Capitulo 4 Estructuras Articuladas

ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Prof. Carlos Navarro

Cuando necesitemos salvar luces importantes (> 10 ó 15 m), o necesitamos vigas de gran canto, puede resultar más económico utilizar estructuras articuladas en celosía que vigas de alma llena

Luz

z z

Diagonal

Montantes

Cordón superior

Cordón inferior

Rótulas

Sistema físico nudo

apoyo barra o elemento

Sistema estructural

Luces cortas (<20 m)

Luces moderadas (20-30 m)

Su diseño puede modificarse para conseguir techos planos

Luces grandes (>30 m)

Aplicable cuando se desean cubiertas planas

Cuando la localización de pilares no es problema

Cuando se precisa iluminación natural

En diente de sierra

techo techo

Alturas altas y luces grandes

Hipótesis de diseño

• Las barras se unen unas a otras mediante uniones flexibles

– Los ejes de las barras son concurrentes en un punto

Formadas por triángulos

ESTRUCTURAS ARTICULADAS COMPUESTAS

Cerchas simples

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS O ESTRICTAMENTE COMPLETAS

Son aquéllas en las que pueden determinarse los esfuerzos axiles en todas las barras utilizando, exclusivamente, las ecuaciones de la estática. Si denominamos b al número de barras de la

Estructura, n al número de nudos de la misma y c al número de coacciones externas, podemos establecer:

Número de incógnitas por barra: 4

Número de incógnitas: 4b + Coacciones externas: c = 4b+c

Número de ecuaciones que podemos plantear:

Equilibrio de una barra: 3 (ΣH=0, ΣV=0 y ΣM=0)

Equilibrio de un nudo: 2 (ΣH=0 y ΣV=0)

3b+2n

El problema es estáticamente determinado cuando:

4b+c=3b+2n

b=2n-c

GDH=b+c-2n

La condición anterior de isostaticidad es una condición necesaria, pero no suficiente:

b=9, n=6, c=3 ¡Se cumple la condición! b=9, n=6, c=3

¡Se cumple también la condición pero no existe equilibrio, ante las posibles cargas, por tratarse de un mecanismo!

Estabilidad externa de la

estructura

Estructura inestable

Métodos de análisis

• Método de los nudos

• Método de las

secciones

Métodos de análisis

• Método de los nudos

• Método de las

secciones

Estructura articulada en equilibrio => Todos y cada uno de sus nudos están en equilibrio

500 N

2 m 2 m

A B

C

F_AB (tracción)

500 N

F (compresión)

Procedimiento

• Plantee las ecuaciones de equilibrio en cada nudo

• Tenga en cuenta las posibles simetrías

• Identifique las barras que no sufren ningún esfuerzo

– (i) cuando sólo dos barras de diferentes direcciones coincidan en un nudo, y éste no está exteriormente cargado, ninguna de las dos barras sufre esfuerzo axil

Dos barras coincidentes en un nudo no cargado (nudo C):

∑

∑

=

=

=

=

0

0

CD y

CB x

F

F

F

F

Nota: lo mismo se podría aplicar al nudo A. Por tanto, en la estructura de la figura, sólo las barras BE, ED y DB sufrirán esfuerzos axiles A

B _C

D E

C F_CB

Tres barras coincidentes en un nudo no cargado (nudo D) siendo dos de ellas colineales:

∑

∑

=

=

⇒

=

0

0

DF y

DE DC

x

F

F

contrarias

y

iguales

F

y

F

F

D

E C

F y x

D F_DC

Métodos de análisis

• Método de los nudos

• Método de las

secciones

Estructura articulada en equilibrio => Todas sus partes están en equilibrio

100 N

50 N

50 N

C

y

+

_x

50 N

F

_M1

F

_M2

F

_M3

C

EJEMPLO:

Ecuaciones de equilibrio

Si tomamos momentos respecto de C podríamos determinar

el valor de F

_M3

.

Si, posteriormente, tomamos momentos respecto de E,

determinaríamos F

_M1

, …..

∑

∑

∑

=

=

=

0

0

0

M

F

F

100 N

50 N

50 N

N

,

F

;

,

cos

,

F

;

F

,

F

;

a

,

F

a

;

M

,

F

;

cos

F

;

F

M M x M M C M M y

7

57

0

9

28

60

7

57

0

9

28

0

866

0

50

0

7

57

0

30

50

0

1 1 3 3 2 1 2 2

=

=

+

+

−

=

=

=

+

−

=

=

=

−

=

∑

∑

∑

N

N

C

y

+

_x

Métodos de análisis

• Método de los nudos

• Método de las

secciones

CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS

Para calcular desplazamientos en nudos de una estructura articulada, aplicaremos el teorema de Castigliano. Para ello, consideraremos como Sistema 0 el sistema

estructural real, con sus cargas, del que partimos, y como Sistema I el mismo sistema estructural pero, ahora, sólo sometido a una carga unidad en el nudo y dirección en que deseamos obtener el desplazamiento.

