tema 3 2 Espacio euclideo Problemas metricos

Tema 3.2. Espacio af´ın eucl´ıdeo.

Problemas m´

etricos

Definici´on: Un espacio af´ın es una terna A = (P, V, f) en la que P es un conjunto no vac´ıo, V un espacio vectorial de dimensi´on finita sobre un cuerpo K y f es una aplicaci´on f : P × P → V , f(P, Q) = −→P Q tal que, para cada (P, Q) ∈ P × P, se verifica:

1. −→P Q + −→QR = −→P R, ∀P, Q, R ∈ P

2. Dados P ∈ P y ~v ∈ V , existe un ´unico Q ∈ P tal que −→P Q = ~v

Subespacios o variedades afines

Vamos a generalizar los conceptos de recta y plano de la Geometr´ıa.

Definici´on 1. Dado un espacio af´ın A = (P, V, f) asociado a un espacio vectorial V . Llamaremos subespacio o variedad af´ın determinado por el punto P ∈ P y el subespacio vectorial W de V , al conjunto:

F ≡ P + W = {P + w~ | w ∈ W}

El subespacio W, se llama direcci´on de F.

Ejemplo 1. Una variedad af´ın en la que dimW = 1, se llama recta, es decir, la recta r que pasa por el punto P y tiene la direcci´on del vector w, se expresa vectorialmente~ r ≡ P +λ~v. Si dimW = 2, tenemos que Π ≡ P + λ ~w1 + µ ~w2 representa

Sistema de referencia

Definici´on 2. Dado un espacio af´ın A asociado a un espacio vectorial V de dimensi´on n, un sistema de referencia de A est´a formado por punto O de A y una base B = {e₁, . . . , en} de V . Se representa por (O; {e₁, . . . , en}). Dado cualquier punto P , sus coordenadas se definen como las coordenadas del vector −→OP respecto de la base B.

Ejemplo 2. En _R3, si el punto P tiene coordenadas (p₁, p₂, p₃) y los vectores linealmente independientes −→u y −→w tienen coordenadas (u1, u2, u3), (w1, w2, w3), respectivamente. El

plano que pasa por P y tiene direcci´on determinada por u y w, tiene como ecuaciones param´etricas:







x1 = p1 + λu1 + µw1

x2 = p2 + λu2 + µw2

x₃ = p₃ + λu₃ + µw₃

Posici´

on relativa de dos planos en

_R

3

Dados dos planos Π1 y Π2 de ecuaciones cartesianas:

Π₁ ≡ a₁x + b₁y + c₁z = d₁ ; Π₂ ≡ a₂x + b₂y + c₂z = d₂

Consideramos el sistema de ecuaciones formado por ambas y llamamos A a la matriz de los coeficiones, y B a la matriz ampliada. Entonces:

I Si rang(A) = rang(B) = 1, los planos son coincidentes.

I Si rang(A) = rang(B) = 2, los planos se cortan en una recta.

I Si rang(A) 6= rang(B), los planos son paralelos.

Posici´

on relativa de tres planos en

_R

3

Dados dos planos Π1, Π2 y Π2 de ecuaciones cartesianas:

Π₁ ≡ a₁x + b₁y + c₁z = d₁ ; Π₂ ≡ a₂x + b₂y + c₂z = d₂ ;

Π₃ ≡ a₃x + b₃y + c₃z = d₃

I rang(A) = rang(B) = 1. Entonces, los 3 planos coinciden. I rang(A) = 1, rang(B) = 2. Entonces, son 3 planos paralelos

(dos de ellos podr´ıan coincidir).

I rang(A) = rang(B) = 2. Entonces, los 3 planos contienen una misma recta (planos de un haz, dos de ellos podr´ıan coincidir).

I rang(A) = 2, rang(B) = 3. Entonces, hay dos posibilidades: ? Hay 2 planos paralelos, y el otro los corta.

? Los tres son caras de un prisma triangular.

Posici´

on relativa de dos rectas en

_R

3

Dadas dos rectas r y s, considerando el sistema formado por sus ecuaciones cartesianas, tenemos:

I rang(A) = rang(B) = 2, rectas coincidentes.

I rang(A) = 2, rang(B) = 3, rectas paralelas.

I rang(A) = rang(B) = 3, rectas secantes.

I rang(B) = 4, es decir, det(B) 6= 0, las rectas se cruzan.

Ejemplo 4. Estudiar la posici´on relativa de las rectas:

r ≡

4x + 5y − 7z = −1

x − 2z = 4 s ≡

Posici´

on relativa de recta y plano

_R

3

Dadas una recta r y un plano Π, se tiene:

I rang(A) = rang(B) = 2, recta contenida en el plano.

I rang(A) = 2, rang(B) = 3, recta y plano paralelos.

I rang(A) = rang(B) = 3, recta y plano secantes.

Ejemplo 5. Estudiar la posici´on relativa de la recta r y el plano Π, siendo:

r ≡

4x + 5y − 7z = −1

Espacio af´ın eucl´ıdeo

Vamos a introducir distancias entre puntos...

