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Espacios de Hilbert y Mecánica Cuántica

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Academic year: 2018

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(1)

¿Qu´e es una teor´ıa f´ısica?

Renato ´Alvarez-Nodarse

(2)

Contenidos

1 Introducci´on a la F´ısica ¿Qu´e es una teor´ıa f´ısica?

Ejemplo: la mec´anica newtoniana.

(3)

Generalidades

(4)

Generalidades

La F´ısica se basa en medidas y observaciones experimentales de la realidad que nos rodea, es decir, en cuantificar o caracterizar los distintos fen´omenos naturales mediante expresiones cuantitativas o n´umeros.

Estas cantidades medibles u observables se denominan cantidades

(5)

Generalidades

La F´ısica se basa en medidas y observaciones experimentales de la realidad que nos rodea, es decir, en cuantificar o caracterizar los distintos fen´omenos naturales mediante expresiones cuantitativas o n´umeros.

Estas cantidades medibles u observables se denominan cantidades

f´ısicas (e.g. longitud, velocidad, energ´ıa, . . . ).

El objeto o conjunto de objetos a estudiar se denomina sistema

f´ısico (e.g. una part´ıcula, un ´atomo, un coche, . . . ). Cuando conocemos distintas medidas de un sistema que lo caracterizan por completo en un momento (e.g. la posici´on y la velocidad de una

part´ıcula de masam) decimos que el sistema se encuentra en un

(6)

¿Qu´e es una teor´ıa f´ısica?

El objetivo de toda teor´ıa f´ısica es, por tanto:

1 Describir el estado del sistema f´ısico, es decir, dar una

(7)

¿Qu´e es una teor´ıa f´ısica?

El objetivo de toda teor´ıa f´ısica es, por tanto:

1 Describir el estado del sistema f´ısico, es decir, dar una

representaci´on cuantitativa (matem´atica) del estado que lo defina biun´ıvocamente.

2 Conocer la din´amica del sistema, es decir dado un estado

inicial en el momento t0 conocer su evoluci´on temporal para

(8)

¿Qu´e es una teor´ıa f´ısica?

El objetivo de toda teor´ıa f´ısica es, por tanto:

1 Describir el estado del sistema f´ısico, es decir, dar una

representaci´on cuantitativa (matem´atica) del estado que lo defina biun´ıvocamente.

2 Conocer la din´amica del sistema, es decir dado un estado

inicial en el momento t0 conocer su evoluci´on temporal para

t >t0.

3 Predecir los resultados de las mediciones de las cantidades

(9)

¿Qu´e es una teor´ıa f´ısica?

El objetivo de toda teor´ıa f´ısica es, por tanto:

1 Describir el estado del sistema f´ısico, es decir, dar una

representaci´on cuantitativa (matem´atica) del estado que lo defina biun´ıvocamente.

2 Conocer la din´amica del sistema, es decir dado un estado

inicial en el momento t0 conocer su evoluci´on temporal para

t >t0.

3 Predecir los resultados de las mediciones de las cantidades

(10)

¿Qu´e es una teor´ıa f´ısica?

La teor´ıa f´ısica en s´ı misma est´a en general constituida, desde el punto de vista abstracto, por tres apartados:

1 El formalismo: Conjunto de s´ımbolos y reglas de deducci´on a

(11)

¿Qu´e es una teor´ıa f´ısica?

La teor´ıa f´ısica en s´ı misma est´a en general constituida, desde el punto de vista abstracto, por tres apartados:

1 El formalismo: Conjunto de s´ımbolos y reglas de deducci´on a

partir de los cuales se pueden deducir proposiciones y enunciados. En general toda teor´ıa comienza postulando un cierto n´umero deaxiomas.

2 Ley din´amica: Cierta relaci´on (o relaciones) entre algunos de

(12)

¿Qu´e es una teor´ıa f´ısica?

La teor´ıa f´ısica en s´ı misma est´a en general constituida, desde el punto de vista abstracto, por tres apartados:

1 El formalismo: Conjunto de s´ımbolos y reglas de deducci´on a

partir de los cuales se pueden deducir proposiciones y enunciados. En general toda teor´ıa comienza postulando un cierto n´umero deaxiomas.

2 Ley din´amica: Cierta relaci´on (o relaciones) entre algunos de

los principales objetos del formalismo que permitan predecir acontecimientos futuros.

