Tema 01 Números naturales

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 1

NÚMEROS NATURALES,

ℕ

CPR. JORGE JUAN

Xuvia-Narón

Un número natural representa la cantidad de objetos de un conjunto. Es el conjunto formado por los elementos

ℕ= {0,1,2,3,.... ,}

Para escribir cualquier número natural son necesarios un máximo de 10 dígitos que constituyen el sistema decimal. Estos dígitos son:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Con estos 10 dígitos se puede escribir cualquier número natural independientemente del número de cifras que lo constituyan. El valor de cada dígito depende de su posición en el número final:

CmT DmT UmT . CT DT UT 3 CmB DmB UmB . CB DB UB 2 CmM DmM UMm . CM DM UM 1 Cm Dm Um . C D U

5.4553669.9092459.3411304.567 . mil 3 trillón 2 billón 1 millón

Teniendo en cuenta que cada una de estas unidades puede ser sustituida por una potencia de, 10, se escribe

CmT DmT UmT . CT DT UT 3 CmB DmB UmB . CB DB UB 2 CmM DmM UMm . CM DM UM 1 Cm Dm Um . C D U 1023 1022 1021 1020 10191018 1017 1016 1015 10141013 1012 1011

1010 109 108 107 106 105 104 103 102101100

Así un número puede expresarse en la siguientes formas

11236.728

1 Um 2 Cm 3 Dm 6 Um 7 C 2 D 8 U= 1.106 + 2.105 + 3.104 + 6.103 + 7.102 + 2.101 + 8.100

Descomponer cada número y escribir como se lee

70.421 setenta mil cuatrocientos veintiuno

682.093 seiscientos ochenta y dos mil noventa y tres

21407.516 dos millones cuatrocientos siete mil quinientos dieciséis mil

2651074.300 doscientos sesenta y cinco millones setenta y cuatro mil trescientos

8231609.050 ochocientos veintitrés millones seiscientos nueve mil cincuenta

Escribir con cifra estos números

Cuarenta y cinco millones treinta mil doscientos siete 451032.207

Tres millones quinientos catorce mil ochenta 31514.080

Seiscientos veintisiete millones ciento sesenta y tres mil 6271163.000

Trescientos millones dos mil cien 3001002.100

Escribir el valor en unidades de la cifra, 3, en cada número de la actividad anterior

451032.207 Treinta mil unidades 31514.080 Tres millones unidades 6271163.000 Tres mil unidades

3001002.100 Trescientos millones unidades 791300.491 Trescientos mil unidades

Observar el número de habitantes de estas ciudades y contestar Bombay (India) 121600.000 habitantes

Moscú (Rusia) 111300.000 habitantes

Buenos Aires (Argentina) 111920.000 habitantes

Shanghai (China) 131300.000 habitantes

¿Cuál de estas ciudades es la más poblada?. ¿Y la menos poblada?.

Shanghai Moscú

¿Cuántos habitantes tiene Bombay más que Buenos Aires?

121600.000 – 111920.000= 680.000 habitantes

Indicar el valor de posición de la cifra, 5, en los siguientes números

352.268.087 50 millones 122.458.876.609 50 millones 54.604.987.321.624 50 billones

321.567.486.108.792 500 mil millones

Escribir el número mayor y el menor que se puede formar con las cifras

Mayor Menor

3, 0, 9, 4, 6, 1, 5, 2, 8 986543210 012345689

7, 2, 6, 1, 5, 3, 8, 9, 4 987654321 123456789

5, 3, 9, 6, 4, 1, 0, 2, 7 976543210 012345679

Coloca el signo mayor, (>), o menor, (<), entre los siguientes pares de números

235.497.582 ( < ) 235.497.852 785.945 ( >) 785.495

84.024 ( < ) 100.508

28.090.006 ( > ) 2.809.006

Ordenar de mayor a menor los siguientes números

71341.109 1091048.700

1091048.700 591143.000

999.795 71341.109

62.935 999.795

591143.000 62.935

Escribe el día, mes y año en que naciste usando números romanos

XXV II MCMXCVI

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 3

Completar la tabla

Número Millares Centenas Decenas Unidades

9854 9 8 5 4

32127 32 1 2 7

7019 7 0 1 9

18175 18 1 7 5

Con estos números se definen las operaciones básicas: Sumar

La suma de dos números naturales o sumandos, a, y, b, da como resultado otro número natural, c, llamado adición.

