Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes

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(1)

Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes

Yoel Gutiérrez

UNEXPO - Puerto Ordaz

1

Sistemas de ecuaciones

lin-eales

Una ecuación lineal con la variables x1; : : : ; xn es

una ecuación que puede escribirse de la forma

a1x1+a2x2+: : :+anxn =b

dondeby los coe…cientesa1; : : : ; an son elementos de

un cuerpo, habitualmente el cuerpo de los nùmeros reales. Generalmente conocido de antemano. El númeronpuede ser cualquier entero positivo.

Consideremosmecuaciones lineales en la que inter-vienen las mismas variables, digamosx1; x2; ; xn:

a11x1 + : : : + a1nxn = b1

a21x1 + : : : + a2nxn = b2 ..

. ... ...

am1x1 + : : : + amnxn = bm

; (1)

donde los aij y los bi son elementos de R, para

i = 1;2; : : : ; m y j = 1;2; : : : ; n. Al conjunto de condiciones (1) se le llama un sistema de m ecua-ciones lineales con n incógnitas.

Una solución del sistema (1) es una lista

(s1; s2; : : : ; sn) de n elementos de R que convierte cada ecuación en una a…rmación verdadera cuando los valoress1; s2; : : : ; sn se sustituyen porx1; x2; : : : ; xn

respectivamente.

El conjunto de todas las soluciones posibles se llamaconjunto solucióndel sistema lineal. Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equiva-lentessi tienen el mismo conjunto solución. Esto es, cada soluciòn del primer sistema es una soluciòn del segundo sistema y cada solución del segundo sistema lo es del primero.

Un sistema de ecuaciones lineales tiene ya sea:

1. Ninguna solución, o

2. exactanente una solución, o

3. un número in…nito de soluciones.

Decimos que un sistema lineal es compatible (o consistente) si tiene solución, en este caso se dice que es compatible determinado si tiene exacta-mente una solución y compatible indeterminado si tiene un número in…nito de soluciones. Un sis-tema esincompatible(oinconsistente) si no tiene ninguna solución.

2

Matrices

Seanmyndos enteros positivos. UnamatrizAde ordenmxnes una distribución rectangular dem…las yncolumnas de la forma

A=

0 B B B B @

a11 a12 : : a1n

a21 a22 : : a2n

: : :

: : :

am1 am2 : : amn

1 C C C C A:

Los escalaresaij habitualmente pertenecen a Ry se

llaman los elementos (entradas o coe…cientes) de la matrizA.

Observaciones

1. Sim= 1 diremos queAes unamatriz …la. Si

n= 1diremos queAes unamatriz columna.

2. Para cadai= 1;2; : : : ; m, la matriz de orden1xn

(ai1ai2: : : ain)

se denomina la i-ésima …la de A. Análoga-mente, para cada j = 1;2; : : : ; n la matriz de ordenmx1 0

B B B B @

a1j

a2j

: : amj

(2)

se llama laj-ésima columnadeA.

3. Para representar la matrizAtambién se adopta la notación

A=faij : 1 i m;1 j ng

o bien (cuando no hay riesgo de confusión)

A= (aij)

4. Dos matricesA= (aij)yB= (bij)sobreRy del

mismo ordenmxn, sonigualessiaij =bij para

cada1 i my cada1 j n. Escribiremos

A=B

5. Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada.

6. Al conjunto de todas la matrices de orden mxn

sobreRse le denota porMmxn(R)o bienRmxn.

Al conjunto de las matrices cuadras de ordenn

(onxn) se le denota porMn(R).

3

Notación matricial de un

sis-tema de ecuaciones lineales

La información esencial de un sistema lineal puede registrarse en forma compacta en una matriz. Dado el sistema (1), a la matriz de ordenmxn

A=

0 B B B @

a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n

..

. ... ...

am1 am2 : : : amn

1 C C C A

se llamamatriz de coe…cientes del sistema (1), y la matriz de ordenmx(n+ 1)

0 B B B @

a11 a12 : : : a1n b1

a21 a22 : : : a2n b2 ..

. ... ... ...

am1 am2 : : : amn bm

1 C C C A

se les llama matriz aumentada (o ampliada) del sistema.

La matriz aumentada de un sistema consiste en la matriz de coe…cientes con una columna agragada que contiene las constantes de los miembros derechos de las ecuaciones del sistema (1).

4

Resolución de un sistema

lin-eal

En esta sección se describe un algoritmo o un pro-ceso sistemático para resolver sistemas lineales. La estrategia básica es reemplazar un sistema por un sis-tema equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solución) que sea más fácil de resolver.

Se utilizan tres operaciones básicas para simpli…car un sistema lineal: intercambiar dos ecuaciones, mul-tiplicar todos los tèrminos de una ecuación por una constante diferente de cero y reemplazar una ecuación por la suma de sí misma y un múltiplo escalar de otra ecuación. Estas operaciones no cambian el conjunto soluciòn del sistema.

