SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

(1)

Capitulo II Matemática II (179)

Objetivo 9. Resolver problemas de física, ingeniería o economía, donde se utilicen procedimientos matemáticos y conceptos relacionados con el cálculo diferencial y los sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicio 1

Determine el conjunto de los números reales donde es continua la función h, dada por:

(

2

)

( ) cos 5 2

h x = x − x+

Solución

Justificación: Esta función está compuesta por 2 funciones, una polinómica, y una trigonométrica, ahora pasemos a verificar si se cumplen las 3 condiciones de continuidad:

1) Verifiquemos que la función existe en un punto a∈_ℝ.

(

)

(

)

2

( ) cos 5 2

h x x x

h a a a

= − +

Este valor existe porque el dominio de la función cosx son los Reales. SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a∈ℝ

(

2

)

(

2

)

lim ( ) lim cos 5 2 cos 5 2

x→ah x =x→a x − x+ = a − a+

Este valor del límite existe porque el dominio de la función cosx son los Reales.

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

3) Ahora aplicaremos la condición 3, que consiste en comparar el valor obtenido en la condición 1 con el resultado obtenido en la condición 2, en este caso:

Valor en la condición 1:

(

2

)

cos

( ) 5a 2

h a = a − +

Valor en la condición 2: lim ( ) cos

(

2 5 2

)

x→ah x = a − a+

Evidentemente:

(

)

(

)

2

2 cos

a

−

5 a

+

2 =

cos

a

−

5 a

+

2

_,

(2)

Respuesta: La función es continua en todos los puntos del conjunto de los números reales.

Ejercicio 2 Dada la función f D: ⊆ →_ℝ _ℝ definida por:

2 1

si 2 4

( )

si 2

x x

f x

x x



− <



=

 _≥



Indique si esta función es continua en a=2. Solución

Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad: 1) Verifiquemos que la función existe en el punto a=2, ESTA PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función dada, en

este caso:

(3)

Por lo tanto evaluamos x en el punto a=2, donde se nos pide la continuidad:

(2) 2

f =

Este valor es un número Real, por lo tanto EXISTE SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a=2. Para este punto, dado que nos dan una función a trozos CON DESIGUALDADES, nos apoyaremos en límites laterales, así calcularemos el límite lateral por la izquierda y luego el límite lateral por la derecha y si son iguales concluiremos

que el límite EXISTE, de lo contrario, es decir, si son diferentes el límite NO

EXISTE.

límite lateral por la izquierda

Para este límite siempre tomaremos el símbolo < en la función dada, es decir:

Para representar que estamos en un límite por la izquierda, al número 2 al cual tiende el límite se le coloca un superíndice NEGATIVO, ojo no es que el valor 2 es negativo, sino que estamos por la izquierda, observa la notación utilizada en el límite lateral por la izquierda:

Así pues, el límite lateral por la izquierda será:

2 2

2

1 1 16 1 15

lim 1 2

4 4 4 4 4 4

x x −

→

−

 

= − = −

− = =

(4)

límite lateral por la derecha

Para este límite siempre tomaremos el símbolo > en la función dada, es decir:

Para representar que estamos en un límite por la derecha, al número 2 al cual tiende el límite se le coloca un superíndice POSITIVO, ojo no es que el valor 2 es positivo, sino que estamos por la derecha, observa la notación utilizada en el límite lateral por la derecha:

Así pues, el límite lateral por la derecha será:

2

lim 2

x x +

→ =

Como los límites laterales son diferentes

2 2

15

lim ( ) lim ( ) 2

4

x→ − f x = ≠x→ + f x = , el límite

2 lim ( )

x→ f x no existe

NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

Respuesta: La función no es continua en el punto a=2, porque el límite no existe.

(5)

Ejercicio 3 Sea g:_ℝ→_ℝ definida por

5 si 5 ( )

1 si 5

x x

g x

x

+ ≠ −



=

= −



estudie la continuidad de la función g.