a,bℕ  a+b= cℕ

2,3ℕ  2 + 3= 5ℕ

La suma tiene las siguientes propiedades: Conmutativa

a,bℕ  a+b= b+a= cℕ

2,3ℕ  2 + 3= 3 + 2 5 = 5

Asociativa

a,b,cℕ  (a+b)+c= a+(b+c)

2,3,4ℕ  (2 + 3) + 4= 2 + (3 + 4) 5 + 4= 2 + 7

9 = 9

Elemento neutro

eℕ/ aℕ  a+e= e+a= a e= 0

2+0= 0+2= 2

Completar los cuadros en las siguientes operaciones

2 3 4 5 9 6 3 5

+ 5 7 3 + 2 4 3 6

2 9 1 8 1 2 0 7 1

Tengo 10 años. ¿Cuántos tendré dentro de 5 años?.

Un barco lleva ciento noventa y ocho mil seiscientos kilogramos de trigo, veintitrés millones quinientos cuarenta mil veintitrés kilogramos de café y nueve millones ochenta y siete mil novecientos treinta kilogramos de arroz. ¿Cuántos kilogramos lleva de carga en total?. Expresa la solución con números y con letras.

198.600 231540.023 91087.930 321826.553

Hallar las sumas

984 + 1.732= 2.716

27.194 + 3.291= 30.485

23 + 113 + 85= 221

749 + 82 + 1.948= 2.779

14 + (712 + 85)= 811

(74 + 802) + 95= 971

Escribir la cifra que falta en cada caso

9 3 3 5 8 4 5 3

+ 6 7 4 5 7 + 3 2 8 1

8 0 3 5 3 9 2

7 7 5 9 5 1 7 1 2 6

En el incendio de un bosque se han destruido 3.450 árboles y han sobrevivido 753. ¿Cuántos árboles tenía el bosque del incendio?.

753 + 3.450= 4.203 árboles tenía el bosque

Restar

Restar a un número natural, a, llamado minuendo otro número natural, b, llamado sustraendo, con la condición de que el primero sea mayor o igual que el segundo, da como resultado otro número natural, c, llamado diferencia.

a,bℕ , ab  a-b= cℕ

a Minuendo Se cumple: c + b = a b Sustraendo resultado + sustraendo= minuendo

5,3ℕ, 53  5-3= 2ℕ

En caso de que el sustraendo sea mayor que el minuendo la operación de restar no se puede realizar en el campo de los números naturales.

3-5= no tiene solución 

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 5 Conmutativa

a,bℕ  a-b b-a

2,3ℕ  3 - 2 2 - 3 1 ?

Asociativa

a,b,cℕ  (a-b)-c a-(b-c)

2,3,5ℕ  (5 - 2) - 3= 5 - (2 - 3) 3 - 3= 5 - ?

0 = ?

Elemento neutro

∄eℕ/ aℕ  a-e= e-a= a

2 - 0 0 - 2 2 ?

Si tiene la propiedad: Anticonmutativa

a,bℕ  a-b= -(b-a)= cℕ

2,3ℕ  (3 – 2)= -(2 – 3) 1 = - (-1) 1 = 1

Completar los cuadros en las siguientes operaciones

5 8 9 6 4 2 7 1

- 4 5 6 2 - 1 3 7 4

1 3 3 4 2 8 9 7

El acueducto de Segovia es una de las obras más importantes de los romanos en España. Hallar su longitud en números romanos, sabiendo que sólo le faltan CCLXXII metros para llegar a medir 1000 metros.

1000 – 272= 728 metros = DCCXXVIII

Hallar las restas

37.028 – 9.809= 27.219

448.720 – 58.965= 389.755 704.295 – 348.607= 355.688

Completar las cifras que faltan para que las restas sean correctas.

