UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍAÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
PROCESOS DE RAZONAMIENTO DURANTE LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Que para obtener el grado de Maestro en Ciencias en Matemáticas y
su Didáctica
PRESENTA:
JOAQUÍN GARCÍA MARÍN DIRIGIDO POR:
Dr. Fernando Barrera Mora Dr. Aarón Reyes Rodríguez
2 Resumen
Analizar los procesos de razonamiento que llevan a cabo los estudiantes es importante porque las matemáticas involucran el desarrollo de formas sistemáticas de razonamiento y argumentación cuya finalidad es establecer la certeza, generalidad y validez de las relaciones entre objetos matemáticos, además de ser los medios que permiten el avance de la disciplina. Todos estos aspectos cambian con el tiempo y son especialmente sensibles al tipo de medios y sistemas de representación que se utilizan para ponerlos en práctica. En este trabajo se identifican algunas formas de razonamiento que llevan a cabo estudiantes de bachillerato al resolver problemas de máximos y mínimos en un ambiente estático (papel y lápiz) y mediante el uso de GeoGebra. Los resultados de la investigación indican que un medio dinámico ofrece oportunidades a los estudiantes para desarrollar una gama amplia de estrategias para abordar los problemas que incluyen la visualización, el uso de estrategias empíricas basadas en la medición de atributos, además de que se promueve la formulación y la justificación de conjeturas, aspectos que son difíciles de implementar en un ambiente de papel y lápiz.
Abstract
3 ÍNDICE
Contenido Página
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 Introducción 5
1.2 Revisión de la literatura 9
1.3 Planteamiento del problema, objetivos y preguntas de investigación 10
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
2.1 Introducción 12
2.2 Resolución de problemas 2.3 Razonamiento matemático
2.3.1 Aprendizaje memorístico 2.3.2 Razonamiento imitativo 2.3.3 Razonamiento creativo
12 16 17 17 18 2.4 Papel de las tecnologías digitales en la resolución de problemas 18 2.5 Articulación de los constructos teóricos que integran el marco 20
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA
3.1 Introducción 22
3.2 Las tareas 23
3.3 Participantes en la investigación 24
3.4 Características y análisis preliminar de las tareas 25
3.4.1 Solución de la tarea 1 27
3.4.2 Solución de la tarea 2 28
3.4.3 Solución de la tarea 3 3.4.4 Solución de la tarea 4
29 30
CAPÍTULO 4. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
4.1 Introducción 32
4.2 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 1 4.3 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 2
4 4.5 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 4 54
CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
5.1 Respuesta a las preguntas de investigación 63 5.2 Alcances y limitaciones del trabajo de investigación 64 5.3 Resultados del trabajo de investigación
5.4 Propuestas a futuro 5.5 Reflexiones finales
65 67 68
REFERENCIAS 70
APÉNDICES
Apéndice A. Transcripción de la videograbación de la tarea 1 75
Apéndice B. Transcripción de la videograbación de la tarea 2 83
5 CAPITULO I
Problema de investigación
1.1 Introducción
Si bien es cierto que “una imagen vale más que mil palabras” posiblemente una imagen animada e interactiva vale más que un millón. Quizá no sea para tanto, pero la posibilidad de mover las figuras y experimentar con ellas, “ver qué pasa si…”, contribuye decisivamente a la construcción de una forma matemática de pensar. Con el uso de las tecnologías digitales se pueden producir gráficas, realizar operaciones simbólicas y procesar datos de forma casi instantánea. Los estudiantes necesitan entonces enfocarse en aprender cómo interpretar las representaciones inmersas en un medio tecnológico y cómo utilizar la tecnología de forma eficiente en la resolución de problemas (NCTM, 2000).
En esta línea de ideas, el propósito de esta investigación consiste en determinar en qué medida el uso de herramientas digitales, particularmente un Sistema de Geometría Dinámica (SGD), en la solución de problemas de máximos y mínimos, puede favorecer el desarrollo de diversos aspectos del pensamiento matemático tales como la disposición para explorar relaciones matemáticas, formular conjeturas, experimentar, justificar, razonar y comunicar resultados, en estudiantes de nivel bachillerato. Es decir, qué formas de razonamiento se promueven entre los estudiantes cuando resuelven este tipo de tareas utilizando Geogebra.
El interés por los problemas de máximos y mínimos radica en que el entendimiento del cambio y la variación es central en el aprendizaje de las matemáticas, ya que conocer cómo cambian de forma conjunta dos cantidades es fundamental para modelar fenómenos naturales y sociales, y en consecuencia comprender el mundo que nos rodea, y con base en ese conocimiento sustentar la toma de decisiones. Algunos de tales fenómenos son: el crecimiento de poblaciones, las fluctuaciones económicas o la propagación de enfermedades.
6 establecerse. El rey accedió a la petición y le propuso quedarse con la extensión de tierra que pudiera ser abarcada con la piel de un buey. Entonces, Dido cortó la piel en finas tiras que unió por sus extremos, trazó una semicircunferencia tomando como diámetro una sección de la costa. Con el territorio abarcado con la tira de piel de buey fundó la ciudad de Cártago. La leyenda anterior es el referente más antiguo del problema isoperimétrico clásico, el cual consiste en encontrar entre todas las curvas cerradas planas de idéntico perímetro, aquella que encierra la mayor área. Aunque los griegos conocían que la respuesta era la circunferencia, la demostración de este resultado fue obtenida hasta el siglo XIX por Jacob Steiner (Herrero-Piñeiro, 2012).
De acuerdo con Malaspina-Jurado (2012), en la vida cotidiana tenemos que resolver diversos problemas que involucran la obtención de máximos y mínimos: al buscar el mejor camino para ir de un lugar a otro; cuando deseamos adquirir algún artículo en función de su precio; al buscar la mejor ubicación cuando asistimos a un concierto, al cine o al teatro; al elegir el mejor plan de telefonía celular; al determinar la AFORE que nos proporciona mejores rendimientos y comisiones más bajas, etcétera.
En la vida cotidiana aparecen constantemente los problemas de máximos y mínimos, de lo “mejor” y lo “peor”. Muchos problemas de importancia práctica se presentan de esta manera, por ejemplo, ¿qué forma debe dársele a una lancha para que ofrezca la menor resistencia posible en el agua? ¿Qué recipiente cilíndrico hecho de una cantidad dada de material tiene un volumen máximo? (Courant y Robbins, 2006, p. 367)
La naturaleza es la principal fuente de la que disponemos para observar procesos de optimización. Por ejemplo, Darwin mostró, mediante la realización de experimentos que involucraron el uso de planchas de cera coloreadas, que las abejas construyen panales que maximizan los beneficios, dado el esfuerzo de construcción. “Las abejas necesitan miel para producir cera. A su vez, obtener miel les exige esfuerzo. Por consiguiente, las que mejor utilizan la cera están mejor adaptadas que otras” (Ruse, 2008, p. 38).
7 En lo que respecta al uso de la tecnología, se ha documentado que el emplear de forma sistemática y coordinada diferentes tecnologías digitales puede apoyar el desarrollo de nuevas formas de aprender, las cuales emergen del dinamismo para operar las representaciones que se construyen en los Sistemas de Geometría Dinámica (Cabri, Geogebra, entre otros), los Sistemas de Álgebra Computacional (Computer Algebra Systems, CAS), o el software enfocado en el aprendizaje de la probabilidad y la estadística (Probability Explorer y Fathom). Mediante el uso de las tecnologías digitales es posible utilizar una amplia gama de representaciones y relacionarlas de forma que el cambio en una de ellas se refleje de forma casi instantánea en el resto de las representaciones, lo anterior resulta relevante porque se ha obtenido evidencia de que el uso de diversas representaciones durante la resolución de problemas es un elemento que puede apoyar el desarrollo de una forma matemática de pensar entre los estudiantes (Brenner et al., 1997).
