IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

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UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CURSO 2009-2010

MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

a) Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de laOpción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´a el uso de calculadoras que no sean programables, gr´aficas ni con

capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´on de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Seaf : (−2,+∞)→ _Rla funci´on definida por f(x) = ln(x+ 2). Halla una primitiva F de f que verifique F(0) = 0. (ln denota el logaritmo neperiano).

Ejercicio 3.- Considera el sistema

3x − 2y + z = 5

2x − 3y + z = −4

(a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al a˜nadirle la ecuaci´on x+y+λz = 9 sea compatible indeterminado.

(b) [1 punto] ¿Existe alg´un valor de λpara el cual el sistema resultante no tiene soluci´on?

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1,0,2), B(−1,2,4) y la recta r definida por x+ 2

2 =y−1 = z−1

3

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- Sea f : (0,+∞) → R la funci´on definida por f(x) = ln(x2 + 3x), donde ln denota el logaritmo neperiano.

(a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x−2y+ 1 = 0.

(b) [1 punto] Halla la ecuaci´on de la recta tangente y de la recta normal a la gr´afica def en el punto de abscisa x= 3.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Calcula el valor dea >0 sabiendo que el ´area del recinto comprendido entre la par´abola y=x2₊_ax _{y la recta} _y₊_x_{= 0} _{vale 36 unidades cuadradas.}

Ejercicio 3.- Sean las matrices

A=  

1 2 3

α 1 3

0 2 α 

 y B=

 

−2 3 4

 

(a) [0’5 puntos] Determina los valores deα para los queA tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Calcula la inversa de Apara α= 1.

(c) [0’75 puntos] Resuelve, para α= 1, el sistema de ecuacionesAX=B.

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.

Opci´on A

Ejercicio 1.- Seaf la funci´on definida como f(x) = ax 2₊_b

a−x parax6=a.

(a) [1’5 puntos] Calcula a y b para que la gr´afica de f pase por el punto (2,3) y tenga una as´ıntota oblicua con pendiente −4.

(b) [1 punto] Para el caso a= 2,b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x= 1.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula

Z π2 0

sen(√x)dx

Sugerencia: Efect´ua el cambio √x=t.

Ejercicio 3.- Sean las matrices

A=  

1 0 −1

0 m 3

4 1 −m



, B =  

1 0 3 2 −1 1



 y C=

5 −3 4

−3 −2 2

(a) [0’5 puntos] Indica los valores dem para los queA es invertible.

(b) [2 puntos] Resuelve la ecuaci´on matricial XA−Bt ₌_C _para _m _{= 0. (B}t _{es la matriz traspuesta} de B).

Ejercicio 4.- Considera las rectas r ysde ecuaciones x−1 =y = 1−z y

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula

l´ım x→0

ex−esenx x2

Ejercicio 2.-Considera la funci´onf dada por f(x) = 5−x y la funci´ongdefinida como g(x) = 4 x para x6= 0.

(a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gr´aficas de f yg indicando sus puntos de corte. (b) [1’5 puntos] Calcula el ´area de dicho recinto.

Ejercicio 3.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones

λx + y + z = λ+ 2

2x − λy + z = 2

x − y + λz = λ

  

(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores deλ. ¿Tiene siempre solución? (b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ=−1.

Ejercicio 4.- Los puntos P(2,0,0) y Q(−1,12,4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S pertenece a la rectar de ecuación

4x+ 3z= 33 y= 0

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Instrucciones:

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea la funci´onf :R→Rdada por

f(x) =    

  

ex(x2+ax) si x≤0 b x2+c

x+ 1 si x >0

Calcula las constantesa,bycsabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gr´afica def en el punto de abscisa x= 1 tiene pendiente 3.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dada la funci´onf definida por f(x) = 3

x2₋_5x_{+ 4} parax6= 1 y x6= 4. Calcula el ´area del recinto limitado por la gr´afica def, el eje de abscisas, y las rectas x= 2, x= 3.

Ejercicio 3.- Considera las siguientes matrices

A=

−1 2 0 1

y B =

−3 0 2 −1

(a) [0’75 puntos] CalculaA−1.

(b) [1’75 puntos] Resuelve la ecuaci´on matricial AXAt−B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y At es la matriz traspuesta deA.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1,2,1) yB(−1,0,3).