Definici´on 3. Si A = (P, V, f) es un espacio af´ın y V es un espacio vectorial eucl´ıdeo, entonces diremos que A es un espacio af´ın eucl´ıdeo. Podemos definir la distancia entre dos puntos P, Q ∈ P, como la norma del vector que determinan:

d(P, Q) = ||−→P Q||

Ejemplo 6. En el espacio af´ın eucl´ıdeo _Rn con el producto escalar usual, dados los puntos P = (p1, . . . , pn) y Q = (q1, . . . , qn), la distancia entre P y Q se obtiene:

Problemas afines y m´

etricos en el

plano y en el espacio

Distancia de un punto a una recta

Dados un punto Q y una recta r ≡ P + λ~u, la distancia de Q a un punto gen´erico X ∈ r viene dada por:

d(Q, X)2 = ||−QX−→||2 = ||−→QP+P X−−→||2 = ||−→QP||2+2λ(−→QP·~u)+λ2||~u||2

que es una funci´on polin´omica en la variable real λ que alcanza su m´aximo cuando λ toma el valor λ0 = −

−→ QP·~u

||~u||2 . Por tanto,

d(Q, r) = d(Q, Q0) , siendo Q0 = P −

−→ QP · ~u

||~u||2 ~u

Como −−→QQ0 es perpendicular a r, se dice que Q0 es la proyecci´on

Distancia de un punto a un plano

Dados un punto Q y un plano Π ≡ p + λu + µv, la distancia de Q a un punto gen´erico X ∈ Π viene dada por:

d(Q, X)2 = ||−→QP||2+2λ(−→QP ·u)+2µ(~ −→QP ·~v)+λ2||~u||2+µ2||~v||2

que es una funci´on polin´omica con 2 variables reales λ y µ, que alcanza su m´aximo cuando λ toma el valor λ0 = −

−→ QP·~u

||~u||2 y µ toma

el valor µ0 = −

−→ QP·~v

||~v||2 . Por tanto,

d(Q, Π) = d(Q, Q0) , siendo Q0 = P −

−→ QP · ~u

||~u||2 ~u −

−→ QP · ~v

||~v||2 ~v

Q0 es la proyecci´on ortogonal de Q sobre Π.

Distancia entre dos planos paralelos

Dados dos planos paralelos Π1 y Π2, la distancia entre ambos

d(Π1, Π2), es la distancia entre cualquier punto de uno de ellos y

el otro.

Distancia entre una recta y un plano paralelo a ella

Dada una recta r y un plano Π, paralelo a ella, la distancia de r a Π, representada por d(r, Π), es la distancia entre cualquier punto de r y el plano Π.

Distancia entre dos rectas paralelas

Dadas dos rectas paralelas r y s, la distancia entre ambas se calcula obteniendo la distancia de cualquier punto de una de ellas a la otra.

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Ejemplos

Ejemplo 8. Calcula la distancia entre las rectas:

r ≡ x + 8

2 =

y − 10

3 = z − 6 y s ≡ (1, 1, 1) + λ(−1, 2, 4)

Calcula la ecuaci´on de la perpendicular com´un.

Ejemplo 9. Calcula la distancia entre los planos: Π1 ≡ 3x − 2y − 5 = 0 y Π2 ≡ 3x − 2y + 7 = 0.

Ejemplo 10. Calcula la distancia entre la recta r del ejemplo 8 y el plano Π1 del ejemplo 9.

´

Angulo entre dos rectas

Dadas dos rectas r ≡ P + λ~u y s ≡ Q + µ~v, si llamamos α al ´

angulo formado por r y s, se tiene que:

cos α = cos(~u, ~v) = ~u · ~v ||~u|| · ||~v||

´

Angulo entre dos planos

Dados dos planos:

Π1 ≡ a1x + b1y + c1z = d1 y Π2 ≡ a2x + b2y + c2z = d2

se define el ´angulo entre ambos como el ´angulo que forman sus

´

Angulo entre recta y plano

Dada una recta con vector director ~u que se corta con un plano con vector normal ~n, el ´angulo α que forman la recta y el plano verifica que:

sinα = ~u · ~n ||~u|| · ||~n||

Ejemplo 12. Calcula el ´angulo formado por la recta

r ≡

x + 3y − z + 3 = 0 2x − y − z − 1 = 0

y el plano Π ≡ 2x − y + 3z + 1 = 0.

Ejemplo 13. Calcula el ´angulo formado por el plano Π del ejemplo anterior, con el plano:

Producto vectorial en

_R

3

El producto vectorial de dos vectores ~u y ~v de _R3 es otro vector

~

u × ~v cuya direcci´on es perpendicular a los dos vectores y su sentido ser´ıa igual al avance de un sacacorchos al girar de ~u a ~v. Su m´odulo es igual a ||~u|| · ||~v|| · sin α.

Para calcularlo, si u~ = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3), entonces

~

u × ~v =

~i ~_j ~_k u₁ u₂ u₃

Aplicaciones del producto vectorial

´

Area del paralelogramo y del tri´angulo determinado por dos

vectores: El ´area del paralelogramo determinado por dos vectores

es igual al m´odulo del producto vectorial de dichos vectores.

´

Area paralelogramo = ||~u × ~v||

A partir de lo anterior, se puede obtener:

´

Area tri´angulo = 1

Producto mixto en

R

El producto mixto de los vectores u,~ ~v y w~ es un n´umero real

definido de la siguiente forma:

[~u, ~v, ~w] =< ~u, ~v × w >=~ det(~u, ~v, ~w)

Volumen del paralelep´ıpedo y del tetraedro determinado por tres

vectores: El volumen del paralelep´ıpedo determinado por los

vectores u, ~~ v, ~w es igual al valor absoluto del producto vectorial de dichos vectores.

Volumen paralelep´ıpedo = |[~u, ~v, ~w]| Volumen tetraedro = 1

Distancia entre dos rectas que se cruzan: Dadas dos rectas que se cruzan r ≡ P + λ~u, s ≡ Q + µ~v, la distancia entre ambas se puede calcular de la siguiente forma:

d(r, s) = |[~u, ~v,

−→ P Q]| ||~u × ~v||