En algunas instituciones educativas de nivel medio superior en el Estado de México se introdujo el software DERIVE, en el año 2001, como un complemento para apoyar el aprendizaje de las matemáticas. El uso de esta herramienta se implementó a través de un taller al cual asistían únicamente unos cuantos estudiantes y donde se resolvían ejercicios rutinarios, tales como factorizar expresiones algebraicas o trazar gráficas de funciones, tareas que son resueltas por la herramienta al introducir la expresión algebraica correspondiente y seleccionar la opción apropiada del menú. Ante esta situación, el software se dejó de utilizar muy pronto, ya que las tareas no favorecieron el que los estudiantes llevaran a cabo una actividad matemática relevante.
8 Respecto de la importancia del uso de la tecnología en el aprendizaje de las matemáticas, algunas propuestas curriculares de carácter internacional como los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM), destacan que las calculadoras y computadoras son herramientas esenciales para la enseñanza, aprendizaje y desarrollo de las matemáticas, porque permiten generar imágenes visuales de algunas ideas o conceptos, facilitan la organización y el análisis de datos, además de que son capaces de efectuar cálculos de manera eficiente y precisa (NCTM, 2000).
Como ya se ha mencionado, es importante que el aprendizaje de las matemáticas se lleve a cabo a partir de la solución de problemas que promuevan entre los estudiantes el desarrollo de actividades fundamentales del quehacer matemático, entre las que se encuentran el explorar, experimentar, formular conjeturas, crear o rediseñar problemas (Santos-Trigo, 1997), elaborar justificaciones y comunicar resultados. Así que una pregunta fundamental que debería realizarse y tratar de responder todo profesor de matemáticas es: ¿Qué tipo de actividades son adecuadas para que los estudiantes amplíen sus conocimientos, mediante el desarrollo de diferentes aspectos del pensamiento matemático?
La solución de problemas con el uso de Geogebra en muchas ocasiones puede causar confusión en los estudiantes durante una fase inicial, debido a las diferencias entre las formas de trabajo que se desarrollan en relación con ambientes de papel y lápiz. Sin embargo, la utilización constante de esta herramienta, pudiese propiciar que paulatinamente se vayan internalizando estas nuevas formas de trabajo. Una dificultad al utilizar herramientas digitales durante el aprendizaje de las matemáticas, es que requiere, por parte de estudiantes y profesores, la aceptación de nuevos problemas, estrategias didácticas, organización curricular y el escenario de instrucción. En un ambiente que promueve el uso de las tecnologías digitales deja de ser útil un esquema expositivo y lineal, se requiere en cambio, diseñar actividades de instrucción y experimentar estrategias de enseñanza que faciliten la interacción del estudiante con el conocimiento matemático. Así, desde una perspectiva de resolución de problemas es importante promover que los estudiantes lleven a cabo actividades tales como experimentar, conjeturar, generalizar, justificar, deducir, o reflexionar, que no son comunes en las clases expositivas.
9 herramientas computacionales apoyan el desarrollo de entendimiento matemático porque permiten visualizar relaciones y crear representaciones dinámicas ligadas entre sí, que pueden promover la formulación de conjeturas en forma intuitiva y posteriormente desarrollar procesos de verificación, justificación y comunicación. Este tipo de tecnologías también permiten y facilitan el manejo de datos, así como su procesamiento y la utilización de diversas formas de representación, de forma que la atención de los estudiantes se enfoque en el análisis y la reflexión, más que en la realización de operaciones o procedimientos rutinarios.
1.2 Revisión de la literatura
Los problemas de máximos y mínimos han sido el objeto de estudio de diversas investigaciones. En algunos trabajos se analiza el papel de las representaciones en la resolución de este tipo de problemas (Schoenfeld, 1985) o la relevancia didáctica de utilizar métodos que no hagan uso de herramientas del cálculo diferencial (Niven, 1981; Birnbaum, 1982; Tomás-Blanquer, 2002). En otros trabajos, los problemas de máximos y mínimos se han analizado en el contexto más general del aprendizaje del concepto de función, ya que este concepto no puede separarse de la idea de dependencia, de la observación de la variación mutua de objetos y las dependencias entre diferentes representaciones (Lagrange y Artigue, 2009). Los problemas de máximos y mínimos también se han utilizado como un medio para analizar el entendimiento de los estudiantes del concepto de derivada (Kosić-Jeremić, 2012; Brijlall y Ndlovu, 2013).
Otras investigaciones han utilizado problemas de máximos y mínimos para determinar si los sistemas de álgebra computacional realmente incrementan la capacidad de los estudiantes para pensar matemáticamente (Han y Chang, 2007). Existen también algunas aproximaciones en las cuales se analiza la forma en que los estudiantes entienden la relación entre dos atributos de una figura, uno de los cuales cambia y otro permanece constante, en el contexto del tejido de redes (Rickard, 2005).
(González-10 Astudillo, 2004; González-Astudillo y Sierra-Vázquez, 2004). Existen pocos trabajos que analicen los procesos mentales o formas de razonamiento que llevan a cabo estudiantes o profesores al resolver problemas de máximos o mínimos, entre estos trabajos se puede señalar el desarrollado por Brijlall y Ndlovu (2013), quienes exploraron las construcciones mentales que llevan a cabo estudiantes de grado 12 (tercer grado de bachillerato), cuando abordan problemas de optimización, considerando como marco la teoría APOS (Dubinsky y McDonald, 2001).
1.3 Planteamiento del problema, objetivos y preguntas de investigación
Los docentes frente a grupo son quienes se enfrentan día a día con la problemática de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Al enseñar matemáticas, es posible darse cuenta que la mayoría de los estudiantes no muestran interés por aprender la disciplina, o que sus conocimientos previos están integrados por hechos factuales aislados, lo cual limita el que puedan construir nuevos conocimientos estrechamente articulados entre sí y con sus conocimientos previos. En este contexto, surge la pregunta de ¿cuál es el nivel de responsabilidad de los docentes en esa falta de interés? Es un hecho que la actividad que lleva a cabo el docente en el salón de clase es fundamental para la formación de los estudiantes, ya que es quien diseña las actividades y el ambiente que puede promover el proceso de aprendizaje.
En general, en el área de matemáticas se ha priorizado la mecanización y memorización como objetivos del aprendizaje. Esto ha propiciado que los estudiantes no cuenten con las herramientas que les permitan construir significado para las ideas o conceptos matemáticos, y que durante el proceso de resolución de problemas cometan muchos errores, ya que no tienen medios para determinar si la solución es correcta o incluso plausible. Por ejemplo, se tiene evidencia de que estudiantes que cursan el primer semestre de ingeniería suman numeradores y denominadores para obtener el resultado de la suma de 1/2 + 1/3, es decir, aplican de forma incorrecta el algoritmo para sumar fracciones, y no cuentan con estrategias metacognitivas que les permitan determinar si la solución de un problema es correcta, ya sea al pensar en términos geométricos o de estimación.
11 generalidad y validez de las afirmaciones matemáticas, además de ser los medios que permiten el avance de la disciplina (D’Ambrosio, 2013). Todos estos aspectos de las matemáticas son especialmente sensitivos al tipo de medios y sistemas de representación que se utilizan. Así, el objetivo general de este trabajo consiste en caracterizar las formas de razonamiento que llevan a cabo estudiantes de bachillerato al resolver problemas de máximos y mínimos en un ambiente de papel y lápiz y en un ambiente dinámico proporcionado por un SGD.
