Olimpiada Costarricense de Matemáticas II Eliminatoria 2011
Curso preparatorio Nivel A
Elaborado por: Christopher Trejos Castillo
Ecuaciones
Ejemplo 1: Carlos tiene cuatro veces la edad que Marcela tenía cuando él tenía la edad que ella tiene ahora. Si además se sabe que cuando Marcela tenga la edad que Carlos tiene ahora, la suma de sus edades será de 114 años, entonces el dígito de las decenas del producto de las edades actuales de Carlos y Marcela corresponde a: (2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2010, Nivel A)
Solución: Sea x la edad actual de Marcela y sea y la edad de Marcela en el pasado, es decir cuando Carlos tenía la edad que ahora tiene Marcela.
De acuerdo con los datos, tenemos la siguiente tabla:
Antes Ahora Futuro
Carlos x 4y
Marcela y x 4y
La tabla anterior la llenamos de la forma anterior pues nos dicen que ahora la edad de Carlos es cuatro veces la edad que Marcela tenía cuando él tenía la edad que ella tiene ahora. Además nos dicen que en un futuro, cuando la edad de Marcela sea la que misma que tiene ahora Carlos, la suma de sus edades será igual a 114, entonces para obtener una expresión para la edad en el futuro de Carlos, vemos que los años que han pasado del futuro con respecto a ahora son 4y – x, entonces la edad de Carlos en el futuro es 4y+4y – x =8y–x. Escribimos la tabla de nuevo, así:
Antes Ahora Futuro
Carlos x 4y 8y – x
Marcela y x 4y
Ahora como la diferencia de años de antes a ahora es la misma para Carlos y Marcela, se
cumple que: 4 5 2 5
( )
12 y y− = − ⇒x x y y= x⇒ =x
Luego como en el futuro las edades suman 114, se cumple que:
( )
8 4 114
12 114 2
y x y y x
− + =
− =
5 12 114 2 19 114 2 114 2 12 19 y y y y − = = ⋅ = =
Como y=12, entonces 5 12 30 2
x= ⋅ = . Por lo tanto, la edad actual de Carlos es
4y= ⋅4 12=48 y la edad actual de Marcela es 30; con lo cual el producto de las edades actuales es: 48 30⋅ =1440 y el dígito de las decenas es 4.
Ejemplo 2: Tres hamburguesas, siete refrescos y una orden de papas fritas cuestan 7150, cuatro hamburguesas, diez refrescos y una orden de papas fritas cuestan 9750. ¿Cuánto cuesta una hamburguesa, un refresco y una orden de papas fritas?
Solución: Sea H el precio de una hamburguesa, R el precio de un refresco y P el precio de una orden de papas fritas. De acuerdo con el enunciado se tiene que:
3H+7R+P=7150 (1)
4H+10R+P=9750 (2)
Lo que debemos hacer es multiplicar la primer ecuación por un entero k y multiplicar la segunda ecuación por un entero m, de forma tal que al restar la ecuación (2) a la ecuación (1), obtengamos la expresión H+R+P igualada a un valor.
Entonces se debe cumplir que k(3H+7R+P) – m(4H+10R+P)=H+R+P, de donde deducimos que:
( )
( )
( )
3 4 1 1
7 10 1 2
1 3 k m k m k m − = − = − =
De la ecuación (3) deducimos que k=m+1, y sustituyendo en la ecuación (1), obtenemos la ecuación: 3(m+1) – 4m=1, es decir –m+3=1, de donde m=2, y entonces k=2+1=3. Sustituyendo en las ecuaciones (1), (2) y (3), vemos que dichos valores nos sirven entonces:
(
)
(
)
3 3H+7R+P – 2 4H+10R+P = ⋅3 7150− ⋅2 9750=1950, entonces H+R+P=1950.
Combinaciones y Permutaciones
Ejemplo 3: Para la cena de clausura de la próxima convención de ejecutivos de una empresa se ha planeado un menú compuesto por varios tipos de plato fuerte, de ensalada, de bebida y de postre. Se sabe que hay una opción más de plato fuerte que de postre, el doble de opciones de bebidas que de postres y una opción menos de ensalada que de plato fuerte. Se sabe que si asisten 150 personas a la cena cada una podría pedir una combinación diferente de menú, pero si asisten 300 personas, eso no sería posible. ¿Cuál es la máxima cantidad de personas que puede asistir a la cena, de forma que todos pidan una combinación diferente de menú? (Suponga que todos pedirán exactamente un plato fuerte, una ensalada, una bebida y un postre) (2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2010, Nivel A)
Solución: Sea x la cantidad de opciones posibles para elegir el postre, con esto la cantidad de formas de elegir el plato fuerte es x+1, la cantidad de formas de elegir la bebida es 2x y como hay una opción menos de ensalada que de plato fuerte, entonces hay x opciones de ensalada.
