Utilizamos la fracción como operador en la resolución de problemas de la vida cotidiana

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(1)TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN PRIMARIA. Utilizamos la fracción como operador en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Trabajo de Suficiencia Profesional para optar el Título de Licenciada en Educación Primaria. Autora: Br. López Pisco, María Isabel. TRUJILLO – PERÚ 2019. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Dedicatoria A Dios: A Dios, por haberme permitido llegar hasta este punto, por haberme dado salud para lograr mis objetivos, por su amor y por brindarme su infinita paciencia y bondad.. A mis padres: Rosalía y Javier, por inculcarme y formarme con valores, por compartir momentos de felicidad y algunos de tristeza, por ser siempre padres.. A mi esposo Dennis, hijos Joshua y Jazmín por su aliento constante, su comprensión, paciencia, amor y por demostrarme que siempre estaremos unidos y lograremos las metas que nos proponemos.. María Isabel. ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Jurado Dictaminador. -------------------------------------------------------Dra Meregildo Gómez, Magna Ruth Presidente. -----------------------------------------------------Dra. Vásquez Mondragón, Cecilia del Pilar Secretario. --------------------------------------------------Dr. Quipuscoa Silvestre, Manuel Miembro. iii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Agradecimiento. A cada uno de los docentes del programa PREFORD Por compartir en las aulas sus conocimientos y valiosas experiencias que han contribuido de manera eficaz para la culminación del presente trabajo y alcanzar esta meta.. Al Mg. Orvar David Rodríguez Zavala, por su asesoramiento, por sus valiosos aportes y apoyo constante en el desarrollo del presente trabajo de suficiencia profesional. La Autora. iv Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Índice Dedicatoria............................................................................................................................. ii Jurado Dictaminador............................................................................................................. iii Agradecimiento .................................................................................................................... iv Índice ..................................................................................................................................... v Presentación ........................................................................................................................ viii Resumen ............................................................................................................................... ix Abstract .................................................................................................................................. x Introducción ......................................................................................................................... 11 I.. Diseño de Sesión de Aprendizaje Implementada ......................................................... 12 1.1. Datos informativos ................................................................................................ 12 1.2. Propósito y evidencia de aprendizaje .................................................................... 12 1.3. Momentos de la sesión .......................................................................................... 13. II. Sustento Teórico .......................................................................................................... 17 2.1. Cuerpo Temático ................................................................................................... 17 2.1.1. Las fracciones ............................................................................................. 17 2.1.1.1. Concepto ...................................................................................... 17 2.1.2. Las fracciones y sus diferentes interpretaciones........................................ 18 2.1.2.1. La fracción como parte – todo .................................................... 18 2.1.2.2. La fracción como razón .............................................................. 20 2.1.2.3. La fracción como operador ......................................................... 20 2.1.2.4. La fracción como cociente .......................................................... 21 2.1.2.5. La fracción como medida............................................................ 22 2.1.3. Clases de fracciones ................................................................................... 23 2.1.3.1. Fracciones que pueden sumarse, restarse o compararse .............. 23 2.1.3.2. Fracciones decimales como una extensión natural del sistema decimal de numeración ................................................................ 23 2.1.3.3. Del paso del conteo a las fracciones ............................................ 23 2.1.3.4. Acerca de la transferencia de propiedades de los enteros a las fracciones................................................................................ 25 2.2. Problema matemático ............................................................................................ 26 2.2.1. Definición .................................................................................................... 26 v Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 2.2.2. Resolución de problemas ............................................................................ 27 2.2.3. Etapas en la resolución de problemas ......................................................... 29 III. Sustento Pedagógico ..................................................................................................... 31 3.1. Introducción ......................................................................................................... 31 3.2. Cuerpo temático .................................................................................................... 31 3.2.1. Enfoque que sustenta el desarrollo de las competencias en el área de Matemática ................................................................................................. 31 3.2.2. Competencia .............................................................................................. 32 3.2.3. Competencia: resuelve problemas de cantidad .......................................... 32 3.2.4. Capacidad .................................................................................................. 33 3.2.5. Desempeño ................................................................................................ 34 3.2.6. Procesos pedagógicos ................................................................................ 34 3.2.6.1. Problematización .......................................................................... 35 3.2.6.2. Propósito y organización .............................................................. 36 3.2.6.3. Motivación/interés/incentivo ........................................................ 37 3.2.6.4. Saberes previos ............................................................................. 37 3.2.6.5. Gestión y acompañamiento ........................................................... 38 3.2.6.6. Evaluación .................................................................................... 