Objetivos específicos
1. Determinar las dificultades que presentan los estudiantes del centro de bachillerato No. 2 Lic. Carlos Pichardo, Tecámac en los procesos de solución de problemas de máximos y mínimos.
2. Caracterizar el proceso de razonamiento que emplean los estudiantes del centro de bachillerato No. 2 Lic. Carlos Pichardo, Tecámac al resolver problemas de máximos y mínimos en un ambiente estático (lápiz y papel) y en un ambiente dinámico (Geogebra).
Preguntas de investigación
¿Cuáles son las dificultades que presentan los estudiantes del centro de bachillerato No. 2 Lic. Carlos Pichardo, Tecámac en los procesos de solución de problemas de máximos y mínimos?
12
CAPITULO II
Marco conceptual
2.1. Marco Conceptual
El marco conceptual de este trabajo está estructurado en torno a una concepción sobre la naturaleza de las matemáticas y, en consecuencia, una visión de lo que significa enseñar y aprender la disciplina basada en la resolución de problemas. Además se consideran los siguientes elementos: (a) Fases del proceso de resolución de problemas y variables que impactan en este proceso, (b) una caracterización de las formas de razonamiento, (c) el impacto de las tecnologías digitales durante la resolución de problemas.
2.2. Resolución de problemas
La resolución de problemas es una aproximación en la que se considera a las matemáticas como la ciencia de los patrones, es decir, una disciplina cuyo objetivo es identificar y analizar los patrones que se encuentran en el mundo natural o en el mundo de las ideas (Steen, 1988; Devlin, 2000). Asimismo, el aprendizaje se concibe como una actividad en la cual los estudiantes desarrollan procesos cognitivos similares a aquellos llevados a cabo por los matemáticos profesionales durante la creación de nuevo conocimiento disciplinar, es decir, el objetivo de la instrucción es que los estudiantes desarrollen formas matemáticas de pensar, lo cual involucra explorar relaciones entre objetos matemáticos, formular conjeturas y justificarlas, comunicar resultados y crear nuevos problemas. En esta línea de ideas, la construcción de una forma matemática de pensar incluye el desarrollo de una actitud inquisitiva, esto es, la habilidad de problematizar las actividades, al considerar a las tareas o situaciones problemáticas como un conjunto de preguntas que deben de contestarse mediante los recursos que se poseen en un momento determinado.
13 Fase 1. En esta fase el resolutor tiene que comprender el enunciado del problema. ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?
Fase 2. Se diseña, en términos generales y con base en los recursos, una ruta o plan para resolver el problema. ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? ¿Conoce algún problema relacionado con este? ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? He aquí un problema relacionado con el suyo ¿Podría utilizarlo? ¿Podría enunciar el problema de otra forma? ¿Plantearlo en forma diferente nuevamente? ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Más particular? ¿Puede resolver una parte del problema? ¿En qué medida la incógnita queda determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puede deducir algún elemento útil de los datos? ¿Pensar en otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario?
Fase 3. Ejecución del plan. Al ejecutar el plan de la solución es importante comprobar cada uno de los pasos. ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede usted demostrarlo?
Fase 4. Visión retrospectiva: Consiste en reconsiderar la solución, reexaminar el resultado o el camino que condujo a ella. Algunas preguntas que pueden resultar útiles durante esta fase son: ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro problema? El profesor debe tratar de que el estudiante comprenda que ningún problema puede considerarse completamente terminado, que siempre queda algo por hacer. Por ejemplo, se puede formular un problema nuevo o tratar de extender los resultados derivados del proceso de solución.
14 adquiridos previamente” (Polya, 2005, pág. 30). Algunas de las heurísticas más relevantes mencionadas por Polya son:
Resolución por analogía. Consiste en identificar objetos análogos, es decir objetos que concuerdan en ciertas relaciones entre sus respectivos elementos, por ejemplo, un paralelogramo rectangular es análogo a un paralelepípedo rectangular.
Descomponer y recomponer el problema. Consiste en examinar los elementos principales del problema como son, la incógnita, los datos y la condición. Si el problema es demasiado difícil, es necesario el descomponerlo minuciosamente y examinar los detalles, después de descomponer el problema, tratar de recomponer sus elementos de un modo diferente combinándolos en un problema nuevo, más accesible y del que nos podamos valer, dado el caso, como de un problema auxiliar.
Dibujar una figura. Una figura puede ayudar considerablemente a comprender un problema y avanzar en el proceso de solución. Por ejemplo, se sugiere dibujar “una figura hipotética suponiendo la condición del problema totalmente satisfecha”.
Generalizar. La generalización consiste en pasar del examen de un objeto, al examen de un conjunto de objetos; o pasar del examen de un conjunto limitado de objetos al de un conjunto más extenso. La generalización se puede lograr al variar un poco los datos, y observar regularidades que permitan pasar de datos concretos a valores generales. La generalización puede ser muy útil pasando de un problema “numérico”, con valores determinados, a un problema “literal” cuyos datos son incógnitas, se accede a nuevos procedimientos, se pueden variar los datos y se pueden verificar los resultados de diversos modos. Un ejemplo sería: “De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de 10 cm de diámetro, cuál es el de área máxima”, después de analizar los datos y obtener la solución, el problema se puede generalizar variando el valor del diámetro o bien omitiendo el diámetro de la circunferencia y observar que el rectángulo de área máxima es el cuadrado independientemente de las medidas de sus lados.
15 numeración que utilizamos en la actualidad tiene grandes ventajas con respecto al sistema utilizado, por ejemplo, por los romanos.
Particularización. Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a la consideración de un conjunto más pequeño, o incluso de un solo objeto, contenido en el conjunto dado.
Problema auxiliar. Es un problema que puede ayudarnos a resolver el problema original. El imaginar tal problema auxiliar es una operación importante de la mente.
Un siguiente avance en la estructuración del marco de resolución de problemas fue llevado a cabo por Schoenfeld (1985), quien se dio cuenta que la poca aplicabilidad práctica de las sugerencias de Polya radicaba en su generalidad. De este modo se identificó la importancia de ejemplificar las heurísticas en diversos contextos particulares. Por otra parte, Schoenfeld identificó cuatro categorías que influyen en el proceso de solución de un problema: (a) los recursos, (b) las heurísticas, (c) el control y (d) el sistema de creencias.
Recursos. Son el cuerpo del conocimiento que un individuo posee y que es capaz de aplicar en una situación matemática particular. Se refiere a los conocimientos, los hechos, y los procedimientos que posee el individuo. Lo que un individuo es capaz de poder hacer durante la resolución de un problema depende de los conocimientos previos que posee. Por esta razón es importante que el profesor conozca cómo un estudiante accede y maneja este inventario de recursos. Los recursos no sólo incluyen a los conceptos o procedimientos correctos, sino también aquellos conocimientos, ideas o aprendizajes erróneos, por ejemplo, alguna fórmula o procedimiento mal aprendido o el uso de un algoritmo que no es viable de utilizar en una situación o contexto particular. El profesor al proponer un problema a sus estudiantes generalmente menciona que la solución es muy fácil y se olvida de que los estudiantes no tienen el mismo bagaje de recursos que él, y también deja de lado las dificultades a las que se enfrentó cuando resolvió ese problema por primera vez.
Heurísticas. Es el conjunto de estrategias y técnicas útiles para resolver problemas que conocemos y podemos aplicar. Las heurísticas de Polya son muy generales y por eso no pueden ser implementadas fácilmente, por lo que habría que conocerlas, saber cómo usarlas y tener la habilidad para hacerlo en contextos o situaciones específicos.
