Albert Arango
Jessica Zamora
DEVENIR HIST ´
ORICO DE LAS
TRANSFORMACIONES DE LANDEN
Universidad del Tolima
Facultad de Ciencias
Devenir hist´
orico de las transformaciones
de Landen
Trabajo de grado para optar al t´ıtulo de
profesional en Matem´aticas con ´enfasis en Estad´ıstica
Albert Arango, c´
odigo 070200292009
Jessica Zamora, c´
odigo 070200262009
Director
Leonardo Solanilla Ch.
Profesor del Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica
Universidad del Tolima
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´
aticas y Estad´ıstica
Programa de Matem´
aticas con ´
enfasis en Estad´ıstica
Resumen. En este trabajo de grado se presenta el devenir hist´orico de
las transformaciones de Landen desde su descubrimiento en la segunda mi-tad del siglo XVIII hasta la interpretaci´on de Jacobi en la primera mimi-tad del siglo XIX. Se han usado las fuentes originales para describir el hallaz-go de Landen, los aportes de Legendre, el alhallaz-goritmo de Gauss de la media aritm´etica-geom´etrica y simplificaci´on introducida por Jacobi. Con esto se ponen de manifiesto los varios sentidos que puede un concepto matem´atico con el paso del tiempo.
Abstract. In this undergraduate thesis we present the historical
The application of these Improvementes will be easily made by the intelli-gent Reader, who is acquainted with what has been before written on the subject. But there is a theorem (demonstrable by what is proved in Art. 8) so remarkable, that I cannot conclude this disquisition without taking notice of it.
Doy gracias a DIOS por darme la fuerza, la paciencia para superar cada obst´aculo que se present´o en el trascurso de mi carrera, por darme el gusto por el maravilloso mundo de las matem´aticas.
Agradezco al director de tesis Dr. Leonardo Solanilla Ch, por su constante apoyo, colaboraci´on y sus consejos que forjaron un camino hacia la excelen-cia.
Especialmente le doy gracias a mis amados padres los cuales con su apo-yo, car´acter y sencillez me mostraron infinidad de veces que se puede seguir adelante rompiendo todo l´ımite y poder transformar mi vida y lograr mis me-tas.
A mis hermanos los cuales han sido una motivaci´on constante para seguir adelante.
A mis compa˜neros de universidad los cuales me brindaron su amistad, consejos en momentos dif´ıciles, que d´ıa a d´ıa compartimos alegr´ıas y triste-zas, gracias a Jessica, Luisa, Nataly, Oscar. . . y a todos los que hicieron parte de esta experiencia.
En primer lugar, el presente trabajo de investigaci´on fue realizado bajo la supervisi´on del Dr. Leonardo Solanilla Ch, a quien me gustar´ıa expresar mi m´as profundo agradecimiento, por la oportunidad que me ha brindado para realizar este proyecto y aprender de ´el. Adem´as, de agradecer su paciencia, tiempo y dedicaci´on que tuvo para que esto saliera de manera exitosa.
Gracias por su apoyo, por ser parte de la base de mi tesis.
A mis padres, por darme la vida y apoyarme en todo lo que me he pro-puesto.
A mi padre, por ser el apoyo m´as grande durante mi educaci´on universita-ria, ya que sin ´el no hubiera logrado mis metas y sue˜nos. Por ser m´ı ejemplo a seguir, por ense˜narme a seguir aprendiendo todos los d´ıas sin importar las circunstancias y el tiempo.
A mi madre, Mam´a, te agradezco el estar siempre conmigo, en mi mente, mi coraz´on y acciones. Tu eres parte de este sue˜no, que el d´ıa de hoy se hace realidad y s´e que estas muy orgullosa de ver la mujer que creaste y a la que diste vida y por orientarme con tus buenos concejos.
A mis hermanos, son uno de mis motores que me impulsan a ser mejor cada d´ıa para que siempre se sientan orgullosos de m´ı.
A Dios, por brindarme la oportunidad de vivir, por permitirme disfrutar cada momento de mi vida y guiarme por el camino que ha trazado para m´ı.
A mi novio Juan, por brindarme su amor, su vida y por apoyarme siem-pre, no importando que tan lejos este.
vida, de mis momentos tristes y alegres, por apoyarme, por nunca dejarme caer, por estar siempre ah´ı. A Albert, Luisa, Nataly. . . y a todos los dem´as que siempre est´an presentes.
A mis maestros, desde el colegio hasta la universidad, que compartieron conmigo sus conocimientos para convertirme en una profesionista, por su tiempo, dedicaci´on y por su pasi´on por la actividad docente.
´
Indice general
Introducci´on 8
1. El descubribimiento de Landen 9
1.1. Segmento pedal . . . 9
1.2. La elipse . . . 11
1.3. La hip´erbola . . . 12
1.4. Relaci´on . . . 13
1.5. Lemas de Euler y de Landen . . . 14
1.6. Teorema de Landen . . . 17
2. Los aportes de Legendre 18 2.1. Un cambio de variable . . . 18
2.2. Iteraciones . . . 20
2.3. Otra transformaci´on de Landen . . . 21
3. Elegancia gaussiana 25 3.1. Distintas medias . . . 25
3.2. Algoritmo de la media aritm´etica-geom´etrica . . . 26
3.3. Par´entesis anal´ıtico . . . 28
4. Contundencia jacobiana 30 4.1. Cambio de variable . . . 30
4.2. Transformaci´on . . . 31
4.3. Teorema de Landen, otra vez . . . 34
4.3.1. Segunda especie . . . 34 4.3.2. Lema . . . 34 4.3.3. Demostraci´on . . . 35
A manera de conclusi´on 39
´
Indice de figuras
1. El descubrimiento de Landen 9
1.1. Segmento pedal. . . 10 1.2. La elipse. . . 11 1.3. La hip´erbola. . . 13
2. Los aportes de Legendre 18
2.1. Tri´angulo de relaciones. . . 22
3.Elegancia Gaussiana 25
4.1. Interpretaci´on geom´etrica de la transformaci´on de Landen. . . 31 4.2. Prueba geom´etrica antigua de la transformaci´on. . . 32 4.3. Interpretaci´on. . . 36
Introducci´
on
Lo que los matem´aticos han entendido por transformaciones de Landen no ha sido igual a trav´es de los siglos XVIII y XIX. En este trabajo se presenta una narraci´on de los avatares sufridos por este concepto desde el descubrimiento original de Landen hasta la reinterpretaci´on de Jacobi. Para ello, hemos usado, en la medida de lo posible, los art´ıculos originales de los analistas que han enriquecido el estudio de este tema con sus enfoques novedosos.
