6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6
6.1.
FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA
VARIABLE REAL
6.1.1 DOMINIO
6.1.2 LIMITE
6.1.3 CONTINUIDAD
6.2.
TRAYECTORIA (CAMINO)
6.3.
GRAFICA. DEFINICIÓN
6.4.
TRAZA
6.5.
CURVA
6.6.
DERIVADA
6.7.
CONCEPTOS ASOCIADOS A LA
DERIVADA
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
•
Describas curvas de
R
3.
6.1 FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL.
6.1.1 Definición.
Una
F
UNCIÓN
V
ECTORIAL DE UNA VARIABLE
REAL
, es una función del tipo
F I
:
⊆ →
nJG
\
\
tal que
F t
( )
=
(
x
1( )
t
,
x
2( )
t
,
,
x
n( )
t
)
∈
nJG
"
\
Donde
x I
i:
⊆ →
\
\
,
i
=
1, 2,
"
,
n
; son funciones
reales de variable real
t
, llamadas
Funciones
Coordenadas
de
F
JG
.
Ejemplo1
Sea
3:
F I
⊆
→
JG
\
\
tal que
F t
JG
( )
= −
(
1 2 , 3
t
+ − +
t
, 1
t
)
.
Ejemplo 2
Sea
3:
F I
⊆
→
JG
\
\
tal que
F t( )=(
acos ,t bsent t,)
JG
.
Ejemplo 3
Sea
JGF I: ⊆\→\4tal que
(
2 3)
( )
,
,
, 2
1
F t
=
t t
t
t
+
JG
Ejemplo 4
Sea
3:
F I
⊆
→
JG
\
\
(
2 2 4)
25 16
( ) , , 3 1 t t
F t = t t − −
JG
6.1.2 Dominio
Sea
JG
F I
:
⊆ →
\
\
n, el dominio de
F
JG
es el
subconjunto de números reales
I
.
En decir, el conjunto de valores para
t
, que da sentido a la regla de
correspondencia.
Ejemplo1
Para
JGF t( )= −(
1 2 , 3t + − +t, 1 t)
,
Dom FJG=\Ejemplo 2
Ejemplo 3
Para
F tJG( )=(
t t, 2,t3)
,
Dom FJG=\Ejemplo 4
Para
(
2 2 4)
25 16
( ) , , 3 1 t t
F t = t t − −
JG
,
{
2 4}
25 16
/1 t t 0
Dom F= ∈t − − ≥
JG
\
6.1.3
LIMITE
6.1.3.1 Definición.
Sea
F I
JG
:
⊆ →
\
\
nuna función definida en el
intervalo abierto
I
de
\
y sea
t
0un punto de
I
o un punto de frontera de
I
. Entonces
( )
0lim
t→t
F t
=
L
JG
JG
, si y sólo si:
∀ > ∃∂ >
ξ
0,
0 / 0
< − < ∂ ⇒
t
t
0F
−
L
<
ξ
JG JG
6.1.3.2 Teorema
Sea
:
nF I
⊆ →
JG
\
\
, tal que
F t
( )
=
(
x
1( )
t,
x
2( )
t,
,
x
n( )
t)
JG
"
.
Entonces
( )
(
)
0
1 2
lim
, ,
,
nt→t
F t
= =
L
l l
l
JG
JG
"
si y solo si
0
lim
i i;
1, 2,
,
t→t
x
=
l
i
=
"
n
Ejemplo.
Sea
(
2)
( ) 1, 2 ,
F t = t + t sent
JG
Hallar
0
lim ( )
t→ F t
JG
.
S
OLUCIÓN:
(
)
(
)
(
)
2
0 0 0 0
lim ( ) lim 1 , lim 2 , lim 1, 0, 0
t→ F t = t→ t + t→ t t→ sent
=
JG
Ejercicios Propuesto 6.1
Calcular:
a)
222
4 1 , ,
2
lim
t
t t
t t t
→
⎛ − ⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
b)
0sen , ,
lim
t tt
t
e e
t
− →
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
c)
2 2 1
ln , , 2
1
lim
t
t
t t
t
→
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
6.1.4
CONTINUIDAD.
