Andalucía - Septiembre 2014 – Opción B - Oficial 3- Se sabe que el determinante de la matriz

2 MATRICES Y DETERMINANTES

1- Considera las matrices 0 1 11 0 0

0 0 1 y

1 1 1

1 1 0

1 2 3 . Determina, si existe, la matriz X que verifica AX+B=A2.

Andalucía - Junio 2014 – Opción B - Oficial

2- Sabiendo que el determinante de la matriz 1 0 1

1 2 3 es 2, calcula los siguientes determinantes:

a) det(3A). b) det(A-1). c) 33 20 1

3 4 3.

d) 1 2 2 4 36

1 0 1 .

Andalucía - Septiembre 2014 – Opción B - Oficial

3- Se sabe que el determinante de la matriz es -3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) Det(-2A) y det(A-1).

b) 7 7 7

2 2 2 y

2 5

2 5

2 5 .

Andalucía - Junio 2014 – Opción A – Reserva 1

4- Considera las matrices 1 0 21 1 1

2 3 0 y

2 0 3

3 1 3

1 2 1 .

a) Calcula A-1_.

b) Halla la matriz X que verifica AtX+B=I, siendo I la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A.

Andalucía - Junio 2014 – Opción B – Reserva 1 5- Considera las matrices, 1 1

1 1 y 11 01 .

a) ¿Para qué valores de m se verifica que 2 ? (I denota la matriz identidad) b) Para m = 1, calcula A-1 y la matriz X que satisface AX – B = AB.

3

6- Sea 10 0 1 01

1 1 1

a) Determina los valores de M para los que los vectores fila de M son linealmente independientes.

b) Estudia el rango de M según los valores de m. c) Para m = 1, calcula la inversa de M.

Andalucía - Septiembre 2014 – Opción A – Reserva 2

7- Sea 1 1

1 1

a) Comprueba que 2 y Calcula A-1. b) Calcula A2013 y su inversa.

Andalucía - Junio 2013 – Opción B – Oficial 8- Considera las matrices

1 0 1 1 1 0

0 0 2 y

1 1 1

1 1 1

0 0 1

a) Halla, si es posible, A-1 y B-1.

b) Halla el determinante de AB2013At siendo At la matriz traspuesta de A. c) Calcula la matriz X que satisface AX-B=AB.

Andalucía - Septiembre 2013 – Opción B – Oficial 9- Considera las matrices

1 1 0 2 0 0

1 0 1 ,

0 2 1

1 2 0 " 1 21 6

a) Halla A-1.

b) Calcula la matriz X que satisface AX=BtC (Bt es la matriz traspuesta de B). c) Halla el determinante de A2013_Bt_B(A-1₎2013_.

Andalucía - Junio 2013 – Opción A – Reserva 1

10- Sabiendo que el determinante de una matriz % & '# $

( ) * es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas:

a) det(-2A) y det(A-1). b)

# $

2% 2& 2'

( ) * y

3% 3& 3'

# $

( ) * .

4 11- Considera las matrices 1 2

0 1 y 11 01 .

a) Calcula X e Y tales que X-Y = At _{y 2X – Y = B (A}t _{es la matriz traspuesta de A).}

b) Calcula Z tal que AZ = BZ +A.

Andalucía – Junio 2013 – Opción B – Reserva 2 12- Sean

2 1 3

1 2

0 2 ,

1 1 0 + a) Determina el rango de A según los valores del parámetro m. b) Discute el sistema AX=B según los valores del parámetro m. c) Resuelve el sistema AX=B para m=1.

Andalucía – Septiembre 2013 – Opción A – Reserva 3

13- Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det(M) = 2. Calcula: a) El rango de M3.

b) El determinante de 2Mt _(Mt _{es la matriz traspuesta de M).}

c) El determinante de (M-1₎2_.

d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M.

Andalucía – Septiembre 2013 – Opción B – Reserva 4

14- Sea la matriz 0 0 12 1 2 1 , 1

a) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta.

b) Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X+I)A=At, donde I denota la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A.