Las tres operaciones básicas con ecuaciones de un sistema lineal corresponden a las operaciones con las …las apropiadas de la matriz aumentada.

4.1

Operaciones elementales de …las

Lasoperaciones elementales de …lasaplicadas a una matriz aumentada son:

1. (Intercambio) Intercambio de dos …las.

2. (Escalamiento)Multiplicación de una …la por un escalar no nulo.

3. (Reemplazo) Sustitución de una …la por la suma de sí misma y un múltiplo de otra …la.

Observaciones

1. Las operaciones de …la se pueden aplicar a cualquier matriz, no nada más a una que sea la matriz aumentada de un sistema lineal.

2. El proceso de aplicar las operaciones elementales de …la para simpli…car una matriz se llama re-ducción por …las.

3. Sean A y B matrices del mismo orden sobre el mismo cuerpoR. diremos queAesequivalente por …las a B, si B puede obtenerse a partir deA mediante un número …nito de operaciones elementales de …las.

(3)

4.2

Reducción

por

…las

y

forma

escalonada

Estudiaremos un algoritmo de reducción por …las que nos permita analizar cualquier sistema de ecuaciones lineales. El algoritmo se aplica a cualquier matriz, ya sea que se vea o no como la matriz aumentada para un sistema lineal.

En las de…niciones siguientes una …la o columna

diferente de cero o no nulaen una matriz implica una …la o una columna que contiene por lo menos una entrada diferente de cero; una…la nula en una matriz es una …la donde todas sus entradas son cero; una

entrada principal de una …la se re…ere a la entrada diferente de cero que está más a la izquierda en una …la diferente de cero.

De…nición 1 Sea A2Mmxn(R):

1. Diremos que A está en forma escalonada (o forma escalonada por …las)si se veri…ca que:

(a) Las …las nulas deA, si es que existen, están debajo de las …las diferentes de cero. (b) Cada entrada principal de una …la está en

una columna a la derecha de la entrada principal de una …la superior.

2. Diremos que A está en forma reducida (o forma reducida por …las) si se veri…ca que:

(a) La entrada principal de cada …la diferente de cero, si es que existe, es uno.

(b) Cada columna deAque contiene la entrada principal de alguna …la de A tiene igual a cero todos sus otros elementos.

3. Diremos que Aestá en forma escalonada re-ducida (o en forma escalonada reducida por …las) si A està en forma escalonada y re-ducida

Observaciones

1. Unamatriz escalonadaes una matriz que está en forma escalonada. Una matriz escalon-ada reducida es una matriz que está en forma escalonada reducida.

2. Una matriz se puede reducir por …las a más de una matriz escalonada. Sin embargo, la forma escalonada reducida que se obtiene para una ma-triz es única.

3. Si una matriz A es equivalente por …las a una matriz escalonada U, llamamos a U la forma escalonada (o forma escalonada por …las) de A;siU está en forma escalonada reducida, lla-mamos aU laforma escalonada reducida de A.

4. Dada que la forma escalonada reducida por …las de una matriz es única, las entradas principales se encuentran siempre en las mismas posiciones en cualquier forma escalonada obtenida a partir de una matriz dada.

5. Una posición pivote de una matriz A es una posición de A que corresponde a una entrada principal en una forma escalonada de A: Una columna pivotees una columna deAque con-tiene una posición pivote.

4.3

El algoritmo de reducción por …las

Los primeros cuatro pasos del siguiente algoritmo pro-ducen una matriz en forma escalonada. Un quinto paso produce una matriz en forma escalonada re-ducida.

1. Paso 1. Comience con la columna diferente de cero más a la izquierda. Esta es una columna pivote.

2. Paso 2. Seleccione como pivote una entrada diferente de cero en la columna pivote. Si es necesario, intercambie …las para mover esta en-trada a la posición pivote.

3. Paso 3. Utilice operaciones de reemplazo por …la para crear ceros en todas las posiciones bajo el pivote.

4. Paso 4. Ignore la …la que contiene la posición pivote y todas las …las, si las hubiere, arriba de ella. Aplique los pasos anteriores a la subma-triz que queda. Repita el proceso hasta que no queden …las diferentes de cero por modi…car.

5. Paso 5. Comenzando con el pivote más a la derecha y trabajando hacia arriba y hacia la izquierda, cree ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, hágalo 1 por medio de una operación de escalamiento.

Observaciones

(4)

paso 5, que produce la forma escalonada reducida única, se llamafase regresiva.

2. El algoritmo de reducción por …las conduce direc-tamente a una descripción explícita del conjunto solución de un sistema lineal cuando el algorítmo se aplica a la matriz aumentada del sistema.

3. Las variables correspondientes a columnas piv-otes de la matriz aumentada de un sistema se llamanvariables básicas (o variables princi-pales). Las otras variables, se llamanvariables libres. Cuando un sistema es consistente, y tiene variables libres, el conjunto solución puede describirse explícitamente resolviendo el sistema de ecuaciones reducido para las variables bási-cas en términos de las variables libres. Esta op-eración es posible debido a que la forma escalon-ada reducida coloca cescalon-ada variable básica en una y sólo una ecuación.