Sea
F I
:
⊆ →
nJG
\
\
. Entonces
F
JG
es continua
en
t
0∈
I
si
( )
( )
0
0
lim
t→t
F t
=
F t
JG
JG
6.1.4.1 Teorema
Sea
:
nF I
⊆ →
JG
\
\
, tal que
F t
( )
=
(
x
1( )
t,
x
2( )
t,
,
x
n( )
t)
JG
"
.
Sea
t
0∈
I
. Entonces
F
JG
es continua en
t
0si y
sólo si sus funciones coordenadas
x
ilo son.
Ejemplo 1
(
3 2)
( ) 1, 2 ,
F t = t + t − t sent
JG
es continua en todo
\.
Ejemplo 2
(
)
2
, , ; 0
( )
0, 0, 0 ; 0
sent
t t t
t F t
t
⎧⎛ ⎞ ≠
⎪⎜ ⎟
= ⎝⎨ ⎠
⎪ =
⎩
JG
No es continua en
t=0debido a que
2(
)
0lim , , 0, 0,1
t
sent t t
t →
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
que es diferente de
(
)
(0) 0, 0, 0
F =
JG
Ejemplo 3
(
)
2 31
( )
,
1
F t
t
t
⎛
⎞
⎜
⎟
=
⎜
⎟
+
⎝
⎠
JG
no es continua en
t= −1.
Ejercicios Propuesto 6.2
Analice la continuidad de:
a)
r( )
t = t, t−1b)
r( )
t = t,arcsent,t−1c)
r( )
t = 8, t,3t6.2 TRAYECTORIA (CAMINO)
Una función
F I
:
⊆ →
nJG
\
\
continua se la
llama trayectoria o camino en
\
nsi
JG
F
está
definida en un intervalo cerrado.
Suponga que el intervalo sea
I
=
[ ]
a b
,
entonces
F a
( )
JG
es el punto
inicial de la trayectoria y
F b
( )
JG
es el punto final.
Si
F a
( )
=
F b
( )
JG
JG
tenemos una
T
RAYECTORIAC
ERRADA.
Si
F
JG
es inyectiva es una
TRAYECTORIA SIMPLE.
Si
F a
( )
=
F b
( )
JG
JG
y
F
JG
es inyectiva tenemos una
TRAYECTORIA CERRADAS
IMPLE.
6.3 GRAFICA. DEFINICIÓN
Sea
F I
JG
:
⊆ →
\
\
n. Se denomina gráfica de
F
JG
al conjunto de puntos de
\
n+1de la forma
( )
(
t F t
,
JG
)
tales que
t
∈
I
.
Se ha dado esta definición siguiendo la línea de la definición de gráfica
que se enunció en el capítulo anterior.
La definición siguiente permite darle una interpretación geométrica a una
función vectorial de variable real.
6.4 TRAZA
Se llama
T
RAZA
de la trayectoria
F
JG
al conjunto
de imágenes de
F
JG
, es decir:
Traza F
JG
=
{
JG
F t
( )
∈
\
n/
t
∈
I
}
6.5 CURVA
Se denomina
C
URVA
a la traza de una
trayectoria
F
JG
.
Ejemplo 1
Sea
JGF I: ⊆\→\3tal que
F tJG( )=(
acos ,t bsent t,)
.
Esta curva es llamada HELICE.