Andalucía – Junio 2012 – Opción A – Oficial 15- Considera las matrices

1 2 0 0 1 2

1 2 1

0 1

1 0 " 1 1 21 2 0 Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB=Ct la matriz traspuesta de C. Andalucía – Junio 2012 – Opción A – Reserva 1

16- Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA+A3B=A, siendo 0 0 1

0 1 0 1 0 0

2 1 0

0 2 1

1 0 2

5 17- Dada la matriz 3 2

5 1 , sea B la matriz que verifica que 7 32 1 a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas.

b) Resuelve la ecuación matricial A-1_X-B=BA.

Andalucía – Junio 2012 – Opción B – Reserva 3 18- Dadas las matrices

- 1 1

1 - 1

1 1 -

0 1 1 a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α. b) Para α=2, resuelve la ecuación matricial AX=B.

Andalucía – Septiembre 2011 – Opción A – Oficial 19- Sean las matrices - 1

- 3 y 1 3 11 4 2

a) Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es .

b) Para α=-3, determina la matriz X que verifica la ecuación AtX=B, siendo At la matriz traspuesta de A.

Andalucía – Septiembre 2011 – Opción B – Oficial

20- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son | | y

| | 2.

a) | | b) | / |

c) | 2 |

d) 0 , siendo Bt la matriz traspuesta de B. e) El rango de B.

Andalucía – Junio 2011 – Opción A – Reserva 1 21- Dada la matriz

0 3 4

1 4 5

1 3 4

a) Demuestra que se verifica la igualdad A3 = -I, siendo la matriz identidad de orden 3. b) Justifica que A es invertible y halla su inversa.

c) Calcula razonadamente A100_.

6 22- Considera las matrices

1 0 0 0 1 1

0 1 1

0 0 1 1 0 0 0 1 0 a) ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa? b) Para λ=1, resuelve la ecuación matricial A-1XA=B. Andalucía – Junio 2011 – Opción A – Reserva 2 23- Sean A y B dos matrices que verifican:

4 2

3 2 y 2 41 2

a) Halla las matrices (A+B)(A-B) y A2 – B2.

b) Resuelve la ecuación matricial XA-XB-(A+b)t=2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A+B)t la matriz traspuesta de A+B.

Andalucía – Septiembre 2011 – Opción A – Reserva 3 24- Sea la matriz

3 0 1

5 1 5

1 0 3

a) Determina los valores de λ para los que la matriz A-2I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) Para λ=-2, resuelve la ecuación matricial AX=2X+I. Andalucía – Septiembre 2011 – Opción B – Reserva 3 25- Dada la matriz 1 1

2 1

a) Demuestra que A2+2ª=I y que A-1=A+2I, siendo I la matriz identidad de orden 2. b) Calcula la matriz que verifica la ecuación A2+XA+5ª=4I.

Andalucía – Septiembre 2011 – Opción B – Reserva 4 26- Sean las matrices

1 0 1

0 3

4 1 ,

1 0 3 2

1 1 , "

5 3 4

3 2 2

a) Indica los valores de m para los que A es invertible.

7 27- Sean las matrices

1 0 1 1 ,

1 0 0

0 1 1

0 1 2 "

3 1 2

0 1 2

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB=C. Andalucía – Septiembre 2010 – Opción B – Oficial 28- Sea la matriz

5 4 2

2 1 1

4 4 1

a) Comprueba que se verifica 2A-A2=I.

b) Calcula A-1_{. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).}

Andalucía – Junio 2010 – Opción A – Reserva 1 29- Sean las matrices

1 2 3 - 1 3

0 2 -

2 3 4 a) Determina los valores de α para los que A tiene inversa. b) Calcula la inversa de A para α = 1.

c) Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX=B. Andalucía – Junio 2010 – Opción B – Reserva 2

30- Considera las siguientes matrices

1 2

0 1 23 01

a) Calcula A-1_.

b) Resuelve la ecuación matricial AXAt-B=2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y At es la matriz traspuesta de A.