4 5 2 3 2 8 3 5 3 3 6 4 0 8

- 7 4 1 -1 2 6 2 9 - 1 6 2 5 9

Completar la tabla

Minuendo Sustraendo Diferencia

708 293 415

1607 524 1.083

4.203 3272 931

La diferencia de dos números es 234.189. Si uno de ellos es 93.189. ¿Cuál es el otro número?.

234.189 + 93.189= 327.378

Si mi abuela tiene 62 años y mi madre 35 años. ¿Cuántos años más tiene mi abuela que mi madre?.

62 – 35= 27 años tiene más la abuela que la madre

Pedro tiene una colección de 87 sellos. Los junta con los de Alicia y llegan a 178 sellos. ¿Cuántos tenía Alicia?.

178 – 87= 91 sellos tenía Alicia

Encuentra el término que falta en las siguientes operaciones

743 + 282= 1.025 9.035 – 8.352= 683

7.695 + 605= 8300

1.938 – 843= 1.095

Los tres términos de una resta son, 2.506, 785, y, 3.291. Indicar cuál es el minuendo, cual el sustraendo y cual la diferencia.

3.291 – 2.506 = 785 Minuendo Sustraendo Diferencia

La diferencia de dos números es 1.095. Si el sustraendo es 5.182, ¿cuál es el minuendo?. Y si 5.182 fuese el minuendo cuál sería entonces el sustraendo?.

Minuendo – 5.182= 1.095 Minuendo= 5.182 + 1.095= 6.277 5.182 – Sustraendo= 1.095 Sustraendo= 5.182 – 1.095= 4.087

Escribir la cifra que falta en cada caso

8 9 3 7 7 3 6 5 - 5 8 9 3 - 2 7 8 4

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 7 Multiplicar

La multiplicación o producto de dos números naturales o factores, a, y, b, da como resultado otro número natural, c, llamado producto

a,bℕ  a.b= cℕ

2,3ℕ  2 . 3= 6ℕ

La multiplicación tiene las siguientes propiedades: Conmutativa

a,bℕ  a.b= b.a= cℕ

2,3ℕ  2 . 3= 3 . 2 6 = 6

Asociativa

a,b,cℕ  (a.b).c= a.(b.c)

2,3,4ℕ  (2 . 3) . 4= 2 . (3 . 4) 6 . 4= 2 . 12

24 = 24

Elemento neutro

eℕ/ aℕ  a.e= e.a= a e= 1

2.1= 1.2= 2

Distributiva del producto con respecto a la suma

a,b,cℕ  a.(b+c)= a.b + a.c

2,3,5ℕ  2 . (3 + 5)= 2 . 3 + 2 . 5 2 . 8 = 6 + 10

16 = 16

Existencia de reglas básicas de multiplicación mental de algunos números

Completar los cuadros en las siguientes operaciones

3 5 7 2

x 5 2 3

1 0 7 1 6 7 1 4 4 1 7 8 6 0 . 1 8 6 8 1 5 6

En un almacén hay 245 cajas con 25 libros cada una. ¿Cuántos libros hay en total?.

Hallar

4.237 x 714= 31025.218

2.090 x 2.800= 51852.000

7.324 x 609= 41460.316

Luís tiene almacenadas 27 cajas de magdalenas. En cada caja hay 60 bolsas y en cada bolsa hay 12 magdalenas. ¿Cuántas magdalenas tiene en total Luís en el almacén?.

27 x 60 x 12= 19.440 magdalenas hay en el almacén

Dividir

La división de un número natural, a, llamado dividendo por otro número natural, b, llamado divisor, con la condición de que el primero sea mayor o igual que el segundo, da como resultado dos números naturales, el primero, c, llamado cociente y el segundo, r, llamado resto.

a,bℕ, ab  a b c,rℕ r c

a Dividendo b Divisor c Cociente r Resto

5,3ℕ, 53  5 3 1,2 ℕ

2 1

En caso de que el divisor sea mayor que el dividendo la operación de dividir no se puede realizar en el campo de los números naturales.

