TALLER 2: ECUACIONES HIPERBÓLICAS
Física Matemática II – CNF 375
Preguntas
1. Discuta cuáles son las características de una ecuación diferencial parcial para que sea denominada “ecuación diferencial hiperbólica”, cuáles son las condiciones de frontera para que la solución sea única y qué tipo de fenómenos físicos se pueden describir con dicha ecuación.
2. Explique cuál es la idea que se busca con la reducción del problema general y dé un ejemplo diferente al expuesto en clase.
3. Explique que es el problema de Sturm-‐Liouville.
4. Explique y escriba la expresión matemática para los siguientes tipos de frontera en una cuerda finita: Empotrada, cuando no existe ninguna fuerza aplicada en el extremo, cuando existe una fuerza restauradora (Ley de Hooke) en el extremo.
5. Explique cuál es la importancia de las funciones de Bessel en la solución de ecuaciones diferenciales parciales.
6. Explique por qué las funciones de Bessel no se les llama polinomios de Bessel.
7. Explique cuál es la importancia de que toda ecuación diferencial se pueda volver autoadjuntable. Indique cuales son las condiciones para que esto sea cierto.
8. Explique la importancia que tienen los operadores (ecuaciones diferenciales) hermíticos.
Ejercicios
1. Considere el problema de determinar las oscilaciones libres de una cuerda de longitud L que está fija en sus extremos. La cuerda se levanta en el instante inicial en su punto medio, formando un triángulo, hasta una altura h y se suelta para que oscile.
a. Escriba la ecuación diferencial parcial.
b. Escriba las condiciones de frontera e iniciales para este problema.
c. Muestre que la solución del problema es
𝑢 𝑥,𝑡 = !"
!!!!𝑠𝑒𝑛
!"
! 𝑠𝑒𝑛
!"#
! 𝑐𝑜𝑠
!"#$ ! !
!!! .
d. Grafique la solución para cinco valores de tiempo (0 s, 0.5 s, 0.8 s, 1 s, 10 s). Discuta los resultados obtenidos.
e(x,t) e(x+∆x,t) i(x,t) L∆x R∆x i(x+∆x,t)
G∆x C∆x
2. Considere el problema de determinar las oscilaciones libres de una cuerda de longitud L que está fija en sus extremos. La cuerda se levanta en el instante inicial en la forma dada por la siguiente ecuación 𝑠𝑒𝑛 !"
! , y se suelta para que oscile.
a. Escriba la ecuación diferencial parcial.
b. Escriba las condiciones de frontera e iniciales para este problema.
c. Muestre que la solución del problema es
𝑢 𝑥,𝑡 =𝑠𝑒𝑛 !"
! 𝑐𝑜𝑠 !"#
! .
d. Grafique la solución para cinco valores de tiempo (0 s, 0.5 s, 0.8 s, 1 s, 10 s). Discuta los resultados obtenidos (escoja los parámetros adecuados).
Verifique que esta superposición de ondas estacionarias si representan la solución. ¿Qué puede concluir al respecto? ¿Qué puede decir de las condiciones iniciales?
e. Suponga ahora que ha pasado tanto tiempo que no importan las condiciones iniciales. Resuelva el problema y conteste lo siguiente: ¿Qué información queda indeterminada y esto que consecuencia tiene en la solución? ¿Qué tipo de información se obtiene con este tipo de problemas? Grafique varias de las soluciones posibles.
3. En una línea de transmisión eléctrica uniforme que se extiende a lo largo del eje x entre los puntos x=0 y x=a la intensidad de la corriente y el voltaje a tierra se representan respectivamente por i(x,t) y e(x,t). La línea o cable eléctrico posee los siguientes parámetros todos por unidad de longitud: resistencia R, inductancia L, capacitancia C y perditancia G. En una sección del cable entre x y ∆x posee el siguiente modelo equivalente a un circuito eléctrico (tenga en cuenta que la pertinancia y la capacitancia están a una diferencia de potencial igual a e(x,t))
a. Aplique las leyes de Kirchhoff y encuentre una ecuación para la corriente y otra para la diferencia de potencial.
b. Tome el límite cuando ∆x tiende a cero y obtenga las siguientes ecuaciones
!"
!"+𝐺𝑒+𝐶 !" !"=0 y
!"
!"+𝑅𝑖+𝐿 !"
c. Partiendo de la ecuación anterior elimine la corriente, derive respecto al tiempo y la posición y encuentre la ecuación del telegrafista
!!!
!!!=𝐿𝐶
!!!
!!!+ 𝑅𝐶+𝐿𝐺
!"
!"+𝑅𝐺𝑒.
d. Suponga ahora el caso particular de una línea bifilar (R=0 y G=0), imponga las condiciones iniciales 𝑒 𝑥,0 =𝑉 y !"(!,!!" )=0, y las condiciones de frontera de corto circuito 𝑒 0,𝑡 =𝑒 𝑎,𝑡 =0. Muestre que la diferencia de potencial está dada por la función
𝑒 𝑥,𝑡 = !!(!!!"#$%)
!" 𝑐𝑜𝑠
!" !
!
!"𝑡 𝑠𝑒𝑛
!"
! 𝑥
!
!!! .
e. Discuta que deben cumplir las condiciones para que sean compatibles.
f. Verifique las condiciones iniciales y de frontera.
g. Grafique la solución para distintos tiempos.