Andalucía – Septiembre 2010 – Opción A – Reserva 3

31- Obtén un vector no nulo v=(a,b,c) de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2

1 1 1 0 #

1 1 $

2 0

0 1 #

3 1 $

8 32- De la matriz #

$ % se sabe que det(A)=4. Se pide: a) Halla det(-3At) y %&2 2# 2

3% 3$ . Indica las propiedades que utilizas. (At es la matriz traspuesta de A).

b) Calcula det(A-1_ªt_).

c) Si B es una matriz cuadrada tal que B3=I, siendo I la matriz identidad, halla det(B). Andalucía – Septiembre 2010 – Opción B – Reserva 4

33- Sean F1, F2, F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de

orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de B-1.

b) El determinante de (Bt₎4 _(Bt _{denota la matriz traspuesta de B).}

c) El determinante de 2B

d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente. 5F1-F3 3F3, F2.

Andalucía – Junio 2009 – Opción A – Oficial 34- Sean las matrices

1 2 1

2 1 1

1 0 1 ,

3 1 0 1 2 1 "

2 1

1 2

0 3

Determina la matriz X que verifica AX-Bt _{= 2C (B}t _{es la matriz traspuesta de B).}

Andalucía – Septiembre 2009 – Opción B – Oficial

35- Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican AXB=C.

a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es -1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X.

b) Si 1 1

0 2 , 12 23 " 0 34 2 calcula la matriz X. Andalucía – Junio 2009 – Opción B – Reserva 1

36- Dadas las matrices 3 7

1 2 y 14 23

a) Calcula, si existe, la matriz inversa de A.

b) Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales XA=A+2B y AY = A + 2B.

9 37- Considera las matrices 22 12 12

1 2 2 y +

a) Cálcula, si existe, A-1_.

b) Resuelve el sistema AX=3X e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones.

Andalucía – Septiembre 2009 – Opción B – Reserva 3 38- Se consideran las matrices 3 1

2 1 y B=A-kI, donde k es una constante e I es la matriz identidad de orden 2.

a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa. b) Calcula B-1 _{para k = -1.}

c) Determina las constantes α y β para las que se cumple A2 + αA=βI Andalucía – Septiembre 2009 – Opción A – Reserva 4

39- Dadas las matrices

1 1 1 0 1 0

1 2 2 ,

1 0

0 1

2 1 "

2 0 1

1 1 1

Calcula la matriz P que verifica AP-B=CT _(CT _{es la matriz traspuesta de C)}

Andalucía – Junio 2008 – Opción B – Reserva 1

40- Sea I la matriz identidad de orden 3 y 01 01 22

1 1 3 . Calcula, si existe, el valor de k para el cual 3 , 4 es la matriz nula.

Andalucía – Septiembre 2008 – Opción A – Reserva 3

41- Dadas las matrices 1 1 21 2 1

1 1 1

1 0 2 2 0 4 1 1 1 a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B.

b) Resuelve la ecuación matricial AX+B=A+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.

Andalucía – Septiembre 2008 – Opción B – Reserva 3

42- Dada la matriz 1 3 ,, 1 3 1 7 ,

a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para k = 0, halla la matriz inversa de A.

10 43- Considera la matriz 1 1

1 1 a) Determina la matriz B = A2_-2A.

b) Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa. c) Calcula B-1 para λ=1.

Andalucía – Junio 2007 – Opción A – Oficial 44- Sean I la matriz identidad de orden 2 y 1

1 1 .

a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A-I)2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2.

b) Para m = 2, halla la matriz X tal que AX-2AT _{= O, donde A}T _{denota la matriz traspuesta}

de A.

