ANALISIS DE UN FLUJO VERTICAL BURBUJEANTE CONCURRENTE Y EN CONTRA CORRIENTE.

Análisis de un flujo vertical burbujeante

concurrente y en contra corriente

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA

MECÁNICA

OPCIÓN:

ENERGÉTICA

PRESENTA:

ING. MIGUEL ANGEL PELCASTRE MORALES

DIRECTOR DE TESIS:

DR. FLORENCIO SANCHEZ SILVA

CO-DIRECTOR DE TESIS:

DRA. CLAUDIA DEL CARMEN GUTIÉRREZ TORRES

México, D.F. Marzo 2006

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

Página

LISTA DE TABLAS i

LISTA DE FIGURAS ii

RESUMEN v ABSTRACT vii NOMENCLATURA viii

INTRODUCCIÓN x

CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES DE LAS BURBUJAS INMERSAS EN

UN LÍQUIDO 1

1.1 Formación de burbujas 3

1.2 Trayectoria de las burbujas 3

1.3 Forma de las burbujas 4

1.3.1 Forma de acuerdo a su simetría 6 1.3.2 Factores que afectan la forma de las burbujas 7

1.4 Regímenes de forma de las burbujas 9

1.4.1 Burbujas estáticas 9

1.5 Formas de burbujas en movimiento libre 10

CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA

BURBUJA INMERSA

15

2.1 Fuerza de rozamiento sobre una burbuja 15

2.2 Ecuaciones básicas 18

2.3 Ecuaciones constitutivas 19

2.3.1 Fuerzas laterales 19

2.3.2 Fuerzas de arrastre interfacial 20

2.3.3 Fuerzas de arrastre axial 20

2.3.4 Fuerza másica virtual 21

CAPÍTULO 3. DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE LA INSTALACIÓN 22

3.1 Zona de pruebas 23

3.2 Montaje experimental 24

3.3 Calibración de la óptica del sistema PIV 25

3.4 Medición del caudal 26

3.5 Descripción de la técnica PIV 27

3.5.1 Características del PIV 28

3.5.2 Principios de Velocimetría por imágenes de partículas 28

4.1 Matriz de pruebas 31

4.2 Procedimiento experimental 31

4.3 Perfiles de velocidad 36

4.4 Campos de velocidad, líneas de corriente y vorticidad 40

4.4.1 Flujo estancado con burbuja 40

4.4.2 Flujo de líquido ascendente sin burbuja 43 4.4.3 Flujo de líquido ascendente con burbuja 47 4.4.4 Flujo de líquido descendente sin burbuja 50 4.4.5 Flujo de líquido descendente con burbuja 53 4.5 Determinación de la velocidad de la burbuja 56

CAPÍTULO 5. SIMULACIÓN NUMÉRICA 59

5.1 Metodología 59

Número

Nombre de la tabla

Página

3.1 Accesorios en el arreglo hidráulico. 22

4.2 Matriz de pruebas. 31

4.3 Resultados obtenidos en la experimentación con la técnica PIV. 58

5.1 Independencia de malla para la simulación de flujo ascendente. 66

5.2 Independencia de malla para la simulación de flujo descendente. 70

5.3 Independencia de malla en la simulación de flujo alrededor de un elipsoide.

Número

Nombre de la figura

Página

1.1 Trayectoria de burbujas continuas con diámetro de 1mm

aproximado. 5

1.2 Burbuja esférica típica. 5

1.3 Relación de volumen de burbuja con el volumen de la estela de 3 a 1.

6 1.4 Formas de las burbujas estáticas. (a) burbuja adherida, (b) burbuja

pendiente y (c) burbuja flotante.

9

1.5 Burbuja esférica. 10

1.6 Burbujas de forma elipsoidal. 11

1.7 Burbuja del tipo casquete elipsoidal. 11

1.8 Esquema clásico de una burbuja en régimen slug. 12 1.9 Limites entre los tres principales rangos en donde se ajustan las

burbujas de acuerdo a su forma.

14 2.1 Fuerzas principales que actúan sobre una burbuja. 16

3.1 Zona de pruebas. 23

3.2 Montaje experimental ubicado en el laboratorio de ingeniería térmica e hidráulica aplicada.

24 3.3 a) Placa de acrílico graduada con papel milimétrico, b) placa de

calibración en zona de pruebas.

25 3.4 Comparación del caudal medido por el rotámetro con el caudal

pesado en una probeta graduada.

26

3.5 Sistema PIV (LABINTHAP). 27

4.1

Condiciones de flujo experimentados, a) inyección de burbuja en flujo estancado, b) inyección de burbuja en flujo de líquido ascendente y c) inyección de burbuja en flujo del líquido descendente.

30

4.2 Diagrama de flujo del procedimiento seguido en los experimentos. 33

4.3 Secuencia de adquisición de imágenes. 34

4.4 Calibración del plano a captar. 34

4.5 Posición de la zona de pruebas para flujo ascendente y descendente. 35 4.6 Comparación del perfil de velocidad teórico y experimental para el

caso de flujo ascendente sin burbuja.

36

4.7

Comparación del perfil teórico y experimental para la condición de

flujo ascendente con burbuja. 37

4.8 Comparación del perfil de velocidad teórico y experimental para flujo descendente sin burbuja.

4.10 Puntos para calcular la velocidad promedio. 39 4.11 Partículas iluminadas en la zona de pruebas en el caso de líquido

estancado con burbuja.

40 4.12 Partículas iluminadas en la zona de pruebas en el caso de líquido

estancado con burbuja 3ms después.

40 4.13 Área analizada en el análisis con PIV para el caso de líquido

estancado con burbuja.

41

4.14 Área analizada por el software. 42

4.15 Campo de velocidad instantáneo para el caso de líquido estancado con burbuja.

42 4.16 Campo de vorticidad para el caso de líquido estancado con burbuja. 43 4.17 Partículas iluminadas por el láser, en el caso de flujo ascendente. 44 4.18 Partículas iluminadas por el láser en el caso de flujo ascendente

3ms después.

44 4.19 Área selecciona en el análisis con PIV para el caso de flujo

ascendente.

45 4.20 Campo de velocidad promedio para el caso de flujo ascendente sin

burbuja.

45 4.21 Campo de líneas de corriente para el caso de flujo ascendente sin

burbuja.

46 4.22 Campo de vorticidad para el caso de flujo ascendente sin burbuja. 46 4.23 Partículas iluminadas en la zona de pruebas para el caso de flujo

ascendente con burbuja.

47 4.24 Partículas iluminadas en la zona de pruebas para el caso de flujo

ascendente con burbuja 3ms después.

47 4.25 Área analizada con PIV para el caso de flujo ascendente con

burbuja.

48 4.26 Campo vectorial instantáneo del flujo ascendente con burbuja. 48 4.27 Campo de líneas de corriente para el caso de flujo ascendente con

burbuja.

49 4.28 Campo de vorticidad para el caso de flujo ascendente con burbuja. 49 4.29 Partículas iluminadas por el láser para el caso de flujo descendente. 50 4.30 Partículas iluminadas por el láser para el caso de flujo descendente

3ms después.

50 4.31 Área selecciona en el análisis con PIV, para el caso de flujo

descendente.

51 4.32 Campo de velocidad promedio para el caso de flujo descendente sin

burbuja.

51 4.33 Líneas de corriente generadas por el campo vectorial para el caso de

flujo descendente.

52 4.34 Campo de vorticidad para el caso de flujo descendente sin burbuja. 52 4.35 Partículas iluminadas por el láser en el caso de flujo descendente

con burbuja.

4.38 Campo de velocidad instantáneo para el caso de flujo descendente con burbuja.

54 4.39 Líneas de corriente generadas a partir del campo de vectores

instantáneo para el caso de flujo descendente con burbuja.