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la funci´on definida como f(x) = (x+ 1)3 √

3−x. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gr´afica de f en el punto de abscisa x=−5 y en el punto de abscisa x= 2.

Ejercicio 2.- Considera la funci´on f :R→R definida porf(x) =x|2−x|. (a) [1 punto] Esboza su gr´afica.

(b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta de ecuación x= 3.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Obt´en un vector no nulo v= (a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simult´aneamente rango 2.

A= 



1 1 a 1 0 b 1 1 c



 B =





2 0 a

0 −1 b

3 1 c





Ejercicio 4.- Considera el plano π definido por 2x−y+nz = 0 y la rectar dada por x−1

m =

y 4 =

z−1 2 conm6= 0.

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de laOpción B.

c) La puntuaci´on de cada pregunta est´a indicada en la misma.

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono

es: V = 1 3πr

2_h).

Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g:R→R definidas por f(x) = 2−x2 y g(x) =|x|. (a) [1 punto] Esboza sus gr´aficas en unos mismos ejes coordenados.

(b) [1’5 puntos] Calcula el ´area del recinto limitado por las gr´aficas def yg.

Ejercicio 3.- Sea la matriz

A= 



5 −4 2 2 −1 1

−4 4 −1





(a) [1’25 puntos] Comprueba que se verifica 2A−A2 =I.

(b) [1’25 puntos] CalculaA−1. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).

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Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- Seaf la funci´on definida como f(x) = x 3

x2₋₁ parax6=±1. (a) [1 punto] Estudia y halla las as´ıntotas de la gr´afica def.

(b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

(c) [0’75 puntos] Esboza la gr´afica def.

Ejercicio 2.-Dada la funci´onf : (0,+∞)→_Rdefinida porf(x) = ln x, donde ln es la funci´on logaritmo neperiano, se pide:

(a) [0’75 puntos] Comprueba que la recta de ecuaci´on y = −ex+ 1 + e2 es la recta normal a la gr´afica def en el punto de abscisa x= e.

(b) [1’75 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica def, el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a).

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

(m+ 2)x − y − z = 1

−x − y + z = −1

x + my − z = m

 



(a) [1’75 puntos] Disc´utelo seg´un los valores dem.

(b) [0’75 puntos] Resu´elvelo para el caso m= 1.

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2_{de texto. Los m´}_{argenes superior} e inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea m´ınimo.

Ejercicio 2.- SeaI = Z

5

1 +√e−xdx.

(a) [1 punto] ExpresaI haciendo el cambio de variable t2= e−x.

(b) [1’5 puntos] Determina I.

Ejercicio

3.-(a) [1’75 puntos] Discute, seg´un los valores del par´ametro λ, el siguiente sistema de ecuaciones

−x + λy + z = λ λx + 2y + (λ+ 2)z = 4

x + 3y + 2z = 6−λ  



(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema anterior paraλ= 0.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla la ecuaci´on del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones

x−2y+ 11 = 0

2y+z−19 = 0 y contiene a la rectas definida por  



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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- Considera la funci´on f : [0,4]→Rdefinida por:

f(x) =

x2+ax+b si 0≤x≤2 cx si 2< x≤4

(a) [1’75 puntos] Sabiendo quef es derivable en todo el dominio y que verificaf(0) =f(4), determina los valores de a,byc.

(b) [0’75 puntos] Para a= −3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos def (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Considera la funci´on f :R→R dada porf(x) =x2+ 4.

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto de abscisa x= 1.

(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta de ecuación y= 2x+ 3. Calcula su área.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Sean las matrices

A=

1 0 −1 1

, B= 



1 0 0

0 −1 −1

0 1 2



 y C =

3 1 2

0 1 −2

Calcula la matriz X que cumpla la ecuaci´on AXB=C.

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funci´on f :R → R definida comof(x) =asen(x) +bx2 +cx+d, determina los valores de las constantes a, b, cydsabiendo que la gr´afica de f tiene tangente horizontal en el punto (0,4) y que la segunda derivada de f esf00(x) = 3 sen(x)−10.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea la funci´on f dada por f(x) = 1

x2₊_x para x 6= −1 y x 6= 0. Determina la primitiva F de f tal queF(1) = 1.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones

λx + 2y + 6z = 0 2x + λy + 4z = 2 2x + λy + 6z = λ−2

 



(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro λ.