4. Al decir que una variablexes libre, queremos de-cir que estamos en libertad de escoger cualquier valor parax. Cada elección diferente dex deter-mina una solución diferente del sistema y cada solución del sistema está determinada por una elección dex.

5. Resolver un sistema signi…ca:

(a) Encontrar una descripción paramétrica del sistema, en las cuales las variables libres ac-túan como parámetro. La descripción en-contrada se llama solución general del sis-tema

(b) Determinar que el conjunto solución es único, o

(c) Determinar que el sistema no tiene solución.

6. Si un sistema es inconsistente, el conjunto solu-ción es vacío, incluso si el sistema tiene variables libres. En este caso, el conjunto solución no tiene repreentación paramétrica.

7. Si la matriz aumentada de un sistema está en forma escalonada pero no en forma escalonada reducida, podemos resolver el sistema por susti-tución regresiva, en lugar de hallar la forma escalonada reducida de la matriz aumentada.

8. la ecuación nula

0x1+ 0x2+: : :+oxn= 0

se satisface para cualquier n-upla(x1; : : : ; xn)de

Rn, luego, el conjunto solución de un sistema no

cambia si eliminamos de él la ecuación nula.

9. Si un sistema contiene una ecuación del tipo

0x1+ 0x2+: : :+ 0xn=b

conb6= 0, entonces el sistema es incompatible.

10. Un sistema compatible con más incógnitas que ecuaciones es indeterminado.

Teorema 2 (Teorema de existencia y unicidad)

Un sistema lineal es consistente si y sólo si la columna del extremo derecho de la matriz aumentada no es una columna pivote, esto es, si y sólo si una forma escalonada de la matriz aumentada no tiene ninguna …la de la forma

(0 0 b)

conbdiferente de cero. Si un sistema lineal es consis-tente, entonces el conjunto solución contiene ya sea

1. una solución única, cuando no existen variables libres, o

2. un número in…nito de soluciones, cuando existe por lo menos una variable libre.

4.4

Uso de reducción por …las para

re-solver un sistema lineal

El siguiente procedimiento describe cómo encontrar y describir todas las soluciones de un sistema lineal.

1. Escribir la matriz aumentada del sistema.

2. Utilice el algoritmo de reducción por …las para obtener una matriz aumentada equivalente de forma escalonada.

3. Decdida si el sistema es o no consistente. Si no hay solución, deténgase, en caso contrario, siga uno de los siguientes pasos

(a) Escriba el sistema de ecuaciones que corre-sponde a la matriz aumentada y resolverlo por sustitución regresiva, o

(5)

4.5

Sistemas lineales homogéneos

Se dice que un sistema lineal es homogéneo si se puede escribir de la forma

a11x1 + : : : + a1nxn = 0

a21x1 + : : : + a2nxn = 0

..

. ... ...

am1x1 + : : : + amnxn = 0

Observaciones

1. Un sistema homogéneo siempre tiene al menos una solución, a saber, S = (0; : : : ;0): General-mente esta solución, se llamasolución trivial.

2. Un sistema homogéneo tiene una solución no trivial si y sólo si la ecuación tiene por lo menos una variable libre.

3. Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales con más incógnitas que ecuaciones tiene solu-ciones no triviales.

4. Cuan se aplica operaciones de …la a la matriz au-mentada de un sistema de ecuaciones lineales, la última columna siempre es nula. Por lo tanto, para resolver un sistema lineal homogéneo, ha-bitualmente se aplica el algoritmo de reducción por …las a la matriz de coe…cientes del sistema

5

Álgebra de matrices

Sea A una matriz de ordenmxn, esto es, dem …las yncolumnas

A=

0 B B B B @

a11 a12 : : a1n

a21 a22 : : a2n

: : :

: : :

am1 am2 : : amn

1 C C C C

A= (aij):

1. La matriz A diremos que es nula (o cero), y la denotaremos por0, si todos sus elementos son iguales a cero.

2. SiA es una matriz cuadrada (m=n); diremos que:

(a) ladiagonal principal deAes la n-upla

D(A) = (a11; a22; : : : ; ann):

(b) A esdiagonalsi aij = 0 para cadai6=j.

Esto es,Aes diagonal si todos los elementos que no …guran en la diagonal principal son nulos.

(c) Aes lamatriz identidadde ordenn, si es una matriz diagonal de ordenny todos los términos de la diagonal principal son iguales a 1. La matriz identidad la denotaremos por

In, o bien,Icuando no es necesario recalcar

el orden.