55 4.40 Campo de vorticidad para el caso de flujo descendente con burbuja. 55 4.41 Desplazamiento de la burbuja en líquido estancado. 56 4.42 Desplazamiento de la burbuja en flujo ascendente. 57 4.43 Desplazamiento de la burbuja en contra flujo. 57 5.1 Contornos de fracción volumétrica de las fases líquida y gas. 62

5.2

Resultados obtenidos de la simulación utilizando el modelo VOF. las simulaciones se hicieron con los siguientes diámetros de burbuja a) 4mm, b) 5mm, c) 7mm, d) 9mm, e)12 mm y f) 20mm.

63

5.3 Mallado utilizado en el caso de flujo ascendente. 64

5.4 Residuales del caso flujo ascendente. 65

5.5 Mapa de vectores de velocidad en Fluent, en un tubo de diámetro de 32mm con una altura de 100mm.

65 5.6 Perfil de velocidad para flujo ascendente sin burbuja obtenido con

PIV y Fluent.

66 5.7 Mallado utilizado en el análisis del flujo descendente. 67 5.8 Residuales obtenidos en el segundo caso con un orden por debajo de

1x10-7.

68 5.9 Campo de vectores de velocidad para flujo descendente sin burbuja,

obtenidos con Fluent.

69 5.10 Perfil de velocidad para flujo descendente sin burbuja obtenido con

PIV y Fluent.

70 5.11 Geometría utilizada en el análisis de la burbuja en líquido

estancado.

71

5.12 Residuales del caso 3. 72

En el presente trabajo de investigación se construyó una instalación experimental en la que se estudió la influencia de una burbuja en flujo concurrente, en contra-corriente y fluido estancado. El diseño de la instalación permitió hacer el cambio de dirección del flujo con un arreglo de válvulas, con lo cual se obtuvieron las condiciones de flujo planeadas en una matriz experimental. Para obtener las condiciones de flujo deseadas en la zona de pruebas se utilizó como instrumento de medición secundario un rotámetro.

Para lograr el objetivo de este trabajo de obtener el campo de velocidad de la fase líquida con la perturbación de una burbuja inmersa en ella, se utilizó la técnica de medición de Velocimetría por Imágenes de Partículas (PIV), con la cual se captaron pares de imágenes consecutivas mediante una cámara CCD. Estos pares de imágenes permitieron obtener los campos de velocidad instantáneos mediante el algoritmo de correlación cruzada utilizado por el sistema de medición.

Con los datos obtenidos del sistema PIV, se obtuvieron los perfiles de velocidad instantáneo y promedio del líquido para un Re de 2600 aproximadamente, los cuales se compararon con los perfiles teóricos correspondientes al caudal señalado en la matriz de pruebas experimental.

Dentro del análisis que se llevó a cabo con el software Flowmanager, utilizado por el sistema, se obtuvieron los campos de líneas de corriente y de vorticidad instantáneos para todos los casos. Con los datos obtenidos se cuantificó la influencia de una burbuja sobre el flujo del líquido en sus diferentes condiciones.

Además del análisis experimental, se obtuvieron resultados a partir de una simulación numérica. En el desarrollo de esta etapa se generó la geometría con sus diferentes condiciones de frontera, así como la selección del modelo de turbulencia k-ε, debido a que se trabajó en la zona de transición de flujo. Como primer objetivo, se trató de implementar el modelo VOF que es aplicable al modelado de los flujos bifásicos, sin embargo durante la simulación este modelo resultó limitado y en consecuencia su aplicación a este caso no arrojó resultados satisfactorios. Por lo cual se tomó la opción de tratar a la burbuja como un sólido fijo y observar el comportamiento sólo de la fase líquida.

mucho de los resultados experimentales.

In this work an experimental installation was constructed to study bubbly flow for stagnant, concurrent and counter-current conditions. The set-up design allows changes in the flow direction using a valve arrangement. A rotameter was used as secondary measurement instrument to ensure the desired flow condition.

To achieve this work objective, the Particle Imagine Velocimetry (PIV) technique was used. In this technique a series of images was captured by using a CCD camera, these pairs of images were used to obtain velocity fields using the cross-correlation algorithm.

With the data obtained from PIV system, the liquid phase velocity profiles were obtained, which were compared with the theoretical profiles corresponding to the flow conditions stated in the experimental matrix. The streamlines and vorticity fields were also obtained showing the influence of a bubble within stagnant liquid, as well as in liquid flowing upwards and downwards in a vertical pipe, with a Reynolds number in both cases of 2600 approximately.

Besides the experimental results, a numerical simulation was performed. In the development of this stage a geometry was constructed using a grid generator with its different boundary conditions. The turbulence model selected in the solution of each one of the cases was k-ε due to transition regime in liquid flow. First, the VOF model was tested. However, during the simulation this model results were limited and consequently its application to our case did not produce satisfactory results. That is why the option considering the bubble as a fixed solid to observe the liquid phase behavior around it was implemented.

Símbolo Descripción

Unidades

A Área m2

e

A Área superficial de la esfera equivalente m2

P

A Área Proyectada m2

a Aceleración m/s2

d

C Coeficiente de arrastre en el medio continuo

lift

C Coeficiente de sustentación

vm

C Coeficiente másico virtual

A

d Diámetro de burbuja equivalente m

b

d Diámetro equivalente de la esfera m

de Diámetro equivalente m

Eo Número de Eötvös

Fe Fuerza de Flotación N

i

F Fuerzas interfaciales en el líquido N/m3

Fr Fuerza de rozamiento N

w

F Fuerza de fricción en la pared N/m3

wl

f Fuerza de sustentación en la pared actuando en la burbuja

N/m3

i

f Fuerza neta interfacial actuando sobre la burbuja

N/m3

w

f Factor de fricción

lift

f Fuerza de sustentación actuando en la burbuja N/m3

vm

f Fuerza másica virtual actuando sobre la burbuja

N/m3

g _{Aceleración debida a la gravedad m/s}2

h Profundidad m

ho Profundidad inicial m

k Factor de forma volumétrico

kt Coeficiente indicador del efecto de la velocidad del líquido sobre Cd

kv Relación de viscosidad

kw Coeficiente del efecto de la pared sobre Cd

M Número de Morton

m Masa kg

w

n Vector normal unitario de la superficie exterior m

PA Perímetro proyectado de la esfera equivalente m

PP Perímetro proyectado m

Q Caudal l/min

R Radio de la burbuja m

u Velocidad en la componente x m/s

b

u Velocidad de la burbuja m/s

l

u Velocidad del líquido m/s

b l

u Velocidad local del líquido m/s

si turb

u Fluctuación de velocidad asociada con la

turbulencia

m/s

wi turb

u Fluctuación de velocidad asociada con la estela

hidrodinámica

m/s

V Volumen m3

b

v Velocidad de la burbuja m/s

x Coordenada m

y Coordenada m

b

y Distancia desde la pared m

z Coordenada axial m

Letras griegas

ψ _{Grado esférico}

∑ Perímetro equivalente m

δ Distancia entre superficies, burbuja-pared m

∆ Incremento.

γ _{Peso especifico del líquido N/m}3

d

γ Relación de densidad

µ _{Viscosidad dinámica del fluido Pa.s}

α Fracción volumétrica

l

α Fracción volumétrica del líquido

ρ _{Densidad kg/m}3

b

ρ Densidad de la burbuja kg/m3

¢ Grado de circular

π Pi

σ Tensión superficial kg/s2

Subíndices

b Burbuja

El estudio del flujo multifásico, ha tomado una gran importancia a partir del desarrollo de la industria petrolera y se define como el flujo simultáneo de varias fases. El caso más común y el que se ha venido estudiando con mayor énfasis es el flujo bifásico, es decir, un flujo que contiene dos compuestos diferentes, y cada uno de ellos se puede encontrar en la misma fase o en diferentes fases (sólida, líquida o gaseosa). También puede haber un mismo compuesto pero en dos estados diferentes.

