A f B g C

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(1)

____________________________________________________________________________ DEFINICIÓN DE PRODUCTO CARTESIANO:

Dados dos conjuntos A y B, llamaremos producto cartesiano de A por B (lo anotaremos A  B) al conjunto formado por todos los pares ordenados que tienen como primera componente un elemento de A y como segunda componente un elemento de B.

O sea: AB  {(a,b)/ aA  bB}

DEFINICIÓN DE RELACIÓN:

Dados dos conjuntos A y B diremos que R es una relación de A en B (lo anotaremos:

R: A

B), a cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B.

O sea, R relación de A en B

R A x B.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN:

Dados dos conjuntos A y B, llamaremos función de A en B, a cualquier subconjunto de A x B tal que a cada elemento de A le corresponde un y sólo un elemento de B.

O sea, f: A

B es función

f  A x B

x

A,

un único y, y

B  (x, y)

f.

Notas:

 (x, y)  f significa que y = f(x), se lee: “la imagen del elemento x, según la función f, es y”, o “ la preimagen del elemento y, según la función f, es x.”

 ff(x) pues f representa la función, o sea el conjunto de pares ordenados y f(x) es sólo la segunda componente de cada par.

DEFINICIONES:

Sea f / f: A

B función, llamaremos:

1. Dominio de la función f al conjunto determinado por todas las primeras componentes de los pares del conjunto f, y lo anotaremos D (f). O sea, D (f) = A.

2. Recorrido (o conjunto imagen) de la función f a aquel conjunto determinado por todas las segundas componentes de los pares de f, y lo anotaremos Rec (f).

3. Codominio (o conjunto de llegada) de la función f al conjunto B.

OPERACIONES CON FUNCIONES:

Dadas f: A

R , g: B

R

1)ADICIÓN:

Llamaremos función suma de las funciones f y g a la función (f+g): AB

R / (f+g)(x)= f(x) + g(x)

2)MULTIPLICACIÓN:

Llamaremos función producto de las funciones f y g a la función (f.g): AB

R / (f.g)(x)= f(x) . g(x) Nota: La función resta queda definida a partir de las dos operaciones anteriores.

3)DIVISIÓN:

Sea B0 / B0 =

x/xBg(x)0

(2)

____________________________________________________________________________ 4)COMPOSICIÓN

Componer dos funciones f y g significa aplicar una tras otra según el esquema:

A f B g C

Por ejemplo, dadas f(x) = x + 4 y g(x) = x2 , completar el siguiente cuadro:

Genéricamente:

x 4

x 8x 16

4 x

x f  g  2  2 

Llamaremos a la función resultante composición de f con g y la anotaremos

gof

, en nuestro caso, (gof)(x) = x2 + 8x + 16

Hallar la expresión analítica de (fog) ¿obtenemos la misma función?

Determinación del dominio...

Sabemos que toda operación es válida en determinados conjuntos. Es necesario entonces estudiar en qué conjunto resulta legítima la composición.

Veamos el siguiente ejemplo: Dadas f(x) = 2x - 1 y g(x) =

9 x

2

2 , completar:

D(f)= ________________ D(g)= ________________

¿Cuál es entonces el dominio de (gof)?

Definición:

Sea A0 / A0 =

x/xAf(x)B

Llamaremos función composición de f y g a la función (gof): A0

R / (gof)(x)= g(f(x))

Ejercicio 3: Dadas las siguientes funciones f(x) = x3 + 2 , g(x) 1 x

x 5

 , h(x) = x2 – 4 , i(x) = x

Indicar la expresión analítica de las operaciones que se indican a continuación, expresando el dominio de la función resultante:

a) (f + g – h) b)       h f

c) (f.i.g) d)      

i. h

g

e)(goh) f)(hof) g)(iof) h)(foi)

i)(fogoh)

x f(x) g(f(x))

0 4 16

1

6

49

X f(x) g(f(x))

0 ½ 2

(3)

____________________________________________________________________________ EJEMPLOS DE FUNCIONES:

1. Función signo:

Llamaremos función signo (sg) a la función de dominio el conjunto de los números reales, definida por:

sg: RR / sg     

 

 

0 x si 1

0 x si 0

0 x si 1 ) x (

Observación: El recorrido de la función signo es: Rec(sg)= {-1; 0; 1}

2. Función polinómica:

Llamaremos función polinómica a la función de dominio el conjunto de los números reales, definida por: P: RR / P(x) = anxn an1xn1...a2x2a1x1a0x0 con aiR,i 0,1,....,n y an 0