El primer cap´ıtulo se dedica a la demostraci´on del teorema de Landen. En su demostraci´on, aparece una curiosa transformaci´on integral que, con el tiempo, se habr´a de convertir en el primer ejemplo de las transformaciones de Landen. El Cap´ıtulo 2 presenta una manera de interpretar dicha transfor-maci´on en t´erminos de la teor´ıa de las integrales el´ıpticas de Legendre. De paso, se encuentran otras transformaciones similares. La bella relaci´on entre las transformaciones de Landen y las medias aritm´eticas y geom´etricas ocupa el Cap´ıtulo 3. All´ı tambi´en se trata el tema a la luz de las formalizaciones propias del An´alisis decimon´onico. Por ´ultimo, en el Cap´ıtulo 4, se dan mo-delos geom´etricos para las transformaciones y se prueba una versi´on mucho m´as simple el teorema de Landen, debida a Jacobi. Por ´ultimo, se concluyen algunas reflexiones que surgen de la totalidad del trabajo.
CAP´
ITULO
1
El descubribimiento de Landen
¿Qu´e fue lo que dijo Landen (1771) que caus´o tanta sorpresa y suscit´o tan-tas nuevas investigaciones de los matem´aticos posteriores? Para comenzar, se trata de un teorema sobre una relaci´on entre los arcos de una hip´erbola y una elipse (integrales el´ıpticas). La demostraci´on de este hecho descansa sobre un importante lema, que constituye la materia del legado de Landen. Al igual que sus contempor´aneos, Landen estudia siempre expresiones que se corresponden con la longitud de una porci´on de segmento o curva. Esto no debe entenderse jam´as como una debilidad o una caracter´ıstica “primiti-va” de su trabajo, por el contrario, es una fortaleza que le garantiza que sus resultados tienen validez en el plano cartesiano. Veamos.
1.1.
Segmento pedal
Los matem´aticos del siglo XVIII buscaron ingeniosas parametrizaciones para las curvas con el fin de elucidar nuevas propiedades de su longitud de arco. Entre tales ingeniosos desarrollos, sobresalen las coordenadas pedales, de las cuales no nos interesa aqu´ı m´as que un segmento al que llamaremos pedal. Sean P un punto de una curva diferenciableC y T la recta tangente a
C en P. SeaS la recta perpendicular a dicha tangente que pasa por el origen
1.1. Segmento pedal 10
P es el segmento P F. La Figura 1.1 ilustra la situaci´on descrita.
Figura 1.1: Segmento pedal.
Con el prop´osito de calcular la longitud de P F, calculemos primero las coordenadas (xF, yF) del punto F. Sean (x, y) las coordenadas de P y y′ la
pendiente deCenP. Por pertenecer a la tangente y a la normal por el origen, (x−xF)y′−(y−yF) = 0 y xF +yFy′ = 0.
La soluci´on de este sistema arroja
xF =−
y′(y−xy′)
1 + (y′)2 y yF =
y−xy′
1 + (y′)2.
En virtud del teorema de Pit´agoras, la medida del P F es
p= |x+yy
′|
p
1.2. La elipse 11
1.2.
La elipse
Consideremos la porci´on de la elipse
x2+y2
2 = 1,
que yace en el primer cuadrante del plano cartesiano. Dicha porci´on se puede
Figura 1.2: La elipse.
estudiar con ayuda de la funci´on
y(x) =y=p2(1−x2).
La longitud del segmento pedal de un punto (x, y) de esta porci´on de elipse es
pe(x) =x
r
1−x2
1.3. La hip´erbola 12
El cambio de variable z =x2 permite reescribir esta coordenada en la forma
pe(z) =
r
z(1−z) 1 +z ,
de tal suerte que su derivada (o fluxion en el lenguaje de Landen) es dpe
dz =
1 2
√
1−z
√
z(1 +z)3/2 −
1 2
√
z
√
1−z2.
1.3.
La hip´
erbola
De manera similar, la porci´on de la hip´erbola equil´atera
x2 −y2 = 1,
en el primer cuadrante del plano, se puede estudiar con la funci´on
y(x) = y=√x2 −1.
Por lo tanto, la longitud de su segmento pedal es
ph(x) = 2x
r
x2−1
2x2−1.
Ahora bien, la longitud del segmento de la hip´erbola comprendido entre el v´ertice y (x, y) es
lh(x) =
Z x
1
s
2ξ2−1
ξ2−1 dξ.
En la ´epoca de Landen, se hab´ıa ya encontrado que la cantidad
fh(x) =ph(x)−lh(x),
era m´as c´omoda de estudiar que la longitud de arco. M´as a´un, la sustituci´on
z = (2x2−1)−1 produce
fh(z) =
1 2
Z 1
z
s
ζ
1.4. Relaci´on 13
Figura 1.3: La hip´erbola.
1.4.