Completar la siguiente tabla

Dividendo divisor cociente resto

821 37 22 7

5532 17 315 177

7816 51 153 13

Realiza las divisiones

748 : 29= 25 176.787 : 572= 309 1.080 : 12= 90 R= 23 R= 39 R= 0

Completar la tabla

Dividendo Divisor Cociente Resto

4.329 58 74 37

5.656 27 209 13

124.803 509 245 98

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 9

Se quieren repartir 450 kilogramos de manzanas en cajas de 25 kg. ¿Cuántas cajas necesitamos?.

450 : 25= 18 cajas se necesitan

Queremos recorrer en bicicleta una distancia de 91 km. Si cada día hacemos 12 km. ¿Cuántos días tardaremos en hacer el recorrido?. ¿Cuántos kilómetros recorremos el último día?.

91 : 12= 7

R= 7 Se tardan 8 días en hacer el recorrido. El último día se recorren 7 km

Indicar que divisiones son exactas y cuales no

711 : 9= 79 625 : 15= 41 144 : 8= 18 97: 23= 4

R= 0 R= 10 R= 0 R= 5

Exacta No es exacta Exacta No es exacta

Potencias de exponente natural

Sea, a, un número natural, aℕ, si este número se multiplica consigo mismo n-veces, siendo, n, un número natural, nℕ ,

a.a.a.a....n...a

dicho producto se puede escribir en forma abreviada de la forma an

y se dice que se ha realizado una potencia de exponente natural del número natural, a. En toda potencia se distingue:

Base, a

Es el número natural que se multiplica por si mismo. Exponente, n

Es el número de veces que el número natural, a, se multiplica por si mismo.

Las potencias del número natural, aℕ, de exponente natural tienen las propiedades: El signo de esta potencia es siempre positivo

El producto de potencias de igual base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de dichas potencias

am. an= am+n

3 3

3 3

8

8.8.8

8

4.4.4

4

2

2.2.2

2

 







_{  }

 

El cociente de potencias de igual base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes de la potencia del numerador o dividiendo y de la potencia del denominador o divisor

am: an= m

n

a

a

= a

m-n

5

2 5 3

3

2

2.2.2.2.2

2.2

2

2

2

2.2.2











El producto de potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases de dichas potencias y por exponente el mismo

an. bn= (a.b)n

23.33= 2.2.2 . 3.3.3.= 2.3 . 2.3 . 2.3= (2.3)3= 63

El cociente de potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases de dichas potencias y por exponente el mismo

an: bn=

n n n

a

a

b

b





  





La potencia de una potencia es otra potencia que tiene la misma base y por exponente el producto de los exponentes

(am)n= am.n

(22)3= (22).(22).(22)= (2.2).(2.2).(2.2)= 2.2.2.2.2.2= 26= (2)2.3

Cualquier potencia de exponente nulo es la unidad

a0= 1

el cociente de un número por si mismo es la unidad, de donde

n

n

a

a

= 1

por otra parte al tratarse de un cociente de potencias con la misma base se tiene

n

n

a

a

= a

n-n

= a0

si estos dos resultados han de ser idénticos se deduce que

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 11 Cualquier potencia de exponente la unidad es la propia base

a1= a

el cociente de potencias con la misma base permite escribir

1

n

n

a

a



= an+1 – n= a1

por otro lado se escribe

1 1

. . ... . . .

. . ... ...

1

n n

n n

a

a a a

a a a

a

a

a

a a a

a

 







si estos dos resultados han de ser idénticos se deduce que

a1= a

¿Cuáles de las siguientes expresiones son una potencia?

4 + 4 + 4 + 4= 4.4= 42

2 x 6 x 2 x 6= 2.2.6.6= 22.62

7 x 7 x 7 x 7= 74

8 x 8 x 8 x 8 x 8= 85

3 x 3 + 3 + 3 x 3 3+3+3 + 3 + 3+3+3= 3.7= 21

2 x 2= 22

Expresar en forma de potencia e indicar cuál es la base y cuál el exponente en cada caso

