ECUACIONES ENDIFERENCIAS

5.1

5

5.1

INTRODUCCIÓN.

5.2

ECUACIONES DIFERENCIALES SIMULTÁNEAS.

5.3

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

SIMULTÁNEAS.

5.4

ANÁLISIS CUALITATIVO PARA LA

ESTABILIDAD DINÁMICA. DIAGRAMA DE FASE

DE DOS VARIABLES.

5.5

LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS DE

ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

Objetivos:

Se pretende que el estudiante:

• Encuentre soluciones de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas de Ecuaciones en Diferencias.

• _{Determine Estabilidad dinámica cualitativamente para}

sistemas de Ecuaciones Diferenciales empleando un diagrama de fase de dos variables.

5.1 INTRODUCCION

Hasta ahora se han dado las técnicas para encontrar soluciones de

ecuaciones diferenciales y en diferencias, hallar la trayectoria

y

(

t

)

o

y

_t era el

problema. Supóngase ahora que existe la situación de que en un mismo problema existen dos incógnitas, dos trayectorias

x

(

t

)

y

y

(

t

)

en tiempo continuo o

x

_t y

y

_t en tiempo discreto, a determinar. Suponga además, que se tiene dos ecuaciones diferenciales o dos ecuaciones en diferencias para resolver el problema. Los procedimientos para su tratamiento se indicarán a continuación.

5.2 ECUACIONES DIFERENCIALES SIMULTÁNEAS

Suponga que se tiene dos ecuaciones diferenciales que involucra dos variables dependientes

x

(

t

)

y

y

(

t

)

:

⎩

⎨

⎧

=

+

+

+

=

+

+

+

)

(

)

(

)

(

)

´(

)

´(

)

(

)

(

)

(

)

´(

)

´(

2 22 21 22 21 1 12 11 12 11

t

g

t

y

b

t

x

b

t

y

a

t

x

a

t

g

t

y

b

t

x

b

t

y

a

t

x

a

Su representación matricial sería:

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

)

(

)

(

)

(

)

(

)

´(

)

´(

2 1 22 21 12 11 22 21 12 11

t

g

t

g

t

y

t

x

b

b

b

b

t

y

t

x

a

a

a

a

Si llamamos: _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 22 21 12 11 a a a a

A , _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ) ´( ) ´( ) ´( t y t x t

Y , _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 22 21 12 11 b b b b

B , _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ) ( ) ( ) ( t y t x t

Y y _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ) ( ) ( ) ( 2 1 t g t g t G

Tenemos

AY

´(

t

)

+

BY

(

t

)

=

G

(

t

)

un sistema lineal cuya solución general

es la suma de una solución complementaria y una solución particular. Es decir:

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

y

t

y

t

x

t

x

t

y

t

x

t

Y

t

Y

t

Y

P C P C P C

Primero, la solución complementaria

Y

_C

(

t

)

satisface el sistema

homogéneo

AY

_C

´(

t

)

+

BY

_C

(

t

)

=

0

y es de la forma

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

_rt rt C C C

e

k

e

k

t

y

t

x

t

Y

´

)

(

)

(

)

(

1 1

Entonces

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

rt rt C

re

k

re

k

t

Y

´

)

´(

1 1

[

]

[

]

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+

0

0

´

0

0

´

0

0

´

´

0

0

´

´

0

)

(

)

´(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 rt rt rt rt rt rt rt rt rt rt rt C C

e

k

k

B

Ar

e

k

e

k

B

Ar

e

k

e

k

B

e

k

e

k

Ar

e

k

e

k

B

re

k

re

k

A

t

BY

t

AY

La última expresión es un sistema homogéneo que debe tener soluciones no triviales. Para lo cual

Ar

+

B

=

0

. ¿Por qué?.

De la ecuación auxiliar

Ar

+

B

=

0

se obtiene el o los valores de "

r

", que igual que anteriormente, pueden darse tres casos.

CASO I.

r

₁ y

r

₂ reales y diferentes, en tal caso:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

_{rt rt}

t r t r C C C

e

k

e

k

e

k

e

k

t

y

t

x

t

Y

2 1 2 1

´

´

)

(

)

(

)

(

2 1 2 1

CASO II .

r

1

=

r

2

=

r

reales e iguales, en tal caso:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

_{rt rt}

rt rt C C C

te

k

e

k

te

k

e

k

t

y

t

x

t

Y

´

´

)

(

)

(

)

(

2 1 2 1

CASO III .

r

₁

,

r

₂

=

λ

±

μ

i

complejas conjugadas, en tal caso:

[

]

[

]

⎥

_⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

μ

+

μ

μ

+

μ

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

_λ λ

t

k

t

k

e

t

k

t

k

e

t

y

t

x

t

Y

_t t C C C

´cos

sen

´

cos

sen

)

(

)

(

)

(

2 1 2 1

Luego habrá que determinar la relación entre

k

₁ y

k

₁

´

y la relación entre

k

₂

y

k

₂

´

resolviendo los sistemas simultáneo

[

]

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

´

1 1 1

k

k

B

Ar

y

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

´

2 2 2

k

k

B

Ar

.