Relaci´
on
Los pedales de la elipse y la hip´erbola se pueden relacionar como se explica a continuaci´on. Consideremos la expresi´on
fh(z) +fh(y) =
1 2
Z 1
z
s
ζ
1−ζ2 dζ+
1 2
Z 1
y
r
υ
1−υ2 dυ,
con
ζ = 1−υ 1 +υ.
La sustituci´on produce, luego de ciertas manipulaciones evidentes, que la suma fh(z) +fh(y) =
1 2
Z y
0
" p
(1−υ)
√
υ(1 +υ)3/2 −
r
υ
1−υ2
#
dυ+1 2
Z 1
0
r
υ
1.5. Lemas de Euler y de Landen 14
Ahora, en el primer integrando reconocemos a la derivada del pedal el´ıptico. En consecuencia, el Teorema fundamental del c´alculo arroja
fh(z) +fh(y) =pe(z)−pe(1) +L=pe(z) +L,
donde
L= 1 2
Z 1
0
r
υ
1−υ2dυ,
es una constante. Antes de retomar esta expresi´on, revisemos un par de lemas fundamentales necesarios para establecer el Teorema de Landen.
1.5.
Lemas de Euler y de Landen
Esta es la secci´on m´as importante de este cap´ıtulo, en la que se demues-tran los lemas fundamentales que constituyen el coraz´on anal´ıtico del gran logro de Landen.
Lema 1.1 (Euler, 1782). Si en la curva el´astica
y=
Z x
0
t2
√
1−t4 dt, x∈[0,1],
se distinguen las cantidades
R =
Z 1
0
t2 dt
√
1−t4 y S =
Z 1
0
dt
√
1−t4,
(llamadas respectivamente radio principal y longitud total (cuarto de lemnis-cata)), entonces
R×S = π 4.
Demostraci´on. Comencemos notando que d
dt(t
k√1
−t4) = kt
k−1−(k+ 2)tk+3
√
1.5. Lemas de Euler y de Landen 15
Al integrar esta derivada en el intervalo [0,1], obtenemos la f´ormula de recu-rrencia
Z 1
0
tk−1dt
√
1−t4 =
(k+ 2)
k
Z 1
0
tk+3dt
√
1−t4.
Las sustituci´on k = 3 produce
R=
Z 1
0
t2dt
√
1−t4 =
5 3
Z 1
0
t6dt
√
1−t4.
Y k = 7 en la integral de la derecha, conduce a
R= 5 3
9 7
Z 1
0
t10dt
√
1−t4.
Y as´ı sucesivamente,
R = l´ım
m→∞ " m
Y
k=1
4k+ 1 4k−1×
Z 1
0
t4m+2dt
√
1−t4
#
.
De manera similar,
S = l´ım
m→∞ " m
Y
k=1
4k−1 4k−3×
Z 1
0
t4mdt √
1−t4
#
.
Para determinar el productoR×Susamos las siguientes integrales auxiliares, que son elementales gracias a la sustituci´on t2 =x:
A=
Z 1
0
t3 dt
√
1−t4 =
1
2 = l´ımm→∞ " m
Y
k=1
4k+ 2 4k ×
Z 1
0
t4m+3dt
√
1−t4
# , B = Z 1 0 t dt √
1−t4 =
π
4 = l´ımm→∞ " m
Y
k=1
4k
4k−2 ×
Z 1
0
t4m+1dt
√
1−t4
#
.
En el lado derecho hemos usado la f´ormula de recurrencia de m´as arriba. Cuando m → ∞, todas las integrales dentro de los cuatro l´ımites se hacen iguales. En consecuencia,
R A × S B = 5 3 9 7 13 11· · · 6
4 10
8 14 12· · ·
× 3 1 7 5 11 9 · · · 4
2 8 6
12 10· · ·
1.5. Lemas de Euler y de Landen 16
As´ı pues,
R×S = 2×A×B = π 4.
Un tratamiento m´as contempor´aneo de estas convergencias se puede con-sultar el Moll, Nowalsky, Neill y Solanilla (2000). Esta demostraci´on conserva el aroma del famoso producto de Wallis (1655).
π
2 = 2·2 1·3·
4·4 3·5·
6·6 5·7· · ·
Lema 1.2 (Landen, 1771). Sean las integrales
L= 1 2
Z 1
0
t1/2
√
1−t2dt y M =
1 2
Z 1
0
t−1/2
√
1−t2 dt.
Si denotamos por
le(1) =
1 2
Z 1
0
√
1 +t
p
t(1 +t)dt,
a la longitud de un cuarto del total de la elipse considerada m´as arriba y por
lc(1) = π2 a la longitud de un cuarto de la circunferencia unitaria, entonces
L+M =le(1),
L×M = 1
2 ×lc(1).
Demostraci´on. La primera parte (suma) es f´acil. Para la segunda parte (pro-ducto), usamos el cambio de variable t=x2, dt = 2xdx, para obtener
L=R =
Z 1
0
x2 dx
√
1−x4 y M =S =
Z 1
0
dx
√
1−x4.
Entonces, el Lema de Euler produce el resultado buscado.
Con esto,
L= 1 2
le(1)−
p
l2
e(1)−4lc(1)
, M = 1
2
le(1) +
p
l2
e(1)−4lc(1)
1.6. Teorema de Landen 17
1.6.
Teorema de Landen
Teorema 1.3. Con las notaciones anteriores de este cap´ıtulo, se obtiene la siguiente expresi´on para la longitud de arco de la hip´erbola en t´erminos de longitudes de arco de circunferencia y elipse:
lh
1
p
2−√2
!
=√2−1 2
q
3−2√2− 1 4
p
le(1)2−4lc(1)−le(1)
.