(b) [0’75 puntos] Resu´elvelo para λ= 2.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla el punto sim´etrico de P(1,1,1) respecto de la rectar de ecuaci´on

x−1 2 =

y 3 =

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Considera la funci´on f :R→Rdefinida por

f(x) =

      

     

e−x si x≤0

1−x2 si 0< x <1

2

x+ 1 si 1≤x

Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la funci´on derivada de f.

Ejercicio 2.- Seanf, g:R→Rlas funciones definidas por f(x) =x2−2x+ 3 y g(x) = 1 2x

2_{+ 1.}

(a) [1 punto] Esboza las gr´aficas de f yg, y halla su punto de corte.

(b) [1’5 puntos] Calcula el ´area del recinto limitado por las gr´aficas de ambas funciones y el eje de ordenadas.

Ejercicio 3.- De la matrizA=

a b c d

se sabe que det(A) = 4. Se pide:

(a) [1’25 puntos] Halla det(−3At₎ _y _det

2b 2a −3d −3c

. Indica las propiedades que utilizas.

(At es la matriz traspuesta deA).

(b) [0’75 puntos] Calcula det(A−1At).

(c) [0’5 puntos]SiB es una matriz cuadrada tal queB3 =I, siendoI la matriz identidad, halla det(B).

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rect´angulo coronado con un semic´ırculo.

De entre todas las ventanas normandas de per´ımetro 10m, halla las dimensiones del marco de la de ´area m´axima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de b > 0, sabiendo que el ´area de la regi´on comprendida entre la curva y=√x y la recta y =bx es de 4₃ unidades cuadradas.

Ejercicio 3.- Considera las matrices

A= 

 1₀ _λ0 0₁ 0 −1 λ



 _y _B₌



 0 0 1_{1 0 0} 0 1 0





(a) [1 punto] ¿Hay alg´un valor deλpara el queA no tiene inversa?

(b) [1’5 puntos] Para λ= 1, resuelve la ecuaci´on matricial A−1XA=B.

Ejercicio 4.-Dados los puntosA(1,0,0),B(0,0,1) yP(1,−1,1), y la rectardefinida por ½

x−y−2 = 0 z= 0

(a) [2 puntos] Halla los puntos de la rectar cuya distancia al punto P es de 3 unidades.

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- Seaf: £_e1,4¤→Rla funci´on definida por

f(x) =  



x−ln(x) +a si 1

e ≤x≤2

bx+ 1−ln(2) si 2< x≤4 donde ln denota la funci´on logaritmo neperiano.

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de ayb para quef sea derivable en el intervalo¡_e1,4¢.

(b) [1’25 puntos] Para a= 0 y b= 1

2 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Seaf: (0,+∞)→Rla función definida por f(x) =x(1−ln(x)), donde ln denota la función logaritmo neperiano. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto P(1,1).

Ejercicio 3.- Dadas las matrices

A= 

 1₂ _t_{+ 1}1 _t₋0₁

−2t−1 0 t+ 3 

 _y _X₌



 x_y z





(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de Aseg´un los diferentes valores det.

(b) [0’75 puntos] Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX =0 tiene más de una solución.

Ejercicio 4.- Dados el puntoP(1,1,−1) y la rectar de ecuaciones ½

x+z= 1 y+z= 0 (a) [1 punto] Halla la ecuaci´on del plano que contiene ar y pasa porP.

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de per´ımetro 8 y de área máxima.

Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g:R→R definidas por f(x) = 6x−x2 y g(x) =x2−2x

(a) [0’75 puntos] Esboza sus gr´aficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

(b) [1’75 puntos]Calcula el ´area del recinto limitado por las gr´aficas de f yg.

Ejercicio 3.- Dadas las matrices

A= 

 α₁ _α1 −1₋₁ −1 −1 α



 _y _B₌ 

 0₁ 1





(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de Adependiendo de los valores de α.

(b) [0’75 puntos]Para α= 2, resuelve la ecuaci´on matricial AX=B.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(−1, k,3),B(k+ 1,0,2),C(1,2,0) yD(2,0,1).

(a) [1’25 puntos] ¿Existe alg´un valor de k para el que los vectores AB,~ BC~ y CD~ sean linealmente dependientes?