Segundo, la Solución Particular

Y

P

(

t

)

satisface el sistema no homogéneo

)

(

)

(

)

´(

t

BY

t

G

t

Supongamos que

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2 1

)

(

c

c

t

G

; es decir, los términos independientes son

constantes, entonces

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2 1

)

(

A

A

t

Y

P y

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

0

0

)

´(

t

Y

P .

Reemplazando y simplificando tenemos:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+

2 1 2 1

0

0

)

(

)

(

)

´(

c

c

A

A

B

A

t

G

t

BY

t

AY

P P

Las constantes

A

₁ y

A

₂ se las determinan resolviendo el sistema

simultáneo:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

2 1 2 1

c

c

A

A

B

Ejemplo

Hallar x(t) y y(t)para el sistema ⎩ ⎨ ⎧ = + + = + + + 61 ) ( 4 ) ( ) ´( 77 ) ( 5 ) ( 2 ) ´( 2 ) ´( t y t x t y t y t x t y t x SOLUCIÓN:

Primero, determinamos la solución complementaria Y_C(t).

En este caso _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 2 1

A , _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 1 5 2

B y _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 61 77 C

Entonces la ecuación auxiliar sería:

0 4 1 5 2 1 0 2 1 det 0 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + r B Ar

Resolviendo se obtiene:

(

)(

) (

)

Entonces ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = _{− −} − − t t t t C C C e k e k e k e k t y t x t Y ´ ´ ) ( ) ( ) ( 2 3 1 2 3 1

Ahora debemos establecer la relación entre las constantes.

En la ecuación

[

]

_⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 0 0 ´ 1 1 1 k k B

Ar reemplazando A, B y r1 =−3 resulta:

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − 0 0 ´ 1 1 1 1 0 0 1 ´ 4 ) 3 ( 1 5 3 2 2 3 0 0 ´ 4 1 5 2 2 1 1 3 1 1 1 1 k k e k k e k k r r r t rt

Se origina el sistema

⎩ ⎨ ⎧ = + = − − 0 ´ 0 ´ 1 1 1 1 k k k k

que da como solución k₁´=−k₁

Por otro lado sir2 =−1 tenemos en

[

]

⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ´ 2 2 2 _k k B Ar

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + − 0 0 ´ 3 1 3 1 0 0 ´ 4 ) 1 ( 1 5 1 2 2 1 2 2 2 2 k k k k

El sistema ahora sería

⎩ ⎨ ⎧ = + = + 0 ´ 3 0 ´ 3 2 2 2 2 k k k k

con solución ₃1 ₂ 2´ k

k =−

Por tanto: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = _{− −} − − t t t t C C C e k e k e k e k t y t x t Y 2 3 1 3 1 2 3 1 ) ( ) ( ) (

Segundo, la Solución Particular _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 ) ( A A t

Y_P se la obtiene resolviendo el sistema

⎩ ⎨ ⎧ = + = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 61 4 77 5 2 61 77 4 1 5 2 2 1 2 1 2 1 2 1 A A A A A A C A A B

tenemos A₁ =1 y A₂ =15. Entonces _⎥

Finalmente: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + = _{− −} − − 15 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 3 1 3 1 2 3 1 t t t t P C e k e k e k e k t y t x t Y t Y t Y

Ejercicios Propuestos 5.1

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:

1. ⎩ ⎨ ⎧ = + + + − = − − 36 ) ( 6 ) ( ) `( 60 ) ( 12 ) ( ) `( t y t x t y t y t x t x

; x(0)=13∧y(0)=4

2. ⎩ ⎨ ⎧ = + − + = + − 9 ) ( 2 ) ( ) `( 10 ) ( 3 ) ( 2 ) `( t y t x t y t y t x t x

; x(0)=8∧y(0)=5

3. ⎩ ⎨ ⎧ + + − = + − = 4 2 ` 3 2 ` y x y y x x

5.3 ECUACIONES EN DIFERENCIAS SIMULTÁNEAS

Suponga que se tiene dos ecuaciones en diferencias que involucra dos variables dependientes

x

_t y

y

_t

⎩

⎨

⎧

=

+

+

+

=

+

+

+

+ + + + t t t t t t t t t t

g

y

b

x

b

y

a

x

a

g

y

b

x

b

y

a

x

a

2 22 21 1 22 1 21 1 12 11 1 12 1 11

Su representación matricial sería:

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ + t t t t t t

g

g

y

x

b

b

b

b

y

x

a

a

a

a

2 1 22 21 12 11 1 1 22 21 12 11 Si llamamos: _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 22 21 12 11 a a a a

A ,

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+ + + 1 1 1 t t t

y

x

Y

, _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 22 21 12 11 b b b b

B ,

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

t t t

y

x

Y

y

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

t t t

g

g

G

2 1

Tenemos

AY

_t+1

+

BY

_t

=

G

_t un sistema lineal cuya solución general es la

suma de una solución complementaria y una solución particular. Es decir:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+