Solución

Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al igual que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será a= −5, porque es el número en el cual la función puede sufrir particularidades geométricas:

1) Verifiquemos que la función existe en el punto a= −5, ESTA PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función

dada, en este caso:

Por lo tanto:

( 5) 1 g − =

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a= −5. Para este punto, dado que nos dan una función a trozos CON 2 SIGNOS, UNO IGUAL Y UNO DE DIFERENTE, nos apoyaremos en calcular el límite a la función donde se

(6)

(

)

5

lim 5 5 5 0

x→− x+ = − + =

Este valor es un número Real, por lo tanto EL LÍMITE EXISTE SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

g

(

− =

5 )

1

5

0 lim

x→−

g

=

Evidentemente:

1 ≠

0

, por lo tanto: NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3

Respuesta: La función g no es continua. Ejercicio 4

Hallar el valor de la constante “k” para que la función dada por: 1 si 1

( )

3 si 1

kx x

f x

x x

− ≤



=

>



Sea continua en el punto x0 =1.

Solución

Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad para obtener el valor de k:

(7)

si 1 ( )

3 si 1

1 x f x x x kx ≤  = > − 

( )

(1) 1 1 1

f =k − = −k

Este valor es un número Real, siempre y cuando k sea Real

DEPENDE DEL VALOR DE k QUE SE CUMPLA O NO LA CONDICIÓN 1 2) Normalmente, es en esta condición es donde se logra calcular el valor de k, apoyándonos en la existencia del límite en el punto de estudio a=1. Para este punto, dado que nos dan una función a trozos CON DESIGUALDADES, nos apoyaremos en límites laterales, así calcularemos el

límite lateral por la izquierda y luego el límite lateral por la derecha y al

IGUALARLOS CALCULAREMOS EL VALOR DE k. límite lateral por la izquierda

si 1 ( )

3 si 1

1 x f x x x kx ≤  = > − 

(

) ( )

1

lim 1 1 1

x

kx k k

−

→ − = − = −

límite lateral por la derecha

1 si 1 ( )

s

3x i 1

kx x f x x − ≤  = > 

( ) ( )

1

3

lim 3 1 3

x x +

→ = =

Para que la función sea continua, esta condición 2 se debe cumplir, es decir, necesitamos que el límite exista, y sabemos que el límite existe si los límites laterales son iguales:

(8)

De manera que SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2 para el valor de k igual a 4 ya que los limites laterales para este valor son iguales, es decir el límite existe:

1 1

lim ( ) 1 4 1 3 lim ( ) 3

x→− f x = − = − = =k x→+ f x = , el límite tiene valor 3.

Ahora bien, ya sabemos que para k=4 SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2, la pregunta será ¿se cumplirá la condición 1 y 3?, entonces, fíjate como se procede en este tipo de problemas, después de calcular el valor de k, que como te dije, normalmente se calcula con la igualdad de los límites laterales de la condición 2, se procede a verificar cada una de las condiciones faltantes, es decir la condición 1 y 3, observa:

PARA LA CONDICIÓN 1:

( )

(1) 1 1 1 4 1 3

f =k − = − = − =k

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1 El número 4 existe por ser un número Real PARA LA CONDICIÓN 3:

f

(1)

=

3

1

3 lim

x→

f

=

Evidentemente:

3 =

3

, por lo tanto: SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3

Respuesta: El valor de k es 4, para que la función f x( ) sea continua. Ejercicio 5

Dada la función:

2 3

4

si 2 4

( ) 1

si 2 2

x

x x

f x

x

 ₋

≠

 ₋

=

 ₌



a. Calcula el límite de f x( ), por la izquierda de x=2. b. Calcula el límite de f x( ), por la derecha de x=2

c. ¿Es f x( ) una función continua en el punto x=2? Explica. Solución

Justificación: En este caso analizaremos cada uno le los ítems.

(9)

La siguiente manera muy útil de hallar los límites laterales CUANDO NO TENEMOS UNA FUNCIÓN A TROZOS CON DESIGUALDADES, como la

mostrada en el EJERCICIO 2 del presente objetivo 9, SINO QUE TENEMOS UNA FUNCIÓN A TROZOS CON LOS SIGNOS ÚNICAMENTE DE IGUAL (=)

Y DIFERENTE (≠).

