derivadas

1

Definición de derivada

Ejercicio nº 1.-

Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica

 

x x x f 2 23 Ejercicio nº 2.-

 

.

3 1 función

la para (1) deriv ada, de

definición la

utilizando

Calcula, f´ f x  x

Ejercicio nº 3.-

 

.

3 1 función

la para calcula

deriv ada, de

definición la

Utilizando f´(x) f x  x

Ejercicio nº 4.-

Halla la función derivada de:

 

3 2 5

a) f x  x4  x

 

x

e x

f 

b)

Ejercicio nº 5.-

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

 

1 2

2 a)

2   

x x x f

 

x

xe x

f 

b)

Ejercicio nº 6.-

Calcula la derivada de la función:

 

x  4x3 1 f

Ejercicio nº 7.-

Consideramos la función:

 

2

1 2 _  x x f

Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo.

Ejercicio nº 8.-

 

3 enelinterv alo [ 3, 1] función

la de media v ariación de

tasa la Calcula

a)   

x x f

2

Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes

e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:



1,0



a) 

 

1,2 b)

Ejercicio nº 10.-

 

.

2 1 3 siendo

1) ( calcula

deriv ada, de

definición la

Utilizando f´  , f x  x

Ejercicio nº 11.-

 

 

.

x x f ,

f' 1 siendo 2 calcula

deriv ada, de

definición la

Aplicando 

Ejercicio nº 12.-

 

.

3 1 función

la para (1) deriv ada, de

definición la

utilizando

Calcula, f´ f x  x

Ejercicio nº 13.-

  

1



en 2, aplicando ladefinición dederiv ada. función

la de deriv ada la

Halla f x  x 2 x  Ejercicio nº 14.-

Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

 

_ 2 _1

x x f

Ejercicio nº 15.-

 

2 ,aplicandoladefinicióndederiv ada.

función la

de deriv ada la

Halla 2

x x

f 

Ejercicio nº 16.-

 

.

3 1 función

la para calcula

deriv ada, de

definición la

Utilizando f´(x) f x  x

Ejercicio nº 17.-

1. siendo

deriv ada, de

definición la

aplicando

Halla _ 2 _

3

Ejercicio nº 18.-

 

 

.

x x f ,

x

f' siendo 1 calcula

deriv ada de

definición la

Aplicando 

Cálculo de derivadas

Ejercicio nº 19.-

Halla la función derivada de:

 

4 3 2

a)f x  x3  x2 

 

x tgx

f 

b)

Ejercicio nº 20.-

Calcula la función derivada de:

 

2 1

a) _ 3 _ 2 _

x x x f

 

x lnx

f 

b)

Ejercicio nº 21.- Halla la derivada de:

 

5 1 3 a) _ 3 _ 2 _

x x x f

 

x cosx

f 

b)

Ejercicio nº 22.-

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

 

3 2 a)f x  x5  x

 

x senx

f 

b)

Ejercicio nº 23.-

Halla la función derivada de:

 

3 2 5

a) _ 4 _{ }

x x x f

 

x

e x

f 

b)

Ejercicio nº 24.-

Calcula f´(x) en cada caso:

 

3 2

3 a)

2

 

x x x f

 

x x senx

f 3 

4

Halla la función derivada de:

 

3 1 a)

2

  

x x x

f

 

x xlnx

f 

b)

Ejercicio nº 26.-

Calcula la derivada de las funciones siguientes:

 

2 1 3 a)

2 _  

x x x f

 

x x senx

f  2

b)

Ejercicio nº 27.-

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

 

1 2

2 a)

2   

x x x f

 

x

xe x

f 

b)

Ejercicio nº 28.-

Halla la derivada de las siguientes funciones:

 

x x x

f 2

a)  

 

_x e x x

f 3 1

b)  

Ejercicio nº 29.-

Halla la derivada de las siguientes funciones:

 

x x x

f 2

a)  

 

_x e x x

f 3 1

b)  

Ejercicio nº 30.-

Calcula la derivada de la función:

 

x  4x3 1 f

Ejercicio nº 31.-

Halla la función derivada de:

 



₂



4

3x x x

5

Ejercicio nº 32.-

Halla f´(x) para la función:

 

x x

e x

f _ 4 32 Ejercicio nº 33.-

Calcula la función derivada de:

 



  

 

  

3 2

1

x x sen x f

Aplicaciones de la derivada

Ejercicio nº 34.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7.