39 3.3. Técnicas e instrumentos de evaluación ................................................................. 41 3.3.1. Lista de cotejo ............................................................................................ 42 3.4. Metacognición ....................................................................................................... 42 3.4.1. Procesos didácticos .................................................................................... 43 3.4.2. Estrategias didácticas ................................................................................. 49 3.4.3. Estrategias de enseñanza-aprendizaje ........................................................ 49 3.4.4. Medios y materiales ................................................................................... 49 3.4.4.1. Medios ........................................................................................ 49 3.4.4.2. Medios educativos ...................................................................... 50 3.4.5. El material educativo ................................................................................. 50 3.4.5.1. Clases de medios y materiales educativos .................................. 51 3.4.6. Material didáctico ....................................................................................... 52 3.4.6.1. Clasificación del material didáctico ............................................ 53 3.4.7. Funciones ................................................................................................... 53 3.4.8. Importancia ................................................................................................ 53 vi Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Conclusiones........................................................................................................................ 55 Referencias Bibliográficas ................................................................................................... 56 Anexos ................................................................................................................................. 59. vii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Presentación. Señores miembros del jurado evaluador:. Dando cumplimiento con los requisitos indispensables para optar el título profesional de Licenciada en Educación Primaria de la Universidad Nacional de Trujillo, someto a vuestra disposición la presente sesión de aprendizaje en el Área de Matemática para el sexto grado de Educación Primaria titulada: Utilizamos la fracción como operador en la resolución de problemas de la vida cotidiana El desarrollo de la sesión de aprendizaje ha sido elaborado utilizando sustento teórico y pedagógico para obtener un aprendizaje significativo en los estudiantes de sexto grado de Educación Primaria.. La Autora La Autora. viii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Resumen. La presente sesión de aprendizaje titulada: Utilizamos la fracción como operador en la resolución de problemas de la vida cotidiana tiene como población a estudiantes del sexto grado de educación primaria de la Institución Educativa Nº 80014 “Juan pablo II” de la ciudad de Trujillo en el año 2019, en el cual se da a conocer actividades y estrategias para aprender a comprender sobre un tema bastante complejo, como son las fracciones, a partir del establecimiento de relaciones entre datos y acciones de dividir una o más unidades en partes iguales. El objetivo general de la presente sesión de aprendizaje es que el estudiante aprenda a resolver problemas utilizando la fracción como operador. Además, desarrollar el razonamiento, la creatividad y el pensamiento crítico para promover aprendizajes significativos. Durante el desarrollo de las estrategias, se pretende en todo momento despertar el interés y motivación del estudiante, puesto que en el área de matemática es muy importante en la vida cotidiana y el uso apropiado de las fracciones contribuirá a fortalecer su autonomía y seguridad al desenvolverse en situaciones reales de su contexto, ya que a partir de ello se desarrolla las competencias matemáticas en los estudiantes.. Palabras clave: Fracción con operador, Problema matemático, Resolución de problemas.. ix Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Abstract The entitled learning session: Using the fraction as an operator in problem solving about daily life” has a student population of sixth grade primary education from N°80014 “Juan Pablo II” institution in the city of Trujillo in 2019, in which, all the activities and strategies are given to make students comprehend about complex themes such as fractions, starting with the relationships between data and actions to divide one or more units in equal parts. The overall objective of this learning session is that the student learns solving problems using the fraction as an operator. Also, develop the reasoning, creativity, and the critical thinking to promote a meaningful learning. During the development of the strategies, it is pretended waking up students’ interest and motivation at an all times, because mathematics is very important in daily life and the correct use of fractions will strengthen their autonomy and assurance in real contexts, from which students develop math skills.. Keywords: Fraction as an operator, Math problem, Daily activities, Problem solving. x Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Introducción El área de Matemática tiene como finalidad principal desarrollar en los estudiantes un manejo eficiente de los conocimientos matemáticos en la vida cotidiana, comprender, procesar y producir problemas interactuando con sus compañeros (as) y así construir sus aprendizajes en función de sus propósitos. En la primera parte del informe está destinado a la demostración de estrategias de la sesión de aprendizaje denominada: Utilizamos la fracción como operador en la resolución de problemas de la vida cotidiana. A continuación, se expresa la fundamentación del área de Matemática de acuerdo al Currículo Nacional de Educación Básica y el sustento teórico referido a las fracciones, las diferentes interpretaciones de fracción, clases de fracciones, problemas matemáticos, resolución de problemas. Por último, el sustento pedagógico referido a los procesos pedagógicos y didácticos, técnicas, medios y materiales en el proceso metodológico, así como también los procedimientos e instrumentos de evaluación y la metacognición.. 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. I. Diseño de Sesión de Aprendizaje Implementada. 1.1. Datos informativos 1.1.1. Institución Educativa. :. Nº 80014 “Juan Pablo II”. 1.1.2. Grado y sección. :. 6º “B”. 1.1.3. Tema. :. Utilizamos la fracción como operador en la resolución de problemas de la vida cotidiana.. 1.1.4. Unidad didáctica. :. Participamos en el festival de talentos para fortalecer nuestra identidad. 1.1.5. Área. :. Matemática. 1.1.6. Duración. :. 45 minutos. 1.1.7. Docente responsable. :. María Isabel López Pisco. 1.1.8. Fecha. :. Trujillo, 22 de octubre de 2019. 1.2. Propósito y evidencia de aprendizaje Á R E A. COMPETENCIA. Resuelve problemas de. MATEMÀTICA. cantidad. CAPACIDAD. Traduce cantidades a expresiones numéricas. Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones. Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo. Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones.. DESEMPEÑO. Establece relaciones entre datos y acciones de dividir una o más unidades en partes iguales y las transforma en expresiones numéricas (modelo) de fracciones y adición, sustracción y multiplicación con expresiones fraccionarias (la fracción como operador) y decimales (hasta el centésimo). EVIDENCIA DE APRENDIZAJE. INSTR. DE EVALUACIÓN. Resuelve. Lista. problemas. cotejo. de. utilizando la fracción como operador.. 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 1.3. Momentos de la sesión MOMENTOS. ESTRATEGIAS. MATERIALES. TIEMPO. Y RECURSOS. ▪. Escuchan el saludo y la presentación de la docente.. ▪. Establecen las normas de convivencia Cuartillas (Anexo 1). escritas. ▪. Escuchan una breve leyenda sobre el tangram Plumones (Anexo 2) Limpiatipo Observan el tangram y responden a diferentes Pizarra preguntas: ¿Qué figuras geométricas Papelotes observan?, ¿Qué parte del cuadrado será el Voz triángulo grande?, ¿Qué parte del triángulo Tangram grande, serán los triángulos medianos?, ¿De. ▪ Inicio. 7 min. qué tema estamos hablando?, ¿Existirá alguna relación entre el tangram y la aplicación de fracciones?, ¿por qué?, ¿Qué es una fracción de. una unidad?, ¿podremos hallar la fracción de un conjunto de unidades?, ¿En qué consiste utilizar la fracción como operador? ▪. Escuchan con atención las intervenciones de sus compañeros y registra las respuestas en un papelote.. ▪. Escuchan el propósito de la sesión: “Utilizar. la fracción como operador al resolver problemas de la vida cotidiana” Familiarización con el Problema ▪. Desarrollo. Leen la siguiente situación problemática: Organizando la fiesta de promoción Los integrantes del comité de aula de Sexto grado “A” están organizando la fiesta de promoción. Han recibido los resultados de una encuesta aplicada a 30 personas, entre niños y niñas, sobre sus platos preferidos, y han obtenido como resultado las siguientes preferencias: 3/6 prefieren pollo a la brasa, 1/3 cabrito y 2/5 pato. Los padres no saben exactamente cuántas personas quieren cada plato, razón por la cual han pedido ayuda a los estudiantes del Sexto “B”. Plumones Limpiatipo Pizarra. 3 min. Papelotes Voz. 13 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. ▪. Contestan las siguientes preguntas: ¿De qué trata el problema?, ¿qué datos nos brinda?, ¿Cuántos estudiantes hay en sexto grado?, ¿Cuántas. personas. son. las. 5 min. encuestadas?,¿Qué nos pide el problema?, ¿Qué parte de los encuestados prefieren pollo a la brasa?, ¿Qué parte de los encuestados prefieren cabrito?, ¿Qué parte de los encuestados prefieren pato? ▪. Explican el problema con sus propias Botones palabras. ▪. Base 10. Se organizan en grupos de cuatro y reciben Regletas los materiales necesarios.. Plumones. Búsqueda y ejecución de estrategias ▪. 8 min. Chapas. Contestan las siguientes preguntas: ¿Qué Limpiatipo materiales podrás usar para resolver el Pizarra problema?, ¿qué procedimiento realizarías Papelotes para resolverlo?, ¿Cómo podemos saber la Voz cantidad de personas que prefieren cada potaje?,. ¿podrías decir el problema de otra forma?, ¿cómo lo resolverías?, ¿alguna vez han leído y/o resuelto un problema parecido?, ¿cómo lo resolvieron?;. ¿cómo. podría. ayudarte. esta. experiencia en la solución de este nuevo problema?. ▪. Conversan en equipo, se organizan y proponen de qué forma pueden resolver el problema.. ▪. Proponen y ejecutan diferentes estrategias y. Papelotes plumones 5 min. procedimiento para resolver el problema, ya sea de forma concreta, gráfica, simbólica. ▪. Reciben el acompañamiento de la docente durante el proceso de solución del problema,. 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. observando que la mayoría de equipos lo haya. 7 min. logrado.. Socialización de representaciones ▪. Comunican -un representante por grupo- qué. Papelotes procesos han seguido para resolver el plumones, problema; para ello pegan sus papelotes en la limpiatipo pizarra con el objetivo de que cuenten con el soporte. gráfico. para. fundamentar. sus. resultados. Reflexión y formalización ▪. Reflexionan respecto a los procesos y estrategias que siguieron para resolver el problema propuesto, a través de las siguientes. Cuaderno de trabajo. preguntas: ¿Las estrategias que utilizaste te fueron útiles?, ¿Cuál te parece más práctico?,. 5 min. ¿Por qué?, ¿Qué concepto hemos construido? ▪. Completan un organizador visual (anexo 3) para formalizar lo aprendido respondiendo las siguientes preguntas: ¿Cuándo se dice que la fracción actúa como operador?, ¿Qué pasos. debemos. seguir. para. resolver. situaciones en las que la fracción esté como operador?, ¿Habrá otra forma de resolver el problema planteado?, ¿Podrías establecer alguna estrategia diferente? Planteamiento de otros problemas ▪ Usan. los. procedimientos. matemáticas. aprendidas. y en. nociones problemas. planteados en las pp. 70 y 71 del cuaderno de trabajo Matemática 6 (anexo 4) Cierre. ▪. Responden a las preguntas: ¿Qué han aprendido. el. día. de. hoy?,. 5 min. ¿Dónde Ficha. encontraste dificultad?, ¿Qué te ayudó a impresa 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. II. Sustento Teórico 2.1 Cuerpo Temático 2.1.1. La Fracciones 2.1.1.1. Concepto Para Flores (2013, p. 85) nos dice que “si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales a cada una de ellas, la llamamos fracción”. Por este concepto podemos decir que una fracción se obtiene al dividir un objeto o unidad entero en varias partes de igual cantidad. Según Vergnaud (1998) el concepto de fracción hace parte de un campo conceptual que también incluye los conceptos de: número racional, razón, tasa, función lineal y no lineal, multiplicación y división, entre otros, el campo conceptual de las estructuras multiplicativas, cuyo dominio requiere de un conjunto de situaciones que se resuelvan a partir de las operaciones: multiplicación, división o ambas. Para la comprensión de estos conceptos se requiere de una variedad de situaciones y la interrelación de varios conceptos, lo que implica un trabajo pensado, planeado, con propósitos claros y esto requiere tiempo. Swokowski (1993) define las “fracciones como una expresión a/b que se utiliza para representar a ÷ b, a la que también se le llama cociente de a y b, o fracción de a sobre b, donde los números a, b son numerador y denominador respectivamente, y como 0 no tiene inverso multiplicativo a/b no está definida si b=0” Según Sande (1992, p. 5) afirma: “Toda fracción es un par ordenado de números enteros cuya segunda componente es distinta de cero” Freudenthal (1983) establece que “Las fracciones son el recurso fenomenológico del número racional, una fuente que nunca se seca. Es una palabra con la que entra el número racional y está relacionada con romper: fractura.” Dienes (1972) plantea que las fracciones pueden considerarse como: -. Estados: En el sentido que una fracción puede ser la descripción de 17. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. un estado de cosas. Por ejemplo, la mitad puede significar la descripción de la mitad de algún objeto. Lo cual introduce implícitamente, la idea de que la fracción puede ser un comparador. -. Operadores: Se refiere al resultado de la orden de ejecución de una operación. Por ejemplo, podemos ordenar tomar la mitad de un objeto, lo cual implica dividir el objeto en dos partes iguales y tomar una de ellas. En esto se presenta también un orden de ejecución de operaciones dividir y multiplicar.. 