Sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 variables.
Un sistema de ecuaciones lineales es la asociación de dos o más ecuaciones cada una con dos o más variables relacionadas mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación y/o división.
Ejemplo. 4a+ 5m=42 3a +2m=28
Para hallar la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones, podemos usar varios métodos y el tipo de solución nos dirá que tipo de sistema de ecuaciones es.
Si el sistema tiene al menos una solución, es compatible. Si el sistema tiene solución única, es compatible determinado.
Si el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado. Si el sistema no tiene solución, es incompatible.
Entre los métodos algebraicos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales tenemos:
Método de reducción o suma. Método de sustitución. Método de igualación.
Método de Reducción o Suma.
Este método consiste en escribir una ecuación debajo de la otra, teniendo en cuenta que los coeficientes numéricos de la misma variable en ambas ecuaciones deben ser iguales y de signos opuestos.
Ejemplos.
Resuelve por el método de reducción o suma.
5x+4y=37
Como se observa en este sistema, los coeficientes de y 3x-4y= 3 en ambas ecuaciones son iguales y de signos contrario.
Escribimos ambas ecuaciones una debajo de la otra y eliminamos la variable y. I. 5x+4y = 37
3x- 4y = 3 =
x = 5
ll. se sustituye x por su valor (5) en cualquiera de las dos ecuaciones y buscamos el valor de y.
5(5)+4y = 37 25+4y =37 4y = 37 25 =
Ejemplo 2.
Resuelve por reducción. 6m+4x = 32
Como se observa, los coeficientes de m son 6m+3x= -18 iguales y de signos opuestos.
I. Escribimos una ecuación debajo de la otra y eliminamos la variable m. 6m+4x =32
6m+3x = 18
=
x = 2
II. sustituyo a x por su valor para buscar a m.
6m + 4(2) =32 6m +8 = 32 6m=32- 8
=
m = 4.
Ejemplo 3.
Resuelve por reducción el siguiente sistema. 4a + 7y = 43
3a + 2y =16
Aquí observamos que los coeficientes de las variables no son opuestos aditivos, por tanto no pueden eliminarse de manera directa.
En este caso multiplicamos ambas ecuaciones por cantidades convenientes para convertir los coeficientes de una misma variable en opuestos aditivos.
Por ejemplo, si multiplico la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por -4 se igualan los coeficientes de a y podemos simplificar nuestro sistema.
1. 3(4a +7y)=3(43) 2. -4(3a+2y)=-4(16) 12a +21 y=129 -12a-8y=-64
Sumo el resultado de 1 y 2 y simplifico para buscar el valor de de y.
12 a+21y=129 -12 a-8y= -64
=
Se toma una de las ecuaciones y se sustituye a y por su valor para buscar el valor de a.
4a+7(5)=43 4a +35 = 43 4a = 43-35
=
a= 2
Ejemplo 4.
Resuelve por reducción el siguiente sistema de ecuaciones.
3w-5m=3
7w+8m=66
Para resolver este sistema por reducción debemos convertir los coeficientes numéricos de una misma variable en opuestos aditivos y una opción es multiplicar la ecuación 1 por 8 y la ecuación 2 por 5.
I. 1. 8 (3w5 m)=8(3) 2. 5 (7w+8m)=5(66) 24w 40m=24 35w+40m=330.
II. Se suman los resultados de 1 y 2 24w4 0m=24
35w+40m=330
=
w = 6
III. Sustituyo a w por su valor para buscar a m. 3(6)-5m=3
18-5m=3 -5m=3 8
=
Ejercicios propuestos.
9x+3y= 51 2a+10b=108
4x-3y=14 4a+6b=76
3a+5m=66
6a+2m=60 3m-3a=15
2x-7y=-22 7k+8w=86
Método de sustitución.
Este método consiste en tomar cualquiera de las dos ecuaciones y despejar en ella una de las dos variables, luego sustituirla por su valor en la otra ecuación y efectuar las operaciones de lugar hasta reducir el sistema a una ecuación lineal que al ser resuelta nos dará el valor de la primera variable, luego con la variable hallada sustituimos este valor en una de las ecuaciones para obtener el valor de la segunda variable.
Ejemplos 1.
Resuelve por sustitución.
8a +3y=38
4a +5y=26.
Se despeja la variable y. 8a+3y=38
=
y =
Se sustituye la variable y por su valor en la otra ecuación
4a+5
=26 se multiplica el 5 por 38 y por 8a.
4a+ 190-40a =26 se multiplica el 3 por 4a y por 26. 3
3(4a) + 190-40a=3(26)
12a+190 40a=78 se suman algebraicamente 12a y - 40a 28 a =78-190 se transpone el 190.
=
a = 4
Se sustituye la variable a por su valor para hallar el valor y.
y =
y =
=
Ejemplo 2.
Resuelve por sustitución.