Potencia Base Exponente

9 x 9 x 9 93 9 3

5 x 5 x 5 x 5 54 5 4

12 x 12 x 12 x 12 x 12 125 12 5

7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 76 7 6

Transformar las potencias en productos y calcularlos

23= 2 x 2 x 2= 8

52= 5 x 5= 25

45= 4 x 4 x 4 x 4 x 4= 1024

Leer las siguientes potencias

2512 Veinticinco elevado a doce

1324 Trece elevado a veinticuatro

75 Siete elevado a cinco

423 Cuarenta y dos elevado a tres Cuarenta y dos elevado al cubo

Escribir y calcular las siguientes potencias

Nueve al cubo 93 729

Uno elevado a diez 110 1

Veinte elevado a uno 201 20

Seis elevado a cero 60 1

Cero elevado a ocho 08 0

Doce elevado a dos 122 144

Siete al cuadrado 72 49

Diez elevado a tres 103 1000

Dos elevado a siete 27 128

Hallar el valor de las expresiones

32 x 34= 32+4= 36

32= 9

34= 81

36= 729

9 x 81= 32 x 34= 32+4= 36= 729

87 : 84= 87-4= 73

87= 2097152

84= 4096

86= 512

2097152 : 4.096= 87 : 84= 87-4= 83= 512

Realizar las multiplicaciones de las potencias

25 x 26 x 27 x 28= 25 + 6 + 7 + 8= 226

125 x 124= 125 + 4= 129

45 x 42 x 46 x 42= 45 + 2 + 6 + 2= 415

Efectuar las divisiones de las potencias

79 : 76= 79 - 6= 73

124 : 122= 124 - 2= 122

2512 : 257= 2512 - 7= 255

Calcular las potencias de las potencias

(52)4= 52 x 4= 58

(67)2= 67 x 2= 614

(123)5= 123 x 5= 1215

(257)6= 257 x 6= 2542

Convertir las siguientes potencias en potencia de una potencia

421= (43)7

1516= (152)8

1012= (103)4

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 13

Averiguar el valor de la letra en cada caso

(4m)5= 420 5m= 20 m= 5

(57)n= 528 7n= 28 n= 4

(x3)6= 918 6x= 18 x= 9

Completar la tabla

Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Cuadrado 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225

Observar la tabla anterior y contestar

¿Qué número elevado al cuadrado da 81? 9

¿Qué número al cuadrado da 169? 13

¿Cuál será la raíz cuadrada de 196? 14

Averiguar las raíces cuadradas de los siguientes números

Número 49 64 121 144 225 Raíz cuadrada 7 8 11 12 15

Completar la tabla

Potencia Base Exponente Producto 75 7 5 7 x 7 x 7 x 7 x 7

124 12 4 12 x 12 x 12 x 12

83 8 3 8 x 8 x 8

Escribir como potencia y calcular su valor

Nueve elevado al cuadrado 92 81

Catorce elevado a cero 140 1

Cinco elevado a tres 53 125

Siete elevado al cuadrado 72 49

Doce elevado a uno 121 12

Uno elevado a ocho 18 1

No confundir el doble con el cuadrado ni el triple con el cubo y completar la tabla