2.1.2. Las fracciones y sus diferentes interpretaciones Charalambous y Pitta (2007) presentan un modelo teórico de las cinco interpretaciones del concepto de fracción: parte-todo, razón, operador, cociente y medida. Estas interpretaciones o llamadas también subconstructos están basadas en la proposición hecha originalmente por Kieren quien fue, la pionera en la categorización del concepto de fracción durante los años setenta y cuya categorización fue luego expandida por Behr, Lesh, Post y Silver (1983) en el Proyecto de los Números Racionales. En este enfoque se presenta la necesidad de considerar los procesos de medición, la idea de comparación y la de operador asociadas al concepto de fracción. Un trabajo importante y citado frecuentemente en los estudios sobre la enseñanza o el desarrollo conceptual de las fracciones es el de Kieren (1998). La importancia de dicho trabajo radica en una exposición extensa, del tratamiento de cada tipo de interpretación en la enseñanza de las diversas interpretaciones del concepto de número racional. 2.1.2.1. La fracción como parte – todo La fracción se considera como un todo continuo o discreto subdividido en partes iguales indicando fundamentalmente la relación que existe entre el todo y un número designado de partes. Bajo esta perspectiva se considera que el numerador debe ser menor que el denominador. Esta es una de las interpretaciones más comunes de las fracciones y se considera la base para entender las demás, la prioridad se le da porque esta ocupa gran importancia en los planes de estudio de diversos países (Charalambous y Pitta 2007; Clarke, Roche y Mitchel, 2007; Kieren 1980 citado en Valdemoros, 2004). 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Lamon (2007) opina que si los niños desarrollan un entendimiento claro de esta interpretación se les facilitará el estudio de la equivalencia de fracciones, la suma y resta de fracciones, también hace mención que esta interpretación de fracción no proporciona un camino directo para entender la multiplicación ya que considera difícil trabajar con fracciones usando el lenguaje parte – todo y luego pensar en multiplicarlas. Charalambous y Pitta (2007) identifican tres situaciones que el estudiante debe entender: - Las partes juntas deben de ser igual al tamaño del todo - Poder dividir el todo en partes iguales - Las relaciones entre el todo y las partes se conserva sin tener en cuenta el tamaño y la forma. Al. respecto. Lamon. (2007). piensa. que. matemáticamente. y. psicológicamente la interpretación parte – todo no es suficiente para fundar el sistema de números racionales (citado en Clarke, Roche y Mitchel, 2007) Un ejemplo de esta interpretación presentado a continuación usado por Valdemoros (2004) en su estudio, en el que se espera que el estudiante entienda que las partes en que un todo está dividido son iguales, de la misma manera Lamon (2006) hace hincapié en la importancia que tiene desarrollar la idea de dividir en las edades tempranas, lo que le permitirá al estudiante poder encontrar la diferencia entre fracciones con denominadores comunes.. La relación parte todo se expresa generalmente a partir de regiones geométricas, conjuntos discretos de objetos y la recta numérica. Esto involucra naturalmente ideas relativas a la noción de longitud y área. El tratamiento de la relación parte-todo depende de la habilidad que se tenga para dividir o partir una cantidad continua o un conjunto discreto de objetos en partes iguales. En este caso el símbolo m/n representa una parte de una cantidad. Por ejemplo 5/8 se puede referir a dividir un todo en ocho partes y tomar cinco de ellas, pero también puede referirse a repartir cinco objetos entre ocho personas.. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 2.1.2.2. La fracción como razón Es considerado como la comparación numérica entre dos magnitudes o cantidades (Kieren 1980, citado en Perera y Valdemoros, 2007; Clarke et al., 2007; Charalambous y Pitta, 2007; Chamorro 2003). Se usa comúnmente con la idea de proporción, esta interpretación no recibe la prioridad debida en el plan de estudios escolar (Clarke et al., 2007). Lamon (2006) opina que no hay ninguna razón para no desarrollar el estudio de las proporciones desde la escuela ya que el niño usa estas compartiendo y comparando situaciones. En esta interpretación el estudiante debe comprender que en una proporción cuando las dos cantidades se multiplican por el mismo número entonces la proporción se mantiene. Marshall (1993) citado en Charalambous y Pitta (2007) considera que esta interpretación es necesaria para el desarrollo de equivalencia de fracciones. Los estudiantes deben entender la relación existente entre la cantidad de jugo concentrado y la cantidad de agua, y que la proporción entre dos cantidades se mantiene. Se menciona que esta interpretación está muy ligada a la noción de proporcionalidad (como igualdad de razones) y a partir de esto se plantea cómo se pueden hacer naturales las operaciones entre fracciones reduciéndolas al caso de suma de fracciones con el mismo denominador. La diferencia con las anteriores interpretaciones, tal vez, radica en que esta parte se admite una representación gráfica en la recta con doble escala para localizar fracciones equivalentes, lo cual algebraicamente se consigue con sólo multiplicar por una constante un elemento de una clase de equivalencia; mientras que en las anteriores interpretaciones se enfatiza el aspecto operativo o algebraico subyacente. 2.1.2.3.. La fracción como operador Se entiende como un transformador multiplicativo de un conjunto hacia otro conjunto, esta transformación se puede pensar como la ampliación o la reducción de un número (Kieren, 1980, citado en Perera y Valdemoros, 20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 2007). Por su parte Behr (1993) analizan que esta interpretación se puede ver. de. dos. formas. diferentes:. stretcher/shrinker. y. como. un. duplicator/partition-reductor, la diferencia entre las dos es que el stretcher/shrinker la transformación de la fracción produce el mismo número de unidades de tamaños diferentes Al respecto Lamon (1999) citada en Charalambous y Pitta (2007) define operador como transformador que alarga o acorta segmentos de una línea, aumento o disminución de un juego de objetos discretos. Chamorro (2003) menciona que la interpretación de la fracción como operador se apoya en el significado de función. Un número racional actuando sobre una parte, un grupo o un número modificándolo. En el proceso de enseñanza aprendizaje de esta interpretación se han encontrado algunas dificultades; los estudiantes presentan problemas conceptuales precisamente en la multiplicación y división de fracciones, siendo de esta manera que cuando se dan situaciones en las que hay que dividir o multiplicar fracciones no pueden identificar que deben hacer. Otro problema es el concepto erróneo que se maneja con la multiplicación, cuando se piensa que esta siempre hace más grande y la división hace más pequeño lo que es muy común, la causa puede ser la falta de experiencias en donde se usen las fracciones como operadores (Clarke, et al., 2007) En esta interpretación la noción de fracción se contextualiza en el uso de la proporcionalidad geométrica y la composición de transformaciones, de tal suerte que una transformación seguida de otra se considere como un todo, e incluso para reemplazar dos transformaciones por una tercera (el producto). Por esta razón se liga a esta interpretación con el producto de fracciones, lo cual lo distingue de las otras. Se habla de la necesidad de la reversibilidad del pensamiento en esta interpretación, lo cual lo hace más compleja que las otras en las que se enfatiza lo gráfico o la formalización de las reglas. 