Demostraci´on. Recordemos que en la expresi´on
fh(z) +fh(y) =pe(z)−pe(1) +L=pe(z) +L,
y y z se relacionan por z = (1− y)(1 + y)−1. Por lo tanto, si usamos el
punto fijo ∗z =∗y=√2−1 de esta transformaci´on, obtenemos la expresi´on simplificada
fh(∗z) =
1
2(pe(∗z) +L).
Para regresar a un valor que tenga sentido en la hip´erbola usamos la inversa de z = (2x2−1)−1 para hallar ∗x= (p2−√2)−1. As´ı,
fh(∗x) =ph(∗x)−lh(∗x) =
1
2(pe(∗z) +L). De donde,
lh(∗x) =ph(∗x)−
1
2(pe(∗z) +L). Ahora bien,
ph(∗x) = √
2, pe(∗z) =
q
3−2√2, L= 1
2
le(1)−
p
l2
e(1)−4lc(1)
.
CAP´
ITULO
2
Los aportes de Legendre
Quiz´as el primero en notar la importancia de los lemas del cap´ıtulo an-terior fue Lagrange (1784-5). Sin embargo, la posteridad prefiere recordar a Legendre (1786-88) porque dedic´o su vida a las integrales el´ıpticas. Cierta-mente, hoy en d´ıa se llaman transformaciones de Landen a ciertas genera-lizaciones de los citados lemas. En este cap´ıtulo estudiamos una manera de generalizarlos por medio de una sustituci´on integral.
2.1.
Un cambio de variable
Consideremos la integral el´ıptica de primera especie de m´odulok, es decir,
F(θ, k) =
Z θ
0
dϑ
p
1−k2sin2ϑ.
Recordamos que el m´odulo es una constante 0 < k <1. Remitimos al lector interesado en las propiedades de esta integral al libro Pareja, Solanilla y Tamayo (2010). A prop´osito, son dichas propiedades las que justifican el procedimiento que sigue.
La idea de Legendre consiste en hacer un cambio de variable ϕ 7→ ψ(ϕ) de la forma
ϑ(ϕ) = arctan
sin 2ϕ k+ cos 2ϕ
2.1. Un cambio de variable 19
Para realizar la sustituci´on necesitamos
ϑ′(ϕ) = 2× 1 +kcos 2ϕ 1 + 2kcos 2ϕ+k2.
As´ı pues,
F(θ, k) =
Z θ
0
dϑ
p
1−k2sin2ϑ =
Z φ
0
ϑ′(ϕ)dϕ p
1−k2sin2ϑ(ϕ).
Consideremos el integrando de la derecha. Despu´es de remplazarϑ′(ϕ) y
de aplicar identidades trigonom´etricas,
ϑ′(ϕ) p
1−k2sin2ϑ(ϕ) = 2×
1+kcos 2ϕ
1+2kcos 2ϕ+k2
1+kcos 2ϕ √
1+2kcos 2ϕ+k2
= p 2
1 + 2kcos 2ϕ+k2
= p 2
(1 +k)2−4ksin2ϕ.
Para el ´ultimo paso, hemos expresado cos 2ϕ en funci´on de sin2ϕ. Con esto, nuestra integral toma la forma
Z θ
0
dϑ
p
1−k2sin2ϑ =
Z φ
0
2 dϕ
(1 +k)q1− 4k
(1+k)2 sin
2ϕ
= 2
1 +k
Z φ
0
dϕ
p
1−l2sin2ϕ.
dondel=±2√k/(1+k). Notemos que como 0< k <1, entonces (1+k)2 <4
y as´ı
l2 > 4k
(1 +k)2 > k > k 2.
2.2. Iteraciones 20
2.2.
Iteraciones
En la transformaci´on integral de la secci´on anterior, pongamos
ϑ =ϕn, ϕ= ϕn+1,
k =kn, l= kn+1 =
2√kn
1 +kn
,
para n ∈N. De esta manera obtenemos la f´ormula de iteraci´on
Z φn
0
dϕn
p
1−k2
nsin2ϕn
= 2
kn+ 1
Z φn+1
0
dϕn+1
q
1−k2
n+1sin2ϕn+1
,
a partir, digamos, dek0 =k y cierto ϕ0 =ϕ. Por lo tanto, procediendo como
en el cap´ıtulo anterior,
Z φ
0
dϕ
p
1−k2sin2ϕ =
n
Y
j=0
2
kj+ 1 ×
Z φn+1
0
dϕn+1
q
1−k2
n+1sin2ϕn+1
.
Para lo que sigue necesitamos demostrar que la sucesi´on (kn) de los
m´odu-los satisface siempre (independientemente de la condici´on inicial k0 ∈(0,1])
l´ım
n→∞kn= 1.
Ciertamente, (kn)⊂ [0,1] es acotada y estrictamente mon´otona: kn < kn+1.
En consecuencia, (kn) converge a cierto k ∈ [0,1]. Es mas, si pasamos al
l´ımite en la formula de recurrencia
kn=
2p
kn−1
kn−1+ 1
, n≥1,
se tiene que
k= 2
√
k k+ 1. Ahora bien, como
√
k≤1≤ 2
2.3. Otra transformaci´on de Landen 21
la ´unica posibilidad es k= 1. De esta forma,
l´ım
n→∞ Z φn
0
dϕn
p
1−k2
nsin2ϕn
=
Z φ∞
0
dϕ∞ p
1−sin2ϕ∞
=
Z φ∞
0
secϕ∞
= log tanπ 4 +
ϕ∞
2
.
Con esto encontramos inmediatamente la desconcertante expresi´on
Z φ
0
dϕ
p
1−k2sin2ϕ =
∞ Y
j=0
2
kj + 1 ×
log tanπ 4 +
ϕ∞
2
.