Para límite lateral por la izquierda

Cuando necesitemos calcular el límite lateral por la izquierda y no contamos con el signo

< en la función a trozos se procederá a utilizar la

siguiente modalidad para hacer el cálculo del límite lateral por la izquierda: PRIMERO: hacer el cambio de variable: x= −a h, de manera que:

SEGUNDO:

0

lim ( ) lim ( )

x a h

f x f a h

− +

→ = → −

Para límite lateral por la derecha

Cuando necesitemos calcular el límite lateral por la derecha y no contamos con el signo

> en la función a trozos se procederá a utilizar la

siguiente modalidad para hacer el cálculo del límite lateral por la derecha: PRIMERO: hacer el cambio de variable: x= +a h, de manera que:

SEGUNDO:

0

lim ( ) lim ( ) x→a+ f x =h→ + f a+h . Apliquemos pues ésta situación:

Para el ítem “a” Se pide

2 lim ( ) x

f x −

→ . Para calcular el límite SIEMPRE se tomara la función

donde está ubicado el signo diferente ≠, en este caso:

2

3 si 2

( ) 1 si 4 4 2 2 x x x

f x x

x   =  ₌ − −  ≠ 

Por lo tanto:

2

3 2 3

2 2

2 4 4 4 0

lim ( ) lim

2 4(2) 8 8

4 4 0 x x f x x x x − − → → − − − − = = = = − −

Como tenemos esta forma indeterminada y polinomios en el numerador y denominador, debemos factorizar, por lo tanto

(

)

2 2 2

3 2

2 2 2

4 4 4

lim lim lim

4 4

x x x

x x x x

− − −

→ → →

− ₌ − ₌ −

− −

(

2

)

4

x x − 2

(10)

Se factorizo en el denominador extrayendo el factor común x. Entonces el límite a calcular es:

2 1 lim x→ − x

Aplicando el cambio de variable mencionado al inicio de este ejercicio, y teniendo en cuenta que en nuestro caso a=2 se tiene:

PRIMERO: hacer el cambio de variable: x= −2 h, de manera que: SEGUNDO:

2 0

1 1

lim lim 2 x→ − x=h→ + −h

Resolviendo este último límite, se tiene:

0

1 1 1

lim

2 2 0 2

h→ + −h = − = Para el ítem “b” Se pide

2 lim ( ) x

f x −

→ . Para calcular el límite SIEMPRE se tomara la función

donde está ubicado el signo diferente ≠, en este caso:

2

3 si 2

( ) 1 si 4 4 2 2 x x x

f x x

x   =  ₌ − −  ≠ 

Por lo tanto:

2

3 2 3

2 2

2 4 4 4 0

lim ( ) lim

2 4(2) 8 8

4 4 0 x x f x x x x + + → → − − − − = = = = − −

Como tenemos esta forma indeterminada y polinomios en el numerador y denominador, debemos factorizar, por lo tanto

(

)

2 2 2

3 2

2 2 2

4 4 4

lim lim lim

4 4

x x x

x x x x

+ + +

→ → →

− ₌ − ₌ −

− −

(

2

)

4

x x − 2

1 lim x→ + x =

Se factorizo en el denominador extrayendo el factor común x. Entonces el límite a calcular es:

2 1 lim x→ + x

Aplicando el cambio de variable mencionado al inicio de este ejercicio, y teniendo en cuenta que en nuestro caso a=2 se tiene:

(11)

SEGUNDO:

2 0

1 1

lim lim 2 x→ + x =h→ + +h

Resolviendo este último límite, se tiene:

0

1 1 1

lim

2 2 0 2

h→ + +h = + = Para el ítem “c”

En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al igual que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será a=2, porque es el número en el cual la función puede sufrir particularidades geométricas:

1) Verifiquemos que la función existe en el punto a=2, ESTA PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función dada, en

este caso:

2 3

4

si 2 4

( )

si

1

2

x

x x

f x

x

 ₋

≠

 ₋

=

=

 

Por lo tanto:

1 (2)

2

f =

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a=2. Pero ya calculamos los límites previamente en los ítems “a” y “b” y observamos que los límites laterales son iguales, por lo tanto el límite existe y tiene valor:

2

1 lim ( )

2 x→ f x =

Valor en la condición 1: (2) 1 2

f =

Valor en la condición 2: 2

1 2 lim ( )

(12)

Evidentemente:

1

2 =

2

, por lo tanto: SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3 Por lo tanto la función es continua en x=2. Respuesta:

a) 2

1 lim ( )