Dentro de los flujos bifásicos existen diferentes fenómenos con comportamientos muy particulares, por ello es necesaria una clasificación de los diferentes patrones de flujo. De acuerdo con Hewitt, Hall y Taitel los patrones de flujo que se pueden presentar en el flujo Bifásico son: Burbujeante, Slug, Churn y Anular [1].

El flujo Burbujeante se caracteriza por la presencia de un gran número de burbujas dispersas en un medio continuo de diferentes tamaños y formas. Cuando la velocidad promedio del líquido es mucho más alta en comparación con la velocidad del gas, la fuerza del flujo del líquido rompe las burbujas de gas generando unas más pequeñas. El flujo burbujeante encuentra su mayor aplicación en Ingeniería Química y Nuclear estando presente en los fenómenos de Transferencia de Calor, Masa y Mezclado.

Dentro del estudio del flujo burbujeante se requiere estudiar el campo de flujo alrededor de una burbuja inmersa en una fase continua líquida para servir de referencia en el desarrollo de modelos matemáticos que describan el flujo. En este trabajo se lleva a cabo un estudio experimental-numérico de este fenómeno. Para ello se utiliza la técnica de Velocimetría por Imágenes de Partículas (PIV) y se complementa con una simulación numérica utilizando el código FLUENT.

En el capítulo uno se realiza un estudio de las aplicaciones de las burbujas en diversos procesos industriales, así como su presencia en algunos desarrollos tecnológicos, también se mencionan algunos estudios que se han llevado a cabo por diversos investigadores sobre algunas particularidades de las burbujas.

Dentro del capítulo dos se lleva acabo una descripción del fenómeno físico, en el que se describen las fuerzas fundamentales que intervienen en el movimiento de la burbuja en el medio continuo, además se presenta una correlación matemática para estimar las dimensiones de la burbuja y algunos factores tomados en cuenta en el estudio de una burbuja en forma individual.

En el capítulo cuatro se describe el procedimiento experimental y los resultados obtenidos. También se presenta un banco de datos obtenido de acuerdo a una matriz experimental, con todos los casos experimentados.

En el capítulo cinco se presentan los resultados de una simulación numérica en la que se reproducen algunos casos de la matriz de pruebas experimental, con los que se obtienen varias observaciones sobre la aplicación del código Fluent para el estudio del flujo burbujeante.

CAPÍTULO 1

1.

Antecedentes de las burbujas inmersas en un líquido.

Las burbujas se encuentran presentes en muchas actividades industriales y ocupan un lugar importante en diferentes áreas de la ciencia como la física, química y medicina [2], por lo tanto están involucradas con diferentes procesos dentro de ingeniería. En estos procesos se pueden mencionar los siguientes: aeración de minerales, elaboración de polímeros y en la elaboración de algunas bebidas refrescantes.

Las burbujas, con su constante presencia en múltiples sistemas de fluidos, han logrado influir significativamente en el desarrollo de varios procesos. Algunos de ellos son los siguientes:

• Extracción y transporte de crudo. En esta actividad petrolera se presenta el problema de flujo slug, en el cual, la inyección de burbujas es una alternativa a su solución, lo que permite elevar el aceite pesado a la superficie.

• Reactores. Dentro de la ingeniería química su presencia esta en los reactores, en los cuales las burbujas aumentan el área de contacto entre fases y se involucran en la transferencia de calor.

• Mezclado en procesos industriales. En esta área las burbujas son utilizadas para impulsar flujos de sustancias líquidas y generar en ellos turbulencia con el propósito de mejorar el mezclado [4].

• Aeración. En este proceso la trayectoria de las burbujas influye en la absorción de gas, [4].

En la naturaleza, las burbujas pueden ser encontradas en el océano, dentro del oleaje, en este proceso natural las burbujas rompen su estructura en la superficie, influyendo en la absorción de dióxido de carbono atmosférico.

Uno de los aspectos interesantes que se han estudiado, es la trayectoria que una burbuja deja a su paso por un medio continuo, el cual tiene que ver con importantes efectos de transferencia de masa entre el gas y el líquido [4].

La pregunta que se planteó este investigador fue ignorada por muchas décadas, y aunque la burbujas se encuentran presentes en muchas actividades industriales, pasaron desapercibidas.

Con el desarrollo de la tecnología, los científicos se dieron cuenta de que las burbujas tienen repercusiones muy marcadas en los fenómenos físicos y por lo tanto surge la necesidad de desarrollar estudios sobre ellas. En los últimos años, se han desarrollado diferentes análisis sobre el tema, entre los cuales abordan diferentes aspectos y aplicaciones de las burbujas.

Durante el estudio de este fenómeno, propio de los flujos bifásicos, se han encontrado diferentes observaciones, como por ejemplo, Vermillon [3], en su estudio con burbujas en un tubo de acrílico con agua estancada realizó las siguientes observaciones:

a) Las burbujas cuando se desplazan dejan una estela a su paso, así como también experimentan una alteración en su forma conforme se elevan.

b) Si el medio continuo no es lo suficientemente limpio y libre de impurezas, estas afectarán la deformación de la superficie de la partícula [3].

Por otro lado Yoshida S., ha realizado estudios sobre las trayectorias que describen las burbujas durante su elevación. Este autor tomó en consideración la influencia de las paredes sobre las burbujas que se desplazan en el medio continuo para describir su comportamiento. El rango de tamaño de las burbujas, con el que éste autor ha trabajado es de 1 a 10mm de diámetro, en sus reportes concluye que las trayectorias de las burbujas son del tipo espiral o en Zigzag, dependiendo del tamaño de estas [4].

Las burbujas también han sido objeto de estudio desde el punto de vista de su forma, Rust A., presenta un análisis en cuanto a la orientación que tienen la burbujas dependiendo de su forma, en Fluidos Newtonianos, y relaciona la viscosidad del medio continuo en el que se desplaza la burbuja con su tamaño y deformación [5].

El estudio sobre las burbujas es un tema de importancia para diversos sectores de investigación alrededor del mundo, como por ejemplo, científicos del Oak Ridge Nacional Laboratory, del Rensselaer Polytecnich Institute y de la Academia Rusa de las Ciencias, han informado de resultados que sugieren la posibilidad de reacciones nucleares durante el colapso explosivo de burbujas en un líquido, al cual le han denominado cavitación nuclear [6].

1.1 Formación de burbujas

Existen diferentes formas de crear burbujas e inducirlas en un medio continuo. Se puede decir que para crear una burbuja, basta con inyectar una cierta cantidad de gas en un recipiente lleno de un líquido [7]_. Este sería el método más sencillo. Sin embargo, existen métodos más complicados en los que intervienen reacciones químicas, pero el método que se utilizó en este análisis, es la inyección de aire mediante una aguja.

Una vez que se tiene la presencia de una burbuja del tamaño deseado, se inicia el estudio con la observación del fenómeno que se presenta con las dos fases. En la elevación de una pequeña burbuja se involucran diferentes principios de la física y la mecánica de fluidos. Cuando la burbuja se eleva, se encuentra presente una fuerza de flotación que la desplaza hacia la superficie del medio continuo, experimentando una fuerza de fricción, lo interesante de este fenómeno es que en su desplazamiento, el comportamiento de la burbuja se presenta de manera irregular, esta irregularidad es función de diferentes variables, tales como: tamaño, velocidad, densidad del líquido, densidad del gas, etc.

La generación de burbujas es esencial en un gran número de equipos industriales en donde el área de contacto interfacial es fundamental, como por ejemplo: en columnas de burbujas, vasos de fermentación, equipos de extracción, etc., en donde las burbujas son generadas por medio de fuerzas aplicadas a la fase dispersa, la cual es forzada a pasar a través de pequeños orificios o pequeños poros que están en contacto con la fase continua [8]. Este mismo principio es aplicado en muchos casos, como por ejemplo en la atomización de líquidos en donde la fase dispersa es el líquido y el medio continuo es la atmósfera.