2.1.2.4. La fracción como cociente Se define como el resultado de dividir uno o varios objetos entre un número de personas o partes (Chamorro, 2003; Kieren, 1980, citado en Perera y 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Valdemoros, 2007). También puede concebirse como el valor numérico de la expresión a/b. Según Lamon (2007) para obtener una mejor comprensión de esta interpretación se deben desarrollar actividades desde edades tempranas. Al respecto Charalambous y Pitta (2007) establecen que el estudiante específicamente debe entender que en la expresión a/b el dividendo se refiere al número de partes en cada porción y el divisor al nombre de partes en cada porción. El numerador puede ser más grande o más pequeño que el denominador. Valdemoros (2004) usó en su estudio la tarea de galletas para evaluar que los estudiantes entienden esta interpretación. En la que se evidenciaron diversas dificultades en la equipartición de las galletas. En este caso los números racionales se presentan como símbolos formales con los cuales la ecuación ax = b, donde a y b son enteros y a es diferente de cero, tiene solución. En este sentido se presentan como una extensión algebraica de los números enteros. Las operaciones están sujetas a reglas formales con las que se construye un campo de cocientes al cual se puede definir un orden y es infinito. 2.1.2.5. La fracción como medida Se define como la asignación de un número a una región o a una magnitud de una, dos o tres dimensiones, producto de la partición equitativa de la unidad (Kieren, 1980 citado en Perera y Valdemoros, 2007). Chamorro (2003) define esta interpretación como la relación entre una parte y un todo (sea este continua o discreta). Esta interpretación implica las nociones de la unidad y subintervalos, equivalencia y la idea de densidad de los números racionales (Lamon, 2007) La enseñanza de la recta numérica se ha identificado con esta interpretación donde se muestra el número de partes iguales en que se puede dividir la unidad y ésta puede variar, esto depende del número de particiones (Clarke, et al., 2007; Charalambous y Pitta, 2007). A la vez mencionan que el estudiante debe ser capaz de localizar un número en la recta numérica y recíprocamente pueda identificar un número 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. representado por un cierto punto en la recta. Charalambous y Pitta (2007) mencionan que los estudiantes enfrentan dificultades con la representación de fracciones en la recta numérica. Estos tienden a contar el número de marcas en lugar de los intervalos, no logran identificar una fracción si está representada por una fracción equivalente. Se hace énfasis en el fraccionamiento de la unidad y las relaciones entre diversas estrategias de partición. En esta interpretación, surgen de manera natural el orden, las operaciones y los conceptos relativos a la recta numérica. Esta es de carácter más intuitivo. Lamon (2007) afirma que los estudiantes que dominan la interpretación de medida pueden desarrollar nociones fuertes sobre la adición y sustracción de fracción. 2.1.3. Clases de fracciones 2.1.3.1. Fracciones que pueden sumarse, restarse o compararse. Se considera aquí a las denominadas fracciones propias e impropias, es decir, únicamente a los números racionales positivos. No se hace referencia en este caso al fraccionamiento de la unidad o a la relación parte - todo. De hecho, se hace mención de que en esta interpretación se enfatizan los aspectos operativos en vez de los conceptuales. 2.1.3.2. Fracciones decimales como una extensión natural del sistema decimal de numeración. Los racionales vistos como una extensión del sistema decimal de numeración tienen la posibilidad de generar las operaciones entre ellos a partir de lo que se ha trabajado con los números enteros. Sin embargo, si se atiende sólo a esta interpretación los aspectos algebraicos de la definición de las operaciones con fracciones pueden perderse, lo cual es grave pues es una de las experiencias prealgebraicas necesarias para los niños. 2.1.3.3. Del paso del conteo a las fracciones. Muchas investigaciones han ilustrado cómo el paso de la adquisición del concepto de número a la destreza operativa con los números es largo y 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. depende de muchos factores, los cuales no son, por lo regular, considerados en la escuela. Por ejemplo, Vergnaud ha planteado la necesidad de considerar varios planos conceptuales en el desarrollo del concepto de número: el plano de los objetos, el de los conjuntos, el de los cardinales y el de las representaciones numéricas; cada uno de los cuales tiene una noción de suma asociada. Kulm25 señala la importancia de cinco principios de conteo (orden estable o conteo en secuencia fija, apareamiento uno a uno de objetos y nombres de los números, reconocimiento de que el último número contado indica el número total, conteo de números diferentes y conteo realizado en orden diferente) como un elemento previo a la utilización del conteo de manera efectiva. Así mismo, este mismo autor reconoce que la enseñanza de las operaciones aritméticas descansa en algunas habilidades de conteo (continuación del conteo, conteo regresivo, conteo de bloques, conteo combinado, conteo por duplicación y la compensación). Estas estrategias de conteo relacionadas con las operaciones aritméticas son un elemento importante en el desarrollo de estrategias de estimación, sin las cuáles es difícil reconocer un manejo adecuado del sistema de numeración, en el que reconocen diversas estrategias de estimación ( reformulación de datos numéricos sin alterar la estructura del problema, cambio de números y la estructura del problema y la compensación por ajuste de cantidades) utilizadas por los buenos estimadores, las cuales se han ido constatando, con otros estudios en diversos países. Es posible plantearse, después de que el niño ha recorrido un largo camino con el manejo de los números y ha avanzado en la utilización de representaciones gráficas, la enseñanza del algoritmo usual y su conveniencia como procedimiento general. Lo cual se realiza en periodos largos de tiempo. En el campo de las fracciones no existen lineamientos tan esclarecedores como los descritos anteriormente para los números naturales. Hemos visto la complejidad de la construcción conceptual del concepto de fracción, 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. pero no hay claridad sobre el tránsito de la adquisición del concepto al manejo operativo de éste. En principio haciendo una analogía con el paso del concepto de los números a los algoritmos, podemos preguntarnos si el conteo interviene en las fracciones, lo cual resulta positivo en el manejo de fracciones con el mismo denominador. Freudenthal, presenta de forma implícita, el caso en que el conteo realizado con las fracciones puede involucrar el manejo de sistemas numéricos diferentes, sobre todo si consideramos que en la adición y sustracción de fracciones tenemos que manejar denominadores diferentes en muchos casos, de esta forma combinar séptimos con sextos nos conduce a combinar conteos de siete en siete con conteos de seis en seis, lo cual resulta complicado. Sin caer en exageraciones, podemos reconocer que una simple suma como: 3/5 + 4/9 implica referirnos a dos formas distintas de particiones: de cinco y de nueve. Lo cual se puede contar por separado pero no conjuntamente, se está combinando un conteo de cinco en cinco con uno de nueve en nueve. Este aspecto nunca se ha tratado en la enseñanza y el recurso del mínimo común múltiplo no logra aclarar esta cuestión a los niños si descontextualiza el problema de contar por bloques y se presenta como la búsqueda de una partición de la unidad que se acomode a los quintos y a los novenos, la cual, a veces; puede complicarse en su representación concreta. 