=

_P t C t P t C t t t P t C t t

y

y

x

x

y

x

Y

Y

Y

Primero, la solución complementaria

Y

_tC satisface el sistema homogéneo

0

1

+

=

+

C t C

t

BY

AY

y es de la forma

( )

Entonces

( )

( )

⎥

⎥

_⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

₊ + + 1 1 1 1 1

´

t t C t

r

k

r

k

Y

Ahora reemplazando y simplificando tenemos:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

[

]

( )

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

+

+ + +

0

0

´

0

0

´

0

0

´

´

0

0

´

´

0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t t t t t t t t t t t C t C t

r

k

k

B

Ar

r

k

r

k

B

Ar

r

k

r

k

B

r

k

r

k

Ar

r

k

r

k

B

r

k

r

k

A

BY

AY

La última expresión es un sistema homogéneo que debe tener soluciones no triviales. De manera análoga a los sistemas de ecuaciones diferenciales

tenemos ahora la ecuación auxiliar

Ar

+

B

=

0

de donde se obtiene el o los

valores de "

r

". De aquí también pueden resultar 3 casos: CASO I.

r

₁ y

r

₂ reales y diferentes, en tal caso:

( )

( )

( )

( )

⎥

⎥

_⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

_{t t}

t t C t C t C t

r

k

r

k

r

k

r

k

y

x

Y

2 2 1 1 2 2 1 1

´

´

CASO II .

r

1

=

r

2

=

r

reales e iguales, en tal caso:

( )

( )

( )

( )

⎥

⎥

_⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

_{t t}

t t C t C t C t

r

t

k

r

k

r

t

k

r

k

y

x

Y

´

´

₂ 1 2 1

CASO III .

r

1

,

r

2

=

λ

±

μ

i

complejas conjugadas, en tal caso:

( )

[

]

( )

[

]

⎥

⎥

_⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

θ

+

θ

θ

+

θ

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

t

k

t

k

R

t

k

t

k

R

y

x

Y

_t t C t C t C t

´cos

sen

´

cos

sen

2 1 2 1

Luego habrá que determinar la relación entre

k

₁ y

k

1

´

y la relación entre

k

2

y

k

2

´

resolviendo los sistemas simultáneo

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

´

1 1 1

k

k

B

Ar

y

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

´

2 2 2

k

k

B

Ar

.

Segundo, la Solución Particular

Y

_tP satisface el sistema no homogéneo

t P t P

t

BY

G

AY

₊₁

+

=

y depende de

G

_t.

Supongamos que

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2 1

c

c

G

t entonces

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2 1

A

A

Y

P

t y

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+

2 1 1

A

A

Y

tP .

Reemplazando y simplificando tenemos:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+

+

2 1

2 1

2 1 1

c

c

A

A

B

A

A

A

G

BY

AY

t

P t P

t

Las constantes

A

₁ y

A

₂ se las determinan resolviendo el sistema

simultáneo:

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

2 1

2 1

c

c

A

A

B

A

Ejemplo

Hallar x_t y y_t para el sistema ⎩ ⎨ ⎧

= − +

= + +

+ +

9 2 2

24 2

1 1

t t t

t t t

y x y

y x x

; x₀ =10∧y₀ =9

SOLUCIÓN:

Primero, determinamos la solución complementaria C t

Y .

En este caso _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

1 0

0 1

A , _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

− =

2 2

2 1

B y _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

9 24

C

Entonces l a ecuación auxiliar sería:

0 2 2

2 1 1 0

0 1 det

0

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= +

r

B Ar

(

)(

)

(

)(

)

2 3 0 2 3 0 6 0 4 2 0 4 2 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 1 1 0 0 1 det 2 2 − = ∨ = = + − = − − = − − − = − − + = − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ r r r r r r r r r r r r r

Entonces

( )

( )

( )

( )

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = t t t t C t C t C t k k k k y x Y 2 ´ 3 ´ 2 3 2 1 2 1

Ahora debemos establecer la relación entre las constantes.

En la ecuación

[

]

_⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 0 0 ´ 1 1 1 k k B

Ar reemplazando A, B y r₁ =3 resulta:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + 0 0 ´ 1 2 2 4 0 0 1 ´ 2 . 3 2 2 1 3 0 0 ´ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k r k k k k r r t

Se origina el sistema

⎩ ⎨ ⎧ = + = + 0 ´ 2 0 ´ 2 4 1 1 1 1 k k k k

que da como solución k₁´=−2k₁

Por otro lado sir₂ =−2 tenemos

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + 0 0 ´ 4 2 2 1 0 0 ´ 2 . 2 2 2 1 2 0 0 ´ 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k k k k r r

El sistema ahora sería

⎩ ⎨ ⎧ = − = + − 0 ´ 4 2 0 ´ 2 2 2 2 2 k k k k

con solución ₂1 ₂ 2´ k k = Por tanto:

( )

( )

( )

( )

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = t t t t C t C t C t k k k k y x Y 2 3 2 2 3 2 2 1 1 2 1

Segundo, la Solución Particular _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 A A

(

)

⎩ ⎨ ⎧ = − = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 9 2 24 2 2 9 24 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A A A A A A c c A A B A

tenemos A1 =7 y A2 =5. Entonces ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 5 7 ) (t Y_P

Por tanto :

( )

( )

( )

( )

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + = 5 2 3 2 7 2 3 2 2 1 1 2 1 t t t t t t P t C t t k k k k y x Y Y Y

Y con las condiciones iniciales x0 =10∧y0 =9

( )

( )

( )

( )

⎩ ⎨ ⎧ = + − = + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + − = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 8 4 3 4 2 3 9 5 2 10 7 9 10 5 2 3 2 7 2 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 2 2 1 0 1 0 2 0 1 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k k y x

Se obtiene k₁ =−1 y k₂ =4

Finalmente:

( )

( )

( )

( )

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 5 2 2 3 2 7 2 4 3 t t t t t t t y x Y

Ejercicios propuestos 5.2

Encuentre las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones en diferencias:

1) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + − = − − + + + 2 17 6 1 1 1 3 1 1 1 t t t t t t y y x y x x

; x0 =5∧y0 =4

2) ⎩ ⎨ ⎧ = + + = + + + + 4 5 3 6 3 5 1 1 t t t t t t y x y y x x

; x0 =1∧y0 =−1

3) ⎩ ⎨ ⎧ = − + = + + + + 10 2 2 16 2 1 1 t t t t t t y x y y x x

; x0 =10, y0 =9

4) ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = + + 3 2 2 2 1 1 t t t t t t y x y y x x

5.4 ANÁLISIS CUALITATIVO PARA LA ESTABILIDAD DINÁMICA.

DIAGRAMA DE FASE DE DOS VARIABLES.

Se trata ahora de plantear, como en las ocasiones anteriores, un análisis cualitativo para determinar la estabilidad dinámica de las trayectorias. Debemos definir ahora diagrama de fase de dos variables.

Para el caso de una variable, recuerde, teniendo una ecuación diferencial

autónoma y´= f(y) se la graficaba en un sistema bidimensional

y

´

vs

y

Era bastante sencillo definir la convergencia o la divergencia de "y(t)" hacia o desde el nivel de equilibrio "y", debido a que arriba del eje horizontal "y", "y´" es positiva por tanto la trayectoria de "y" deberá dirigirse de izquierda a derecha,

en cambio por debajo del eje horizontal la trayectaria de "y" deberá dirigirse de

derecha a izquierda por ser "y´" negativa.

Supóngase ahora que no se dispone del eje vertical, veremos que es posible determinar la convergencia o divergencia de "y". Obteniendo el signo de "

dy dy´

Si " ´>0

dy dy

" significa que "

y

´

" es creciente a medida que "

y

" crece.

Ubicando esta información sobre el eje horizontal "

y

" tenemos. Con respecto al

nivel de equilibrio

y

(y´=0) se ubica el signo negativo (-) a la izquierda y el signo positivo (+) a la derecha. Se definen dos regiones. Ahora poniendo flechas para indicar la dirección de la trayectoria "y". Observamos que es divergente.

Si ´<0

dy dy

significa que "y´" es decreciente a medida que "y" crece. Ahora se ubica el signo positivo (+) a la izquierda de "y" y el signo negativo (-) a la derecha.

Ahora poniendo flechas para indicar la dirección de la trayectoria "y".

Observamos que es convergente.

Este mismo análisis se lo puede hacer si queremos establecer cualitativamente la estabilidad dinámica para dos trayectorias x(t) y y(t) teniendo las ecuaciones diferenciales autónomas.

⎩ ⎨ ⎧

= =

) , ( ´

) , ( ´

y x f y

y x f x

Cuando

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ´

0 ´

y x

o lo que es lo mismo

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ) , (

0 ) , (

y x f

y x f

tenemos las llamadas curvas de demarcación. El nivel de equilibrio intertemporal

( )

x,y se determina en la intersección de estas curvas. Al graficar las curvas de demarcación en un

Luego será cuestión de determinar los signos de las derivadas

( )

x x

∂ ∂ ´

y

( )

y y

∂ ∂ ´

, empleando las ecuaciones diferenciales

⎩ ⎨ ⎧

= =

) , ( ´

) , ( ´

y x f y

y x f x

, para ubicar los signos a un lado y a otro lado de las respectivas curvas de demarcación.

En cada una de las cuatro regiones se concluirá sobre el comportamiento

de las trayectorias

x

(

t

)

y

y

(

t

)

dibujando flechas que indiquen la dirección de

cada trayectoria.