Sin embargo, puede haber casos en los que, además de cargas mecánicas, algunas barras experimenten un cambio de temperatura o que, alguna de ellas, presente un error de fabricación (que haya quedado más corta o más larga que la longitud

requerida).

En estas condiciones, la energía elástica del sistema estructural se expresa como:

∑

∑

∑

∆ ∆

∂

+

∂

+

Ω

⋅

⋅

=

T con barras T i i error con barras e i i i i i barras

N

N

E

L

N

U

2

2

1

e i

∂

T i ∆

∂

= error de ejecución de la barra i

= cambio de longitud de la barra i debido a la variación de temperatura

i

i

T

i

=

L

∆

T

∑

∑

∑

₊

_∂

₊

_∂

∆

Ω

=

∂

∂

=

T i I i e i I i barras _i i I i i j

j

N

N

E

L

N

N

P

U

d

0

Al igual que hicimos para el caso de cargas mecánicas actuando sobre la estructura, el desplazamiento de un nudo en una determinada dirección lo calcularemos como ya hacíamos sólo que, ahora, hay que añadir los sumandos:

∑

∂

e

i I i

N

∑

_∂

∆T i I i

(

)

dVol

d

f

dVol

f

V x x y y z z xy xy xz xz yz yz V V

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

+

+

+

+

+

=

=

Ω

⋅

+

⋅

Ω Ω δ δ δ δ δ δ

_σ

_ε

_σ

_ε

_τ

_γ

_τ

_γ

_τ

_γ

ε

σ

δ

δ

r

r

r

r

0

=

Ω

⋅

+

⋅

∫∫∫

V

f

V

δ

dVol

∫∫

Ω

f

Ω

δ

d

r

r

r

r

(

)

(

)

(

DB

)

DB DB

CB CB

CB

V x x y y z z xy xy xz xz yz yz

L

A

L

L

A

L

dVol

⋅

+

⋅

=

=

+

+

+

+

+

∫∫∫

β

δ

σ

α

δ

σ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

δ δ δ δ δ δ

cos

cos

(

⋅

)

+

(

⋅

_DB

)

=

0

DB DB

CB CB

CB

A

L

L

L

A

L

β

δ

σ

α

δ

σ

cos

cos

En el sistema articulado de la figura formado por tres barras de

idéntico material y siendo las áreas de sus respectivas

secciones transversales: A, para las barras BC y CD, y 2A para

la barra BD, determinar, cuando, sobre él actúa la carga P:

a.- Las fuerzas axiles a las que se encuentran sometidas cada

una de las barras

b.- La energía elástica que almacena el sistema

c.- El desplazamiento vertical del nudo C y el horizontal del

nudo D.

2A

A A

P

l l

l/2

B

C

ASPECTOS GEOMÉTRICOS DE LA ESTRUCTURA ARTICULADA

l

,

cos

l

CD

BC

,

l

/

l

arctan

118

1

565

26

2

=

=

=

=

=

α

α

2A

A A

P

l l

l/2

B

C

D

NUDO B

NUDO C

F

_BC

=F

_CD

por simetría

RESOLUCIÓN DE LA EXTRUCTURA POR EQUILIBRIO DE NUDOS:

P

cos

P

,

F

F

P

,

F

P

sen

F

BD BC CD CD

=

=

=

=

=

α

α

118

1

118

1

2

F_BC=1,118P

F_BD

R_B

P

F_{BC F}

CD

B

D’

C

δ

RESOLUCIÓN DE LA EXTRUCTURA POR EL P.T.V.:

Desplazamientos virtuales: B y C no se desplazan

D lo hace hacia su izquierda una magnitud δ

2A

A A

P

l l

l/2

B

C

D

B

D’

C

δ

D

δ

cos

α

l

l

BD CD

2

δ

ε

α

δ

ε

δ δ

=

′

=

cos

(

)

(

)

(

)

δ

α

δ

δ

α

δ

δ

σ

α

δ

σ

ε

σ

ε

σ

δ

δ δ

⋅

+

⋅

=

⋅

+

′

⋅

′

=

=

⋅

+

′

⋅

′

=

⋅

⋅

+

′

⋅

=

BD CD BD CD BD CD BD BD CD CD

F

F

l

A

l

A

F

l

A

l

A

F

l

A

l

l

A

l

l

A

l

A

W

cos

cos

cos

int

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Trabajo fuerzas actuantes: δW_ext=0

Trabajo fuerzas internas:

AE

Pl

d

AE

l

P

Pd

1

898

3

796

2

1

,

2

,

=

⇒

=

W

U

=

NUDO C: NUDO D:

( )

( )

EA

l

P

EA

l

P

E

A

P

l

u

=

_BD

⋅

=

=

⋅

=

⋅

2

2

2

2

ε

w

( )

(

) (

)

∑

=

+

+

=

⋅

+

=

=

AE

l

P

,

AE

l

,

P

,

E

A

l

P

U

U

U

E

A

L

F

U

_{BD BC CD}

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:

AE

Pl

AE

Pl

P

U

d

=

1

,

898

⋅

2

=

3

,

796

Q

Determinar, aplicando el teorema de reciprocidad y para la

estructura articulada del problema anterior el desplazamiento

vertical del punto C cuando actúa la carga Q que se observa

en la figura:

2A

A A

l l

l/2

B

C

SISTEMA I

SISTEMA II

Q

2A

A A

l l

l/2

B

C

D

2A

A A

P

l l

l/2

B

C

( )

↓

=

⋅

( )

←

⋅

II

D

I

C

Q

u

d

P

EA

l

P

u

w

_D

II

=

⋅

( )

( )

EA

l

Q

u

P

Q

1

2 3

4 5

6

8 7

1

2 3

4 5

6 7 8

9

10 11 12 13

3 m _{3 m 3 m 3 m}

4,5 m En la estructura articulada de la figura, las barras 1-2 y 2-4 sufren un descenso de temperatura de 15 ºC y las barras 1-3, 3-5, 5-7 y 7-8 un aumento de 30 ºC.

Determinar el desplazamiento vertical que experimenta el nudo 4.

NOTA: El material de las barras es acero (E=210 GPa), y todas ellas tienen la Misma sección transversa (5 cm2_{) y mismo coeficiente de dilatación lineal}

(α=10-5 _(ºC)-1₎

PROBLEMA PROPUESTO 1

Determinar los desplazamientos horizontal y vertical del nudo E de la estructura articulada de la figura.

Tómese EA=100 MN

A

E

D C

B

20 m

45º 30º

60º 60º

45º 30º

Solución: d_h=8,15 mm d_v=8,67 mm 10 kN

Hasta ahora, las cargas se han supuesto actuando en los nudos. ¿Qué hacer cuando una barra se encuentre directamente cargada?

A

E

D C

B

45º 30º

60º 60º

45º 30º

¿Qué hacer cuando una barra se encuentra sometida a un incremento térmico?

A

E

D C

B

45º 30º

60º 60º

45º 30º

∆

T

A E D C B 45º 30º 60º 60º 45º 30º A E D C B 45º 30º 60º 60º 45º 30º A E D C B 45º 30º 60º 60º 45º 30º

+

=

=

∆

T

D C

∆

T

∆

T

αL_DC∆T

αL_DC∆T

¿Qué hacer cuando una barra sufrió un error de ejecución?

A

E

D C

B

45º 30º

60º 60º

45º 30º

δ

A E D C B 45º 30º 60º 60º 45º 30º A E D C B 45º 30º 60º 60º 45º 30º A E D C B 45º 30º 60º 60º 45º 30º

+

=

=

δ

δ

E D

δ

F=EA_DEδ/L_DE

F=EA_DEδ/L_DE

F

ESTRUCTURAS ARTICULADAS

2 m 2 m

5 kN

1 2

3 4

GDLE=3 CE=3

GHE=0

(estructura externamente isostática)

GDLI=3n-3=3.6-3=15

CI=2(n_nudo -1)=2(3-1).4=16

GHI=1

5 kN

1 2

3 4

N₁₃

N₁₃

N₁₃ N₁₃

1

3

Sistema 0 (isostático)

Sistema 2

Desplazamiento relativo entre los nudos 1 y 3 del sistema 0= = Desplazamiento entre esos mismos nudos del sistema 2

5 kN

1 2

3 4

N₁₃

N₁₃

Sistema 1 (isostático)

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA 0

Barra Axil

1-2 -N₁₃/ 2-3 5-N₁₃/ 3-4 5-N₁₃/ 4-1 -N₁₃/ 2-4 -5 +N₁₃

2

2

2

1 2

3 4

1

1

Sistema 1 (isostático)

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA 1 (Auxiliar para aplicar Castigliano)

Barra Axil

1-2 -1/

2-3 -1/

3-4 -1/

4-1 -1/

2-4 1

2 2

2

Barra Axil

1-2 -N₁₃/ 2-3 5-N₁₃/ 3-4 5-N₁₃/ 4-1 -N₁₃/ 2-4 -5 +N₁₃

2

2

2

2 2

Barra Axil

1-2 -1/

2-3 -1/

3-4 -1/

4-1 -1/

2-4 1

2 2

2

2

Estado 0 Estado 1

] ) (-) ) ( ( [ EA 1 nto)

(acercamie 2 2 1 5 2 2 2

2 5 2 2 2 2 1 1 13 13 13 0 0

13 = = − − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

∆

∑

N N L N N N

EAbarras i I i i )] ( ) ( [N EA 1 nto)

(acercamie ₁₃ 4 2 2 10 2 2

0

13 = + − +

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA 2

N₁₃ N₁₃

1

3

Sistema 2

EA N to)

(alejamien 132 2

2

13 =

to) (alejamien nto)

(acercamie 2₁₃

0

13 = −∆

∆

EA N -)] (

) (

[N EA

1 ₁₃

13

2 2 2

2 10 2

2

4+ − + =