Andalucía – Septiembre 2007 – Opción A – Oficial 45- Considera las matrices - 1

2 3 2 01 1 .

a) Determina los valores de α para los que la matriz A tiene inversa. b) Para α=1, calcula A-1 y resuelve la ecuación matricial AX=B. Andalucía – Junio 2007 – Opción A – Reserva 1

46- a) Calcula el valor de m para el que la matriz 1 0

1 verifica la relación 2A2 – A = I y determina A-1 _{para dicho valor de m.}

b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M2 _{– M = I, determina la expresión}

de M-1 en función de M y de I.

Andalucía – Septiembre 2007 – Opción A – Reserva 3

47- Sea A la matriz 3 0 15 1 5

1 0 3 e I la matriz identidad de orden 3. a) Calcula los valores de λ para los que el determinante de A – 2I es cero. b) Calcula la matriz inversa de A – 2I para λ=-2.

Andalucía – Septiembre 2007 – Opción A – Reserva 4 48- Se considera 1

0 , siendo a un número real. a) Calcula el valor de a para que 12 1

0 20 .

11 49- Resuelve

2 0 5

1 1 2

1 1 1

2 2 3

5 0 2

Andalucía – Junio 2006 – Opción B – Oficial

50- Resuelve ABt_{X=-2C, siendo B}t _{la matriz traspuesta de B y}

1 0 3

2 1 0 , 0 21 3 02 " 1 40 1

Andalucía – Septiembre 2006 – Opción B – Oficial 51- Sea

1 1 1

0 3 3

1 2 0

a) Determina los valores de ∈ 6 para los que la matriz A tiene inversa. b) Para m=0 y siendo X=(x y z), resuelve XA=(3 1 1).

Andalucía – Junio 2006 – Opción A – Reserva 2 52- Sea 4 2

1 3 y sea I la matriz identidad de orden dos. a) Calcula los valores 1 ∈ 6 tales que | 1 | 0. b) Calcula 7 10 .

Andalucía – Junio 2006 – Opción B – Reserva 2 53- Considera las matrices

3

2 , 32 14 " 61 62

a) Halla, si existe, la matriz inversa de AB+C.

b) Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican: " 3 . Andalucía – Septiembre 2006 – Opción A – Reserva 4

54- Sean las matrices 2 1

3 2 , 0 1 03 1 2 " 1 2 01 1 4 .

a) ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala.

b) Determina la matriz X que cumple que AX+CBt _{= BB}t_{, siendo B}t _{la matriz traspuesta de}

B.

12 55- Sabiendo que | |

# $ % & '

7 8 9 2, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) | 3 | | / |. b)

$ #

' & %

29 28 27

c)

# $

% & % ' 7 8 7 9

Andalucía – Junio 2005 – Opción B – Oficial 56- Halla la matriz X que cumple que

+ 0 0_{0 0}

Siendo 3 1

2 1 51 32 .

Andalucía – Junio 2005 – Opción B –Reserva 1

57- Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea 0 01 1 11

1 0 # .

a) Determina el valor de b para el que 2 :.

b) Para b=2 halla la matriz X que cumple que AX-2ªt = O, donde At denota la matriz transpuesta de A.

Andalucía – Junio 2005 – Opción B – Reserva 2 58- Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea 2 1

1 2 .

a) Halla los valores de x para los que la matriz A-xI no tiene inversa. b) Halla los valores de a y b para los que A2+aA+bI=O.

Andalucía – Junio 2005 – Opción A – Reserva 4 59- Considera las matrices

1 0 1 0 1 2 ,

1 0 0 1 0 0 "

1 0 0 2 1 0

a) Calcula AB, AC, At_Bt _{y C}t_At_{, siendo A}t_{, B}t _{y C}t _{las matrices traspuestas de A, B y C,}

respectivamente.

b) Razona cuáles de las matrices A, B, C y AB tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente inversa.