Por ejemplo, si

( )

´ <0

∂ ∂

x x

significa que

x

´

es decreciente con respecto a

x

,

por tanto ubicamos el signo positivo (+) a la izquierda de la curva

x

´

=

0

y el

signo negativo (-) a su derecha. Y si

( )

´ <0

∂ ∂

x y

significa que

y

´

también es

decreciente con respecto a

y

, por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la curva

y

´

=

0

y el signo negativo (-) arriba. Observe la figura.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias

)

(

t

Por otro lado, si ∂

( )

′ >0

x x

significa que

x

´

es creciente con respecto a

x

,

por tanto ubicamos el signo negativo (-) a la izquierda de la curva

x

´

=

0

y el

signo positivo (+) a su derecha. Y si

( )

>0

∂ ′ ∂

y y

significa que

y

´

también es

creciente con respecto a

y

, por tanto ubicamos el signo negativo (-) por debajo de la curva

y

´

=

0

y el signo positivo (+) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias

)

(

t

x

y

y

(

t

)

divergen del nivel de equilibrio

( )

x

,

y

. A este comportamiento se lo

llama NODO DIVERGENTE.

Ahora suponga que las curvas de demarcación son las que se muestran a continuación y que ∂

( )

′ >0

x x

entonces

x

´

es creciente con respecto a

x

, por tanto

ubicamos el signo negativo (-) a la izquierda de

x

´

=

0

y el signo positivo (+) a

su derecha. Y suponga que

( )

<0

∂ ′ ∂

y y

entonces

y

´

es decreciente con respecto a

y

, por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la curva

y

´

=

0

y el

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias

)

(

t

x

y

y

(

t

)

no son estables dinámicamente. Este comportamiento se lo llama

PUNTO DE SILLA.

Ahora suponga que las curvas de demarcación son las que se muestran a continuación y que

∂

( )

′

<

0

x

x

entonces

x

´

es decreciente con respecto a

x

, por

tanto ubicamos el signo positivo (+) a la izquierda de la curva

x

´

=

0

y el signo

negativo (-) a su derecha, Suponga además que

( )

<

0

∂

′

∂

y

y

entonces

y

´

también

es decreciente con respecto a

y

, por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la curva

y

´

=

0

y el signo negativo (-) arriba.

x

´

=

0

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias

)

(

t

x

y

y

(

t

)

son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada región,

tangente horizontalmente a

y

´

=

0

y tangente verticalmente a

x

´

=

0

, hacen

Suponga ahora que las trayectorias de demarcación son como las que se muestran en la figura y que

( )

´

>

0

∂

∂

x

x

entonces

x

´

es creciente con respecto a

x

,

por tanto ubicamos el signo negativo (-)a la izquierda de la curva

x

´

=

0

y el signo

positivo (+) a su derecha. Y si

( )

y

y

∂

∂

´

entonces

y

´

también es creciente con

respecto a

y

, por tanto ubicamos el signo negativo (-) por debajo de la curva

0

´

=

y

y el signo positivo (+) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias

)

(

t

x

y

y

(

t

)

no son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada

región, tangente horizontalmente a

y

´

=

0

y tangente verticalmente a

x

´

=

0

,

A este caso se lo llama VORTICE.

Ejemplo 1

Sea ⎩ ⎨ ⎧

+ − − = ′

+ − − = ′

21 4 3

21 3 4

y x y

y x x

Determine cualitativamente la estabilidad dinámica de x(t) y y(t) SOLUCIÓN:

Primero. Se obtienen las curvas de demarcación.

Haciendo

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ´

0 ´

y x

tenemos

⎩ ⎨ ⎧

= +

= +

21 4 3

21 3 4

y x

y x

.

Rectas que se grafican en un plano yvsx

Segundo. Se obtienen las derivadas parciales

( )

x x ∂

∂ ´

y

( )

y y ∂

∂ ´

De las ecuaciones diferenciales tenemos:

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

< − = ∂

′ ∂

< − = ′ ∂

0 4

0 4

y y x x

Las derivadas indican que x´ es decreciente con respecto a x, por tanto ubicamos el signo positivo (+) a la izquierda de la recta x´=0 y el signo negativo (-) a su derecha. Por otro lado, y´ también es decreciente con respecto a y, por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la recta y´=0 y el signo negativo (-) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias x(t) y y(t) convergen al nivel de equilibrio

( )

x,y =

( )

3,3 . En este caso se dice NODO CONVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que r1=−7 y r2=−1 son raíces reales,

diferentes y negativas.

Ejemplo 2

Sea ⎩ ⎨ ⎧

− + − = ′

− − = ′

3 4 3

3 3 4

y x y

y x x

Determine cualitativamente la estabilidad dinámica de x(t) y y(t) SOLUCIÓN:

Primero. Haciendo

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ´

0 ´

y x

tenemos

⎩ ⎨ ⎧

= + −

= −

3 4 3

3 3 4

y x

y x

.