3. Función valor absoluto:

Llamaremos función valor absoluto

notación .

a la función . : R R /   

  

0 x si x

-0 x si x x

Observaciones:

 Valor absoluto de un número no negativo es dicho número. Por ejemplo: 5 5 0 0

 Valor absoluto de un número negativo es su opuesto. Por ejemplo: 5 5

 Una forma de interpretar el valor absoluto de un número real x es: x  x2 Así por ejemplo: 3  32 3 y 3

3

2 3

 También podemos interpretar el valor absoluto de un número real x, como la distancia al cero de un punto que tenga abscisa x sobre un eje orientado.

¿Cómo se interpreta x1 en términos de distancia?

Propiedades del valor absoluto:

1. x 0

x

,xR y x 0x0 2. x  x

x

,xR

3. xy  x  y

x

,xR ;

 

y,yR desigualdad triangular 4. x.y  x.y

x

,xR ;

 

y,yR

5. y x y x

x

,xR ;

 

y,yRcon y0

6. x x.sig

 

x

x

,xR 7. x aaxa

(4)

____________________________________________________________________________ 4. Función exponencial:

Llamaremos función exponencial a la función de dominio el conjunto de los números reales, definida por: f: RR / f(x) = ax

a > 1 0 < a < 1

a = 1

Revisión de potencia:

Cuando hablamos de “potencia” nos referimos a una expresión del tipo an, donde a recibe el nombre de base y n de exponente. Por ejemplo: 23; 71/2; 18-3; (4/3)9.

Definiremos potencia, distinguiendo la naturaleza del exponente (natural, entero o racional).

I) Potencia de base real y exponente natural: dado aR, definimos:       

    

a ,( n)n N,n 2 a

a a = a

0 a si , 1 = a

1 n n 1 0

II) Potencia de base real no nula y exponente entero: dado aR*, i. Si p Z+ o p = 0, entonces p  N, por lo tanto ya está definido en I)

ii. Si p  Z-, definimos

p p

a 1 a

      

Observaciones:

1. En la parte ii. observmos que, como p es un entero negativo, se tiene que (-p) es un número natural, por lo tanto

la potencia p

a 1 

     

ya está definida en I).

2. p

p p

a 1 a

1

a

      

 (a0)

3. La potencia de base cero y exponente negativo no está definida.

Para poder definir potencia de exponente racional, necesitamos definir primero raíz n-sima de un número real. Definición: dado n  N*

i) si n es par y a real no negativo, diremos que

n

a

b

b

n

a

ii) si n es impar y a real cualquiera, diremos que na bbn a

Observación: Si n es par y a es negativo na no se define (no existe raíz de orden par de un número negativo) Algunas propiedades...(las propiedades son válidas bajo las condiciones de las expresiones involucradas)

n n

na. b a.b na:nb na:b m na m.na

   

impar es n si a,

(5)

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III) Potencia de base real y exponente racional: dados aR*, m  Z, n  N*, se define: amn n ma ,en caso que n ma exista.

Algunas propiedades de potencia...

base igual de potencias de s propiedade a a : a a a . a p -n p n p n p n        

 

an pan.p propiedaddepotenciadepotencia

exponente igual de potencias de s propiedade b) : (a b : a b) . (a b . a n n n n n n        monotonía de s propiedade 1 a o si , a a 1 a si , a a : que tiene se p, n si p n p n           

* Las propiedades anteriores son válidas bajo las condiciones de existencia de cada una de las potencias involucradas.

5. Función logarítmica:

Llamaremos función logarítmica a la función de dominio el conjunto de los números reales positivos, definida por: f: R+R / f(x) = log (x)

b con b < 0, b1 ( b es la base del logaritmo y x es el logaritmando)

b > 1 0 < b <1

(6)

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Revisión de logaritmo:

Definición: Dados dos números reales a y b con a > 0, b > 0 y b1, diremos que: logbacbc  a Ejemplos: log2164 pues 24 16 log 3 pues 912 3

2 1

9  

Propiedades de logaritmo:

1. logaa1 2. log1b0

3. logba.clogbalogbc (propiedad de logaritmo de un producto) 4. log

 

ac logab logcb

b   (propiedad de logaritmo de un cociente)

5. logbak k.logba 6. log

k 1

loga ba

bk  con k0

7.

log log

log b

c a c a

b (Propiedad de cambio de base)

Figure

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Referencias

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