3 Reglas de correspondencia o interpretaci´on f´ısica: Conjunto de

(13)

La mec´

anica newtoniana

En la mec´anica newtoniana el estado de un sistema viene dado por

(14)

La mec´

anica newtoniana

En la mec´anica newtoniana el estado de un sistema viene dado por

el conjunto de trayectorias de las part´ıculas que lo constituyen.

Para una part´ıcula, el estado estar´a dado por la funci´on~r(t)∈R3

que denota la posici´on en cada instante de tiempo t. Los

(15)

La mec´

anica newtoniana

En la mec´anica newtoniana el estado de un sistema viene dado por

el conjunto de trayectorias de las part´ıculas que lo constituyen.

Para una part´ıcula, el estado estar´a dado por la funci´on~r(t)∈R3

que denota la posici´on en cada instante de tiempo t. Los

observables son las cantidades medibles, e.g. la posici´on~r(t), la velocidad ~v(t) =d/dt[~r(t)], la energ´ıa cin´eticaT =mv2(t), etc.

La ley din´amica en es la segunda ley de Newton:

m~a(t) =~F(t), ~a(t) = d

2

(16)

La mec´

anica newtoniana

En la mec´anica newtoniana el estado de un sistema viene dado por

el conjunto de trayectorias de las part´ıculas que lo constituyen.

Para una part´ıcula, el estado estar´a dado por la funci´on~r(t)∈R3

que denota la posici´on en cada instante de tiempo t. Los

observables son las cantidades medibles, e.g. la posici´on~r(t), la velocidad ~v(t) =d/dt[~r(t)], la energ´ıa cin´eticaT =mv2(t), etc.

La ley din´amica en es la segunda ley de Newton:

m~a(t) =~F(t), ~a(t) = d

2

~r(t) dt2 .

(17)

El formalismo de Hamilton-Jacobi

Vamos a suponer que el espacio f´ısico es un espacio de fases (~r, ~p), donde~r = (x,y,z)∈R3 y~p = (px,py,pz) denotan las

componentes del vector posici´on y momento, respectivamente. Definamos una funci´onH dependiente de la posici´on~r y el impulso

~

p

H(~r, ~p) = 1

2m(p

2

x+p

2

y +p

2

z) +V(x,y,z),

(18)

El formalismo de Hamilton-Jacobi

Entonces, las ecuaciones din´amicas del sistema vienen dadas por

las expresiones

Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

dx

dt =

∂H

∂px

, dpx

dt =−

∂H

∂x, dy

dt =

∂H

∂py

, dpy ∂t =−

∂H

∂y, dz

∂t =

∂H

∂pz

, dpz ∂t =−

∂H

∂z.

(19)

El formalismo de Hamilton-Jacobi

As´ı, si

H(~r, ~p) = 1

2m(p

2

x+p

2

y +p

2

z) +V(x,y,z),

las ecuaciones (1) nos dan

dx

dt =

∂H

∂px

=⇒ vx =

px

m, px =mvx,

dpx

dt =−

∂H

∂x =⇒ m dvx

dt =−

∂V

∂x =Fx =⇒ m

d2

x dt2 =Fx,

es decir, recuperamos las ecuaciones de Newton de la mec´anica

(20)

Ejemplo: El oscilador arm´

onico

Comencemos con un sistema cl´asico de gran importancia: el oscilador arm´onico. Asumiremos que el eje de coordenadas est´a situado justo en la posici´on de equilibrio del oscilador, luego por x representaremos la desviaci´on del sistema del punto de equilibrio. 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 x m k 0

(21)

Ejemplo: El oscilador arm´

onico

H(x,p) = p

2

2m +

1 2kx

2

=⇒ (2)

dx

dt =

∂H(x,p)

∂p , dp

dt =−

∂H(x,p)

∂x =⇒ dx

dt =

p m,

dp

dt =−kx =⇒ mx

′′(t) +kx(t) = 0.