Existe un gran número de trabajos en que se recurre a la formación de burbujas por medio de orificios pequeños o pequeñas toberas como el de Fujiwara A., en el que inyecta una burbuja mediante una aguja para estudiar la fuerza que actúa sobre la burbuja causante de su deformación [9]. En este estudio sólo se considera la formación de burbujas mediante la inyección de aire con una aguja hipodérmica de longitud 13 cm con diámetro de 0.1 cm.

1.2 Trayectoria de las burbujas

Cuando una burbuja se encuentra inmersa en un líquido, ésta cambia de forma. En primer lugar experimentan una oscilación volumétrica y posteriormente una oscilación eje simétrica. Es conocido que mientras las burbujas experimentan las oscilaciones volumétricas emiten una señal acústica la cual es utilizada para determinar su radio, esta técnica es la que más se usa en la determinación del tamaño de las burbuja [10].

Cuando una burbuja se eleva deja una estela, la cual puede provocar vórtices que influyen en su dinámica. Una burbuja que en un principio tiene una trayectoria en espiral asciende y puede cambiar su trayectoria a zigzag como fue observado por Lunde y Perkins [7].

En los procesos industriales el movimiento de las burbujas no se presenta de manera individual, este se lleva a cabo como un conjunto de ellas y de manera continua, es importante notar que cuando este fenómeno se presenta, la interacción de una burbuja con respecto a otra influye de manera significativa en su forma de oscilar [4].

Cuando se analiza el comportamiento de las burbujas inmersas en una columna de líquido se pueden presentar diversos fenómenos, uno de ellos es cuando una burbuja se fracciona para formar a otras de menor tamaño. Existe una altura crítica en que una burbuja puede partirse en dos, esto sucede cuando la partícula toma una forma especial. Las burbujas pequeñas pueden tener alturas críticas más grandes, ya que esta altura esta en función del diámetro de éstas. Esto puede deberse a que su superficie es menor y sufren menos distorsiones en su forma.

Las velocidades con las que se elevan tanto burbujas de diámetros pequeños como de diámetros grandes son muy sensibles en la región de trayectoria en espiral. Estas indican que para amplitudes largas en espiral las burbujas pequeñas pueden conducir a tener un menor arrastre total y así conseguir una elevación más eficiente de la partícula.

Las burbujas de diámetro aproximado de 1mm en su elevación permanecen con forma uniforme y describen trayectorias en espiral con grandes amplitudes, las cuales pueden habilitar a las partículas para elevarlas tan rápido como las burbujas grandes como se muestra en la figura 1.1

Cuando una burbuja viaja a través de un medio continuo puede trazar diferentes trayectorias las cuales dependen de su forma, velocidad, densidad del líquido en el que se encuentra inmersa, así como otros factores que aun se están investigando [11].

1.3 Forma de las burbujas

En la naturaleza existe un sin número de formas y figuras que adoptan los diferentes organismos que coexisten en ella y las burbujas también adoptan ciertas formas características cuando se encuentran inmersas en columnas y flujos de líquido. Sin embargo, estas formas se pueden clasificar en un rango de estructuras y geometrías.

información acerca de su geometría [7]. De esta manera, el estudio de este tipo de formas es complicado ya que cambiaconforme se va elevando a la superficie.

Figura 1.1 Trayectoria de burbujas continuas con diámetro de 1mm aproximado [4].

En la figura 1.2 se muestra una forma típica de una burbuja de gas inmersa en una columna de líquido. Esta burbuja tiene una capa superior esférica idéntica a su forma trasera, la cual está directamente asociada con la estela que deja a su paso. Típicamente la estela de la burbuja tiene una relación con el volumen de la misma de 3 a 1 [8], esto se muestra en la Figura 1.3

Figura 1.3 Relación de volumen de burbuja con el volumen de la estela de 3 a 1 [8].

Según Clift [7] es posible clasificar las formas de las burbujas en dos regimenes de acuerdo a su desplazamiento influenciado por la gravedad. Los cuales se mencionan a continuación.

1.3.1 Forma de acuerdo a su simetría

Es conveniente clasificar a las burbujas de acuerdo a su geometría en un grupo general. Esto nos facilitará la predicción de propiedades de las burbujas de acuerdo a su forma, así como la dinámica de su movimiento en su elevación. Este grupo puede subdividirse en los siguientes subgrupos.

a) Burbujas axisimétricas.

Este grupo comprende a las formas de las burbujas que generan rotación alrededor de un eje. Las burbujas esferoidales (también conocidas como elipsoides de revolución) son de particular interés, estas formas tan particulares no sólo son adoptadas por burbujas sino que también por gotas y algunos cuerpos sólidos. Un esferoide es un elipsoide de revolución, generado por la rotación de una elipse alrededor de su eje principal. Una burbuja axisimétrica es simétrica con respecto a todos los planos que contienen sus ejes.

b) Burbujas ortotrópicas.

Una burbuja tiene un plano de simetría si la figura es invariante en la reflexión del plano. Las partículas ortotropicas tienen tres planos perpendiculares de simetría mutuos.

c) Burbujas esféricas isotropicas.

1.3.2

Factores que afectan la forma de las burbujas

Muchas burbujas de interés práctico son de forma irregular y por lo tanto no entran en la clasificación antes mencionada. Una variedad de factores empíricos han sido propuestos para describir a las burbujas que no obedecen a una forma esférica y así poder correlacionar su comportamiento. La descripción empírica de la forma de la burbuja es obtenida por los siguientes parámetros.

• Volumen, V

• Área de la superficie, A

• Área Proyectada, Ap

• Perímetro proyectado, Pp

Muchas de las formas de las burbujas que ocurren en la naturaleza tienen una forma lenticular u oblícua. En este caso, la dirección de referencia es usualmente tomada paralela al espesor de la burbuja, la distancia mínima entre dos planos paralelos tangenciales a las superficies opuestas. La burbuja es observada o fotografiada en sus superficies frontal y trasera partiendo de un plano horizontal, entonces es posible obtener tanto el área que proyecta Apcomo el perímetro proyectado Pp.

Conociendo los valores Apy Pp, podemos definir una esfera equivalente. La referencia más común es el volumen equivalente de la esfera, la cual muchos autores describen a este volumen como una “esfera equivalente”. El término “Factor de forma de la partícula” es definido como el valor del “equivalente radio de la esfera”.

De los muchos factores de forma existentes, los más utilizados son los que se describen a continuación. Todos los factores de forma están abiertos a posibles observaciones sobre si es aplicable a todos los cuerpos de formas diferentes pero esto es inevitable, si las formas regulares o complejas están siendo descritas por un solo parámetro.

a) Factor de forma volumétrico.

Clift [7] propone la utilización amplia de un parámetro empírico basado en la proyección del perfil de forma. Este factor es el “Factor de Forma Volumétrico” el cual es definido matemáticamente de la siguiente manera:

(1.1)

Donde P_π

A

A

d = 4 es el diámetro de la esfera con la misma área de la burbuja proyectada, es decir la esfera equivalente.

3

/ V dA

k =

Algunos otros métodos han sido sugeridos de la estimación de con la determinación de .