Rectas de demarcación que se grafican en un plano yvsx

Segundo. De las ecuaciones diferenciales tenemos:

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

> + = ∂

′ ∂

> + = ′ ∂

0 4

0 4

y y x

x

Las derivadas indican que x´ es creciente con respecto a x, por tanto ubicamos el signo

negativo (-) a la izquierda de la recta x´=0 y el signo positivo (+) a su derecha.

Por otro lado, y´ también es creciente con respecto a y, por tanto ubicamos el signo negativo (-) por debajo de la recta y´=0 y el signo positivo (+) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias x(t) y y(t) divergen del nivel de equilibrio

( )

x,y =

( )

3,3 . En este caso se dice NODO DIVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que r1=7 y r2=1 son raíces reales, diferentes y

positivas.

Ejemplo 3

Sea ⎩ ⎨ ⎧

+ − = ′

+ − = ′

9 2

10 3 2

y x y

y x x

Determine cualitativamente la estabilidad dinámica de x(t) y y(t) SOLUCIÓN:

Primero. Haciendo

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ´

0 ´

y x

tenemos

⎩ ⎨ ⎧

− = −

− = −

9 2

10 3 2

y x

y x

.

Rectas de demarcación que se grafican en un plano yvsx

Segundo. De las ecuaciones diferenciales tenemos:

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

< − = ∂

′ ∂

> + = ′ ∂

0 2

0 2

y y x

x

Las derivadas indican que x´ es creciente con respecto a x, por tanto ubicamos el signo

negativo (-) a la izquierda de la recta x´=0 y el signo positivo (+) a su derecha.

Por otro lado, y´ es decreciente con respecto a y, por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la recta y´=0 y el signo negativo (-) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias x(t) y y(t) no son estables dinámicamente. En este caso se dice PUNTO DE SILLA.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que r₁=1 y r₂ =−1 son raíces reales, diferentes y de signo contrario.

Ejemplo 4

Sea ⎩ ⎨ ⎧

+ − = ′

+ − − = ′

6 4 3

17 3 4

y x y

y x x

Determine cualitativamente la estabilidad dinámica de x(t) y y(t)

SOLUCIÓN:

Primero. Haciendo

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ´

0 ´

y x

tenemos

⎩ ⎨ ⎧

= + −

= + − −

0 6 4 3

0 17 3 4

y x

y x

.

Rectas de demarcación que se grafican en un plano yvsx

Segundo. De las ecuaciones diferenciales tenemos:

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

< − = ∂

′ ∂

< − = ′ ∂

0 4

0 4

y y x

x

Las derivadas indican que x´ es decreciente con respecto a x, por tanto ubicamos el signo positivo (+) a la izquierda de la recta x´=0 y el signo negativo (-) a su derecha. Por otro lado, y´ también es decreciente con respecto a y, por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la recta y´=0 y el signo negativo (-) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias x(t) y y(t) son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada región, tangente horizontalmente a y´=0 y tangente verticalmente a x´=0, hacen posible la convergencia . En este caso se dice FOCO CONVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que r₁=−4+3i y r₂ =−4−3i son raíces complejas conjugadas con parte real negativa.

Ejemplo 5

Sea ⎩ ⎨ ⎧

− + = ′

− − = ′

17 4 3

6 3 4

y x y

y x x

Determine cualitativamente la estabilidad dinámica de x(t) y y(t)

SOLUCIÓN:

Primero. Haciendo

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ´

0 ´

y x

tenemos

⎩ ⎨ ⎧

= − +

= − −

0 17 4 3

0 6 3 4

y x

y x

.

Rectas de demarcación que se grafican en un plano yvsx

Segundo. De las ecuaciones diferenciales tenemos:

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

> = ∂

′ ∂

> = ′ ∂

0 4

0 4

y y x

x

Las derivadas indican que x´ es creciente con respecto a x, por tanto ubicamos el signo

negativo (-)a la izquierda de la recta x´=0 y el signo positivo (+) a su derecha.

Por otro lado, y´ también es creciente con respecto a y, por tanto ubicamos el signo negativo (-) por debajo de la recta y´=0 y el signo positivo (+) arriba.

Tercero. Se dibujan flechas, para las direcciones de las trayectorias x(t) y y(t), en cada una de las

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias x(t) y y(t) no son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada región, tangente horizontalmente a y´=0 y tangente verticalmente a x´=0, hacen posible la divergencia . En este caso se dice FOCO DIVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que r₁=4+3i y r₂ =4−3i son raíces complejas conjugadas con parte real positiva.

Ejemplo 6

Sea ⎩ ⎨ ⎧

− =

′

+ − = ′

9 3

9 3

x y

y x

Determine cualitativamente la estabilidad dinámica de x(t) y y(t)

SOLUCIÓN:

Primero. Haciendo

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ´

0 ´

y x

tenemos

⎩ ⎨ ⎧

= −

= + −

0 9 3

0 9 3

x y

.

Rectas de demarcación que se grafican en el plano yvsx

Segundo. Ahora va a ser necesario:

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

> = ∂

′ ∂

< − = ′ ∂

0 3

0 3

x y y

x

¿Por qué?