3m+6x =30
5m+7x = 47
Se despeja la variable m. 3m+6x=30
=
m =
Se sustituye la variable m por su valor en la otra ecuación.
5
+7x = 47
se multiplica el 5 por 30 y por 6x.+7x =47
150 3 0x +3(7x)=3 (47) se multiplica 3 por 7x y por 47. 150 30x+21x=141
9x =141 150 se restan -30 y 21 y se transpone el 150.
=
x = 1
Buscamos el valor de m sustituyendo a x por su valor.
m =
m=
=
m= 8
Ejemplo 3.
Resolver por sustitución.
7w-4a =43
3w+ 6a =57 Despejo a w en la ecuación 1.
7w-4a=43
=
w =
Sustituyo a w por su valor en la otra ecuación 2.
3 +6a=57 El 3 se multiplica por 43 y por 4a
+6a =57
129+12a+7(6a)=7(57) Multiplicamos el 7 por 6a y por 57 129+12a+42a=399
54a=399 129 Se suman 12a y 42a y se transpone el 129.
=
a = 5
Sustituyo a a por su valor y busco el valor
w = =
w =
Ejercicios propuestos
.
Resuelve por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones
.
4a+7y=43 3a+5m=663a+2y=16 6a+2m=60
5a+2y= 60 3a 2y=20
7w+8k=86 6m+4x =32 2w+3k=26 6m+3x = 18
Método de igualación.
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación debemos despejar en las dos ecuaciones la misma variable, igualar estos resultados y resolver las operaciones indicadas hasta hallar el valor de una de las variables, luego sustituimos la variable hallada por su valor en cualquiera de las expresiones que resultaron en la primera operación para hallar el valor de otra variable.
Ejemplo 1. 8m+5x =34
4m+3x =18
I. Despejo ecuación la variable m en cada ecuación.
1. 8m+5x=34 Se transpone el 5x y se divide por 8.
= m =
2. 4m+3x=18 Se transpone el 3x y se divide por 4.
=
II. Se igualan los resultados de 1 y 2.
= se realizan los productos 4 (34 5x) y 8 (18 3x)
136 20x=144 24 x. Se transponen 24x y 136 20x+24x =144 136
=
x =2
III. Sustituyendo a x por su valor buscamos a m.
m = = m =
m =3
Ejemplo 2.
Resolver por el método de igualación. 5a+2y=60
3a-2y=20
Se despeja la variable a en las dos ecuaciones. 5a+2y =60
= se transpone el 2y y se divide por 5
a=
3a 2y=20
=
transponiendo el 2y y dividiendo por 3.
Igualamos los valores de a.
= efectuamos los productos: 3 (60 2y) y 5 (20+2y)
180 6y = 100+10y se transponen 10y y 180 6y 10y =100 180
=
y = 5
Sustituyo a y por su valor y busco ahora el valor de a.
a =
a= =
a=10
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve por el método de igualación.
3a+7y=27 5a+2y= 16
8m+4y= 12
3m+2y =29
4a+7y=43
3a+2y=16
5a+2y=60 3a 2y=20
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON 3 VARIABLES Y 3 ECUACIONES.
Son aquellos sistemas que están formados por 3 ecuaciones lineales y cada contiene 3 variables.
Ejemplo.
3a+2b+4m=18 5a+6b-2m= 32 2a+4b+8m=28
Este tipo de sistemas de ecuaciones pueden resolverse por los mismos métodos que los sistemas con dos ecuaciones y dos variables.
Resolvamos el sistema anterior por sustitución.
1. Despejamos la variable a en la primera ecuación. 3a+2b+4m=18
=
a=
2. Sustituimos el valor de a en las otras dos ecuaciones.
5
+6b 2m=32 Multiplicamos el 5 por 18, 4m y por 2b
+ 6b-2m=32 Se multiplica el 3 por 6b, 2m y por 32
90-20m-10b+3(6b) 3(2m) =3(32)
90-20m-10b+18b 6m=96 90 Simplificando y transponiendo el 90 nos queda
26m+8b= 6
Tomamos ahora la 3ra ecuación y sustituimos a la variable a por su valor.
2
+4b+8m=28 Se multiplica el 2 por 18, - 4m y por – 2b
+3(4b)+3(8m)= 3(28) Se multiplica 3 por 4b, 8m y por 28
36-8m-4b+12b+24m=84 Se simplifica y se transpone el 36 16m+6b=84 36
Como puede observarse el sistema se ha reducido a otro que solo contiene 2 ecuaciones y dos variables, por lo podemos aplicar cualquiera de los métodos ya estudiados para resolverlo.
-26m+8b=6 16m+8b=48
Multiplico la ecuación 1 por 1 y dejo la ecuación 2 igual para aplicar el método de reducción o suma.
a) -1(-26m+8b) = -1(6) 26m-8b= -6 26m-8b= -6
16m+8b= 48 Se cancelan 8b y 8b por ser opuestos aditivos.