Y de ´esta, la util´ısima f´ormula pr´actica del An´alisis Num´erico
Z φ
0
dϕ
p
1−k2sin2ϕ ≈
n
Y
j=0
2
kj+ 1 ×
log tanπ 4 +
ϕn
2
,
para n convenientemente grande.
2.3.
Otra transformaci´
on de Landen
Por m´etodos similares a los de la secci´on anterior es posible probar que
Z φ
0
dϕ
p
1−λ2sin2ϕ = (1 +k
′) Z θ
0
dϑ
p
1−k2sin2ϑ,
donde tan(ϕ−ϑ) =k′tanϕ con k′ =√1−k2 y
λ= 1−k
′
1 +k′.
Para ello, construyamos un tri´angulo como en la Figura 2.1, cuyos lados de longitud 1, m y sus ´angulos α,2β−α satisfacen la ley de las tangentes
tan1
2(α−(2β−α))
tan1
2(α+ (2β−α))
= tan(α−β)
tanβ =
1−m
2.3. Otra transformaci´on de Landen 22
Figura 2.1: Tri´angulo de relaciones.
De otro lado, la ley de los senos garantiza que
msenα= sen(2β−α).
Adem´as, un simple ejercicio de identidades trigonom´etricas arroja que
msinα= sin(2β−α)⇔tanα= sin 2β
m+ cos 2β ⇔α= arctan
sin 2β m+ cos 2β
.
En este punto recordemos la transformaci´on de Landen de la secci´on anterior
Z θ
0
dϑ
p
1−k2sin2ϑ =
2 1 +k
Z φ
0
dϕ
p
1−l2sin2ϕ,
donde l2 = 4k/(1 +k)2 y
ϑ= arctan
sin 2ϕ k+ cos 2ϕ
.
Pongamos aqu´ı
√
1−k2 =k′ = 1−m
1 +m ⇔m =
1−k′
2.3. Otra transformaci´on de Landen 23
De esta manera,
ϕ= arctan 1−k′sin 2ϑ
1+k′ + cos 2ϑ
⇔tan(ϕ−ϑ) = 1−
1−k′
1+k′
1 + 1−k′
1+k′
tanϑ=k′tanϑ,
en virtud de la mencionada ley de las tangentes. Por lo tanto,
Z φ
0
dϕ
q
1−(1−k′
1+k′)2sin
2ϕ =
2 1 + 1−k′
1+k′ Z θ
0
dϑ
p
1−l2sin2θ,
donde
l2 = 4
1−k′
1+k′
(1 + 1−k′
1+k′)2
=k2.
La nueva transformaci´on se descubre cuando se observa que
2 1 + 1−k′
1+k′
= 1 +k′.
El resultado obtenido se puede tambi´en iterar:
Z φn+1
0
dϕn+1
q
1−k2
n+1sin2ϕn+1
= (1 +kn′)
Z φn
0
dϕn
p
1−k2
nsin2ϕn
,
con tan(ϕn+1−ϕn) =kn′ tanϕn, kn′2+k2n= 1 y
kn+1=
1−k′
n
1 +k′
n
.
Por lo visto en la secci´on anterior, se tiene que la sucesi´on (kn) es acotada
en [0,1]. Asimismo, 0 < kn < 1 implica 0 < kn+1 < kn < 1. Al tomar el
l´ımite a la f´ormula de iteraci´on se encuentra que
k = 1−
√
1−k2
1 +√1−k2.
En consecuencia, l´ım
2.3. Otra transformaci´on de Landen 24
Con todo esto podemos obtener otra f´ormula aproximada para calcular una integral el´ıptica de la primera especie. Si llamamos ϕ al l´ımite de las
ϕn y tomamos un n suficientemente grande, la integral de la derecha en la
recurrencia se aproxima por la funci´on identidad y
Z φ
0
dϕ
p
1−k2sin2ϕ ≈
n
Y
j=0
CAP´
ITULO
3
Elegancia gaussiana
De manera independiente a Lagrange y Legendre, Gauss (1818) descu-bri´o un algoritmo para aproximar num´ericamente la integral el´ıptica comple-ta (φ=π/2). Su descubrimiento constituye el c´elebre “algoritmo de la media geom´etrica-aritm´etica”. Para ´el, se trataba solamente de una herramienta para resolver un problema de atracci´on entre planetas.
Algunos defienden que Gauss hab´ıa desarrollado ya la teor´ıa de las fun-ciones el´ıpticas hacia 1808. Sin embargo, sus resultados no fueron conocidos sino hasta despu´es de su muerte, entre sus anotaciones personales.
3.1.
Distintas medias
Sean dos n´umeros reales positivos a y b y asumamos sin p´erdida de ge-neralidad que a > b > 0. Las medias aritm´etica, geom´etrica y arm´onica de estos n´umeros se definen respectivamente mediante las expresiones
A(a, b) = 1
2(a+b), G(a, b) =
√
ab, y H(a, b) = 2ab
a+b.
No es dif´ıcil ver que ellas satisfacen las desigualdades
3.2. Algoritmo de la media aritm´etica-geom´etrica 26
Tambi´en se puede ver que
H(a, b) = 1
A(a−1, b−1) y G(a, b) =
1
G(a−1, b−1).
Para lo que nos interesa aqu´ı debemos iterar estas expresiones. Sean, pues,
a0 > b0 >0 y definamos las f´ormulas de recurrencia
an=A(an−1, bn−1) y bn=G(an−1, bn−1),
para n >0 natural. Debido a la monotonicidad de estas f´ormulas, las suce-siones resultantes convergen. M´as a´un,
0< an−bn <
an−1−bn−1
2 ,
y las sucesiones (an) y (bn) convergen al mismo l´ımite. Este l´ımite fue
bauti-zado por el mismo Gauss con el nombre de media aritm´etica-geom´etrica de
a0, b0 y nosotros lo denotaremos como M(a0, b0). Algo similar sucede con la
recurrencia de las medias geom´etrica y arm´onica, su l´ımite com´un se llama media geom´etrica-arm´onica.