Sus soluciones son

x(t) =Acos(ωt+δ), ω=

r

k m,

donde Ayδ depender´an dex0=x(0),v0 =v(0): v0=−ωx0tanδ

(22)

Ejemplo: El oscilador arm´

onico

5 10 15 20 25 1

2

−1

−2

t x

5 10 15 20 25 1

2

−1

−2

t x

(23)

Ejemplo: El oscilador arm´

onico

5 10 15 20 25 1

2

−1

−2

t x

5 10 15 20 25 1

2

−1

−2

t x

Figura:El oscilador arm´onico: soluciones

La energ´ıa E ≥0 y es una cantidad continua

E =T +V = 1

2m[x(t)

]2

+1

2kx

2

= 1

2kA

2

(24)

Los espacios de Hilbert y la Mec´

anica Cu´

antica

Renato ´Alvarez-Nodarse

(25)

Contenidos

1 Mec´anica cu´antica en H

Postulados

(26)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Postulado I

Postulado

A cada sistema f´ısico se le hace corresponder un espacio de Hilbert Hapropiado (separable). Adem´as, para cada t∈R (par´ametro correspondiente al tiempo) el estado queda completamente caracterizado por un vectorΨ normalizado a la unidad deH.

estados Ψ1, . . . , Ψk, la combinaci´on lineal Φ =Pnk=1αkΨk tambi´en es un (posible) estado.

(27)

Postulado I

Postulado

A cada sistema f´ısico se le hace corresponder un espacio de Hilbert Hapropiado (separable). Adem´as, para cada t∈R (par´ametro correspondiente al tiempo) el estado queda completamente caracterizado por un vectorΨ normalizado a la unidad deH.

Es decir, para cadat el estado est´a determinado por un vector de

Htal quekΨk= 1. De aqu´ı tambi´en se sigue que, dados los

estados Ψ1, . . . , Ψk, la combinaci´on lineal Φ =Pnk=1αkΨk tambi´en es un (posible) estado.

(28)

Postulado II

Postulado

(29)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Postulado III

Postulado

SeaΨel estado del sistema en el momento t justo antes de la medici´on de la magnitud (observable) L (asociada al operador bL). Independientemente de cu´al sea el estado original Ψ, el resultado de la medici´on s´olo puede ser un autovalor de bL.

As´ı pues, antes de medirLel sistema puede estar encualquier

estado Ψ, pero al realizar la medici´on, ´esta cambia al sistema y lo deja en el estado determinado por el vector Ψλ que es un

autovector debLcorrespondiente a al autovalorλ. ComobLes

(30)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Postulado III

Postulado

SeaΨel estado del sistema en el momento t justo antes de la medici´on de la magnitud (observable) L (asociada al operador bL). Independientemente de cu´al sea el estado original Ψ, el resultado de la medici´on s´olo puede ser un autovalor de bL.

Este postulado requiere una aclaraci´on.

As´ı pues, antes de medirLel sistema puede estar encualquier

estado Ψ, pero al realizar la medici´on, ´esta cambia al sistema y lo deja en el estado determinado por el vector Ψλ que es un

autovector debLcorrespondiente a al autovalorλ. ComobLes

(31)

Postulado III

Postulado

SeaΨel estado del sistema en el momento t justo antes de la medici´on de la magnitud (observable) L (asociada al operador bL). Independientemente de cu´al sea el estado original Ψ, el resultado de la medici´on s´olo puede ser un autovalor de bL.

Este postulado requiere una aclaraci´on. Al hacer una medici´on debL

el sistema cambia (las mediciones interfieren en el sistema). As´ı pues, antes de medirLel sistema puede estar encualquier

estado Ψ, pero al realizar la medici´on, ´esta cambia al sistema y lo deja en el estado determinado por el vector Ψλ que es un

autovector debLcorrespondiente a al autovalorλ. ComobLes

(32)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Postulado IV

Postulado

El valor esperadohLi de una cantidad f´ısica L cuando el sistema se encuentra en el estadoΨviene dado por el elemento matricial

hLi=hΨ,bLΨi.

(33)

Postulado IV

Postulado

El valor esperadohLi de una cantidad f´ısica L cuando el sistema se encuentra en el estadoΨviene dado por el elemento matricial

hLi=hΨ,bLΨi.