2 x

f x −

→ =

b) 2

1 lim ( )

2 x

f x +

→ =

c) La función es continua es x=2. Ejercicio 6

Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones. Dada la función f :_ℝ→_ℝ, definida por:

9

1 si 1 4

( )

3

2 si 1 4

x x

f x

x x



− − ≤ −



=

_{− −} _{> −}



Responde con una V si las siguientes afirmaciones son verdaderas o con una F si son falsas.

a. 1

5 lim ( )

4 x

f x −

→− = _____

b. 1

5 lim ( )

4 x

f x +

→− = _____

c. f es una función continua en el punto x= −1_____ Solución

Justificación: En este caso haremos los cálculos solicitados, para poder responder acerca de la veracidad de los distintos planteamientos:

Para el ítem “a”

Para calcular el 1

5 lim ( )

4

(13)

Entonces:

( )

1 1

9 9 9 4 5

lim ( ) lim 1 1 1

4

9 1

4 4 4

4

x x

f x x

− −

→− →−

  −

=  − = − − − = − =

−  =

Por lo tanto la primera afirmación es Verdadera. Para el ítem “b”

Para calcular el 1

5 lim ( )

4 x

f x +

→− = , se toma, como ya sabemos, la expresión

matemática que corresponde al signo >, es decir:

3 2

9

1 si 1 4

( )

si

4 1

x

x x

f x

x



− − ≤ −



=

− >



− −

 

Entonces:

( )

1 1

3 3 8 3 5

lim ( ) lim 3 2 1 2

4 4

2

4 4 4

x x

x f x

+ +

→− →−

  −

=  − = − − − = − =

−  =

Por lo tanto la segunda afirmación es Verdadera. Para el ítem “c”

En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al igual que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será a= −1, porque es el número en el cual la función puede sufrir particularidades geométricas:

dada, en este caso:

(14)

( )

9

1 1

4

9 9 4 5

( 1) 1

4 4 4

f − =− − − == − = −

 =





2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a= −1. Pero ya calculamos los límites previamente en los ítems “a” y “b” y observamos que los límites laterales son iguales, por lo tanto el límite existe y tiene valor:

1

5 lim ( )

4 x→− f x =

4 ( 1) 5 f − =

Valor en la condición 2: 1

5 4 lim ( ) x→− f x =

Evidentemente:

5

4 =

4

, por lo tanto: SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3

Por lo tanto la función es continua en x= −1. Respuesta:

a) V b) V c) V

Ejercicio 7

Dada la función:

2

3

4 si

2

2 ( )

1 si

2

2 x

x

f x

x



₋

< −



₊

=





_{≥ −}



a) Calcula el límite de f(x), por la izquierda de x= −2

b) Calcula el límite de f(x), por la derecha de x= −2

c) ¿Es

f

una función continua_{en el}

punto x= −2? Explica

(15)

Justificación: En este caso haremos los cálculos solicitados, para poder responder cada uno de los planteamientos:

Para el ítem “a” Para calcular el

2 lim ( ) x

f x −

→− , se toma, como ya sabemos, la expresión

matemática que corresponde al signo <, es decir:

2

3

si

2 ( )

1 si

2

4

2 x

f x

x



−



=



−

_<

+



_{≥ −}



Entonces:

2 2

2 4 4 4 0

lim ( ) lim 4 0

2 2 4 4

2

x x x

f x x

− −

→− →−

 ₋ 

 

+

− −

= = = =

  + =

Para el ítem “b” Para calcular el

2 lim ( )

x→−+ f x , se toma, como ya sabemos, la expresión matemática que corresponde al signo >, es decir:

Entonces:

( )

3 3

2 2

1 1 8

lim ( ) lim 1 2 8 4

2 2

x x

f x x

+ +

→− →−



= = − = − =

 −



  = −

Para el ítem “c”

En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al igual que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será a= −2, porque es el número en el cual la función puede sufrir particularidades geométricas:

(16)

Por lo tanto:

( )

3 1

( )

8

( 2) 8 4

2

1 2

2 2

f − = − = − = − = −

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a= −2. Pero ya calculamos los límites previamente en los ítems “a” y “b” y observamos que los límites laterales son diferentes, por lo tanto el límite no existe.

NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2 Por lo tanto la función no es continua en x= −2. Respuesta:

a) 2

lim ( ) 0 x

f x −

→− =

b) 2

lim ( ) 4 x→− + f x = −

c) La función

f

no es continua_{en el punto}_x= −₂_.

Ejercicio 8

Sea g:_ℝ→_ℝ la función definida por ( ) 5 si 5 0 si 5

x x

f x

x

+ ≠ −



=

= −

 . Entonces

podemos asegurar que:

a. g no es continua en x=1 b. g no es continua en x=0 c. g no es continua en x= −5 d. g es continua en x= −5

Solución

(17)

dada, en este caso:

Por lo tanto:

( 5) 0 g − =

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a= −5. Para este punto, dado que nos dan una función a trozos CON 2 SIGNOS, UNO IGUAL Y UNO DE DIFERENTE, nos apoyaremos en calcular el límite a la función donde se

encuentra el símbolo de diferente

≠

, y según nos de un número real o no, concluiremos si el límite existe o no.

(

)

5

lim 5 5 5 0

x→− x+ = − + =

(18)

g

(

− =

5 )

0

5

0 lim

x→−

g

=

Evidentemente:

0 =

0

, por lo tanto: SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3 La función g es continua en x= −5

Respuesta: Opción correcta “d”

Ejercicio 9

Haz la representación gráfica de la función h:_ℝ→_ℝ, definida por:

y determina si es continua en _ℝ.

Solución

Justificación: Primero graficaremos cada función en su correspondiente intervalo.

Para s≤ −12

Se tiene la función h s( )= − +

(

s 22

)

, como la variable s esta elevado a la

uno, se trata de una línea recta. Para graficar una línea recta es suficiente obtener 2 puntos cualesquiera de ella, en este caso tomaremos 2 valores de s

que estén por supuesto dentro del intervalo s≤ −12, y así calcularemos las ordenadas de cada una de esos valores para representarlos en el plano real y graficar pues la recta.

Tomaremos los siguientes valores arbitrarios: s= −13 y s= −12. Es recomendable tomar en éstos 2 valores arbitrarios el valor extremo, es decir,

12

s= − donde cambia la función a trozos dada:

s h s( )

13

(19)

12

− h( 12)− = − − +

(

12 22

)

= −10

NOTA: Debes tener especial cuidado al operar con los signos en la suma algebraica, si tienes problemas aun con los signos repasa la clase 2 teórica acerca de la regla de los signos.

Por lo tanto se tienen los puntos del plano;

(

13, 9

)

P − − y Q

(

−12, 10−

)

Para − < <12 s 12

Se tiene la función h s( )= −10, que es una línea recta horizontal en el intervalo dado − < <12 s 12.

Para s≥12

Se tiene la función h s( )= −s 22, como la variable s esta elevado a la uno, se trata de una línea recta. Para graficar una línea recta es suficiente obtener 2 puntos cualesquiera de ella, en este caso tomaremos 2 valores de s

que estén por supuesto dentro del intervalo s≥12, y así calcularemos las ordenadas de cada una de esos valores para representarlos en el plano real y graficar pues la recta.

Tomaremos los siguientes valores arbitrarios: s=12 y s=13. Es recomendable tomar en éstos 2 valores arbitrarios el valor extremo, es decir,

12

s= donde cambia la función a trozos dada:

s h s( )

12 h(12) 12 22= − = −10

13 h(13) 13 22= − = −9

Por lo tanto se tienen los puntos del plano;

(

12, 10

)

R − y T

(

13, 9−

)

(20)

La gráfica de las funciones está en rojo y los puntos en color azul.

Se puede apreciar que la gráfica es continua en todo el eje horizontal real s, se puede decir geométricamente, que no levantas el lápiz para trazar la gráfica, por lo tanto la función es continua en todo _ℝ.

Respuesta: a) Gráfica:

(21)

Sea h:_ℝ→_ℝ la función definida como sigue: 3

si 0 ( )

1 si 0

x x

h x

x x

 _<

=

− ≥



Determine si h es continua en x=0.