2.1.3.4. Acerca de la transferencia de propiedades de los enteros a las fracciones. Se debería, por lo menos desde una perspectiva lógica de la disciplina, pasar del conocimiento de los números naturales a los enteros, de los enteros a las fracciones, de las fracciones a los reales y de los reales a los complejos. Pero en el paso de los enteros a las fracciones existen muchas complicaciones que no están presentes en los otros casos. 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Al realizar operaciones con las fracciones parece que tenemos que romper con todo lo que hemos aprendido acerca de los enteros. En el caso de las relaciones aditivas heredamos muchas de las interpretaciones de la suma y la sustracción, pero los procedimientos para realizar las operaciones de suma o resta se basan en procedimientos diferentes aunque finalmente utilizan los hechos básicos de los enteros. En el caso de las relaciones multiplicativas las interpretaciones de las operaciones no son fácilmente retomadas. Por otra parte una de las mayores dificultades con las operaciones de números enteros es el reagrupamiento en el desarrollo de las operaciones. Pero en el caso de las fracciones el problema se presenta con el manejo de distintos denominadores y la necesidad de encontrar un denominador común, lo cual implica una reorganización de las cantidades originales más que un proceso de reagrupamiento. Las operaciones de multiplicación y división de enteros, al efectuarlas, siguen también un sentido de verticalidad el cual desaparece con las fracciones, la multiplicación opera horizontalmente y la división se lleva a cabo en forma cruzada, por otra parte, la división de fracciones es transformada en una multiplicación apelando a los recíprocos o inversos multiplicativos, pero esta no es la forma en que usualmente realizamos la multiplicación y división de enteros e incluso a pesar del énfasis en el algoritmo de Euclides. 2.2. Problema matemático 2.2.1. Definiciones Según Pólya (1981), define un problema como una situación en la cual un individuo desea hacer algo, pero desconoce el curso de la acción necesaria para lograr lo que quiere, o como una situación en la cual un individuo actúa con el propósito de alcanzar una meta utilizando para ello alguna estrategia en particular. En nuestro medio, el Ministerio de Educación (2005), conceptualiza un problema matemático como una situación significativa de contenido matemático que implica una dificultad cuya solución requiere de un proceso de reflexión, 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. búsqueda de estrategias y toma de decisiones. Además, el Ministerio de Educación (2006), también señala que “un problema es una situación que dificulta la consecución de algún fin por lo que es necesario hallar los medios que nos permitan solucionarlo, atenuando o anulando sus efectos” (p. 7). Un problema puede ser una pregunta, el cálculo de una operación, la localización de un objeto o la organización de un proceso; se necesita una solución cuando no se tiene un procedimiento conocido para su atención. Coincide con esta posición Villarroel (2008), para quien problema es una situación que no puede ser resuelta de inmediato a través de la aplicación de algún procedimiento que el estudiante ha conocido, y tal vez incluso ejercitado, previamente. En este sentido, los problemas se diferencian claramente de los ejercicios, en los cuales se espera que el estudiante practique un determinado procedimiento o algoritmo, como es el caso de la ejercitación de los procedimientos de cálculo de las operaciones o de resolución de ecuaciones. El objetivo del ejercicio es el dominio de un determinado procedimiento como forma de resolver un tipo específico de situaciones. El objetivo del problema, en cambio, es desarrollar la habilidad para enfrentar una situación nueva, para diseñar un camino de solución. 2.2.2. Resolución de problemas. La capacidad de resolución de problemas es de suma importancia por su carácter integrador, ya que implica encontrar un camino que no se conoce de antemano, es decir, una estrategia para encontrar una solución, requiriendo de saberes previos y capacidades. Rico (1988) citado en Contreras (2005, p.28) plantea: La resolución de problemas juega un papel trascendental en esta nueva aproximación a la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. De hecho, se espera que el estudiante construya su conocimiento matemático al enfrentar, dentro del contexto social del salón de clase, problemas para los que no conoce de antemano una estrategia de solución apropiada, lo suficientemente complejos para significar un reto y que ponen en juego un conocimiento matemático relevante. Además de lo anterior, la resolución de problemas en la educación matemática resulta natural como característica interna de la misma matemática. Según el Ministerio de Educación (2006, p.78), resolver un problema matemático es 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. “encontrar una solución de contenido matemático, a través de procesos de reflexión y toma de decisiones” De acuerdo con la propuesta pedagógica del Ministerio de Educación, “se hace notar que la resolución de un problema puede servir de contexto para la construcción de nuevos conocimientos y el desarrollo de otras capacidades” (Ministerio de Educación, 2005, p. 27). Los contextos de los problemas pueden variar desde las experiencias familiares o escolares de los alumnos hasta las aplicaciones científicas, por tanto, deben integrar múltiples temas, pero dando especial énfasis a los problemas cuya resolución les permita conectar ideas matemáticas; así pueden identificar conexiones matemáticas en otras áreas, posibilitando que se den cuenta de su utilidad e importancia en la vida. Según Palacio y Sigarreta (2000), la resolución de problemas es un proceso complejo que involucra conocimientos almacenados en la memoria a corto y a largo plazo. La resolución de problemas consiste en un conjunto de actividades mentales y conductuales, a la vez que implica también factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y motivacional. Por ejemplo: si en un problema dado se debe transformar mentalmente metros en centímetros, esta actividad sería de tipo cognoscitiva. Si se pregunta si estamos seguros que la solución al problema sea correcta, tal actividad sería de tipo afectiva, mientras que resolver el problema, con papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución, podría servir para ilustrar una actividad de tipo conductual. A pesar de que estos tres tipos de actores están involucrados en la actividad de resolución de problemas, la investigación realizada en el área ha centrado su atención, básicamente, en los factores cognoscitivos involucrados en la resolución. Para Villarroel (2008) el proceso de resolución de un problema se