N´otese que, como bLes herm´ıtico, entonces

(34)

Postulado V

Postulado

Los elementos matriciales de los operadoresbxi de la posici´on

(coordenadas) xi ybpi de los momentos pi, i = 1,2,3, donde los ´ındices i = 1,2,3corresponden a las proyecciones en los ejes x , y y

z, respectivamente, definidos porhΦ,bxiΨi yhΦ,bpiΨi, cualquiera seanΦyΨdeH satisfacen las ecuaciones de evoluci´on

d

dthΦ,bxiΨi= *

Φ,∂Hb ∂bpi

Ψ

+

, d

dthΦ,bpiΨi=− *

Φ,∂Hb ∂bxi

Ψ

+

, (1)

(35)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Postulado V

Este postulado tiene un significado f´ısico evidente pues nos indica que el promedio de las cantidades medibles posici´on, impulso y energ´ıa (hamiltoniano) satisfacen las ecuaciones din´amicas de la mec´anica hamiltoniana, i.e, en el l´ımite apropiado (~→0) la

mec´anica cu´antica se transforma en la cl´asica (principio de correspondencia de Bohr).

i = 1,2,3, por lo que el operador Hb se obtiene cambiando lasxi

por los correspondientes operadoresbxi ypi porbpi. Esto, aunque en

apariencia estrivial, en general no lo es puesHb debe ser herm´ıtico

(36)

Postulado V

Este postulado tiene un significado f´ısico evidente pues nos indica que el promedio de las cantidades medibles posici´on, impulso y energ´ıa (hamiltoniano) satisfacen las ecuaciones din´amicas de la mec´anica hamiltoniana, i.e, en el l´ımite apropiado (~→0) la

mec´anica cu´antica se transforma en la cl´asica (principio de correspondencia de Bohr).

Proceden unas aclaraciones. En general el HamiltonianoH de un sistema cl´asico depende de las coordenadasxi y los impulsos pi,

i = 1,2,3, por lo que el operadorHb se obtiene cambiando lasxi

por los correspondientes operadoresbxi ypi por bpi. Esto, aunque en

apariencia estrivial, en general no lo es puesHb debe ser herm´ıtico

(37)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Postulado VI

Postulado

Los operadores posici´onbxi e impulso bpi, i = 1,2,3, satisfacen las relaciones de conmutaci´on

[bxk,bxj] = 0 = [bpk,bpj], [bxk,bpj] =i~δk,jbI, (2)

donde~es una constante e i =

√ −1.

(38)

Postulado VI

Postulado

Los operadores posici´onbxi e impulso bpi, i = 1,2,3, satisfacen las relaciones de conmutaci´on

[bxk,bxj] = 0 = [bpk,bpj], [bxk,bpj] =i~δk,jbI, (2)

donde~es una constante e i =

√ −1.

En particular, de lo anterior se sigue que los operadoresbxk ybpk no

(39)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Construyendo los operadores cu´

anticos

1.Supongamos que tenemos una magnitud cl´asicaL que depende dexi ypi. Para construir el operador mecano-cu´antico s´olo tenemos que cambiar losxi por losbxi ypi por bpi.

T = p1 +p2 +p3

2m =⇒ Tb =

b

p1 +bp2 +bp3

2m ,

yV(x1,x2,x3) porVb =V( b

x1,bx2,bx3), siendo ambos operadores

herm´ıticos.

Esto no siempre ocurre. Imaginemos que el hamiltoniano contiene el t´ermino Wi =xipi. Entonces, el operadorWci =

b

xibpi no puede

representar al operador cu´antico ya que no es herm´ıtico (bxi ybpi no

conmutan.) En este caso hay que definirWci por

c Wi =

1

(40)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Construyendo los operadores cu´

anticos

1.Supongamos que tenemos una magnitud cl´asicaL que depende dexi ypi. Para construir el operador mecano-cu´antico s´olo tenemos que cambiar losxi por losbxi ypi por bpi.

Por ejemplo, la energ´ıa cin´etica viene dada por

T = p

2

1 +p22+p23

2m =⇒ Tb =

b p12+bp2

2+ b p32

2m ,

yV(x1,x2,x3) porVb =V(bx1,bx2,bx3), siendo ambos operadores

herm´ıticos.

representar al operador cu´antico ya que no es herm´ıtico (bxi ybpi no

conmutan.) En este caso hay que definirWci por

c Wi =

1

(41)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Construyendo los operadores cu´

anticos

1.Supongamos que tenemos una magnitud cl´asicaL que depende dexi ypi. Para construir el operador mecano-cu´antico s´olo tenemos que cambiar losxi por losbxi ypi por bpi.