Número Doble Cuadrado Triple Cubo

7 14 49 21 343 5 10 25 15 125 6 12 36 18 216

8 16 64 24 512

Relacionar las potencias con su valor

Observar el ejemplo y completar

4 x 105= 4 x 100.000= 400.000 7 x 106= 7 x 1.000.000= 7.000.000

125 x 104= 125 x 10.000= 1.250.000

9 x 1012= 9 x 1.000.000.000.000= 9.000.000.000.000

Escribir los siguientes números usando potencias de 10

83.000.000.000= 83 x 109

19.500.000= 195 x 105

281.000.000= 281 x 106

700.000.000= 7 x 108

Escribir en forma de una sola potencia

32 x 35 x 31= 32 + 5 + 1= 38

278 : 275= 278 – 5= 273

(43)2= 43 x 2= 46

162 x 164 x 163= 162 + 4 + 3= 169

Averiguar el valor de cada letra para que sean ciertas las igualdades

153 x 15m x 156= 1511 3+m+6= 11 m= 2

9m : 92= 97 m-2= 7 m= 9

(63)n= 615 3n= 15 n= 5

Ordenar de mayor a menor las potencias, 242, 121, 103, 73, 750, 016

016 < 750 < 121 < 73 < 242 < 103

Hallar el valor de las potencias de 2

20= 1

21= 2

22= 4

23= 8

24= 16

25= 32

26= 64

Hallar los cuadrados de los 10 primeros números naturales

02= 0

12= 1

22= 4

32= 9

42= 16

52= 25

62= 36

72= 49

82= 64

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 15

Hallar los cubos de los 6 primeros números naturales

03= 0

13= 1

23= 8

33= 27

43= 64

53= 125

Hallar el doble, la mitad y el cuadrado de

Número Doble Mitad Cuadrado 0 0 0 0

10 20 5 100

20 40 10 400

30 60 15 900

40 80 20 1600

50 100 25 2500

Se tienen seis paquetes con seis cajas cada uno de seis colores. ¿Cuántos colores se tendrán en total?

6 x 6 x 6= 63= 216 colores

En el supermercado tienen 12 columnas con 12 paquetes de una docena de huevos cada uno. ¿Cuántos huevos hay en total

12 x 12 x 12= 123= 1728 huevos

Se ha construido un puzzle cuadrado que tiene 45 piezas por cada lado. ¿De cuántas piezas era el puzzle?.

45 x 45= 452= 2025 piezas

En un castillo misterioso, hay 8 habitaciones. En cada habitación hay 8 rincones y en cada rincón 8 arañas. ¿Cuántas patas tienen entre todas?.

8 x 8 x 8 x 8= 84= 4096 patas

Reducir las expresiones a una sola potencia

32.33.3= 32+3+1= 36

35.33.3= 35+3+1= 39

57 : 54= 57-4= 53

(33)2= 33.2= 36

(32)3= 32.3= 36

Raíz cuadrada de un número natural

Sean, a, y, b, números naturales, a,bℕ. Se dice que el número natural, b, es una raíz cuadrada del número natural, a, y se denota

si se verifica la potencia b2= a

En toda raíz cuadrada se denomina a: 2 índice de la raíz cuadrada

a radicando

El procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número es seguir los pasos:

3257127

Se agrupan de dos en dos las cifras del número natural que forma el radicando empezando por el extremo derecho de dicho número natural

_________ 3,25,71,27

Se busca un número que multiplicado por si mismo se aproxime sin pasarse lo máximo posible al primer bloque de cifras empezando por la izquierda en que quedó dividido el radicando. El resultado de la multiplicación del número por si mismo se pone debajo de este primer bloque y hace la resta resultante. A continuación de esta resta se escribe el siguiente bloque en que quedo dividido el radicando

_________

3,25,71,27 1 . -1

225

Se escribe una segunda línea horizontal debajo del número que se multiplico por si mismo y en ella se escribe el doble del número que aparece en la primera línea. A continuación se busca un número que situado a continuación del anterior y que multiplicado por él mismo se aproxime lo más posible sin pasarse al número formado por el resultado de la resta anterior con el bloque puesto a continuación de ella. Se escribe el resultado de esta multiplicación debajo de ese número y se resta. A continuación el número buscado se escribe en la primera línea junto al ya existente. Se baja el siguiente bloque y se repite el proceso hasta terminar con todos los bloques en que quedó dividido el radicando

_________

3,25,71,27 180 . -1 28 . 8= 224

225 360 . 0= 000 224 3604 .4= 14416

00171 000 017127

14416 02711

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 17 Generalmente la raíz cuadrada de un número no es exacta, por lo que tiene un resto, r, el cual tiene las siguientes propiedades:

, r= a – b2

la prueba de la raíz permite asegurar

a= b2 + r

de donde

r= a – b2

El mayor valor que puede tomar el resto de la raíz de un número es menor que el doble más la unidad de la raíz exacta del número anterior al dado

r< 2.a + 1

sea, n, un número natural cuya raíz no es exacta, y que está comprendido entre los números naturales, m, y, o, que si tienen raíces exactas y que son consecutivas

m < n < o

a



m



n



x



o



b

por ser las raíces de, m, y de, o, consecutivas se verifica

b= a + 1

a2 < n < b2

se verifica para el resto de la raíz del número,n

r= x2-n< b2-n= (a+1)2-n= a2+2a+1-n> a2+2a+1-a2= 2a+1

Comprobar si las siguientes raíces cuadradas son correctas

400

=20 Sí 20 x 20= 400

715

= 24 No 24 x 24= 576 715

1024

= 32 Si 32 x 32= 1024

Completar las igualdades

36

= 6

100

= 10

121

= 11

81

= 9

484

= 22

900

= 30

Hallar

10201

= 101

625

= 25

3600

= 60

5041

= 71

Si se sabe que un tablero de ajedrez es cuadrado y tiene, 64, casillas, ¿cuántas casillas tendrá por cada lado?.