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Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- Seaf la funci´on definida por f(x) = 3x4+ 1

x3 parax6= 0. (a) [1’25 puntos] Estudia las as´ıntotas de la gr´afica de la funci´on.

(b) [1’25 puntos]Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (absci-sas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Seanf, g:R→Rlas funciones definidas por f(x) =−1 4x

2_{+ 4} _y _{g(x) =}_x2₋₁

(a) [0’75 puntos]Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica def en el punto de abscisax=−2.

(b) [1’75 puntos]Esboza el recinto limitado por las gr´aficas de ambas funciones y la recta y =x+ 5. Calcula el ´area de este recinto.

Ejercicio 3.- Sean las matrices A= µ

α 1 −α 3

¶

y B= µ

1 3 1 −1 4 2

¶

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa deA es 1 12A.

(b) [1’25 puntos] Para α =−3, determina la matrizX que verifica la ecuaci´on AtX =B, siendo At_{la matriz traspuesta de} _A.

Ejercicio 4.-Dados el planoπde ecuaci´on x+2y−z= 0 y la rectarde ecuaciones ½

3x−y= 5 x+y−4z=−13

(a) [0’75 puntos] Halla el punto de intersecci´on del plano π y la rectar.

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Instrucciones:

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Dada la funciónf:R→Rdefinida por f(x) =ax3₊_bx2₊_cx_{, determina} a,byc sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y=−3x+ 3.

Ejercicio 2.- Seanf:R→Ry g:R→Rlas funciones definidas por:

f(x) = 4−3|x| y g(x) =x2

(a) [1 punto] Esboza las gr´aficas de f yg. Determina sus puntos de corte.

(b) [1’5 puntos] Calcula el ´area del recinto limitado por las gr´aficas def yg.

Ejercicio 3.- SeanA yB dos matrices que verifican:

A+B = µ

4 2 3 2

¶

y A−B = µ

2 4 −1 2

¶

(a) [1 punto] Halla las matrices (A+B)(A−B) y A2₋_B2_.

(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuaci´on matricial XA−XB −(A+B)t _{= 2}_I_{, siendo} _I _{la matriz} identidad de orden 2 y (A+B)t _{la matriz traspuesta de}_A₊_B_.

Ejercicio 4.- Sea el puntoP(2,3,−1) y la rectar dada por las ecuaciones  

 x= 1 y=−2λ z=λ

(a) [1 punto] Halla la ecuaci´on del plano perpendicular ar que pasa porP.

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y =−x2+ 3. Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Calcula:

Z π 2

0

xcos(x)dx

Ejercicio 3.- Sea la matriz

A= 

 ₋₅3 0_λ ₋₅λ

λ 0 3





(a) [1 punto] Determina los valores de λpara los que la matriz A−2I tiene inversa, siendoI la matriz identidad de orden 3.

(b) [1’5 puntos] Para λ=−2, resuelve la ecuaci´on matricial AX = 2X+I.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos]Considera los planos π1 y π2 dados respectivamente por las ecuaciones

(x, y, z) = (−2,0,7) +λ(1,−2,0) +µ(0,1,−1) y 2x+y−z+ 5 = 0

Determina los puntos de la recta r definida por x=y+ 1 = z−1

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

b) Tienes que elegir entre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de la

Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de laOpción B.

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros?

Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Calcula un número positivoa, menor que 2, para que el recinto limitado por la parábola de ecuación y = 1

2x

2 _{y las dos rectas horizontales de ecuaciones} _y ₌_a _e _y _{= 2,}

tenga un ´area de 14

3 unidades cuadradas.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones

2x − 2y + 4z = 4

2x + z = a

−3x − 3y + 3z = −3  



(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores del parámetroa.

(b) [0’75 puntos]Resu´elvelo cuando sea posible.

Ejercicio 4.- Dada la recta r definida por x−1

3 =

y+ 1

2 = −z+ 3 y la recta s definida por ½

x= 1 2y−z=−2

(a) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´on del plano que pasa por el origen y contiene ar.

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MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula −x2 + 70x, mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión,

400x x−30

Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

Ejercicio 2.- Dada la funci´on f:R→R definida por f(x) =−2x2_{+ 3}_x₋₁

(a) [0’5 puntos] Prueba que las rectas y=−x+ 1 e y= 3x−1 son tangentes a su gr´afica.