5.1

Suma de matrices y producto de

un escalar por una matriz

De…nición 3 SeanA; B2Mmxn(R)y consideremos la matrizC2Mmxn(R)tal que

cij =aij+bij:

A esta matrizCse le llamala sumadeAyB, y se le denota por A+B, es decir,

C= (aij) + (bij) = (aij+bij):

Nótese que la suma de dos matrices está de…nida sólo cuando las dos matrices son del mismo orden (o tamaño).

De…nición 4 SeanA2Mmxn(R)y 2R.

Consid-eremos la matrizB 2Mmxn(R)tal que

bij = aij:

A esta matrizB se le llama elproducto del escalar por la matrizA y se le denota por A, esto es

B= (aij) = ( aij):

Teorema 5 Para toda A; B; C 2 Mmxn(R) y

es-calares y se cumple que

1. A+B =B+A

2. (A+B) +C=A+ (B+C)

3. A+0=A

4. 0A=0

5. 1A=A

6. ( A) = ( )A

7. ( + )A= A+ A

8. (A+B) = A+ B

Observaciones

(6)

(a) bij = aij y

(b) A+B =0

2. La matrizB en (1) se le llama laopuestadeA

y se le denota por A, esto es,

B= (aij) = ( aij):

3. Dadas dos matricesA; B2Mmxn(R), la resta se

de…ne por

A B =A+ ( B):

5.2

Multiplicación de matrices

De…nición 6 Sean A y B matrices sobre R de or-denesmxnynxprespectivamente, y consideremos la matrizC2Mmxp(R)tal que

cij= m

X

k=1

aikbkj:

A esta matriz C se le llama el producto deA y B

(en ese orden) y se denota porAB, es decir, se tiene que

C= (aij) (bij) = m

X

k=1

aikbkj

!

:

Observaciones

1. Si A y B son matrices de ordenes mxn y pxq

respectivamente, tales que el producto AB está de…nido, entonces debe ser n = p. Esto se ex-presa diciendo que el número de columnas deA

debe ser igual al número de …las deB.

2. SiABestá de…nida, no es necesariamente cierto queBAtambién lo esté.

3. Puede ocurrir queAByBAestén de…nidas, pero sean de distintos ordenes.

4. Aún estando de…nidas AB y BA, y siendo del mismo orden, no es cierto en general queAB=

BA, es decir, la multiplicación de matrices no es conmutativa.

5. Si AB = BA; decimos que A y B conmutan una con la otra.

Teorema 7 Sea A una matriz de orden mxn; B y

C matrices con tamaños para los cuales las sumas y productos indicados están de…nidos, y un escalar. entonces

1. A(BC) = (AB)C

2. A(B+C) =AB+AC

3. (B+C)A=BA+CA

4. (AB) = ( A)B=A( B)

5. ImA=A=AIn

Observaciones

1. Existen matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula.

2. SiA,ByCson matrices no nulas tal queAB=

AC, no necesariamenteB =C. Esto es, la ley de cancelación para la multiplicación de matrices no es válida.

5.3

Potencia de una matriz

De…nición 8 Sea A una matriz cuadrada de orden

ny kun entero no negativo de…nimos Ak como:

1. A0=In

2. A1=A

3. Para cualquier entero positivok 2,

Ak=Ak 1A

Esta de…nición es un ejemplo de una de…nición re-currente o inductiva.

5.4

La traspuesta de una matriz

De…nición 9 SeaA2Mmxn(R)yB2Mnxm(R)tal quebij =aji. A la matriz B se le llama lamatriz

traspuesta deAy se le denota por AT, esto es

AT = (aij)T = (aji):

Nótese que las columnas deAT se forman a partir de las …las correspondientes deA:

Teorema 10 SiA y B son matrices cuyos tamaños son apropiados para las siguientes sumas y los sigu-ientes productos, y es una escalar, entonces

1. (AT)T =A

2. (A+B)T =AT+BT

3. ( A)T = AT

(7)

1. Aes una matriz simétrica siAT =A y

2. Aes una matriz antisimétricasiAT = A:

Teorema 12 (Propiedades de las matrices simétricas y antisimétricas)

1. Los elementos de la diagonal de una matriz an-tisimétrica son nulos.

2. El producto de toda matriz por su transpuesta es una matriz simétrica.

3. La suma de toda matriz cuadrada y de su transpuesta es simétrica.

4. La diferencia de toda matriz cuadrada con su transpuesta es antisimétrica.

5. Toda matriz cuadrada se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y de una anti-simétrica.

6

Matrices invertibles

Sea A2Mn(R). Diremos queA es unamatriz in-vertiblesi existe una matriz B2Mn(R)tal que

AB=I=BA;

donde I es la matriz identidad de orden n. En esta caso se dice que la matrizB es la matrizinversade

A. SiC fuera otra inversa deA;tendríamos que

C=CI =C(AB) = (CA)B=IB=B:

Entonces, cuandoAes invertible, su inversa es única y la denotamos porA 1:Así pues,

AA 1=I=A 1A:

Una matriz cuadra que no es invertible también se denomina matrizsingulary una matriz invertible se denomina matizno singular.