A

d

p A

Wadel [7] propone que el “Grado esférico” el cual es definido en la siguiente manera:

e

A Area superficial del volumen de la esfera equivalente

A Área superficial de la burbuja

ψ = = (1.2)

De tal manera que cuando el grado esférico ψ es igual a 1, se esta hablando de una esfera real. Aunque el grado esférico fue la primera simplificación introducida a la medición de la forma de una burbuja, este fue subsecuentemente reclamando los coeficientes de arrastre para ser aplicado, existen algunas justificaciones teóricas para el uso de este factor de forma como un parámetro que correlaciona el arrastre del flujo con una burbuja de proporciones geométricas parecidas a una esfera. Pero para otras circunstancias esto es puramente empírico. Para las formas que se asemejan a una esfera es fácil determinar la relación igual a 1, pero cuando las formas de las burbujas son muy irregulares este factor se vuelve algo difícil de determinar.

c) Grado Circular

Wadel [1] también introdujo este factor de forma, conocido como “Grado circular” que se describe de la siguiente forma:

A A

P P

P Perímetro proyectado de la esfera equivalente d

¢

P Perímetro proyectado de la burbuja. P

π

= = = (1.3)

El grado circular de una burbuja puede ser determinada por medio de observación microscópica o fotográfica. Por lo regular este factor es utilizado para justificar fundamentos empíricos, sin embrago ha permitido un avance en algunas correlaciones del comportamiento y orientación de la burbuja inmersa en un líquido.

d) Perímetro equivalente.

Para cuerpos axisimétricos con flujo de arrastre paralelo al eje de simetría, Bowen y Masliyah [7] propusieron que el parámetro de forma más usado es el que esta basado en una esfera con el mismo perímetro, P,, proyectado normalmente al eje. Este factor de forma está dado por la siguiente expresión:

,

P

A Área superficial de la burbuja

A Área superficial del perímetro equivalente de la burbuja.

La determinación del perímetro equivalente es valiosa para estudiar el movimiento normal de la burbuja con respecto al eje, para la difusión de la masa y la transferencia de calor.

1.4 Regímenes de forma de las burbujas

Las burbujas como ya se mencionó anteriormente, tienden a deformarse cuando se someten a campos de esfuerzos externos hasta que alcanzan un equilibrio los esfuerzos normales y cortantes en la interfase de la burbuja y el líquido. Cuando las comparamos con un número infinito de formas posibles de partículas sólidas, las burbujas en estado estacionario son severamente limitadas en el número de posibilidades desde ciertas características como esquinas agudas o perturbaciones, las cuales impiden un equilibrio de las fuerzas interfaciales.

1.4.1 Burbujas estáticas

Las burbujas que no se mueven bajo la influencia de la gravedad sobre una placa plana o cualquier otra superficie, son denominadas “Adheridas” figura 1.4a. Cuando las burbujas permanecen adjuntas a una superficie en la que actúa la gravedad para influir sobre ellas de alguna u otra forma son denominadas “pendientes” mostradas en la figura 1.4b. Cuando las burbujas flotan en la superficie de un fluido como se muestra en la figura 1.4c, estas se ajustan en la interfase de dos fluidos.

(a)

(c)

(b)

Figura 1.4 Formas de las burbujas estáticas. (a) burbujas adheridas, (b) burbujas pendientes y (c) burbuja flotante [1].

determinación de las tensiones superficial e interfacial, así como los ángulos de contacto de las dos fases. Tales métodos son posibles debido a que las interfases de las burbujas en el fluido estático pueden estar en equilibrio con respecto a los gradientes de la presión hidrostática y a los incrementos en los esfuerzos normales debidos a la tensión superficial en una interfase curva.

1.5 Formas de burbujas en movimiento libre

Las burbujas que ascienden en movimiento libre o que caen en un medio infinito bajo la influencia de la gravedad se agrupan generalmente en las siguientes tres categorías:

a) Burbujas esféricas.

Generalmente se habla de que las burbujas se encuentran consideradas como esferas si la tensión interfacial y las fuerzas viscosas son mucho mayores que las fuerzas inerciales, este tipo de burbuja se muestra en la figura 1.5

Figura 1.5 Burbuja esférica típica.

b) Burbujas elipsoidales

El término elipsoidal es generalmente usado para referirse a las burbujas que son ordinariamente ovaladas con una interfase convexa (vista desde adentro) alrededor de la superficie interior. Esta forma de burbuja característica se muestra en la figura 1.6

Figura 1.6 Burbujas de forma Elipsoidal [12].

c) Frente esférica o Elipsoidal.

Las burbujas grandes tienden a adoptar bases planas o dentadas y a carecer de simetría en la parte frontal y trasera de las mismas. Tales burbujas se observan como segmentos cortados de esferas o de esferoides ovalados, además de que tienen poca excentricidad; en estos casos el término “Frente esférica o frente elipsoidal” puede ser utilizado de acuerdo a la literatura. Si la burbuja tiene cortaduras en su forma trasera en ocasiones se le denomina como “dentada”. Las burbujas esféricas o de frente elipsoidales pueden desarrollar estelas del gas a las cuales hacen referencia como “rastro de la burbuja”. Algunos esquemas de este tipo de burbujas se muestran en la figura 1.7

Figura 1.7 Burbujas del tipo Casquete Elipsoidal [13].

Figura 1.8 Esquema clásico de una burbuja en régimen Slug [14].

Para las burbujas que se elevan libremente en un medio continuo infinito, es posible desarrollar una gráfica generalizada en términos del número de Eötvös Eo, número de Morton M, y el número de Reynolds Re. Los cuales se expresan matemáticamente de la siguiente manera:

Número de Eötvös.

σ ρd_e2/

g

Eo= ∆ (1.5)

Número de Morton.

3 2 4

/ρ σ ρ µ ∆ = g

M (1.6)

Número de Reynolds.

. /

Re=ρd_ev µ (1.7)

Estos números adimensionales son de mucha utilidad en la determinación de la forma de la burbuja, en el diagrama propuesto en la figura 1.9 [7], en donde el número de Eötvös representa la relación entre las fuerzas de capilaridad y la fuerza debida a la gravedad. Mientras que el número de Morton sólo depende de las propiedades del fluido en el que se encuentra inmersa la burbuja.

o relación de viscosidad,k_v =µ_b/µ, encontrados para gotas de agua que se desplazan en medio gaseosos. Por otra parte el rango de aplicación de esta gráfica a valores de volumen de las burbujas es muy amplio. Podemos observar que el número de Reynolds es el único de los tres números que contiene al término velocidad y en la gráfica es utilizada para definir los valores de velocidad así como el régimen de la forma de la burbuja.

Si los límites entre los diferentes rangos son arbitrarios, es claro que las burbujas son elipsoidales para número de Reynolds relativamente altos, para valores intermedios de Eo, mientras que para obtener las burbujas denominadas de frente elipsoidales o frente circular es necesario que tengamos Re y Eo bastante grandes.

El análisis de las burbujas abarca un campo con diversas aplicaciones y resulta interesante su estudio científico. Este puede iniciarse desde el análisis de la elevación de la burbuja en un medio continuo, su formación de estas en distintos procesos, hasta los casos más complejos, como lo es el estudio de las trayectorias que describen en su asenso, el rompimiento de estas, el impacto que provocan, etc.

Esférica Elipsoidal Burbuja aplanada Burbuja con frente esférico Burbuja con forma de borde Burbuja con frente elipsoidal LOG M -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 103 2 10 10 1 -1 10 10-2 10-1 1 10 102 3 10 104 5 10 NÚ ME RO D E REYN OLDS , Re

Número Eötvös Eo

CAPÍTULO 2

2. Descripción del movimiento de una burbuja inmersa.

El fenómeno estudiado en este trabajo es la interacción de una burbuja (aire) inmersa en un medio continuo (agua). Para ello es necesario identificar las principales fuerzas que intervienen en el desarrollo del fenómeno. Como se mencionó en el primer capítulo, cuando una burbuja es inyectada en un medio continuo esta tiende a desplazarse con trayectoria y forma características, las cuales están en función de diferentes variables.