(b) [2 puntos] Halla el ´area del recinto limitado por la gr´afica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior.

Ejercicio 3.- Dada la matriz A= µ

−1 1

2 −1

¶

(a) [1 punto] Demuestra que A2_{+ 2}_A₌_I _{y que} _A−1 ₌_A_{+ 2}_I_{, siendo}_I _{la matriz identidad}

de orden 2.

(b) [1’5 puntos] Calcula la matrizX que verifica la ecuaci´on A2₊_XA_{+ 5}_A_{= 4}_I_.

Ejercicio 4.- Dada la recta r definida por x+ 7

2 =

y−7

−1 =z y la rectasdefinida por  



x= 2

y=−5

z=λ

(a) [1’75 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta que corta perpendicularmente a ambas.

(21)

CURSO 2010-2011

MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea m´ınima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Determina la funci´on f: (0,+∞) →R tal que f00₍_x_{) =} 1

x y su gr´afica

tiene tangente horizontal en el punto P(1,1).

Ejercicio 3.-SeanAyBdos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son|A|= 1

2y|B|=−2. Halla:

(a) [0’5 puntos] |A3_|_.

(b) [0’5 puntos] |A−1_|_.

(c) [0’5 puntos] | −2A|.

(d) [0’5 puntos] |ABt_|_{, siendo}_Bt _{la matriz traspuesta de}_B_.

(e) [0’5 puntos] El rango de B.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1,0,2) yB(1,2,−1).

(a) [1’25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuaci´on x−1 3 =

y

2 = z que verifica que el triángulo de vértices A,B yC tiene un ángulo recto enB.

(22)

CURSO 2010-2011

MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- Seaf:R→Rla funci´on definida por f(x) = 4−x2

(a) [1 punto] Halla la ecuaci´on de la recta normal a la gr´afica def en el punto de abscisa x= 2.

(b) [1’5 puntos]Determina el punto de la gr´afica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta

x+ 2y−2 = 0.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Calcula: _Z

x3₊_x2 x2₊_x₋₂dx

Ejercicio 3.- Dada la matriz

A=



 0₁ ₋3₄ ₋4₅ −1 3 4





(a) [0’5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A3 ₌ _−I_{, siendo} _I _{la matriz identidad de}

orden 3.

(b) [1’25 puntos]Justifica que Aes invertible y halla su inversa.

(c) [0’75 puntos] Calcula razonadamente A100.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos]Considera los planos π₁,π₂ yπ₃ dados respectivamente por las ecuaciones

3x−y+z−4 = 0, x−2y+z−1 = 0 y x+z−4 = 0

Halla la ecuaci´on de la recta que pasa por el puntoP(3,1,−1), es paralela al plano π1 y corta a la recta

(23)

CURSO 2010-2011

MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se desea construir un depósito cil´ındrico cerrado de área total igual a 54m2_. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.

Ejercicio 2.- Sea f: (−1,+∞) → R la funci´on definida por f(x) = ln(x+ 1), donde ln denota la funci´on logaritmo neperiano.

(a) [0’75 puntos]Esboza el recinto limitado por la gr´afica def, el ejeOY y la recta y = 1. Calcula los puntos de corte de las gr´aficas.

(b) [1’75 puntos]Halla el ´area del recinto anterior.

Ejercicio 3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

−λx + y + z = 1 x + λy + z = 2 λx + y + z = 1

 



(a) [1’75 puntos] Clasifica el sistema seg´un los valores del par´ametroλ.

(b) [0’75 puntos]Resuelve el sistema para λ= 0.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Determina el punto sim´etrico del puntoA(−3,1,6) respecto de la rectar de ecuaciones x−1 = y+ 3

2 = z+ 1

(24)

CURSO 2010-2011

MATEM ´ATICAS II

Instrucciones:

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Seaf: [1,+∞)→Rla función definida por f(x) =√x−1. Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del puntoA(2,0). ¿Cuál es esa distancia?

Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Halla: _Z

ex

(e2x₋_1)(ex_{+ 1)}dx Sugerencia: efect´ua el cambio de variablet= ex_.

Ejercicio 3.- Dada la matriz A=

µ

λ+ 1 0 1 −1

¶

(a) [1’25 puntos] Determina los valores deλpara los que la matriz A2+ 3A no tiene inversa.

