INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS COMBINATORIO 26 de julio de 2015
Autor: Laura Pontón
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Evidencia de Aprendizaje
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Análisis Combinatorio | 26/07/2015
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Evidencia de Aprendizaje
1. ¿Cuántos números positivos se pueden formar con los dígitos 3,4,4,5,5,6,7 si queremos que sea mayor que 5 000 000?
De las cifras disponibles, para formar un numero tenemos que serían los números que empiezan con:
Numero>5,000,000 Cifras que sobran: 3,4,4,5,6,7 3,4,4,5,5,7 3,4,4,5,5,6 Cifras que se repiten: El 4, 2 veces El 4 dos veces
El 5 dos veces
El 4 dos veces El 5 dos veces Permutación con
repetición:
numero de
permutaciones
360 180 180
Entonces, el total de números enteros positivos que se pueden formar son:
∴
Se pueden formar 720 números, tal que sean mayores a 5,000,000.
2. En cada subconjunto de con siete elementos, toma el elemento mayor. ¿Cuál es la suma de todos esos elementos mayores?
El total de subconjuntos de 7 elementos del conjunto es:
2
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De estos 120 subconjuntos, debemos de contar los que tengan en sus elementos como mayores al 7,8,9 y 10. El subconjunto número uno, es él :
Tal que los elementos mayores, evidentemente, poseen estos elementos:
Ahora supongamos que se tienen 6 elementos como inicio, y el 7 como adicional, y adicionado el 8,9 y el 10, sucesivamente, se tendrán conjuntos de 7,8 y 9 elementos.
Los subconjuntos con siete elementos son de la forma:
Número mayor Forma del subconjunto Núm. de subconjuntos con máx. terminal:
Número mayor por número de veces que
aparece:
7 7x1=7
8 8x7=56
9 9x28=252
10 10x84=840
total 1155
La suma de todos esos elementos mayores es 1155
3. En una lotería son escogidos al azar seis números del conjunto por lo que hay elecciones posibles. ¿Cuántas de esas elecciones tienen al menos dos números consecutivos?
Consideremos los dos conjuntos siguientes:
Y1 = Combinaciones de 6 números del 1 al 49 tales que entre ellos no hay dos consecutivos.
Y2 = Combinaciones cualesquiera de números del 1 al 44.
Ambos conjuntos tienen igual número de elementos, dado que existe entre ellos la siguiente correspondencia biunívoca: (a,b,c,d,e,f) <-> (a,b-1,c-2,d-3,e-4,f-5) dónde a,b,c,d,e,f son números entre 1 y 49 tales que no hay entre ellos dos consecutivos.
Tal que si tuviésemos, la combinación (1,5,7,20,35,49) de Y1 se correspondería con la (1,4,5,17,31,44) de Y2. El número de Y2 es el que pertenece a la combinación de 44 sobre 6 = 7.059.052.
La cantidad total de combinaciones de la de 49 sobre 6 = 13.983.816.
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Luego, el número de tales combinaciones en las que no hay dos elementos consecutivos es la diferencia:
13.983.816 - 7.059.052 = 6.924.764 Por lo tanto
Número de combinaciones donde no hay ningún número consecutivo
7,059,052 Número de combinaciones donde
hay al menos un par de números
consecutivos X
Numero de combinaciones totales
13,983,816
X=13, 983,816 - 7, 059,052 = 6, 924,764
Existen 6, 924,764 combinaciones con al menos un par de números consecutivos.
4. Demuestra que para todo
Sugerencia: Examina el coeficiente de al desarrollar ambos miembros de la igualdad
Al analizar
por el teorema binomial
Es el coeficiente de en el desarrollo de , por lo cual, desarrollando:
El teorema binomial también nos indica que:
Y como:
∴
4
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Entonces, al darle seguimiento al desarrollo, se puede deducir que el coeficiente de:
Viene de los términos:
Donde (el coeficiente de este término es el que se determina) Para lo cual:
Porque se sabe que Entonces:
Representa el coeficiente de en el desarrollo Al igual que:
|
∎ Al analizar :
Retomando la identidad algebraica:
Vamos a desarrollar los dos miembros de esta identidad:
Ahora, si desarrollamos e igualamos los coeficientes de :
Y también se puede escribir de la siguiente forma:
Ya que cada sumando del primer miembro, está formado por coeficientes binomiales iguales
∴
5
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Demostramos que es el coeficiente de en el desarrollo de
∎
5. De una baraja de póker, que contiene 52 naipes, se extraen manos de 10 cartas. Cuántas manos contienen:
a. por lo menos un as b. Exactamente un as c. Por lo menos dos ases d. Exactamente dos ases
En una sucesión de 10 cartas pueden extraerse:
Si sacamos los 4 ases, tenemos entonces las combinaciones sin ases:
Si sacamos solo 2 ases, tenemos:
Entonces:
Por lo menos un as:
Exactamente un as:
Si deseamos las sucesiones de 10 cartas que tiene exactamente un as, puede obtenerse de sucesiones de 9 cartas, sin ases, intercalando un as de los 4 ases, en una de las 10 posiciones posibles.
Al menos dos ases:
Exactamente dos ases: Si deseamos las sucesiones de 10 cartas que tiene exactamente dos ases, puede obtenerse de sucesiones de 8 cartas, sin ases, intercalando dos ases de los 4 ases, en una de las 10 posiciones posibles.
Bibliografía
Hortalá, M., Leach, J., & Rodríguez, M. (2001). Matemática discreta y lógica matemática. Madrid: Universidad Complutense.
(Julio 26 de 2015) Extraído de http://www.mensa.es/juegosmensa/s001005.html#SOLU001 O´Brian, D. (2014). 50 Visions of mathematics. Londres: Oxford University Press.
(Julio 26 de 2015) Extraído de http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero46/COMBINATORIA.pdf
