera al rotar la curva anterior alrededor del eje x. (2 pts)
4. Sea R la región del plano acotada por
x
−
y
+
2
=
0
yy
=
x
2 , calcular el volumen del sólido generado al girar R alrededor de la rectax
−
4
y
+
8
=
0
. (3 pts)(fe de errata: esta recta ha debido ser
x
−
2
y
+
8
=
0
)5. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de una lámina plana que tiene la forma de la región limitada por
x
2=
4
ay
yy
=
a
,a
∈ℝ
,a
>
0
,0
≤
x
≤
2
a
si la densidad en cadapunto es numéricamente igual a su abscisa. (2 pts)
SOLUCIÓN
1. Dadas las siguientes integrales: a) Calcular
∫
1
∞
dx
(
1
+
x
)
ln
(
1
+
x
)
(2 pts) → Haciendo el cambiov
=
ln
(
1
+
x
)
;dv
=
dx
(
1
+
x
)
yreescribiendo:
lim
t→∞
∫
ln 2ln(1+t)
dv
v
=lim
t→∞[
ln
v
]
ln
(
1
+
t
)
ln 2
→
lim
t→∞
ln
|
ln
(
1
+
t
)
|
−
ln
|
ln2
|
=ln
|
ln
(
1
+∞)
|
−
ln
|
ln 2
|
=∞
, por lo tanto, la integral diverge.b) Determinar si converge
∫
0
∞
e
−t√
t
dt
(3 pts) → Notando que se trata de una integral impropia mixta, se separa en dos integrales:∫
0∞
e
−t√
t
dt
=∫
01
e
−t√
t
dt
+∫
1∞
e
−t√
t
dt
; de las cuales la primera es de segunda especie y la segunda de primera especie.Para la primera integral utilizaremos como referencia la siguiente integral:
∫
0 11
√
t
dt
que converge por el teorema de integrales impropias tipo “p” de segunda especie con laforma
∫
a b
1
(
x
−
a
)
pdt
sip
<
1
, en este casoa
=
0
;
b
=
1
;
; yp
=
1
2
.Utilizando el criterio de comparación por paso al límite:
lim
t→0+
e
−t√
t
1
√
t
=
lim
t→0+
e
−t
= 1, por lo tanto
∫
0 1
e
−t√
t
dt
converge según el criterio.Para la segunda integral utilizaremos como referencia la siguiente integral:
∫
1∞
1
forma
∫
1
∞
1
t
pdt
sip
>
1
, en este casop
=
2
. Utilizando el criterio de comparación por paso al límite:lim
t→∞
e
−t√
t
1
t
2=
lim
t→∞
t
3/2e
t = 0, por lo tanto∫
1∞
e
−t√
t
dt
converge según el criterio.Como ambas integrales convergen, entonces
∫
0
∞
e
−t√
t
dt
converge.2. Sea R la región limitada por
y
=−
√
1
−(
x
+
1
)
2 ;y
=−
x
;y
=(
x
+
2
)
2 . Plantear las integrales que permiten calcular:a) El volumen del sólido generado al rotar R alrededor de la recta
y
=
2
usando:a.1) Método de los discos (arandelas). (2 pts) → Primero identificamos la región y los puntos de intersección entre las curvas:
Los puntos de corte son (-2,0), (-1,1) y (0,0).
V
=π
∫
−1
[(
2
−(−
√
1
−(
x
+
1
)
2))
2−(
2
−(
2
+
x
)
2)
2]
dx
+ π
∫
0
[(
2
−(−
√
1
−(
x
+
1
)
2))
2−(
2
−(−
x
))
2]
dx
Rama inferior de circunferencia Recta
a.2) Método de las capas cilíndricas. (2 pts) →
V
=
2
π
∫
−1 0(
2
−
y
)[(−
1
+
√
1
−
y
2)−(−
1
−
√
1
−
y
2)]
dy
+
2
π
∫
0 1
(
2
−
y
)[(−
y
)−(−
2
+
√
y
)]
dy
b) El volumen de un sólido cuya base es R, sabiendo que las secciones con planos perpendiculares al eje x, son semicírculos con su base en dicha región. (2 pts) →
V
= π
8
∫
−2−1
[(
2
+
x
)
2−(−
√
1
−(
x
+
1
)
2)]
2dx
+ π
8
∫
−10
[−
x
−(−
√
1
−(
x
+
1
)
2)]
2dx
3. Calcular:
a) La longitud de arco de la curva
y
=
x
1/2−
1
3
x
3/2
con
1
≤
x
≤
3
. (2 pts) →L
=
∫
a b
√
1
+[
f '
(
x
)]
2dx
,y '
=
1
2
x
−1/2
−
1
2
x
1/2
→
L
=
∫
1 3√
1
+[
1
2
x
−1/2
−
1
2
x
1/2
]
2
dx
L
=
1
2
∫
13
√
4
+
x
−1−
2
+
x dx
= 1 2∫
13
√
x−1+2+x dx = 1 2
∫
13
√
(x−1/2+x1/2
)2dx =