(b) [1’25 puntos] Para λ= 0, halla la matrizX que verifica la ecuaci´on AX+A= 2I, siendoI la matriz identidad de orden 2.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1,0,−1) yB(2,1,0), y la recta r dada por

½

x+y= 1 x+z= 2

(a) [1’75 puntos] Determina la ecuaci´on del plano que es paralelo ar y pasa porAy B.

(25)

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CURSO 2011-2012

MATEM ´ATICAS II

Instrucciones: a) Duraci´on:1 hora y 30 minutos.

b)Tienes queelegirentre realizar únicamente los cuatro ejercicios de laOpción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de laOpción B.

e)Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con ca-pacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos con-ducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opci´on A

Ejercicio 1.-Sea la funci´onf: (0,+∞)→Rdefinida por f(x) = 1

x+ ln(x) donde ln denota la funci´on logaritmo neperiano.

(a) [1’75 puntos] Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo

[ 1 e, e

] .

(b) [0’75 puntos] Determina la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica def en el punto de abscisa x=e.

Ejercicio 2.- Seanf, g:R→Rlas funciones definidas por f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) respectiva-mente.

(a) [0’75 puntos] Realiza un esbozo de las gr´aficas def yg en el intervalo [

0, π 2 ]

.

(b) [1’75 puntos] Calcula el ´area total de los recintos limitados por ambas gr´aficas y las rectas x = 0 yx= π

2.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Considera las matrices

A= 

 10 21 02 1 2 1



 B = (

0 1 1 0

)

y C= (

−1 2 0 1 1 2

)

Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB=Ct, siendo Ct la matriz traspuesta deC.

Ejercicio 4.- El puntoM(1,−1,0) es el centro de un paralelogramo yA(2,1,−1) yB(0,−2,3) son dos v´ertices consecutivos del mismo.

(a) [1 punto] Halla la ecuaci´on general del plano que contiene al paralelogramo.

(26)

CURSO 2011-2012

Opci´on B

Ejercicio 1.- Seaf la funci´on definida por f(x) = 2x 2

(x+ 1)(x−2) parax̸=−1 y x̸= 2.

(a) [1 punto] Estudia y calcula las as´ıntotas de la gr´afica def.

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

(c) [0’5 puntos] Calcula, si existe, algún punto de la gráfica def donde ésta corta a la as´ıntota horizontal.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea la funci´on f: R → R definida por f(x) = x2cos(x). Determina la primitiva de f cuya gr´afica pasa por el punto (π,0).

Ejercicio 3.- Dado el sistema de ecuaciones 

 

kx + 2y = 3 −x + 2kz = −1

3x − y − 7z = k+ 1

(a) [1’75 puntos] Estudia el sistema para los distintos valores del par´ametro k.

(b) [0’75 puntos] Resu´elvelo para k= 1.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos]Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la rectarde ecuaciones {

(27)

CURSO 2011-2012

Opci´on A

Ejercicio 1.- Sea la funci´on f: [1, e]→Rdefinida por f(x) =x2−8 ln(x) donde ln denota la funci´on logaritmo neperiano.

(a) [0’75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento def.

(b) [1 punto] Calcula los extremos absolutos y relativos de la funci´on f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(c) [0’75 puntos] Estudia los intervalos de concavidad y de convexidad.

Ejercicio 2.- Seaf:R→Rla funci´on definida por f(x) =x3₋_4x

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto de abscisa x= 1.

(b) [0’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gr´afica de f y la recta y=−x−2, determinando los puntos de corte de ambas gr´aficas.

(c) [1 punto] Calcula el ´area del recinto anterior.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones 

 

x + (k+ 1)y + 2z = −1 kx + y + z = 2

x − 2y − z = k+ 1

(a) [1’75 puntos] Clasif´ıcalo seg´un los distintos valores dek.

(b) [0’75 puntos] Resu´elvelo para el caso k= 2.

Ejercicio 4.- Dadas las rectas r ≡ x+ 3 −6 =

y−9 4 =

z−8

4 y s≡ x−3

3 = y−9

−2 = z−8

(28)

CURSO 2011-2012

Opci´on B

Ejercicio 1.- Sea la funci´on f:R→Rdefinida por f(x) =ex(x2−x+ 1)

(a) [0’75 puntos] Calcula l´ım

x→−∞f(x) y x→l´ım+∞f(x)

(b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos def (abscisas donde se obtienen y valores que se alcan-zan), determinando si son m´aximos o m´ınimos.