4. Examine en detalle el movimiento de una onda cuadrada con un ancho de 2 mm y una altura de 1 mm, que se propaga en la recta infinita con una velocidad de 0.5 mm/s, y en el momento inicial está centrada en el origen de la recta infinita y quieta. (grafique para distintos tiempos cada una de las ondas y la onda resultante)
5. Resuelva el problema hiperbólico (nota: para hallar los autovalores deberá resolver una ecuación trascendental)
𝜕!𝑢 𝜕𝑡! =𝑐!
𝜕!𝑢
𝜕𝑥!,0≤𝑥≤𝐿,𝑡 ≥0
𝑢! 0,𝑡 =0 𝑢! 𝐿,𝑡 +ℎ𝑢 𝐿,𝑡 =0
𝑢 𝑥,0 =0 𝑢! 𝑥,0 =1
a. Identifique, para el caso de una cuerda delgada, físicamente a que corresponden las condiciones de frontera.
b. ¿Qué es h, que unidades podría tener y que significa?
c. Encuentre la función del desplazamiento u(x,t).
d. De valores a L y h, y encuentre explícitamente los valores numéricos de los autovalores λn.
Respuesta: 𝑢 𝑥,𝑡 = !" ! !!!!!
!!! ! !!!!!! !! 𝑠𝑒𝑛 𝑐𝜆!𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜆!𝑥 !
!!! .
a. Escriba la ecuación de onda en coordenadas polares (no tenga en cuenta la coordenada z).
b. Separe la parte espacial de la temporal, compruebe que la parte espacial corresponde a la ecuación de Hemholtz en coordenadas polares y que la solución temporal es de la forma (defina ω)
𝑇 𝑡 =𝐴𝑒!"#+𝐵𝑒!!"#.
c. Ahora separe la parte espacial en una variable angular y otra radial. Compruebe que las ecuaciones diferenciales que obtiene son:
!!!
!!!+𝑚!Φ=0 y
!!! !!!+
!
! !"
!"+ 𝑘!− !!
!! 𝑃=0
d. Las oscilaciones de un tambor circular se pueden modelar con la ecuación de onda, donde la constante 𝑐!=𝑇 𝜎 donde T es la tensión de la piel del tambor y σ
es la masa por unidad de área de la piel del tambor. Muestre que la solución particular del desplazamiento transversal de la piel del tambor está dado por la expresión
𝑢! 𝜌,𝜙,𝑡 =𝐽! 𝑘𝜌 𝐶cos𝑚𝜙+𝐷sen𝑚𝜙 𝐴𝑒!"#+𝐵𝑒!!"#
donde 𝐽! 𝑘𝜌 es la función de Bessel de orden m.
e. Escriba las condiciones de frontera e iniciales que existan. ¿Qué puede decir del tiempo?
f. Determine las tres primeras frecuencias de resonancia (autovalores) y modos de vibración (autofunciones). Grafique la solución en un programa computacional.
7. Expansión de Fourier-‐Bessel. Para el orden 0 en el dominio finito (0,b) de la base discreta de Bessel
a. Escriba la condición de ortogonalidad.
b. Escriba la función bien comportada 𝑓 𝜌 en la base de Bessel de orden cero.
c. Halle los coeficientes de la expansión de la función 𝑓 𝜌 .
d. Demuestre que la expansión de la función !!!"!!! es
𝛿 𝑟−𝜌
2𝜋𝑟 =
1
𝜋𝑏!
𝐽! 𝜒!!𝑏𝜌 𝐽! 𝜒!! !𝜌 𝑏
𝐽! 𝜒!! !
!
!!!
𝑟<0,𝜌<𝑏
8. Resuelva el problema hiperbólico
𝜕!𝑢 𝜕𝑡! =𝑐!
𝜕!𝑢
𝑢 0,𝑡 =𝑘! 𝑢 𝐿,𝑡 =𝑘!
𝑢 𝑥,0 =𝜑 𝑥 𝑢! 𝑥,0 =𝜓 𝑥
a. Para 𝑘!=cte,𝑘! =cte. (Sugerencia: proponga la siguiente solución
𝑢 𝑥,𝑡 =𝑈 𝑥,𝑡 +𝑠 𝑥 tal que U tenga condiciones de frontera homogéneas)
b. Para 𝑘!,𝑘!dependientes del t. (Sugerencia: reescriba s para que cumpla las
condiciones de frontera del problema original y escriba U como una función inhomogénea)
9. Demostrar que la ecuación de las oscilaciones pequeñas de rotación 𝜃 de una barra de radio R tienen la forma
θ!! =a!θ!! , a= JG
k
donde
k: Momento de inercia por unidad de longitud Kg m .
J: Momento polar de Inercia Kg m! .
G: Módulo de rigidez N/m! .
a. Defina el momento angular de un elemento diferencial de la barra y determine el cambio en el momento angular de la barra en un tiempo ∆t (incluya un dibujo).
b. Defina la deformación γ en un segmento de la barra (incluya un dibujo).
c. Como la barra está sometida a torques en los extremos determine el cambio en el momento angular para el intervalo de tiempo ∆t.
d. Demuestre que la ecuación diferencial que da cuenta de este movimiento esθ!! =a!θ!!