Teorema 13 SeanAyB matrices cuadradas de or-denn

1. SiA es invertible, entoncesA 1 es invertible y

(A 1) 1=A:

2. SiA yB son invertible, también lo esAB; y

(AB) 1=B 1A 1:

3. SiA es invertible, también lo esAT;y

AT 1= A 1 T:

Observaciones

1. La matrices invertibles sons indispensables en el álgebra lineal, principalmente para cálculos alge-braicos y deducción de fórmulas.

2. El sistema

a11x1 + : : : + a1nxn = b1

a21x1 + : : : + a2nxn = b2 ..

. ... ...

am1x1 + : : : + amnxn = bm

(2)

puede escribirse como AX = B, donde A es la matriz de coe…cientes

A=

0 B B B @

a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n

..

. ... ...

am1 am2 : : : amn

1 C C C A

y,X yB son las matrices columnas

X =

0 B B B @

x1

x2 .. .

xn

1 C C C A y B=

0 B B B @

b1

b2 .. .

bm

1 C C C A

3. Si(s1; s2; : : : ; sn)es una solución del sistema (2)

se cumple que AS = B, donde S es la matriz columnas

S=

0 B B B @

s1

s2 .. .

sn

1 C C C A

Diremos en este caso queS es una matriz solu-ción del sistema, o simplemente que S es una solución del sistema.

Teorema 14 Si A 2 Mn(R) es una matriz invert-ible, entonces para cada B 2 Mnx1(R); el sistema

AX=B tiene la solución únicaX =A 1B:

Prueba. Para cualquier B 2 Mnx1(R) existe una solución porque cuando se sustituye A 1B por X

obtenemos

(8)

Así queA 1B es una solución. La solución es única, efectivamente siU 2Mnx1(R)es cualquier solución, entonces

AU =B

y multiplicando ambos miembros por A 1obtenemos

A 1(AU) = A 1B A 1A U = A 1B

IU = A 1B U = A 1B:

6.1

Matrices elementales

De…nición 15 Una matriz elemental es aquella que se obtiene realizando una única operación elemen-tal de …la a la matriz identidad.

En el siguiente ejemplo se ilustra las tres clases de matrices elementales.

Ejemplo 16 Aplicando las operaciones elementales de …las

f3 ! f3 4f1;

f1 ! f2;

f3 ! 5f3;

con la matriz identidad

I=

0

@ 10 01 00

0 0 1

1 A

se obtienen, respectivamente, las matrices elemen-tales

E1 =

0

@ 10 01 00

4 0 1

1

A; E2=

0

@ 01 10 00

0 0 1

1 A

y E3 =

0

@ 10 01 00

0 0 5

1 A:

Ahora Bien, dada la matriz

A=

0

@ 24 13 23

1 5 5

1 A;

se obtiene que

E1A =

0

@ 24 13 23

7 9 17

1 A;

E2A =

0

@ 42 31 23

1 5 5

1 A y

E3A =

0

@ 24 13 23

5 25 25

1 A:

Nótese que que las operaciones de …las f3 ! f3

4f1; f1 !f2; y f3 !5f3;aplicadas con la matriz

A;producen, respectivamente, las matricesE1A; E2A

y E3A:

La multiplicación por la izquierda por E1 en el ejemplo anterior tiene el mismo efecto en cualquier matriz de orden3xn: suma -4 veces la …la uno a la …la tres. Así, el ejemplo anterior ilustra el siguiente teorema.

Teorema 17 Si se realiza una operación elemental de …la con una matrizAde ordenmxn;la matriz re-sultante puede escribirse comoEA;donde la matrizE

de ordenmxmse crea realizando la misma operación de …la conIm:

Es importante notar que las operaciones de …la con una matriz son invertibles:

1. Si se intercambian dos …las, puede regresarse a sus posiciones originales por medio de otro inter-cambio.

2. Si se escala una …la por una constantecdiferente de cero, entonces al multiplicar la nueva …la por

1

c se obtiene la …la original.

3. Finalmente, consideremos una operación de reemplazo en la que intervienen dos …las, por ejemplo, las …las 1 y 2, y supongamos quec ve-ces la …la 1 se suma a la …la 2 para producir una nueva …la 2. Para invertir esta operación, sumamos cveces la …la 1 a la nueva …la 2 para obtener la …la 2 original.

Puesto que las operaciones de …la son invertibles, las matrices elementales son invertibles, porque siE

(9)

El siguiente teorema ofrece la mejor manera de vi-sualizar una matriz invertible y lleva inmediatamente a un método para encontrar la inversa de una matriz.

Teorema 18 Una matriz A 2 Mn(R) es invertible

si y sólo si es equivalente por …las a In y en este

caso, cualquier secuencia de operaciones elementales de …la que reduzcaA aIn también transforma In en

A 1:

Prueba. Supongamos queAes invertible. Entonces para cadaB 2M1xn(R)la ecuación AX =B tiene

una única solución. Por lo tanto, A tiene una posi-ción pivote en cada …la. Como A es cuadrada, las

nposiciones pivote deben estar en la diagonal y esto implica la forma escalonada reducida deAesIn:Esto

esA In (Aes equivalente aIn).