Ejercicio nº 35.-

1 4 1 recta la a paralela sea

que curv a

la a tangente recta

la de ecuación la

Halla y  x y  x

Ejercicio nº36.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x 1 en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio nº 37.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 2x en el punto de abscisa x  2.

Ejercicio nº 38.-

Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x2 + x -1.

Ejercicio nº 39.-

Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

 

2 3 2

  

x x x

f

Ejercicio nº 40.-

Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:

 

4 2

2x x x

6

Determina los puntos de tangente horizontal de la función:

 

2 3  

x x x f

Ejercicio nº 42.-

Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:

 

x x x x f _ 3 _6 2 _15

Ejercicio nº 43.-

Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:

1 9 3 2

3 _{  }

x x x

y Ejercicio nº 44.-

Dada la función:

 

3

2x x

f 

determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece.

Ejercicio nº 45.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

 

_3 2 _2 _1

x x x f

Ejercicio nº 46.-

Estudia dónde crece y dónde decrece la función:

 

2

3 12 3 x x x

f   

Ejercicio nº 47.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función:

 

2 1 3 2 _{ }

 x x

x f

Ejercicio nº 48.-

Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

  



2

2

7

SOLUCIONES

Definición de derivada

Ejercicio nº 1.-

Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica

 

x x x f _2 2_3

Solución:

 

   

  



3

1 3 1

1 2 1

1 2 1 2

1 2 2 1,

T.V.M.       

 

f f

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en el intervalo [1, 2].

Ejercicio nº 2.-

 

.

3 1 función

la para (1) deriv ada, de

definición la

utilizando

Calcula, f´ f x  x

Solución:

 



  

3 1 3 1 3

0 3

1 1 1

1 1

'

0 0

0 0

 



        

 

 

h h

h h

lim h h lim

h h lim h

f h f lim f

Ejercicio nº 3.-

 

.

3 1 función

la para calcula

deriv ada, de

definición la

Utilizando f´(x) f x  x

Solución:

 



  

3 1 3 3

3 1 1

3 1 3

1 '

0 0

0

0 0

 

     

     

  

 



     

 

h h lim h h lim h

x h x lim

h x h

x lim h

x f h x f lim x f

h h

h

8

Halla la función derivada de:

 

3 2 5

a) _ 4 _{ }

x x x f

 

x

e x

f 

b)

Solución:

 

12 2

' _ 3 _

x x f a)

 

x

e x

f' 

b)

Ejercicio nº 5.-

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

 

1 2

2 a)

2   

x x x f

 

x

xe x

f 

b)

Solución:

 





















2

2

2 2 2

2 2

1 2

4 2 2

1 2

4 2 2 4

1 2

2 2 1

2 2 ' a)

    

    

    

x x x x

x x x x

x x

x x f

 

x x





x

e x xe

e x

f'    1

b)

Ejercicio nº 6.-

Calcula la derivada de la función:

 

x  4x3 1 f

Solución:

 

1 4

6 1 4 2

12 12

1 4 2

1 '

3 2

3 2 2

3 _

  

  

x x x

x x

x x

f

Ejercicio nº 7.-

Consideramos la función:

 

2

1 2 _  x x f

9

Solución:





   

1

2 2 2

2 1 2 3

2 2

1 2 3

0 2

0 2 2 , 0

T.V.M.  

            

 f f

Como la tasa de variación media es positiva, la función crece en ese intervalo.

Ejercicio nº 8.-

 

3 enelinterv alo [ 3, 1] función

la de media v ariación de

tasa la Calcula

a)   

x x f

b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la función en dicho intervalo?

Solución:





   

_{ }

 

1

2 2 2

1 3 3 1

1 3 3 1

3 1 1 , 3 T.V.M.

a)    

 

      

    

 f f

b) Como la tasa de variación media es negativa, la función es decreciente en el intervalo dado.

Ejercicio nº 9.-

Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:



1,0



a) 

 

1,2 b)

Solución:





   

_{ }

 

2 1

1 1 1

1 1 1 0

1 0 0 , 1 T.V.M.

a)      

 

  

 f f

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en [-1,0]. (También se puede apreciar directamente en la gráfica).