Por ejemplo, la energ´ıa cin´etica viene dada por

T = p

2

1 +p22+p23

2m =⇒ Tb =

b p12+bp2

2+ b p32

2m ,

yV(x1,x2,x3) porVb =V(bx1,bx2,bx3), siendo ambos operadores

herm´ıticos.

Esto no siempre ocurre. Imaginemos que el hamiltoniano contiene el t´ermino Wi =xipi. Entonces, el operadorWci =

b

xibpi no puede

representar al operador cu´antico ya que no es herm´ıtico (bxi ybpi no

conmutan.)

c Wi =

(42)

Construyendo los operadores cu´

anticos

1.Supongamos que tenemos una magnitud cl´asicaL que depende dexi ypi. Para construir el operador mecano-cu´antico s´olo tenemos que cambiar losxi por losbxi ypi por bpi.

Por ejemplo, la energ´ıa cin´etica viene dada por

T = p

2

1 +p22+p23

2m =⇒ Tb =

b p12+bp2

2+ b p32

2m ,

yV(x1,x2,x3) porVb =V(bx1,bx2,bx3), siendo ambos operadores

herm´ıticos.

Esto no siempre ocurre. Imaginemos que el hamiltoniano contiene el t´ermino Wi =xipi. Entonces, el operadorWci =

b

xibpi no puede

representar al operador cu´antico ya que no es herm´ıtico (bxi ybpi no

conmutan.) En este caso hay que definirWci por

c Wi =

1

(43)

Interpretaci´

on probabil´ıstica

2.Supongamos el sistema f´ısico se encuentra en el estado definido por Ψn, autovector correspondiente al autovalor λn de cierto operadorbLasociado a la magnitud f´ısica L. Entonces

hΨn,bLΨni=λn, hΨn,bLkΨni=λkn,

Supongamos ahora que el sistema se encuentra en el estado Φ que es en una superposici´on de los estados Ψk,k = 1,2, . . . ,N, entonces como Φ =P

kfkΨk tenemos

hΦ,bLΦi= X

k

|fk|2λk.

(44)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Los operadores en

L

2

3.Escojamos como espacio de Hilbert de nuestro sistema el conjunto de las funciones de cuadrado integrableH=L2(Ω),

Ψ = Ψ(x). Definiremos el operadorbxi enL

2(Ω) como el operador

bxi :=xibI. Luegobx

kΨ(x) =xkΨ(x).

objetivo es encontrar un operadorbp tal que cumpla las relaciones

de conmutaci´on (2). Se puede probar que

b

pk =−i~ ∂ ∂xk

(45)

Los operadores en

L

3.Escojamos como espacio de Hilbert de nuestro sistema el conjunto de las funciones de cuadrado integrableH=L2(Ω),

Ψ = Ψ(x). Definiremos el operadorbxi enL

2(Ω) como el operador

bxi :=xibI. Luegobx

kΨ(x) =xkΨ(x).

¿Qui´en esbpj? Por simplicidad vamos a trabajar solamente en dimensi´on 1 (s´olo la proyecci´on en el eje de lasx). Nuestro objetivo es encontrar un operadorbp tal que cumpla las relaciones

de conmutaci´on (2). Se puede probar que

b

pk =−i~ ∂ ∂xk

(46)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Los operadores en

L

2

Del postulado 6 se sigue que

1 [

b

p,bx] =bpbx−bxbp =−i~bI,

2 [

b p,bx

2] = b pbx

2 b

x2bp =−2i~bx,

.. .

3 [

b p,bxn] =

b pbxn

b xn

b

p=−ni~bx

n−1=i

~∂bx

n

∂bx

.

[bp,F(bx)] =−i~∂F(bx) ∂bx

, (3)

An´alogamente

[bx,F(bp)] =i~ ∂F(bp)

(47)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

Los operadores en

L

2

Del postulado 6 se sigue que

1 [

b

p,bx] =bpbx−bxbp =−i~bI,

2 [

b p,bx

2] = b pbx

2 b

x2bp =−2i~bx,

.. .

3 [

b p,bxn] =

b pbxn

b xn

b

p=−ni~bx

n−1=i

~∂bx

n

∂bx

.