Las derivadas indican que x´ es decreciente con respecto a y, por tanto ubicamos el

signo positivo (+) por debajo de la recta x´=0 y el signo negativo (-) arriba

Por otro lado, y´ es creciente con respecto a y, por tanto ubicamos el signo negativo (-) a la izquierda de la recta y´=0 y el signo positivo (+) a su derecha.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias x(t) y y(t) no son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada región, tangente horizontalmente a y´=0 y tangente verticalmente a x´=0, hacen posible esta no convergencia. En este caso se dice que es VORTICE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que r₁=0+3i y r₂ =0−3i son raíces complejas conjugadas con parte real igual a cero.

Ejemplo 7

Sea ⎩ ⎨ ⎧

+ − = ′

+ −

= ′

9 3

9 3

y y

x x

Determine cualitativamente la estabilidad dinámica de x(t) y y(t)

SOLUCIÓN:

Primero. Se obtienen las curvas de demarcación.

Haciendo

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ´

0 ´

y x

tenemos

⎩ ⎨ ⎧

= + −

= + −

0 9 3

0 9 3

y x

.

Rectas que se grafican en un plano yvsx

Segundo. De las ecuaciones diferenciales tenemos:

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

< − = ∂

′ ∂

< − = ′ ∂

0 3

0 3

y y x

x

Las derivadas indican que x´ es decreciente con respecto a x, por tanto ubicamos el

signo positivo (+) a la izquierda de la recta x´=0 y el signo negativo (-) a su derecha.

Por otro lado, y´ también es decreciente con respecto a y, por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la recta y´=0 y el signo negativo (-) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias x(t) y y(t) convergen al nivel de equilibrio

( )

x,y =

( )

3,3 . En este tenemos NODO CONVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que r₁=−3 y r₂=−3 son raíces reales, iguales y negativas.

Ejemplo 8

Sea ⎩ ⎨ ⎧

− = ′

− = ′

9 3

9 3

y y

x x

Determine cualitativamente la estabilidad dinámica de x(t) y y(t)

SOLUCIÓN:

Primero. Haciendo

⎩ ⎨ ⎧

= =

0 ´

0 ´

y x

tenemos

⎩ ⎨ ⎧

= −

= −

0 9 3

0 9 3

y x

.

Rectas de demarcación que se grafican en un plano yvsx

Segundo. De las ecuaciones diferenciales tenemos:

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

> + = ∂

′ ∂

> + = ′ ∂

0 3

0 3

y y x

x

Las derivadas indican que x´ es creciente con respecto a x, por tanto ubicamos el signo

negativo (-) a la izquierda de la recta x´=0 y el signo positivo (+) a su derecha.

Por otro lado, y´ también es creciente con respecto a y, por tanto ubicamos el signo negativo (-) por debajo de la recta y´=0 y el signo positivo (+) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias x(t) y y(t) divergen del nivel de equilibrio

( )

x,y =

( )

3,3 . En este caso tenemos un NODO DIVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que r₁=3 y r₂ =3 son raíces reales, iguales y positivas.

Ejercicios Propuestos 5.3

1. Sea el sistema de ecuaciones diferenciales:

⎩ ⎨ ⎧

= − + +

= + +

9 ) ( 2 ) ( 2 ) `(

24 ) ( 2 ) ( )

`(

t y t x t y

t y t x t

x

9 ) 0 ( 10 ) 0

( = ∧y =

x

a) Encuentre las soluciones

b) Haga el diagrama de fase en 2 variables y determine el tipo de trayectoria.

2. Haga un análisis cualitativo empleando diagramas de fase para determinar la estabilidad dinámica, para: a.

⎩ ⎨ ⎧

+ − =

+ − − =

9 2 `

10 3 2 `

y x y

y x x

c.

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

9 `

10 3 `

x y

y x

b.

⎩ ⎨ ⎧

+ + =

+ − =

9 2 `

10 3 2 `

y x y

y x x

d.

⎩ ⎨ ⎧

+ − =

+ − =

9 2 `

10 3 2 `

y x y

5.5 LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

DIFERENCIALES NO LINEALES

5.5.1

Polinomio de Taylor para funciones de dos

variables.