 

   

2

1 2 0 1 2

1 2 2 , 1 T.V.M.

b)   

 

f f

10

 

. 2 1 3 siendo 1) ( calcula deriv ada, de definición la

Utilizando f´  , f x  x

Solución:

 



  

2 3 2 3 lim 2 3 lim 2 2 1 3 3 lim 2 2 2 1 3 3 lim 2 2 2 1 1 3 lim 1 1 lim 1 ' 0 0 0 0 0 0                                        h h h h h h h h h h h f h f f h h h h h h

Ejercicio nº 11.-

 

 

.

x x f ,

f' 1 siendo 2 calcula

deriv ada, de

definición la

Aplicando 

Solución:

 



  

























2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 ' 0 0 0 0 0 0 0                                    h lim h h h lim h h h lim h h h lim h h h lim h h lim h f h f lim f h h h h h h h

Ejercicio nº 12.-

 

. 3 1 función la para (1) deriv ada, de definición la utilizando

Calcula, f´ f x  x

11

Ejercicio nº 13.-

  

1



en 2, aplicando ladefinición dederiv ada. función

la de deriv ada la

Halla f x  x 2 x 

Solución:

 



  













_

_

2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ' 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0                               h lim h h h lim h h h lim h h h lim h h lim h h lim h f h f lim f h h h h h h h

Ejercicio nº 14.-

Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

 

_ 2 _1

x x f Solución:

 



  











2



2

2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ' 0 0 2 0 2 0 2 0 0                            h lim h h h lim h h h lim h h h lim h h lim h f h f lim f h h h h h h

Ejercicio nº 15.-

 

2 ,aplicandoladefinicióndederiv ada.

12

 

. 3 1 función la para calcula deriv ada, de definición la

Utilizando f´(x) f x  x

Solución:

 



  

3 1 3 3 3 1 1 3 1 3 1 ' 0 0 0 0 0                             h h lim h h lim h x h x lim h x h x lim h x f h x f lim x f h h h h h

Ejercicio nº 17.-

1. siendo deriv ada, de definición la aplicando

Halla _ 2 _

x (x) f f´(x), Solución:

 



  















h x



x lim h x h h lim h xh h lim h x xh h x lim h x h x lim h x f h x f lim x f h h h h h h 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ' 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0                             

Ejercicio nº 18.-

 

 

. x x f , x

f' siendo 1 calcula deriv ada de definición la Aplicando  Solución:

 



  

























2

13

Cálculo de derivadas

Ejercicio nº 19.-

Halla la función derivada de:

 

4 3 2

a)f x  x3  x2 

 

x tgx

f 

b)

Solución:

 

x x x

f' 12 6

a)  2 

 

x cos x tg x

f' 1 2 1₂

b)   

Ejercicio nº 20.-

Calcula la función derivada de:

 

2 1

a)f x  x3 x2 

 

x lnx

f 

b)

Solución:

 

x x x

f' 6 2 2

a)

 

x x '

f  1

b)

Ejercicio nº 21.- Halla la derivada de:

 

5 1 3 a)f x  x3  x2 

 

x cosx

f 

b)

Solución:

 

x x x

f

a) ' 3 2 6

 

x senx '

f )

b 

Ejercicio nº 22.-

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

 

3 2 a)f x  x5  x

 

x senx

f 

14

 

3 1 10 '

a) _ 4 _

x x f

 

x cosx '

f )

b 

Ejercicio nº 23.-

Halla la función derivada de:

 

3 2 5

a) _ 4 _{ }

x x x f

 

x

e x

f 

b)

Solución:

 

12 2

' _ 3 _

x x f a)

 

x

e x

f' 

b)

Ejercicio nº 24.-

Calcula f´(x) en cada caso:

 

3 2

3 a)

2

 

x x x f

 

x x senx

f 3 

b)

Solución:





















2

2

2 2 2

2 2

3 2

18 6 3

2

6 18 12 3

2

2 3 3 2 6

   

   

   

x x x x

x x x x

x x

x x ' f ) a

 

x x senx f  13

' b)

 

senx x cosx

x x cos x x sen x x

f      3 

3 2

3 1 3

2

3 1 3

1 '

Ejercicio nº 25.-

Halla la función derivada de:

 

3 1 a)

2

  

x x x

f

 

x xlnx

f 

b)

Solución:

 





















2

2

2 2 2

2 2

3 1 6

3 1 6 2

3 1 3 2 '

a)