Para entender el fenómeno y lograr la aplicación de un modelo matemático que se acerque al comportamiento real de una burbuja inmersa en agua, presentamos las principales fuerzas que actúan sobre ella mientras permanece inmersa en el medio continuo.

Cuando se presenta el desplazamiento vertical de una burbuja, se puede observar, que la burbuja asciende hacia la superficie de un fluido viscoso con una velocidad, cuya magnitud se incrementa con el tamaño de ésta. Sabemos que mientras transcurre el fenómeno, la burbuja experimenta la acción de la presión debido a la columna de agua, si es que está estático y la presión atmosférica si la superficie de fluido esta abierta al ambiente.

El cambio de presión en un líquido homogéneo debido al cambio en elevación se puede calcular a partir de la siguiente ecuación:

h

p=γ

∆ (2.1) Las burbujas estudiadas oscilan en diámetros de 0.3 – 0.4 cm, en este rango las burbujas se han estudiado en diferentes trabajos en los cuales se hacen dos suposiciones: a) el movimiento ascendente de las burbujas es suficientemente lento para que sigan una trayectoria rectilínea, b) las deformaciones son mínimas, por lo tanto, su forma se puede considerar esférica.

Las burbujas de diámetro mayor tendrán que considerar factores de forma, ya que las burbujas mayores empiezan a oscilar a medida que ascienden, debido a su estela hidrodinámica y al arrastre interfacial, perdiendo su forma esférica a medida que se acercan a la superficie del líquido [7].

Concentrándonos en las fuerzas que actúan directamente sobre una burbuja que se desplaza en un medio continuo estático, podemos identificar las siguientes:

2.1 Fuerza de Rozamiento sobre una burbuja

está descrita por la ley de Stokes. En la figura 2.1 se muestra un esquema de las fuerzas esenciales que actúan sobre una burbuja de aire sumergida en un líquido.

Fe

Figura 2.1 Fuerzas principales que actúan sobre una burbuja.

En la figura anterior mostramos tanto la fuerza de flotación como la de rozamiento con un vector resultante en la dirección en la que actúan, aunque hay que aclarar que la fuerza de rozamiento actúa de forma paralela al flujo.

De acuerdo con la ley de Stokes, la fuerza de rozamiento que actúa sobre la burbuja de aire se define de la siguiente manera:

v R

F_r =6π µ (2.2) La segunda fuerza que actúa sobre la burbuja es la fuerza de flotación , que es expresada de acuerdo al principio de Arquímedes de la siguiente manera:

e F

“Si un objeto está sumergido en un líquido, o flotando en una superficie, la fuerza vertical neta que actúa sobre él debido a la presión del líquido recibe el nombre de flotación” [9]. Considere una burbuja sumergida en un líquido estático como se muestra en la figura 2.1 Fuerza de Flotación sobre una burbuja:

3 3 4

R g

F_e = ρ π (2.3)

En un experimento de laboratorio realizado por Vermillon [3] se puede observar las siguientes dos características de este fenómeno:

A partir de las fuerzas conocidas hasta ahora, podemos realizar el siguiente análisis:

Si consideramos que la masa y el peso del aire son despreciables debido a que la burbuja es de radio aproximado a 2 mm y aplicamos la segunda ley de Newton, tenemos lo siguiente:

0

≈ =

−F ma

F_{e r} (2.4) Sustituyendo 2.2 y 2.3 en 2.4, tenemos:

0 6

3

4 3+ =

dt dh R R

g π π µ

ρ (2.5)

Ahora, cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso, al cabo de un cierto tiempo alcanza una velocidad constante.

Suponiendo que el radio de la burbuja es función de la profundidad h, la ecuación del movimiento se puede escribir de la forma siguiente:

0 9

2 0 _⎟ 2 =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + R h h g dt dh µ ρ (2.6)

Si resolvemos esta ecuación por el método de variables separadas obtenemos la siguiente ecuación que nos relaciona el tamaño de la burbuja, la altura y el tiempo.

t R h g h

h5/3 ₁5/3 ₀2/3 2

27 10

µ ρ

−

= (2.7)

Ahora bien, esta ecuación es valida bajo las condiciones anteriores, sin embargo es conveniente su mención por la forma en que nos relaciona de una manera clara las fuerzas principales que intervienen en el fenómeno que estamos estudiando.

Con el avance de los métodos numéricos y las computadoras, los modelos matemáticos se han vuelto más complejos y completos. Cuando en un modelo matemático se consideran un mayor número de variables y coeficientes que nos acerquen más al comportamiento real del fenómeno este se vuelve más complejo de resolver, y en ocasiones los resultados son mejores en exactitud.

Existen modelos mucho más complejos para el fenómeno que estamos estudiando, como el que presenta T. Okawa, en el que describe y toma en cuenta las fuerzas interfaciales que actúan sobre la burbuja inmersa en un líquido [14].

la burbuja. Mientras que para la descripción de las fuerzas que actúan sobre la burbuja utilizan diferentes modelos basados en el movimiento individual de una burbuja [14]. De acuerdo con los resultados que se han encontrado experimentalmente, estos modelos aplicados, obtienen resultados aceptables y congruentes [14].

El análisis de las fuerzas interfaciales que actúan en una burbuja, así como la velocidad relativa de la burbuja, son variables de vital importancia para modelar su comportamiento y extrapolarlo a un flujo burbujeante con la intención de mejorar algunos procesos industriales, como lo es en la aplicación del mejoramiento de reactores nucleares [14]. A continuación se muestra las ecuaciones constitutivas utilizadas por Okawa et al., para la simulación numérica que Él propone acerca del comportamiento del flujo burbujeante.

2.2 Ecuaciones básicas

Las ecuaciones en el modelo Euleriano representan las leyes de la conservación de la masa y momento, para un medio continuo (fase líquida) y están representadas de la siguiente manera:

Ecuación de continuidad para la fase líquida.

0 ) ( = ∂ ∂ + ∂ ∂ l l l _u z t α α (2.8)

Ecuación de momento

g F F z P z u u t u l l w i l l l l l l

lρ α ρ α α ρ

α + − + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ₁ (2.9)

Por otra parte el modelo Lagrangigiano es utilizado para describir el movimiento de la burbuja en su trayectoria y sus ecuaciones están dadas por las siguientes expresiones:

Ecuación de continuidad para las burbujas o fase gaseosa

(

)

dt

d _ρ

(2.10) Ecuación de momento

g f P dt du b i b b ρ

ρ =−∇ − + (2.11)

Es posible relacionar la velocidad de la burbuja y la posición misma mediante la siguiente ecuación:

b

En la solución numérica del modelo matemático es necesario el acoplamiento de las ecuaciones básicas 2.10, 2.11 y 2.12 [10].

2.3 Ecuaciones Constitutivas

Las ecuaciones constitutivas utilizadas por Okawa, se encuentran representadas principalmente por la fuerza de fricción en la pared . Esta fuerza se considera solo en el caso de que la burbuja se encuentre inmersa en un medio continuo contenido en algún recipiente, entonces las paredes afectan su desplazamiento. Otra fuerza que también es considerada dentro de esta clasificación es la fuerza interfacial . Estas fuerzas se describen matemáticamente de la siguiente manera:

w F

i F

a) Fuerza de fricción en la pared.

l l l w

w u u

D f

F = 2 ρ ˆ ˆ (2.13) b) Coeficiente de fricción

25 . 0 Re 079 . 0 − = _l w

f (2.14) La fuerza total interfacial es la suma de varios componentes, los cuales se enumeran a continuación:

2.3.1

Fuerzas Laterales

Estas fuerzas se consideran que actúan en los extremos de las burbujas y son principalmente dos: a) Fuerza de sustentación y b) la fuerza de elevación en la pared

. Estas fuerzas son expresadas enseguida.

lift f

wl f

(

)

(

)

b l b l lift

lift C u u u

f = ρ − × ∇× (2.15)

lift

C , este coeficiente es considerado en [14], para considerar el efecto del tamaño de la burbuja sobre la dirección Y, y la magnitud de la fuerza de elevación.