inicia necesariamente con una adecuada comprensión de la situación problemática. Es preciso que el estudiante llegue a tener muy claro de qué se está hablando, qué es lo que se quiere conocer, cuáles son los datos que se conocen. Dado que en la mayor parte de los casos los problemas se plantean en forma escrita, la comprensión lectora se constituye en un elemento crítico. Por esta razón, el docente debe prestar especial atención a que el enunciado del problema está siendo debidamente comprendido. En este sentido, resultan muy 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. útiles preguntas del tipo: ¿A qué se refiere el problema? ¿Podrías contarlo con tus propias palabras? ¿Qué nos están preguntando? ¿Qué información se conoce que puede ayudar a resolver el problema? Solo cuando se tenga la seguridad de que los estudiantes han comprendido claramente el enunciado del problema se puede continuar. Luego de comprender el contenido del problema, comienza la búsqueda de una estrategia para su resolución. Aquí se trata de ver la relación que existe entre la información que se desea obtener y los datos o información de que se dispone y determinar cuál o cuáles de estos datos se podrían utilizar para llegar a la solución con ayuda de alguna herramienta matemática. Es importante destacar, según indica Villarroel (2008), que la determinación de la estrategia de solución constituye la etapa más compleja dentro del proceso de resolución de un problema ya que exige tener claridad respecto del contenido del problema, identificar la información conocida relevante y eventualmente la información que podría ser necesaria pero que no se tiene a mano, manejar el significado de los conocimientos matemáticos disponibles, establecer relaciones entre lo que se desea saber y lo que ya se conoce o se puede averiguar, y seleccionar las herramientas matemáticas más apropiadas. 2.2.3. Etapas en la resolución de problemas. La resolución de problemas es un tema estudiado con bastante anticipación, los primeros estudios lo consideraban en términos de ensayo y error, más adelante los investigadores se centraron en explicar nuevas formas de pensamiento productivo ante situaciones nuevas. En este contexto, Wallas (1926), citado en Martínez-Freire (2002), formula las siguientes etapas en la resolución de problemas: La preparación. Es la fase en la cual el solucionador analiza el problema, intenta definirlo en forma clara y recoge hechos e información relevante al problema que le puedan servir en su solución. La incubación. Es la fase en la cual el solucionador analiza el problema de manera inconsciente, genera hipótesis de solución, le dedica tiempo al problema o puede dejarlo de lado. La inspiración. Es la fase en la cual la solución al problema surge de manera 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. inesperada, es decir, cuando la persona repentinamente se percata de la posible solución. La verificación. Es la fase que involucra la revisión de la solución, es decir que la solución es sometida a prueba para comprobar su acierto. De la misma forma, Gonzales (1993), señala que las etapas en la resolución de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para aproximarse analíticamente a la solución, propone las siguientes etapas: darse cuenta del problema, de que existe una discrepancia entre lo que se desea y lo que se tiene, especificación del problema, análisis del problema, se analizan las partes del problema y se aísla la información relevante; generación de la solución, se consideran varias alternativas posibles; revisión de la solución, donde se evalúan las posibles soluciones; selección de la solución, aquí se escoge aquella que tenga mayor probabilidad de éxito y por último, instrumentación de la solución, para implementar la solución. Nueva revisión de la solución, de ser necesaria. Pólya (1981), sostenía que el proceso de resolución de problemas, especialmente las operaciones mentales que se dan he dicho proceso, se refieren a la heurística, método que sigue principios o reglas empíricas que llevan a la solución de problemas, precisaba que ningún problema podía ser pasado por alto, que debían encontrarse las características generales a pesar de las diferencias entre problemas.. 30 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. III. Sustento Pedagógico 3.1. Introducción: La pedagogía es aquella ciencia que tiene como objeto el estudio de las leyes de la educación del hombre en la sociedad, ella concentra su atención en el estudio de la educación como el proceso en su conjunto, especialmente organizado, como la actividad de los pedagogos y educandos, de los que enseñan y de los que aprenden. Entonces la pedagogía estudia los fines, contenido, medios y métodos de la actividad educativa y el carácter de los cambios que sufre el hombre en el curso de la educación. Sin embargo también se encarga de la formación de la persona a través de la educación, considerándola (a la educación), como un proceso debidamente organizado, planificado, dirigido y evaluado. Si en el ejercicio profesional empleamos una metodología y técnicas de manera correcta y oportuna, se generará beneficios tanto al docente como a los alumnos, pues el docente utilizará los métodos y técnicas de acuerdo al estilo y ritmo de aprendizaje de sus estudiantes; mientras los estudiantes experimentarán y reflejarán predisposición hacia el aprendizaje, lo cual se evidencia mediante la motivación y participación activa durante el desarrollo de la sesión de aprendizaje; todo lo mencionado anteriormente facilita el proceso enseñanza-aprendizaje logrando un aprendizaje significativo para el estudiante. 3.2. Cuerpo temático 3.2.1. Enfoque que sustenta el desarrollo de las competencias en el área de matemática En esta área, el marco teórico y metodológico que orienta el proceso de enseñanza y aprendizaje corresponde al enfoque Centrado en la resolución de problemas, el cual se define a partir de las siguientes características: •. La matemática es un producto cultural dinámico, cambiante, en constante desarrollo y reajuste.. •. Toda actividad matemática tiene como escenario la resolución de problemas planteados a partir de situaciones, las cuales se conciben como acontecimientos significativos que se dan en diversos contextos. Las 31. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. situaciones se organizan en cuatro grupos: situaciones de cantidad; situaciones de regularidad, equivalencia y cambio; situaciones de forma, movimiento y localización; y situaciones de gestión de datos e incertidumbre. •. Al plantear y resolver problemas, los estudiantes se enfrentan a retos para los cuales no conocen de antemano las estrategias de solución, esto les demanda desarrollar un proceso de indagación y reflexión social e individual que les permita superar las dificultades u obstáculos que surjan en la búsqueda de la solución. En este proceso, construyen y reconstruyen sus conocimientos al relacionar y reorganizar ideas y conceptos matemáticos que emergen como solución óptima a los problemas, que irán aumentando en grado de complejidad. • Los problemas que resuelven los estudiantes pueden ser planteados por ellos mismos o por el docente; de esta manera, se promoverá la creatividad y la interpretación de nuevas y diversas situaciones.. •. Las emociones, actitudes y creencias actúan como fuerzas impulsadoras del aprendizaje. Los estudiantes aprenden por sí mismos cuando son capaces de autorregular su proceso de aprendizaje y reflexionar sobre sus aciertos, errores, avances y las dificultades que surgieron durante el proceso de resolución de problemas.. 