Luego, para cualquier funci´on anal´ıticaF(z) tenemos

[bp,F(bx)] =−i~∂F(bx) ∂bx

, (3)

[bx,F(bp)] =i~

(48)

Los operadores en

L

Del postulado 6 se sigue que

1 [

b

p,bx] =bpbx−bxbp =−i~bI,

2 [

b p,bx

2] = b pbx

2 b

x2bp =−2i~bx,

.. .

3 [

b p,bxn] =

b pbxn

b xn

b

p=−ni~bx

n−1=i

~∂bx

n

∂bx

.

Luego, para cualquier funci´on anal´ıticaF(z) tenemos

[bp,F(bx)] =−i~∂F(bx) ∂bx

, (3)

An´alogamente

[bx,F(bp)] =i~ ∂F(bp)

(49)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

En adelante asumiremos que el Hamiltoniano del sistema se expresa mediante la f´ormula

b

H=Tb +Vb, Tb = 3 X

i=1 b pk2

2m,

yVb =V(bx1,bx2,bx3) =V(x1,x2,x3)bI s´olo depende de las

coordenadasx,y,z.1

[bp,Hb] = [bp,V(bx)] =−i~ ∂V(bx)

∂bx

=−i~∂ b H ∂bx

(4)

1

(50)

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

En adelante asumiremos que el Hamiltoniano del sistema se expresa mediante la f´ormula

b

H=Tb +Vb, Tb = 3 X

i=1 b pk2

2m,

yVb =V(bx1,bx2,bx3) =V(x1,x2,x3)bI s´olo depende de las

coordenadasx,y,z.1

Por simplicidad trabajaremos s´olo con la proyecci´on en el ejeOX. Como [bp,Tb] = 0, tenemos, usando (3) que

[bp,Hb] = [bp,V(bx)] =−i~ ∂V(bx)

∂bx

=−i~∂ b H ∂bx

(4)

1

Recordemos que estamos usando indistintamente la notaci´onx1,x2,x3y

(51)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

Supongamos ahora que los vectores de estado no dependen del tiempo (los operadores s´ı que pueden, en principio, depender del tiempo). Entonces del postulado 5 se tiene que

dbp dt =−

∂Hb ∂bx ,

de donde se sigue que

dbp dt =−

i

~[bp, b

H]. (5)

deduce la segunda ecuaci´on de Heisenberg

dbx dt =−

i

~[bx, b

(52)

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

Supongamos ahora que los vectores de estado no dependen del tiempo (los operadores s´ı que pueden, en principio, depender del tiempo). Entonces del postulado 5 se tiene que

dbp dt =−

∂Hb ∂bx ,

de donde se sigue que

dbp dt =−

i

~[bp, b

H]. (5)

De forma an´aloga, pero usando que [bx,F(bp)] =i~ ∂F(bp)

bp , se

deduce la segunda ecuaci´on de Heisenberg

dbx dt =−

i

~[bx, b

(53)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

Las ecuaciones anteriores se conocen comoecuaciones din´amicas

de la mec´anica cu´antica en larepresentaci´on de Heisenberg: es decir, cuando las funciones de onda son vectores independientes del tiempo pero los operadores no lo son.

usando el postulado 5 y la f´ormula (4) (∂Hb

∂bx

=i/~[bp,Hb]),

obtenemos

d

dthΦ,bpΨi=− *

Φ,∂Hb ∂b

+

=−i

~

(54)

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

Las ecuaciones anteriores se conocen comoecuaciones din´amicas

de la mec´anica cu´antica en larepresentaci´on de Heisenberg: es decir, cuando las funciones de onda son vectores independientes del tiempo pero los operadores no lo son.