42m = 42
=
m = 1
Se despeja la variable b y se sustituye a m por su valor. 16m+8b=48
=
b =
b =
b = =
b= 4
Sustituimos ahora a m y a b para buscar a a.
a=
a =
=
a=a= 2
Evaluación.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción o suma.
4m+6y=22 1.
3m 6y= 36
2x 5k=5 2.
4x+5k=55
7w+2z=44 3.
5w+3z=44
Resuelve por el método de sustitución y por el método de Igualación. 4m+2y=16
1.
8m+5y=35
3x 5k =17 2.
6x+2k=58
5w+2z=32 3.
2w+7z=19
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. 4m+6y+x =33
1. 2m+4y+6x =26 3m+6y+5x =35
Sistemas de 4 Ecuaciones Lineales Con 4 Variables.
Resolver el sistema
Para resolver este sistema de ecuaciones se toma la ecuación 1 y se despeja la variable y.
2m+4x+2a+y=6 y =6 2m 2a
Ahora se sustituye esta variable por su valor en demás ecuaciones del sistema, empezando en este caso con la segunda.
4m 3x+5a+2(6 2m 2a)=14 4m 3x+5a+12 4m 4a=14 11x+a+12=14
11x+a=14 12 11x+a =2 (a)
Se hace el mismo procedimiento, pero sustituyendo el valor de y en la tercera ecuación.
m+x+2a+4y=5
m+x+2a+4(6 2m 2a)=5 m+x+2a+24 16x 8a=5 7m 6a=5 24
7m 6a= 19 (b)
Por último sustituimos a y por su valor en la cuarta ecuación. 3m+x 4a y= 5
3m+x 4a (6 2m 2a)= 5 3m+x 4a 6 2m 2a = 5 5m+5x 2a= 5+6
5m+5x 2a= 1 (c)
Ahora se despeja la variable a en la ecuación a y se sustituye en la b. 11x+ a =2
a= 2+11x
7m 6(2+11x) = 19 7m 66x = 19 7m = 19+12 7m = 7 (d)
2m+4x+2a+y=6 (1)
4m 3x+5a+2y=144 (2)
m+x+2a+4y=5 (3)
Se sustituye la variable a en la ecuación c 5m+5x 2a= 1
5m+5x 2(2+11x)= 1 5m+5x 4 22x =1 5m 17x =1+4 5m 17x =5 (e)
Ahora despejamos a m en la ecuación d y sustituimos en e. 7m = 7
=
m =
5
17x =5 =
17x = 5
35 119x = 35= 35+35 x =
x=0
Puesto que m =
se sustituye a x por su valor y nos queda que:
m=
=
m =1
Se busca el valor de a sustituyendo a x por su valor. a= 2+11(0)
a=2
Finalmente se busca el valor de y sustituyen por su valor las variables: a, m y x. y =6 2m 2a
y =6 2(1) 2(2) y =6 2 4
y =0
Resuelve el siguiente sistema.
Para resolver este sistema, podemos despejar a la variable x en la ecuación 1. 2m+3k+3z+x=12
x = 12 2m 3z
Se sustituye a x por su valor en la ecuación 2. 4m 8z+2(12 2m 3z)=10 4m 8z+24 4m 6z =10
14z 24
14z 14 (A) Ahora sustituimos a x por su valor en la ecuación 3. 3m+k+2z+3(12 2m 3z)=14 3m+k+2z+36 6m 9z=14 3m 7z=14 3m 7z = (B) Se sustituye ahora el valor de x en la ecuación 4. 5m+2k 10z+4x=11 5m+2k 10z+4(12 2m 3z)=11 5m+2k 10z+48 8m 12z =11 3m 10z 22z =11 48 3m 10k 22z = 37 (C) En la ecuación A se despeja la variable k y se sustituye en B y C. 14z 14
14+14z
=
k = Sustituimos a k por su valor en la ecuación B. 3m 7z = 3m 7z = 12m+112 112z +28z = 88 12m 84z = 88 112 12m 84z = 24 (D) 2m+3k+3z+x=12 (1)4m 8z+2x=10 (2)
3m+k+2z+3x=14 (3)
Se sustituye ahora a k por su valor en la ecuación C 3m 10 22z = 37
3m 22z = 37 12m 88z = 148
12m = 148 12m = 8 (E)
Se despeja la variable m en D y se sustituye por su valor en E. 12m 84z = 24
m =
Sustituyendo este valor en E tenemos que: 12 = 8
24 +84z = 8 32z = 8 +24
z =
z = 1
Buscamos el valor de m sustituyendo a z por su valor.
m =
=
m =
m =5
Con los valores de z y m, calculamos el valor de K k =
=
=
k =0
Por último calculamos el valor de x. x = 12 2m 3z
x = 12 2(5) – 3(1) x = 12 10 – 3
x = 1