(c) [0’5 puntos] Determina las abscisas de los puntos de inflexi´on de la gr´afica def.

Ejercicio 2.- Sean f, g:R → R las funciones definidas por f(x) = x2 ₋_2x _y _{g(x) =} ₋_x2 _{+ 4x}

respectivamente.

(a) [0’75 puntos] Halla los puntos de corte de sus gr´aficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.

(b) [1’75 puntos] Calcula el ´area de dicho recinto.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Encuentra la matrizX que satisface la ecuaci´on XA+A3B=A, siendo

A= 

 00 01 10 1 0 0



 y B =



 20 −12 −10 −1 0 2

 

Ejercicio 4.- [2’5 puntos]Los puntos A(1,1,5) y B(1,1,2) son v´ertices consecutivos de un rect´angulo ABCD. El v´ertice C, consecutivo aB, est´a en la recta x = y−6

−2 = z+ 1

(29)

UNIVERSIDADES DE ANDALUC´IA

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CURSO 2011-2012

b)Tienes queelegirentre realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on A

o realizar ´unicamente los cuatro ejercicios de laOpci´on B.

Opci´on A

Ejercicio 1.- Sea la funci´on continuaf:R→R definida por

f(x) =       

x+k si x≤0

ex2 −1

x2 si x >0

(a) [1’25 puntos] Calcula el valor de k.

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x= 1.

Ejercicio 2.- Sea I = ∫ 1

0

x

1 +√1−x dx

(a) [1’75 puntos] Expresa la integralI aplicando el cambio de variable t=√1−x

(b) [0’75 puntos] Calcula el valor de I.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos inc´ognitas 

 

kx + 2y = 2

2x + ky = k

x − y = −1

(a) [0’5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del par´ametrok.

(b) [1 punto] Especifica para qué valores del parámetrokes determinado y para cuáles indeterminado.

(c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso.

Ejercicio 4.- Sean los puntosA(0,0,1), B(1,0,−1), C(0,1,−2) yD(1,2,0).

(a) [1 punto] Halla la ecuaci´on del planoπ determinado por los puntosA, B yC.

(30)

CURSO 2011-2012

Opci´on B

Ejercicio 1.- Sea la funci´on f definida por f(x) = e

−x

1−x para x̸= 1. (a) [1’25 puntos] Estudia las as´ıntotas de la gr´afica de la funci´onf.

(b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento def.

Ejercicio 2.- Seaf:R→Rla funci´on definida por f(x) = 9−x 2

4

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto de abscisa x= 1.

(b) [1’75 puntos]Esboza el recinto limitado por la gr´afica def, la recta x+2y = 5 y el eje de abscisas. Calcula el ´area de dicho recinto.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones con tres inc´ognitas 

 

x − y = λ

2λy + λz = λ

−x − y + λz = 0

(a) [1’25 puntos] Clasif´ıcalo seg´un los distintos valores del par´ametro λ.

(b) [1’25 puntos] Resu´elvelo para λ= 0 y λ=−1.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla el punto sim´etrico de P(2,1,−5) respecto de la recta r definida por {

x−z = 0

(31)

CURSO 2011-2012

Opci´on A

Ejercicio 1.- Sea la funci´on f:R→Rdefinida por f(x) =ex(x−2)

(a) [1 punto] Calcula las as´ıntotas def.

(b) [1 punto] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

(c) [0’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de inflexi´on de la gr´afica def.

Ejercicio 2.- Sea f una funci´on continua en el intervalo [2,3] y F una funci´on primitiva de f tal que F(2) = 1 y F(3) = 2. Calcula:

(a) [0’75 puntos] ∫ 3

2

f(x) dx (b) [0’75 puntos] ∫ 3

2

(5f(x)−7)dx

(c) [1 punto] ∫ 3

2

(F(x))2f(x) dx

Ejercicio 3.- Sea la matriz A=



 02 01 12

1 k 1

 

(a) [1 punto] ¿Para qu´e valores del par´ametro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta.

(b) [1’5 puntos] Parak= 0, resuelve la ecuaci´on matricial (X+I)·A=At_{, donde}_I _{denota la matriz} identidad y At la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 4.-De un paralelogramoABCDconocemos tres v´ertices consecutivos: A(2,−1,0), B(−2,1,0) y C(0,1,2).