16 camino es el adecuado o bien si se está metiendo en un callejón sin salida, y en consecuencia retroceder e intentar por otra vía la solución.
Sistema de creencias. Es cómo los estudiantes perciben lo que son las matemáticas, el aprendizaje y la resolución de problemas. Las creencias sobre las matemáticas influyen notablemente en la forma como los estudiantes e incluso los profesores abordan la solución de un problema, lo que se piense de un problema incide incluso en el tiempo que se le dedique a la solución, las creencias que tienen las personas representan un obstáculo para el aprendizaje.
2.3 Razonamiento matemático
Otro elemento básico para el desarrollo de este trabajo lo constituye el marco para analizar el razonamiento propuesto por Lithner (2008), para quien uno de los objetivos de la educación matemática es que los estudiantes entiendan matemáticas; sin embargo, las aproximaciones didácticas más comunes sólo promueven el desarrollo de formas de razonamiento memorístico (Hiebert 2003, Lithner 2008). El proceso de instrucción debe brindar a los estudiantes oportunidades para que resuelvan problemas o situaciones problemáticas que les permitan no sólo buscar respuestas o explicaciones, sino también reflexionar en torno al significado y formas de razonamiento asociados con la solución de esos problemas, es decir, el aprender matemáticas debe enfocarse en el desarrollo de habilidades, actitudes y formas de pensar que privilegien la comunicación de ideas y la reflexión en torno a ideas matemáticas relevantes. "La gente que razona y piensa analíticamente tiende a notar patrones, estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real y los objetos simbólicos; se preguntan si los patrones son accidentales o si ocurren por una razón; y conjeturan y prueban " (NTCM 2000, p. 56).
Para Lithner (2008) el razonamiento es la línea de pensamiento que se sigue al producir afirmaciones y obtener conclusiones al resolver problemas. No necesariamente se basa en lógica formal, e incluso la afirmación puede ser incorrecta, mientras haya algunos tipos de razón o razones sensatas que respalden esta línea de pensamiento.
2.3.1 El aprendizaje memorístico
17 y procedimientos es un aspecto central del quehacer matemático. El problema aparece cuando el aprendizaje de memoria domina como única forma de conocimiento, ya que no permite desarrollar otras competencias centrales como la capacidad de resolución de problemas y la comprensión conceptual.
De acuerdo con Lithner (2008) se pueden distinguir dos tipos de razonamiento: el razonamiento imitativo y el razonamiento creativo.
2.3.2 Razonamiento imitativo: existen dos tipos principales de razonamiento imitativo, los cuales son, razonamiento memorístico y razonamiento algorítmico.
a) Razonamiento memorístico (MR): En el razonamiento memorístico la estrategia para resolver un problema consiste en recordar una respuesta previa, mientras que la implementación de la estrategia se reduce a escribir dicha respuesta memorizada. La solución de cualquier problema requiere de recordar hechos o procedimientos, sin embargo en este tipo de razonamiento el recuerdo es la parte central del proceso de solución. Considerada como una estrategia general es útil sólo en algunos tipos de tareas como las que piden expresar hechos ("¿Cuántos cm3 tiene un litro?"), definiciones ("¿Qué es un polinomio?"), y algunos tipos de demostraciones.
b) Razonamiento algorítmico (AR): Normalmente en las tareas escolares se solicita realizar cálculos cuya realización requiere recordar y ejecutar un algoritmo. "Un algoritmo es una secuencia finita de pasos que permite a uno encontrar un resultado definido para una determinada clase de problemas " (Brousseau 1997, p. 129). En el razonamiento algorítmico (AR) la elección de la estrategia consiste en recordar un algoritmo y la forma de implementarlo, sólo un error durante el proceso de implementación puede impedir que se obtenga la respuesta correcta del problema.
2.3.3 Razonamiento creativo
18 i) Novedad: Se crea una nueva secuencia del razonamiento en la solución, o una secuencia olvidada se vuelve a reconstruir. Imitar una respuesta o un procedimiento de solución no está incluido en el razonamiento creativo.
ii) Flexibilidad: Se admiten diferentes enfoques y adaptaciones a la situación. No sufre de una fijación que impida el progreso.
iii) La plausibilidad: Hay razones que apoyan la argumentación en la elección de la estrategia y/o aplicación de la estrategia, motivar por qué las conclusiones son verdaderas o plausibles. Esto significa que, conjeturas vagas o intuiciones no se consideran, ni tampoco razones de tipo afectivo.
iv) Fundamentación matemática: La argumentación se basa en las propiedades matemáticas intrínsecas de los elementos que intervienen en el razonamiento.
2.4. Papel de las tecnologías digitales en la resolución de problemas
La presencia de las tecnologías digitales en el medio educativo ha cambiado la forma de interactuar en el salón de clase (English, 2011; Roschelle et al., 2000). Ante la amplia disponibilidad y creciente sofisticación de las herramientas computacionales, las prácticas en el salón de clase y los modelos pedagógicos necesitan adaptarse a estos cambios. La aparición de nuevas herramientas ha traído consigo la necesidad de que los egresados de las universidades desarrollen un número significativo de nuevas competencias (English et al., 2008), como son: (a) habilidades de resolución de problemas, incluyendo el trabajo en equipos multidisciplinarios, (b) diseño, análisis, manejo, explicación y predicción del comportamiento de sistemas complejos, (c) selección, operación, análisis y transformación de conjuntos complejos de datos, (d) desarrollo de habilidades personales e interpersonales, como la comunicación, planteamiento de objetivos, trabajo en grupos, y liderazgo (English, 2011; English et al., 2008).
19 depende del tipo de herramientas que utilicemos al resolver un problema o abordar una situación problemática.
Las tecnologías digitales pueden constituirse en amplificadores de la cognición en el sentido de que pueden potenciar ciertas capacidades, por ejemplo, con el uso de la tecnología se pueden construir familias de figuras geométricas que comparten ciertas características de manera más eficaz, asimismo, se pueden analizar datos o realizar operaciones algebraicas con mayor rapidez y eficiencia. Sin embargo, cuando una tecnología digital actúa como amplificador no se producen cambios esenciales en la estructura fundamental que subyace la realización de alguna tarea. En términos simples, la metáfora de las herramientas como amplificadores implica hacer lo mismo que sin ellas, de forma más eficiente pero sin que se cambien los objetos y las tareas sobre las que trabajamos. Por ejemplo, una lupa actúa como un amplificador de la visión humana.
Por otra parte, las tecnologías digitales pueden actuar también como reorganizadores cognitivos, es decir como medios que favorecen la reestructuración de los procesos del pensamiento que nos permiten trascender las limitaciones impuestas por los mecanismos biológicos (Moreno-Armella, 2001). Por ejemplo, el lápiz y el papel son más que amplificadores de la memoria (Pea, 1987), ya que al escribir se llevan a cabo procesos mentales que difieren del simple recuerdo. Una analogía del proceso de reorganización se puede establecer entre el uso del microscopio y la visión, ya que esta herramienta permite acceder a un nivel de realidad diferente de aquel al que podemos acceder únicamente a través de la vista. Es importante destacar que la amplificación y reorganización cognitiva no son procesos separados y es posible que se presenten de forma simultánea o paralela. El uso de las tecnologías digitales como reorganizadores implica un movimiento desde el hacer hasta el planear. Al utilizar una hoja de cálculo, por ejemplo, se puede implementar un modelo y posteriormente realizar cambios en los valores iniciales con el objetivo de comprender el funcionamiento del modelo. Los cálculos se dejan a la hoja de cálculo, mientras el usuario planifica el modelo y establece las conexiones entre las celdas (Fuglestad, 2007)
20 tecnología, durante la resolución de problemas, modifica cualitativamente sus formas de pensamiento (Goos, Galbraith, Renshaw y Geiger, 2003).