3.2.
Algoritmo de la media
aritm´
etica-geom´
etrica
Gauss estudi´o las integrales el´ıpticas en la forma
I(a, b;φ) =
Z φ
0
dϕ
p
a2cos2ϕ+b2sin2ϕ,
con a > b >0. Claramente, ellas se convierten a la forma can´onica de Legen-dre
1
a ×
Z φ
0
dϕ
p
1 +k2sin2ϕ =
F(φ, k)
a ,
donde
k2 = a
2−b2
a2 .
3.2. Algoritmo de la media aritm´etica-geom´etrica 27
Teorema 3.1 (Teorema de Gauss). Sean dos n´umeros reales positivos a0 y
b0 tales que a0 > b0 >0. Entonces,
Ia0, b0;
π
2
=
Z π/2
0
dϕ
p
a2
0cos2ϕ+b20sin2ϕ
= π
2×M(a0, b0)
,
dondeM(a0, b0)es la media aritm´etica-geom´etrica obtenida por iteraci´on
des-de a0 y b0.
Demostraci´on. Comencemos por escribir, como m´as arriba,
I(a0, b0;φ) =
F(φ, k0)
a0
,
donde k2
0 = (a20−b20)/a20. Por la transformaci´on de la Secci´on 2.3, la integral
de la derecha se convierte en
1 +k1
a0 ×
F(θ, k1),
donde
k1 =
1−k′
0
1 +k′
0
= 1−
p
1−k2 0
1 +p1−k2 0
= a0−b0
a0+b0
.
Sustituyendo,
1 +k1
a0 ×
F(θ, k1) =
1
a0
1 + a0−b0
a0+b0
Z θ
0
dϑ
q
1 + (a0−b0
a0+b0)
2sin2ϑ
= 2
Z θ
0
dϑ
p
(a0+b0)2+ (a0−b0)2sin2ϑ
.
El ´ultimo radicando equivale a
a20cos2ϑ+b20cos2ϑ+ 2a0b0(cos2ϑ+ sen2ϑ) + 2a0b0sen2ϑ.
Es decir, (a0+b0)2cos2+4a0b0sen2ϑ. A fin de cuentas, con φ=φ0 yθ =φ1,
3.3. Par´entesis anal´ıtico 28
En t´erminos de las sucesiones de medias aritm´eticas y geom´etricas, se tiene que
I(a0, b0;φ0) =I(a1, b1;φ1) =· · ·=I(an, bn;φn) =· · ·
Por lo tanto,
I(a0, b0;φ0)) = l´ım
n→∞I(an, bn;φn) =I(M(a0, b0), M(a0, b0)) =
φ∞
M(a0, b0)
.
Finalmente, φ0=π/2 es punto fijo de todas las sustituciones y
I(a0, b0;π/2)) =
π
2×M(a0, b0)
.
3.3.
Par´
entesis anal´ıtico
A los ojos del rigor anal´ıtico de hoy, el final de la prueba anterior es insatisfactorio. Sin embargo, el asunto se puede remediar como sigue. La sucesi´on de funciones
1
p
a2
ncos2ϕ+b2nsin2ϕ
!
n∈N∪{0}
converge uniformemente a 1/M(a0, b0) en [0, π/2], donde an y bn son como
en la Secci´on 3.1. Este hecho, evidente para Gauss, exige en el an´alisis con-tempor´aneo una explicaci´on adicional.
Ciertamente, podemos escribir
a2n =µ2+cn y b2n =µ2−dn
donde cn, dn son sucesiones de t´erminos positivos que convergen a cero.
As´ı pues,
3.3. Par´entesis anal´ıtico 29
En consecuencia, para todo ǫ >0 es posible encontrar un N ∈ N tal que si
n ≥N, entonces
a
2
ncos2ϕ+b2nsin2ϕ−µ2
< ǫ,
independientemente deϕ ∈[0, π/2]. Como la funci´on ra´ız cuadrada es conti-nua,
q
a2
ncos2ϕ+b2nsin2ϕ−µ
< ǫ.
Este resultado es independiente de ϕ paran grande y, as´ı, se tiene la conver-gencia uniforme.
La integral se puede intercambiar pues con el l´ımite en virtud del siguiente resultado del an´alisis cl´asico.
Teorema 3.2. Si I es un intervalo cerrado y acotado de la recta real y
fn:I →Res una sucesi´on de funciones integrables en el sentido de Riemann
que convergen uniformemente a f :IR en I, entonces
Z β
α
fn(x)dx converge a
Z β
α
f(x)dx,
CAP´
ITULO
4
Contundencia jacobiana
En este cap´ıtulo mostramos una manera geom´etrica de motivar la trans-formaci´on de Landen de la Secci´on 2.1. Seguimos a K¨upper (1857), quien afirma que la idea original est´a en una carta de Jacobi (1845) a Hermite. Tambi´en hemos usado algunos m´etodos de Bellachi (1894). Estas considera-ciones nos llevan a dar una demostraci´on m´as contundente y a revelar un nuevo significado para el teorema de Landen del Cap´ıtulo 1.
4.1.
Cambio de variable
Queremos encontrar una interpretaci´on geom´etrica de la citada transfor-maci´on, a saber:
ϑ(ϕ) = arctan
sin 2ϕ k+ cos 2ϕ
.