Note que
cos
x a t
y bsent
z t = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩
Se la pude observar como la traza que hace la superficie
x
=
a
cos
z
al cilindro
2 2 2 2 1
x y
a +b =
Ejemplo 2
Sea
JGF I: ⊆\→\3tal que
F tJG( )=(
t t, 2,t3)
Aquí tenemos
2 3x
t
y
t
z
t
=
⎧
⎪ =
⎨
⎪ =
⎩
Esta curva la podemos observar como la intersección entre las superficies
2 3
y x
z x
⎧ = ⎪ ⎨
= ⎪⎩ x
y z
(
a
,0,0
)
(
)
( )
cos ,
,
F t
=
a
t bsent t
JG
0
t
=
(
0, ,
b
2)
π2
t
=
π(
−
a
,0,
π
)
t
=
π
(
0,
b
,3
2)
π−
2
3
Ejemplo 3
Sea
JGF I: ⊆\→\3tal que
(
2 2 4)
25 16
( ) , , 3 1 t t
F t = t t − −
JG
En este caso la curva será la intersección entre el elipsoide
2 2 2 1 25 16 9x + y +z =
con el
cilindro
y=x2x
y
z
(
2 3)
( ) , ,
F t = t t t JG
x
y z
(
2 2 4)
25 16
( ) , , 3 1 t t
F t = t t − −
Ejercicios Propuesto 6.3
1. Dibujar las siguientes curvas representadas por las funciones vectoriales propuestas. a) r
( )
t =3tî+( )
t−1ˆj+kb) r
( )
t =2costî+4sentˆj+tkˆ c) r( )
t =3costî+4sentˆj2. Hallar trayectorias r
( )
t que representen las siguientes curvas.a)
{
( )
x,y /y=ex}
b){
( )
x,y /4x2 +y2 =1}
c) Una recta en
IR
3 que contiene al origen y al punto(
a
,
b
,
c
)
.d)
{
( )
x,y /9x2+16y2 =4}
e)
{
(
) (
)
(
)
}
4 csc
6 / ,
,θ φ ρ φ θ π
ρ = ∧ =
f)
{
(
) (
)
(
)
}
4 csc
4 / ,
,θ φ ρ φ θ π
ρ = ∧ =
3. Dibujar las curvas en el espacio representada por la intersección de las superficies propuestas, y represéntese la curva mediante la función vectorial usando el parámetro dado.
Superficies Parámetro
a) z=x2+y2,x+y=0 x=2t
b) 4x2 +4y2+4z2 =16,x= y2
y
=
t
c) x2+y2+z2 =10,x+y=4 x=2+sent d) x2+z2 =4,y2+z2 =4 x=3t 4. Muestre que la intersección de la superficie x2−4y2−9z2 =36 y el plano x+z=9
es una elipse.
5. Escriba una ecuación vectorial para la curva de intersección de las superficies:
3 2
2 5 2
,
2
2
xz
y
y
z
e
x − x=
+
+
=
6. La curva cuya ecuación vectorial es
r
( )
t = 2 tcost,3 tsent, 1−t , 0≤t≤1se define sobre una superficie cuádrica. Hallar la ecuación de dicha superficie.
Resp. 1
9 4
2 2 2
= +
+ y z
x
7. Hallar la función vectorial para la curva de intersección de las superficiesz=1+x− y , y x
x y = 2 + .
Resp.
( )
(
)
4 1 2 4 1 2 2
1, − ,− + +
−
= t t t t
t r
6.6 DERIVADA.
Una función
F I
:
⊆ →
nJG
\
\
una trayectoria.
Sea
t
0∈
I
. Entonces la derivada de
JG
F
en
t
0,
denotada como
F t
´
( )
0JG
, se define como:
( )
0(
0)
( )
00
´
lim
h
F t
h
F t
F t
h
→
+
−
=
JG
JG
JG
En tal caso se dice que
F
JG
es
DIFERENCIABLEen
t
0.
Si
F t
( )
0=
(
x
1( )
t
0,
x
2( )
t
0,
,
x
n( )
t
0)
JG
"
entonces
(
)
(
)
(
)
(
)
0 1 0 2 0 0
(
)
t
,
t
,
,
nt
F t
+
h
=
x
+
h x
+
h
x
+
h
JG
"
.
Aplicando la definición de derivada
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
( )
( )
( )
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
0 0
0 0
1 0 2 0 0 1 0 2 0 0
0
1 0 1 0 2 0 2 0 0 0
0 0 0
´
lim
,
,
,
,
,
,
lim
lim
, lim
,
, lim
h
n n
h
n n
h h h
t t t t t t
t t t t t t
F t
h
F t
F t
h
x
h
x
h
x
h
x
x
x
h
x
h
x
x
h
x
x
h
x
h
h
h
→
→
→ → →
+
−
=
+
+
+
−
=
+
−
+
−
+
−
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
JG
JG
JG
"
"
"
Es decir:
( )
( )
( )
(
)
0 1 0 2 0 0
´( )
´
t
, ´
t
,
,
n´
t
F t
=
x
x
x
JG
"
Ejemplo
Sea
( )
(
2)
, ,
F t = t t sent
JG
entonces
F t´( ) (
= 2 ,1, cost t)
JG
6.6.1
Teorema
Sea
F
JG
una trayectoria diferenciable. El vector
( )
0´
F t
JG
es tangente a la trayectoria en el punto
0
t
.