     

     

    

x x x x

x x x x

x x

x x

f

 

1 1

'

b)    lnx x

15

Ejercicio nº 26.-

Calcula la derivada de las funciones siguientes:

 

2 1 3

a) ₂

  

x x x f

 

x x senx

f _ 2

b)

Solución:

 



















₂



2

2

2 2

2 2

2 2 2

2 6 2 3 2

2 6 6 3 2

2 1 3 2 3 ' a)

     

    

   

x x x x

x x x

x

x x x

x f

 

x x senx x cosx

f 2

2 '

b)  

Ejercicio nº 27.-

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

 

1 2

2 a)

2   

x x x f

 

x

xe x

f 

b)

Solución:

 





















2

2

2 2 2

2 2

1 2

4 2 2 1

2

4 2 2 4 1

2

2 2 1

2 2 ' a)

    

    

    

x x x x

x x x x

x x

x x f

 

x x





x

e x xe

e x

f'    1

b)

Ejercicio nº 28.-

Halla la derivada de las siguientes funciones:

 

x x x

f 2

a)  

 

_x e x x

f 3 1

b)  

Solución:

 

2₂

2 1 '

a)

x x x

f  

 





 



 

_x



x x

x

x x

e x e

x e

e

e x e x

f' 3 3 1 3 3 1 2 3

16

Halla la derivada de las siguientes funciones:

 

x x x

f 2

a)  

 

_x e x x

f 3 1

b)  

Solución:

 

2₂

2 1 '

a)

x x x

f  

 





 



 

_x



x x

x

x x

e x e

x e

e

e x e x

f' 3 3 1 3 3 1 2 3

b)   ₂   ₂   

Ejercicio nº 30.-

Calcula la derivada de la función:

 

x  4x3 1 f

Solución:

 

1 4

6 1 4 2

12 12

1 4 2

1 '

3 2

3 2 2

3 _   _  _



x x x

x x

x x

f

Ejercicio nº 31.-

Halla la función derivada de:

 



₂



4 3x x x

f  

Solución:

 

4



3





6 1



' x  x2 x3 x f

Ejercicio nº 32.-

Halla f´(x) para la función:

 

x x

e x

f _ 4 32

Solución:

 



12 2



' x e4 32  x2 

17

Ejercicio nº 33.-

Calcula la función derivada de:

 



  

 

  

3 2

1

x x sen x f

Solución:

 



 

















 

 

  

  

    

 

  

     

       

 

  

3 2

1

3 2

5

3 2

1

3 2

2 2 3 2

3 2

2 1 3

2 3 2

1 '

2

2 2

x x cos x

x x cos x

x x

x x x

x x cos x f

Aplicaciones de la derivada

Ejercicio nº 34.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7.

Solución: 3 4 ' 

 y x

1 7

3 4 7

' es recta la de pendiente

La      

 y x x

. 5 , 1

Cuando  

 x y

 La recta será:



1



5 7 7 7 2 7

5      

 x x x

y

Ejercicio nº 35.-

1 4 1 recta la a paralela sea

que curv a

la a tangente recta

la de ecuación la

Halla y  x y  x

Solución:

x y

2 1 '



4 4

1 2

1 4

1 ' es recta la de pendiente

La     

 x

x y

2 , 4 Cuando

 

 x y

 La recta será:





1

4 1 1 4 1 2 4 4 1

2      

 x x x

y

Ejercicio nº36.-

18

2

2 ' 

 y x

 

1 4. '

es recta la de pendiente

La 

 y

 Cuando x = 1, y = 2  La recta será:



1



2 4 4 4 2 4

2      

 x x x

y

Ejercicio nº 37.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 2x en el punto de abscisa x  2.