Recíprocamente, supongamos que A In:

En-tonces, puesto que cada paso de la reducción por …las de A corresponde a una multiplicación por la izquierda por una matriz elemental, existen matrices elementalesE1; : : : ; Ep tales que

A E1A E2E1A Ep E1A=In (3)

Puesto que el producto de matrices invertibles es invertible, la ecuación al …nal de (3) lleva a

(Ep E1) 1(Ep E1)A = (Ep E1) 1In

A = (Ep E1) 1

Por lo tanto,Aes invertible, puesto que es la inverza de una matriz invertible. También

A 1=h(Ep E1) 1

i 1

=Ep E1

Entonces

A 1=Ep E1In

lo cual dice que al aplicar sucesivamenteE1; : : : ; Epa

In se obtieneA 1:Esta es la misma secuencia de (3)

que redujoAa In:

6.2

Un algoritmo para encontrar

A

1

El teorema anterior nos da un método práctico para determinar si una matrizAes invertible y, en caso de serlo, para determinar su inversa A 1. Tal proceso, conocido com el método de Gauss, consiste en lo siguiente:

1. Se determina la matrizB, escalonada y reducida por …las, equivalente por …las a A. si B = I, entonces Aes invertible y si B 6=I, entoncesA

no es invertible.

2. En caso de queAsea invertible, esto es, siA es equivalente por …las a I, se realizan sobreI las mismas operaciones que nos permitieron pasar deAaI y de esta manera obtenemosA 1.

El proceso antes señalado puede simpli…carse con-siderando la matriz (AjI) de orden nx2n, cuyas n

primeras columnas forman la matriz Ay las otrasn

columnas forman la matrizI. Entonces se lleva(AjI)

a una matriz escalonada reducida por …las(BjC). si

B=I, entoncesA es invertible y su inversa esC. si

B6=I, entoncesAno es invertible.

Los siguientes teorema ofrecen un repaso de la mayor parte de los conceptos introducidos en el tema de sistemas de ecuaciones y matrices.

Teorema 19 (El teorema de la matriz invert-ible) Sea A2Mn(R):Entonces los enunciados que

siguen son equivalentes. Esto es, los enunciados son o todos ciertos o todos falsos.

1. Aes una matriz invertible.

2. A es equivalente por …las a la matriz identidad

In:

3. Atienen posiciones pivote.

4. La ecuaciónAX= 0tiene solamente la solución trivial.

5. La ecuación AX =B tiene una única solución para cadaB2M1xn(R):

6. Existe una matrizC2Mn(R)tal queCA=I:

7. Existe una matrizD2Mn(R)tal queAD=I:

8. AT es invertible.

Teorema 20 Sean A y B matrices cuadradas. Si

AB=I; entonces A y B son ambas invertibles, con

A 1=B y B 1=A:

7

Factorización de matrices

(10)

7.1

Matrices triangulares

De…nición 21 SeaA2Mn(R), diremos que:

1. A es una matriz triangular superiorsi todos sus componentes debajo de la diagonal son nulos. Esto es, siaij = 0para toda i > j.

2. A es una matriz triangular inferior si todos sus componentes arriba de la diagonal son nulos. Esto es, siaij = 0para toda i < j.

Una matriz triangular (superior o inferior) con unos en la diagonal se llama matriz triangular (superior o inferior) unitaria. Puede demostrarse que:

1. Los productos de matrices triangulares unitarias son también triangulares unitarias.

2. Las matrices triangulares unitarias son invert-ibles y sus inversas son también triangulares uni-tarias.

7.2

Factorización LU

Supongamos queAes una matriz de ordenmxnque se puede reducir a su forma escalonada sin intercam-bio de …las. Entonces Apuede escribirse en la forma

A = LU, donde L es una matriz triangular inferior de ordenmcon unos en la diagonal yU es una forma escalonada de orden mxn de A. Una factorización de este tipo se llama factorización LU de A. La matrizLes invertible y se llamamatriz triangular inferior unitaria.

Antes des estudiar la forma de construir L y U, debemos examinar la razón de su utilidad. Cuando

A=LU, la ecuación linealAX=B se puede escribir como

L(U X) =B:

ComoLes invertible, entonces

U X =L 1B (4)

Luego, resolver el sistemaAX =B es equivalente a resolver el sistema (4) por sustitución regresiva.