Observe la gráfica
y z
( )
0F t
JG
(x y z0, 0, 0)
( )
0´
F t
JG
(
0)
F t
+
h
JG
(
0)
( )
0F t +h −F t
Ejemplo
Sea
JGF t( ) (
= cos ,t sent t,)
. Hallar la ecuación de la recta tangente y la del plano
normal en
t=π4.
S
OLUCIÓN:
Un vector directriz de la recta tangente seria
F´( )
π4JG
, que también sería un vector
perpendicular al plano normal.
Como
F tJG( ) (
= cos ,t sent t,)
entonces
JGF t´( ) (
= −sent, cos ,1t)
Tenemos un punto:
( ) (
)
(
2 2)
4 cos ,4 4,4 2 , 2 ,4F π = π senπ π = π
JG
Y un vector paralelo a la recta o perpendicular al plano normal:
( ) (
)
(
2 2)
4 4 4 2 2
´ , cos ,1 , ,1
F π = −senπ π = −
JG
Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería:
2 2 2 2
2 2 2 2 4
:
x t
l y t
z π t
⎧ = −
⎪⎪ = +
⎨ ⎪ = + ⎪⎩
Y la ecuación del plano normal sería:
2
(
2) (
2 2)
(
)
2 x 2 2 y 2 1 z 4 0π
− − + − + − =
6.6.2
Trayectoria Regular
Sea
F I
:
⊆ →
nJG
\
\
. Entonces
F
JG
es una
trayectoria regular en
I
, si
F t
´
( )
0≠
0
JG
G
para todo
t
∈
I
.
6.6.3
Propiedades
Sean
JG
F
y
G
JG
dos trayectorias diferenciables.
Sea
f
una función escalar diferenciable.
Entonces:
1.
D F t
t(
JG
( )
±
G t
JG
( )
)
=
F t
JG
´
( )
±
G t
JG
´
( )
2.
D
t(
f F t
JG
( )
)
=
f F t
´
JG
( )
+
f F t
JG
´
( )
3.
D F t
t(
JG
( ) ( )
•
G t
JG
)
=
JG
F t
´
( ) ( )
•
G t
JG
+
JG
F t
( )
•
G t
JG
´
( )
6.7 CONCEPTOS ASOCIADOS A LA DERIVADA.
Sea
F I
JG
:
⊆ →
\
\
n. Tal que
F t
( )
=
(
x
1( )
t,
x
2( )
t,
,
x
n( )
t)
JG
"
Se define:
Vector Posición:
r t
( )
=
F t
( )
=
(
x
1( )
t,
x
2( )
t,
,
x
n( )
t)
G
JG
"
Vector Velocidad:
v t
( )
=
r t
´( )
=
(
x
1´
( )
t,
x
2´
( )
t,
,
x
n´
( )
t)
G
G
"
Vector Tangente Unitario:
( )
( )
'
'
r t
r t
Τ =
G
G
Longitud de un camino:
[
( )
]
[
( )
]
[
( )
]
2
1
2 2 2
1
´
2´
´
t
n
t
t t t
s
=
∫
x
+
x
+ +
"
x
dt
Rapidez:
ds
v t
( )
r t
'
( )
dt
=
=
G
G
Aceleración:
a t
( )
=
v t
´( )
=
r t
´´( )
=
(
x
1´´
( )
t,
x
2´´
( )
t,
,
x
n´´
( )
t)
G
JG
G
"
Vector Normal Unitario:
( )
( )
'
'
t
t
Τ
Ν =
Τ
JG
JG
Vector Binormal:
Β = Τ× Ν
Plano Osculador:
Definido por
Τ
y
Ν
y ortogonal a
B
Plano Rectificante:
Definido por
Τ
y
B
y ortogonal a
Ν
Plano Normal:
Definido por
Ν
y
B
y ortogonal a
Τ
x
y z
( )
0r t
G
(x y z0,0,0)
( )
0v t
G
( )
0a t
G
Τ Ν
( )
r t
El vector tangente es unitario, entonces:
Τ • Τ =
1
, derivando miembro
a miembro
(
)
( )
1
´
´ 0
2 ´
0
´
0
d
d
dt
Τ • Τ =
dt
Τ •Τ + Τ • Τ =
Τ •Τ =
Τ •Τ =
Por tanto se concluye que el vector
Τ
y
Τ
´
son ortogonales, lo cual
demuestra la definición del Vector Normal Unitario.