13 60- Denotamos por Mt _{a la matriz transpuesta de una matriz M.}

a) Sabiendo que #

$ % y que det(A)=4, calcula los siguientes determinantes: det3 3 0_{4 > 2#} 2

3% 3$>

b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B3=I. Calcula det(B).

c) Sea C una matriz cuadrada tal que C-1=Ct. ¿Puede ser det©=3? Razona la respuesta. Andalucía - Junio 2004 – Opción A – Reserva 2

61- Se sabe que 2. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a)

3 3 15

5 5

b)

3 3 3

c)

Andalucía - Septiembre 2004 – Opción B – Reserva 3 62- Sabiendo que

?2 @ A

# $? 6

Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) 323 @ A

3 # $

b) 2

2@ 2 A

2# $

c) 2 @ A

2 2 # 2 $

14 63- Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz

cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) El determinante de A3. b) El determinante de A-1. c) El determinante de 2ª.

d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1-C3, 2C3 y C2.

Andalucía - Junio 2003 – Opción A – Oficial 64- Considera las matrices

1 0 0

1 0

1 1 1 ,

0 1 1 0 1 0 0 0 0 "

1 0 0 0 1 0

1 0 1 .

a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial AX+2B=3C? b) Resuelve la ecuación matricial dada para m=1.

Andalucía - Septiembre 2003 – Opción A – Oficial 65- Considera las matrices

1 0 1

0 3

4 1 ,

1 1

3 +

a) ¿Para qué valores de m existe la matriz A-1_?

b) Siendo m=2, calcula A-1 _{y resuelve el sistema AX=B.}

c) Resuelve el sistema AX=B para m=1. Andalucía - Junio 2003 – Opción A – Reserva 1 66- Dadas las matrices

1 1 0

3 2 0

1 5 1

5 0 3

1 1 1

2 4 3

Halla la matriz X que cumple AX=(BAt)t.

Andalucía - Junio 2003 – Opción A – Reserva 2

67- Dada la matriz 1 1 11 1

0 1 , se pide:

a) Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2.

15 68- a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 ¿Cuánto vale

el determinante de la matriz 4A?

b) Dada la matriz 1 2 01 0 1

0 1 2 , ¿para qué valores de λ la matriz 3B+B

2

no tiene inversa?

Andalucía - Septiembre 2003 – Opción B – Reserva 3 69- Considera la matriz

3 4 2

B _{0 0}

0 1 0 0 1 donde x es un número real.

a) ¿Para qué valores de x existe (M(x))-1? Para los valores de x obtenidos calcula (M(x))-1. b) Resuelve, si es posible, la ecuación M(3)M(x)=M(5).

Andalucía - Septiembre 2003 – Opción B – Reserva 4

70- Determina una matriz simétrica A (A coincide con su traspuesta) sabiendo que

det3 4 7 2₁ 6_{3 1}4 ₃12

Andalucía - Junio 2002 – Opción A – Oficial

71- Determina la matriz X que verifica la ecuación AX=X-B siendo 0 0 1

0 0 0

1 0 0

1 0 1

0 1 1

0 1 1

Andalucía - Junio 2002 – Opción B – Oficial 72- Considera la matriz

2 2 0 2 2 1 3 0 1

Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

Andalucía - Septiembre 2002 – Opción A – Oficial 73- Considera las matrices

0 0 1 0 1 0

1 0 0 ,

0 0 1 1 0 0 0 a) Calcula la matriz inversa de A.

b) Calcula A127 _{y A}128_.

c) Determina x e y tal que AB=BA-

16 74- Considera la matriz

1 0

0 1

2 1 1

a) Halla los valores de a para los que la matriz 3ª tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz A2 para A=0. Andalucía - Junio 2002 – Opción B – Reserva 2

75- Sin desarrollarlo calcula el valor del determinante de la matriz

, 1

2, 2

3, 3

Y enuncia las propiedades que hayas usado.

Andalucía - Septiembre 2002 – Opción B – Reserva 3

76- Denotamos por Mt _{a la matriz traspuesta de una matriz M. Considera}

1 2

1 , 31 4 34 "

0 4 3

2 9 6

1 4 4

a) Calcula (AB)t y (BA)t.