1. Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1 ,C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2 ,C3 +C2 , 3C1 - 2BHCT 2016 2017 EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD MATRICES

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(1)

1. Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1 ,C2 y C3 y cuyo

determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2, C3 + C2 , 3C1. Calcúlese

razonadamente el determinante de A-1en caso de que exista esa matriz.

2. Dada la matriz 

  

  

 

2 1

1 2 3 1

B , hállese una matriz X que verifique la ecuación XBBB1.

3. Sea A una matriz 22 de columnas C1,C2 y determinante 4. Sea B otra matriz 22de determinante 2. Si C es la matriz de columnas C1C2 y 3C2, calcúlese el determinante de la matriz BC1.

4. Dadas las matrices

  

 

  

  

0 0 1

0 0 1

0 0 1

A ,

  

 

  

  

2 2 3

0 1 2

0 0 1

C , hállense las matrices X que satisfacen XCA CA2.

5. Se consideran las matrices:

  

 

  

   

  

 

  

2 0

0 m

3 1 B ; 1 1 1

m 2 1

A donde m es un número real. Encontrar los

valores de m para los que A·B es inversible.

6. Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican ABB2, ¿cuándo se puede asegurar que AB?

7. Sean X una matriz 22, I la matriz identidad 22 y 

     

1 0

1 2

B . Hallar X sabiendo que BXBB2I.

8. Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz

  

 

  

 

 

 

2 1 2

3 2 m 1

m 1 2 A

9. Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad:

A 1 1

0 1 1 1

0 1

A 

           

10. Dadas las matrices

  

 

  

 

   

1 1 1

1 0 1

0 1 1

P y

  

 

  

 

  

2 0 0

0 1 0

0 0 1

A , hállese razonadamente la matriz B sabiendo

que BP A.

11. Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz B43A. Calcúlese el determinante de la matriz B.

12. Dadas las matrices

  

 

  

 

   

1 1 1

1 0 1

0 1 1

P y

  

 

  

 

  

2 0 0

0 1 0

0 0 1

A , hállese la matriz B sabiendo que P1BPA.

13. Estudiar el rango de la matriz A, según los distintos valores de “m”:

  

 

  

  

m 2 1

2 2 1

1 1 1 A

14. Dadas las dos matrices

  

 

  

 

 

1 2 3

0 1 2

1 0 1

A y

  

 

  

 

 

0 0 2

1 1 1

1 0 1

(2)

15. Si A es una matriz cuadrada, ¿la matriz AAt es igual a su traspuesta? Razonar la respuesta. (A est

la matriz traspuesta de A )

16. Hallar para qué valores de a es inversible la matriz 

  

 

a 1

a 3 4 a

A y calcular la inversa para a0.

17. Sean las matrices

  

 

  

  

3 2 1

A ,

  

 

  

 

 

2 2 7

B ,

  

 

  

  

1 0 0

0 1 0

0 0 0

C ,

  

 

  

  

2 2 0

D y

  

 

  

  

3 5 2

E .

a) Hallar la matriz AB dondeT B indica la matriz traspuesta de B. ¿Es inversible?T

b) Hallar el rango de la matrizATD.

c) Calcular

  

 

  

  

z y x

M que verifique la ecuación

ABT C

ME.

18. Discutir en función de a el sistema

  

 

 

1 ay x

a ay ax

.

19. Sea la matriz 

     

c 0

b a

A . Calcúlese el determinante de A sabiendo que A2 2AId0, donde Id es la

matriz identidad y 0 es la matriz nula.

20. Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz

  

 

  

 

a 1 0

3 1 2

1 2 1

.

21. Sea 

     

3 2

2 1

A . Determínense los valores de m para los cuales AmId no es invertible (donde Id denota

la matriz identidad).

22. Sean las matrices 

     

2 3

3 5

B y 

     

5 8

8 13

C . Calcular la matriz A, sabiendo que A2= B y A3= C

23. Calcular el rango de la matriz

   

 

   

 

    

 

1 4 2 3

6 0 4 2

3 3 1 1

5 1 3 1

24. Dada la matriz

  

 

  

 

 

5 4 3

0 1 a 2

a 2 1

P , determínense los valores del número real a para los cuales existe la matriz

inversa de P.

25. Sea A una matriz 3x 3 de columnas C1, C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1 + C2,

(3)

26. Se considera el sistema

    

  

  

  

1 z y x

1 z y x

z y x

.

a) Discútase según los valores del parámetro . b) Resuélvase para 3.

c) Resuélvase para 1

27. a) Discútase el sistema

    

    

  

  

1 a z y ) 1 a ( x 3

0 az y x 2

2 z ay x

, en función del valor de a.

b) Para el valor a1, hállese, si procede, la solución del sistema.