1 2
∫
13
|
(x−1/2+x1/2
)
|
dx pero en1
≤
x
≤
3
, x−1/2>0 y x1/2
>0 por lo tanto (x−1/2
+x1/2
)>0
L=1
2
∫
13
(x−1/2
+x1/2
)dx =
[
x
1/2+
1
3
x
3/2
]
3
1
=3
1/2−
3
3/2−1−
4
3
=2
√
3
−
4
3
b) El área de la superficie de revolución que se genera al rotar la curva anterior alrededor del eje x. (2 pts) →
S
=
2
π
∫
a b
r
√
1
+[
f '
]
2dl
→S
=
2
π
∫
a b
f
(
x
)
√
1
+[
f '
(
x
)]
2dx
,y '
=
1
2
x
−1/2
−
1
2
x
1/2
→
S
=
2
π
∫
1 3
(
x
1/2−
1
3
x
3/2
)
√
1
+[
1
2
x
−1/2
−
1
2
x
1/2
]
2
dx
=2
π
∫
1 3
(
x
1/2−
1
3
x
3/2
)
(
x
−1/2+
x
1/2)
2
dx
S
=π
∫
1 3
(
1
+
2
3
x
−
1
3
x
2
)
dx
=[
x
+
x
2
3
−
x
39
]
3
1
=
π[
2
−
2
9
]
=16
4. Sea R la región del plano acotada por
x
−
y
+
2
=
0
yy
=
x
2 , calcular el volumen del sólido generado al girar R alrededor de la rectax
−
4
y
+
8
=
0
. (3 pts)(fe de errata: esta recta ha debido ser
x
−
2
y
+
8
=
0
) → Debido a que la recta oblicua corta a la región, el teorema de Pappus no aplica. Este inconveniente se ha debido a un error de transcripción en la recta oblicua donde el coeficiente de la “y” ha debido ser 2 en lugar de 4. A los estudiantes que hayan realizado el procedimiento aplicando el teorema de Pappus se les va a considerar los cálculos aunque el volumen obtenido no es correcto. No obstante lo planteado, el inconveniente no incide en la obtención del centroide de la región.Primero identificamos la región y los puntos de intersección entre las curvas:
Los puntos de corte son (-1,1) y (2,4).
Por el teorema de Pappus el volumen viene dado por
V
=
2
π
dA
; Calculando el área:A
=
∫
a b
[
f
(
x
)−
g
(
x
)]
dx
,f
(
x
)>
g
(
x
)
en[
a, b
]
;A
=
∫
−1 2[
x
+
2
−
x
2]
dx
=[
x
2
2
+
2
x
−
x
33
]
2
−
1
=
9
2
¯
x
=
My
M
=∫
a b
ρ
x
[
f
(
x
)−
g
(
x
)]
dx
ρ
A
=ρ
∫
−1 2x
[
x
+
2
−
x
2]
dx
ρ
9
2
=
¯
x
=
∫
−1 2
[
x
2+
2
x
−
x
3]
dx
9
2
¯
x
=
[
x
33
+
x
2
−
x
4
4
]
2
−
1
9
2
=
9
4
9
2
=
1
2
;¯
y
=
Mx
M
=1
2
∫
ab
ρ[
f
2(
x
)−
g
2(
x
)]
dx
ρ
A
=1
2
ρ
∫
−12
[(
x
+
2
)
2−(
x
2)
2]
dx
ρ
9
2
¯
y
=
∫
−1 2
[
x
2+
4
x
+
4
−
x
4]
dx
9
=1
9
[
x
33
+
2
x
2
+
4
x
−
x
5
5
]
2
−
1
=
8
5
(¯
x ,
¯
y
)=(
1
2
,
8
5
)
Calculando la distancia del eje de giro al centroide:
d
=
|
A
¯
x
+
B
¯
y
+
C
|
√
A
2+
B
2 , conA
=
1
,B
=−
4
yC
=
8
tomados dex
−
4
y
+
8
=
0
;d
=
|
1
2
−
4
5
8
+
8
|
√
(
1
)
2+(−
4
)
2 =21
10
√
17
Finalmente
V
=
2
π
dA
=2
π
21
10
√
17
9
2
=189
π
5. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de una lámina plana que tiene la forma de la región limitada por
x
2=
4
ay
yy
=
a
,a
∈ℝ
,a
>
0
,0
≤
x
≤
2
a
si la densidad en cada punto es numéricamente igual a su abscisa. (2 pts) →Primero identificamos la región y los puntos de intersección entre las curvas:
Los puntos de corte son (-2a , 0) y (2a , 0).
ρ=
x
M
=
∫
a b
ρ[
f
(
x
)−
g
(
x
)]
dx
=∫
0 2a
x
[
a
−
x
2
4
a
]
dx
=∫
02a
[
ax
−
x
3
4
a
]
dx
M
=
[
ax
2
2
−
x
416
a
]
2
a
0
=
a
3My
=
∫
a b
ρ
x
[
f
(
x
)−
g
(
x
)]
dx
=∫
0 2a
x
2[
a
−
x
2
4
a
]
dx
=∫
02a
[
ax
2−
x
4
4
a
]
dx
My
=
[
ax
3
3
−
x
520
a
]
2
a
0
=
16
15
a
4
Mx
=
1
2
∫
ab
ρ[
f
2(
x
)−
g
2(
x
)]
dx
=1
2
∫
02a
x
[
a
2−(
x
2
4
a
)
2
]
dx
=1
2
∫
02a
(
a
2x
−
x
5
16
a
2)
dx
Mx
=
1
2
[
a
2
x
22
−
x
66
⋅
16
a
2]
2
a
=
2
3
a
4
→
(¯
x ,
¯
y
)=(
My
M
,
Mx
M
)
=(
16
15
a ,
2
3
a
)
a
2a