En la circunferencia de la Figura 4.1, de centroO y di´ametro BA=a+b, ubiquemos el puntoQtal queBQ=byQA=a. Por lo tanto,QO = (a−b)/2 y OA= (a+b)/2. Sea K un punto cualquiera sobre la circunferencia yH su punto de ca´ıda vertical sobre OA. Adem´as, seans el ´angulo de ABK y ϕ(s) el ´angulo de AQK. Por Geometr´ıa Euclidiana b´asica, 2s es ´angulo deAOK.
Se sigue que
sin 2s = 2KH
a+b y cos 2s =
4.2. Transformaci´on 31
Figura 4.1: Interpretaci´on geom´etrica de la transformaci´on de Landen.
Con esto, notamos que
sin 2ϕ
a−b
a+b + cos 2ϕ
= 2KH
a−b+ 2OH
= KH
QO+OH = KH QH.
Para terminar, basta definir ϑ(ϕ) como el ´angulo AQK, ya que su tangente aparece en la ´ultima expresi´on. De paso, hemos hallado tambi´en un signifi-cado geom´etrico para el m´odulo k = (a−b)/(a+b).
4.2.
Transformaci´
on
4.2. Transformaci´on 32
En la Figura 4.2 se muestra el c´ırculo de radio CA = R. El punto L
est´a situado sobre el di´ametro AA′ a una distancia LC =r del centro. Sean
los ´angulos ACM = 2ψ y ALM = ϕ. Si M′ es “infinitamente pr´oximo” a
M, entonces
∠MM′ = 2Rdψ y ∠MLM′ =dϕ.
Figura 4.2: Prueba geom´etrica antigua de la transformaci´on.
As´ı mismo, ∠MM′L=∠MM′C+CM′L=π/2 +CM′Ly la ley de los
senos en el tri´angulo MM′L produce
MM′
ML =
sin(MLM′)
sin(MM′L).
denomina-4.2. Transformaci´on 33
dores, notemos primero que
sin(MM′L) = cos(CM′L) =
q
1−sin2(CM′L)
=
q
1−sin2(CML) =
r
1− r
2
R2 sin 2(ϕ).
De otro lado, por la ley del coseno,
ML = pR2+r2+ 2Rrcos 2ψ
= (R+r)
s
1− 4Rr (R+r)2 sin
2ψ.
Poniendo por brevedad
r
R =k y
4Rr
(R+r)2 =
4k
(1 +k)2 =h 2,
se logra
dψ
(1+k
2 )
p
1−h2sin2ψ =
dϕ
p
1−k2sin2ϕ.
Finalmente, integrando,
F(h, ψ) = 1 +k
2 F(k, ϕ), donde h= 2√k/1 +k > √k y, por lo tanto, 0< k <1.
La relaci´on entre ϕ y ψ se logra del tri´angulo CML: sin(CLM)
sin(LMC) =
CM CL.
O sea,
sin(2ψ −ϕ) =ksinϕ,
de donde se derivan f´acilmente las siguientes:
tanϕ= sin 2ψ
4.3. Teorema de Landen, otra vez 34
tan(ϕ−ψ) = 1−k
1 +k tanψ.
Adem´as, dado que el m´odulo k es positivo menor que la unidad, se sigue de la relaci´on entre los senos es
sin(2ψ−ϕ)<sinϕ,
y, por consiguiente, 2ψ−ϕ < ϕy ψ < ϕ. Por lo tanto, la transformaci´on de Landen significa que una integral el´ıptica de la primera especie se transforma en otra de la misma especie con m´odulo mayor y amplitud menor (o viceversa, con m´odulo menor y amplitud mayor).
4.3.
Teorema de Landen, otra vez
4.3.1.
Segunda especie
Una nueva demostraci´on m´as jacobiana del teorema de Landen se puede realizar con ayuda de la segunda especie de Legendre. Una integral el´ıptica de la segunda especie tiene la forma
E(k, ϕ) =
Z ϕ
0
q
1−k2sin2ϕ dϕ.
Tal como con la primera especie, k es el m´odulo de la integral y ϕ ∈[0, π/2] es su amplitud. Un sencillo c´alculo demuestra que las integrales el´ıpticas de la segunda especie expresan la longitud de arco de una elipse de excentricidadk. Para un tratamiento detallado de los arcos de las c´onicas centrales, remitimos al lector a Solanilla y Tamayo (2007).
4.3.2.
Lema
4.3. Teorema de Landen, otra vez 35
la circunferencia. Denotemos NL = p y LM = p′. Entonces, por lo dicho
arriba,
P M = p+p
′
2 =R
q
1−k2sin2ϕ y LP = p′−p
2 =rcosϕ.
La relaci´on dada por la ley de los senos en la secci´on anterior equivale as´ı a
2dψ p′ =
dϕ
p+p′
2
.
Es decir,
(p+p′)dϕ+ (p′−p)dϕ= 2pdψ+ 2p′dψ.
Ya que pp′ =R2−r2,
(p+p′)dϕ+ (p′−p)dϕ= 2dψ(R
2
−r2)
p′ + 2p ′dψ,
o sea,
q
1−k2sin2ϕdϕ+kcosϕdϕ= (1 +k)p
1−h2sinψdψ+ (1−k)dψ
p
1−h2sin2ψ.
Luego de integrar, se halla la siguiente relaci´on importante entre la primera y la segunda especie:
E(k, ϕ)−ksinϕ = (1 +k)E(h, ψ) + (1−k)F(h, ψ).
Por la transformaci´on de Landen, se obtiene finalmente
E(k, ϕ) +ksinϕ−(1 +k)E(h, ψ) = 1−k
2
2 F(k, ϕ).
De esta manera, una integral el´ıpica de la primera especie es la suma de dos integrales el´ıpticas de la segunda especie.
4.3.3.