Solución

Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad:

1) Verifiquemos que la función existe en el punto a=0, ESTA PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función dada, en

este caso:

Por lo tanto tomamos la función x−1 que corresponde a donde esta ubicada la igualdad, tal como se señala en rojo, por lo tanto:

0 1

(0) 1

f = − = −

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a=0. Para este punto, dado que nos dan una función a trozos CON DESIGUALDADES, nos apoyaremos en límites laterales, así calcularemos el límite lateral por la izquierda y luego el límite lateral por la derecha y si son iguales concluiremos

que el límite EXISTE, de lo contrario, es decir, si son diferentes el límite NO

EXISTE.

límite lateral por la izquierda

3

si 0 ( )

1 si 0

x h x

x x

x =

− ≥

<

  

( )

3 3

0

lim 0 0

x x −

→ = =

(22)

(

)

0

lim 1 0 1 1

x→ + x− = − = − Como los límites laterales son diferentes

0 0

lim ( ) 0 lim ( ) 1

x x

f x f x

− +

→ = ≠ → = − , el

límite 0 lim ( )

x→ f x no existe

NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2 Por lo tanto la función h no es continua en x=0.

Respuesta: La función h no es continua en x=0.

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos, ¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura. Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo saber, a través, de mi correo: [email protected]. Recuerda que en mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura, justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre dando justificación y luego la respuesta.

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1

(23)

2

2 1

( ) 1 1

2 3 1

x si x

f x Ax B si x

x x si x

_{− +} _{< −}



= + − ≤ ≤

 ₊ ₊ _> 

¿Cuánto deben valer A y B para que esta función sea continua en x= −1 y en 1

x= ?

Ejercicio 2

Halle un valor del número k para que la función f :_ℝ→_ℝ, definida por: 2

( 4) , 5

( )

( 1) 1 , 5

x x

f x

x x

 ₋ _<

=

+ + ≥

 k

k ,

sea continua en x=5.

Ejercicio 3

Indica los puntos del dominio donde, la siguiente función, es continua:

4 2 2 3 2 ( ) 3 4 x x f x x x − + = − − Ejercicio 4 Dada la función f :_ℝ→_ℝ definida por:

2

3

2 si 1 ( ) 1 si 1

x 3 2

si 1 x 1

x Ln x x

f x x

x



 ₊ ₋ _>  = =  − +  _<  ₋

determine si f es continua en el punto x=1. Ejercicio 5

Haz la representación gráfica de la función dada por: 9

1 si 1 4

( )

3

2 si 1 4 x x f x x x  − − ≤ −  =

 ₋ ₋ _{> −}



y determina usando la definición de continuidad, si ella es continua en el intervalo cerrado [−3, 2].

Ejercicio 6

(24)

(

3 7

)

( )

1 x sen x f x

e − =

− .

Ejercicio 7

Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F si son falsos.

a. Si una función f es continua en un punto a∈_ℝ es indispensable que a

pertenezca al dominio de f _______________.

b. Si f y g son dos funciones continuas en un punto a de su dominio,

entonces f +g es continua en a ________________.

c. Una función f es continua en el intervalo cerrado

[ ]

a b, , si es continua en el

intervalo abierto

( )

a b, y en los extremos a y b del intervalo se cumple que

lim ( ) ( )

x→a+ f x = f a y xlim→b− f x( )= f b( )___________. Ejercicio 8

Responda con una V si los siguientes enunciados son verdaderos y con una F si son falsos, en el espacio correspondiente.

a) Una función puede estar definida en un punto sin ser continua en él ___ b) Una función f I: ⊆ →_ℝ _ℝ es continua en un punto a∈I si a medida que

nos “acercamos” al punto a, manteniéndonos en el dominio de f , los valores

de la función f se “acercan” al valor f a( ) __

c) Se dice que una función es continua sobre un intervalo, si su gráfica puede trazarse sin interrupción, es decir, sin levantar el lápiz del papel ___

Ejercicio 9 Determina el valor de k∈_ℝ de forma que:

2

3 1 1

( )

2 1

kx si x

f x

x k si x

 ₊ _{≤ −}

=

+ > −

 ,

sea continua en x= −1.

Ejercicio 10

Dada la función definida a trozos f :_ℝ→_ℝ tal que

2

2 9

3

( ) ₃

2 3 3

x

si x

f x _x

x x si x

 ₋

<



= −

 ₋ ₊ _≥ 