De lo anterior vemos que la cantidad de permutaciones posibles en el menú viene dada por el producto de las posibilidades para cada elemento del menú, es decir:
( )
(
)
3(
)
1 2 2 1
P x = ⋅x x+ ⋅ x x⋅ = x x+
Veamos que la cantidad de permutaciones se encuentra entre 150 y 300, entonces al evaluar en P(x), el único valor que se encuentra entre 150 y 300 es P(3)=216.
Conteo
Una fórmula muy importante es la que nos permite conocer cuántos números hay en una progresión aritmética, la cual dice lo siguiente:
Cantidad de números=u p 1 ; : último, : primero, : diferencia u p d d
− +
Ejemplo 4: ¿Cuántos números naturales menores que 100 cumplen que la suma de sus cifras es menor que 10? (2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2010, Nivel A).
Solución: Sea P la propiedad mencionada en el enunciado. Los números de 1 a 18, cumplen con la propiedad P, entonces utilizamos la siguiente fórmula para saber cuántos números
hay de 1 a 18, así: #=18 1 1 18 1
−
Los números de 20 a 27, cumplen con la propiedad P, y utilizando la fórmula hay 8 números más. De 30 a 36 ocurre lo mismo, es decir hay 7 números más. De 40 a 45 hay 6 números más que cumplen la propiedad P. De 50 a 54 hay 5 números más que cumplen con P, de 60 a 63 hay 4 números más que cumplen con P, de 70 a 72 hay 3 números más que cumplen con la condición P, de 80 a 81 hay 2 y también el 90.
Con esto, el total de números que cumplen la propiedad P son: 18+1+2+3+4+5+6+7+8, utilizando la fórmula de Gauss tenemos que la suma anterior viene dada por:
8 9
18 1 2 3 4 5 6 7 8 18 18 36 54
2
⋅
+ + + + + + + + = + = + = .
Ejemplo 5: Indique cuántos números naturales de cinco dígitos tienen al mismo tiempo las siguientes propiedades:
a) Es divisible por 5.
b) El producto de sus dígitos es 420.
c) El valor absoluto de la diferencia entre cualquier pareja de dígitos adyacentes es diferente de 1.
(Desarrollo 2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2010, Nivel A).
Solución: Este ejercicio combina la teoría de los números con el conteo.
Como el número es divisible por 5 y el producto de sus dígitos es igual a 420, es necesario que el último dígito sea 5.
La factorización de 420 es . De lo anterior las opciones para los dígitos son: 1, 4, 3, 5, 7; 1, 6, 2, 5, 7 y 2, 2, 3, 5 y 7.
Caso I: Si los dígitos son 2, 2, 3, 5 y 7. Como el último dígito debe ser un 5, el penúltimo dígito debe ser un 3, un 7 o un 2. Hacemos el diagrama para cada caso, tomando en cuenta la propiedad c), colocamos una X en caso de que no se pueda colocar ningún dígito más, así:
De lo anterior vemos que en el caso I no hay ningún número que cumpla las 3 condiciones.
Caso II: Si los dígitos son 1, 2, 5, 6 y 7. Como el último dígito es un 5, el penúltimo debe ser un 1, 2 o 7. Hacemos el diagrama igual que en el caso I, así:
De lo anterior vemos que hay 6 números que cumplen las 3 propiedades: 26175, 16275, 71625, 61725, 72615 y 62715.
Caso III: Si los dígitos son 1, 3, 4,5 y 7. Realizamos el diagrama similar a los casos anteriores, así:
De los casos I, II y III; concluimos que hay un total de 14 números que cumplen las 3 condiciones del enunciado.
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1: La cantidad de números enteros entre 100 y 400 en los cuales uno de sus dígitos es 2, es: (2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2009, Nivel A).
Ejercicio 2: En el jardín de mi casa, hay tres tipos diferentes de colores, unas son de color rojo, otras son celestes y las otras son amarillas. Ayer me puse a contar las flores de mi jardín y descubrí que en total 38 flores no son de color celeste. En total 45 flores no son de color amarillo. Y por último, 57 flores no son de color rojo. Con base en esa información se puede asegurar que el número total de flores en mi jardín es (2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2009, Nivel A).
Ejercicio 3: Alejandro pensó en tres números, si los suma de dos en dos obtiene 38, 44 y 52, entonces el mayor de los tres números es: (2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2009, Nivel A).
Ejercicio 4: El número de triángulos que tienen sus vértices en los puntos de la figura es (2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2009, Nivel A).
Ejercicio 5: La cantidad de números de ocho cifras que poseen siete cifras iguales a siete, es igual a (2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2008, Nivel A).
Ejercicio 6: Considere la lista de los números enteros positivos que son múltiplos de 6, menores que 1000 y que tienen la propiedad de que la suma de sus dígitos es igual a 21. Entonces la cantidad de elementos que tiene la lista así construida viene dada por: (2da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2008, Nivel A).