Para el cálculo de es necesario conocer el perfil de velocidad de la fase líquida a través de la sección transversal del tubo circular el cual se puede obtener experimentalmente o de forma teórica.

lift f

La fuerza de elevación en la pared es inducida por la relación de deslizamiento lento del líquido cerca de la pared, lo cual previene que la burbuja haga contacto con la pared, esta correlación fue obtenida por Antal y se describe matemáticamente en la fórmula (2.16) [14].

w w b wl b r l

wl C n

y C d U f _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

=ρ 2 2 1 ₂

(2.16)

Por otro lado,

147 . 0 104 . 0 06 . 0 2 = − = w R wl C U C

Son coeficientes de corrección, debido a que la velocidad de la fase líquida es diferente cerca de la pared del ducto y cambia en el centro del mismo.

Este tipo de fuerza es debida a la condición de no deslizamiento que se da sobre la pared del ducto y por lo tanto afectan sobre la forma de la burbuja así como su trayectoria.

2.3.2

Fuerza de arrastre interfacial

Cuando la velocidad de la fase líquida es lo suficientemente alta, la influencia de la velocidad relativa entre la fase líquida y la fase gaseosa sobre la fracción de vacío se considera insignificante. Sin embargo, cuando los parámetros que describen las fuerzas interfaciales consideran a la velocidad relativa, entonces es necesaria tomarla en cuenta debido a que el movimiento de la burbuja está sujeto a esta.

El factor que considera la velocidad del líquido, así como la velocidad de la burbuja, es la fuerza interfacial de arrastre f_d, la cual se expresa de la siguiente manera:

(

)

l b b l b l d t w b

d k kC u u u u

d

f = ρ − −

4 3

(2.17)

De esta manera es el coeficiente de arrastre de una sola burbuja en un líquido estático y son parámetros que toman la influencia de la pared y de la velocidad del líquido respectivamente.

d C

w

k y k_t

Esta correlación considera que el flujo de la fase continua es razonablemente uniforme.

2.3.3

Fuerza de arrastre axial

Si una burbuja se encuentra muy cercana a la pared del ducto, entonces experimenta una fuerza de arrastre axial, la cual es definida matemáticamente de la siguiente manera:

⎟ ⎞ ⎜

⎛ −

Se sugiere, según [10], que se tome como la mitad del área de la sección transversal de la burbuja.

b A

2.3.4 Fuerza másica virtual

La fuerza másica virtual que actúa sobre la burbuja se determina mediante la siguiente ecuación: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = dt du dt du C f b l b l vm

vm ρ (2.19)

Donde C_vm se le conoce como coeficiente másico virtual y toma valores igual a 0.5 [10] Para expresar el movimiento de la burbuja se usa la velocidad local del líquido , en la ecuación anterior. Pero este parámetro esta dividido en dos componentes, uno estacionario y otro que considera las fluctuaciones, estos elementos se muestran en la siguiente ecuación: b l u wi turb si turb b l b

l u u u

u = + + (2.20) donde

b l

u Es la componente estacionaria calculada con la ecuación de Darcy.

wi turb si

turb u

u , Son las fluctuaciones de velocidad asociadas con la turbulencia y la estela hidrodinámica que deja la burbuja a su paso respectivamente.

En el intento por describir el movimiento de una burbuja inmersa en un líquido, diferentes investigadores a lo largo del tiempo han propuestos diferentes modelos matemáticos en los que se consideran diferentes ecuaciones constitutivas, dependiendo del medio en el que se desplaza la burbuja, si se puede considerar infinito o si se encuentra restringido en un recipiente, así como otros muchos factores.

En este capítulo se tiene una explicación de las principales fuerzas que intervienen en el fenómeno así como una descripción de los principales factores que otros investigadores tomaron en cuente para proponer un modelo matemático. En este trabajo experimental, el desarrollo de un modelo matemático esta fuera de nuestro alcance, haciendo de primordial interés obtener de manera experimental la forma en que una burbuja influye sobre el medio continuo bajo diferentes condiciones.

CAPÍTULO 3

3. Diseño y construcción de la instalación

Como se planteó en un principio, en este trabajo se estudia el comportamiento de una burbuja bajo las diferentes condiciones de flujo: a) inyección de burbuja en un líquido estancado, b) inyección de una burbuja en un líquido en movimiento vertical ascendente, y c) inyección de la burbuja en un medio contínuo descendente vertical. Para llevar a cabo los estudios antes mencionados es necesario contar con una instalación hidráulica cuyo arreglo nos permita invertir el sentido del flujo del líquido. Esta instalación debe contemplar la forma de inyectar las burbujas, así como los accesorios correspondientes que nos permitan controlar la dirección del flujo y medir el caudal.

Los elementos que componen el montaje experimental usado para controlar el flujo y medir el caudal se muestran en la tabla 3.1

Tabla 3.1 Accesorios en el arreglo hidráulico.

No. Accesorios Fotografía

1 Bomba ¼ HP

2 Filtro con celdas de 32µm

3 Rotámetro con margen de medida de 0.4 – 4 lt/min

4 Válvulas hidráulicas tipo globo.

5 Zona de pruebas móvil.

3.1 Zona de pruebas

La parte principal del montaje experimental es la zona de pruebas, la cual esta construida de un material transparente y resistente que permita la aplicación de la técnica PIV, esta zona de pruebas consta de un tubo de vidrio. Además, debido a las condiciones ópticas del tubo de vidrio, es necesario utilizar una caja de acrílico, esta caja fue llenada de un líquido de color verde para disminuir las reflexiones.

Dentro del montaje experimental la zona de pruebas cuenta con una longitud de 1450mm y un diámetro interno de 32mm. Con la finalidad de evitar pérdidas por cambio de sección en los acoplamientos del tubo de vidrio con la tubería de PVC que componen la instalación, se propuso que la tubería que conforma dicho arreglo fuera de un diámetro externo de 32 mm, con espesor de 1 mm, de esta manera el pequeño escalón formado por la diferencia de diámetros pudo ser ajustado con la menor pérdida posible por cambio de área, esperando con ello un flujo con menos perturbaciones. Esta zona de pruebas se muestra en la figura 3.1

Figura 3.1 Zona de pruebas.

La caja de acrílico que se colocó sobre el tubo de vidrio tiene como propósito disminuir los efectos ópticos provocados por la curvatura del tubo. Esta caja rectangular tiene la facilidad de moverse sobre el eje del tubo, lo cual nos permite fijar la zona de pruebas en el punto más conveniente según el experimento lo requiera.

3.2 Montaje experimental

Finalmente el montaje experimental en el cual se llevaron a cabo las pruebas, se muestra en la figura 3.2

PROCESADOR PIV

Figura 3.2 Montaje experimental ubicado en el laboratorio de ingeniería térmica e hidráulica aplicada.

La instalación experimental hidráulica consiste en un tubo vertical de vidrio de 32 mm de diámetro y 1450 mm de longitud, una bomba de1/4 de HP, un tanque de almacenamiento de 400 l, un compresor con el cual se inyecta aire a través de una aguja para formar burbujas. En un principio se induce un flujo de agua en la instalación experimental, y una vez estabilizado el flujo, se procede a la inyección de burbujas de forma periódica.

Las pruebas experimentales que implican el caudal de agua, requieren que el flujo sea constante, para ello se deja estabilizar después de un intervalo de tiempo, y este flujo fue monitoreado con el rotámetro.

Posteriormente las burbujas son inyectadas de forma periódica con el compresor y reguladas con una válvula de paso. Las burbujas se inyectan mediante una aguja que tiene las siguientes dimensiones 13.5 cm de longitud y un diámetro de 1mm.