Ejemplo
Hallar la ecuación del plano osculador para
r t( ) (
= cos ,t sent t,)
G
en
t
=
π
.
S
OLUCIÓN:
Para hallar la ecuación de un plano necesitamos un punto y un vector normal.
El punto sería:
Gr( ) (
π
= cos ,π
senπ π
,) (
= −1, 0,π
)
Y el vector normal es el vector Binormal:
Β = Τ× ΝHallemos
Τ:
( )
( )
(
)
(
)
2 2 1
'
, cos ,1
0, 1,1
2
'
cos
1
t
r
sent
t
r
sen t
t
π
π
π
=
−
−
Τ =
=
=
+
+
G
G
Hallemos
Ν
:
( )
( )
(
)
(
)
1 2
2 2 1
2
cos , , 0 '
1, 0, 0
' cos
t
t sent
t sen t
π
π
π
=
− −
Τ
Ν = = =
Τ +
JG JG
Entonces
1 1
(
1 1)
2 2 2 20 0, ,
1 0 0
i j k
Β = Τ× Ν = − =
Finalmente la ecuación del plano osculador sería:
(
)
1(
)
1(
)
2 2
0 x+ +1 y− +0 z−
π
=06.7.1Teorema. Formulas de Frenet- Serbet
Sea
r
G
una trayectoria diferenciable, entonces:
Β = Τ× Ν = −Ν × Τ
6.7.2 Curvatura y radio de curvatura.
Sea
r
G
una trayectoria diferenciable. La
CURVATURA
, denotada por
κ
, está definida en
la expresión:
d
ds
κ
Τ
= Ν
.
Es decir:
d
ds
κ
=
Τ
El radio de curvatura, denotado por
ρ
, es:
ρ
1
κ
=
Observe
que
d
d
d
dt
dt
ds
ds
dt ds
dt
κ
=
Τ
=
Τ
=
Τ
Es decir,
( )
( )
´
´
t
r t
κ
=
Τ
Ejemplo
Hallar
κ
para
r tG( ) (
= cos ,t sent t,)
en
t
=
π
.
S
OLUCIÓN:
La curvatura en este punto sería:
( )
( )
´ ´
r
π
κ
π
Τ =
En el ejemplo anterior se obtuvo
´( )
1 2π
=Τ
y
rG'( )
π
= 2( )
( )
1
´ 2 1
2
´ 2
r
π
κ
π
Τ
= = =
6.7.3 Torsión.
Sea
r
G
una trayectoria diferenciable. La
T
ORSIÓN
, denotada por
τ
, está definida en la
expresión:
d
ds
τ
Β
= − Ν
. Es decir:
dB
ds
6.7.4 ACELERACIÓN NORMAL Y ACELERACIÓN TANGENCIAL.
En cuestiones físicas, se hace necesario presentar la aceleración en
términos de sus componentes tangencial y ortogonal en un punto de la
trayectoria.