Obviamente hay otra posibilidad y es que los operadores no dependan del tiempo y las funciones de onda s´ı. En este caso usando el postulado 5 y la f´ormula (4) (∂Hb

∂bx

=i/~[bp,Hb]),

obtenemos

d

dthΦ,bpΨi=− *

Φ,∂Hb ∂b

+

=−i

~

(55)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

Luego, por un lado,

∂Φ

∂t,bpΨ

+

Φ,bp∂Ψ ∂t

=

∂Φ

∂t,bpΨ

+

b pΦ,∂Ψ

∂t

= i

~

hΦ,bpHbΨi − hΦ,HbbpΨi

=

b pΦ,i

~ b HΨ + i ~ b HΦ,bpΨ

,

de donde se sigue que

b pΦ,∂Ψ

∂t + i ~ b HΨ + ∂Φ

∂t + i

~ b HΦ,bpΨ

= 0,

(56)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

Luego, por un lado,

∂Φ

∂t,bpΨ

+

Φ,bp∂Ψ ∂t

=

∂Φ

∂t,bpΨ

+

b pΦ,∂Ψ

∂t

y, por otro, i

~

hΦ,[bp,Hb]Ψi=

= i

~

hΦ,bpHbΨi − hΦ,HbbpΨi

=

b pΦ,i

~ b HΨ + i ~ b HΦ,bpΨ

,

b pΦ,∂Ψ

∂t + i

~ b

HΨ + ∂Φ

∂t + i

~ b

HΦ,bpΨ = 0,

(57)

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

Luego, por un lado,

∂Φ

∂t,bpΨ

+

Φ,bp∂Ψ ∂t

=

∂Φ

∂t,bpΨ

+

b pΦ,∂Ψ

∂t

y, por otro, i

~

hΦ,[bp,Hb]Ψi=

= i

~

hΦ,bpHbΨi − hΦ,HbbpΨi

=

b pΦ,i

~ b HΨ + i ~ b HΦ,bpΨ

,

de donde se sigue que

b pΦ,∂Ψ

∂t + i ~ b HΨ + ∂Φ

∂t + i

~ b HΦ,bpΨ

= 0,

(58)

La ecuaci´

on de Schr¨

odinger

Por tanto, necesariamente tenemos

la ecuaci´on de Schr¨odinger

i~∂Ψ

∂t =HbΨ. (7)

(59)

Mec´anica cu´antica enH PostuladosDiscusi´on e implicaciones de los postulados

El principio de incertidumbre de Heissenberg

Sean dos operadores herm´ıticosAb yBb. Definamos los operadores

4Ab=bA− hAibI, 4Bb =Bb− hBibI,

dondehAi yhBison los valores medios de Ab yBb en el estado Ψ.

Entonces, como [Ab,Bb] =ibL, con bLherm´ıtico, =⇒[4Ab,4Bb] =ibL.

4A:=

q

hΨ,(4Ab)2Ψi=k4AbΨk,

4B :=

q

hΨ,(4Bb)2Ψi=k4BbΨk.

Si usamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz

(60)

El principio de incertidumbre de Heissenberg

Sean dos operadores herm´ıticosAb yBb. Definamos los operadores

4Ab=bA− hAibI, 4Bb =Bb− hBibI,

dondehAi yhBison los valores medios de Ab yBb en el estado Ψ.

Entonces, como [Ab,Bb] =ibL, con bLherm´ıtico, =⇒[4Ab,4Bb] =ibL.

Lasdispersiones de las cantidades A yB en el estado Ψ vendr´an dadas por

4A:=

q

hΨ,(4Ab)2Ψi=k4AbΨk,

4B :=

q

hΨ,(4Bb)2Ψi=k4BbΨk.

Si usamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz

(61)

El principio de incertidumbre de Heissenberg

Calculemos la parte imaginaria de

h4AbΨ,4BbΨi=hΨ,4Ab4Bb|Ψi

–recordemos queA es herm´ıtico, luego4Ab tambi´en lo es pueshAi

es real–. Obtenemos

=hΨ,4bA4Bb|Ψi=

1 2i

hΨ,4Ab4Bb|Ψi − hΨ,4Ab4Bb|Ψi

=1 2i

hΨ,4Ab4Bb|Ψi − hΨ,4Bb+4bA+|Ψi

=1 2i

hΨ,4Ab4Bb|Ψi − hΨ,4Bb4Ab|Ψi

=1

2ihΨ,[4Ab,4Bb]|Ψi=

1

(62)

El principio de incertidumbre de Heissenberg

ComobLes herm´ıtico,hΨ,bL|Ψi es un n´umero real que denotaremos

porl; as´ı,

4A4B ≥ |l|

2. Lo anterior aplicado a los operadoresbp ybx

[bp,bx] =−i~bI

nos conduce al principio de incertidumbre de Heisenberg

4x4p ≥ ~

2.

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