7.3

Algoritmo para una factorización

LU

Supongamos que A puede reducirse a una forma escalonada U sin intercambiar …las. Entonces, dado que no es esencial escalar las …las,Ase puede reducir a U únicamente mediante reemplazo de una …la por la suma de sí misma y un múltiplo de otra …la que

esté debajo. En este caso, existenE1; : : : ; Ep

matri-ces elementales triangulares inferiores unitarias tales que

Ep: : : E1A=U (5)

Entonces

A= (Ep: : : E1) 1U =LU

donde

L= (Ep: : : E1) 1 (6)

Como los productos y las inversas de las matrices triangulares inferiores unitarias son también triangu-lares inferiores unitarias. Así,Les triangular inferior unitaria.

Observe que las operaciones de …las en (5), que re-ducenAaU, también reducen laLde (6) aI, debido a que

Ep: : : E1L= (Ep: : : E1)(Ep: : : E1) 1=I

Esta observación es la clave para construirL. En conclusión, para una factorización LU realice los siguientes pasos:

1. Paso 1. Reduzca A a una forma escalonadaU

mediante una sucesión de reemplazos de una …la por la suma de sí misma y un múltiplo de otra …la que esté debajo.

2. Paso 2. Coloque las entradas de Lde tal man-era que la misma sucesión de opman-eraciones de …la reduzcaLaI.

El paso 1 no siempre es posible, pero cuando lo es el argumento anterior indica que existe una factor-izaciónLU. En el siguiente ejemplo se mostrará como implementar el paso 2. Por construcciónL satisface

(Ep: : : E1)L=I

donde se usan las mismasE1; : : : ; Ep que en (5). Así,

Lserá invertible, por el teorema de la matriz invert-ible, con

L 1=Ep: : : E1:

De (5),

L 1A=U y A=LU:

Por tanto el paso 2 producirá unaLaceptable.

Ejemplo 22 Encontrar una factorizaciónLU de

A=

0 B B @

2 4 1 5 2

4 5 3 8 1

2 5 4 1 8

6 0 7 3 1

(11)

Solución. Dado queAtiene 4 …las,Ldebe ser de orden 4x4. La primera columna de L es la primera columna deA dividida entre la entrada pivote supe-rior:

L=

0 B B @

1 0 0 0

2 1 0 0

1 1 0

3 1

1 C C A:

Compare las primeras columnas de A y de L. Las operaciones de …la que crean ceros en la primera columna de A también crean ceros en la primera columna deL: Queremos que esta misma correspon-dencia de operaciones po …la valga para el resto de

L; así que examinamos una reducción por …las deA

a una forma escalonadaU :

A =

0 B B @

2 4 1 5 2

4 5 3 8 1

2 5 4 1 8

6 0 7 3 1

1 C C A

0 B B @

2 4 1 5 2

0 3 1 2 3

0 9 3 4 10

0 12 4 12 5

1 C C A

0 B B @

2 4 1 5 2

0 3 1 2 3

0 0 0 2 1

0 0 0 4 7

1 C C A

0 B B @

2 4 1 5 2

0 3 1 2 3

0 0 0 2 1

0 0 0 0 5

1 C C A

= U

Las entradas resaltadas determinan la reducción por …las de A a U: En cada columna pivote, dividiendo las entradas resaltadas entre el pivote y colocando el resultado enLobtenemos

L=

0 B B @

1 0 0 0

2 1 0 0

1 3 1 0

3 4 2 1

1 C C A:

Con un fácil cálculo se veri…ca que estasLyU satis-facenLU =A:

8

Determinantes

De…nición 23 Sea

A= (a11)

una matriz cuadrada de orden 1. El determinante

deA, denotado pordetA, se de…ne como

detA=a11:

De…nición 24 Sea

A= a11 a12

a21 a22

una matriz cuadra de orden 2. Eldeterminante de

A, denotado pordetA, se de…ne como

detA=a11a22 a12a21:

Observaciones

1. El determinante de una matriz cuadra de orden

nse de…nirá de manera inductiva. En otras pal-abras, se usará lo que se sabe sobre el determi-nante de una matriz de orden 1 para de…nir el determinante de una matriz de orden 2, ésta a su vez se usará para de…nir el determinante de una matriz de orden 3, etc.

2. Es importante darse cuenta que"det"es una fun-ción que asigna un elemento del cuerpoR a una matriz cuadrada de ordennsobre R. Esto es

det:Mn(R) !R A !detA

De…nición 25 SeaA2Mn(R).

1. La matriz de ordenn 1 obtenida deA al elimi-nar la …laiy la columnaj se denota porMij(A)

y se llamaij-ésimomenor deA.

2. Elij-ésimocofactordeA, denotado porCij(A)

se de…ne como

Cij(A) = ( 1)i+jdet(Mij(A))

3. El determinante de la matriz A denotado por

detA o bien jAj, se de…ne mediante la siguiente regla:

(a) sin= 1, es decirA= (a11), entoncesjAj=

a11

(b) Sin 2, entonces

jAj= n

X

k=1

aikCik(A) (7)

(12)

La fórmula (7) se llama un desarrollo por co-factores a lo largo de la …la i esima: Se obtiene la misma respuesta si se desarrolla (o expande) por cofactores a lo largo de cualquier columna.