T N
t n
a
a
a
a
a
=
+
= Τ + Ν
G
G
G
La aceleración es la derivada de la velocidad:
2
2
´
d
d
d
ds
d s
ds
a
v
v
dt
dt
dt dt
dt
dt
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤
=
⎣ ⎦
=
⎣
Τ =
⎦
⎢
Τ =
⎥
Τ +
Τ
⎣
⎦
G
G
G
Deduzcamos
Τ
´
:
En la expresión
d
ds
κ
Τ
= Ν
, transformando
d
ds
Τ
d
dt
dt ds
d
dt
ds
dt
κ
κ
Τ
= Ν
Τ
= Ν
Es
decir:
´
ds
dt
κ
Τ =
Ν
x
y z
(x y z0, 0,0)
aG
Τ
Ν
( )
r tG
T
aJJG
N
a
Reemplazando:
2 2 2
2
2 2
2
´
d s
ds
a
dt
dt
d s
ds
ds
dt
dt
dt
d s
ds
dt
dt
κ
κ
=
Τ +
Τ
⎛
⎞
=
Τ +
⎜
Ν
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
=
Τ +
⎜
⎟
Ν
⎝
⎠
G
Por tanto:
2 2
t
d s
a
dt
=
y
2
n
ds
a
dt
κ
⎛
⎞
= ⎜ ⎟
⎝
⎠
Ejemplo
Sea
r tG( ) (
= cos ,t sent t,)
. Hallar
aty
ant
=
π
.
S
OLUCIÓN:
Empleando los resultados anteriores
1.
ds
r
´
( )
2
dt
=
π
=
G
entonces
2 2
0
td s
a
dt
=
=
2. La curvatura ya la obtuvimos en el ejercicio anterior, por tanto:
( )
2
2
1
2
1
2
n
ds
a
dt
κ ⎛
⎞
=
⎜
⎟
=
=
⎝
⎠
En ocasiones determinar los parámetros anteriores no es tan sencillo
debido a la ecuación de la trayectoria. Podemos darles otra forma a las
formulas anteriores.
Observe la figura:
´
r=vG
´´
r =aG
n
h=a
n
Por teoría de vectores:
El área del paralelogramo sustentado por los vectores
r
´
=
v
G
y
r
´´
=
a
G
está dada por:
Area
= ×
r r
´ ´´
G G
Pero, por geometría también tenemos:
Area
=
(
base
) (
×
altura
)
=
r a
´
nJG
Igualando y despejando resulta:
´ ´´
´
n
r r
a
r
×
=
G G
G
Para la curvatura tenemos:
2 2 3
´ ´´
´
´ ´´
´
´
n
r r
r
r r
a
ds
r
r
dt
κ
×
×
=
=
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
G G
G
G G
G
G
3
´ ´´
´
r r
r
κ
=
×
G G
G
Ejemplo
Sea
r t
G
( ) (
=
4 , 3cos ,
t
t sent
)
. Hallar
v
G
,
a
G
,
a
t,
a
n,
κ
, para cualquier
t.
Solución:
( ) (
)
´
4, 3
, cos
v
=
r t
=
−
sent
t
G G
( ) (
)
´´
0, 3cos ,
a
=
r
t
=
−
t
−
sent
G
G
( )
2 2´
16 9
cos
ds
r t
sen t
t
dt
=
=
+
+
G
(
2 2)
(
)
´ ´´
4
3
cos
3
3cos , 4
, 12 cos
3, 4
, 12 cos
0
3cos
i
j
k
r r
sent
t
sen t
t
sent
t
sent
t
t
sent
× =
−
=
+
−
=
−
−
−
G G
2 2
2 2
´ ´´
9 16
144 cos
´
16 9
cos
n
r r
sen t
t
a
r
sen t
t
×
+
+
=
=
+
+
G G
G
(
)
2 2
3 3
2 2
´ ´´ 9 16 144 cos
´ 16 9 cos
r r sen t t
r sen t t
κ
= × = + ++ +
Finalmente, también se podría utilizar el teorema de Pitágora para
determinar la magnitud de una de las aceleraciones:
2
2 2
n t
a
G
=
a
+
a
Ejercicios Propuestos 6.4
1. Halle
σ′
( )
t
yσ′
( )
0
en cada uno de los casos siguientes:a) σ
( )
t =(
sen2πt,cos2πt,2t−t2)
c) σ( )
t =(
t3,t2−4t,0)
b) σ
( )
t =(
et,cost,sent)
d) σ( )
t =(
sen2t,log( )
1+t,t)
Resp. a) σ´(0)=
(
2π,0,2)
b) σ´(0)=( )
1,0,1 c) σ´(0)=(
0,−4,0)
d) ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
= ,1
10 ln
1 , 2 ) 0 ´(
σ
2. Un punto situado en la rosca de un tornillo, que se enrosca en una viga describe una hélice circular, siendo
t
el ángulo de giro del tornillo,a
el radio del tornillo yb
la elevación correspondiente al giro de una vuelta. Determine la velocidad y el vector aceleración del movimiento del punto.Resp. ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛− =
π
2 , cos , )
´(t asenta t b
r r´´(t)=
(
−acost,−asent,0)
3. El movimiento de una partícula está definido por R
( )
t =at(
costî−sentjˆ)
. Hállese su velocidad, las componentes tangencial y normal de la aceleración en2
π =
t .