3.2.2. Competencia: Para el Minedu (2016), la competencia se define como la facultad que tiene una persona de combinar un conjunto de capacidades a fin de lograr un propósito específico en una situación determinada, actuando de manera pertinente y con sentido ético. Ser competente supone comprender la situación que se debe afrontar y evaluar las posibilidades que se tiene para resolverla. Esto significa identificar los conocimientos y habilidades que uno posee o que están disponibles en el entorno, analizar las combinaciones más pertinentes a la situación y al propósito, para luego tomar decisiones; y ejecutar o poner en acción la combinación seleccionada. 3.2.3. Competencia: resuelve problemas de cantidad Consiste en que el estudiante solucione problemas o plantee nuevos problemas que le demanden construir y comprender las nociones de número, de sistemas 32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. numéricos, sus operaciones y propiedades. Además dotar de significado a estos conocimientos en la situación y usarlos para representar o reproducir las relaciones entre sus datos y condiciones. Implica también discernir si la solución buscada requiere darse como una estimación o cálculo exacto, y para ello selecciona estrategias, procedimientos, unidades de medida y diversos recursos. El razonamiento lógico en esta competencia es usado cuando el estudiante hace comparaciones, explica a través de analogías, induce propiedades a partir de casos particulares o ejemplos, en el proceso de resolución del problema. 3.2.4. Capacidad: Según el Minedu (2016) Las capacidades son recursos para actuar de manera competente. Estos recursos son los conocimientos, habilidades y actitudes que los estudiantes utilizan para afrontar una situación determinada. Estas capacidades suponen operaciones menores implicadas en las competencias, que son operaciones más complejas. Las capacidades que comprende la competencia son: -. Traduce cantidades a expresiones numéricas: es transformar las relaciones entre los datos y condiciones de un problema a una expresión numérica (modelo) que reproduzca las relaciones entre estos; esta expresión se comporta como un sistema compuesto por números, operaciones y sus propiedades. Es plantear problemas a partir de una situación o una expresión numérica dada. También implica evaluar si el resultado obtenido o la expresión numérica formulada (modelo), cumplen las condiciones iniciales del problema.. -. Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones: es expresar la comprensión de los conceptos numéricos, las operaciones y propiedades, las unidades de medida, las relaciones que establece entre ellos; usando lenguaje numérico y diversas representaciones; así como leer sus representaciones e información con contenido numérico.. -. Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo: es seleccionar, adaptar, combinar o crear una variedad de estrategias, procedimientos como el cálculo mental y escrito, la estimación, la aproximación y medición, 33. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. comparar cantidades; y emplear diversos recursos. -. Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones: es elaborar afirmaciones sobre las posibles relaciones entre números naturales, enteros, racionales, reales, sus operaciones y propiedades; basado en comparaciones y experiencias en las que induce propiedades a partir de casos particulares; así como explicarlas con analogías, justificarlas, validarlas o refutarlas con ejemplos y contraejemplos.. 3.2.5. Desempeño: Según el Minedu (2016) Son descripciones específicas de lo que hacen los estudiantes respecto a los niveles de desarrollo de las competencias (estándares de aprendizaje). Son observables en una diversidad de situaciones o contextos. No tienen carácter exhaustivo, más bien ilustran algunas actuaciones que los estudiantes demuestran cuando están en proceso de alcanzar el nivel esperado de la competencia o cuando han logrado este nivel -. El desempeño que se trabajará en la presente sesión es el siguiente: Establece. relaciones entre datos y acciones de dividir una o más unidades en partes iguales y las transforma en expresiones numéricas (modelo) de fracciones y adición, sustracción y multiplicación con expresiones fraccionarias y decimales (hasta el centésimo). 3.2.6. Procesos pedagógicos Según el Ministerio de Educación (2015), los procesos pedagógicos, son “actividades que desarrolla el docente de manera intencional con el objeto de medir en el aprendizaje significativo del estudiante” estas prácticas docentes son un conjunto de acciones intersubjetivas y saberes que acontecen entre los que participan en el proceso educativo con la finalidad de construir conocimientos, clarificar valores y desarrollar competencias para la vida en común. Cabe señalar que los procesos pedagógicos no son momentos, son procesos permanentes y se recurren a ellos en cualquier momento que sea necesario. Los procesos pedagógicos, son procesos que realiza el docente para mediar el aprendizaje de los estudiantes; son recurrentes y no tienen una categoría de 34 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. momentos fijos. Una condición básica de todo proceso pedagógico y que va a atravesar todas sus fases es la calidad del vínculo del docente con sus estudiantes. En el modelo pedagógico más convencional, donde los estudiantes tienen un rol pasivo y receptivo, el docente no se vincula con ellos, solo les entrega información; además de controlar su comportamiento. El desarrollo de competencias, es decir, el logro de aprendizaje que exigen actuar y pensar a la vez requiere otro modelo pedagógico, donde el vínculo personal del docente con cada uno es una condición indispensable. Estamos hablando de un vínculo de confianza y de comunicación, basado en altas expectativas respecto de las posibilidades que tengan sus estudiantes para aprender todo lo que necesiten, por encima de las limitaciones del medio o de cualquier adversidad. Sobre esta premisa, es posible resumir en seis los principales componentes de los procesos pedagógicos que promueven las competentes, que según consideración del ministerio de educación son los siguientes. 3.2.6.1.Problematización. Son situaciones retadoras y desafiantes de los problemas o dificultades que parten del interés, necesidad y expectativa del estudiante. Pone a prueba sus competencias y capacidades para resolverlos Todos los procesos que conducen al desarrollo de competencias necesitan partir de una situación retadora que los estudiantes sientan relevantes (intereses, necesidades y expectativas) o que los enfrenten a desafíos, problemas o dificultades a resolver; cuestionamientos que los movilicen; situaciones capaces de provocar conflictos cognitivos en ellos. Solo así las posibilidades de despertarles interés, curiosidad y deseo serán mayores, pues se sentirán desafiados a poner a prueba sus competencias para poder resolver, a cruzar el umbral de sus posibilidades actuales y atreverse a llegar más lejos. Piaget (1991) sostiene que un individuo ha aprendido si ha logrado modificar su estructura cognitiva, y esta modificación es posible si ha pasado por un proceso de asimilación y acomodación. Pero ello ocurre si 35 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.