Lo mencionado en párrafos previos se resumen en un principio denominado principio de mediación instrumental, el cual establece que todo acto cognitivo está mediado por un instrumento que puede ser material o simbólico (Wertsch, 1993), lo cual quiere decir, que no hay actividad cognitiva al margen de la actividad representacional (Moreno-Armella, 2001). El hecho de que las acciones cognitivas estén mediadas por los instrumentos tiene como consecuencia que el conocimiento esté estrechamente ligado con tales instrumentos o herramientas mediante las cuales se produjo.
2.5 Articulación de los constructos teóricos en la construcción del marco
La resolución de problemas es una base fundamental en el aprendizaje de las matemáticas. En este proceso, el estudiante tiene la oportunidad de desarrollar habilidades para aplicar fórmulas, utilizar procedimientos y formular conjeturas. La aplicación correcta de los recursos y la elección adecuada de las estrategias de solución influyen de manera importante para la obtención de una solución de los problemas planteados.
Durante el proceso de solución se pueden monitorear los avances y la efectividad de las estrategias utilizadas, si se obtiene una solución, evaluar si ésta tiene sentido en términos de las condiciones expresadas en el enunciado del problema.
El diseño e implementación del plan son dos fases que van de la mano ya que se realiza un análisis conjunto de ambas en el proceso de solución, esto porque los estudiantes deben probar y replantear sus ideas si lo consideran necesario, aplicar estrategias y si estas no le son útiles, abandonarlas y buscar otro camino de solución redefiniendo cada vez que lo consideren necesario.
Los elementos que integran el marco conceptual se basan en el proceso de la resolución de problemas.
Bajo este esquema intervienen las cuatro fases de la solución de problemas implementadas por Polya y complementadas por Schoenfeld así como las heurísticas o estrategias de solución
21 problema o tarea se aborde en un ambiente de papel y lápiz o al utilizar el software de geometría dinámico.
Una vez identificados estos elementos, es necesario estructurar un plan para la solución de la tarea, considerando los elementos iniciales con que cuenta, es decir, que es lo que se pide en el problema.
22
CAPITULO III
Metodología
3. 1. Introducción
Este estudio es de carácter cualitativo, ya que interesa documentar las cualidades del proceso seguido por los estudiantes al enfrentar y resolver problemas, particularmente se busca identificar la estructura profunda de un problema, lo cual se refiere a la percepción lograda por los estudiantes de los elementos o componentes clave que intervienen en su solución. El atender a la estructura profunda de los problemas implica reflexionar sobre la información proporcionada, el tipo de preguntas planteadas y las rutas potenciales de solución (Santos-Trigo, 1997). Es importante destacar que no interesa cuantificar el número de estudiantes que resolvió correctamente cada problema, sino categorizar el proceso de razonamiento seguido por los estudiantes al abordar las tareas propuestas, centrando la atención en la forma en que los estudiantes dan sentido a los datos del enunciado, además de cómo formulan, implementan y revisan la estrategia de solución. Por ejemplo, un estudiante puede repetir o reformular lo que se requiere encontrar, pero ser incapaz de usar o dar sentido a esa información durante el proceso de solución (Santos-Trigo, 1996).
23 3.2. Las tareas
En este trabajo se utilizaron problemas de máximos y mínimos que se pueden resolver por más de un camino. Los problemas propuestos se eligieron de tal forma que los estudiantes puedan efectuar un análisis antes de proporcionar una respuesta, se eligió el programa interactivo Geogebra para discutir la posible solución en grupo y las sesiones se videograbaron, posteriormente se transcribieron los videos y se resumió la información, con la finalidad de identificar las características de los procesos de razonamiento de cada uno de los participantes, así como las heurísticas y formas de razonamiento utilizadas.
Un ejemplo de los problemas utilizados en la fase piloto de la investigación es el siguiente: De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia, ¿cuál es el de mayor área?
Se pide que los estudiantes construyan su figura con el uso de herramientas como el lápiz, regla, compás y papel.
Se les cuestiona sobre qué es lo que determinan en cuanto al área máxima y si se pueden auxiliar de algunos trazos, también en cuanto a cómo perciben la figura y qué relación tiene con el diámetro de la circunferencia, etcétera, con el fin de orientarlos hacia la posible solución.
24 desarrolladas por el estudiante, las deficiencias presentadas por los mismos al momento de resolver los problemas planteados en cada una de las tareas que finalmente se reforzarán con el análisis de las videograbaciones. Posteriormente se utilizó el software de geometría dinámica con el programa Geogebra y se observó el efecto sobre las estrategias de solución, promovido por las facilidades que ofrece la herramienta para cambiar los parámetros, se realizó una discusión grupal y se anotaron todos los resultados del proceso observando cuantos estudiantes se aproximaron a la solución del problema.
Los problemas que abordaron los estudiantes son:
1. De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia, ¿cuál es el de mayor área?
2. Encontrar el rectángulo de área máxima inscrito en un cuadrado dado, los vértices del rectángulo deben estar sobre los lados del cuadrado y los lados a 45º.
3. Se levantan dos perpendiculares al diámetro de una semicircunferencia. Trazar una tangente de tal forma que el trapecio rectángulo formado tenga área mínima.
4. De todos los triángulos de perímetro constante y con la misma base, encontrar el de área máxima.
Los problemas fueron seleccionados considerando que el grado de dificultad sea acorde al nivel de estudio de los estudiantes de bachillerato, estos se encuentran actualmente cursando el sexto semestre de bachillerato, por lo tanto han cursado cálculo, además los conocimientos previos requeridos han sido abordados en cursos anteriores de matemáticas tanto en secundaria como en bachillerato.
3.3. Participantes en la investigación
25 pensamiento algebraico y de funciones, pensamiento trigonométrico, pensamiento geométrico y analítico y pensamiento del cálculo diferencial (actualmente cursan pensamiento de cálculo integral). Estos estudiantes ya cursaron la materia de cálculo diferencial, por lo que se han enfrentado a la solución de problemas de máximos y mínimos utilizando las herramientas de cálculo.
Cabe mencionar que ninguno de los estudiantes había usado el programa interactivo Geogebra por lo que se les tuvo que impartir un breve curso introductorio en el uso de este software para que posteriormente no tengan dificultades en la solución de sus ejercicios utilizando Geogebra.
Cada uno de los estudiantes seleccionados se identifica mediante una letra mayúscula del alfabeto para el análisis de las videograbaciones, (estudiante A, B, C, D). Se analizará el proceso de implementación de tareas no rutinarias que puedan permitir a los estudiantes adquirir procesos de razonamiento matemático y, con el empleo de tecnologías digitales como herramientas computacionales, puedan reforzar sus estrategias de resolución de problemas mediante el uso de heurísticas, además de desarrollar una forma de trabajo donde constantemente busquen y examinen diferentes tipos de relaciones, planteen conjeturas, utilicen diferentes sistemas de representación, establezcan conexiones, empleen argumentos y puedan comunicar sus resultados.
3.4 Características y análisis preliminar de las tareas
Se buscó que las tareas promovieran la participación del estudiante mediante la resolución de problemas, esto incluye las siguientes actividades.
a) Introducción a la tarea. El profesor reúne al grupo y explica detenidamente en qué consiste cada una de las tareas a realizar.
b) Realización de la tarea. Esta se presenta en dos momentos, cuando el estudiante resuelve el problema a papel y lápiz, se le da un determinado tiempo para sus solución, este proceso lo realiza de forma individual, el segundo momento es cuando el estudiante lleva a cabo la solución utilizando el programa interactivo Geogebra, esto se realiza en parejas y de igual forma se les da un tiempo en la solución de la tarea.