Solución: 2 3 ' 2 

 y x

 

2 10. '

es recta la de pendiente

La 

 y

. 4 , 2

Cuando  

 x y

 La ecuación de la recta será:



2



4 10 20 10 16 10

4      

 x x x

y

Ejercicio nº 38.-

Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x2 + x -1. Solución:

1 6 ' 

 y x

1 7

1 6 7

' es recta la de pendiente La

     

 y x x

. 3 , 1 dos

Cuando  

 x y

 La ecuación de la recta será:



1



3 7 7 7 4 7

3      

 x x x

y

Ejercicio nº 39.-

Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

 

2 3 2

  

x x x

f

Solución:

 





















2

2

2 2 2

2 2

2 3 4

2 3 4 2

2 3 2 2 '

     

     

     

x x x x

x x x x

x x

x x

f

 

          

 f' x 0 x2 4x 3 0 x2 4x 3 0









   

 

 

 

         

6 , 3 Punto 3

2 , 1 Punto 1

2 2 4 2

12 16 4

19

Ejercicio nº 40.-

Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:

 

4 2

2x x x

f  

Solución:

 



















    

 

  

  

    

  

1 , 1 Punto 1

0 , 0 Punto 0

1 1 Punto 1

0 1 4

4 4

' 3 2

x x

, x

x x x x x f

 Hallamos las ramas infinitas:

















  



2 4 2

4

2

2x lim x x

x lim

x x

1

1 1



1, 1



y en



1, 1



;máximoen



0,0



en

Mínimo   

Ejercicio nº 41.-

Determina los puntos de tangente horizontal de la función:

 

2 3  

x x x f

Solución:

 

















2

2 3

2 3 2 3

2 3 2

2 6 2

2 6 3

2 2 3

'

   

   

  



x x x x

x x x x

x x

x x f

 













   

 

 

    

  

 

27 , 3 Punto 3

0 , 0 Punto 0

0 6 2 0

6 2 0

' 3 2 2

x x x

x x

x x

f

Ejercicio nº 42.-

Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:

 

x x x x f _ 3 _6 2 _15

Solución:

 

3 12 15 0 4 5 0

' _ 2 _{   } 2 _{  }

20





 

 

  

 



100 , 5 Punto 5

2 2

; 2

2 x _x

x



 







 







  

 x x x lim x x x

lim

x

x 6 15 6 15

2 3 2

3

Máximo en (5, 100) y mínimo en (1,  8).

Ejercicio nº 43.-

Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:

1 9 3 2

3 _{  }

x x x

y

Solución:



 



      

   

2 12 4 2 0

3 2 3 9 6 3

' 2 2

x x

x x

x y







3, 26



Punto 3

6 , 1 Punto 1

2 4

2   

 

  

 x

x

 Hallamos las ramas infinitas para saber si son máximos o mínimos:



  







  



 

 

 3 9 1 3 9 1

2 3 2

3

x x x lim x

x x lim

x x

1 3

26 6

Máximo en (1, 6 ) y mínimo en (3, 26).

Ejercicio nº 44.- Dada la función:

 

3

2x x

f 

21

Solución:

 

2

6 ' x x

f 



 

0lafunciónescreciente. '

Como 

 f x

Ejercicio nº 45.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

 

x 3x2 2x1

f

Solución:

 

6 2

'  

 f x x

 Estudiamos el signo de la derivada:

3 1 2

6 0

2 6

3 1 6

2 2

6 0

2 6

3 1 0

2 6

     

       

   

x x

x

x x

x x

x x

. 3 1 en mínimo un

tiene y ,

3 1 en crece , 3 1 , en decrece función

La 

  



 _

    

 _

   

  

 x

Ejercicio nº 46.-

Estudia dónde crece y dónde decrece la función:

 

2

3 12 3 x x x

f   

Solución:

 

x x f' 126



 Estudiamos el signo de la derivada:

2 12

6 6

12 0

6 12

2 12

6 6

12 0

6 12

2 0

6 12

  

 

  

  

 

  

   

x x

x x

x x

x x

x x

 La función es creciente en (, 2) y decreciente en (2 +) y tiene un máximo en x  2).

Ejercicio nº 47.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función:

 

2 1 3

2 _{ }

 x x

x f

Solución:

 

2 3 2

'  

 f x x

22

2

3 3

2 0

3 2 0

2 3 2

2 3 3

2 0

3 2 0

2 3 2

2 2

        

        

x x

x x

x x

x x

. 2 3 en mínimo un

tiene y ,

2 3 en crece y 2 3 , en decrece función

La 

  



 _

    

 _

   

  

 x

Ejercicio nº 48.-

Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

  



2

2

  x x f

Solución:

  

2 2



'  

 f x x

 Estudiamos el signo de la derivada:











2



0 2 0 2

2

2 0

2 0

2 2

2 0

2 0

2 2

       

       

       

x x

x

x x

x

x x

x