Demostraci´
on
Volviendo al teorema de Landen sobre la longitud de arco de las c´onicas, consideremos la hip´erbola
x2
a2 −
y2
4.3. Teorema de Landen, otra vez 36
El ´angulo α de la tangenteMT con el eje transverso es tal que
tanα = b
2x
a2y,
y la abscisa del punto T en el ejex esOT =a2/x. La situaci´on se ilustra en
la Figura 4.3.
SeaN la intersecci´on deMT con la circunferencia de radioa, conc´entrica a la hip´erbola. Sea ϕ el complemento del ´angulo agudo ONT. Por la ley de los senos,
OT ON =
cosϕ
sinα y cosϕ=
asinα x =
ab2
p
a4y2+b4x2.
De esta manera,
x2
a4 +
y2
b4 =
1
a2cos2ϕ.
4.3. Teorema de Landen, otra vez 37
De ´esta ´ultima y de la ecuaci´on de la hip´erbola se encuentran las coorde-nadas de M, a saber:
x a =
p
c2−a2sin2ϕ
ccosϕ y y b =
b ctanϕ.
Pongamos ahora
k = a
c, k
′ = b
c =
√
1−k2 y ∆ϕ=
q
1−k2sin2ϕ.
Derivando con respecto a ϕ,
dx a =−
k2sinϕdϕ
cos2ϕ∆ϕ y
dy a =−
k′2dϕ
kcos2ϕ.
Por lo tanto,
ds=pdx2+dy2 = ak
′2dϕ
kcos2ϕ∆ϕ
y as´ı,
k a
ds dϕ =
1−k2sin2ϕ
−k2cos2ϕ
cos2ϕ∆ϕ
= ∆ϕ
cos2ϕ −
k2
∆ϕ.
Con un poco m´as de trabajo, se obtiene
k
a ds=d(∆ϕtanϕ)−dϕ∆ϕ+ (1−k
2)dϕ
∆ϕ.
Integrando al fin esta relaci´on, se llega a que la longitud del arco AM es
a
k ∆ϕ tanϕ− a
k E(k, ϕ) + a
k (1−k
2) F(k, ϕ).
Para finalizar, se expresa la integral de la primera especie mediante dos in-tegrales de la segunda especie. De este modo, el arco AM mide
a
k ∆ϕ tanϕ− a
k E(k, ϕ) +
2a
4.3. Teorema de Landen, otra vez 38
De manera m´as sencilla,
AM = a
k ∆ϕtanϕ+ 2asinϕ+ a
k E(k, ϕ)−
2a(1 +k)
k E(h, ψ).
A manera de conclusi´
on
En cada momento de su devenir y para cada matem´atico particular, una teor´ıa matem´atica se puede entender como un sistema, es decir, como un conjunto de elementos relacionados entre s´ı. El todo es m´as que la suma de sus partes, ya que la informaci´on que nos da dicha teor´ıa sobrepasa con creces la que nos da cada uno de sus elementos aislados. Con el tiempo dichos sistemas cambian en todos los sentidos posibles, o sea, cambia el sistema total porque cambian sus elementos y las relaciones entre ellos. Cambia tambi´en ese todo que es mucho mas que los elementos y sus relaciones. En ese cambio juega un papel crucial las interpretaciones que los nuevos matem´aticos hacen de sus maestros y de las obras de sus predecesores.
Las distintas nociones de transformaci´on de Landen estudiadas en este trabajo ejemplifican muy bien esta concepci´on sist´emica. En efecto,
El objeto de la teor´ıa original de Landen estaba constituido por las longitudes de las secciones c´onicas centrales (elipse e hip´erbola). Su prop´osito era expresar la longitud de arco de una c´onica en t´erminos de longitudes de otras c´onicas, un problema t´ıpico de aquellos tiempos heroicos en los cuales las integrales el´ıpticas no estaban todav´ıa clasi-ficadas en especies. La transformaci´on de Landen era un elemento de esta teor´ıa y el papel que define su relaci´on con los teoremas principales es el de un lema auxiliar: las transformaciones de Landen emergieron como una mera herramienta para probar expresiones que relacionaban longitudes de arco de secciones c´onicas.
el´ıpti-40
cas en formas can´onicas o especies. En el marco de las integrales de la primera especie, la transformaci´on de Landen se interpreta como una transformaci´on del m´odulo de la integral el´ıptica. Ahora bien, la trans-formaci´on se define de manera conveniente por medio de una integra-ci´on por sustituintegra-ci´on. Hay varias maneras de lograr este tipo de trans-formaciones, con algunas de ellas el m´odulo crece, con otras el modulo decrece. Como los m´odulos son acotados por la unidad, las transfor-maciones iteradas producen sucesiones convergentes de modulos. En resumen, para Legendre las transformaciones de Landen ya no son un lema auxiliar sino un teorema principal, una propiedad importante de las integrales el´ıpticas de la primera especie.
La motivaci´on de Gauss proviene la necesidad de resolver un problema de astronom´ıa que involucra ciertas integrales. Al escribir las integra-les el´ıpticas de una forma ligeramente diferente a Legendre, se revela su relaci´on con las medias aritm´eticas y geom´etricas. Esto produce un algoritmo muy eficiente para aproximar num´ericamente las funciones el´ıpticas. De paso, se demuestra que la convergencia de las iteracio-nes repetidas de una transformaci´on de Landen ocurre porque, en el infinito, la media aritm´etica y la geom´etrica son iguales. Las transfor-maciones vuelven a ser un resultado auxiliar, esta vez dentro de un problema de matem´aticas aplicadas. La potencia del resultado compite con su belleza y elegancia.
41
Bibliograf´ıa
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y = R
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positionis datae exerwret Planeta, etc. Comm. Gott. Soc. Reg. Scient.,
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II. Reimpreso en Œuvres, t. II (1868), 253-312, Paris: Gauthier-Villars.
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BIBLIOGRAF´IA 43
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