26 retroalimentar el proceso, en cuanto a la solución con el software, este se presenta al docente paso a paso y de igual forma se retroalimenta el proceso.
d) Análisis de resultados. Los procesos de solución en todo momento serán videograbados, esto con la finalidad de analizar la forma en que cada estudiante abordó sus soluciones en cada una de las tareas, tanto a lápiz y papel como con el software.
e) Presentación de resultados. En este punto se trata de caracterizar los aspectos más importantes del razonamiento empleado por cada estudiante en la solución de las tareas así como observar las dificultades a las que se enfrentarán.
f) Descripción de las sesiones. Se llevan a cabo ocho sesiones, cuatro para la solución de las tareas a lápiz y papel y cuatro para la solución utilizando Geogebra. Dentro de las primeras cuatro sesiones, se tomaron ocho videograbaciones, esto es porque se dividió cada videograbación en dos partes, una durante el proceso de solución y la segunda durante el proceso de exposición de la solución, en las siguientes cuatro sesiones, tanto la solución del problema como la presentación de los resultados se videograbaron en una sesión para cada situación problemática. Los tiempos y el número de participantes en cada sesión se describen de la siguiente manera:
Solución de las tareas utilizando papel y lápiz
Sesión 1: 10 participantes, duración de la sesión; 48 minutos. Sesión 2: 10 participantes, duración de la sesión; 44 minutos. Sesión 3: 9 participantes, duración de la sesión; 37 minutos. Sesión 4: 7 participantes, duración de la sesión; 46 minutos.
Análisis final: Cuatro participantes de manera individual.
Solución de las tareas con el uso del software dinámico de geometría Geogebra
Sesión 5: 2 participantes, duración de la sesión; 9 minutos. Sesión 6: 2 participantes, duración de la sesión; 12 minutos. Sesión 7: 2 participantes, duración de la sesión; 10 minutos. Sesión 8: 2 participantes, duración de la sesión; 12 minutos.
Análisis final: Cuatro participantes en parejas.
27 3.4.1 Tarea 1: Encontrar el rectángulo de área máxima inscrito en un cuadrado dado, los vértices del rectángulo deben estar sobre los lados del cuadrado y los lados a 45º.
En este caso se espera que el estudiante pueda efectuar sus conjeturas al trazar primero en lápiz y papel sus figuras, se les proporcionan las herramientas necesarias para sus trazos y se les da un tiempo razonable para su construcción, y después de construir la misma figura en Geogebra, observar el comportamiento al mover los trazos. Se pretende que el estudiante pueda calcular y aproximar valores apoyándose en los correctos trazos de su figura dentro de un cierto rango y sugerir la forma de la figura óptima.
Solución.
fig. 1
28 fig. 2
3.4.2 Tarea 2: Se levantan dos perpendiculares al diámetro de una semicircunferencia. Trazar una tangente de tal forma que el trapecio rectángulo formado tenga área mínima. En este problema, el nivel de conocimientos que debe poseer el estudiante es mayor ya que se utilizan conceptos como; semicircunferencia, tangencia, trapecio rectángulo, perpendicularidad y paralelismo, el estudiante al identificar lo anterior, se dará una mejor idea de que es lo que se busca en la solución del problema por lo que se espera que, en base a ciertas comparaciones y sin usar demasiados cálculos algorítmicos, observe y se aproxime a la solución óptima con argumentos sólidos que permitan que su conjetura sea la adecuada.
29 trapecio cuya área es mínima, de paso se observa también que el perímetro del rectángulo ABHG también es mínimo.
fig. 1
3.4.3 Tarea 3: De todos los rectángulos inscritos en un círculo dado. ¿Cuál es el que tiene área máxima?
La solución es muy parecida a la del problema de la tarea 1, sin embargo aquí el estudiante debe en su momento de auxiliarse de algunos trazos que dividan el rectángulo inscrito en dos triángulos, si se logra esta aproximación, el estudiante deberá de ser capaz de argumentar que al trazar la diagonal en el rectángulo se forman dos triángulos de los cuales los que tengan mayor altura serán los que hagan que el rectángulo sea de área máxima y que este rectángulo es el cuadrado, por lo tanto su conjetura se aproximará a la solución correcta.
30 altura h1 va creciendo hasta que se convierte en la altura h, después del punto g, la altura h1 decrece nuevamente (fig. 2).
fig. 1 fig. 2
Por lo tanto podemos afirmar lo siguiente: El cuadrado inscrito tiene área mayor que la de cualquier otro rectángulo inscrito. Los triángulos que forman la mitad del cuadrado y del rectángulo tienen la misma base, pero la altura del triángulo del cuadrado (h) es mayor que la altura del triángulo del rectángulo (h1).
3.4.4 Tarea 4: De todos los triángulos de perímetro constante y con la misma base, encontrar el de área máxima.
Aquí, la dificultad mayor es identificar el comportamiento de las alturas en cada triángulo. Se espera que el estudiante pueda dividir en casos particulares la solución de esta tarea y de igual forma, comparar y argumentar en base a sus observaciones que el triángulo con área máxima es el que tiene mayor simetría, si esto se logra su conjetura lo aproximará a la mejor solución.
31 esto es, cuando los segmentos AC y BC son iguales. La figura 3 muestra lo explicado, cuando movemos C y se aproxima al punto F, la altura del triángulo AFB (h1) es mayor que la altura del triángulo ACB (h2), y la altura del triángulo AGB (h) es todavía mayor que las alturas anteriores. Si seguimos moviendo el punto C más hacia la izquierda después del punto G, la altura decrece nuevamente y se corrobora la conjetura anterior.
fig. 1
fig. 2
32 CAPÍTULO IV. RESULTADOS
4.1 Introducción
En este capítulo la tarea se centra en analizar los aspectos más importantes del razonamiento empleado por los estudiantes en la solución de las tareas, identificando las ideas principales, los tipos de estrategias que cada uno de ellos utilizó en la ruta de solución, los argumentos en que basan sus conjeturas, las heurísticas y las dificultades presentadas desde que se introduce a la tarea hasta aproximarse a la mejor solución posible.
4.2 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea1.
Esta tarea fue resuelta por los cuatro estudiantes, sin embargo solo los estudiantes A y B la resolvieron tanto a lápiz y papel así como con Geogebra. Estos estudiantes trabajaron en parejas. El problema a resolver en la tarea 1 es: Encontrar el rectángulo de área máxima inscrito en un cuadrado dado, los vértices del rectángulo deben estar sobre los lados del cuadrado y los lados a 45º.
a) Solución a lápiz y papel por el estudiante A.
33 milimétricamente hacia los lados, obteniendo cada rectángulo con las características descritas anteriormente, el estudiante finalmente concluye que el rectángulo con área máxima es el que fue recorrido a partir del centro a 1.4 cm. de los lados del cuadrado y cuyas medidas son de 2.3 cm por 2 cm, para él, el área máxima es de 4.6 cm2.
Observaciones. El estudiante no utiliza demasiadas estrategias de solución, divide el problema en casos particulares y analiza cada uno de ellos por separado utilizando el algoritmo de solución en el cálculo de las áreas de cada rectángulo, finalmente solo lleva a cabo la comparación entre estas áreas para realizar su conjetura final.
Tabla 1. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 1; Estudiante A Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades
Uso de la diagonal
como referencia Operaciones básicas geométricas Áreas, perímetros
Uso de casos
particulares (separa cada figura).
Resolución por
comparación entre áreas.