64

= 8 casillas tendrá por cada lado

Para poner el suelo de una habitación cuadrada han utilizado, 144, baldosas cuadradas. ¿Cuántas han puesto por cada lado?.

144

=12 baldosas se han puesto por cada lado

Se tiene una colección de, 169, sellos. Si hay el mismo número de hojas que de sellos pegados en cada hoja, ¿cuántas hojas hay?, ¿cuántos sellos hay en cada hoja?.

169

=13 hojas tengo y en cada hoja hay, 13, sellos

Hallar la raíz y el resto de:

730

= 27

1100

= 33

122

= 11

R= 1 R= 11 R= 1

¿Cuál es el número cuya raíz es, 23, y su resto es, 25?

N= 232 + 25=554

¿Cuál es el resto de la raíz cuadrada de, 265?.

265

= 16 R= 9

Debido a que con estos números se realizan operaciones combinadas, expresiones que tienen simultáneamente las operaciones de, +, -, ., :, potencias. Para realizar estas operaciones combinadas se han de seguir una serie de reglas prácticas:

No pueden ir dos signos seguidos, se deben separar por medio de un paréntesis.

Los paréntesis siempre van por parejas, uno abre y otro cierra la expresión.

Si una pareja de paréntesis está dentro de otra, la más interna es la primera que se realiza.

El orden de jerarquía de las operaciones que se indican en una expresión matemática es:

Llaves, Corchetes, Paréntesis

Potenciación, Radicación

Multiplicación, División

Suma, Resta

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 19

Hallar

20 – (8 + 5)= 20 – 13= 7 6 + 3 . 10= 6 + 30= 36 (15 – 3) : 4= 12 : 4= 3 18 : (7 + 2)= 18 : 9= 2 5 . 8 – 6= 40 – 6= 34

16 – 7 + (9 – 3)= 16 – 7 + 6= 9 + 6= 15 3 . 7 – 8 . 2= 21 – 8 .2= 21 – 16= 5 (5 + 4) . (6 – 1)= 9 . (6 – 1)= 9 . 5= 45 14 – 4 .3 + 7= 14 – 12 + 7= 2 + 7= 9 9 – (5 + 13) : 6= 9 – 18 :6= 9 – 3= 6 20 : 4 .3 + 8= 5 . 3 + 8= 15 + 8= 23

Escribir en número las siguientes frases

A, 15, le resto la suma de, 6, y, 4 15 – (6 + 4)

A, 7, le resto, 2, y luego le sumo, 5 7 – 2 + 5

Multiplico, 10, por la suma de, 5, y, 2 10 . (5 + 2)

Divido, 12, entre la diferencia de, 7, y, 4 12 : (7 – 4)

Al doble de, 8, le sumo, 3 8 . 2 + 3

A la mitad de, 14, le resto, 5 14 : 2 – 5

En una panadería han cocido por la mañana, 268 barras, y han vendido, 195. Por la tarde, han cocido, 120 barras, y han vendido, 87. ¿Cuántas barras cocidas han quedado sin vender?

(268 + 120) – (195 + 87)= 388 – (195 + 87)= 388 - 282= 106 barras han quedado sin vender

Realizar las operaciones

32 + 81 – 97 + 46 – 12 + 3= 53

18 – 17 + 65 – 26 – 25 + 14= 29

45 – 24 + 37 + 72 – 15= 115

1.235 + 814 – 589 + 391 – 713= 1.138

136 – (48 + 17)= 71

(17 + 92) – (13 + 46) – 9= 41

296 – (47 + 36) – (4 + 37)= 172

429 – (112 + 28) + 79 – (142 – 57)= 283

Un vendedor en la feria lleva por la mañana en la mano, 23 globos, de colores. Se le escapan, 4, y vende, 12. Por la tarde, infla otros, 7, y vende, 9. ¿Cuántos globos le quedan al final del día?.