Sea

f

(

x

,

y

)

una función dos veces diferenciable. El Polinomio de Taylor en

la vecindad del punto

(

x

0

,

y

0

)

es:

[

]

[

]

[

]

[

][

]

[

]

n

y x y

x y

x

y x y

x

R y

y y

f y y x x y x

f x

x x

f

y y y

f x x x f y x f y x f

+ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− ∂

∂ + − − ∂

∂ ∂ + − ∂

∂

+ − ∂

∂ + − ∂

∂ + =

"

2 0

) , ( 2 2

0 0

) , ( 2 2 0

) , ( 2 2

0 ) , ( 0 ) , ( 0 0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0

! 2 1

) , ( ) , (

Ejemplo

Sea x

ye y x

f( , )= . Hallar el polinomio de Taylor de segundo orden en la vecindad de (0,0) SOLUCIÓN:

Para aplicar el desarrollo de polinomio, hallamos primero:

0 ) 0 ( ) 0 , 0

( = e0 = f

( )

x x

ye ye x x

f ₌

∂ ∂ = ∂ ∂

entonces ( )

0 0 0

0 , 0

= = ∂ ∂

e x

f

( )

x x

e ye y y f

= ∂

∂ = ∂ ∂

entonces ( )

1

0

0 , 0

= = ∂ ∂

e y f

( )

x x

ye ye x x

f

= ∂

∂ = ∂ ∂

2 2

entonces

( )

0 0 0

0 , 0 2 2

= = ∂

∂

e x

f

( )

0

2

= ∂

∂ = ∂

∂ x

e f

entonces =0

∂

( )

x x e ye y y x

f ₌

∂ ∂ = ∂ ∂ ∂2

entonces ( )

1

0 0 , 0

= = ∂ ∂

e x f

Ahora, reemplazando

[

] [

]

[

[

] [

][

] [

]

]

xy y

y y

x x

y x

yex

2 1

0 0 0 0 1 0 0 ! 2 1 0 1 0 0

0 2 2

+ =

− + − − + − + − + − + =

5.5.2 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO

LINEALES

Suponga ahora que tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de la forma

⎩

⎨

⎧

=

=

)

,

(

´

)

,

(

´

y

x

g

y

y

x

f

x

. Para determinar las características de sus

soluciones

x

(

t

)

y

y

(

t

)

podemos linealizar el sistema, hallando el polinomio de

Taylor de primer orden en la vecindad de punto de equilibrio

(

x

,

y

)

tanto para

)

,

(

x

y

f

como para

g

(

x

,

y

)

, y luego proceder de la misma manera que en los

casos anteriores.

Ejemplo

Sea

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= − =

x x

ye y

e x

´ 1 ´

. Analice cuantitativamente y cualitativamente la estabilidad dinámica.

SOLUCIÓN:

Primero, linealizamos el sistema.

Hallando el punto de equilibrio tenemos:

(

1

)

1 1 1

) , ( ) , (

= −

= −

= −

=

y e

ye e

ye e

y x g y x f

x x x

X x

Por inspección, (x,y)=(0,0)

Hallando el polinomio de Taylor de primer orden para _f(_x,_y)=_ex−1 _{en la vecindad de}

) 0 , 0 ( ) ,

(x y =

Para ( , ) (0,0)

[

0

]

[

0

]

) 0 , 0 ( )

0 , 0 (

− ∂

∂ + − ∂

∂ +

≈ y

y f x

x f f

y x

f tenemos:

0 1 ) 0 , 0

(

x

)

x e e

x x

f _{− =}

∂ ∂ = ∂ ∂

1 entonces ( )

1

0 0 , 0

= = ∂ ∂

e x f

(

−1

)

=0

∂ ∂ = ∂

∂ x

e y y f

entonces ( )

0

0 , 0

= ∂ ∂

y f

Por tanto

[

] [

]

x e

y x

e

x x

≈ −

− + − + ≈ −

1

0 0 0 1 0 1

El polinomio de Taylor de primer orden para _{g(x,y)= ye}x _{en la vecindad de}

) 0 , 0 ( ) ,

(x y = es

[

] [

]

y ye

y x

ye

x x

≈

+ − + − +

≈0 0 0 1 0

(vea el ejemplo anterior)

Entonces el sistema linealizado sería

⎩ ⎨ ⎧

= =

y y

x x

´ ´

Cuantitativamente, tenemos:

Las raíces de la ecuación característica 0 1 0

0 1

= − −

r r

Son r1=r2 =1 por tanto es un nodo inestable

Cualitativamente, analizando el diagrama de fase se concluye en lo mismo.

Ejercicios propuestos 5.4

Linealizar los sistemas dados, hallar su solución y determinar su estabilidad dinámica haciendo un análisis cuantitativo y un análisis cualitativo.

1)

⎩ ⎨ ⎧

− =

− =

y y

y x x

1 ` ` 2

; x,y≥0 3)

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ =

+ + =

2 2 3

1 `

3 `

y x y

y y x x x

; x,y≥0

Misceláneos

1. Sea el sistema ; 0, 0

2 ´

10 ´

2 2

≥ ≥ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

+ − =

+ − − =

y x y x y

y x x

a) Linealice el sistema y encuentre x(t) y y(t)

b) Realice un análisis cualitativo, diagrama de fase de dos variables, para la estabilidad dinámica de x(t) y y(t) . Indique el tipo de equilibrio.

c) Verifique cuantitativamente para el sistema linealizado.

2. Linealice el sistema. Encuentre las soluciones y determine el tipo la estabilidad dinámica:

⎩ ⎨ ⎧

− =

− =

y x y

xy x

2 8 ´

1 2 ´