34 Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante A en la
resolución de la tarea 1
b) Solución a lápiz y papel por el estudiante B.
Primeramente traza un cuadrado de 8 por 8 cm. con una línea diagonal trazada desde el vértice superior derecho del cuadrado para tomarla como referencia. A partir de esta línea y utilizando la regla coloca dos puntos a medio centímetro del vértice superior derecho, uno en la recta horizontal superior del cuadrado y otro en la recta vertical derecha del mismo. Traza líneas oblicuas desde esos puntos, éstas paralelas a la diagonal de 45º que de igual forma tienen esta inclinación y toma otros dos puntos pero ahora a un centímetro del vértice superior derecho trazando otras dos líneas oblicuas a 45º. Nuevamente toma otros dos puntos pero ahora a centímetro y medio del vértice referido, de igual forma traza sus dos líneas a 45º para cada punto tomado, repite el procedimiento tomando los puntos a 2 centímetros del vértice y construye sus diagonales, por último une los puntos que están a la misma altura con
El estudiante identifica las variables del
problema.
Construye cuadrados de 3*3 cm.
Traza una diagonal en cada cuadrado (la menciona como una
linea a 45º )
Traza los rectángulos inscritos
Toma medidas de los lados en cada rectángulo inscrito Utiliza el algoritmo en el calculo de áreas Analiza y compara las áreas obtenidas
Argumenta que el cuadrado inscrito tiene un área grande
pero que este no es un rectángulo
No identifica la relación
cuadrado-rectángulo
Su conjetura final es que el área máxima es la del rectángulo que más se aproxima
35 segmentos de recta haciendo uso de la regla. Construye los rectángulos inscritos, todos dentro del mismo cuadrado. En todos los casos toma medidas a cada uno de los rectángulos y calcula las áreas, sombrea el rectángulo que desde su punto de vista es el que encierra el área mayor, se presenta en la última imagen. En su conclusión argumenta que el rectángulo con área máxima fue el que tiene medidas de 7cm por 4 cm y cuya área es de 28 cm2. En este caso, las imágenes presentadas en las figuras 1 y 2 fueron tomadas del video de exposición para que se entendiera mejor el procedimiento, la figura 3, que representa el cuadrado original, fue tomada de las hojas que presenta el estudiante en su solución en las hojas a lápiz y papel, donde se muestran la figura final trazada y los cálculos realizados por el estudiante.
fig. 1 fig. 2
fig. 3
36 Tabla 2. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 1; Estudiante B Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades
Uso de la
diagonal como referencia.
Operaciones geométricas básicas
Áreas, perímetros
Utiliza la comparación. No identifica la relación cuadrado rectángulo. Traza pocos rectángulos,
por lo que su
comparación es muy pobre.
Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante B en la resolución de la tarea 1
El estudiante identifica las variables del
problema.
Construye un solo cuadrado de 8*8 cm.
Traza una diagonal en el cuadrado (la menciona como una
linea a 45º )
Toma puntos de referencia para trazar
los rectángulos inscritos a cierta
distancia de los vértices
Une los puntos y traza varios rectángulos inscritos
en el cuadrado Toma medidas de los
lados en cada rectángulo inscrito Utiliza el algoritmo en
el calculo de áreas Analiza y compara las áreas obtenidas
Identifica el de mayor área y lo
ilumina
Solo trazó el cuadrado inscrito y cuatro rectángulos inscritos
No identifica la relación
cuadrado-rectángulo
Su conjetura final es que el área máxima es la del rectángulo
37 c) Solución de la tarea 1 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA, estudiantes A y B.
Trazan un polígono regular que es el cuadrado y marcan sus puntos medios. Uniendo los puntos medios trazan un cuadrado inscrito el cual queda a 45º del cuadrado inicial (fig. 1) y colocan un punto en la parte baja de la línea vertical del lado izquierdo del cuadrado inicial, después trazan una recta que pasa por el punto anterior, la cual es paralela a la recta inferior izquierda del cuadrado inscrito colocando un punto de intersección de la recta trazada anteriormente y la recta inferior del cuadrado original y trazan una recta perpendicular a la recta paralela que habían trazado anteriormente (paralela a la recta inferior izquierda del cuadrado inscrito), de igual forma trazan la recta perpendicular a la misma recta anterior pero ahora utilizando el punto de intersección. Colocan los puntos de intersección de ambas rectas con el cuadrado original, uno en la recta horizontal superior y otro en la recta vertical derecha, trazan el polígono uniendo los cuatro puntos, el punto que colocaron inicialmente y los tres puntos de intersección, y ocultan las rectas paralelas y perpendiculares que habían trazado para que solo queden los polígonos, que en este caso son el cuadrado original, el cuadrado inscrito en el mismo y un rectángulo inscrito también en el mismo ambos a 45º (fig. 2). Le ponen color al cuadrado y al rectángulo inscrito y colocan el valor de las áreas en cada uno de ellos (fig. 3).
fig.1 fig. 2 fig. 3
38 del rectángulo del punto medio, el área del rectángulo es menor. Su conclusión es que el rectángulo de área máxima es el cuadrado de A= 15.25 u2.
fig. 4 fig. 5
Observaciones. Los estudiantes basan sus argumentos con la comparación entre las áreas del cuadrado inscrito a 45º y un rectángulo inscrito que pueden modificar ampliando y reduciendo sus medidas con la ayuda del software, sin embargo aún no les queda claro que el cuadrado es el rectángulo de máxima simetría. Aun así, se permite la observación de las variaciones en las áreas y les da una mayor aproximación a la solución real.
Tabla 3. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 1 usando el programa GEOGEBRA ; Estudiantes A y B.
Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades
El cuadrado inscrito como referencia
Perpendicularidad y
paralelismo.
Punto medio de un segmento. Áreas y perímetros.
Hacen uso de casos particulares al observar la variación entre las áreas. Utilizan la comparación.
No hay problemas en la construcción.
En esta tarea no le ven una utilidad real al programa.
Nota: Los estudiantes argumentan que la tarea con el uso del programa solo les ahorró un poco de tiempo pero que no es relevante para la solución.
39 Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por los estudiantes A y B en la
resolución de la tarea 1 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA
4.3 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea2.
Esta tarea fue resuelta por los cuatro estudiantes, sin embargo solo los estudiantes C y D la resolvieron tanto a lápiz y papel y con Geogebra, en el cual trabajaron ambos en pareja. El ejercicio a resolver en la tarea 2 es: Se levantan dos perpendiculares al diámetro de una semicircunferencia. Trazar una tangente de tal forma que el trapecio rectángulo formado tenga área mínima.
a) Solución a lápiz y papel por el estudiante C
Traza la semicircunferencia con diámetro horizontal y sus dos perpendiculares verticales, trazando una recta paralela al diámetro tangente a la semicircunferencia en el punto central superior formando el rectángulo donde la semicircunferencia queda inscrita en él, después de esto traza una tangente en el lado izquierdo de la semicircunferencia tomando un punto de tangencia arbitrario y marca en la perpendicular izquierda a partir de la recta tangente que forma el rectángulo en forma descendente, varios puntos con separaciones de un milímetro cada una entre ellas, de igual forma marca la perpendicular derecha pero a esta por encima de
Los estudiantes identifican las
variables del problema.