(a) [1 punto]Calcula la ecuaci´on de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.

(32)

CURSO 2011-2012

Opci´on B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sabiendo que l´ım x→0

a·sen(x)−xex

x2 es finito, calcula el valor de ay el de dicho l´ımite.

Ejercicio 2.- Sea la funci´on f definida por f(x) = 2

x2−₁ para x̸=−1 yx̸= 1.

(a) [1’25 puntos] Halla una primitiva def.

(b) [1’25 puntos] Calcula el valor de kpara que el ´area del recinto limitado por el eje de abscisas y la gr´afica def en el intervalo [2, k] sea ln(2), donde ln denota el logaritmo neperiano.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones

  

x + y + z = λ+ 1

3y + 2z = 2λ+ 3

3x + (λ−1)y + z = λ

(a) [1 punto] Resuelve el sistema para λ= 1.

(b) [1 punto] Halla los valores de λpara los que el sistema tiene una ´unica soluci´on.

(c) [0’5 puntos] ¿Existe alg´un valor deλpara el que el sistema admite la soluci´on

(

−1 2 , 0,

1 2

)

?

Ejercicio 4.- Seanr yslas rectas dadas por

r≡

{

x+y−z = 6

x+z = 3 s≡

x−1 −1 =

y+ 1

6 =

z 2

(a) [1’25 puntos] Determina el punto de intersecci´on de ambas rectas.

(33)

CURSO 2011-2012

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea m´ınima.

Ejercicio 2.- Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas

y = 4x, y = 8−4x y la curva y= 2x−x2.

(a) [0’5 puntos] Realiza un esbozo de dicho recinto.

(b) [2 puntos] Calcula su ´area.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones

  

x + ky + 2z = k+ 1

x + 2y + kz = 3 (k+ 1)x + y + z = k+ 2

(a) [1’25 puntos] Determina los valores dek para los que el sistema tiene m´as de una soluci´on.

(b) [0’5 puntos] ¿Existe alg´un valor dek para el cual el sistema no tiene soluci´on?

(c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para k= 0.

Ejercicio 4.- Se consideran los vectores −→u = (k,1,1), −→v = (2,1,−2) y −→w = (1,1, k), donde k es un n´umero real.

(a) [0’75 puntos] Determina los valores dek para los que−→u,−→v y−→w son linealmente dependientes.

(b) [1 punto] Determina los valores dek para los que −→u +→−v y −→v − −→w son ortogonales.

(34)

CURSO 2011-2012

Opci´on B

Ejercicio 1.- Sea la funci´on f: R → R definida por f(x) = ln(x2+ 3x+ 3)−x donde ln denota la funci´on logaritmo neperiano.

(a) [1’5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) [1 punto] Determina la ecuaci´on de la recta normal a la gr´afica def en el punto de abscisax=−2.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Calcula los valores deaybsabiendo que la funci´onf: (0,+∞)→Rdefinida por f(x) = ax2+bln(x), donde ln denota la funci´on logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en

x= 1 y que _∫

4

1

f(x) dx= 27−8 ln(4)

Ejercicio 3.- Dada la matriz A=

(

3 −2

5 1

)

, seaB la matriz que verifica queAB=

(

−2 1 7 3

)

(a) [1 punto] Comprueba que las matrices AyB poseen inversas.

(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuaci´on matricial A−1X−B=BA.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Encuentra los puntos de la recta r ≡ x−1

4 =

2−y

(35)

CURSO 2011-2012

Opci´on A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se considera la funci´on derivable f:R→Rdefinida por

f(x) =

        

1 + a

x−2 six <1

a+√b

x six≥1

Calcula los valores de ayb.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea la funci´on f:R→ R definida por f(x) = (1−x2)e−x. Determina la primitiva de f cuya gr´afica pasa por el punto (−1,0).

Ejercicio 3.- Un estudiante ha gastado 57 euros en una papeler´ıa por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

(a) [1’25 puntos] ¿Es posible determinar de forma ´unica el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.

(b) [1’25 puntos] Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50 %, un 20 % y un 25 % de descuento respectivamente, el estudiante habr´ıa pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada art´ıculo.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡ x+ 3

2 =

y+ 5

3 =

z+ 4

3 que