23 – 4 – 12 + 7 – 9= 5 globos

En el mes de Julio, acudieron, 105.348 personas, a un parque acuático; en Agosto asistieron, 13.921 personas, más que en el mes anterior, y en Septiembre, 10.280 personas, menos que en Julio. ¿Cuántas personas acudieron al parque acuático en ese verano?.

Hallar

(15 + 18) x 96= 33 x 96= 3.168

37 x 5 + 37 x 12= 37 x (5 + 12)= 37 x 17= 629

Un estanque de agua tiene una capacidad de, 45.000 l. Por un agujero pierde el primer día, 859 l, el segundo, 674 l, y el tercero, 1.230 l. Si se quiere llenarlo de nuevo ¿cuántos litros de agua se deben echar?.

45000 – 859 – 674 – 1.230= 42.237 l, deben de echarse para llenarlo

En cada hoja de un álbum hay, 12, cromos de animales y, 15, de plantas. Si el álbum tiene, 20, páginas ¿cuántos cromos hay en total?.

(12 + 15) x 20= 27 x 20= 540 cromos hay en el álbum en total

En una granja hay, 13 gallinas, 4 ocas, y, 16 conejos. ¿Cuántas patas tienen en total estos animales?.

13 x 2 + 4 x 2 + 16 x 4= 26 + 8 + 64= 98 patas hay entre todos los animales

Claudia tiene, 39 discos compactos. Jaime tiene el doble y Miguel la tercera parte que Claudia. ¿Cuántos discos tienen entre los tres?.

Claudia 39 discos

Jaime 2 x 39= 78 discos Miguel 39 : 3= 13 discos

39 + 78 + 13= 19.440 discos tienen entre los tres

Realizar las siguientes operaciones:

(25 + 15 + 8) : (15 -7)= 48 : 8= 6

(10 . 1. 15) : 5= 150 : 5= 30

(1 + 2 . 3) - (30 : 6)= 7 - 5= 2

(9 + 3) . (120 : 40)= 12 . 3= 36

2 . (9-5)= 2 . 4= 8

9 - 2 . (9-5)= 9 - 2 . 4= 9 - 8= 1

4 . (9 - 2 . (9-5))= 4 . (9 - 2 . 4)= 4 . (9 - 8)= 4 . 1= 4

3 . 2 - 4 . (9 - 2 . (9-5))= 6 - 4 . (9 - 2 . 4)= 6 - 4 . (9 - 8)= 6 - 4 . 1= 6 - 4= 2

5 . (7 - 3) + 4 . 8 : 2 - 5 . (10 - 4)= 5 . 4 + 16 - 5 . 6= 20 + 16 - 30= 6

3 - 2 . (5 - 4 . (7 - 3 . 2))= 3 - 2 . (5 - 4 . (7 - 6))= 3 - 2 . (5 - 4 . 1)= 3 - 2.1= 3-2= 1

22 - (5 . 3 - 4 . (8 - 5)) - 6 . 3= 22 - (15 - 12) - 18= 22 - 3 - 18= 1

3 . (4 - (6 : 2 - 2)) - 4 . (5 - (6 - 2 - 1))= 3. (4 - 1) - 4 . (5 - 3)= 9 - 8= 1

Completar la tabla

A b c a-b (a+b).c a.b-c a+b-c

5 2 3 3 21 7 4

4 1 2 3 10 2 3

3 2 1 1 5 5 4

números naturales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 21

Hallar

252 – 73 – 92= 625 – 343 – 81= 201

72 + 52 – 43 + 17= 49 + 25 – 64 + 1= 11

43 – 32 – 42 + 23= 64 – 9 – 16 + 8= 47

122 – 92 + 44 – 26= 144 – 81 + 256 – 64= 255

Hallar el valor de las expresiones

32- (

81

- 3.2 + 6)= 9-(9-6+6)= 9-9= 0