Trazan el cuadrado
Marcan los puntos medios de los lados
del cuadrado
Unen los puntos medios y obtienen el
cuadrado inscrito a 45º del anterior
Marcan un punto A en uno de los lados del cuadrado inicial Trazan una recta que
pasa por el punto A a 45º del cuadrado
inicial Marcan el punto de
intersección B de esta recta con otro de
los lados del cuadrado inicial Trazan dos rectas perpendiculares al segmento AB que pasan por los puntos
A y B
Marcan los puntos de intersección C y D de estas rectas con
los otros dos lados del cuadrado inicial
Trazan el polígono ABCD y ocultan las
rectas anteriormente
trazadas
Le agregan color a los polígonons inscritos (cuadrado verde y rectángulo
azul)
Colocan el valor respectivo de las áreas en cada polígono inscrito y las comparan entre si
Mueven el rectángulo inscrito aproximandolo hacia
las dimensiones del cuadrado inscrito
Observan en que punto de la aproximación se obtiene la máxima área
del rectángulo inscrito
Observan la disminución del área del rectángulo inscrito al pasar su punto
móvil el vértice del cuadrado inscrito hacia el
lado opuesto
Su conjetura final es que el área máxima
40 la tangente que forma el rectángulo. A partir de uno de estos puntos marcados, que de hecho está a 10 mm debajo de la recta tangente que forma el rectángulo, traza otra tangente y en el punto que marcó a un milímetro debajo de la perpendicular izquierda, traza una cuarta tangente, a diferencia de sus compañeros, en todas estas tangentes trazadas utiliza estos puntos de referencia y no puntos sobre la semicircunferencia. Marca cada uno de los trapecios rectángulos formados numerándolos como 1, 2 y 3 respectivamente en el orden en que fueron trazados y las rectas tangentes las marca con colores diferentes, las dos primeras de color azul y la tercera de color verde, calcula las áreas de cada uno de los trapecios, el primero tiene un área de 145.2 cm2, el segundo tiene un área de 79.8 cm2, en el tercero el área es de 51.25 cm2 que corresponde al trapecio rectángulo cuya tangente es de color verde en su dibujo a lápiz y papel. Conjetura que el trapecio rectángulo con el área mínima es el tercero, o sea el que más se acerca al rectángulo (ver figura inferior), argumentando que si subía un poco más el punto de tangencia este trapecio ya iba a ser el rectángulo y que si se pasaba por arriba del rectángulo, entonces obtendría otro trapecio rectángulo con las mismas características pero invertido, sus trazos a lápiz y papel se muestran a continuación.
41 Tabla 4. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 2; Estudiante C Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades
Considera marcar puntos en las rectas perpendiculares. Trazo de las rectas tangentes desde estos puntos. Trapecio.
Operaciones geométricas básicas.
Áreas, perímetros, rectas tangentes.
Utiliza la comparación entre áreas.
Hace uso de la resolución por analogía entre las figuras geométricas.
Utiliza la tangente pero parte desde puntos trazados en la recta paralela y no en la semicircunferencia. No identifica al rectángulo como el trapecio de menor área.
Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante C en la resolución de la tarea 2
b) Solución a lápiz y papel por el estudiante D.
El estudiante traza la semicircunferencia con las dos perpendiculares en los extremos, en este caso son trazos de forma inclinada, dibuja el rectángulo circunscrito a la semicircunferencia. Toma el punto de tangencia del rectángulo y la semicircunferencia como una inclinación a 0º
El estudiante identifica las variables del problema. Traza la semicircunferencia
con su respectivo diámetro
Traza las dos rectas perpendiculares al
diámetro de la semicircunferencia.
Traza una recta paralela al diametro
de la semicircunferencia
tangente al punto superior de la misma
Obtiene un rectángulo circunscrito a la semicircunferencia
Toma puntos de referencia trazados en la
perpendicular izquierda para trazar tres tangentes
a la semicircunferencia Colorea y numera cada una de las tres tangentes, la primera y segunda con color azul y la tercera con
color verde Obtiene tres trapecios rectángulos de diferentes tamaños dependiendo de
la inclinación de las tangentes
Toma las medidas de los lados de cada trapecio rectángulo y
obtiene sus áreas correspondientes
Compara el valor de cada una de las áreas
Argumenta que el rectángulo tiene área
mínima, pero que este no es un trapecio
Su conjetura final es que el área mínima es la del trapecio rectángulo que
42 esto es, en el punto más alto de la semicircunferencia (ver figura 1). Traza tres rectas tangentes a la semicircunferencia en diferentes posiciones cada una, a las que llama ejes, la primera desde la perpendicular superior por encima del rectángulo y las otras dos por debajo del rectángulo. Remarca una de las tangentes con color verde. Borra parte de la semicircunferencia y remarca el triángulo rectángulo que se forma en uno de los trapecios construidos, este triángulo se forma desde la intersección de la tangente con la perpendicular superior hasta la intersección de la tangente con el lado superior del rectángulo circunscrito, le coloca el número 1 en el centro. Indica que este triángulo puede quedar inscrito en el triángulo opuesto al trapecio, o sea en el que queda en el otro triángulo que es semejante al marcado, lo dibuja en ese lado e igualmente le coloca el número 1, argumenta que si la tangente se acerca más a la base de la semicircunferencia, o sea al diámetro, el área se hace más grande. Finalmente conjetura que el trapecio de área más pequeña es el que se acerca hacia la tangente a 90º ya que el área va a reducir más si esta tangente se aproxima a la que forma el rectángulo, sus trazos a lápiz y papel fueron los siguientes.
fig. 1
Observaciones. Intenta utilizar la relación entre la semejanza de triángulos, sin embargo sus argumentos no son muy sólidos, tampoco tiene en cuenta que el rectángulo es el trapecio de menor área y su conjetura solo lo lleva a una aproximación del resultado real.
Tabla 5. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 2; Estudiante C
Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades
Relación entre triángulos.
Trapecio rectángulo.
Operaciones geométricas básicas
Áreas, perímetros, tangentes
Utiliza la semejanza
43 Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante C en la
resolución de la tarea 2
c) Solución de la tarea 2 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA, estudiantes C y D.
Los estudiantes construyen una semicircunferencia y trazan el diámetro de la misma, encuentran el punto medio del diámetro, posteriormente trazan las dos rectas perpendiculares al diámetro de la semicircunferencia. Trazan una diagonal desde el punto medio del diámetro de la semicircunferencia hacia la izquierda y hasta el borde de la misma y dibujan la recta tangente que pasa por el punto de intersección de la diagonal y la semicircunferencia (fig. 1). Se forma un trapecio rectángulo, remarcan el trapecio. Posteriormente le ponen color al trapecio rectángulo para darle una mejor presentación (fig. 2). Colocan el valor del área del trapecio rectángulo (fig. 3). Concluida la construcción, proceden a mover el punto de tangencia del trapecio rectángulo y la semicircunferencia y observan que el área del trapecio rectángulo cambia con respecto a la posición del punto de tangencia.
El estudiante identifica las variables del problema. Traza la semicircunferencia
con su respectivo diámetro
Traza las dos rectas perpendiculares al
diámetro de la semicircunferencia.
Traza una recta paralela al diámetro
de la semicircunferencia
tangente al punto superior de la misma
Obtiene un rectángulo circunscrito a la semicircunferencia
Traza tres tangentes a la semicircunferencia a partir del lado izquierdo
de la misma Remarca una de las tres tangentes con color verde
para efectuar su análisis Indica que entre el rectángulo circunscrito y
el trapecio rectángulo formado se encuentra una
especie de triángulo
Afirma que ese rectángulo "cabe" dentro del trapecio
rectángulo en el lado opuesto del mismo, lo
traza y les coloca el número 1
Compara con otros trapecios cuya tangente tiene mayor
o menor inclinación según sea el caso
Observa el tamaño de los triángulos formados y argumenta que el área varía de acuerdo al tamaño de los mismos
Su conjetura final es que el área mínima es la del trapecio rectángulo que