El desarrollo por cofactores es útil para calcular el determinante de una matriz que contiene muchos ceros. Por ejemplo, si una …la consiste en su mayor parte de ceros, entonces el desarrollo por cofactores a lo largo de esa …la tiene muchos términos que son cero y no es necesario calcular los cofactores en esos tér-minos. El mismo método funciona con una columna que contiene muchos ceros.

8.1

Propiedades de los determinantes

Las siguientes propiedades nos permiten reducir sig-ni…cativamente la cantidad de trabajo necesaria para calcular un determinante.

Teorema 26 SiAes una matriz triangular de orden

n, entoncesdetAes el producto de las entradas de la diagonal principal de A:

El secreto de los determinantes radica en cómo cambian cuando se realizan operaciones por …la.

Teorema 27 Sea A2Mn(R).

1. Si se suma un múltiplo de una …la deAa otra …la para producir una matriz B; entonces detA = detB:

2. SiBes una matriz obtenida deAintercambiando dos …las , entonces detA= detB.

3. SiB es una matriz obtenida deAmultiplicando una …la por un escalar , entonces detA =

1detB.

Podemos realizar operaciones con las columnas de una matriz de manera análoga a las operaciones po …la que hemos visto. El siguiente teorema muestra que las operaciones por columnas tienen los mismos efectos sobre los determinantes que las operaciones por …la.

Teorema 28 SiA2Mn(R), entonces

detA=detAT

Teorema 29 (Propiedad multiplicativa) Si A y

B son dos matrices cuadradas de orden n, entonces

det(AB) =detA:detB:

Teorema 30 Sea A2Mn(R).

1. Si una …la (o columna) de A es nula, entonces

detA= 0.

2. Si A tiene dos …las (o dos columnas) iguales,

detA= 0.

3. Si una …la (o columna) deA es un múltiplo es-calar de otra …la (o columna), entonces detA= 0.

4. Si k es cualquier escalar, entonces det (kA) =

kndetA

A continuación mostramos los dos teoremas princi-pales de esta sección.

Teorema 31 SiAes una matriz cuadra de ordenn.

Aes invertible si y sólo si jAj 6= 0.

Teorema 32 SiA es una matriz cuadrada de orden

ny es invertible , entoncesjA 1j= 1 jAj.

8.2

Una fórmula para

A

1

La teoría de determinantes lleva fácilmente a una fór-mula general para hallar la inversa de una matriza cuadrada de ordenn.

De…nición 33 Si A una matriz cuadrada de orden

ny

B =

0 B B B @

C11(A) C12(A) : : : C1n(A)

C21(A) C22(A) : : : C2n(A)

..

. ... ...

Cn1(A) Cn2(A) : : : Cnn(A)

1 C C C A

la matriz de cofactores de A. Laadjunta deA, de-notada poradjA, es la transpuesta deB. Esto es

adjA=BT

Teorema 34 Para cualquier matrizAde orden nse veri…ca que

A:adjA=adjA:A=jAj:I

Teorema 35 (Una fórmula para la inversa) Si

Auna matriz de orden n. y es invertible, entonces

A 1= adjA

(13)

8.3

Regla de Cramer

A continuación obtendremos una fórmula teórica im-portante para resolver sistemas de ecuaciones lineales. SeaA una matriz cuadrada de ordenny cualquier

B=

0 B B B @

b1

b2 .. .

bn

1 C C C A:

Sea Ai(B)la matriz obtenida a partir de Aal reem-plazar la columnaipor la columna asociada a la ma-trizB:

Teorema 36 (Regla de Cramer) SeaA2Mn(R)

una matriz invertible. Para cualquier

B =

0 B B B @

b1

b2

.. .

bn

1 C C C A

en M1xn(R), la solución única

X =

0 B B B @

x1

x2

.. .

xn

1 C C C A;

del sistema

AX=B

tiene entradas dadas por

xi=

detAi(B)

detA ; i= 1;2;3; :::; n:

La regla de Cramer se puede usar para estudiar como cambia la solución de AX = B cuando cam-bian las entradas de B: Sin embargo, la fórmula es ine…ciente para cálculos a mano, excepto, para ma-trices de orden 2x2 o quizá 3x3.

Bibliografía

1. Armando O Rojo (1983). Álgebra II. 8a edi-ción. Libreria el Eteneo Editorial. Buenos Aires.

2. David C. Lay (2001). Álgebra Lineal y Sus Aplicaciones. Segunda edición. Pearson Edu-cación. México.

3. Emilio Prieto Sáez (1999). Lecciones elemen-tales de álgebra lineal para economía y empresa. Editorial Centro de Estudios Ramón Areces, S.A. Madrid.

4. Grossman, S. (1997). Álgebra lineal con apli-caciones. Quinta edición. McGraw-Hill.

5. Jorge Saenz (2013). Cálculo vectorial. Primera edición. Hipotenusa. Barquisimeto.

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Referencias

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