4. La posición de una partícula móvil en el tiempo
t
viene dada por r( )
t =(
t2−6t)
î+5tˆj. Calcule el instante en que la rapidez de la partícula es mínima.Resp. t=3
5. Determinar los vectores velocidad y aceleración, y la ecuación de la recta tangente para cada una de las curvas siguientes en el valor especificado de
t
.a) r
( )
t = 6t,3t2,t3 , t=0b) r
( )
t = sen3t,cos3t,2t32 , t=1Resp. a) r´(0)=
(
6,0,0)
; r´´(0)=(
0,6,0)
;⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= = =
0 0 6 :
z y
t x l
b)
6. Sea una partícula de 1 gramo de masa, que sigue la trayectoria r
( )
t = cost,sent,t , con unidades en segundos y centímetros. ¿Qué fuerza actúa sobre ella ent
=
0
?Nota: F=m.a
Resp. F=10−5
(
−1,0,0)
N7. Sea
σ
( )
t
una trayectoria enIR
3 con aceleración cero. Probar queσ
es una recta o un punto.8. Suponer que una partícula sigue la trayectoria r
( )
t =(
et,e−t,cost)
hasta que sale por una trayectoria tangente ent
=
1
. ¿Dónde está ent
=
2
?Resp.
(
2e,0,cos1−sen1)
9. Una partícula se mueve sobre la curva C que se obtiene de la intersección de la esfera
1
2 2 2+y +z =
x y el plano z= y. Obtener la ecuación de la trayectoria que describiría
la partícula si se separase de la curva C en el punto ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
Resp.
( )
( )
( )
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + − = + − − = 2 1 4 2 1 2 1 4 2 1 2 2 4 2 2 : π π π t z t y t x l10. Calcular la curvatura y la componente normal de la aceleración de la curva
( )
t = cost,e2 ,( )
t+13 , para t=0r t
Resp.
13 1
=
k =
(
−1,0,0)
→
N a
11. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a la curva
t z
t y
t
x=6sen , =4cos3, =2sen5 en el punto
4
π = t
Resp.
12. El movimiento de una partícula está representado por la función
( )
1
,
,
2
,
0
2
5
2−
3≥
=
t
t
t
t
t
r
. En el tiempo t=1 , la partícula es expulsada por la tangente con una rapidez de 12 unidades por segundo. ¿A qué tiempo y por qué punto atraviesa al paraboloide z2+y2 =4x?Resp. t=0,30389seg. ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + 13 22 2 32 , 13 22 3 22 , 13 22 5 26 69 P
13. Dada la curva r
( )
t = e−2t,e2t,2 2 t , Encontrar la curvatura y las ecuaciones delas rectas tangente y normal en t=0
Resp.
14. Hallar la función vectorial para la curva de intersección entre el cilindro 2 25 4 2 2 = + y x y el
plano y=5z. Encontrar la curvatura en el punto (2,5,1).
Resp. r
( )
t =(
2 2cost,5 2sent, 2sent)
;15 13 15 2 = k
15. Una partícula se mueve suponiendo la trayectoria r
( )
t = t2,t3−4t,0 en t=2 seg salepor la tangente. Calcular la posición y la velocidad de la partícula en t=3 seg.
Resp. r´(2)=
(
4,8,0)
l(3)=(
8,8,0)
16. Calcular la longitud de arco descrito por el vector
( )
t = 3cost,−3sent,−t2 , 0≤t≤2r .
Resp. L=5+49ln3
17. Una partícula se mueve por la trayectoria
(
2)
2 1 2 2 12, ,
cos )
(t = t sent − sent
σ
desde1
=
t seg hasta t=3