3.3 Calibración de la óptica del sistema PIV

Una vez controlado el flujo de agua y la inyección periódica de burbujas de 4 mm de diámetro en promedio, se procede a la sincronización del equipo PIV para captar las imágenes que nos proporcionarán los campos de velocidad. Para llevar a cabo la experimentación es indispensable realizar los siguientes pasos: a) alinear la cámara con la fuente de rayo láser a 90º, una respecto a la otra, para la mejor captura de imágenes y b) calibrar el plano capturado por la cámara.

El procedimiento de calibración se realiza con la ayuda de una pequeña placa de acrílico de 3cm x 5cm mostrada en la figura 3.4, la cual se introduce por un extremo del tubo y se fija mediante unos hilos de plástico, una vez logrado la calibración y el enfoque correcto se retira la placa con los sujetadores y la zona de pruebas queda lista para iniciar con la captación de las series de imágenes.

a) b)

Figura 3.3 a) Placa de acrílico graduada con papel milimétrico, b) placa de calibración en zona de pruebas.

3.4 Medición del caudal

En la medición del caudal y la determinación de la velocidad del flujo, se utilizó un rotámetro el cual es un medidor de flujo del tipo área variable. El fluido corre hacia arriba a través de un tubo libre que tiene una ramificación en el interior. Un flotador está suspendido en el fluido que corre en una posición proporcional a la velocidad del flujo. Una velocidad de flujo diferente provoca que el flotador se mueva hacia una nueva posición, cambiando el área libre entre el flotador y el tubo hasta que se recupera el equilibrio otra vez. La posición del flotador se mide con una escala calibrada la cual esta graduada en las unidades adecuadas, el rotámetro en aplicación esta graduado en LPM y GPM en un rango de 0.4 LPM a 4.0LPM.

En la comparación del caudal medido por el rotámetro utilizado se uso una probeta graduada y un cronometro para determinar el flujo volumétrico, lo cual se presenta en la siguiente figura 3.4

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4

CAUDAL ROTÁMETRO l/min

CAUDAL

V

O

L

UM

E

T

RI

CO

l/

m

in

Figura 3.4 Comparación del caudal medido por el rotámetro con el caudal pesado en una probeta graduada.

3.5 Descripción de la técnica PIV

La técnica de medición de Velocimetría por imágenes de partículas es una herramienta que se aplica en el estudio del flujo de fluidos, esta técnica nos proporciona mediciones de velocidad en el plano de la sección longitudinal del flujo, la cual nos permite hacer mediciones en dos componentes de la velocidad pero usando una tercera cámara podemos obtener la tercera componente obteniendo así el vector velocidad en 3D. El uso de esta técnica combina el desarrollo en el procesamiento y adquisición de imágenes en cámaras digitales y software computacional para la obtención de mapas de vectores de velocidad en un área seleccionada.

Esta técnica requiere de varios elementos electrónicos que hacen posible la obtención de los campos de velocidad mediante la adquisición de imágenes, el equipo que compone esta herramienta de medición consta de una cámara digital CCD, una fuente láser con sus respectivos controles, un sistema de sincronización entre la cámara, el rayo y una computadora con el software Flowmaneger. En la figura 3.5 se muestra el equipo PIV.

a) Cámara digital CCD, Mega plus model ES 1.0 b) Láser gemelo Gemini, New Wave Research

c) Sistema hub, sincroniza cámara y láser d) Controles de rayo láser

Figura 3.5 Sistema PIV (LABINTHAP).

3.5.1 Características del sistema PIV

Las principales características que hacen de esta herramienta atractiva en el análisis de los fluidos en la investigación son las siguientes:

1. Es una técnica no intrusiva y las mediciones de los vectores velocidad se realizan mediante la iluminación de pequeñas partículas que se agregan en el fluido.

2. El margen para medir velocidad va desde cero hasta la condición de flujo supersónico.

3. Los mapas de los vectores de velocidad se obtienen instantáneamente sobre la sección transversal del flujo.

4. Es posible obtener el vector velocidad en tres dimensiones mediante un arreglo estereoscópico lo cual requiere dos cámaras CCD.

5. Con los datos adquiridos, es posible obtener las secuencias de los mapas de velocidad, hacer estudios estadísticos, correlaciones espaciales, así como otros estudios que resultan viables mediante la aplicación de esta técnica.

6. Los resultados son similares a los que se obtienen mediante la dinámica de fluidos computacional lo cual resulta de gran valor para los investigadores en el campo de la mecánica de fluidos, consolidándose así como una valiosa herramienta dentro de la investigación.

3.5.2 Principios de Velocimetría por imágenes de partículas (PIV)

En esta técnica los vectores velocidad son derivados a partir de sub-secciones de un área designada sobre el flujo, donde se han agregado partículas, que nos permiten medir el movimiento del fluido entre dos puntos en un intervalo de tiempo dado, mediante la iluminación de dos pulsos del láser. Esto es expresado mediante la siguiente ecuación:

t x v

∆ ∆

= (3.1)

Una vez que el fluido se encuentra con partículas, el área seleccionada es iluminada mediante un haz de luz de alta intensidad provocado por un rayo láser. Con la ayuda de una cámara digital CCD, el área es captada y capturada en forma de una imagen, en cada pulso emitido de luz en un intervalo de tiempo calculado.

La correlación produce signos máximos, identificando el desplazamiento de las partículas, . Una medición exacta del desplazamiento (nos permite obtener la velocidad) se obtiene mediante la interpolación de píxeles.

x

∆

El mapa de velocidades sobre un área seleccionada se obtiene mediante la aplicación repetida de la correlación cruzada para cada área de interrogación sobre la estructura de la imagen capturada por la cámara digital.

3.5.3 Imágenes PIV

Las imágenes que se obtienen con la técnica PIV, son posibles debido a que se agregan partículas cuya función es reflejar la luz láser y esta reflexión es la que se graba encada imagen. Las partículas utilizadas en este estudio son de 50 µm de diámetro.

Para las aplicaciones en agua, las partículas son de poliestireno, poliamida o pequeñas esferas huecas de vidrio en un rango de 5µm a 100µm. una partícula que sigue el flujo satisfactoriamente y es iluminada lo suficiente puede ser capturada por la cámara CCD y utilizada convenientemente.

El número de partículas incluidas en el fluido es importante en la obtención de los signos que utiliza la correlación cruzada, como una regla se puede tener la siguiente consideración, deben de existir de 10 a 20 partículas por cada ventana de interrogación [12].

CAPÍTULO 4

4.

Estudio Experimental

El estudio del comportamiento de las burbujas inmersas en un fluido se ha realizado bajo diferentes condiciones experimentales por diferentes investigadores. El análisis lo han hecho para diferentes geometrías, como son ductos de sección transversal circular, en el que analizaron la dinámica de una burbuja para proponer mejoras en el modelado del movimiento [13], también se ha estudiado en tubos de sección rectangular en el que el punto de interés es captar la estructura de la estela que deja a su paso una burbuja de gas inmersa en un líquido [14]. En los dos casos anteriores las condiciones del flujo son similares, y además se contempla la condición de fluido estancado y flujo ascendente en el tubo.

En el experimento que se propone, se han planteado los mismos casos anteriores adicionando una nueva condición que sería el flujo en contracorriente cuando es inyectada la burbuja; con esto se pretende obtener la influencia de la burbuja sobre el flujo de líquido fluyendo en contraflujo.

Los casos experimentales contemplados en este trabajo se presentan en forma esquemática en la figura 4.1

Burbuja Burbuja Burbuja

Flujo líquido Fluido

Flujo líquido Estancado

a b c

Figura 4.1 Condiciones de flujo experimentados, a) inyección de burbuja en flujo estancado, b) inyección de burbuja en flujo de líquido ascendente y c) inyección de burbuja