28. a) Discutir en función de los valores de m :

    

  

  

 

m mz y 2 x

0 z y x

0 y 3 x 2

b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anterior.

29. .Se considera el sistema

    

  

  

  

2 z y 2 x 2

0 z y ax

4 az y x

, donde a es un parámetro real.

a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para a1.

30. Se considera el sistema de ecuaciones lineales

    

  

  

  

4 az y 2 x

4 z y ) a 1 (

3 z y 2 x

.

a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. b) Resuélvase el sistema para a=2.

31. Se considera el sistema de ecuaciones lineales

    

   

  

  

3 z 6 y ) a 2 ( x 2

2 z 3 ay x

1 z 3 y 2 x

.

a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible?

b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado? c) Resuélvase el sistema para a=0.

32. Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales

    

  

  

  

2

k kz y x

k z ky x

1 z y kx

.

(4)

matriz de coeficientes es

  

 

 

2 m1 2

m m 1

34. a) Calcular el rango de la matriz : A =

   

 

   

 

16 15 14 13

12 11 10 9

8 7 6 5

4 3 2 1

b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3x3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B2.

35. Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro:

m

    

   

  

  

1 m z my x 3

0 z y x

1 z y x

36. a) Averiguar para qué valores de m la matriz no tiene inversa. A=

  

 

  

 

  

2 m 0

m 1 1

1 0 1

b) Calcula la matriz inversa de A para m = 0.

37. Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale –1 y que el determinante de la matriz 2·A vale –16 ¿Cuál es el orden de la matriz A?

38. Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales.

    

 

 

 

2 y x

m my x

2 y mx

39. a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3x3 que verifica que B2.= 16I, siendo I la matriz unidad. Calcular

el determinante de B.

b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación: 

  

         

2 0 0

1 0 0 X 2 0

1 0

40. Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:

    

  

  

   

a z 3 y x

1 z ay x

a 1 az y x 2

a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a. b) Resolver el sistema para a =1.

41. Dadas las matrices : 

  

   

  

 

 

 

  

 

  

 

 

0 1 0

3 2 1 C y 6 4 2

5 3 1 B , m 1 0

0 1 0

0 0 1 A

a) ¿Para qué valores de m existe B-1? Para m=1, calcular B-1.

(5)

42. Discutir según los valores del parámetro , y resolver cuando sea posible, el sistema:

    

   

  

 

a az y ) 1 a ( x

0 z ) 1 a ( y

1 z x

43. Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema:

    

  

  

  

0 z y 3 x

2 z y 2 x

1 z y ax

44. a) Si se sabe que el determinante

3 3 3

2 2 2

1 1 1

c b a

c b a

c b a

vale 5, calcular razonadamente

3 2 1

3 2 1

3 2 1

c 3 c 2 c

b 3 b 2 b

a 3 a 2 a

y

2 2

2

3 2 3 2 3 2

1 1

1

c b

a

c c b b a a

c b

a

 

b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2x2 para la cual se cumple que A-1= At (At = traspuesta de la

matriz A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3?

45. a) Sea A una matriz cuadrada tal que A2- 3A =−2I (siendo I la matriz identidad). Probar que A admite

inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A-1en función de A.

b) Sea B=

  

 

  

 

2 1 m

1 0 2

m 2 1

la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente los valores de m

para los que el sistema es compatible determinado.

46. Sean las matrices

  

 

  

  

0 1 0

1 0 0

2 0 3

A y

  

 

  

  

0 1 2

B .

a) Calcular A-1.

b) Resolver la ecuación matricial AX+2AB=B.

47. Sea el sistema de ecuaciones lineales:

    

 

 

 

3 z 2 x

z y

5 y x

a) Discutirlo en función del parámetro. b) Resolverlo cuando sea compatible.

48. Resolver la ecuación 0

1 x x x

x 1 x x

x x 1 x

   

49. Resolver la ecuación 0

0 x 2 1

x 1 x x 2

x 2 1 x

 

  

(6)

50. a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones:

  

 

  

5 z 2 x 3

a z ay x

b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las tres ecuaciones del sistema.

51. Estudiar, en función del parámetro real , el rango de la matriz

  

 

  

 

 

   

2 1 1

1 1

1 1 2

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